Horizontal Projectile Motion Questions in Gujarati

(C) ફૂડ પેકેટને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમય દરમિયાન પેકેટ દ્વારા કાપવામાં આવેલ આડું અંતર (અવધિ) $R = v \cdot t = v \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
જ્યારે પેકેટ છોડવામાં આવે છે,ત્યારે હેલિકોપ્ટર માણસથી આડા અંતર $R$ અને ઊભી ઊંચાઈ $h$ પર હોય છે.
માણસથી હેલિકોપ્ટરનું અંતર $D$ એ $R$ અને $h$ દ્વારા રચાયેલા કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ છે:
$D = \sqrt{R^{2} + h^{2}}$
$R$ ની કિંમત મૂકતા:
$D = \sqrt{\left(v \sqrt{\frac{2h}{g}}\right)^{2} + h^{2}}$
$D = \sqrt{\frac{2v^{2}h}{g} + h^{2}}$

(C) $1$. સૌ પ્રથમ,યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને સ્પ્રિંગ ગનમાંથી બહાર નીકળતી વખતે દડાનો વેગ $v$ શોધો:
$\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m v^2$
અહીં $k = 100\, \text{N/m}$,$x = 0.05\, \text{m}$,અને $m = 100\, \text{g} = 0.1\, \text{kg}$ છે.
$100 \times (0.05)^2 = 0.1 \times v^2$
$100 \times 0.0025 = 0.1 \times v^2$
$0.25 = 0.1 \times v^2$
$v^2 = 2.5$
$v = \sqrt{2.5}\, \text{m/s}$.
$2$. ત્યારબાદ,આડી પ્રક્ષિપ્ત ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને $2\, \text{m}$ ઊંચાઈએથી જમીન પર પહોંચવા માટે દડાને લાગતો સમય $t$ શોધો:
$h = \frac{1}{2} g t^2$
$2 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$2 = 5 t^2$
$t^2 = 0.4$
$t = \sqrt{0.4}\, \text{s}$.
$3$. અંતે,આડું અંતર $d$ શોધો:
$d = v \times t$
$d = \sqrt{2.5} \times \sqrt{0.4}$
$d = \sqrt{2.5 \times 0.4}$
$d = \sqrt{1} = 1\, \text{m}$.
આમ,$d$ નું મૂલ્ય $1\, \text{m}$ છે.

(A) ક્ષિતિજ સાથે પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ છે.
ગતિપથના મહત્તમ બિંદુએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે અને માત્ર વેગનો ક્ષિતિજ ઘટક બાકી રહે છે.
વેગનો ક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $u = 10 \ ms^{-1}$ અને $\theta = 30^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી:
$v_x = 10 \cos 30^{\circ} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3} \ ms^{-1}$.
આમ,મહત્તમ બિંદુએ ઝડપ $5 \sqrt{3} \ ms^{-1}$ છે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. કોઈપણ સમયે $t$ પર વેગના સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકો નીચે મુજબ છે:
$v_x = u \cos 45^{\circ} = \frac{u}{\sqrt{2}}$
$v_y = u \sin 45^{\circ} - gt = \frac{u}{\sqrt{2}} - 10(2) = \frac{u}{\sqrt{2}} - 20$
આપેલ છે કે $t = 2 \, s$ પર પરિણામી વેગ $20 \, m/s$ છે,તેથી:
$v^2 = v_x^2 + v_y^2$
$20^2 = \left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{u}{\sqrt{2}} - 20\right)^2$
$400 = \frac{u^2}{2} + \frac{u^2}{2} - 20\sqrt{2}u + 400$
$0 = u^2 - 20\sqrt{2}u$
$u \neq 0$ હોવાથી,આપણને $u = 20\sqrt{2} \, m/s$ મળે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નીચે મુજબ મળે છે:
$H = \frac{u^2 \sin^2 45^{\circ}}{2g} = \frac{(20\sqrt{2})^2 \times (1/2)}{2 \times 10} = \frac{800 \times 0.5}{20} = \frac{400}{20} = 20 \, m$.

(D) સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{V^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2V^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટે લાગતો સમય (જ્યાં ખૂણો શૂન્ય થાય છે) $t = \frac{V \sin\theta}{g}$ છે.
આથી,$V \sin\theta = gt$,તેથી $V = \frac{gt}{\sin\theta}$ મળે.
$V$ ની કિંમત અવધિના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{2(gt/\sin\theta)^2 \sin\theta \cos\theta}{g} = \frac{2g^2 t^2 \sin\theta \cos\theta}{g \sin^2\theta} = \frac{2gt^2 \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{2gt^2}{\tan\theta}$.
$g = 10 \, m/s^2$ લેતા,$R = \frac{2(10)t^2}{\tan\theta} = \frac{20t^2}{\tan\theta}$ મળે.
$\theta$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$\tan\theta = \frac{20t^2}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $\cot\theta = \frac{R}{20t^2}$.
તેથી,$\theta = \cot^{-1}\left(\frac{R}{20t^2}\right)$.

(A) સમાન અવધિ માટે,પ્રક્ષિપ્ત ખૂણાઓ $\theta_{1} + \theta_{2} = 90^{\circ}$ નું પાલન કરે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta_{2} = 90^{\circ} - \theta_{1}$ થાય.
મહત્તમ ઊંચાઈઓ $h_{1} = \frac{u^{2} \sin^{2} \theta_{1}}{2g}$ અને $h_{2} = \frac{u^{2} \sin^{2} \theta_{2}}{2g} = \frac{u^{2} \cos^{2} \theta_{1}}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ ઊંચાઈઓનો ગુણાકાર કરતા,આપણને $h_{1} h_{2} = \left(\frac{u^{2} \sin^{2} \theta_{1}}{2g}\right) \cdot \left(\frac{u^{2} \cos^{2} \theta_{1}}{2g}\right)$ મળે છે.
આને $h_{1} h_{2} = \frac{u^{4} \sin^{2} \theta_{1} \cos^{2} \theta_{1}}{4g^{2}} = \left(\frac{u^{2} \cdot 2 \sin \theta_{1} \cos \theta_{1}}{4g}\right)^{2} = \left(\frac{u^{2} \sin(2\theta_{1})}{4g}\right)^{2}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
અવધિ $R = \frac{u^{2} \sin(2\theta_{1})}{g}$ હોવાથી,આપણને $h_{1} h_{2} = \left(\frac{R}{4}\right)^{2} = \frac{R^{2}}{16}$ મળે છે.
તેથી,$R^{2} = 16 h_{1} h_{2}$,જે સૂચવે છે કે $R = 4 \sqrt{h_{1} h_{2}}$ થાય.
આમ,વિધાન $A$ અને કારણ $R$ બંને સાચા છે,અને $R$ એ $A$ માટે સાચી ગાણિતિક સમજૂતી પૂરી પાડે છે.

(C) ગોળી ફાઈટર જેટને અથડાય તે માટે,ગોળીના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક જેટના સમક્ષિતિજ વેગ જેટલો હોવો જોઈએ જેથી ગોળી તેની સમગ્ર ઉડાન દરમિયાન જેટની બરાબર નીચે રહે.
ધારો કે જેટની ઝડપ $v_j = 200 \; m/s$ છે અને ગોળીની ઝડપ $v_b = 400 \; m/s$ છે.
ગોળીના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_{bx} = v_b \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમક્ષિતિજ ઘટકોને સરખાવતા: $v_j = v_b \cos \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $200 = 400 \cos \theta$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{200}{400} = 0.5$.
આમ,$\theta = \cos^{-1}(0.5) = 60^\circ$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R_{\max}$ નું સૂત્ર $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
આપેલ છે કે $R_{\max} = 100 \, m$,તેથી $\frac{u^2}{g} = 100 \, m$.
જ્યારે દડાને શિરોલંબ દિશામાં ઉપર ફેંકવામાં આવે ત્યારે પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{\max} = \frac{u^2}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઊંચાઈના સૂત્રમાં $\frac{u^2}{g}$ ની કિંમત મૂકતા:
$H_{\max} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{u^2}{g}\right) = \frac{1}{2} \times 100 \, m = 50 \, m$.
આમ,તે વ્યક્તિ દડાને મહત્તમ $50 \, m$ ની ઊંચાઈ સુધી ફેંકી શકે છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અવધિ અને મહત્તમ ઊંચાઈ સમાન છે,તેથી $R = H$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g} = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$.
બંને બાજુથી $u^2/g$ ને દૂર કરતા: $2 \sin\theta \cos\theta = \frac{\sin^2\theta}{2}$.
બંને બાજુને $\sin\theta$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\sin\theta \neq 0$): $2 \cos\theta = \frac{\sin\theta}{2}$.
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ માટે ગોઠવતા: $\tan\theta = 4$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$\theta$ એ પ્રક્ષેપણ કોણ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
અહીં બંને પદાર્થો માટે $u$ સમાન હોવાથી,તેમની અવધિનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\sin(2\theta_1)}{\sin(2\theta_2)}$ થશે.
$\theta_1 = 45^{\circ}$ માટે,$2\theta_1 = 90^{\circ}$,તેથી $\sin(90^{\circ}) = 1$.
$\theta_2 = 30^{\circ}$ માટે,$2\theta_2 = 60^{\circ}$,તેથી $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
આમ,ગુણોત્તર $2: \sqrt{3}$ છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરવા માટે લાગતો સમય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$t = \frac{u \sin \theta}{g}$
આપેલ છે કે બંને પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થો સમાન સમયમાં મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે,તેથી:
$t_1 = t_2$
$\frac{u_1 \sin \theta_1}{g} = \frac{u_2 \sin \theta_2}{g}$
આપેલ ખૂણાઓ $\theta_1 = 30^{\circ}$ અને $\theta_2 = 45^{\circ}$ મૂકતા:
$u_1 \sin 30^{\circ} = u_2 \sin 45^{\circ}$
$u_1 \left( \frac{1}{2} \right) = u_2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
ગુણોત્તર $\frac{u_1}{u_2}$ શોધવા માટે:
$\frac{u_1}{u_2} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
તેથી,તેમના પ્રારંભિક વેગનો ગુણોત્તર $\sqrt{2}: 1$ છે.

(C) પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $u_x = 1\,m/s$ આપેલ છે.
ગતિપથનું સમીકરણ $y = 5x - 5x^2$ છે.
સમીકરણનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને શિરોલંબ વેગનો ઘટક $v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$ મળે છે.
પ્રથમ,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(5x - 5x^2) = 5 - 10x$ શોધો.
કારણ કે $v_x = \frac{dx}{dt} = u_x = 1$ (સમક્ષિતિજ વેગ અચળ ધારતા),આપણને $v_y = (5 - 10x) \cdot 1$ મળે છે.
પ્રારંભિક બિંદુએ,$x = 0$ હોય છે.
તેથી,પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $u_y = (5 - 10(0)) = 5\,m/s$.
આમ,પ્રારંભિક વેગનો $y$-ઘટક સદિશ $5\,\hat{j}$ છે.

(D) ગતિપથનું સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
આપેલ છે કે $\theta = 45^{\circ}$,$x = 20$,$y = 10$,અને $g = 10 \ m/s^2$.
$10 = 20(1) - \frac{10(20)^2}{2u^2(1/2)} \Rightarrow 10 = 20 - \frac{4000}{u^2} \Rightarrow \frac{4000}{u^2} = 10 \Rightarrow u^2 = 400 \Rightarrow u = 20 \ m/s$.
ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u \sin \theta}{g} = \frac{2(20)(1/\sqrt{2})}{10} = 2\sqrt{2} \ s$.
$t = \frac{T}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2 \ s$ સમયે.
વેગના ઘટકો $v_x = u \cos \theta = 20(1/\sqrt{2}) = 10\sqrt{2} \ m/s$ અને $v_y = u \sin \theta - gt = 20(1/\sqrt{2}) - 10(2) = 10\sqrt{2} - 20 \ m/s$ છે.
વેગમાન સદિશ $\vec{p} = m\vec{v} = 10(10\sqrt{2} \hat{i} + (10\sqrt{2} - 20) \hat{j}) = 100\sqrt{2} \hat{i} + (100\sqrt{2} - 200) \hat{j} \ kg \cdot m/s$.

(C) દડાની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2} mu^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે。
પ્રક્ષિપ્ત ગતિના મહત્તમ બિંદુએ, વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે અને દડા પાસે ફક્ત વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક જ બાકી રહે છે。
મહત્તમ બિંદુએ વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos 60^{\circ} = u \times \frac{1}{2} = \frac{u}{2}$ છે。
તેથી, મહત્તમ બિંદુએ ગતિઊર્જા $E' = \frac{1}{2} m v_x^2 = \frac{1}{2} m \left(\frac{u}{2}\right)^2$ થશે。
$E' = \frac{1}{2} m \frac{u^2}{4} = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{2} mu^2\right) = \frac{E}{4}$.

(C) સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
મહત્તમ અવધિ માટે,$\theta = 45^{\circ}$,તેથી $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$.
બીજા પદાર્થ માટે,અવધિ $R' = \frac{R_{\max}}{2} = \frac{u^2}{2g}$ છે.
બીજા પદાર્થ માટે અવધિના સૂત્રને સરખાવતા: $\frac{u^2 \sin 2\theta'}{g} = \frac{u^2}{2g}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\sin 2\theta' = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$2\theta' = 30^{\circ}$ અથવા $2\theta' = 150^{\circ}$.
$\theta'$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\theta' = 15^{\circ}$ અથવા $\theta' = 75^{\circ}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે,ઇમારતથી ઉંદરના પડવાનું અંતર,$s = 12 \, m$.
દરેક માળની ઊંચાઈ,$h = 3 \, m$.
ઇમારતની કુલ ઊંચાઈ,$H = 15 \times 3 = 45 \, m$.
ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ શિરોલંબ ગતિ માટે ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા (પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $u_y = 0$ લેતા):
$H = u_y t + \frac{1}{2} g t^2$
$45 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$45 = 5 t^2$
$t^2 = 9 \Rightarrow t = 3 \, s$.
હવે,અચળ ઝડપ $v$ સાથેની સમક્ષિતિજ ગતિ માટે:
$s = v \times t$
$12 = v \times 3$
$v = 4 \, m/s$.
$m/s$ ને $km/h$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{18}{5}$ વડે ગુણો:
$v = 4 \times \frac{18}{5} = \frac{72}{5} = 14.4 \, km/h$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,ઝડપ $15 \, km/h$ છે.

(B) સમાન પ્રક્ષિપ્ત વેગ માટે અવધિ સમાન હોવાથી,પ્રક્ષિપ્ત કોણો પરસ્પર કોટિકોણ હોવા જોઈએ.
ધારો કે ખૂણાઓ $\theta_1$ અને $\theta_2$ છે. તેથી $\theta_1 + \theta_2 = 90^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\theta_1 = 30^{\circ}$,તેથી $\theta_2 = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
પ્રથમ દડા માટે,$h = \frac{u^2 \sin^2(30^{\circ})}{2g} = \frac{u^2}{2g} \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{u^2}{8g}$.
બીજા દડા માટે,$H_2 = \frac{u^2 \sin^2(60^{\circ})}{2g} = \frac{u^2}{2g} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{u^2}{2g} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3u^2}{8g}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$H_2 = 3 \left(\frac{u^2}{8g}\right) = 3h$.

(A) $t$ સમયમાં,$m$ દળ ધરાવતો કણ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ $h$ જેટલું શિરોલંબ અંતર નીચે પડે છે,જે ગતિના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$h = \frac{1}{2} g t^2$
અહીં,આડું (ક્ષૈતિજ) કાપેલું અંતર $d$ છે અને આડી દિશામાં ફોટોનની ઝડપ $c$ છે. આ આડું અંતર $d$ કાપવા માટે લાગતો સમય:
$t = \frac{d}{c}$
$t$ ની કિંમત શિરોલંબ અંતર $h$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$h = \frac{1}{2} g \left( \frac{d}{c} \right)^2$
$h = \frac{g d^2}{2 c^2}$
આમ,ફોટોન $\frac{g d^2}{2 c^2}$ જેટલા શિરોલંબ અંતર નીચે પડશે.

(B) મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતા સમયને ઉર્ધ્વગમન સમય $(t_a = 4 \, s)$ કહેવામાં આવે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળના પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે,જો પ્રક્ષેપણ બિંદુ અને લેન્ડિંગ બિંદુ સમાન સમક્ષિતિજ સ્તર પર હોય,તો અધોગમન સમય $(t_d)$ એ ઉર્ધ્વગમન સમય $(t_a)$ જેટલો જ હોય છે.
તેથી,$t_d = 4 \, s$.
કુલ ઉડ્ડયન સમય $(T)$ એ ઉર્ધ્વગમન સમય અને અધોગમન સમયનો સરવાળો છે:
$T = t_a + t_d = 4 \, s + 4 \, s = 8 \, s$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2v \sin \theta}{g}$ છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક ઝડપ $v = 20 \, m/s$,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 30^{\circ}$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{2 \times 20 \times \sin 30^{\circ}}{10}$
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$ અથવા $\frac{1}{2}$ છે:
$T = \frac{2 \times 20 \times 0.5}{10} = \frac{20}{10} = 2 \, s$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
આપેલ છે: $u = 20 \, m/s$,$H = 10 \, m$,અને $g = 10 \, m/s^2$ લેતા.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$10 = \frac{(20)^2 \sin^2 \theta}{2 \times 10}$
$10 = \frac{400 \sin^2 \theta}{20}$
$10 = 20 \sin^2 \theta$
$\sin^2 \theta = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$
$\sin \theta = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,$\theta = 45^{\circ}$.

(A) પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}$ છે.
ઉડાનના અંતે (જ્યારે તે જમીન પર પાછો આવે છે),વેગ $\vec{v} = u \cos \theta \hat{i} - u \sin \theta \hat{j}$ થાય છે.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{p} = m\vec{v} - m\vec{u} = m(\vec{v} - \vec{u})$ છે.
$\Delta \vec{p} = m(u \cos \theta \hat{i} - u \sin \theta \hat{j} - (u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}))$.
$\Delta \vec{p} = m(-2u \sin \theta \hat{j})$.
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{p}| = 2mu \sin \theta$ છે.
અહીં $m = 1 \, kg$,$u = 50 \, m/s$,અને $\theta = 30^{\circ}$ આપેલ છે.
$|\Delta \vec{p}| = 2 \times 1 \times 50 \times \sin 30^{\circ} = 100 \times 0.5 = 50 \, kg \cdot m/s$.

(D) શેલને $v_2$ વેગથી સમક્ષિતિજ ગતિ કરતી ટ્રોલીમાંથી $v_1$ વેગથી શિરોલંબ ઉપરની તરફ છોડવામાં આવે છે. તેથી,જમીનની સાપેક્ષે શેલનો પ્રારંભિક વેગ સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = v_2$ અને શિરોલંબ ઘટક $u_y = v_1$ ધરાવે છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ પ્રવેગ નથી $(a_x = 0)$.
શિરોલંબ દિશામાં,પ્રવેગ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે છે $(a_y = -g)$.
ઉડ્ડયન સમય $T$ શિરોલંબ ગતિ દ્વારા નક્કી થાય છે. જ્યારે શિરોલંબ સ્થાનાંતર શૂન્ય થાય ત્યારે શેલ ટ્રોલીના સ્તર પર પાછો આવે છે:
$y = u_y T - \frac{1}{2} g T^2 = 0$
$v_1 T - \frac{1}{2} g T^2 = 0$
$T = \frac{2 v_1}{g}$
સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ એ ઉડ્ડયન સમય $T$ દરમિયાન કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર છે:
$R = u_x \times T$
$R = v_2 \times \frac{2 v_1}{g} = \frac{2 v_1 v_2}{g}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) પ્રારંભિક વેગના ઘટકો $u_x = u \cos \theta = 80 \cos 30^{\circ} = 80 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 40 \sqrt{3} \,m/s$ અને $u_y = u \sin \theta = 80 \sin 30^{\circ} = 80 \times \frac{1}{2} = 40 \,m/s$ છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર કણનું સ્થાન $x(t) = u_x t$ અને $y(t) = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t_1 = 2 \,s$ પર:
$x_1 = (40 \sqrt{3}) \times 2 = 80 \sqrt{3} \,m$
$y_1 = 40 \times 2 - \frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 = 80 - 20 = 60 \,m$
$t_2 = 6 \,s$ પર:
$x_2 = (40 \sqrt{3}) \times 6 = 240 \sqrt{3} \,m$
$y_2 = 40 \times 6 - \frac{1}{2} \times 10 \times (6)^2 = 240 - 180 = 60 \,m$
અહીં $y_1 = y_2$ હોવાથી,સ્થાનાંતર સદિશ $\Delta \vec{r} = (x_2 - x_1) \hat{i} + (y_2 - y_1) \hat{j} = (240 \sqrt{3} - 80 \sqrt{3}) \hat{i} + 0 \hat{j} = 160 \sqrt{3} \hat{i} \,m$ થાય.
સમયગાળો $\Delta t = 6 - 2 = 4 \,s$ છે.
સરેરાશ વેગ $\vec{v}_{avg} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{160 \sqrt{3}}{4} \hat{i} = 40 \sqrt{3} \hat{i} \,m/s$ મળે.
આમ,સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય $40 \sqrt{3} \,m/s$ છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊર્ધ્વ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થો સમાન ઊર્ધ્વ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે,તેથી $H_1 = H_2$.
સૂત્ર મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{u_1^2 \sin^2 \theta_1}{2g} = \frac{u_2^2 \sin^2 \theta_2}{2g}$.
બંને બાજુથી $2g$ દૂર કરતા,$u_1^2 \sin^2 \theta_1 = u_2^2 \sin^2 \theta_2$.
અહીં $\theta_1 = 45^{\circ}$ અને $\theta_2 = 60^{\circ}$ હોવાથી,$u_1^2 \sin^2 45^{\circ} = u_2^2 \sin^2 60^{\circ}$.
કિંમતો $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મૂકતા,$u_1^2 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = u_2^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $u_1^2 \left(\frac{1}{2}\right) = u_2^2 \left(\frac{3}{4}\right)$.
ગુણોત્તર $\frac{u_1^2}{u_2^2}$ માટે ગોઠવતા,$\frac{u_1^2}{u_2^2} = \frac{3/4}{1/2} = \frac{3}{4} \times 2 = \frac{3}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,વેગનો ગુણોત્તર $\frac{u_1}{u_2} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ કરતાં બમણી છે,તેથી $R = 2H$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમક્ષિતિજ અવધિ અને મહત્તમ ઊંચાઈના સૂત્રો $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ અને $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
આ કિંમતોને $R = 2H$ માં મૂકતા:
$\frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g} = 2 \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin^2 \theta$
બંને બાજુ $\sin \theta$ વડે ભાગતા ($\sin \theta \neq 0$ ધારીને):
$2 \cos \theta = \sin \theta \Rightarrow \tan \theta = 2$.
ત્રિકોણ પરથી જ્યાં $\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{2}{1}$,કર્ણ $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ થશે.
તેથી,$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
હવે,અવધિ $R$ ની ગણતરી કરતા:
$R = \frac{2 u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{2 u^2}{g} \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{4 u^2}{5g}$.

(A) મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે,તેથી પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો વેગ તેના સમક્ષિતિજ ઘટક જેટલો હોય છે,$v = u \cos \theta$.
આપેલ છે કે મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગ એ પ્રારંભિક વેગ $u$ ના $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ગણો છે,તેથી:
$u \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} u$
$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\theta = 30^{\circ}$
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ માટેનું સૂત્ર:
$R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$
સૂત્રમાં $\theta = 30^{\circ}$ મૂકતા:
$R = \frac{u^2 \sin(2 \times 30^{\circ})}{g} = \frac{u^2 \sin 60^{\circ}}{g}$
કારણ કે $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી આપણને મળે છે:
$R = \frac{u^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{g} = \frac{\sqrt{3} u^2}{2 g}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે,મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $R_{\max} = 400 \, m$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો વેગ તેના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ ન્યૂનતમ હોય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ,કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $x = \frac{R}{2} = \frac{400}{2} = 200 \, m$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મહત્તમ અવધિ માટે,$\theta = 45^\circ$,તેથી $H = \frac{u^2 \sin^2 45^\circ}{2g} = \frac{u^2 (1/2)}{2g} = \frac{u^2}{4g} = \frac{R_{\max}}{4}$ થાય.
$H = \frac{400}{4} = 100 \, m$.
આમ,મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુના યામ $(x, H) = (200, 100) \, m$ છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2 u \sin \theta}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $\theta$ એ પ્રક્ષિપ્ત કોણ છે.
આના પરથી,પ્રારંભિક વેગ $u = \frac{g T}{2 \sin \theta}$ મળે છે.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R = \frac{2 u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
$u$ ની કિંમત અવધિના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{2}{g} \left(\frac{g T}{2 \sin \theta}\right)^2 \sin \theta \cos \theta$.
સાદુરૂપ આપતા: $R = \frac{2}{g} \cdot \frac{g^2 T^2}{4 \sin^2 \theta} \cdot \sin \theta \cos \theta$.
$R = \frac{g T^2}{2} \cdot \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{g T^2}{2 \tan \theta}$.
$\tan \theta$ ને કર્તા બનાવતા: $\tan \theta = \frac{g T^2}{2 R}$.
તેથી,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{g T^2}{2 R}\right)$ છે.

(C) આલેખ સમય $t$ સાથે અચળ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં, વેગનો ક્ષૈતિજ ઘટક $(v_x)$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે કારણ કે ક્ષૈતિજ દિશામાં કોઈ પ્રવેગ હોતો નથી $(a_x = 0)$.
તેથી, $v_x = u_x = \text{અચળ}$.
ગતિ ઉર્જા, વેગમાન અને શિરોલંબ વેગ જેવી અન્ય રાશિઓ સમય સાથે બદલાય છે.
આમ, $y$-અક્ષ પર દર્શાવેલ રાશિ ક્ષૈતિજ વેગ છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ $y = ax - bx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ સમક્ષિતિજ સમતલ પર પાછો આવે છે,ત્યારે તેનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = 0$ થાય છે.
આ બિંદુએ,સમક્ષિતિજ અંતર $x$ એ અવધિ $R$ જેટલું હોય છે.
સમીકરણમાં $y = 0$ અને $x = R$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$0 = aR - bR^2$
$aR = bR^2$
અહીં $R \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુને $R$ વડે ભાગતા:
$a = bR$
$R = \frac{a}{b}$
આમ,અવધિ $\frac{a}{b}$ છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $h = \frac{H}{2} = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{4g}$ ઊંચાઈએ વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y$ શોધવાનો છે.
ગતિના સમીકરણ $v_y^2 = u_y^2 - 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u_y = v \sin \theta$ એ પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ છે:
$v_y^2 = (v \sin \theta)^2 - 2g \left( \frac{v^2 \sin^2 \theta}{4g} \right)$
$v_y^2 = v^2 \sin^2 \theta - \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2}$
$v_y^2 = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે છે:
$v_y = \frac{v \sin \theta}{\sqrt{2}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$y = x \tan \theta \left(1 - \frac{x}{R}\right)$
જ્યાં $R$ એ સમક્ષિતિજ અવધિ (range) છે.
આકૃતિ પરથી,કુલ અવધિ $R = x_1 + x_2$ છે.
બિંદુ $P$ પર,સમક્ષિતિજ અંતર $x = x_1$ છે.
આ કિંમતોને ગતિપથના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = x_1 \tan \theta \left(1 - \frac{x_1}{x_1 + x_2}\right)$
$y = x_1 \tan \theta \left(\frac{x_1 + x_2 - x_1}{x_1 + x_2}\right)$
$y = x_1 \tan \theta \left(\frac{x_2}{x_1 + x_2}\right)$
$y = \left[\frac{x_1 x_2}{x_1 + x_2}\right] \tan \theta$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ છે:
સમક્ષિતિજ અંતર $x = 100 \,m$
શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = 10 \,cm = 0.1 \,m$
પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $u_y = 0$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$
સમક્ષિતિજ પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે,શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$y = \frac{1}{2} g t^2$
$0.1 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$0.1 = 5 t^2$
$t^2 = 0.02$
$t = \sqrt{0.02} \,s$
સમક્ષિતિજ અંતર $x$ એ અચળ સમક્ષિતિજ વેગ $u$ સાથે કાપવામાં આવે છે:
$x = u \times t$
$100 = u \times \sqrt{0.02}$
$u = \frac{100}{\sqrt{0.02}} = \frac{100}{\sqrt{2 \times 10^{-2}}} = \frac{100}{0.1414} \approx 707 \,m/s$
આમ,$A$ પાસે ગોળીનો વેગ આશરે $700 \,m/s$ છે.

(B) મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે અને વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v = u \cos \theta$ હોય છે.
આ બિંદુએ પદાર્થ પર લાગતો પ્રવેગ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ છે,જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ નું સૂત્ર $a_c = \frac{v^2}{R}$ છે,જ્યાં $R$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,પ્રવેગ $g$ એ વેગ $v$ ને લંબ હોય છે. તેથી,$g$ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેથી,$g = \frac{(u \cos \theta)^2}{R}$.
$R$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,આપણને $R = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{g}$ મળે છે.

(A) કોઈપણ સમયે $(t)$ ગતિપથનો ઢાળ $(m)$ એ વેગ સદિશ સમક્ષિતિજ સાથે બનાવેલા ખૂણા $\phi$ ના ટેન્જન્ટ (tangent) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $(t)$ પર વેગના ઘટકો $v_x = u \cos \theta$ અને $v_y = u \sin \theta - g t$ છે.
ઢાળ $(m)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$m = \tan \phi = \frac{v_y}{v_x} = \frac{u \sin \theta - g t}{u \cos \theta}$
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$m = \frac{u \sin \theta}{u \cos \theta} - \frac{g t}{u \cos \theta}$
$m = \tan \theta - \left( \frac{g}{u \cos \theta} \right) t$
આ સમીકરણ $m = c - k t$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $c = \tan \theta$ (અચળાંક) અને $k = \frac{g}{u \cos \theta}$ (ધન અચળાંક) છે.
આ એક એવી સીધી રેખા દર્શાવે છે જેનો $y$-અંતઃખંડ $(\tan \theta)$ ધન છે અને ઢાળ $(-k)$ ઋણ છે. તેથી,$m$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે.

(B) મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = \sqrt{\frac{2gH}{u^2}}$.
અવધિ $R = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\sin \theta$ અને $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{2gH}{u^2}}$ ની કિંમત અવધિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = \frac{2u^2}{g} \cdot \sqrt{\frac{2gH}{u^2}} \cdot \sqrt{1 - \frac{2gH}{u^2}} = \frac{2u^2}{g} \cdot \frac{\sqrt{2gH}}{u} \cdot \sqrt{\frac{u^2 - 2gH}{u^2}}$.
આને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $R = \frac{2}{g} \cdot \sqrt{2gH} \cdot \sqrt{u^2 - 2gH}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$R^2 = \frac{4}{g^2} \cdot 2gH \cdot (u^2 - 2gH) = \frac{8H}{g} (u^2 - 2gH)$.
$u^2$ માટે ગોઠવતા:
$u^2 - 2gH = \frac{R^2 g}{8H} \Rightarrow u^2 = 2gH + \frac{R^2 g}{8H}$.
આમ,પ્રક્ષિપ્ત વેગ $u = \sqrt{2gH + \frac{R^2 g}{8H}}$ છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta$ છે.
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \theta$ (અચળ) છે.
સમય $t$ પર વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y = u \sin \theta - gt$ છે.
આપેલ છે કે $t = 1 \, s$ પર,સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે:
$\tan 45^{\circ} = \frac{v_y}{v_x} = \frac{u \sin \theta - g(1)}{u \cos \theta} = 1$
$u \sin \theta - g = u \cos \theta \implies u \sin \theta - u \cos \theta = g \quad \dots (1)$
આપેલ છે કે $t = 2 \, s$ પર ઝડપ ન્યૂનતમ છે. પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ઝડપ મહત્તમ ઊંચાઈએ ન્યૂનતમ હોય છે જ્યાં વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે $(v_y = 0)$:
$u \sin \theta - g(2) = 0 \implies u \sin \theta = 2g \quad \dots (2)$
$(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$2g - u \cos \theta = g \implies u \cos \theta = g \quad \dots (3)$
$(2)$ ને $(3)$ વડે ભાગતા:
$\frac{u \sin \theta}{u \cos \theta} = \frac{2g}{g} \implies \tan \theta = 2$
$\theta = \tan^{-1}(2)$.

(D) ધારો કે થાંભલાની ઊંચાઈ $h$ છે. દડાને $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે.
ધારો કે $\alpha$ એ પ્રક્ષેપણ બિંદુથી થાંભલાની ટોચનો ઉત્સેધકોણ છે,અને $\beta$ એ થાંભલાની ટોચથી દડો જ્યાં પડે છે તે બિંદુનો અવસેધકોણ છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિના ભૌમિતિક ગુણધર્મ મુજબ,$\tan \alpha = \frac{h}{d_1}$ અને $\tan \beta = \frac{h}{d_2}$ થાય.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \tan \alpha + \tan \beta$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan 45^{\circ} = \frac{h}{d_1} + \frac{h}{d_2}$.
$\tan 45^{\circ} = 1$ હોવાથી,$1 = h \left(\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2}\right) = h \left(\frac{d_1 + d_2}{d_1 d_2}\right)$.
તેથી,થાંભલાની ઊંચાઈ $h = \frac{d_1 d_2}{d_1 + d_2}$ મળે.

(C) $t_1$ અને $t_2$ સમય વચ્ચે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર શૂન્ય છે કારણ કે કણ બંને સમયે સમાન ઊંચાઈ પર છે.
સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમયગાળો.
સરેરાશ વેગ $\vec{v}_{avg} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{\Delta x \hat{i} + \Delta y \hat{j}}{t_2 - t_1}$.
ઊંચાઈ સમાન હોવાથી,$\Delta y = 0$.
સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $\Delta x = v_x \times (t_2 - t_1)$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $v_x = u \cos \theta$.
તેથી,$\Delta x = (u \cos \theta)(t_2 - t_1)$.
આ કિંમત સરેરાશ વેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $\vec{v}_{avg} = \frac{(u \cos \theta)(t_2 - t_1) \hat{i} + 0 \hat{j}}{t_2 - t_1} = u \cos \theta \hat{i}$.
આમ,સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય $u \cos \theta$ છે.

(A) ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{2 \times 20 \times \sin(30^{\circ})}{10} = \frac{2 \times 20 \times 0.5}{10} = 2 \, s$.
આપણને $t = 1 \, s$ સમયે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ શોધવાનું કહ્યું છે.
કુલ ઉડ્ડયન સમય $2 \, s$ હોવાથી,પદાર્થ $t = \frac{T}{2} = 1 \, s$ સમયે તેના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ પહોંચશે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ,વેગ સંપૂર્ણપણે સમક્ષિતિજ હોય છે અને પ્રવેગ સંપૂર્ણપણે શિરોલંબ ($g$ જેટલો) હોય છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ ની વ્યાખ્યા $a_c = \frac{v^2}{R}$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = \frac{v_x^2}{g}$ થાય છે.
$a_c$ ના સૂત્રમાં $R$ ની કિંમત મૂકતા,$a_c = \frac{v_x^2}{(v_x^2/g)} = g$ મળે છે.
તેથી,મહત્તમ ઊંચાઈએ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$ છે.

(B) જ્યારે કોઈ ગતિમાન પદાર્થ પર તેના પ્રારંભિક વેગને સમાંતર કે પ્રતિ-સમાંતર ન હોય તેવી દિશામાં અચળ બળ લાગે છે,ત્યારે પદાર્થ તે દિશામાં અચળ પ્રવેગ અનુભવે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $\vec{u}$ છે અને અચળ પ્રવેગ $\vec{a}$ છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર પદાર્થનું સ્થાન $\vec{r}(t) = \vec{u}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ સ્થાનાંતર અને સમય વચ્ચેનો દ્વિઘાત સંબંધ દર્શાવે છે,જે પરવલયનું લાક્ષણિક સમીકરણ છે.
તેથી,પદાર્થ દ્વારા અનુસરવામાં આવતો માર્ગ પરવલયાકાર હોય છે.

(B) જો સમાન ઝડપથી ફેંકવામાં આવેલા બે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થો માટે અવધિ સમાન હોય,તો પ્રક્ષિપ્ત કોણ પૂરક હોવા જોઈએ,એટલે કે $\theta$ અને $(90^\circ - \theta)$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
પ્રથમ પથ્થર માટે,$h_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
બીજા પથ્થર માટે,$h_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^\circ - \theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$.
બંને ઊંચાઈઓનો સરવાળો કરતા:
$h_1 + h_2 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} + \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$
$h_1 + h_2 = \frac{u^2}{2g} (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$h_1 + h_2 = \frac{u^2}{2g}$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે $u$ ઝડપથી ફેંકવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ $t_1$ અને $t_2$ સમયે સમાન સ્તરને ઓળંગે છે.
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \theta$ છે,જે ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y = u \sin \theta - gt$ છે.
સમાન સ્તર પર,શિરોલંબ સ્થાનાંતર શૂન્ય હોય છે,તેથી $t_1$ અને $t_2$ સમયે શિરોલંબ વેગના ઘટકો મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે.
આ બે ક્ષણો વચ્ચેનું સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $\Delta x = (u \cos \theta) \times \Delta t$ છે,જ્યાં $\Delta t = t_2 - t_1$ છે.
સરેરાશ વેગની વ્યાખ્યા $\vec{v}_{avg} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$ છે.
શિરોલંબ સ્થાનાંતર શૂન્ય હોવાથી,સરેરાશ વેગ સંપૂર્ણપણે સમક્ષિતિજ હોય છે: $\vec{v}_{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{(u \cos \theta) \Delta t}{\Delta t} = u \cos \theta$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સમક્ષિતિજ અવધિ એ મહત્તમ ઊંચાઈ જેટલી છે,તેથી $R = H$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
સામાન્ય પદો $(u^2/g)$ દૂર કરતા: $2 \sin \theta \cos \theta = \frac{\sin^2 \theta}{2}$.
પદોને ગોઠવતા: $4 \sin \theta \cos \theta = \sin^2 \theta$.
બંને બાજુ $\sin \theta \cos \theta$ વડે ભાગતા ($\theta \neq 0$ ધારીને): $4 = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.
તેથી,$\tan \theta = 4$.

(C) કોઈપણ સમયે $t$ પર પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = (u \sin \theta)t - \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ $t_1$ અને $t_2$ સમયે સમાન ઊંચાઈ પર હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$(u \sin \theta)t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2 = (u \sin \theta)t_2 - \frac{1}{2}gt_2^2$
$(u \sin \theta)(t_2 - t_1) = \frac{1}{2}g(t_2^2 - t_1^2)$
$u \sin \theta = \frac{g(t_1 + t_2)}{2}$
અહીં $t_1 = 1 \, s$,$t_2 = 3 \, s$,$\theta = 30^{\circ}$,અને $g = 10 \, m/s^2$ આપેલ છે:
$u \sin 30^{\circ} = \frac{10(1 + 3)}{2}$
$u \times 0.5 = \frac{10 \times 4}{2}$
$0.5u = 20$
$u = 40 \, m/s$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $R \propto u^2$,એટલે કે અવધિ એ પ્રક્ષિપ્ત વેગના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,વર્ગમૂળના નહીં.
તેથી,વિધાન $(B)$ ખોટું છે.
વિધાન $(A)$ સાચું છે કારણ કે ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$,તેથી $T \propto u$.
વિધાન $(C)$ સાચું છે કારણ કે $\sin 2\theta$ નું મૂલ્ય $2\theta = 90^{\circ}$ પર મહત્તમ હોય છે,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.
વિધાન $(D)$ સાચું છે કારણ કે મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગ સંપૂર્ણપણે ક્ષિતિજ સમાંતર હોય છે,જ્યારે ગુરુત્વપ્રવેગ સંપૂર્ણપણે શિરોલંબ હોય છે,જે તેમને એકબીજાને લંબ બનાવે છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = (u \sin \theta)t - \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ $t_1 = 1 \, s$ અને $t_2 = 3 \, s$ સમયે સમાન ઊંચાઈ પર છે,તેથી આ સમયનો સરવાળો મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતા સમયના બમણા જેટલો થાય છે.
ચોક્કસ રીતે,$t_1 + t_2 = \frac{2u \sin \theta}{g}$.
અહીં $u = 40 \, m/s$,$g = 10 \, m/s^2$,$t_1 = 1 \, s$,અને $t_2 = 3 \, s$ આપેલ છે:
$1 + 3 = \frac{2 \times 40 \times \sin \theta}{10}$.
$4 = 8 \sin \theta$.
$\sin \theta = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = 30^{\circ}$.
પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = \tan^{-1}(\tan 30^{\circ}) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ થશે.

(A) બળ દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર $P = \vec{F} \cdot \vec{v} = Fv cos \theta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$v$ એ વેગ છે,અને $\theta$ એ બળ અને વેગ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આ કિસ્સામાં,બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ છે,જે શિરોલંબ નીચેની તરફ કાર્ય કરે છે $(F = mg)$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની નીચેની તરફની ગતિ દરમિયાન,વેગ સદિશ $\vec{v}$ નીચેની તરફ હોય છે,જે શિરોલંબ બળ સદિશ $\vec{F}$ સાથે $ \theta$ ખૂણો બનાવે છે.
જેમ પદાર્થ નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,તેમ ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રવેગને કારણે તેની ઝડપ $v$ વધે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અચળ હોવાથી અને નીચેની તરફના બળ અને નીચેની તરફના વેગ વચ્ચેનો ખૂણો $ \theta$ એ $0^{\circ}$ હોય છે (અથવા $0^{\circ}$ તરફ ઘટે છે),તેથી $Fv cos \theta$ નું મૂલ્ય વધે છે.
તેથી,નીચેની તરફની ગતિ દરમિયાન ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર વધે છે.

(D) તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ ફક્ત તંત્ર પર લાગતા બાહ્ય બળો દ્વારા નક્કી થાય છે.
આ કિસ્સામાં,વિસ્ફોટ આંતરિક બળોને કારણે થાય છે,જે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ગતિપથને અસર કરતા નથી.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તે જ મૂળ પરવલયાકાર ગતિપથને અનુસરવાનું ચાલુ રાખે છે જે વિસ્ફોટ ન થયો હોત તો તેણે અનુસર્યો હોત.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સમક્ષિતિજ અવધિ $\frac{v^2 \sin 2\theta}{g}$ રહેશે.