Kinematics Circular Motion (Uniform Angular Accelaration) Questions in Gujarati

(D) સેકન્ડ કાંટાની લંબાઈ $r = 1 \, cm$ છે. સેકન્ડ કાંટાનો આવર્તકાળ $T = 60 \, s$ છે.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{60} = \frac{\pi}{30} \, rad/s$ છે.
કાંટાના છેડાનો રેખીય વેગ $v = r\omega = 1 \times \frac{\pi}{30} = \frac{\pi}{30} \, cm/s$ થાય.
$15 \, s$ માં,સેકન્ડ કાંટો $\theta = \omega t = \frac{\pi}{30} \times 15 = \frac{\pi}{2} = 90^\circ$ જેટલો ખૂણો ફરે છે.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta v = |\vec{v}_f - \vec{v}_i| = 2v \sin(\theta/2)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta v = 2 \times \left(\frac{\pi}{30}\right) \sin(90^\circ/2) = 2 \times \frac{\pi}{30} \times \sin(45^\circ)$.
$\Delta v = 2 \times \frac{\pi}{30} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi\sqrt{2}}{30} \, cm/s$.

(B) પરિભ્રમણ કરતા તારાના વિષુવવૃત્ત પર રહેલા પદાર્થનો પ્રવેગ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે,જે $a = \omega^2 r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આવૃત્તિ $n = 1 \, rev/sec$ છે,તેથી કોણીય વેગ $\omega = 2\pi n = 2\pi \, rad/sec$ થાય.
ત્રિજ્યા $r = 20 \, km = 20 \times 10^3 \, m$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = (2\pi \times 1)^2 \times (20 \times 10^3)$
$a = 4\pi^2 \times 20 \times 10^3$
$\pi^2 \approx 10$ લેતા:
$a \approx 4 \times 10 \times 20 \times 10^3 = 800 \times 10^3 = 8 \times 10^5 \, m/sec^2$.

(B) પાંખિયાના છેડા પરના બિંદુનો પ્રવેગ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે,જે $a = \omega^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,કોણીય વેગને $r.p.m.$ માંથી $rad/s$ માં રૂપાંતરિત કરો:
$\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times \frac{1200}{60} = 40 \pi \, rad/s$.
ત્રિજ્યા $R = 30 \, cm = 0.3 \, m$ આપેલ છે.
હવે,પ્રવેગની ગણતરી કરો:
$a = (40 \pi)^2 \times 0.3$
$a = 1600 \times \pi^2 \times 0.3$
$\pi^2 \approx 9.87$ લેતા:
$a = 1600 \times 9.87 \times 0.3 = 4737.6 \, m/s^2$.
નજીકની કિંમત લેતા,આપણને $a \approx 4740 \, m/s^2$ મળે છે.

(C) કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગ $\omega$ માં થતા ફેરફારનો દર છે.
ગાણિતિક રીતે,$\alpha = \frac{d\omega}{dt}$.
અહીં પદાર્થ અચળ કોણીય વેગથી ગતિ કરે છે,તેથી $\omega = \text{અચળ}$.
તેથી,અચળ પદનું વિકલન શૂન્ય થાય છે,એટલે કે $\alpha = 0$.

(B) રેખીય વેગ $(v)$ અને કોણીય વેગ $(\omega)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = r \times \omega$
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $(r)$ = $0.5\, m$
કોણીય વેગ $(\omega)$ = $70\, rad/s$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v = 0.5\, m \times 70\, rad/s = 35\, m/s$
તેથી,પૈડાંનો રેખીય વેગ $35\, m/s$ છે.

(D) ઘડિયાળના સેકન્ડ કાંટાનો આવર્તકાળ $T = 60 \, s$ છે.
કોણીય વેગ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2 \times 3.14159}{60} \approx 0.1047 \, rad/s$ છે.
કાંટાની લંબાઈ $r = 3 \, cm = 3 \times 10^{-2} \, m$ છે.
છેડાનો રેખીય વેગ $v$ શોધવા માટે $v = \omega r$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$v = 0.1047 \times 3 \times 10^{-2} = 0.00314 \, m/s$.

(C) આપેલ છે કે પૈડું સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક કોણીય વેગ ${\omega _0} = 0$ છે. ધારો કે સમાન કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ છે.
કોણીય સ્થાનાંતર માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\theta = {\omega _0}t + \frac{1}{2}\alpha {t^2}$.
પ્રથમ $2 \ s$ માટે $(t = 2 \ s)$: ${\theta _1} = 0 + \frac{1}{2}\alpha {(2)^2} = 2\alpha$ ... $(i)$.
કુલ $4 \ s$ સમય માટે $(t = 2 + 2 = 4 \ s)$: ${\theta _1} + {\theta _2} = 0 + \frac{1}{2}\alpha {(4)^2} = 8\alpha$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા: ${\theta _2} = 8\alpha - 2\alpha = 6\alpha$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{{\theta _2}}{{\theta _1}} = \frac{6\alpha}{2\alpha} = 3$ થાય.

(D) પદાર્થનું કોણીય સ્થાન $\theta = \theta_0 + \theta_1 t + \theta_2 t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગ $\omega$ એ કોણીય સ્થાનનું સમયની સાપેક્ષે પ્રથમ વિકલન છે:
$\omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt}(\theta_0 + \theta_1 t + \theta_2 t^2) = \theta_1 + 2\theta_2 t$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ એ કોણીય વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે:
$\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}(\theta_1 + 2\theta_2 t) = 2\theta_2$.
આમ,પદાર્થનો કોણીય પ્રવેગ $2\theta_2$ છે.

(B) આપેલ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = k^2 r t^2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a_c = \frac{v^2}{r}$,જ્યાં $v$ એ કણની ઝડપ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{v^2}{r} = k^2 r t^2$.
આથી $v^2 = k^2 r^2 t^2$,એટલે કે $v = krt$.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(krt) = kr$ થાય.
કણ પર લાગતું સ્પર્શકીય બળ $F_t = m a_t = mkr$ છે.
કણને આપવામાં આવતો પાવર $P$ એ સ્પર્શકીય બળ અને વેગનો ગુણાકાર છે: $P = F_t \cdot v = (mkr) \cdot (krt) = m k^2 r^2 t$.

(D) કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 0.025t^2 - 0.1t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગ $\omega$ એ સમયની સાપેક્ષમાં કોણીય સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે:
$\omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt}(0.025t^2 - 0.1t) = 0.05t - 0.1 \, rad/s$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ એ સમયની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગનું વિકલન છે:
$\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}(0.05t - 0.1) = 0.05 \, rad/s^2$.
પરિણામ સમય $t$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,કોણીય પ્રવેગ $0.05 \, rad/s^2$ જેટલો અચળ રહે છે.

(D) પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ,$\omega_1 = 1200 \ rpm = \frac{1200 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 40\pi \ rad/s$.
અંતિમ કોણીય ઝડપ,$\omega_2 = 4500 \ rpm = \frac{4500 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 150\pi \ rad/s$.
સમયગાળો,$t = 10 \ s$.
કોણીય પ્રવેગ,$\alpha = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t} = \frac{150\pi - 40\pi}{10} = \frac{110\pi}{10} = 11\pi \ rad/s^2$.
$rad/s^2$ ને $deg/s^2$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{180}{\pi}$ વડે ગુણો:
$\alpha = 11\pi \times \frac{180}{\pi} = 11 \times 180 = 1980 \ deg/s^2$.

(D) કોણીય વેગ $\omega$ એ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષે પ્રથમ વિકલન છે:
$\omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt}(at + bt^2 + ct^3) = a + 2bt + 3ct^2$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ એ કોણીય વેગ $\omega$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન છે:
$\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}(a + 2bt + 3ct^2) = 0 + 2b + 6ct$.
તેથી,કોણીય પ્રવેગ $2b + 6ct$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = 0 \ rad/sec$,અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_2 = 60 \ rad/sec$,અને સમય $t = 5 \ sec$.
સૌ પ્રથમ,$\alpha = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ શોધો.
$\alpha = \frac{60 - 0}{5} = 12 \ rad/sec^2$.
હવે,ગતિના સમીકરણ $\theta = \omega_1 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$ નો ઉપયોગ કરીને કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ શોધો.
$\theta = 0 \times 5 + \frac{1}{2} \times 12 \times (5)^2$.
$\theta = 6 \times 25 = 150 \ rad$.

(C) આપેલ છે કે પૈડું સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક કોણીય વેગ ${\omega _0} = 0$ છે. ધારો કે સમાન કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ છે.
કોણીય સ્થાનાંતર માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\theta = {\omega _0}t + \frac{1}{2}\alpha {t^2}$.
પ્રથમ $1 \ s$ માટે $(t = 1 \ s)$: ${\theta _1} = 0(1) + \frac{1}{2}\alpha {(1)^2} = \frac{\alpha }{2}$ ......$(i)$.
કુલ $2 \ s$ સમય માટે $(t = 2 \ s)$: કુલ કોણીય સ્થાનાંતર ${\theta _{total}} = {\theta _1} + {\theta _2}$ છે.
${\theta _1} + {\theta _2} = 0(2) + \frac{1}{2}\alpha {(2)^2} = 2\alpha$ ......$(ii)$.
${\theta _2}$ શોધવા માટે સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
${\theta _2} = 2\alpha - \frac{\alpha }{2} = \frac{{3\alpha }}{2}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{{{\theta _2}}}{{{\theta _1}}}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{{{\theta _2}}}{{{\theta _1}}} = \frac{{3\alpha / 2}}{{\alpha / 2}} = 3$.

(D) પરિભ્રમણોની સંખ્યા એ કોણીય વેગ-સમયના ગ્રાફ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલી હોય છે.
આ ગ્રાફ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ (trapezium) છે,જેની સમાંતર બાજુઓ $t_1 = 3.5 \text{ min}$ ($t=0$ થી $t=3.5$ સુધી) અને $t_2 = 2.5 \text{ min}$ ($t=1$ થી $t=3.5$ સુધી) છે,અને ઊંચાઈ $h = 3000 \text{ rev/min}$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે ક્ષેત્રફળને ત્રિકોણ,લંબચોરસ અને બીજા ત્રિકોણના સરવાળા તરીકે ગણી શકીએ છીએ:
ક્ષેત્રફળ = ($0$ થી $1$ સુધીના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ) + ($1$ થી $3.5$ સુધીના લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ) + ($3.5$ થી $5$ સુધીના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ)
ક્ષેત્રફળ = $(\frac{1}{2} \times 1 \times 3000) + (2.5 \times 3000) + (\frac{1}{2} \times 1.5 \times 3000)$
ક્ષેત્રફળ = $1500 + 7500 + 2250 = 11250 \text{ પરિભ્રમણો}$.

(A) કણનો રેખીય વેગ $\vec{v}$ એ કોણીય વેગ $\vec{\omega}$ અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \vec{r} \times \vec{\omega}$
અહીં $\vec{r} = (3\hat{i} + 4\hat{j} + 0\hat{k}) \text{ m}$ અને $\vec{\omega} = (0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}) \text{ rad/s}$ આપેલ છે.
નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરીને સદિશ ગુણાકાર ગણતા:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
$\vec{v} = \hat{i}(4 \times 2 - 0 \times 1) - \hat{j}(3 \times 2 - 0 \times 0) + \hat{k}(3 \times 1 - 4 \times 0)$
$\vec{v} = \hat{i}(8 - 0) - \hat{j}(6 - 0) + \hat{k}(3 - 0)$
$\vec{v} = 8\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k} \text{ m/s}$.

(B) પૈડાની ત્રિજ્યા $r = 30 \ cm = 0.3 \ m$ છે.
પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_0 = 2 \ rev/s = 2 \times 2\pi \ rad/s = 4\pi \ rad/s$ છે.
પસાર થયેલ પટ્ટાની લંબાઈ $s = 25 \ m$ છે.
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = \frac{s}{r} = \frac{25}{0.3} = 83.33 \ rad$ મળે છે.
પૈડું સ્થિર થાય છે,તેથી અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega = 0$ છે.
ગતિના સમીકરણ $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = (4\pi)^2 + 2 \times \alpha \times 83.33$.
$\alpha = -\frac{16\pi^2}{166.66} \approx -\frac{157.91}{166.66} \approx -0.947 \ rad \ s^{-2}$.
આમ,કોણીય પ્રતિપ્રવેગ $-0.95 \ rad \ s^{-2}$ મળે છે.

(D) કુલ પરિભ્રમણની સંખ્યા એ $\omega-t$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલી હોય છે.
આ આલેખ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ (trapezoid) છે,જેની સમાંતર બાજુઓની લંબાઈ $t_1 = (3.5 - 1) = 2.5 \text{ min}$ અને $t_2 = 5 \text{ min}$ છે,અને ઊંચાઈ $h = 3000 \text{ rev/min}$ છે.
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times (2.5 + 5) \times 3000$
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times 7.5 \times 3000$
ક્ષેત્રફળ = $7.5 \times 1500 = 11250 \text{ પરિભ્રમણ}$.

(D) પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = 1200 \ rpm = \frac{1200 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 40\pi \ rad/s$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_2 = 4500 \ rpm = \frac{4500 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 150\pi \ rad/s$.
સમયગાળો $\Delta t = 10 \ s$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega_2 - \omega_1}{\Delta t} = \frac{150\pi - 40\pi}{10} = \frac{110\pi}{10} = 11\pi \ rad/s^2$.
ડિગ્રી પ્રતિ સેકન્ડ$^2$ $(deg/s^2)$ માં રૂપાંતર કરવા માટે,$\frac{180}{\pi}$ વડે ગુણતા:
$\alpha = 11\pi \times \frac{180}{\pi} = 11 \times 180 = 1980 \ deg/s^2$.

(B) આપેલ છે:
પ્રારંભિક કોણીય વેગ,$\omega_0 = 2 \ rad \ s^{-1}$
કોણીય પ્રવેગ,$\alpha = 3 \ rad \ s^{-2}$
સમય,$t = 2 \ s$
ચાકગતિ માટેના ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\theta = (2)(2) + \frac{1}{2}(3)(2)^2$
$\theta = 4 + \frac{1}{2}(3)(4)$
$\theta = 4 + 6 = 10 \ rad$

(A) આપેલ છે:
પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ,$\omega_0 = 2 \ rad/s$
કોણીય પ્રવેગ,$\alpha = 3 \ rad/s^2$
સમય,$t = 2 \ s$
ચાકગતિ માટેના ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\theta = (2)(2) + \frac{1}{2} (3) (2)^2$
$\theta = 4 + \frac{1}{2} (3) (4)$
$\theta = 4 + 6$
$\theta = 10 \ rad$
આમ,કોણીય સ્થાનાંતર $10 \ rad$ થશે.

(C) શરૂઆતનો કોણીય વેગ $\omega_0 = 1200 \ rpm = \frac{1200 \times 2\pi}{60} \ rad \ s^{-1} = 40\pi \ rad \ s^{-1}$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 0 \ rad \ s^{-1}$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = -4 \ rad \ s^{-2}$.
ગતિના સમીકરણ $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 = (40\pi)^2 + 2(-4)\theta$
$8\theta = 1600\pi^2$
$\theta = 200\pi^2 \ rad$.
એક પરિભ્રમણ એટલે $2\pi \ rad$,તેથી પરિભ્રમણની સંખ્યા $N$:
$N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{200\pi^2}{2\pi} = 100\pi$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$N = 100 \times 3.14 = 314$ પરિભ્રમણ.

(D) ધારો કે અવલોકનની શરૂઆતમાં કોણીય વેગ $\omega_0$ છે. આપેલ કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 3.0 \ rad/s^2$,સમયગાળો $t = 4.0 \ s$,અને કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 120 \ rad$ છે.
ગતિના સમીકરણ $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$120 = \omega_0(4) + \frac{1}{2}(3)(4)^2$
$120 = 4\omega_0 + 24$
$4\omega_0 = 96 \implies \omega_0 = 24 \ rad/s$.
વ્હીલ સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(\omega_{initial} = 0)$ $3.0 \ rad/s^2$ ના અચળ પ્રવેગ સાથે શરૂ થયું હતું. ધારો કે અવલોકન શરૂ થયું તે પહેલાંનો સમય $T$ છે.
$\omega_0 = \omega_{initial} + \alpha T$ નો ઉપયોગ કરતા:
$24 = 0 + 3T$
$T = \frac{24}{3} = 8 \ s$.

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1 = 120 \ rev/min = 2 \ rev/s$. પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 2\pi n_1 = 2\pi(2) = 4\pi \ rad/s$. અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 0$. કોણીય પ્રતિપ્રવેગ $\alpha = -2 \ rad \ s^{-2}$.
ગતિના સમીકરણ $\omega = \omega_0 + \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = 4\pi + (-2)t \implies 2t = 4\pi \implies t = 2\pi \ s$.
હવે,પરિભ્રમણોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ શોધીએ:
$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 = (4\pi)(2\pi) + \frac{1}{2}(-2)(2\pi)^2 = 8\pi^2 - 4\pi^2 = 4\pi^2 \ rad$.
પરિભ્રમણોની સંખ્યા $N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{4\pi^2}{2\pi} = 2\pi$ પરિભ્રમણો.

(B) રેખીય ઝડપ $v$,ત્રિજ્યા $r$ અને કોણીય વેગ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = r\omega$ છે.
અહીં રેખીય ઝડપ $v_2 = 4v_1$ અને કોણીય વેગ $\omega_2 = 2\omega_1$ થાય છે.
સંબંધ $r = \frac{v}{\omega}$ નો ઉપયોગ કરતા,નવી ત્રિજ્યા $r_2$:
$r_2 = \frac{v_2}{\omega_2} = \frac{4v_1}{2\omega_1} = 2 \left( \frac{v_1}{\omega_1} \right) = 2r_1$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું સૂત્ર $a_c = r\omega^2$ છે.
તેથી,નવા કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_{c2}$ અને પ્રારંભિક કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_{c1}$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{a_{c2}}{a_{c1}} = \frac{r_2 \omega_2^2}{r_1 \omega_1^2} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right) \left( \frac{\omega_2}{\omega_1} \right)^2$.
કિંમતો $r_2 = 2r_1$ અને $\omega_2 = 2\omega_1$ મૂકતા:
$\frac{a_{c2}}{a_{c1}} = (2) \times (2)^2 = 2 \times 4 = 8$.
આમ,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા $8$ ગણો થાય છે.

(D) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = \frac{20}{\pi} \ m$,અંતિમ વેગ $v = 80 \ m/s$,પરિભ્રમણની સંખ્યા $n = 2$.
પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m/s$.
કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 2 \pi \times n = 2 \pi \times 2 = 4 \pi \ rad$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{r} = \frac{80}{20/\pi} = 4 \pi \ rad/s$.
કોણીય ગતિના સમીકરણ $\omega^2 = \omega_0^2 + 2 \alpha \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(4 \pi)^2 = 0^2 + 2 \alpha (4 \pi)$
$16 \pi^2 = 8 \pi \alpha$
$\alpha = \frac{16 \pi^2}{8 \pi} = 2 \pi \ rad/s^2$.
સ્પર્શીય પ્રવેગ $a_t = r \alpha = \left( \frac{20}{\pi} \right) \times (2 \pi) = 40 \ m/s^2$.

(C) પ્રથમ $3$ સેકન્ડમાં કપાયેલ ખૂણો $\theta_{3s} = 10 \times 2\pi = 20\pi \text{ rad}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$ છે:
$20\pi = 0 + \frac{1}{2} \alpha (3)^2 \Rightarrow 20\pi = \frac{9}{2} \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{40\pi}{9} \text{ rad/s}^2$.
હવે,$6$ સેકન્ડમાં ($t = 6$ s) કપાયેલ કુલ ખૂણો:
$\theta_{6s} = \frac{1}{2} \alpha (6)^2 = \frac{1}{2} \times \left( \frac{40\pi}{9} \right) \times 36 = 80\pi \text{ rad}$.
પછીની $3$ સેકન્ડમાં ($t = 3$ s થી $t = 6$ s સુધી) કપાયેલ ખૂણો:
$\Delta \theta = \theta_{6s} - \theta_{3s} = 80\pi - 20\pi = 60\pi \text{ rad}$.
પછીની $3$ સેકન્ડમાં પરિભ્રમણની સંખ્યા $n = \frac{\Delta \theta}{2\pi} = \frac{60\pi}{2\pi} = 30$ છે.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0 \ rad/s$,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 2.0 \ rad/s^2$,અને સમય $t = 10 \ s$.
કોણીય સ્થાનાંતર માટેના પરિભ્રમણીય ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\theta = (0)(10) + \frac{1}{2}(2.0)(10)^2 = 100 \ rad$.
પરિભ્રમણની સંખ્યા $n$ એ $n = \frac{\theta}{2\pi}$ દ્વારા મળે છે.
$n = \frac{100}{2 \times 3.14} = \frac{100}{6.28} \approx 15.92$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,પરિભ્રમણની સંખ્યા $16$ થાય છે.

(A) કોણીય ઝડપ $\omega$ એ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
મિનિટ કાંટા માટે,આવર્તકાળ $T_m = 60 \text{ મિનિટ} = 1 \text{ કલાક}$ છે.
તેથી,$\omega_m = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \text{ rad/hr}$.
કલાક કાંટા માટે,આવર્તકાળ $T_h = 12 \text{ કલાક}$ છે.
તેથી,$\omega_h = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6} \text{ rad/hr}$.
મિનિટ કાંટા અને કલાક કાંટાની કોણીય ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_m}{\omega_h} = \frac{2\pi}{\pi/6} = 2 \times 6 = 12$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $12:1$ છે.

(D) શરૂઆતની કોણીય ઝડપ $\omega_1 = 600 \, rpm = \frac{600 \times 2\pi}{60} \, rad/s = 20\pi \, rad/s$ છે.
અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega_2 = 1200 \, rpm = \frac{1200 \times 2\pi}{60} \, rad/s = 40\pi \, rad/s$ છે.
લાગતો સમય $t = 10 \, s$ છે.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ નું સૂત્ર $\alpha = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\alpha = \frac{40\pi - 20\pi}{10} = \frac{20\pi}{10} = 2\pi \, rad/s^2$.

(D) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 0.20 \ m$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 1 \ rad/s^2$,અને કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 90^o = \pi/2 \ rad$.
ભ્રમણ માટેના ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta$.
કિંમતો મૂકતા: $\omega^2 = 0^2 + 2 \times 1 \times (\pi/2) = \pi \ rad^2/s^2$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ નું સૂત્ર $a_c = \omega^2 r$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $a_c = \pi \times 0.20 = 0.2 \ \pi \ m/s^2$.

(B) કોણીય વેગ $\omega = 1.5t - 3t^2 + 2$ છે.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ એ કોણીય વેગના સમયની સાપેક્ષમાં ફેરફારનો દર છે: $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$.
આપેલ સમીકરણનું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\alpha = \frac{d}{dt}(1.5t - 3t^2 + 2) = 1.5 - 6t$.
જ્યારે કોણીય પ્રવેગ શૂન્ય થાય તે સમય શોધવા માટે,$\alpha = 0$ લેતા: $0 = 1.5 - 6t$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $6t = 1.5$,તેથી $t = \frac{1.5}{6} = 0.25 \; sec$.

(C) કોણીય સ્થાનાંતરનું સૂત્ર $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$ છે.
શરૂઆતની કોણીય ઝડપ $\omega_0 = 0$ હોવાથી,સૂત્ર $\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2$ બને છે.
પ્રથમ $2 \, s$ માટે $(t = 2 \, s)$:
${\theta _1} = \frac{1}{2} \alpha (2)^2 = 2 \alpha$.
કુલ $4 \, s$ સમય માટે $(t = 2 + 2 = 4 \, s)$:
${\theta _1} + {\theta _2} = \frac{1}{2} \alpha (4)^2 = 8 \alpha$.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા:
${\theta _2} = 8 \alpha - 2 \alpha = 6 \alpha$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{{\theta _1}}{{\theta _2}} = \frac{2 \alpha}{6 \alpha} = \frac{1}{3}$ થાય.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = 0 \, rad/s$, અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_2 = 20 \, rad/s$, સમય $t = 5 \, s$.
પ્રથમ, કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ ની ગણતરી $\omega_2 = \omega_1 + \alpha t$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરો:
$\alpha = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t} = \frac{20 - 0}{5} = 4 \, rad/s^2$.
ત્યારબાદ, કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ ની ગણતરી $\theta = \omega_1 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરો:
$\theta = 0 + \frac{1}{2} \times 4 \times (5)^2 = 2 \times 25 = 50 \, rad$.
કારણ કે $1 \, \text{પરિભ્રમણ }= 2\pi \, rad$, તેથી પરિભ્રમણની સંખ્યા $n$ નીચે મુજબ મળે:
$n = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{50}{2\pi} = \frac{25}{\pi} \, \text{પરિભ્રમણ}$.

(A) પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = 600 \, rev/min = 10 \, rev/sec$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_2 = 0$.
પરિભ્રમણની સંખ્યા $\theta = 60 \, rev$.
ગતિના સમીકરણ $\omega_2^2 = \omega_1^2 - 2\alpha\theta$ નો ઉપયોગ કરતાં:
$0 = (10)^2 - 2 \times \alpha \times 60$
$120\alpha = 100 \implies \alpha = \frac{100}{120} = \frac{5}{6} \, rev/sec^2$.
હવે,$\omega_2 = \omega_1 - \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતાં:
$0 = 10 - (\frac{5}{6})t$
$t = \frac{10 \times 6}{5} = 12 \, sec$.

(B) વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{v}$ એ સદિશ તફાવત $\vec{v}_2 - \vec{v}_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઝડપ અચળ હોવાથી,વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}_1| = |\vec{v}_2| = v$ થાય છે.
વેગ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો એ કેન્દ્ર આગળ આંતરેલા ખૂણા જેટલો જ હોય છે,જે $\theta = 90^{\circ}$ છે.
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = 2v \sin(\theta/2)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\theta = 90^{\circ}$ મૂકતા:
$|\Delta \vec{v}| = 2v \sin(90^{\circ}/2) = 2v \sin(45^{\circ})$.
$\sin(45^{\circ}) = 1/\sqrt{2}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$|\Delta \vec{v}| = 2v \times (1/\sqrt{2}) = \sqrt{2}v$.

(C) સમાન વર્તુળાકાર ગતિમાં,પદાર્થની ઝડપ સમય સાથે અચળ રહે છે.
સ્પર્શક પ્રવેગ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગના મૂલ્ય (ઝડપ) માં થતા ફેરફારનો દર છે,જે $a_t = \frac{dv}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં ઝડપ $v$ સમાન (અચળ) હોવાથી,$\frac{dv}{dt} = 0$ થાય છે.
તેથી,સ્પર્શક પ્રવેગ $0$ છે.

(D) પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = 1200 \, rpm = \frac{1200}{60} \, rev/s = 20 \, rev/s$ છે.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_2 = 4500 \, rpm = \frac{4500}{60} \, rev/s = 75 \, rev/s$ છે.
કોણીય વેગમાં ફેરફાર $\Delta \omega = \omega_2 - \omega_1 = 75 - 20 = 55 \, rev/s$ છે.
લાગતો સમય $t = 10 \, s$ છે.
$rev/s^2$ માં કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\Delta \omega}{t} = \frac{55}{10} = 5.5 \, rev/s^2$ થાય.
આને $deg/s^2$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $360^\circ$ વડે ગુણીશું (કારણ કે $1 \, rev = 360^\circ$):
$\alpha = 5.5 \times 360 \, deg/s^2 = 1980 \, deg/s^2$.

(A) પ્રારંભિક રેખીય વેગ $v = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \, m/s$ છે.
પૈડાની ત્રિજ્યા $r = 0.125 \, m$ લેતા,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = \frac{v}{r} = \frac{20}{0.125} = 160 \, rad/s$ મળે.
જો વ્યાસને જ ત્રિજ્યા તરીકે ગણવામાં આવે (જેમ કે પ્રશ્નમાં આપેલ ઉકેલ મુજબ),તો $\omega_0 = \frac{20}{0.25} = 80 \, rad/s$ થાય.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 0$ અને કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 2\pi \times 20 = 40\pi \, rad$ છે.
સમીકરણ $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = (80)^2 + 2 \times \alpha \times 40\pi$
$\alpha = -\frac{6400}{80\pi} = -\frac{80}{\pi} \approx -25.46 \, rad/s^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે: કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 2.0 \ rad/s^2$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$,સમય $t = 10 \ s$.
ચાકગતિ માટેના ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\theta = 0 \times 10 + \frac{1}{2} \times 2.0 \times (10)^2 = 100 \ rad$.
પરિભ્રમણોની સંખ્યા $n$ એ $n = \frac{\theta}{2\pi}$ દ્વારા મળે છે.
$n = \frac{100}{2 \times 3.14} \approx \frac{100}{6.28} \approx 15.92$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,પરિભ્રમણોની સંખ્યા આશરે $16$ છે.

(A) કોણીય પ્રવેગ $\vec{\alpha}$ એ કોણીય વેગ $\vec{\omega}$ ના ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,એટલે કે $\vec{\alpha} = \frac{d\vec{\omega}}{dt}$.
જ્યારે પદાર્થ કાગળના સમતલમાં વર્તુળાકાર ગતિ કરતું હોય,ત્યારે જમણા હાથના નિયમ મુજબ કોણીય વેગ સદિશ $\vec{\omega}$ કાગળના સમતલને લંબ (ભ્રમણાક્ષની દિશામાં) હોય છે.
પરિણામે,કોણીય વેગમાં થતો ફેરફાર $d\vec{\omega}$ પણ ભ્રમણાક્ષની દિશામાં જ થાય છે.
તેથી,કોણીય પ્રવેગ $\vec{\alpha}$ ની દિશા પણ કાગળના સમતલને લંબ હોય છે.

(C) પ્રથમ $3$ સેકન્ડમાં કાપેલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta_{3s} = 10 \times 2\pi = 20\pi \text{ rad}$ છે.
સમીકરણ $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\omega_0 = 0$:
$20\pi = 0 + \frac{1}{2} \alpha (3)^2 \implies 20\pi = \frac{9}{2}\alpha \implies \alpha = \frac{40\pi}{9} \text{ rad/s}^2$.
હવે,$6$ સેકન્ડમાં કુલ કાપેલ કોણીય સ્થાનાંતર:
$\theta_{6s} = \frac{1}{2} \alpha (6)^2 = \frac{1}{2} \times \left(\frac{40\pi}{9}\right) \times 36 = 80\pi \text{ rad}$.
પછીની $3$ સેકન્ડમાં ($t=3$ થી $t=6$ સુધી) કાપેલ કોણીય સ્થાનાંતર:
$\Delta\theta = \theta_{6s} - \theta_{3s} = 80\pi - 20\pi = 60\pi \text{ rad}$.
પછીની $3$ સેકન્ડમાં પરિભ્રમણની સંખ્યા $n = \frac{\Delta\theta}{2\pi} = \frac{60\pi}{2\pi} = 30$ થાય.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = 0 \ rad/s$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_2 = 240 \ rpm = \frac{240 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 8\pi \ rad/s$.
લાગતો સમય $t = 10 \ s$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ માટેનું સૂત્ર $\alpha = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\alpha = \frac{8\pi - 0}{10} = 0.8\pi \ rad/s^2$.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા,આપણને $\alpha = 0.8 \times 3.14159 \approx 2.513 \ rad/s^2$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે કોણીય વેગ $\omega = \theta^2 + 2\theta$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ ને $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ કે $\alpha = \frac{d\omega}{d\theta} \cdot \frac{d\theta}{dt}$.
કારણ કે $\frac{d\theta}{dt} = \omega$,તેથી $\alpha = \omega \frac{d\omega}{d\theta}$ થાય.
પ્રથમ,$\frac{d\omega}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(\theta^2 + 2\theta) = 2\theta + 2$ ની ગણતરી કરો.
હવે,$\alpha$ ના સમીકરણમાં $\omega$ અને $\frac{d\omega}{d\theta}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\alpha = (\theta^2 + 2\theta)(2\theta + 2)$.
$\theta = 1 \text{ rad}$ પર:
$\alpha = (1^2 + 2(1))(2(1) + 2) = (1 + 2)(2 + 2) = 3 \times 4 = 12 \text{ rad/sec}^2$.

(C) પદાર્થ $A$ માટે,$\theta_A = k_1 t^2$. તે $\sqrt{\pi} \ s$ માં $1$ પરિભ્રમણ ($2\pi$ રેડિયન) પૂર્ણ કરે છે,તેથી $2\pi = k_1 (\sqrt{\pi})^2 = k_1 \pi$,એટલે કે $k_1 = 2$. આમ,$\theta_A = 2t^2$. કોણીય વેગ $\omega_A = \frac{d\theta_A}{dt} = 4t$ છે. $t = 5 \ s$ સમયે,$\omega_A = 4(5) = 20 \ rad/s$.
પદાર્થ $B$ માટે,$\theta_B = k_2 t$. તે $4\pi \ s$ માં અડધું પરિભ્રમણ ($\pi$ રેડિયન) પૂર્ણ કરે છે,તેથી $\pi = k_2 (4\pi)$,એટલે કે $k_2 = 1/4$. આમ,$\theta_B = \frac{1}{4}t$. કોણીય વેગ $\omega_B = \frac{d\theta_B}{dt} = 1/4 \ rad/s$.
ગુણોત્તર $\omega_A : \omega_B = 20 : (1/4) = 80 : 1$ છે.

(D) ધારો કે ટ્રેક પરના કેમેરાની સૌથી નજીકના બિંદુથી કારનું અંતર $x$ છે. કેમેરાથી ટ્રેકનું લંબ અંતર $d = 30\ m$ છે.
ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે $x = d \tan \theta = 30 \tan \theta$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dx}{dt} = 30 \sec^2 \theta \cdot \frac{d\theta}{dt}$
અહીં,$\frac{dx}{dt} = v_{\text{car}} = 40\ m/s$ અને $\frac{d\theta}{dt} = \omega$ (કેમેરાની કોણીય ઝડપ) છે.
તેથી,$40 = 30 \sec^2 \theta \cdot \omega$.
આપેલ સ્થિતિમાં,$\theta = 30^\circ$ છે. તેથી,$\sec 30^\circ = \frac{1}{\cos 30^\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
આમ,$\sec^2 30^\circ = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{4}{3}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$40 = 30 \cdot \left(\frac{4}{3}\right) \cdot \omega$
$40 = 40 \cdot \omega$
$\omega = 1\ rad/s$.

(A) પૈડાનો વ્યાસ $d = 1 \ m$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 0.5 \ m$ થાય.
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $f = 30 \ \text{rev/s}$ છે.
કોણીય વેગ $\omega$ એ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 30 = 60 \pi \ \text{rad/s}$ દ્વારા મળે છે.
પરિઘ પરના બિંદુની રેખીય ઝડપ $v$ એ સંબંધ $v = r \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $v = 0.5 \times 60 \pi = 30 \pi \ m/s$ મળે છે.

(B) રેખીય ઝડપ $v$,ત્રિજ્યા $R$ અને કોણીય વેગ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = R\omega$ છે.
અહીં $v = 8 \ m/s$ અને $R = 2 \ m$ આપેલ છે,તેથી:
$8 = 2 \times \omega$
$\omega = 4 \ rad/s$.
$\omega$ માટે આપેલ સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$t^2 - 4t + 8 = 4$
$t^2 - 4t + 4 = 0$
$(t - 2)^2 = 0$
$t = 2 \ \sec$.

(A) પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_{i} = 900 \, r.p.m. = \frac{900 \times 2\pi}{60} \, rad/s = 30\pi \, rad/s$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_{f} = 0 \, rad/s$.
લીધેલ સમય $t = 1 \, minute = 60 \, s$.
ગતિના સમીકરણ $\omega_{f} = \omega_{i} + \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = 30\pi + \alpha(60)$.
$\alpha = -\frac{30\pi}{60} = -\frac{\pi}{2} \, rad/s^2$.
ઋણ નિશાની મંદન સૂચવે છે.
તેથી,કોણીય મંદન $\frac{\pi}{2} \, rad/s^2$ છે.

(C) કોણીય સ્થાનાંતર $\theta(t) = 2t^3 + 0.5$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગ $\omega$ એ સમયની સાપેક્ષમાં કોણીય સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે: $\omega = \frac{d\theta}{dt}$.
$\theta$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\omega = \frac{d}{dt}(2t^3 + 0.5) = 6t^2$.
$t = 2 \ s$ સમયે કોણીય વેગ શોધવા માટે,$\omega$ ના સમીકરણમાં $t = 2$ મૂકતા:
$\omega = 6(2)^2 = 6 \times 4 = 24 \ rad/s$.