Mix Examples-Motion in Plane Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક ઝડપ $u = 50 \, m/s$,ખૂણો $\theta = 53^{\circ}$,સમય $t = 2 \, s$.
પ્રારંભિક વેગના સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકો:
$u_x = u \cos 53^{\circ} = 50 \times \frac{3}{5} = 30 \, m/s$
$u_y = u \sin 53^{\circ} = 50 \times \frac{4}{5} = 40 \, m/s$
કોઈપણ સમયે $t$ પર,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના સ્થાનના યામ $(x, y)$ નીચે મુજબ છે:
$x = u_x t = 30 \times 2 = 60 \, m$
$y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2 = 40 \times 2 - \frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 = 80 - 20 = 60 \, m$
$t = 2 \, s$ સમયે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી કણનું અંતર $d$:
$d = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{60^2 + 60^2} = \sqrt{2 \times 60^2} = 60\sqrt{2} \, m$.

(D) ધારો કે કણો $L$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ પર છે. દરેક કણ તેની પછીના કણ તરફ ગતિ કરે છે. કણ $A$ નો વેગ $B$ તરફ છે અને કણ $B$ નો વેગ $C$ તરફ છે. રેખા $AB$ ની દિશામાં $A$ ના વેગનો ઘટક $v$ છે અને $AB$ ની દિશામાં $B$ ના વેગનો ઘટક $-v \cos(60^{\circ}) = -v/2$ છે. $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સાપેક્ષ અભિગમ વેગ $v_{rel} = v - (-v/2) = 3v/2$ છે. કણોને મધ્યકેન્દ્ર પર મળવા માટે લાગતો સમય $t = L / v_{rel} = L / (3v/2) = 2L / (3v)$ છે. દરેક કણ અચળ ઝડપ $v$ થી ગતિ કરતો હોવાથી,દરેક કણ દ્વારા કાપેલું અંતર $s = v \times t = v \times (2L / 3v) = 2L/3$ થશે.

(A) ધારો કે બે તાર એકબીજાને $O$ બિંદુએ $\alpha$ ખૂણે છેદે છે. દરેક તાર તેની લંબાઈને લંબ દિશામાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરે છે.
$\alpha$ ખૂણાના દ્વિભાજકનો વિચાર કરો. સંમિતિને કારણે,છેદબિંદુ $O$ આ દ્વિભાજક પર ગતિ કરશે.
ધારો કે છેદબિંદુની ઝડપ $V$ છે.
એક તારનો વિચાર કરો. છેદબિંદુનો વેગ $V$ એ તારના વેગ $v$ ની દિશા સાથે $\alpha /2$ ખૂણો બનાવે છે.
છેદબિંદુના વેગ $V$ નો તારની ગતિની દિશામાંનો ઘટક તારની ઝડપ $v$ જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$V \sin(\alpha /2) = v$.
$V$ માટે ઉકેલતા,આપણને $V = v / \sin(\alpha /2) = v \csc(\alpha /2)$ મળે છે.

(D) વક્ર માર્ગ પર ગતિ કરતા કણ માટે,પ્રવેગ સદિશ $\vec{a} = \frac{dv}{dt} \hat{t} + \frac{v^2}{R} \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ ઝડપ છે,$R$ વક્રતા ત્રિજ્યા છે,$\hat{t}$ એકમ સ્પર્શક સદિશ છે અને $\hat{n}$ એકમ લંબ સદિશ છે.
જો ઝડપ અચળ હોય,તો $\frac{dv}{dt} = 0$,તેથી $\vec{a} = \frac{v^2}{R} \hat{n}$. આ પ્રવેગ વક્રતા કેન્દ્ર તરફ (લંબ દિશામાં) હોય છે,સ્પર્શકની દિશામાં નહીં. આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
કારણ કે $\vec{a} = \frac{v^2}{R} \hat{n}$,પ્રવેગનું મૂલ્ય $|\vec{a}| = \frac{v^2}{R} = v^2 \kappa$ થાય,જ્યાં $\kappa = \frac{1}{R}$ એ વક્રતા છે. આમ,પ્રવેગનું મૂલ્ય વક્રતા $\kappa$ ના સમપ્રમાણમાં છે. તેથી,વિકલ્પ $(C)$ પણ સાચો છે.
તેથી,$(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) કોણીય વેગ $\omega = v / R$ છે. $t = \pi R / 3v$ સમયમાં કપાયેલ ખૂણો $\Delta \theta = \omega t = (v / R) \times (\pi R / 3v) = \pi / 3$ રેડિયન $(60^\circ)$ છે.
સરેરાશ વેગ $|\vec{v}_{avg}| = |\Delta \vec{r}| / t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{r}| = 2R \sin(\Delta \theta / 2) = 2R \sin(30^\circ) = 2R \times (1 / 2) = R$ છે.
તેથી,$|\vec{v}_{avg}| = R / (\pi R / 3v) = 3v / \pi$.
સરેરાશ પ્રવેગ $|\vec{a}_{avg}| = |\Delta \vec{v}| / t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વેગમાં ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = 2v \sin(\Delta \theta / 2) = 2v \sin(30^\circ) = 2v \times (1 / 2) = v$ છે.
તેથી,$|\vec{a}_{avg}| = v / (\pi R / 3v) = 3v^2 / \pi R$.
આમ,$(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા હોવાથી,જવાબ $(D)$ છે.

(D) આપેલ છે: $m = 1 \, kg$,$u = \sqrt{20} \, m/s$,$R = \sqrt{3} \, m$,$g = 10 \, m/s^2$.
અવધિના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{20 \sin 2\theta}{10} \Rightarrow \sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$2\theta = 60^\circ$ અથવા $120^\circ$,એટલે કે $\theta = 30^\circ$ અથવા $60^\circ$.
$\theta = 30^\circ$ માટે: $H = \frac{u^2 \sin^2 30^\circ}{2g} = \frac{20 \times (1/4)}{20} = 0.25 \, m$.
$\theta = 60^\circ$ માટે: $H = \frac{u^2 \sin^2 60^\circ}{2g} = \frac{20 \times (3/4)}{20} = 0.75 \, m$.
લઘુત્તમ વેગ $v_{\min} = u \cos \theta$. $\theta = 30^\circ$ માટે,$v_{\min} = \sqrt{20} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{15} \, m/s$.
ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$. $\theta = 60^\circ$ માટે,$T = \frac{2 \sqrt{20} \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{10} = \sqrt{\frac{3}{5}} \, s$.
મહત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_{\max} = mgH_{\max} = 1 \times 10 \times 0.75 = 7.5 \, J$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા: $(a)$ સાચું છે,$(b)$ સાચું છે,$(c)$ સાચું છે,$(d)$ ખોટું છે $(7.5 \, J \neq 6 \, J)$. આમ,વિકલ્પ $(d)$ ખોટું વિધાન છે.

(D) $1$. વિકલ્પ $A$ માટે: મહત્તમ ઊંચાઈ $H = u^2 / (2g)$ જ્યારે $\theta = 90^\circ$ હોય. મહત્તમ અવધિ $R_{max} = u^2 / g$ જ્યારે $\theta = 45^\circ$ હોય. આમ,$R_{max} = 2H$. વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$2$. વિકલ્પ $B$ માટે: $R = (u^2 \sin 2\theta) / g$ અને $H = (u^2 \sin^2 \theta) / (2g)$. આપેલ છે કે $R = nH$,તેથી $(2u^2 \sin \theta \cos \theta) / g = n \cdot (u^2 \sin^2 \theta) / (2g)$. આનું સાદું રૂપ આપતા $4 \cos \theta = n \sin \theta$ મળે,તેથી $\tan \theta = 4/n$ અથવા $\theta = \tan^{-1}(4/n)$. વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$3$. વિકલ્પ $C$ માટે: $T = (2u \sin \theta) / g$,તેથી $T^2 = (4u^2 \sin^2 \theta) / g^2$. વળી $R = (u^2 \sin 2\theta) / g = (2u^2 \sin \theta \cos \theta) / g$. તેથી $2R \tan \theta = 2 \cdot [(2u^2 \sin \theta \cos \theta) / g] \cdot [\sin \theta / \cos \theta] = (4u^2 \sin^2 \theta) / g = gT^2$. વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,જવાબ $D$ છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે:
$1$. સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $x = (u \cos \theta)t$ છે. $R = (u \cos \theta)T$ હોવાથી,$x/R = t/T$ મળે.
$2$. શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = (u \sin \theta)t - \frac{1}{2}gt^2$ છે. $h = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ અને $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ હોવાથી,$u \sin \theta = \frac{gT}{2}$ લખી શકાય.
$3$. $y$ ના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$y = \left( \frac{gT}{2} \right)t - \frac{1}{2}g t^2 = \frac{gT^2}{2} \left( \frac{t}{T} \right) \left( 1 - \frac{t}{T} \right)$.
$4$. $h = \frac{gT^2}{8}$ હોવાથી,$\frac{gT^2}{2} = 4h$ થાય.
$5$. તેથી,$y = 4h \left( \frac{t}{T} \right) \left( 1 - \frac{t}{T} \right)$.
$6$. $t/T = x/R$ મૂકતા,$y = 4h \left( \frac{x}{R} \right) \left( 1 - \frac{x}{R} \right)$ મળે.
આમ,$(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

(D) શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. દડાને આડો ગબડાવવામાં આવતો હોવાથી,પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $u_y = 0$ છે. નીચેની દિશાને ધન લેતા,$h = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.4)^2 = 0.8 \, m$. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$t$ સમયે શિરોલંબ વેગ $v_y = u_y + g t = 0 + 10 \times 0.4 = 4 \, m/s$ છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
કાપેલું આડું અંતર $x = u_x t = 4 \times 0.4 = 1.6 \, m$ છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
આમ,તમામ વિધાનો $A, B,$ અને $C$ સાચા હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) આપેલ સૂત્રો: $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$,$H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ અને $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$.
$u$ અચળ હોવાથી,આપણે $\theta$ ને $30^o$ થી $60^o$ સુધી બદલતા ત્રિકોણમિતીય વિધેયોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
$R$ માટે: પદ $\sin 2\theta$ એ $\sin 60^o = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ થી $\sin 120^o = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ સુધી બદલાય છે,જે $\theta = 45^o$ પર $\sin 90^o = 1$ માંથી પસાર થાય છે. આમ,$R$ એ $45^o$ સુધી વધે છે અને પછી ઘટે છે.
$H$ માટે: પદ $\sin^2 \theta$ એ $\theta$ ના $30^o$ થી $60^o$ સુધી વધવા સાથે એકધારી રીતે વધે છે (કારણ કે $\sin 30^o = 0.5$ અને $\sin 60^o \approx 0.866$). આમ,$H$ વધે છે.
$T$ માટે: પદ $\sin \theta$ એ $\theta$ ના $30^o$ થી $60^o$ સુધી વધવા સાથે એકધારી રીતે વધે છે. આમ,$T$ વધે છે.
તેથી,$R$ પહેલા વધે છે પછી ઘટે છે,જ્યારે $H$ અને $T$ બંને વધે છે.

(A) શંકુ આકારના લોલક માટે,બોબ $r = l \sin \theta$ ત્રિજ્યાના સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ફરે છે,જ્યાં $l$ એ દોરીની લંબાઈ છે અને $\theta$ એ શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો છે.
બોબ પર લાગતા બળો દોરીની દિશામાં તણાવ $T$ અને નીચેની તરફ વજન $mg$ છે.
તણાવનો શિરોલંબ ઘટક વજનને સંતુલિત કરે છે: $T \cos \theta = mg \implies T = \frac{mg}{\cos \theta}$.
સમક્ષિતિજ ઘટક કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $T \sin \theta = m \omega^2 r = m \omega^2 (l \sin \theta)$.
સમક્ષિતિજ ઘટક પરથી,$T = ml \omega^2$. આ સૂચવે છે કે નિશ્ચિત લંબાઈ $l$ માટે,$T$ એ $\omega^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
જોકે,જેમ $\omega$ વધે છે,તેમ ખૂણો $\theta$ વધે છે. $\omega = 0$ પર,બોબ સ્થિર છે,અને $T = mg$. જેમ $\omega$ વધે છે,બોબ વર્તુળમાં ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે,અને તણાવ $T = ml \omega^2$ મુજબ વધે છે.
વિકલ્પો જોતા,વિકલ્પ $A$ એ વર્તણૂક દર્શાવે છે જ્યાં $T$ એ $mg$ થી શરૂ થાય છે ($\omega=0$ પર) અને જેમ લોલક કોણીય વેગ મેળવે છે તેમ $\omega^2$ સાથે વધે છે.

(A) વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણના પ્રવેગના બે ઘટકો હોય છે: કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a_c)$ જે કેન્દ્ર તરફ હોય છે અને સ્પર્શીય પ્રવેગ $(a_t)$ જે સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
પરિણામી બળ $F = ma$ એ કેન્દ્રગામી બળ $(F_c = ma_c)$ અને સ્પર્શીય બળ $(F_t = ma_t)$ નો સદિશ સરવાળો છે.
જો ગતિ નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ હોય,તો $a_t = 0$ થાય,તેથી પરિણામી બળ સંપૂર્ણપણે કેન્દ્રગામી (કેન્દ્ર તરફ) હોય છે.
જો ગતિ અનિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ હોય,તો $a_t \neq 0$ થાય,તેથી પરિણામી બળ કેન્દ્ર તરફ હોતું નથી.
તેથી,પરિણામી બળ કેન્દ્ર તરફ હોઈ શકે છે (નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં) અથવા ત્રિજ્યા સાથે અમુક ખૂણે હોઈ શકે છે (અનિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં).
વિકલ્પ $A$ સાચો છે કારણ કે તે જણાવે છે કે બળ કેન્દ્ર તરફ 'હોઈ શકે છે',જે નિયમિત ગતિના કિસ્સાને આવરી લે છે.

(C) ધારો કે $t=0$ સમયે કોણીય સ્થાન $\theta_P(0) = \pi$, $\theta_Q(0) = \pi/2$, અને $\theta_R(0) = 0$ છે.
સમય $t$ પર કોણીય સ્થાન:
$\theta_P(t) = 5\pi t + \pi$
$\theta_Q(t) = 2\pi t + \pi/2$
$\theta_R(t) = 3\pi t + 0$
કણો $P$ અને $Q$ સમાન સ્થાન પર હોય તે માટે: $\theta_P(t) - \theta_Q(t) = 2n\pi$ (જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે).
$3\pi t + \pi/2 = 2n\pi \implies 3t = 2n - 1/2 \implies t = (4n-1)/6$.
$n=1$ માટે, $t = 3/6 = 1/2 \, s$. $n=2$ માટે, $t = 7/6 \, s$.
કણો $Q$ અને $R$ સમાન સ્થાન પર હોય તે માટે: $\theta_Q(t) - \theta_R(t) = 2m\pi$.
$-\pi t + \pi/2 = 2m\pi \implies t = 1/2 - 2m$.
$m=0$ માટે, $t = 1/2 \, s$.
સમયની સરખામણી કરતા, તેઓ બધા $t = 1/2 \, s$ સમયે મળે છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક કોણીય સ્થાનો $\theta_P(0) = \pi$,$\theta_Q(0) = \pi/2$,અને $\theta_R(0) = 0$ છે ($R$ ને ધન $x$-અક્ષ પર લેતા).
$t$ સમયે કોણીય સ્થાનો $\theta(t) = \theta(0) + \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta_P(t) = \pi + 5\pi t$
$\theta_Q(t) = \pi/2 + 2\pi t$
કણો $P$ અને $Q$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $\theta_P(t) = \theta_Q(t) + 2n\pi$,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે.
$\pi + 5\pi t = \pi/2 + 2\pi t + 2n\pi$
$3\pi t = 2n\pi - \pi/2$
$3t = 2n - 0.5$
$t = (2n - 0.5) / 3$
$0 \le t \le 1$ માટે:
$0 \le (2n - 0.5) / 3 \le 1$
$0 \le 2n - 0.5 \le 3$
$0.5 \le 2n \le 3.5$
$0.25 \le n \le 1.75$
$n$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 1$.
આમ,તેઓ માત્ર એક જ વાર $t = (2(1) - 0.5) / 3 = 1.5 / 3 = 0.5 \text{ s}$ સમયે મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = 2t^2$. $m = 1 \, kg$ હોવાથી,$\frac{1}{2}(1)v^2 = 2t^2$,જેનો અર્થ છે કે $v^2 = 4t^2$,તેથી $v = 2t \, m/s$.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2t) = 2 \, m/s^2$. આમ,વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
પાવર $P = \frac{d(K.E.)}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^2) = 4t$. $t = 2 \, s$ સમયે,$P = 4(2) = 8 \, W$. આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
સ્પર્શકીય બળ $F_t = m \cdot a_t = 1 \cdot 2 = 2 \, N$. આમ,વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.
પ્રથમ રાઉન્ડ માટે,અંતર $s = 2\pi r = 2\pi(8) = 16\pi \, m$. $v = 2t$ હોવાથી,$s = \int v \, dt = \int_0^T 2t \, dt = T^2$. $T^2 = 16\pi$ લેતા,$T = 4\sqrt{\pi} \, s \neq 2 \, s$. આમ,વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.

(A) સર્વોચ્ચ બિંદુએ,વિસ્ફોટ પહેલાં પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો વેગ $v_x = u \cos 53^{\circ} = 50 \times 0.6 = 30 \, m/s$ છે.
ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનું દળ $2m$ છે. સર્વોચ્ચ બિંદુએ,વેગમાન $P_i = (2m)v_x = 60m$ છે.
વિસ્ફોટ પછી,$m$ દળનો એક ભાગ સ્થિર થઈ જાય છે $(v_1 = 0)$,અને $m$ દળનો બીજો ભાગ $v_2$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $P_i = P_f \implies 60m = m(0) + m(v_2) \implies v_2 = 60 \, m/s$.
વક્રતા ત્રિજ્યા $R = \frac{v^2}{a_n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a_n$ એ લંબ પ્રવેગ છે.
સર્વોચ્ચ બિંદુએ,માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g = 10 \, m/s^2)$ કાર્યરત છે,જે વેગને લંબ છે.
વિસ્ફોટ પહેલાં વક્રતા ત્રિજ્યા: $R_1 = \frac{v_x^2}{g} = \frac{30^2}{10} = 90 \, m$.
વિસ્ફોટ પછી ગતિ કરતા કણ માટે વક્રતા ત્રિજ્યા: $R_2 = \frac{v_2^2}{g} = \frac{60^2}{10} = 360 \, m$.
ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{90}{360} = \frac{1}{4}$ છે.

(D) કિસ્સો $1$: જ્યારે બંને વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.
ધારો કે કોણીય સ્થાનાંતર $\theta_1 = \omega t$ અને $\theta_2 = 5\omega t$ છે.
તેઓ ત્યારે મળે છે જ્યારે તેમના કોણીય સ્થાનાંતરનો સરવાળો $2\pi$ રેડિયન થાય: $\theta_2 + \theta_1 = 2\pi$.
$5\omega t + \omega t = 2\pi \implies 6\omega t = 2\pi \implies \omega t = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$.
આમ,તેઓ કેન્દ્ર પર $60^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરતા બિંદુઓ પર એકબીજાને ઓળંગે છે.
ઓળંગવા વચ્ચેનો સમયગાળો $T = \frac{2\pi}{\omega_{rel}} = \frac{2\pi}{5\omega + \omega} = \frac{2\pi}{6\omega} = \frac{\pi}{3\omega}$ છે.
કિસ્સો $2$: જ્યારે બંને સમાન દિશામાં ગતિ કરે છે.
તેઓ ત્યારે મળે છે જ્યારે તેમના કોણીય સ્થાનાંતરનો તફાવત $2\pi$ રેડિયન થાય: $\theta_2 - \theta_1 = 2\pi$.
$5\omega t - \omega t = 2\pi \implies 4\omega t = 2\pi \implies \omega t = \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$.
આમ,તેઓ કેન્દ્ર પર $90^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરતા બિંદુઓ પર એકબીજાને ઓળંગે છે.
બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) જ્યારે કણને ગતિશીલ ગાડીમાંથી શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે પ્રક્ષેપણના સમયે ગાડી જેટલો જ સમક્ષિતિજ વેગ ધરાવે છે. આ સમક્ષિતિજ વેગ વર્તુળાકાર માર્ગને સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
જ્યારે કણ હવામાં હોય છે ત્યારે ગાડી વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે,તેથી કણની સમક્ષિતિજ ગતિ રેખીય (સ્પર્શકીય) હોય છે,જ્યારે ગાડીની ગતિ વક્ર હોય છે. પરિણામે,કણ વર્તુળાકાર માર્ગની બહાર પડશે.
વધુમાં,કણ પાસે અચળ સમક્ષિતિજ વેગ (સ્પર્શકીય) અને ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા પ્રભાવિત શિરોલંબ વેગ બંને હોવાથી,જમીનની સાપેક્ષમાં તેનો ગતિપથ પરવલયાકાર હોય છે. તેથી,$(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(C) આપેલ ગતિના સમીકરણો:
$x = a \sin(\omega t) \Rightarrow \frac{x}{a} = \sin(\omega t)$
$y = a(1 - \cos(\omega t)) \Rightarrow \frac{y}{a} = 1 - \cos(\omega t) \Rightarrow \frac{y}{a} - 1 = -\cos(\omega t) \Rightarrow 1 - \frac{y}{a} = \cos(\omega t)$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(\frac{x}{a})^2 + (1 - \frac{y}{a})^2 = \sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t)$
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{(a - y)^2}{a^2} = 1$
$x^2 + (y - a)^2 = a^2$
આ સમીકરણ $(0, a)$ કેન્દ્ર અને $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) \; ms^{-1}$,પ્રવેગ $\vec{a} = (0.4\hat{i} + 0.3\hat{j}) \; ms^{-2}$,અને સમય $t = 10 \; s$.
વેક્ટર માટે ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{v} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) + (0.4\hat{i} + 0.3\hat{j}) \times 10$.
$\vec{v} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) + (4\hat{i} + 3\hat{j}) = 7\hat{i} + 7\hat{j}$.
ઝડપ એ વેગ સદિશ $\vec{v}$ નું મૂલ્ય છે.
$|\vec{v}| = \sqrt{7^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \; ms^{-1}$.

(A) આપેલ વેગ સદિશ $\vec v = K(y\hat i + x\hat j)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec v = v_x \hat i + v_y \hat j = \frac{dx}{dt} \hat i + \frac{dy}{dt} \hat j$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{dx}{dt} = Ky$ અને $\frac{dy}{dt} = Kx$ મળે છે.
કણનો પથ શોધવા માટે,આપણે બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરીએ: $\frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{Kx}{Ky}$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$ થાય છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $y \, dy = x \, dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\int y \, dy = \int x \, dx$ મળે છે.
આના પરિણામે $\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C'$ મળે છે,જ્યાં $C'$ એક અચળાંક છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $y^2 = x^2 + C$ મળે છે,જ્યાં $C = 2C'$ એ બીજો અચળાંક છે.
આમ,પથનું સમીકરણ $y^2 = x^2 + \text{અચળાંક}$ છે.

(C) ધારો કે કણ $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળ પર અચળ કોણીય ઝડપ $\omega$ સાથે ગતિ કરે છે. $t = 0$ સમયે,કણ $P_0$ સ્થાન પર છે. $t$ સમયે,કણ $P$ સ્થાન પર છે,જેથી ખૂણો $\angle P_0OP = \theta = \omega t$ થાય.
સ્થાનાંતર $S$ એ જીવાની લંબાઈ $P_0P$ છે. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ $\triangle P_0OP$ માં,જીવાની લંબાઈ $S = 2R \sin(\frac{\theta}{2}) = 2R \sin(\frac{\omega t}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ વિધેય $T = \frac{2\pi}{\omega}$ આવર્તકાળ ધરાવતો સાઈન વક્ર (sine curve) દર્શાવે છે.
$t = 0$ સમયે,$S = 0$. $t = \frac{\pi}{\omega}$ સમયે,$S = 2R \sin(\frac{\pi}{2}) = 2R$ (મહત્તમ સ્થાનાંતર). $t = \frac{2\pi}{\omega}$ સમયે,$S = 2R \sin(\pi) = 0$.
આમ,આલેખ $0$ થી શરૂ થતો સાઈન વક્ર છે,જે $t = \frac{\pi}{\omega}$ પર મહત્તમ થાય છે અને $t = \frac{2\pi}{\omega}$ પર પાછો $0$ પર આવે છે. આ વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(D) ટેપ જે ઝડપ $v$ થી રીલ તરફ જાય છે તે સંબંધ $v = \omega R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ રીલનો કોણીય વેગ છે અને $R$ તેની વર્તમાન ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે રીલ અચળ કોણીય વેગ સાથે ફરે છે,તેથી $\omega = \text{અચળ}$.
રીલની ત્રિજ્યા $R$ સતત દરે વધી રહી છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dR}{dt} = \text{અચળ}$.
ઝડપ $v$ નો સમય $t$ સાથેનો ફેરફાર શોધવા માટે,આપણે $v$ ના સમીકરણનું સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\omega R) = \omega \cdot \frac{dR}{dt}$.
કારણ કે $\omega$ અને $\frac{dR}{dt}$ બંને અચળ છે,તેથી તેમનો ગુણાકાર $\frac{dv}{dt}$ પણ અચળ રહે છે.
સમયની સાપેક્ષમાં ઝડપનો અચળ ફેરફાર સૂચવે છે કે $v-t$ આલેખ એ અચળ ધન ઢાળવાળી સીધી રેખા હશે.

(C) કણ $A$ માટે,પથનું સમીકરણ $y = x$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dt} = \frac{dx}{dt}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $v_{y_A} = v_{x_A}$.
કણ $B$ એ $X$-અક્ષ પર $3 \ m/s$ ની અચળ ઝડપથી ગતિ કરતો હોવાથી,તેનો વેગ $\vec{v}_B = 3 \hat{i}$ છે.
આપેલ છે કે $A$ અને $B$ ના $X$-યામ હંમેશા સમાન રહે છે,તેથી $A$ ના વેગનો $X$-ઘટક એ $B$ ના વેગ જેટલો જ હોવો જોઈએ,એટલે કે $v_{x_A} = 3 \ m/s$.
કારણ કે $v_{y_A} = v_{x_A}$,તેથી $v_{y_A} = 3 \ m/s$ મળે.
આમ,કણ $A$ નો વેગ સદિશ $\vec{v}_A = 3 \hat{i} + 3 \hat{j}$ છે.
કણ $A$ ની ઝડપ એ તેના વેગ સદિશનું મૂલ્ય છે: $|\vec{v}_A| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \ m/s$.

(D) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે જે સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. ગતિ દરમિયાન વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે,$v_x = u \cos \theta$.
કોઈપણ બિંદુએ,વેગ સદિશ $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ છે.
બિંદુ $P$ માટે,$\vec{v}_P = v_x \hat{i} + v_{yP} \hat{j}$. સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\alpha$ એ $\tan \alpha = \frac{v_{yP}}{v_x}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $v_{yP} = v_x \tan \alpha$.
બિંદુ $Q$ માટે,$\vec{v}_Q = v_x \hat{i} + v_{yQ} \hat{j}$.
કારણ કે $\vec{v}_P \perp \vec{v}_Q$,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે: $\vec{v}_P \cdot \vec{v}_Q = 0$.
$(v_x \hat{i} + v_{yP} \hat{j}) \cdot (v_x \hat{i} + v_{yQ} \hat{j}) = 0 \implies v_x^2 + v_{yP} v_{yQ} = 0$.
આમ,$v_{yQ} = -\frac{v_x^2}{v_{yP}} = -\frac{v_x^2}{v_x \tan \alpha} = -v_x \cot \alpha$.
તેમના મૂલ્યો $v_P = \sqrt{v_x^2 + v_{yP}^2} = \sqrt{v_x^2 + v_x^2 \tan^2 \alpha} = v_x \sec \alpha$ છે.
અને $v_Q = \sqrt{v_x^2 + v_{yQ}^2} = \sqrt{v_x^2 + v_x^2 \cot^2 \alpha} = v_x \csc \alpha$ છે.
તેથી,$\frac{v_Q}{v_P} = \frac{v_x \csc \alpha}{v_x \sec \alpha} = \frac{1/\sin \alpha}{1/\cos \alpha} = \cot \alpha$.

(B) પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_1 = 5\hat{i}\ m/s$.
અંતિમ વેગ $\vec{v}_2 = 5\hat{j}\ m/s$.
વેગમાં ફેરફાર $\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 = 5\hat{j} - 5\hat{i}$.
વેગમાં ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta\vec{v}| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\ m/s$.
$\Delta\vec{v}$ ની દિશા ઉત્તર-પશ્ચિમ છે.
સરેરાશ પ્રવેગ $\vec{a}_{avg} = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} = \frac{5\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\ m/s^2$.
આમ,સરેરાશ પ્રવેગ $\frac{1}{\sqrt{2}}\ m/s^2$ ઉત્તર-પશ્ચિમ દિશામાં છે.

(B) તણાવ બળ હંમેશા ડિસ્કના વેગ સદિશને લંબ હોવાથી,તણાવ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ડિસ્કની ગતિ દરમિયાન તેની ગતિ ઊર્જા અને વેગ અચળ રહે છે.
તેથી,લાગતો સમય $t = \frac{s}{v_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $s$ એ ડિસ્ક દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર છે.
કોઈપણ મનસ્વી સ્થાને,ડિસ્ક દ્વારા કપાતું સૂક્ષ્મ અંતર $ds = (l_0 - R\theta) d\theta$ છે.
કુલ અંતર $s$ મેળવવા માટે $\theta = 0$ થી $\theta = \frac{l_0}{R}$ સુધી સંકલન કરતા:
$s = \int_{0}^{l_0/R} (l_0 - R\theta) d\theta = [l_0\theta - \frac{1}{2}R\theta^2]_{0}^{l_0/R} = l_0(\frac{l_0}{R}) - \frac{1}{2}R(\frac{l_0}{R})^2 = \frac{l_0^2}{R} - \frac{l_0^2}{2R} = \frac{l_0^2}{2R}$.
કિંમતો $l_0 = 2 \ m$,$R = 1 \ m$,અને $v_0 = 1 \ m/s$ મૂકતા:
$t = \frac{l_0^2}{2Rv_0} = \frac{2^2}{2 \times 1 \times 1} = \frac{4}{2} = 2 \ s$.

(A) $1$. પથ બે જીવાઓ $AB$ અને $DA$, અને એક વર્તુળાકાર ચાપ $BCD$ નો બનેલો છે।
$2$. આપેલી ત્રિજ્યા $R = 42\ cm$ અને કેન્દ્રિય ખૂણાઓ $\angle BAC = 60^\circ$ અને $\angle DAC = 60^\circ$ હોવાથી, ચાપ $BCD$ દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરાતો કુલ ખૂણો $240^\circ$ (અથવા $\frac{4\pi}{3}\ \text{રેડિયન}$) છે।
$3$. જીવા $AB$ ની લંબાઈ $= 2R \sin(60^\circ/2) = 2R \sin(30^\circ) = R = 42\ cm$. તેવી જ રીતે, $DA = 42\ cm$.
$4$. ચાપ $BCD$ ની લંબાઈ $= R \theta = 42 \times \frac{4\pi}{3} = 56\pi \approx 56 \times 3.14159 = 175.93\ cm$.
$5$. કુલ અંતર $D = AB + \text{ચાપ } BCD + DA = 42 + 175.93 + 42 = 259.93\ cm$.
$6$. સમય $t = \frac{D}{v} = \frac{259.93}{1.3} \approx 199.95\ s$.
$7$. આ મૂલ્ય $200\ s$ ની સૌથી નજીક છે.

(B) ધારો કે છોકરાનો વેગ $\vec{v}_B = v \hat{i}$ છે.
ધારો કે $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળ પર બિંદુવત પદાર્થનું સ્થાન $\theta = \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = \frac{v}{R}$ છે.
બિંદુવત પદાર્થનો વેગ $\vec{v}_P = -v \sin(\omega t) \hat{i} + v \cos(\omega t) \hat{j}$ છે.
સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{rel} = \vec{v}_P - \vec{v}_B = (-v \sin(\omega t) - v) \hat{i} + v \cos(\omega t) \hat{j}$ છે.
સાપેક્ષ વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}_{rel}| = \sqrt{(-v \sin(\omega t) - v)^2 + (v \cos(\omega t))^2}$ છે.
$|\vec{v}_{rel}| = \sqrt{v^2 \sin^2(\omega t) + v^2 + 2v^2 \sin(\omega t) + v^2 \cos^2(\omega t)} = \sqrt{2v^2 + 2v^2 \sin(\omega t)} = v \sqrt{2(1 + \sin(\omega t))}$.
આ મૂલ્ય કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{v}{R}$ સાથે આવર્ત રીતે બદલાય છે.
આ ફેરફારનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi R}{v}$ છે.
ફેરફારની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{T} = \frac{v}{2\pi R}$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ગોળાની ગતિ પ્રક્ષિપ્ત ગતિ જેવી છે જ્યાં $x$-દિશામાં પ્રવેગ અચળ છે.
આપેલ છે: દળ $m = 500 \ g = 0.5 \ kg$,બળ $F_x = 0.9 \ N$,પ્રારંભિક વેગ $v = 3 \ m/s$,$y$-અક્ષ સાથે ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$.
$x$-દિશામાં પ્રવેગ $a_x = \frac{F_x}{m} = \frac{0.9 \ N}{0.5 \ kg} = 1.8 \ m/s^2$.
$x$-દિશામાં પ્રારંભિક વેગનો ઘટક $u_x = v \sin(30^{\circ}) = 3 \times 0.5 = 1.5 \ m/s$.
ગોળો ફરીથી $y$-અક્ષ ઓળંગે ત્યારે તેનું $x$-દિશામાં સ્થાનાંતર શૂન્ય થાય,એટલે કે $s_x = 0$.
ગતિના સમીકરણ $s_x = u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = (1.5)t + \frac{1}{2} (-1.8) t^2$ (નોંધ: બળ $+x$ દિશામાં છે,પરંતુ પ્રારંભિક વેગનો ઘટક $-x$ દિશામાં છે,તેથી પ્રવેગ પ્રારંભિક વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં છે).
$0 = 1.5 t - 0.9 t^2$
$0.9 t^2 = 1.5 t$
$t = \frac{1.5}{0.9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3} \approx 1.66 \ \sec$.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે ઉદ્ભવતો સમક્ષિતિજ પ્રવેગ $a_x = \frac{qE}{m} = \frac{10^{-6} \times 2 \times 10^7}{2} = 10 \ ms^{-2}$ છે.
હવામાં રહેવાનો સમય $T$ એ ઉર્ધ્વ ગતિ દ્વારા નક્કી થાય છે: $T = \frac{2u \sin \theta}{g} = \frac{2 \times 10 \times \sin 45^{\circ}}{10} = \frac{2 \times 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}}}{10} = \sqrt{2} \ s$.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ એ ગતિના સમીકરણ $R = u_x T + \frac{1}{2} a_x T^2$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$u_x = u \cos 45^{\circ} = 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} \ ms^{-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $R = (\frac{10}{\sqrt{2}}) \times \sqrt{2} + \frac{1}{2} \times 10 \times (\sqrt{2})^2$.
$R = 10 + \frac{1}{2} \times 10 \times 2 = 10 + 10 = 20 \ m$.

(B) ધારો કે મિજાગરા $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $l$ છે. રીંગ $A$ પર કેન્દ્રિત $1 \ m$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગમાં ગતિ કરે છે.
જ્યારે ખૂણો $\phi$ તેના મહત્તમ મૂલ્ય પર હોય,ત્યારે સળિયો $Q$ રીંગના વર્તુળાકાર માર્ગને સ્પર્શક હોય છે.
આ સ્થિતિમાં,મિજાગરા $A, B$ અને રીંગના સ્થાન દ્વારા બનતો ત્રિકોણ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે,જેમાં રીંગના સ્થાન પર કાટખૂણો બને છે.
આપેલ છે કે $\phi$ ના મહત્તમ મૂલ્ય પર $A$ પાસેનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે,તેથી:
$\cos \theta = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{R}{l}$
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{l}$
$\frac{1}{2} = \frac{1}{l}$
$l = 2 \ m$
આમ,મિજાગરા $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $2 \ m$ છે.

(D) આપેલ વેગ: $\vec{v} = 2t\hat{i} + t^2\hat{j}$.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = 2\hat{i} + 2t\hat{j}$.
$t = 1 \ s$ સમયે,$\vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j}$,તેથી મૂલ્ય $a = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \ m/s^2$.
ઝડપ $v = |\vec{v}| = \sqrt{(2t)^2 + (t^2)^2} = \sqrt{4t^2 + t^4}$.
$t = 1 \ s$ સમયે,$v = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} \ m/s$.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{4t^2 + t^4}} \cdot (8t + 4t^3)$.
$t = 1 \ s$ સમયે,$a_t = \frac{8+4}{2\sqrt{5}} = \frac{12}{2\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} \ m/s^2$.
ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ $a_c = \sqrt{a^2 - a_t^2} = \sqrt{8 - \frac{36}{5}} = \sqrt{\frac{40-36}{5}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \ m/s^2$.
વક્રતા ત્રિજ્યા $R = \frac{v^2}{a_c} = \frac{(\sqrt{5})^2}{2/\sqrt{5}} = \frac{5 \cdot \sqrt{5}}{2} = \frac{5\sqrt{5}}{2} \ m$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે,બે પૂરક કોણો $\theta$ અને $(90^\circ - \theta)$ માટે અવધિ $R$ સમાન હોય છે.
કોણ $\theta$ માટે ઉડ્ડયન સમય $T_1 = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
કોણ $(90^\circ - \theta)$ માટે ઉડ્ડયન સમય $T_2 = \frac{2u \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2u \cos \theta}{g}$ છે.
$T_1$ અને $T_2$ નો ગુણાકાર કરતા:
$T_1 T_2 = \left(\frac{2u \sin \theta}{g}\right) \left(\frac{2u \cos \theta}{g}\right) = \frac{4u^2 \sin \theta \cos \theta}{g^2} = \frac{2u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g^2} = \frac{2u^2 \sin 2\theta}{g^2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$T_1 T_2 = \frac{2R}{g}$.
આમ,$R = \frac{T_1 T_2 g}{2}$.

(D) ની સાપેક્ષે $B$ નો કોણીય વેગ $\omega_{BA} = \frac{v_{\perp}}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_{\perp}$ એ $A$ અને $B$ ને જોડતી રેખાને લંબ $A$ ની સાપેક્ષે $B$ નો સાપેક્ષ વેગ છે.
ધારો કે રેખા $AB$ એ $x$-અક્ષ પર છે.
$B$ નો વેગ $\vec{v}_B = (-100\sqrt{3} \cos 60^{\circ}) \hat{i} + (100\sqrt{3} \sin 60^{\circ}) \hat{j} = -150 \hat{i} + 150 \sqrt{3} \hat{j} \ m/s$ છે.
$A$ નો વેગ $\vec{v}_A = (-50 \cos 30^{\circ}) \hat{i} - (50 \sin 30^{\circ}) \hat{j} = -25\sqrt{3} \hat{i} - 25 \hat{j} \ m/s$ છે.
સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A = (-150 + 25\sqrt{3}) \hat{i} + (150\sqrt{3} + 25) \hat{j} \ m/s$ છે.
$AB$ ને લંબ (જે $y$-અક્ષ પર છે) $\vec{v}_{BA}$ નો ઘટક $v_{\perp} = 150\sqrt{3} + 25 \ m/s$ છે.
$\omega_{BA} = \frac{150\sqrt{3} + 25}{20} = \frac{150(1.732) + 25}{20} = \frac{259.8 + 25}{20} = \frac{284.8}{20} = 14.24 \ rad/s$.
આમ,$14.24 \ rad/s$ એ વિકલ્પોમાં આપેલ નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે જે સમક્ષિતિજ સાથે $\alpha$ ખૂણે છે. સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos \alpha$ અને શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin \alpha$ છે.
$t$ સમય પછી,ધારો કે વેગ $v$ છે. સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે: $v_x = u \cos \alpha$.
શિરોલંબ ઘટક $v_y = u \sin \alpha - gt$ થાય છે.
વેગ પ્રારંભિક દિશાને લંબ હોય તે માટે,પ્રારંભિક વેગ સદિશ $\vec{u}$ અને અંતિમ વેગ સદિશ $\vec{v}$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
$(u \cos \alpha \hat{i} + u \sin \alpha \hat{j}) \cdot (u \cos \alpha \hat{i} + (u \sin \alpha - gt) \hat{j}) = 0$
$u^2 \cos^2 \alpha + u \sin \alpha (u \sin \alpha - gt) = 0$
$u^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = ugt \sin \alpha$
$u^2 = ugt \sin \alpha$
$t = \frac{u}{g \sin \alpha}$

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની રેન્જ $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $R = 980 \, m$ અને $\theta = 45^o$,તેથી $980 = \frac{u^2 \sin(90^o)}{g} = \frac{u^2}{g}$.
આમ,$u^2 = 980 \times 9.8 = 9604$,તેથી $u = 98 \, m/s$.
હવામાં રહેવાનો સમય $T = \frac{2u \sin\theta}{g} = \frac{2 \times 98 \times \sin(45^o)}{9.8} = \frac{20 \times 1}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \, s$.
જ્યારે $v = 18 \, km/h = 5 \, m/s$ ની ઝડપે ગતિ કરતી કારમાંથી છોડવામાં આવે,ત્યારે વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $\Delta v = 5 \, m/s$ જેટલો વધે છે.
રેન્જમાં થતો વધારો $\Delta R = \Delta v \times T = 5 \times 10\sqrt{2} = 50\sqrt{2} \, m$ છે.

(B) મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u_y^2}{2g}$ છે.
અહીં $H = 20\, m$ અને $g = 10\, m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $20 = \frac{u_y^2}{2 \times 10}$,જે પરથી $u_y^2 = 400$ મળે,એટલે કે $u_y = 20\, m/s$.
ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u_y}{g} = \frac{2 \times 20}{10} = 4\, s$ છે.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{P}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા લાગતા આઘાત જેટલો હોય છે,જે સમગ્ર ગતિ દરમિયાન નીચેની તરફ લાગે છે.
$\Delta \vec{P} = \vec{F}_{ext} \times T = (mg) \times T$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta \vec{P} = 1\, kg \times 10\, m/s^2 \times 4\, s = 40\, N-s$.

(D) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = (\hat{i} + \hat{j}) \, m/s$
પ્રવેગ $\vec{a} = (\hat{i} + \hat{j}) \, m/s^2$
સમય $t = 10 \, s$
સદિશ માટે ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{v} = (\hat{i} + \hat{j}) + (\hat{i} + \hat{j}) \times 10$
$\vec{v} = \hat{i} + \hat{j} + 10\hat{i} + 10\hat{j}$
$\vec{v} = 11\hat{i} + 11\hat{j} \, m/s$
ઝડપ એ વેગ સદિશનું મૂલ્ય છે:
$|\vec{v}| = \sqrt{(11)^2 + (11)^2}$
$|\vec{v}| = \sqrt{121 + 121} = \sqrt{242}$
$|\vec{v}| = 11\sqrt{2} \, m/s$

(A) બિંદુ $P$ ની સાપેક્ષે કણ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ એ અધોદિશામાં લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ ને કારણે છે,જે $P$ થી $x$ જેટલા આડા અંતરે લાગે છે.
$\tau = mgx$
આડો વેગ અચળ હોવાથી,$x = (V_0 \cos 45^o) t = \frac{V_0}{\sqrt{2}} t$.
તેથી,$\tau = mg \left( \frac{V_0}{\sqrt{2}} t \right) = \frac{mgV_0}{\sqrt{2}} t$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ટોર્ક એ કોણીય વેગમાનના ફેરફારનો દર છે: $\tau = \frac{dL}{dt}$.
$t = 0$ થી $t = \frac{V_0}{g}$ સુધી સમયની સાપેક્ષે સંકલન કરતા:
$L = \int_{0}^{t} \tau dt = \int_{0}^{V_0/g} \frac{mgV_0}{\sqrt{2}} t dt$
$L = \frac{mgV_0}{\sqrt{2}} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{V_0/g}$
$L = \frac{mgV_0}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \left( \frac{V_0}{g} \right)^2$
$L = \frac{mgV_0^3}{2 \sqrt{2} g^2} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \frac{mV_0^3}{g}$

(B) $1$. યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ: સંકોચાયેલી સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા જ્યારે બ્લોક સ્પ્રિંગ છોડે છે ત્યારે ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$\frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} mv^2$
$v = \sqrt{\frac{k}{m}} x$
આપેલ છે: $k = 500\,N/m$,$x = 5.0\,cm = 0.05\,m$,$m = 500\,g = 0.5\,kg$.
$v = \sqrt{\frac{500}{0.5}} \times 0.05 = \sqrt{1000} \times 0.05 = 10\sqrt{10} \times 0.05 = 0.5\sqrt{10}\,m/s$.
$2$. પ્રક્ષિપ્ત ગતિ: બ્લોક $H = 4\,m$ ની ઊંચાઈએથી આડી દિશામાં ટેબલ છોડે છે.
હવામાં રહેવાનો સમય $t = \sqrt{\frac{2H}{g}}$ દ્વારા મળે છે.
$t = \sqrt{\frac{2 \times 4}{10}} = \sqrt{0.8} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\,s$.
$3$. આડું અંતર $(R)$: $R = v \times t$
$R = (0.5\sqrt{10}) \times (\frac{2}{\sqrt{5}}) = 0.5 \times 2 \times \sqrt{\frac{10}{5}} = 1 \times \sqrt{2} = \sqrt{2}\,m$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) સ્થાન સદિશ $\vec{r} = (t^2 - 8t + 12)\hat{i} + t^2\hat{j}$ છે.
વેગ $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = (2t - 8)\hat{i} + 2t\hat{j}$.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = 2\hat{i} + 2\hat{j}$.
વેગ અને પ્રવેગ સદિશ એકબીજાને લંબ હોય ત્યારે તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{v} \cdot \vec{a} = 0$.
$(2t - 8)(2) + (2t)(2) = 0$.
$4t - 16 + 4t = 0$.
$8t = 16$.
$t = 2 \text{ sec}$.

(D) વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = 10 \, cm = 0.1 \, m$ છે. કણની ઝડપ $v = \sqrt{2} \, m/s$ છે.
જ્યારે કણ વર્તુળાકાર પથનો $\frac{3}{4}$ ભાગ કાપે છે,ત્યારે તેનું સ્થાનાંતર $\Delta r$ એ પ્રારંભિક બિંદુ $A$ અને અંતિમ બિંદુ $B$ વચ્ચેનું અંતર છે. આ $R$ લંબાઈની બે બાજુઓ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ બનાવે છે.
સ્થાનાંતર $\Delta r = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$.
કાપેલું અંતર $d = \frac{3}{4} \times (2\pi R) = \frac{3\pi R}{2}$ છે.
લાગતો સમય $t = \frac{d}{v} = \frac{3\pi R}{2v}$ છે.
સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય $|v_{avg}| = \frac{\text{સ્થાનાંતર}}{\text{સમય}} = \frac{R\sqrt{2}}{\frac{3\pi R}{2v}} = \frac{2\sqrt{2}v}{3\pi}$ થાય.
$v = \sqrt{2} \, m/s$ મૂકતા,આપણને $|v_{avg}| = \frac{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{3\pi} = \frac{4}{3\pi} \, m/s$ મળે છે.

(B) બળ $\vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{v}$ એ વેગ સદિશ છે.
અહીં,બળ ગુરુત્વાકર્ષણ છે,$\vec{F} = m\vec{g} = -mg\hat{j}$.
$O$ બિંદુએ (શરૂઆતમાં),વેગ $\vec{v}$ નો ઉર્ધ્વ ઘટક ઉપરની તરફ છે. તેથી,$\vec{F} \cdot \vec{v} = (-mg\hat{j}) \cdot (v_x\hat{i} + v_y\hat{j}) = -mgv_y$. $v_y > 0$ હોવાથી,પાવર ઋણ છે. વિધાન $A$ સાચું છે.
$A$ બિંદુએ (મહત્તમ ઊંચાઈએ),વેગ સંપૂર્ણપણે સમક્ષિતિજ છે,તેથી $\vec{v} = v_x\hat{i}$. તેથી,$P = (-mg\hat{j}) \cdot (v_x\hat{i}) = 0$. વિધાન $D$ સાચું છે.
$O'$ બિંદુએ (અંતમાં),વેગ $\vec{v}$ નો ઉર્ધ્વ ઘટક નીચેની તરફ છે. તેથી,$v_y < 0$. તેથી,$P = -mgv_y > 0$. પાવર ધન છે. વિધાન $C$ સાચું છે.
વિધાન $C$ સાચું હોવાથી,વિધાન $B$ (જે કહે છે કે $O'$ પર પાવર ઋણ છે) એ ખોટું વિધાન છે.

(C) ધારો કે દરેક દડાનું દળ $m$ છે અને પ્રક્ષેપણ ઝડપ $u$ છે.
પ્રથમ દડા માટે જે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે, પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $H_1 = \frac{u^2}{2g}$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિ ઉર્જા $PE_1 = mgH_1 = mg \left(\frac{u^2}{2g}\right) = \frac{1}{2}mu^2$ થાય.
બીજા દડા માટે જે શિરોલંબ સાથે $\theta = 60^{\circ}$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે, સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\alpha = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ થશે. પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $H_2 = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g} = \frac{u^2 \sin^2 30^{\circ}}{2g} = \frac{u^2 (1/2)^2}{2g} = \frac{u^2}{8g}$ થાય.
મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિ ઉર્જા $PE_2 = mgH_2 = mg \left(\frac{u^2}{8g}\right) = \frac{1}{8}mu^2$ થાય.
તેમની સ્થિતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{PE_1}{PE_2} = \frac{\frac{1}{2}mu^2}{\frac{1}{8}mu^2} = \frac{8}{2} = \frac{4}{1}$ છે.

(A) પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 30 \hat{i} \; m/s$.
અંતિમ વેગ $\vec{v} = 40 \hat{j} \; m/s$.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{v} = \vec{v} - \vec{u} = 40 \hat{j} - 30 \hat{i}$.
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{(-30)^2 + (40)^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \; m/s$.
સરેરાશ પ્રવેગ $\vec{a}_{avg} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{50 \; m/s}{10 \; s} = 5 \; m/s^2$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$\theta$ એ પ્રક્ષિપ્ત કોણ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
બધા પદાર્થો સમાન વેગ $u$ થી ફેંકવામાં આવતા હોવાથી,અવધિ $\sin(2\theta)$ પર આધાર રાખે છે.
$P$ માટે: $\theta = 15^{\circ}$,તેથી $2\theta = 30^{\circ}$,$\sin(30^{\circ}) = 0.5$.
$Q$ માટે: $\theta = 30^{\circ}$,તેથી $2\theta = 60^{\circ}$,$\sin(60^{\circ}) \approx 0.866$.
$R$ માટે: $\theta = 45^{\circ}$,તેથી $2\theta = 90^{\circ}$,$\sin(90^{\circ}) = 1$.
$S$ માટે: $\theta = 60^{\circ}$,તેથી $2\theta = 120^{\circ}$,$\sin(120^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) \approx 0.866$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$\sin(30^{\circ})$ સૌથી નાની છે. તેથી,પદાર્થ $P$ ની અવધિ સૌથી ઓછી છે.

(A) સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
અહીં $R = 5\sqrt{3}\,m$,$u = 10\,m/s$ અને $g = 10\,m/s^2$ લેતા:
$5\sqrt{3} = \frac{10^2 \sin 2\theta}{10} \implies 5\sqrt{3} = 10 \sin 2\theta \implies \sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$2\theta = 60^{\circ}$ અથવા $2\theta = 120^{\circ}$,જે $\theta_1 = 30^{\circ}$ અને $\theta_2 = 60^{\circ}$ આપે છે.
ઉડ્ડયન સમયનું સૂત્ર $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
$\theta_1 = 30^{\circ}$ માટે,$T_1 = \frac{2 \times 10 \times \sin 30^{\circ}}{10} = 2 \times 0.5 = 1\,s$.
$\theta_2 = 60^{\circ}$ માટે,$T_2 = \frac{2 \times 10 \times \sin 60^{\circ}}{10} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\,s$.
દડાઓ જમીન પર અથડાય છે તે વચ્ચેનો સમયગાળો $\Delta t = T_2 - T_1 = (\sqrt{3} - 1)\,s$ છે.