અસ્થિર ભ્રમણાક્ષને અનુલક્ષીને અચળ કોણીય ઝડપથી ચાકગતિ કરતાં કણનો રેખીય વેગ અચળ હશે? શા માટે?

નીચેના કિસ્સાઓમાં કેન્દ્રગામી બળ કોણ પૂરું પાડે છે તે ઓળખો:
$(i)$ સૂર્યની આસપાસ પૃથ્વીની ગતિ.
$(ii)$ ન્યુક્લિયસની આસપાસ ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ.
$(iii)$ સમક્ષિતિજ વળાંકવાળા રસ્તા પર વાહનની ગતિ.

સમતલમાં દ્વિ-પરિમાણીય ગતિનો અભ્યાસ કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં સ્થાન,વેગ અને પ્રવેગને સદિશ $\vec{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j}$ તરીકે દર્શાવીને કરી શકાય છે,જ્યાં $\hat{i}$ અને $\hat{j}$ એ અનુક્રમે $x$ અને $y$ દિશામાં એકમ સદિશ છે અને $A_{x}$ અને $A_{y}$ એ $\vec{A}$ ના અનુરૂપ ઘટકો છે. ગતિનો અભ્યાસ વર્તુળાકાર ધ્રુવીય યામ પદ્ધતિમાં સદિશોને $\vec{A} = A_{r} \hat{r} + A_{\theta} \hat{\theta}$ તરીકે દર્શાવીને પણ કરી શકાય છે,જ્યાં $\hat{r} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ અને $\hat{\theta} = -\sin \theta \hat{i} + \cos \theta \hat{j}$ એ $r$ અને $\theta$ વધતી દિશામાં એકમ સદિશો છે.
$(a)$ $\hat{i}$ અને $\hat{j}$ ને $\hat{r}$ અને $\hat{\theta}$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવો.
$(b)$ સાબિત કરો કે $\hat{r}$ અને $\hat{\theta}$ બંને એકમ સદિશ છે અને એકબીજાને લંબ છે.
$(c)$ સાબિત કરો કે $\frac{d}{dt}(\hat{r}) = \omega \hat{\theta}$,જ્યાં $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ અને $\frac{d}{dt}(\hat{\theta}) = -\omega \hat{r}$.
$(d)$ $\vec{r} = a\theta \hat{r}$ દ્વારા આપવામાં આવતી સર્પાકાર ગતિ કરતા કણ માટે,જ્યાં $a = 1$ (એકમ),$a$ નું પારિમાણિક સૂત્ર શોધો.
$(e)$ $(d)$ માં વર્ણવેલ સર્પાકાર ગતિ કરતા કણ માટે ધ્રુવીય સદિશ સ્વરૂપમાં વેગ અને પ્રવેગ શોધો.

એક દડાને સમક્ષિતિજ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે. તે પ્રક્ષેપણ બિંદુથી $d_1$ જેટલા સમક્ષિતિજ અંતરે $h$ ઊંચાઈની દીવાલમાંથી પસાર થાય છે અને પ્રક્ષેપણ બિંદુથી $d_1+d_2$ અંતરે જમીન પર અથડાય છે,તો $h$ નું મૂલ્ય શું હશે?

$10 \, kg$ અને $5 \, kg$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો અનુક્રમે $R$ અને $r$ ત્રિજ્યાની સમકેન્દ્રીય કક્ષાઓમાં એવી રીતે ગતિ કરે છે કે તેમના આવર્તકાળ સમાન છે. તો તેમના કેન્દ્રગામી પ્રવેગનો ગુણોત્તર કેટલો થાય?

$h$ ઊંચાઈ ધરાવતા ઘરના છાપરા પર ઉભેલો એક માણસ એક કણને શિરોલંબ નીચેની તરફ અને બીજા કણને સમક્ષિતિજ દિશામાં સમાન વેગ $u$ થી ફેંકે છે. જ્યારે તેઓ પૃથ્વીની સપાટી પર પહોંચે ત્યારે તેમના વેગનો ગુણોત્તર કેટલો હશે?