Mix Examples-Motion in Plane Questions in Gujarati

(A) વિમાનનો વેગ એ સદિશ રાશિ છે. ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_i = v\hat{i}$ છે.
અર્ધવર્તુળ કાપ્યા પછી,વેગની દિશા ઉલટાઈ જાય છે,તેથી અંતિમ વેગ $\vec{v}_f = -v\hat{i}$ થાય છે.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{v} = \vec{v}_f - \vec{v}_i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta \vec{v} = -v\hat{i} - v\hat{i} = -2v\hat{i}$.
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = 2v$ છે.
અહીં $v = 100\, km/hr$ આપેલ છે,તેથી વેગમાં થતો ફેરફાર $2 \times 100 = 200\, km/hr$ થાય.

(D) પ્રારંભિક વેગ $\vec{v_1} = 10\hat{i}\, ms^{-1}$ (પૂર્વ).
અંતિમ વેગ $\vec{v_2} = 10(-\hat{j}) = -10\hat{j}\, ms^{-1}$ (દક્ષિણ).
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{v} = \vec{v_2} - \vec{v_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta \vec{v} = -10\hat{j} - 10\hat{i} = -(10\hat{i} + 10\hat{j})$.
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{(-10)^2 + (-10)^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14.14\, ms^{-1}$ છે.
બંને ઘટકો ઋણ હોવાથી દિશા નૈઋત્ય (દક્ષિણ-પશ્ચિમ) છે.
વૈકલ્પિક રીતે,જ્યારે ઝડપ $v$ અચળ હોય અને ખૂણો $\theta$ હોય ત્યારે વેગમાં થતા ફેરફારનું સૂત્ર: $|\Delta \vec{v}| = 2v \sin(\theta/2) = 2 \times 10 \times \sin(90^\circ/2) = 20 \times \sin(45^\circ) = 20 \times (1/\sqrt{2}) = 10\sqrt{2} \approx 14.14\, ms^{-1}$ નૈઋત્ય દિશામાં.

(D) રેખીય વેગ $\vec v$,કોણીય વેગ $\vec \omega$ અને સ્થાન સદિશ $\vec r$ વચ્ચેનો સંબંધ ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec v = \vec \omega \times \vec r$।
આની ગણતરી કરવા માટે,આપણે નિશ્ચાયક સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\vec v = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 3 & -4 & 1 \\ 5 & -6 & 6 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec v = \hat i((-4)(6) - (1)(-6)) - \hat j((3)(6) - (1)(5)) + \hat k((3)(-6) - (-4)(5))$
$\vec v = \hat i(-24 + 6) - \hat j(18 - 5) + \hat k(-18 + 20)$
$\vec v = -18\hat i - 13\hat j + 2\hat k$.

(B) પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_i = 5\hat{i}\,m/s$.
અંતિમ વેગ $\vec{v}_f = 5\hat{j}\,m/s$.
વેગમાં ફેરફાર $\Delta \vec{v} = \vec{v}_f - \vec{v}_i = 5\hat{j} - 5\hat{i}$.
વેગમાં ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\,m/s$.
$\Delta \vec{v}$ ની દિશા ઉત્તર-પશ્ચિમ છે (કારણ કે તે $-\hat{i} + \hat{j}$ ની દિશામાં છે).
સરેરાશ પ્રવેગ $\vec{a}_{avg} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{5\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,m/s^2$.
આમ,સરેરાશ પ્રવેગ ઉત્તર-પશ્ચિમ દિશામાં $\frac{1}{\sqrt{2}}\,m/s^2$ છે.

(B) ગતિનો કુલ સમય $2 \, min \, 20 \, s = 140 \, s$ છે.
વર્તુળાકાર ગતિનો આવર્તકાળ $40 \, s$ હોવાથી,$140 \, s$ માં પૂર્ણ થયેલા આંટાની સંખ્યા $n = \frac{140}{40} = 3.5$ આંટા છે.
$3$ પૂર્ણ આંટા પછી,એથ્લેટ ફરીથી શરૂઆતના બિંદુ પર પાછો આવે છે. બાકીના $0.5$ આંટા પછી,એથ્લેટ વર્તુળાકાર ટ્રેકના વ્યાસાંત બિંદુએ (સામેના છેડે) હશે.
સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે,જે વર્તુળાકાર ટ્રેકનો વ્યાસ છે.
તેથી,સ્થાનાંતર $2R$ થશે.

(B) ધારો કે બંને છોકરાઓ શરૂઆતથી $t$ સમય પછી $C$ બિંદુએ મળે છે.
$t$ સમયમાં,$B$ થી દોડતો છોકરો $BC = v_1 t$ જેટલું અંતર કાપે છે.
$A$ થી દોડતો છોકરો $AC = v t$ જેટલું અંતર કાપે છે.
કારણ કે $B$ પરનો છોકરો $AB$ ને લંબ દિશામાં દોડે છે,$\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle B = 90^{\circ}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $(AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $(vt)^2 = a^2 + (v_1 t)^2$.
$v^2 t^2 - v_1^2 t^2 = a^2$.
$t^2 (v^2 - v_1^2) = a^2$.
$t = \sqrt{\frac{a^2}{v^2 - v_1^2}}$.

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u_x = 0$,$u_y = 0$. પ્રવેગ $a_x = 6\,m/s^2$,$a_y = 8\,m/s^2$,અને સમય $t = 4\,s$.
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x$-દિશા માટે: $S_x = 0 + \frac{1}{2} \times 6 \times (4)^2 = 3 \times 16 = 48\,m$.
$y$-દિશા માટે: $S_y = 0 + \frac{1}{2} \times 8 \times (4)^2 = 4 \times 16 = 64\,m$.
ઉગમબિંદુથી અંતર $S = \sqrt{S_x^2 + S_y^2}$ દ્વારા મળે છે.
$S = \sqrt{48^2 + 64^2} = \sqrt{2304 + 4096} = \sqrt{6400} = 80\,m$.

(D) કણ દ્વારા અનુસરવામાં આવતા માર્ગનો પ્રકાર વેગ સદિશની દિશા અને પ્રવેગ સદિશની દિશા બંને દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,જો પ્રવેગ હંમેશા વેગને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય,તો માર્ગ સીધી રેખા હોય છે.
જો પ્રવેગ વેગને લંબ હોય અને તેનું મૂલ્ય અચળ હોય,તો માર્ગ વર્તુળાકાર હોય છે.
જો પ્રવેગ અચળ હોય અને પ્રારંભિક વેગ સાથે અમુક ખૂણે હોય,તો માર્ગ પરવલયાકાર હોય છે.
માર્ગ વેગ અને પ્રવેગ બંને વચ્ચેના સંબંધ પર આધાર રાખતો હોવાથી,કોઈપણ એક વિકલ્પ ($A$,$B$,અથવા $C$) માર્ગ નક્કી કરવા માટે પૂરતો નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) જ્યારે કોઈ પથ્થરને વર્તુળાકાર માર્ગે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈપણ બિંદુએ તેનો વેગ સદિશ તે બિંદુએ વર્તુળના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જ્યાં સુધી કોઈ બાહ્ય બળ ન લાગે ત્યાં સુધી ગતિમાન પદાર્થ સુરેખ પથ પર ગતિ ચાલુ રાખે છે.
જ્યારે દોરી છોડી દેવામાં આવે છે,ત્યારે કેન્દ્રગામી બળ (જે દોરીના તણાવ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવતું હતું) નાબૂદ થાય છે.
પરિણામે,પથ્થર તેના તત્કાલીન વેગની દિશામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે,જે મુક્ત કરવાના બિંદુએ વર્તુળાકાર માર્ગના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.

(A) કેન્દ્રગામી બળનું સૂત્ર $F = \frac{mv^2}{r}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે બંને કણો માટે દળ $m$ અને ઝડપ $v$ સમાન છે,તેથી કેન્દ્રગામી બળ $F$ એ ત્રિજ્યા $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $F \propto \frac{1}{r}$.
તેથી,$r_1$ અને $r_2$ ત્રિજ્યા માટે કેન્દ્રગામી બળો $F_1$ અને $F_2$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{1/r_1}{1/r_2} = \frac{r_2}{r_1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણ અચળ કોણીય વેગ $\omega$ સાથે ગતિ કરે છે.
ઝડપ $v = r\omega$ અચળ હોવાથી,ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે ઉર્જા સંરક્ષિત રહે છે.
જોકે,વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v}$ એ સદિશ રાશિ છે. વર્તુળાકાર ગતિમાં,વેગ સદિશ $\vec{v}$ ની દિશા દરેક બિંદુએ સતત બદલાતી રહે છે.
વેગની દિશા બદલાતી હોવાથી,વેગમાન સદિશ $\vec{p}$ પણ સતત બદલાય છે.
તેથી,વેગમાન સંરક્ષિત રહેતું નથી,જ્યારે ઉર્જા સંરક્ષિત રહે છે.

(D) કેન્દ્રગામી બળનું સૂત્ર $F_c = \frac{mv^2}{r}$ છે.
ઝડપ $v$ અચળ રહેતી હોવાથી,દળ $m$ અને વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r$ સમાન રહે છે,તેથી કેન્દ્રગામી બળનું મૂલ્ય બદલાતું નથી.
કેન્દ્રગામી બળ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ જ હોય છે,પછી ભલે પદાર્થ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ગતિ કરે કે તેની વિરુદ્ધ દિશામાં.
તેથી,ગતિની દિશા ઉલટાવવાથી કેન્દ્રગામી બળના મૂલ્ય કે દિશામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આમ,વિધાન $(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(A) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પદાર્થ વર્તુળાકાર માર્ગ પર અચળ ઝડપથી ગતિ કરે છે.
કેન્દ્રગામી બળ $F$ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે અને સ્થાનાંતર $ds$ હંમેશા વર્તુળના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે,તેથી બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ થાય છે.
થયેલું કાર્ય $W$ એ $W = \int F \cdot ds = \int F \cos(90^{\circ}) ds = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,કેન્દ્રગામી બળ દ્વારા પદાર્થ પર કોઈ કાર્ય થતું નથી.

(A) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $\omega$ કોણીય વેગથી ગતિ કરતા પદાર્થનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = \omega^2 r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગ $\omega$ અને આવર્તકાળ $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ હોવાથી,કેન્દ્રગામી પ્રવેગને $a = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$ તરીકે લખી શકાય.
બે પદાર્થો માટે,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_R = \frac{4\pi^2 R}{T_R^2}$ અને $a_r = \frac{4\pi^2 r}{T_r^2}$ છે.
આપેલ છે કે બંનેના આવર્તકાળ સમાન છે,એટલે કે $T_R = T_r = T$.
તેથી,તેમના કેન્દ્રગામી પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{a_R}{a_r} = \frac{4\pi^2 R / T^2}{4\pi^2 r / T^2} = \frac{R}{r}$ થાય.

(D) જ્યારે કાર ઉત્તર દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે પૂર્વ બાજુથી જોતા ટાયર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ફરે છે.
જ્યારે ટાયર પરનો કાદવનો કણ જમીન પર પહોંચે છે,ત્યારે તેનો તાત્ક્ષણિક વેગ આડી રીતે દક્ષિણ દિશામાં હોય છે.
જડત્વના સિદ્ધાંત મુજબ,જ્યારે કાદવનો કણ ટાયર છોડે છે,ત્યારે તે તેના તાત્ક્ષણિક વેગની દિશામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.
તેથી,કાદવના કણો દક્ષિણ દિશામાં ફેંકાય છે.

(D) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરતા કણ પર લાગતું ત્રિજ્યાવર્તી બળ (કેન્દ્રગામી બળ) $F = \frac{mv^2}{r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેખીય વેગમાન $p$ ને $p = mv$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \frac{p}{m}$.
$v$ માટેના આ પદને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = \frac{m}{r} \left( \frac{p}{m} \right)^2$
$F = \frac{m}{r} \cdot \frac{p^2}{m^2}$
$F = \frac{p^2}{mr}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,વેગ સદિશની દિશા સતત બદલાતી રહે છે,પરંતુ તેનું મૂલ્ય અચળ રહે છે.
એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ માટે,કણ તેના પ્રારંભિક સ્થાને તે જ વેગ સદિશ સાથે પાછો ફરે છે જે તેની શરૂઆતમાં હતો.
તેથી,વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{v} = \vec{v}_{final} - \vec{v}_{initial} = 0$ થાય છે.
સરેરાશ પ્રવેગને $\vec{a}_{avg} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જેহেতু $\Delta \vec{v} = 0$ છે,તેથી એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ પર સરેરાશ પ્રવેગ શૂન્ય સદિશ છે.

(D) $m$ દળના પદાર્થને $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $n$ આવૃત્તિ (પરિભ્રમણ પ્રતિ સેકન્ડ) સાથે ફેરવવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ એટલે કે દોરીમાં તણાવ $T = m \omega^2 r = m(2\pi n)^2 r = 4\pi^2 n^2 mr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $m$ અને $r$ અચળ હોવાથી,$T \propto n^2$ થાય.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1 = 5 \, rpm$ અને અંતિમ તણાવ $T_2 = 2T_1$ છે,તેથી ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{2T_1}{T_1}} = \sqrt{2}$.
તેથી,$n_2 = n_1 \times \sqrt{2} = 5 \times 1.414 = 7.07 \, rpm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,નવી ઝડપ આશરે $7 \, rpm$ મળે છે.

(D) સેકન્ડ કાંટાની લંબાઈ $r = 6\,cm = 60\,mm$ છે. સેકન્ડ કાંટાનો આવર્તકાળ $T = 60\,s$ છે.
અંતિમ બિંદુની ઝડપ $v = r\omega = \frac{r \times 2\pi}{T} = \frac{60\,mm \times 2\pi}{60\,s} = 2\pi\,mm/s \approx 6.28\,mm/s$ મળે છે.
બે લંબ સ્થિતિઓ પર,વેગ સદિશો $\vec{v_1}$ અને $\vec{v_2}$ એકબીજાને લંબ હોય છે,જ્યાં $|\vec{v_1}| = |\vec{v_2}| = v = 6.28\,mm/s$ છે.
વેગના તફાવતનું મૂલ્ય $|\Delta\vec{v}| = |\vec{v_2} - \vec{v_1}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 - 2v_1v_2\cos(90^\circ)} = \sqrt{v^2 + v^2} = v\sqrt{2}$ થાય.
તેથી,$|\Delta\vec{v}| = 6.28 \times 1.414 \approx 8.88\,mm/s$ મળે છે.

(D) સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર અને કુલ સમયનો ગુણોત્તર.
$\text{સરેરાશ વેગ} = \frac{\text{કુલ સ્થાનાંતર}}{\text{કુલ સમય}}$
કણ વર્તુળમાં એક પૂર્ણ ચક્ર પૂર્ણ કરે છે,તેથી તે તેના પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછો ફરે છે.
આથી,કુલ સ્થાનાંતર $0 \, m$ થાય છે.
$\text{સરેરાશ વેગ} = \frac{0 \, m}{10 \, s} = 0 \, m/s$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $R = 10 \, m$, આવર્તકાળ $T = 40 \, sec$.
કુલ સમય $t = 2 \, min \ 20 \, sec = (2 \times 60) + 20 = 140 \, sec$.
પરિભ્રમણની સંખ્યા $n = \frac{t}{T} = \frac{140}{40} = 3.5 \, \text{પરિભ્રમણ}$.
કાપેલું અંતર એ કુલ પથ લંબાઈ છે, જે $n \times (2\pi R)$ થાય.
અંતર $= 3.5 \times 2 \times \pi \times 10 = 7 \times \pi \times 10 = 70\pi \approx 70 \times 3.1428 = 220 \, m$.

(B) સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલું અંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ માટે,કાપેલું અંતર એ વર્તુળનો પરિઘ છે,$d = 2 \pi r$.
એક પરિભ્રમણ માટે લાગતો સમય $T = \frac{2 \pi r}{v}$ છે.
તેથી,સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2 \pi r}{T} = \frac{2 \pi r}{(2 \pi r / v)} = v$.
પદાર્થ $31.4 \, m/s$ ની અચળ ઝડપથી ગતિ કરતો હોવાથી,એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ માટે તેની સરેરાશ ઝડપ પણ $31.4 \, m/s$ થશે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 1\, kg$,ત્રિજ્યા $r = 0.1\, m$,આવૃત્તિ $n = 3\, rev/s$.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi n = 2 \times 3.14 \times 3 = 18.84\, rad/s$.
રેખીય વેગ $v = \omega r = 18.84 \times 0.1 = 1.88\, m/s$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = \omega^2 r = (18.84)^2 \times 0.1 = 354.94 \times 0.1 \approx 35.5\, m/s^2$.
દોરીમાં તણાવ $T = m a = 1 \times 35.5 = 35.5\, N$.

(B) જ્યારે સમક્ષિતિજ ગતિ કરતા વિમાનમાંથી બોમ્બ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે મુક્તિના સમયે તેનો સમક્ષિતિજ વેગ વિમાનના વેગ જેટલો જ હોય છે.
હવાના અવરોધની ગેરહાજરીમાં,સમક્ષિતિજ વેગ અચળ રહે છે અને બોમ્બ વિમાનની બરાબર નીચે રહે છે.
જોકે,જ્યારે હવાનો અવરોધ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે,ત્યારે તે સમક્ષિતિજ દિશામાં અવરોધક બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
આ બળને કારણે બોમ્બનો સમક્ષિતિજ વેગ સમય જતાં ઘટતો જાય છે.
વિમાન અચળ સમક્ષિતિજ ઝડપે ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખતું હોવાથી,બોમ્બ વિમાનની પાછળ રહી જશે અને અંતે વિમાનની પાછળ પૃથ્વી પર પડશે.

(C) મહત્તમ ઊંચાઈ માટે,પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 90^\circ$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2(90^\circ)}{2g} = \frac{u^2}{2g} = h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આથી,$u^2 = 2gh$.
મહત્તમ આડી અંતર (અવધિ) માટે,પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 45^\circ$ છે.
મહત્તમ અવધિ $R_{\max} = \frac{u^2 \sin(2 \times 45^\circ)}{g} = \frac{u^2}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_{\max}$ ના સમીકરણમાં $u^2 = 2gh$ મૂકતા,આપણને $R_{\max} = \frac{2gh}{g} = 2h$ મળે છે.

(B) વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમક્ષિતિજ વેગનો ઘટક અચળ રહેતો હોવાથી,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર માત્ર શિરોલંબ ઘટકને કારણે હોય છે.
શરૂઆતનો શિરોલંબ વેગ $v_{iy} = u \sin \theta = 98 \sin 30^\circ = 98 \times 0.5 = 49 \,m/s$.
અંતિમ શિરોલંબ વેગ $v_{fy} = -u \sin \theta = -49 \,m/s$.
શિરોલંબ વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta v_y = v_{fy} - v_{iy} = -49 - 49 = -98 \,m/s$.
વેગમાનના ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta p| = m |\Delta v_y| = 0.5 \times 98 = 49 \,N-s$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$H_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
બીજા કિસ્સા માટે,ખૂણો $(\frac{\pi}{2} - \theta)$ છે,તેથી $H_2 = \frac{u^2 \sin^2(\frac{\pi}{2} - \theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$.
$H_1$ અને $H_2$ નો ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે $H_1 H_2 = \frac{u^4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta}{4g^2} = \frac{u^4 (2 \sin \theta \cos \theta)^2}{16g^2} = \frac{(u^2 \sin 2\theta)^2}{16g^2}$.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ હોવાથી,$H_1 H_2 = \frac{R^2}{16}$ મળે છે.
તેથી,$R^2 = 16 H_1 H_2$,જેનો અર્થ છે કે $R = 4\sqrt{H_1 H_2}$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊભી ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર: $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થો સમાન ઊભી ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે,તેથી: $H_1 = H_2$.
સૂત્ર મૂકતા: $\frac{u_1^2 \sin^2 \theta_1}{2g} = \frac{u_2^2 \sin^2 \theta_2}{2g}$.
બંને બાજુથી $2g$ દૂર કરતા: $u_1^2 \sin^2 45^\circ = u_2^2 \sin^2 60^\circ$.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{u_1}{u_2}$ શોધવા માટે ગોઠવતા: $\frac{u_1^2}{u_2^2} = \frac{\sin^2 60^\circ}{\sin^2 45^\circ}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{u_1}{u_2} = \frac{\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}$.
કિંમતો મૂકતા $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$\frac{u_1}{u_2} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.

(D) જ્યારે કોઈ બળ કણના વેગને લંબ રૂપે લાગે છે,ત્યારે તે વેગનું મૂલ્ય (ઝડપ) બદલતું નથી,માત્ર તેની દિશા બદલે છે. આના પરિણામે નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ થાય છે.
ઝડપ $v$ અચળ રહેતી હોવાથી,ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ અચળ રહે છે.
બળ હંમેશા વેગને લંબ હોવાથી અને બળનું મૂલ્ય અચળ હોવાથી,કણ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
તેથી,વિધાન $(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(B) આપેલ ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = as^2$ છે.
તેથી,$v^2 = \frac{2as^2}{m}$,જેનો અર્થ છે કે $v = s\sqrt{\frac{2a}{m}}$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_R = \frac{v^2}{R} = \frac{2as^2}{mR}$ છે.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = \frac{dv}{dt} = v\frac{dv}{ds}$ છે.
કારણ કે $v = s\sqrt{\frac{2a}{m}}$,તેથી $\frac{dv}{ds} = \sqrt{\frac{2a}{m}}$.
તેથી,$a_t = \left(s\sqrt{\frac{2a}{m}}\right) \left(\sqrt{\frac{2a}{m}}\right) = \frac{2as}{m}$.
કુલ પ્રવેગ $a = \sqrt{a_R^2 + a_t^2} = \sqrt{\left(\frac{2as^2}{mR}\right)^2 + \left(\frac{2as}{m}\right)^2}$ છે.
$\frac{2as}{m}$ સામાન્ય કાઢતા,આપણને $a = \frac{2as}{m} \sqrt{\frac{s^2}{R^2} + 1}$ મળે છે.
કુલ બળ $F = ma = 2as\sqrt{1 + \frac{s^2}{R^2}}$ થાય.

(A) ધારો કે બ્લોકની પ્રારંભિક ઝડપ $v$ છે અને ટ્રેકની ઊંચાઈ $h$ છે. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ટ્રેકના સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ પર બ્લોકની ઝડપ $v'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(v')^2 + mgh$
$v' = \sqrt{v^2 - 2gh}$
તમામ ટ્રેક માટે $v$ અને $h$ સમાન હોવાથી,સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ પર ઝડપ $v'$ પણ તમામ ટ્રેક માટે સમાન રહેશે.
સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ પર,બ્લોક પર લાગતા બળો લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ (નીચેની તરફ) અને વજન $mg$ (નીચેની તરફ) છે. આ બળો જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$N + mg = \frac{m(v')^2}{r}$
$N = \frac{m(v')^2}{r} - mg$
જ્યાં $r$ એ સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ પર વક્રતા ત્રિજ્યા છે.
$N$ મહત્તમ હોવા માટે,પદ $\frac{m(v')^2}{r}$ મહત્તમ હોવું જોઈએ. $m$ અને $v'$ અચળ હોવાથી,જ્યારે વક્રતા ત્રિજ્યા $r$ ન્યૂનતમ હોય ત્યારે $N$ મહત્તમ થાય છે.
ચાર ટ્રેકની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ ટ્રેકની વક્રતા ત્રિજ્યા તેના સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ પર સૌથી ઓછી છે. તેથી,ટ્રેક $A$ માં લંબ પ્રતિક્રિયા મહત્તમ હશે.

(A) સમાનતાને કારણે,કોઈપણ ક્ષણે,ચાર વ્યક્તિઓ એક એવા ચોરસના ખૂણા પર હશે જેની બાજુની લંબાઈ ધીમે ધીમે ઘટે છે. તેઓ અંતે ચોરસના કેન્દ્ર $O$ પર મળશે.
દરેક વ્યક્તિનો વેગ $v$ છે. કોઈપણ ક્ષણે,કેન્દ્ર $O$ તરફ નિર્દેશિત વ્યક્તિના વેગનો ઘટક $v \cos(45^{\circ}) = \frac{v}{\sqrt{2}}$ છે.
કેન્દ્ર $O$ થી દરેક વ્યક્તિનું પ્રારંભિક અંતર ચોરસના વિકર્ણનું અડધું છે,જે $\frac{d\sqrt{2}}{2} = \frac{d}{\sqrt{2}}$ છે.
કેન્દ્ર સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય એ ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં વેગના ઘટક વડે ભાગાકાર કરેલ અંતર છે:
$t = \frac{\text{અંતર}}{\text{વેગનો ઘટક}} = \frac{d/\sqrt{2}}{v/\sqrt{2}} = \frac{d}{v}$.

(D) $x = a \cos(pt)$ અને $y = b \sin(pt)$ (આપેલ છે).
$\therefore \cos(pt) = x/a$ અને $\sin(pt) = y/b$.
બંને બાજુ વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$\cos^2(pt) + \sin^2(pt) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.
આથી,કણનો પથ લંબગોળ છે.
હવે,$x$ અને $y$ નું સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$v_x = \frac{dx}{dt} = -ap \sin(pt)$ અને $v_y = \frac{dy}{dt} = bp \cos(pt)$.
$\vec{v} = -ap \sin(pt) \hat{i} + bp \cos(pt) \hat{j}$.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -ap^2 \cos(pt) \hat{i} - bp^2 \sin(pt) \hat{j}$.
$t = \frac{\pi}{2p}$ સમયે:
$\vec{v} = -ap \sin(\pi/2) \hat{i} + bp \cos(\pi/2) \hat{j} = -ap \hat{i}$.
$\vec{a} = -ap^2 \cos(\pi/2) \hat{i} - bp^2 \sin(\pi/2) \hat{j} = -bp^2 \hat{j}$.
કારણ કે $\vec{v} \cdot \vec{a} = (-ap \hat{i}) \cdot (-bp^2 \hat{j}) = 0$,તેથી $t = \frac{\pi}{2p}$ સમયે વેગ અને પ્રવેગ એકબીજાને લંબ છે.

(B) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_1 = 5\,\hat{i}\,m/s$
અંતિમ વેગ $\vec{v}_2 = 5\,\hat{j}\,m/s$
સમયગાળો $\Delta t = 10\,s$
વેગમાં ફેરફાર $\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 = (5\,\hat{j} - 5\,\hat{i})\,m/s$
વેગમાં ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\,m/s$
સરેરાશ પ્રવેગ $\vec{a}_{avg} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{5\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,m/s^2$
$\Delta \vec{v}$ ની દિશા $(5\,\hat{j} - 5\,\hat{i})$ સદિશ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જે ઉત્તર-પશ્ચિમ દિશા તરફ નિર્દેશ કરે છે.
આમ,સરેરાશ પ્રવેગ ઉત્તર-પશ્ચિમ દિશામાં $\frac{1}{\sqrt{2}}\,m/s^2$ છે.

(C) કોઈપણ સમયે $(t)$ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ઊંચાઈ $(h)$ ગતિના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $h = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$,જ્યાં $u_y$ એ વેગનો પ્રારંભિક ઉર્ધ્વ ઘટક છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
આ સમીકરણ $y = ax - bx^2$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે નીચેની તરફ ખુલતા પરવલય (parabola) ને દર્શાવે છે.
જ્યારે કોઈ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને જમીન પરથી ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે $t = 0$ સમયે $h = 0$ થી શરૂ થાય છે,મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે અને ત્યારબાદ ઉડ્ડયન સમયના અંતે પાછો $h = 0$ પર આવે છે.
આલેખ $C$ આ પરવલયાકાર માર્ગને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે,જે ઉગમબિંદુથી શરૂ થાય છે,ટોચ પર પહોંચે છે અને આડા અક્ષ પર પાછો આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) કાર અચળ વેગથી ગતિ કરતી હોવાથી,દડાને ફેંકતી વખતે દડા પાસે પણ કાર અને વ્યક્તિ જેટલો જ સમક્ષિતિજ વેગ હોય છે.
દડા પર કોઈ સમક્ષિતિજ પ્રવેગ લાગતો ન હોવાથી,તેની ગતિ દરમિયાન તેનો સમક્ષિતિજ વેગ અચળ રહે છે.
વ્યક્તિ અને દડો બંને સમાન સમયગાળામાં સમાન સમક્ષિતિજ અંતર કાપે છે.
પરિણામે,જમીનની સાપેક્ષમાં પરવલયાકાર માર્ગ અનુસર્યા પછી,દડો બરાબર તે જ હાથમાં પાછો પડે છે જેણે તેને ઉપર ફેંક્યો હતો.

(A) બ્લોક $v_x = 1.5\,m/s$ ના અચળ સમક્ષિતિજ વેગથી ગતિ કરે છે. $t = 4\,s$ માં કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $S_x = v_x \times t = 1.5 \times 4 = 6\,m$ છે.
લંબ બળ $F = 5\,N$ ને કારણે ઉર્ધ્વ દિશામાં પ્રવેગ $a_y = F/m = 5/5 = 1\,m/s^2$ ઉત્પન્ન થાય છે.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરીને $t = 4\,s$ માં કાપેલું ઉર્ધ્વ અંતર $S_y = \frac{1}{2} a_y t^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times 4^2 = 8\,m$ છે.
શરૂઆતના બિંદુથી કુલ અંતર $S = \sqrt{S_x^2 + S_y^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\,m$ થાય.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 2 \, kg$,$OE$ ની દિશામાં પ્રારંભિક વેગ $u_x = 3 \, m/s$,$OE$ ને લંબ દિશામાં ($OF$ ની દિશામાં) બળ $F = 4 \, N$,સમય $t = 4 \, s$.
$1$. $OE$ ($x$-અક્ષ) ની દિશામાં સ્થાનાંતર:
$OE$ ની દિશામાં કોઈ બળ ન હોવાથી,વેગ અચળ રહે છે.
$s_x = u_x \times t = 3 \times 4 = 12 \, m$.
$2$. $OF$ ($y$-અક્ષ) ની દિશામાં સ્થાનાંતર:
પ્રવેગ $a_y = \frac{F}{m} = \frac{4}{2} = 2 \, m/s^2$.
$OF$ ની દિશામાં પ્રારંભિક વેગ $u_y = 0$ હોવાથી,સ્થાનાંતર:
$s_y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times (4)^2 = 16 \, m$.
$3$. $O$ થી કુલ સ્થાનાંતર:
$s = \sqrt{s_x^2 + s_y^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \, m$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 10\sqrt{2} \, m/s$ (ઉત્તર-પૂર્વ),પ્રવેગ $\vec{a} = 2 \, m/s^2$ (દક્ષિણ),સમય $t = 5 \, s$.
ધારો કે પૂર્વ દિશા $x$-અક્ષ છે અને ઉત્તર દિશા $y$-અક્ષ છે.
પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 10\sqrt{2} \cos(45^\circ) \hat{i} + 10\sqrt{2} \sin(45^\circ) \hat{j} = 10 \hat{i} + 10 \hat{j} \, m/s$.
પ્રવેગ $\vec{a} = 0 \hat{i} - 2 \hat{j} \, m/s^2$.
અંતિમ વેગ $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t = (10 \hat{i} + 10 \hat{j}) + (0 \hat{i} - 2 \hat{j}) \times 5 = 10 \hat{i} + (10 - 10) \hat{j} = 10 \hat{i} \, m/s$.
વેગનું મૂલ્ય $v = |10 \hat{i}| = 10 \, m/s$ છે.
દિશા ધન $x$-અક્ષની દિશામાં છે,જે પૂર્વ તરફ છે.

(A) આપેલ છે,રેખીય વેગ $v = 72 \, km/hr = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \, m/s.$
પૈડાની ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25 \, m.$
પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = \frac{v}{r} = \frac{20}{0.25} = 80 \, rad/s.$
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_2 = 0$ (કારણ કે પૈડાં અટકી જાય છે).
કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 20 \text{ પરિભ્રમણ} = 20 \times 2\pi = 40\pi \, rad.$
ગતિના સમીકરણ $\omega_2^2 - \omega_1^2 = 2\alpha\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 - (80)^2 = 2 \times \alpha \times (40\pi).$
$-6400 = 80\pi \alpha.$
$\alpha = -\frac{6400}{80\pi} = -\frac{80}{\pi} \approx -25.46 \, rad/s^2.$
નજીકની કિંમત લેતા,કોણીય પ્રતિપ્રવેગ $-25.5 \, rad/s^2$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 30\, cm = 0.3\, m$. પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 2\, rev/s = 2 \times 2\pi\, rad/s = 4\pi\, rad/s$. અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 0\, rad/s$. પટ્ટા દ્વારા કાપેલ અંતર $s = 25\, m$.
પટ્ટો પૈડા પરથી પસાર થતો હોવાથી,પટ્ટા દ્વારા કાપેલ રેખીય અંતર $s$ એ પૈડા દ્વારા કાપેલ ચાપની લંબાઈ જેટલું હોય છે: $s = r\theta$,જ્યાં $\theta$ એ કોણીય સ્થાનાંતર છે.
$\theta = s / r = 25 / 0.3 = 83.33\, rad$.
ચાકગતિ માટેના ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta$.
કિંમતો મૂકતા: $0^2 = (4\pi)^2 + 2 \times \alpha \times 83.33$.
$0 = 157.91 + 166.66\alpha$.
$\alpha = -157.91 / 166.66 \approx -0.947\, rad/s^2$.
આમ,પ્રતિપ્રવેગનું મૂલ્ય આશરે $0.94\, rad/s^2$ છે.

(A) એક પરિભ્રમણમાં પૈડા દ્વારા કાપેલું અંતર તેના પરિઘ જેટલું હોય છે,જે $C = \pi D$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D$ એ પૈડાનો વ્યાસ છે.
$2000$ પરિભ્રમણમાં કાપેલું કુલ અંતર $2000 \times \pi D$ છે.
આપેલ છે કે કુલ અંતર $9.5\,km = 9500\,m$ છે,તેથી આપણે સમીકરણ બનાવીએ:
$2000 \times \pi \times D = 9500$
$D$ માટે ઉકેલતા:
$D = \frac{9500}{2000 \times \pi}$
$D = \frac{9.5}{2 \times 3.14159}$
$D \approx \frac{9.5}{6.283}$
$D \approx 1.51\,m$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,વ્યાસ $1.5\,m$ છે.

(B) કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = k^2rt^2$ આપેલ છે.
$a_c = \frac{v^2}{r}$ હોવાથી,$\frac{v^2}{r} = k^2rt^2$ મળે.
વેગ $v$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$v = krt$ મળે.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t$ એ ઝડપમાં થતો ફેરફાર છે: $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(krt) = kr$.
કણ પર લાગતું સ્પર્શકીય બળ $F_t = m a_t = mkr$ થાય.
બળ દ્વારા મળતો પાવર $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$ છે. કેન્દ્રગામી બળ વેગને લંબ હોવાથી તે કોઈ કાર્ય કરતું નથી. માત્ર સ્પર્શકીય બળ જ પાવરમાં ફાળો આપે છે: $P = F_t \cdot v$.
કિંમતો મૂકતા,$P = (mkr) \cdot (krt) = mk^2r^2t$.

(C) કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{r} = k^2 r t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,વેગનો વર્ગ $v^2 = k^2 r^2 t^2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $v = k r t$.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(k r t) = k r$ છે.
સ્પર્શકીય બળ $F_t = m a_t = m k r$ છે.
બળ દ્વારા મળતો પાવર $P = F_t \cdot v$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$P = (m k r) \cdot (k r t) = m k^2 r^2 t$.

(A) ધારો કે કણ $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $v_1$ છે અને કણ $B$ નો પ્રારંભિક વેગ $v_2$ છે.
કણ $A$ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H_A = \frac{v_1^2}{2g}$ છે.
કણ $B$ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H_B = \frac{v_2^2 \sin^2(45^{\circ})}{2g} = \frac{v_2^2}{2g} \cdot \frac{1}{2} = \frac{v_2^2}{4g}$ છે.
આપેલ છે કે $H_A = H_B$,તેથી $\frac{v_1^2}{2g} = \frac{v_2^2}{4g}$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $v_1^2 = \frac{v_2^2}{2}$ મળે છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_A}{K_B} = \frac{\frac{1}{2} m v_1^2}{\frac{1}{2} m v_2^2} = \frac{v_1^2}{v_2^2}$ થાય.
$v_1^2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{K_A}{K_B} = \frac{v_2^2 / 2}{v_2^2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(A) વર્તુળાકાર ગતિ કરતા કણનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v = \omega r$ અને $\omega = 2\pi f$ હોવાથી,આપણને $r = v / (2\pi f)$ મળે છે.
$r$ ની કિંમત $L$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $L = mv(v / 2\pi f) = mv^2 / 2\pi f$.
ગતિ ઊર્જા $KE = (1/2)mv^2$ હોવાથી,આપણે $mv^2 = 2KE$ લખી શકીએ.
તેથી,$L = (2KE) / (2\pi f) = KE / (\pi f)$.
નવી આવૃત્તિ $f' = 2f$ અને નવી ગતિ ઊર્જા $KE' = KE/2$ આપેલ છે,તેથી નવું કોણીય વેગમાન $L'$ નીચે મુજબ થશે:
$L' = KE' / (\pi f') = (KE/2) / (\pi \times 2f) = KE / (4\pi f) = L/4$.

(C) પૈડા દ્વારા કાપેલું રેખીય અંતર $L$ અને કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ વચ્ચેનો સંબંધ $L = r \theta$ છે.
અહીં,વ્યાસ $d = 60 \ cm = 0.6 \ m$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 0.3 \ m$ થાય.
કાપેલું અંતર $L = 1.2 \ km = 1200 \ m$ છે.
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = \frac{L}{r}$ મુજબ,
$\theta = \frac{1200}{0.3} = 4000 \ rad$ થાય.
પરંતુ આપેલા વિકલ્પો મુજબ,જો આપણે ગણતરી કરીએ તો $2000 \ rad$ જવાબ મેળવવા માટે ત્રિજ્યા $0.6 \ m$ લેવી પડે. તેથી,આપેલ વિકલ્પ $C$ મુજબ $2000 \ rad$ સાચો જવાબ ગણાય.

(D) પ્રથમ $5 \ s$ માટે: $\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + (0.4)(5) = 2 \ rad \ s^{-1}$.
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta_1$ માટે સૂત્ર $\omega^2 - \omega_0^2 = 2\alpha\theta_1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\theta_1 = \frac{2^2 - 0^2}{2(0.4)} = \frac{4}{0.8} = 5 \ rad$.
ત્યારબાદના $30 \ s$ માટે,કોણીય વેગ $2 \ rad \ s^{-1}$ અચળ રહે છે.
$\theta_2 = \omega t = 2 \times 30 = 60 \ rad$.
અંતિમ પ્રતિપ્રવેગના તબક્કા માટે: $\omega_0 = 2 \ rad \ s^{-1}$,$\omega = 0$,$\alpha = -0.4 \ rad \ s^{-2}$.
$\theta_3 = \frac{\omega^2 - \omega_0^2}{2\alpha} = \frac{0^2 - 2^2}{2(-0.4)} = \frac{-4}{-0.8} = 5 \ rad$.
કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = \theta_1 + \theta_2 + \theta_3 = 5 + 60 + 5 = 70 \ rad$.
રેખીય અંતર $l = r\theta = 3 \times 70 = 210 \ m$.