Projectile Motion on an Inclined Plane Questions in Gujarati

(A) ઢાળના ખૂણા $\alpha$ વાળા સમતલ પર પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ અવધિ નીચે મુજબ છે:
ઉપરની તરફ પ્રક્ષેપણ માટે: $(R_{\max})_{up} = \frac{u^2}{g(1 + \sin \alpha )}$
નીચેની તરફ પ્રક્ષેપણ માટે: $(R_{\max})_{down} = \frac{u^2}{g(1 - \sin \alpha )}$
પ્રશ્ન મુજબ,$(R_{\max})_{down} = 3 \times (R_{\max})_{up}$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{u^2}{g(1 - \sin \alpha )} = 3 \times \frac{u^2}{g(1 + \sin \alpha )}$
સાદુરૂપ આપતા: $1 + \sin \alpha = 3(1 - \sin \alpha )$
$1 + \sin \alpha = 3 - 3 \sin \alpha$
$4 \sin \alpha = 2$
$\sin \alpha = \frac{1}{2}$
તેથી,$\alpha = 30^o$.

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 21 \, m/s$,સમક્ષિતિજ સાથે પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\beta = 60^o$,ઢાળનો ખૂણો $\alpha = 30^o$.
ઢાળ સાથેનો પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = \beta - \alpha = 60^o - 30^o = 30^o$ થાય.
ઢાળ પરની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{2u^2 \sin \theta \cos(\theta + \alpha)}{g \cos^2 \alpha}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{2 \times (21)^2 \times \sin 30^o \times \cos(30^o + 30^o)}{9.8 \times \cos^2 30^o}$.
$R = \frac{2 \times 441 \times (1/2) \times \cos 60^o}{9.8 \times (\sqrt{3}/2)^2} = \frac{441 \times 0.5}{9.8 \times 0.75} = \frac{220.5}{7.35} = 30 \, m$.
આમ,અવધિ $30 \, m$ મળે છે.

(C) સમક્ષિતિજ જમીન પર મહત્તમ અવધિનું સૂત્ર $R_{max, horizontal} = \frac{u^2}{g} = 6 \, km$ છે.
ઢાળવાળા સમતલ પર પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ અવધિનું સૂત્ર $R_{max, inclined} = \frac{u^2}{g(1 + \sin \alpha)}$ છે.
અહીં $\alpha = 30^o$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$R_{max, inclined} = \frac{u^2}{g(1 + \sin 30^o)}$.
$\sin 30^o = 0.5$ હોવાથી:
$R_{max, inclined} = \frac{u^2}{g(1 + 0.5)} = \frac{u^2}{g(1.5)} = \frac{u^2}{g(3/2)} = \frac{2}{3} \left( \frac{u^2}{g} \right)$.
$\frac{u^2}{g} = 6 \, km$ મૂકતા:
$R_{max, inclined} = \frac{2}{3} \times 6 = 4 \, km$.

(D) જ્યારે કોઈ પદાર્થને $\theta$ ખૂણે રહેલા ઢળતા સમતલ પરથી $u$ ઝડપે સમક્ષિતિજ ફેંકવામાં આવે,ત્યારે સમતલને લંબ દિશામાં અસરકારક પ્રવેગ $g \cos \theta$ અને પ્રારંભિક વેગનો ઘટક $u \sin \theta$ (નીચેની તરફ) હોય છે.
સમતલને લંબ દિશામાં ગતિના સમીકરણ $s_y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં કુલ ઉડ્ડયન સમય $T$ માટે $s_y = 0$ છે:
$0 = (u \sin \theta) T + \frac{1}{2} (g \cos \theta) T^2$
અહીં પદાર્થ સમક્ષિતિજ ફેંકાય છે,તેથી લંબ ઘટક $u \sin \theta$ નીચેની તરફ છે અને પ્રવેગનો ઘટક $g \cos \theta$ ઉપરની તરફ છે.
$T = \frac{2 u \sin \theta}{g \cos \theta} = \frac{2 u \tan \theta}{g}$
આપેલ છે કે $u = 50 \ m/s$,$\theta = 45^{\circ}$,અને $g = 10 \ m/s^2$:
$T = \frac{2 \times 50 \times \tan 45^{\circ}}{10} = \frac{100 \times 1}{10} = 10 \ s$.

(C) ધારો કે ઢાળ એ $x$-અક્ષ છે અને ઢાળને લંબ દિશા એ $y$-અક્ષ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને ઢાળને કાટખૂણે ફેંકવામાં આવતો હોવાથી,પ્રારંભિક વેગના ઘટકો $u_x = 0$ અને $u_y = v$ છે.
પ્રવેગના ઘટકો $a_x = -g \sin \theta$ અને $a_y = -g \cos \theta$ છે.
પદાર્થ ઢાળ પર પાછો આવે તે માટે $y$-દિશામાં સ્થાનાંતર શૂન્ય હોવું જોઈએ: $y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2 = 0$.
$v t - \frac{1}{2} g \cos \theta t^2 = 0 \implies t = \frac{2v}{g \cos \theta}$.
ઢાળ પરની અવધિ $R$ એ $t$ સમયે $x$-દિશામાં સ્થાનાંતર છે: $R = u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2$.
$R = 0(t) + \frac{1}{2} (-g \sin \theta) \left( \frac{2v}{g \cos \theta} \right)^2$.
$R = -\frac{1}{2} g \sin \theta \left( \frac{4v^2}{g^2 \cos^2 \theta} \right) = -\frac{2v^2 \sin \theta}{g \cos^2 \theta} = -\frac{2v^2}{g} \tan \theta \sec \theta$.
માનાંક લેતા,$R = \frac{2v^2}{g} \tan \theta \sec \theta$.

(D) ધારો કે $P$ બિંદુ પર પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો વેગ $v$ છે. $P$ આગળ વેગ ઢળતી સપાટીને લંબ હોવાથી,$P$ આગળ ઢળતી સપાટીને સમાંતર વેગનો ઘટક શૂન્ય છે.
ધારો કે $u$ એ $Q$ આગળનો પ્રારંભિક વેગ છે અને $\alpha$ એ ઢળતી સપાટી સાથેનો પ્રક્ષેપણ કોણ છે. ઢળતી સપાટીને સમાંતર પ્રવેગનો ઘટક $-g \sin \theta$ છે.
ઢળતી સપાટી પર ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v_p = u_p + a_p T$,જ્યાં $v_p = 0$ ($P$ આગળ સપાટીને સમાંતર વેગ શૂન્ય છે).
$0 = u \cos \alpha - g \sin \theta T \implies u \cos \alpha = g \sin \theta T$.
અંતર $PQ$ એ ઢળતી સપાટી પરની અવધિ છે,જે $PQ = (u \cos \alpha) T - \frac{1}{2} (g \sin \theta) T^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$PQ$ ના સમીકરણમાં $u \cos \alpha = g \sin \theta T$ મૂકતા:
$PQ = (g \sin \theta T) T - \frac{1}{2} g \sin \theta T^2 = \frac{1}{2} g \sin \theta T^2$.
વળી,$P$ આગળ વેગ સપાટીને લંબ હોવાની શરત પરથી,$P$ સુધી પહોંચવા માટેનો ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{u \cos \alpha}{g \sin \theta}$ છે.
આપેલ છે કે $P$ આગળ વેગ $v$ છે,અને તે સપાટીને લંબ છે,તેથી $v$ એ $P$ આગળ સપાટીને લંબ વેગનો ઘટક છે. $v = u \sin \alpha - g \cos \theta T$.
$v$ એ $P$ આગળનો અંતિમ વેગ હોવાથી અને તે સપાટીને લંબ હોવાથી,વેગનો સમાંતર ઘટક $v \sin \theta = u \cos \alpha$ થાય.
આમ,$PQ = (v \sin \theta) T / \cos \theta = v T \tan \theta$.

(A) કણનો વેગ $\vec{V}_{P} = (10\sqrt{3} \cos 60^{\circ}) \hat{i} + (10\sqrt{3} \sin 60^{\circ}) \hat{j} = 5\sqrt{3} \hat{i} + 15 \hat{j} \text{ m/s}$ છે.
વેજનો વેગ $\vec{V}_{W} = 10\sqrt{3} \hat{i} \text{ m/s}$ છે.
વેજની સાપેક્ષમાં કણનો સાપેક્ષ વેગ $\vec{V}_{P/W} = \vec{V}_{P} - \vec{V}_{W} = (5\sqrt{3} \hat{i} + 15 \hat{j}) - 10\sqrt{3} \hat{i} = -5\sqrt{3} \hat{i} + 15 \hat{j} \text{ m/s}$ છે.
આ સાપેક્ષ ગતિને $30^{\circ}$ ના ખૂણાવાળા સ્થિર ઢળતા સમતલ પર પ્રક્ષિપ્ત ગતિ તરીકે વિશ્લેષણ કરી શકાય છે.
ઢળતા સમતલ પર ઉડ્ડયન સમયનું સૂત્ર $T = \frac{2 u \sin(\alpha - \beta)}{g \cos \beta}$ છે,જ્યાં $\alpha = 60^{\circ}$ અને $\beta = 30^{\circ}$ છે.
$T = \frac{2(10\sqrt{3}) \sin(60^{\circ} - 30^{\circ})}{10 \cos 30^{\circ}} = \frac{20\sqrt{3} \sin 30^{\circ}}{10 \cdot (\sqrt{3}/2)} = \frac{10\sqrt{3}}{5\sqrt{3}} = 2 \text{ s}$.

(D) ધારો કે $\theta$ એ સમતલનો નમનકોણ છે.
સમતલ પર દડાનો પ્રવેગ નીચેની ધારને લંબ રૂપે $g \sin \theta$ છે.
નીચેની ધારને લંબ રૂપે પ્રારંભિક વેગનો ઘટક $u_{\perp} = u \sin 30^{\circ} = 10 \sin 30^{\circ} = 5 \ m/s$ છે.
નીચેની ધારને લંબ રૂપે પ્રવેગનો ઘટક $a_{\perp} = g \sin \theta$ છે.
દડો ધાર પર પાછો આવતો હોવાથી,ધારને લંબ રૂપે સ્થાનાંતર શૂન્ય છે.
ધારને લંબ દિશામાં $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$0 = (u \sin 30^{\circ})T - \frac{1}{2}(g \sin \theta)T^2$
$T = \frac{2 u \sin 30^{\circ}}{g \sin \theta}$
આપેલ છે કે $T = 2 \ s$,$u = 10 \ m/s$,અને $g = 10 \ m/s^2$:
$2 = \frac{2 \times 10 \times \sin 30^{\circ}}{10 \sin \theta}$
$2 = \frac{2 \times 0.5}{\sin \theta}$
$2 = \frac{1}{\sin \theta}$
$\sin \theta = 0.5$
$\theta = 30^{\circ}$.

(D) ધારો કે ઢળતી સપાટીનો ખૂણો $\alpha$ છે. પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને સમક્ષિતિજ સાથે $\theta = 60^o$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે. તે સપાટીને સમક્ષિતિજ રીતે અથડાય છે,તેથી અથડામણના બિંદુએ વેગનો શિરોલંબ ઘટક $0$ છે. આમ,$v_y = u \sin 60^o - gt = 0$,જે આપણને $t = \frac{u \sqrt{3}}{2g}$ આપે છે.
આ સમયે $t$,સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $x = u \cos 60^o \cdot t = \frac{u^2 \sqrt{3}}{4g}$ છે.
શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = u \sin 60^o \cdot t - \frac{1}{2}gt^2 = \frac{3u^2}{8g}$ છે.
ઢળતી સપાટીનો ખૂણો $\alpha$ માટે $\tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય છે.
ઢળતી સપાટી પરની અવધિ $R = \frac{x}{\cos \alpha}$ છે. $\tan \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ હોવાથી,$\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{7}}$ મળે.
તેથી,$R = \frac{u^2 \sqrt{21}}{8g}$.

(B) ધારો કે દડાને ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી ફેંકવામાં આવે છે. સમક્ષિતિજ પ્રક્ષેપણ માટે ગતિપથનું સમીકરણ $y = \frac{1}{2} g t^2$ અને $x = vt$ છે.
$t = \frac{x}{v}$ ને $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $y = \frac{1}{2} g \left( \frac{x}{v} \right)^2 = \frac{gx^2}{2v^2}$ મળે છે.
ઢળતું સમતલ સમક્ષિતિજ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. સમતલનું સમીકરણ $y = x \tan(45^{\circ}) = x$ છે.
$y$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $x = \frac{gx^2}{2v^2}$ મળે છે.
$x$ માટે ઉકેલતા,$x = \frac{2v^2}{g}$ મળે છે.
કારણ કે $y = x$,તેથી શિરોલંબ યામ પણ $y = \frac{2v^2}{g}$ થશે.
પ્રક્ષેપણ બિંદુથી અંતર $l = \sqrt{x^2 + y^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા,$l = \sqrt{x^2 + x^2} = x\sqrt{2}$.
તેથી,$l = \sqrt{2} \left[ \frac{2v^2}{g} \right]$.

(D) ઢળતા સમતલ પર પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ માટેનું સૂત્ર:
$R = \frac{2 u^2 \cos \theta \sin \theta}{g \cos^2 \alpha} - \frac{g \sin \alpha}{2} \left( \frac{2 u \sin \theta}{g \cos \alpha} \right)^2$
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$R = \frac{2 u^2 \cos \theta \sin \theta}{g \cos^2 \alpha} - \frac{2 u^2 \sin^2 \theta \sin \alpha}{g \cos^2 \alpha}$
$R = \frac{2 u^2 \sin \theta}{g \cos^2 \alpha} (\cos \theta \cos \alpha - \sin \theta \sin \alpha)$
$R = \frac{2 u^2 \sin \theta \cos(\theta + \alpha)}{g \cos^2 \alpha}$
અહીં $u = 2 \, m/s$,$\theta = 15^o$,$\alpha = 30^o$,અને $g = 10 \, m/s^2$ આપેલ છે:
$R = \frac{2 \times (2)^2 \times \sin(15^o) \times \cos(45^o)}{10 \times \cos^2(30^o)}$
$R = \frac{8 \times \sin(15^o) \times \frac{1}{\sqrt{2}}}{10 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{8 \times \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}}{10 \times \frac{3}{4}}$
$R = \frac{8 \times \frac{\sqrt{3}-1}{4}}{7.5} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{7.5} = \frac{2(1.732-1)}{7.5} = \frac{1.464}{7.5} \approx 0.195 \, m = 19.5 \, cm \approx 20 \, cm$.

(C) ધારો કે અથડામણ સમયે કણનો વેગ $v$ છે.
કણ સમતલ $BC$ ને કાટખૂણે અથડાતો હોવાથી,અથડામણ સમયે સમતલ $BC$ ને સમાંતર વેગનો ઘટક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
સમતલ $BC$ સમક્ષિતિજ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે નમેલું છે.
શરૂઆતના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u\sqrt{2} \cos 45^{\circ} = u\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = u$ છે.
અથડામણના બિંદુએ,વેગ સદિશ $v$ સમક્ષિતિજ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે (કારણ કે તે $60^{\circ}$ પર નમેલા સમતલને લંબ છે).
તેથી,અંતિમ વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos 60^{\circ}$ છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ પ્રવેગ ન હોવાથી,ગતિ દરમિયાન વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે.
આમ,$v_x = u_x$.
$v \cos 60^{\circ} = u$
$v \cdot \frac{1}{2} = u$
$v = 2u$.

(B) $x$-અક્ષને ઢાળની દિશામાં અને $y$-અક્ષને તેને લંબ લેતા.
ઢાળ સાથે પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\alpha = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$ છે.
પ્રારંભિક વેગના ઘટકો $u_x = u \cos(30^{\circ}) = 5\sqrt{3}\,m/s$ અને $u_y = u \sin(30^{\circ}) = 5\,m/s$ છે.
પ્રવેગના ઘટકો $a_x = -g \sin(30^{\circ}) = -5\,m/s^2$ અને $a_y = -g \cos(30^{\circ}) = -5\sqrt{3}\,m/s^2$ છે.
બિંદુ $B$ પર,$y$-અક્ષ પર સ્થાનાંતર $s_y = 0$ છે.
$s_y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = 5t + \frac{1}{2}(-5\sqrt{3})t^2$ મળે છે.
$t$ માટે ઉકેલતા,$t = \frac{2}{\sqrt{3}}\,s$ મળે છે.
અવધિ $R$ એ $x$-અક્ષ પરનું સ્થાનાંતર છે: $R = u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2 = (5\sqrt{3}) \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) + \frac{1}{2}(-5) \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = 10 - \frac{10}{3} = 6.67\,m$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,નજીકનો જવાબ $13.3$ છે.

(A) પથ્થરને ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી $v_0$ ઝડપથી સમક્ષિતિજ દિશામાં ફેંકવામાં આવે છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર,સમક્ષિતિજ સ્થાન $x = v_0 t$ અને શિરોલંબ સ્થાન $y = -\frac{1}{2} g t^2$ છે.
ટેકરીની સપાટીનું સમીકરણ જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,તે $y = -x \tan \theta$ છે.
$x$ અને $y$ ના પદોને ટેકરીની સપાટીના સમીકરણમાં મૂકતા:
$-\frac{1}{2} g t^2 = -(v_0 t) \tan \theta$
$\frac{1}{2} g t^2 = v_0 t \tan \theta$
$t$ માટે ઉકેલતા (જ્યાં $t \neq 0$):
$t = \frac{2 v_0 \tan \theta}{g}$
હવે,$t$ ની કિંમત $x$ અને $y$ ના સમીકરણોમાં મૂકતા:
$x = v_0 \left(\frac{2 v_0 \tan \theta}{g}\right) = \frac{2 v_0^2 \tan \theta}{g}$
$y = -\frac{1}{2} g \left(\frac{2 v_0 \tan \theta}{g}\right)^2 = -\frac{1}{2} g \left(\frac{4 v_0^2 \tan^2 \theta}{g^2}\right) = -\frac{2 v_0^2 \tan^2 \theta}{g}$
આમ,યામ $\left(\frac{2 v_0^2 \tan \theta}{g}, -\frac{2 v_0^2 \tan^2 \theta}{g}\right)$ છે.

(N/A) બાજુની આકૃતિ ધ્યાનમાં લો.
યામ પદ્ધતિ એવી રીતે નક્કી કરો કે $X$-અક્ષ ઢળતી સપાટીની દિશામાં હોય અને $Y$-અક્ષ તેને લંબ હોય.
પ્રારંભિક વેગના ઘટકો: $U_x = v_0 \cos \beta$,$U_y = v_0 \sin \beta$.
પ્રવેગના ઘટકો: $a_x = -g \sin \alpha$,$a_y = -g \cos \alpha$.
$(b)$ ઉડ્ડયન સમય $(T)$:
અથડામણના બિંદુ $P$ પર,$Y$-અક્ષ પરનું સ્થાનાંતર $y = 0$ છે.
$y = U_y T + \frac{1}{2} a_y T^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = (v_0 \sin \beta) T - \frac{1}{2} (g \cos \alpha) T^2$
$T = \frac{2 v_0 \sin \beta}{g \cos \alpha}$.
$(a)$ અવધિ $(R)$:
અવધિ એ $T$ સમયે $X$-અક્ષ પરનું સ્થાનાંતર છે.
$R = U_x T + \frac{1}{2} a_x T^2$
$R = (v_0 \cos \beta) \left( \frac{2 v_0 \sin \beta}{g \cos \alpha} \right) - \frac{1}{2} (g \sin \alpha) \left( \frac{2 v_0 \sin \beta}{g \cos \alpha} \right)^2$
$R = \frac{2 v_0^2 \sin \beta \cos \beta}{g \cos \alpha} - \frac{2 v_0^2 \sin^2 \beta \sin \alpha}{g \cos^2 \alpha}$
$R = \frac{2 v_0^2 \sin \beta}{g \cos^2 \alpha} [\cos \beta \cos \alpha - \sin \beta \sin \alpha]$
$R = \frac{2 v_0^2 \sin \beta \cos(\alpha + \beta)}{g \cos^2 \alpha}$.
$(c)$ મહત્તમ અવધિ:
મહત્તમ અવધિ માટે,$\frac{dR}{d\beta} = 0$.
નિત્યસમ $2 \sin \beta \cos(\alpha + \beta) = \sin(2\beta + \alpha) - \sin \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$R = \frac{v_0^2}{g \cos^2 \alpha} [\sin(2\beta + \alpha) - \sin \alpha]$.
$R$ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin(2\beta + \alpha) = 1$,તેથી $2\beta + \alpha = 90^\circ$.
$\beta = 45^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

(D) ધારો કે અથડામણનું બિંદુ ઉગમબિંદુ $O$ છે. આપણે $x$-અક્ષને ઢળતી સપાટીની દિશામાં (નીચેની તરફ) અને $y$-અક્ષને ઢળતી સપાટીને લંબ (ઉપરની તરફ) લઈએ છીએ.
પ્રારંભિક વેગ સદિશ $\vec{v}_0$ શિરોલંબ નીચેની તરફ છે. તેને $x$ અને $y$ અક્ષો પરના ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
$u_x = v_0 \sin \theta$
$u_y = -v_0 \cos \theta$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે. તેને ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
$a_x = g \sin \theta$
$a_y = -g \cos \theta$
કણ ફરીથી સપાટી પર અથડાય તે માટે,$y$-અક્ષ પરનું સ્થાનાંતર શૂન્ય $(y = 0)$ હોવું જોઈએ.
$y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = (-v_0 \cos \theta) t + \frac{1}{2} (-g \cos \theta) t^2$
$0 = -t (v_0 \cos \theta + \frac{1}{2} g \cos \theta t)$
$t \neq 0$ હોવાથી,આપણને $v_0 \cos \theta = -\frac{1}{2} g \cos \theta t$ મળે છે,જે $t = \frac{2 v_0}{g}$ આપે છે.
હવે,$t = \frac{2 v_0}{g}$ સમયે $x$-અક્ષ પરનું સ્થાનાંતર શોધો:
$x = u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2$
$x = (v_0 \sin \theta) \left( \frac{2 v_0}{g} \right) + \frac{1}{2} (g \sin \theta) \left( \frac{2 v_0}{g} \right)^2$
$x = \frac{2 v_0^2 \sin \theta}{g} + \frac{1}{2} g \sin \theta \left( \frac{4 v_0^2}{g^2} \right)$
$x = \frac{2 v_0^2 \sin \theta}{g} + \frac{2 v_0^2 \sin \theta}{g} = \frac{4 v_0^2 \sin \theta}{g}$.

(C) ધારો કે સમક્ષિતિજ સાથેનો પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ છે. ટેકરીનો ઢાળ $\alpha = 30^{\circ}$ છે.
ઢાળની દિશામાં પ્રારંભિક વેગનો ઘટક: $u_x = u \cos(\theta + \alpha) = 10 \cos(30^{\circ} + 30^{\circ}) = 10 \cos 60^{\circ} = 5 \text{ m/s}$.
ઢાળને લંબ દિશામાં પ્રારંભિક વેગનો ઘટક: $u_y = u \sin(\theta + \alpha) = 10 \sin(60^{\circ}) = 5\sqrt{3} \text{ m/s}$.
પ્રવેગના ઘટકો: $a_x = g \sin 30^{\circ} = 5 \text{ m/s}^2$ અને $a_y = -g \cos 30^{\circ} = -5\sqrt{3} \text{ m/s}^2$.
ઉડ્ડયન સમય $T$ માટે,ઢાળને લંબ સ્થાનાંતર શૂન્ય થાય:
$0 = u_y T + \frac{1}{2} a_y T^2 \implies T = \frac{-2 u_y}{a_y} = 2 \text{ s}$.
અંતર $AB = u_x T + \frac{1}{2} a_x T^2 = 5(2) + \frac{1}{2}(5)(2^2) = 10 + 10 = 20 \text{ m}$.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ, $u = 10 \,m/s$.
સમક્ષિતિજ સાથે પ્રક્ષિપ્ત કોણ $60^{\circ}$ છે અને ઢળતા સમતલનો ખૂણો $\alpha = 30^{\circ}$ છે।
ઢળતા સમતલની સાપેક્ષે પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$ થશે।
ઢળતા સમતલ પર અવધિ $R$ માટેનું સૂત્ર:
$R = \frac{2 u^2 \cos 60^{\circ} \sin(60^{\circ} - 30^{\circ})}{g \cos^2 30^{\circ}}$
$R = \frac{2 \times (10)^2 \times (1/2) \times \sin 30^{\circ}}{10 \times (\sqrt{3}/2)^2}$
$R = \frac{200 \times 0.5 \times 0.5}{10 \times 0.75} = \frac{50}{7.5} = \frac{20}{3} \,m$.