દ્વિપરિમાણમાં ગતિનો અભ્યાસ કરવા સ્થાન, વેગ અને પ્રવેગને સદિશ સ્વરૂપમાં $\vec A \, = \,{A_x}\widehat i\, + {A_y}\widehat j$ વડે રજૂ કરાય છે. જ્યાં $\widehat i$ અને $\widehat j$ એ અનુક્રમે $x-$ અક્ષ અને $y-$ અક્ષની દિશામાંના એકમ સદિશ છે તથા $A_x$ અને $A_y$ એ અનુક્રમે $x-$ અક્ષ અને $y-$ અક્ષની દિશામાંના ઘટકો છે. આવી ગતિનો અભ્યાસ વર્તુળાકાર ઘુવીય યામોના રૂપમાં પણ કરી શકાય. જેમાં $\overrightarrow A \, = \,{A_r}\widehat r\,\, + \,{A_\theta }\hat \theta $, જ્યાં $r\, = \,\frac{{\overrightarrow r \,}}{r}\, = \,\cos \,\theta \widehat {i\,}\, + \,\sin \,\theta \,\widehat j$ અને $\hat \theta  =  - \sin \,\theta \,\widehat i + \cos \,\theta \,\widehat j\,$ તથા $\widehat r\,$ અને $\widehat \theta $ એ વધતાં મૂલ્યની દિશામાંના એકમ સદિશો છે, તો ......

$(a)$ ${\widehat {i\,}}$ અને ${\widehat {j\,}}$ ને ${\widehat {r\,}}$ અને ${\widehat {\theta }}$ ના સ્વરૂપમાં રજૂ કરો.

$(b)$ દર્શાવો કે $\widehat r$ અને $\widehat \theta $ બંને પરસ્પર લંબ એકમ સદિશો છે.

(c) દર્શાવો કે

$\frac{d}{{dr}}(\widehat r)\, = \,\omega \hat \theta \,$, જ્યાં $\omega \, = \,\frac{{d\theta }}{{dt}}$ અને $\frac{d}{{dt}}(\widehat \theta )\, = \, - \omega \widehat r\,$.

$(d)$ સ્પાયરલ ગતિ કરતા કણની ગતિ $\overrightarrow r \, = \,a\theta \widehat r$ વડે આપવામાં આવે છે. જ્યાં $a = 1$ તથા $a$ નું પારિમાણિક સૂત્ર મેળવો. 

$(e) $ સ્પાયરલ ગતિ કરતાં કણ માટે વેગ અને પ્રવેગને ધ્રુવીય સદિશોના સ્વરૂપમાં દર્શાવો.

$\hat{r}$$=\cos \theta \hat{i}+\sin \theta \hat{j}$

$\hat{\theta}$$=-\sin \theta \hat{i}+\cos \theta \hat{j}$

સમી. $(1)$ને $\sin \theta$ અને સમી.$(2)$ને $\cos \theta$ વડે ગુણી સરવાળો કરતાં,

$\hat{r} \sin \theta+\hat{\theta} \cos \theta=\sin \theta \cos \theta \hat{i}+\sin ^{2} \theta \hat{j}-\sin \theta \cos \theta \hat{i}+\cos ^{2} \theta \hat{j}$

$=\sin ^{2} \theta \hat{i}+\cos ^{2} \theta \hat{j}$

$\hat{r} \sin \theta+\hat{\theta} \cos \theta=\hat{j} \quad \ldots(1)\left(\because \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1\right)$

હવે સમી.$(1)$ને $\cos \theta$ અને સમી.$(2)$ને $\sin \theta$ વડે ગુણી બાદબાકી કરતાં,

$\hat{r} \cos \theta-\hat{\theta} \sin \theta=\cos ^{2} \theta \hat{i}+\sin \theta \cos \theta \hat{j}+\sin ^{2} \theta \hat{i}-\sin \theta \cos \theta \hat{j}$

$=\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right) \hat{i}$

$\hat{r} \cos \theta-\hat{\theta} \sin \theta=\hat{i} \quad \ldots(2)\left[\because \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1\right]$

$(b)$ 

$\hat{r} \cdot \hat{\theta}$$=(\cos \theta \hat{i}+\sin \theta \hat{j}) \cdot(-\sin \theta \hat{i}+\cos \theta \hat{j})$

$=-\sin \theta \cos \theta+\sin \theta \cos \theta$

$=0$

$\therefore \hat{r} \perp \hat{\theta}$

$\hat{r}=\cos \theta \hat{i}+\sin \theta \hat{j}$

$\therefore \frac{d \hat{r}}{d t}=-\sin \theta \frac{d \theta}{d r} \hat{i}+\cos \theta \frac{d \theta}{d t} \hat{j}$

પણ $\frac{d \theta}{d t}=\omega$ મૂકતાં,

$\frac{d \hat{r}}{d t}=-\omega \sin \hat{i}+\omega \cos \theta \hat{j}$

$=\omega[-\sin \theta \hat{i}+\cos \theta j]$

$\therefore \frac{d \hat{r}}{d t}=\omega \hat{\theta} \quad(\because \hat{\theta}=-\sin \theta \hat{i}+\cos \theta \hat{j})$

$\vec{r}=a \theta \hat{r}$

$\therefore|\vec{r}|=a \theta$

$\therefore a=\frac{|\vec{r}|}{\theta}$