Horizontal Projectile Motion Questions in Gujarati

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અવધિ એ મહત્તમ ઊંચાઈ કરતા બમણી છે,તેથી $R = 2H$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = 2 \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $2 \sin \theta \cos \theta = \sin^2 \theta$.
બંને બાજુ $\sin \theta$ વડે ભાગતા ($\sin \theta \neq 0$ ધારીને): $2 \cos \theta = \sin \theta$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 2$.
આમ,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = \tan^{-1}(2)$ છે.

(D) ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u_y}{g}$ છે,જ્યાં $u_y$ એ પ્રારંભિક વેગનો શિરોલંબ ઘટક છે.
આપેલ છે કે $T = 3\,s$ અને $g = 10\,m/s^2$,તેથી $3 = \frac{2u_y}{10}$.
$u_y$ માટે ઉકેલતા,આપણને $u_y = \frac{3 \times 10}{2} = 15\,m/s$ મળે છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u_y^2}{2g}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$H = \frac{(15)^2}{2 \times 10} = \frac{225}{20} = 11.25\,m$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\alpha)}{g}$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ પ્રક્ષિપ્ત કોણ છે.
અહીં $\theta$ અને $2\theta$ ખૂણા માટે અવધિ સમાન છે,તેથી:
$\sin(2\theta) = \sin(2(2\theta)) = \sin(4\theta)$.
$\sin(A) = \sin(B)$ માટે,સામાન્ય ઉકેલ $A = 180^{\circ} - B$ થાય છે.
તેથી,$2\theta = 180^{\circ} - 4\theta$.
$6\theta = 180^{\circ}$.
$\theta = 30^{\circ}$.

(A) દડાના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos \theta$ છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ પ્રવેગ ન હોવાથી,દડાનો સમક્ષિતિજ વેગ તેની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
દડાને પકડવા માટે,છોકરાએ તેટલા જ સમયમાં દડા જેટલું જ સમક્ષિતિજ અંતર કાપવું પડે.
તેથી,છોકરાએ દડાના સમક્ષિતિજ વેગ જેટલા જ અચળ સમક્ષિતિજ વેગથી દોડવું જોઈએ.
આમ,છોકરાનો જરૂરી વેગ $v = u \cos \theta$ છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
અહીં ત્રણેય દડા માટે પ્રારંભિક ઝડપ $u$ સમાન હોવાથી,અવધિ $\sin(2\theta)$ પર આધાર રાખે છે.
$\theta_1 = 30^{\circ}$ માટે,$R_1 \propto \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$.
$\theta_2 = 45^{\circ}$ માટે,$R_2 \propto \sin(90^{\circ}) = 1$.
$\theta_3 = 60^{\circ}$ માટે,$R_3 \propto \sin(120^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$.
અહીં $30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ}$ હોવાથી,કોટિકોણ (complementary angles) માટે અવધિ સમાન હોય છે,તેથી $R_1 = R_3$.
$\sin(90^{\circ})$ એ સાઈન વિધેયનું મહત્તમ મૂલ્ય હોવાથી,$R_2$ એ મહત્તમ અવધિ છે.
તેથી,$R_1 = R_3 < R_2$.

(B) આપેલ છે:
અવધિ $R = 200\,m$
ઉડ્ડયન સમય $T = 5\,s$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$
$1$. વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(u_x)$:
સમક્ષિતિજ અવધિનું સૂત્ર $R = u_x \times T$ છે.
તેથી,$u_x = \frac{R}{T} = \frac{200}{5} = 40\,m/s$.
$2$. મહત્તમ ઊંચાઈ $(H)$:
ઉડ્ડયન સમયનું સૂત્ર $T = \frac{2u_y}{g}$ છે,જ્યાં $u_y$ એ વેગનો શિરોલંબ ઘટક છે.
$5 = \frac{2u_y}{10} \implies 2u_y = 50 \implies u_y = 25\,m/s$.
મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u_y^2}{2g}$ છે.
$H = \frac{(25)^2}{2 \times 10} = \frac{625}{20} = 31.25\,m$.
આમ,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $40\,m/s$ અને મહત્તમ ઊંચાઈ $31.25\,m$ છે.

(A) સમક્ષિતિજ અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
મહત્તમ અવધિ માટે,$\theta = 45^{\circ}$,તેથી $R_{\max} = \frac{u^2}{g} = 160 \ m$.
આથી,$u^2 = 160g$.
મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
અહીં $\theta = 30^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\sin 30^{\circ} = 0.5$.
કિંમતો મૂકતા: $H = \frac{160g \times (\sin 30^{\circ})^2}{2g} = \frac{160 \times (0.5)^2}{2} = \frac{160 \times 0.25}{2} = \frac{40}{2} = 20 \ m$.

(A) બે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થો સમાન ગતિપથ અનુસરે તે માટે તેમની મહત્તમ ઊંચાઈ $(H)$ અને અવધિ $(R)$ સમાન હોવી જોઈએ.
મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
ગતિપથ સમાન હોવાથી,બંને માટે પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta$ સમાન છે.
ઊંચાઈઓને સરખાવતા: $\frac{u_1^2 \sin^2 \theta}{2g_1} = \frac{u_2^2 \sin^2 \theta}{2g_2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા ($u_1 = 10 \, m/s$,$u_2 = 5 \, m/s$,અને $g_1 = 10 \, m/s^2$):
$\frac{10^2}{2 \times 10} = \frac{5^2}{2 \times g_2}$.
$\frac{100}{20} = \frac{25}{2g_2}$.
$5 = \frac{12.5}{g_2}$.
$g_2 = \frac{12.5}{5} = 2.5 \, m/s^2$.

(D) ગોળી સમક્ષિતિજ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી તેનો પ્રારંભિક ઉર્ધ્વ વેગ $u_y = 0$ છે.
આપેલ છે: સમક્ષિતિજ અંતર $S_x = 100\,m$,ઉર્ધ્વ સ્થાનાંતર $h = 10\,cm = 0.1\,m$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$.
ઉર્ધ્વ દિશામાં ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $h = u_y t + \frac{1}{2} g t^2$.
$u_y = 0$ હોવાથી,$h = \frac{1}{2} g t^2$.
કિંમતો મૂકતા: $0.1 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$.
$0.1 = 5 t^2 \implies t^2 = 0.02 \implies t = \sqrt{0.02} \approx 0.1414\,s$.
સમક્ષિતિજ દિશામાં,વેગ $v_x$ અચળ રહે છે: $v_x = \frac{S_x}{t}$.
$v_x = \frac{100}{0.1414} \approx 707\,m/s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $700\,m/s$ છે.

(D) પ્રારંભિક વેગ $u = 19.6 \sqrt{2} \ m/s$ અને ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે.
સમક્ષિતિજ ઘટક: $u_x = u \cos(45^{\circ}) = 19.6 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 19.6 \ m/s$.
શિરોલંબ ઘટક: $u_y = u \sin(45^{\circ}) = 19.6 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 19.6 \ m/s$.
$t = 2 \ s$ સમય પછી,સમક્ષિતિજ વેગ અચળ રહે છે: $v_x = u_x = 19.6 \ m/s$.
શિરોલંબ વેગ $v_y = u_y - gt = 19.6 - (9.8 \times 2) = 19.6 - 19.6 = 0 \ m/s$ થાય છે.
જેથી વેગનો શિરોલંબ ઘટક $0 \ m/s$ હોવાથી,વેગ સદિશ સંપૂર્ણપણે સમક્ષિતિજ દિશામાં છે.
તેથી,સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\alpha = 0^{\circ}$ છે.

(A) પદાર્થનું પ્રારંભિક વેગમાન $p = mv$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ પ્રારંભિક વેગ છે.
ગતિ દરમિયાન સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ પ્રવેગ ન હોવાથી વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે.
વેગનો પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos 30^{\circ} = v \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
ગતિપથના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે અને પદાર્થનો વેગ તેના સમક્ષિતિજ ઘટક જેટલો રહે છે,એટલે કે $v_h = v_x = v \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગમાન $p' = m v_h = m (v \frac{\sqrt{3}}{2}) = p \frac{\sqrt{3}}{2}$ થશે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
અહીં પ્રક્ષેપણનો ખૂણો $\theta$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ અચળ હોવાથી,$H \propto u^2$ થાય.
જો $H$ માં $10\,\%$ નો વધારો થાય,તો $H' = 1.10 H$ થાય.
$H' / H = (u' / u)^2$ હોવાથી,$(u' / u)^2 = 1.10$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $u' / u = \sqrt{1.10} \approx 1.0488$.
અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
અહીં પણ $\theta$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$R \propto u^2$ થાય.
તેથી,અવધિમાં થતો ટકાવારી વધારો એ $H$ માં થતા ટકાવારી વધારા જેટલો જ એટલે કે $10\,\%$ હશે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે અવધિ $R$ અને મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નીચે મુજબ છે:
$R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$
$H = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$
ગુણોત્તર $R/H$ લેતા:
$\frac{R}{H} = \frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g} \times \frac{2g}{u^2 \sin^2\theta} = 4 \cot\theta$
તેથી,$\frac{R}{H} = 4 \cot\theta$ અથવા $\tan\theta = \frac{4H}{R}$.
$A. R/H = 1$ માટે: $1 = 4 \cot\theta \implies \tan\theta = 4 \implies \theta = \tan^{-1}(4) = 76^o$ ($4$ સાથે મેળ ખાય છે).
$B. R/H = 4$ માટે: $4 = 4 \cot\theta \implies \tan\theta = 1 \implies \theta = 45^o$ ($3$ સાથે મેળ ખાય છે).
$C. R/H = 4\sqrt{3}$ માટે: $4\sqrt{3} = 4 \cot\theta \implies \tan\theta = 1/\sqrt{3} \implies \theta = 30^o$ ($2$ સાથે મેળ ખાય છે).
$D. R/H = 4/\sqrt{3}$ માટે: $4/\sqrt{3} = 4 \cot\theta \implies \tan\theta = \sqrt{3} \implies \theta = 60^o$ ($1$ સાથે મેળ ખાય છે).
આમ,સાચી જોડ $A-4, B-3, C-2, D-1$ છે.

(B) કોણીય વેગમાન $\overrightarrow{L} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{p} = \overrightarrow{r} \times m\overrightarrow{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે,અને વેગ સંપૂર્ણપણે સમક્ષિતિજ હોય છે,જે $v_x = v \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}v}{2}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ પર સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r}$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક અડધા સમયના સમક્ષિતિજ અંતર જેટલો હોય છે,પરંતુ સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{v}$ નું મૂલ્ય $L = m \cdot v_x \cdot h$ થાય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h = \frac{v^2 \sin^2(30^{\circ})}{2g} = \frac{v^2 (1/4)}{2g} = \frac{v^2}{8g}$ છે.
આ કિંમતોને કોણીય વેગમાનના સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = m \cdot \left( \frac{\sqrt{3}v}{2} \right) \cdot \left( \frac{v^2}{8g} \right) = \frac{\sqrt{3}mv^3}{16g}$.

(C) સમક્ષિતિજ સ્થાન $x = u_x t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $t = 2\,s$ સમયે $x = 40\,m$ આપેલ છે,તેથી $40 = u_x \times 2$,એટલે કે $u_x = 20\,m/s$.
શિરોલંબ સ્થાન $y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $t = 2\,s$ સમયે $y = 50\,m$ અને $g = 10\,m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $50 = u_y(2) - \frac{1}{2}(10)(2)^2$.
$50 = 2u_y - 20$,જેનો અર્થ છે કે $2u_y = 70$,તેથી $u_y = 35\,m/s$.
પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{u_y}{u_x}$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \theta = \frac{35}{20} = \frac{7}{4}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(\frac{7}{4})$.

(C) ધારો કે ગોળીને લક્ષ્ય સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ છે.
ક્ષૈતિજ અંતર $d = 700 \; m$ અને ક્ષૈતિજ વેગ $v_x = 630 \; m/s$ છે.
ક્ષૈતિજ દિશામાં કોઈ પ્રવેગ ન હોવાથી,$t = \frac{d}{v_x} = \frac{700}{630} = \frac{10}{9} \; s$.
ઉર્ધ્વ ગતિ માટે,ગોળી ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ છે. ઉર્ધ્વ સ્થાનાંતર $h$ (નીચે તરફનું અંતર) $h = u_y t + \frac{1}{2} g t^2$ દ્વારા મળે છે.
અહીં પ્રારંભિક ઉર્ધ્વ વેગ $u_y = 0$ હોવાથી,$h = \frac{1}{2} g t^2$.
કિંમતો મૂકતા: $h = \frac{1}{2} \times 10 \times \left( \frac{10}{9} \right)^2$.
$h = 5 \times \frac{100}{81} = \frac{500}{81} \approx 6.17 \; m$.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે થતા ઘટાડાને સરભર કરવા માટે રાઇફલને લક્ષ્યના કેન્દ્રથી $6.17 \; m$ ઉપર નિશાન લગાવવી જોઈએ.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ આ મુજબ છે: $y = x \tan \theta \left( 1 - \frac{x}{R} \right)$,જ્યાં $R$ એ સમક્ષિતિજ અવધિ (Range) છે.
આપેલ છે: $\theta = 45^o$,$x = 4 \, m$ (પ્રક્ષેપણ બિંદુથી દીવાલનું અંતર),અને કુલ અવધિ $R = 4 \, m + 6 \, m = 10 \, m$.
આ કિંમતોને ગતિપથના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 4 \tan(45^o) \left( 1 - \frac{4}{10} \right)$
$y = 4 \times 1 \times (1 - 0.4)$
$y = 4 \times 0.6 = 2.4 \, m$.
આમ,દીવાલની ઊંચાઈ $2.4 \, m$ છે.

(A) $v$ ઝડપ સાથે છોડવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ એ $R = \frac{v^2}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળીઓ તમામ શક્ય દિશાઓમાં છોડવામાં આવતી હોવાથી,જમીન પર આવરી લેવાયેલ ક્ષેત્રફળ $A$ એ $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
આમ,ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2 = \pi \left( \frac{v^2}{g} \right)^2 = \frac{\pi v^4}{g^2}$ થાય.
આ સૂચવે છે કે ક્ષેત્રફળ $A \propto v^4$ છે.
આપેલ ઝડપ $v_A = 1 \ km/s$ અને $v_B = 2 \ km/s$ છે.
ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_A}{A_B} = \left( \frac{v_A}{v_B} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $1:16$ છે.

(B) શરૂઆતના વેગના ઘટકો: $u_x = 10 \cos 60^\circ = 5\,ms^{-1}$ અને $u_y = 10 \sin 60^\circ = 5\sqrt{3}\,ms^{-1}$.
$t = 1\,s$ સમયે,વેગના ઘટકો:
$v_x = u_x = 5\,ms^{-1}$
$v_y = u_y - gt = 5\sqrt{3} - 10(1) = 5\sqrt{3} - 10\,ms^{-1}$.
$t = 1\,s$ સમયે ઝડપ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{5^2 + (5\sqrt{3} - 10)^2} = \sqrt{25 + (75 + 100 - 100\sqrt{3})} = \sqrt{200 - 100\sqrt{3}} \approx \sqrt{26.8} \approx 5.17\,ms^{-1}$.
વક્રતા ત્રિજ્યા $R = \frac{v^2}{a_{\perp}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a_{\perp}$ એ વેગને લંબ પ્રવેગનો ઘટક છે.
વેગ સદિશ સમક્ષિતિજ સાથે બનાવેલ ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{5\sqrt{3} - 10}{5} = \sqrt{3} - 2 \approx -0.268$. તેથી,$\theta \approx -15^\circ$.
પ્રવેગ $g$ શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે. વેગને લંબ $g$ નો ઘટક $a_{\perp} = g \cos \theta$ છે.
$R = \frac{v^2}{g \cos \theta} = \frac{200 - 100\sqrt{3}}{10 \cos(-15^\circ)} = \frac{26.8}{10 \times 0.966} \approx 2.77\,m \approx 2.8\,m$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = x \tan \theta_0 - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 \theta_0}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 2x - 9x^2$ સાથે સરખાવતા:
$1$. $\tan \theta_0 = 2$. તેથી $\cos \theta_0 = \frac{1}{\sqrt{5}}$ અને $\sin \theta_0 = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
$2$. $\frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \theta_0} = 9$.
$g = 10$ અને $\cos^2 \theta_0 = \frac{1}{5}$ મૂકતા:
$\frac{10}{2 v_0^2 (1/5)} = 9 \implies \frac{25}{v_0^2} = 9 \implies v_0^2 = \frac{25}{9} \implies v_0 = \frac{5}{3} \, ms^{-1}$.
આમ,$\theta_0 = \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$ અને $v_0 = \frac{5}{3} \, ms^{-1}$ મળે છે. તેથી વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) સમાન અવધિ $R$ માટે,પ્રક્ષિપ્ત કોણ પૂરક હોવા જોઈએ,એટલે કે $\theta$ અને $(90^\circ - \theta)$.
અવધિ $R$ નું સૂત્ર: $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$.
બંને કણો માટે મહત્તમ ઊંચાઈઓ:
$h_1 = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$
$h_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^\circ - \theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2\theta}{2g}$
$h_1$ અને $h_2$ નો ગુણાકાર કરતા:
$h_1 h_2 = \left( \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g} \right) \left( \frac{u^2 \cos^2\theta}{2g} \right) = \frac{u^4 \sin^2\theta \cos^2\theta}{4g^2}$
$h_1 h_2 = \frac{1}{16} \left( \frac{4u^4 \sin^2\theta \cos^2\theta}{g^2} \right) = \frac{1}{16} R^2$
તેથી,$R^2 = 16 h_1 h_2$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ગતિપથનું સમીકરણ $y = 12x - \frac{3}{4}x^2$ આપેલ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ એ સમક્ષિતિજ અંતર છે જે પદાર્થ જમીન પર પાછો ફરે ત્યારે કપાય છે,એટલે કે જ્યારે શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = 0$ હોય.
આપેલ સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા:
$0 = 12x - \frac{3}{4}x^2$
$x$ સામાન્ય લેતા:
$0 = x(12 - \frac{3}{4}x)$
અહીં $x = 0$ એ શરૂઆતનું બિંદુ દર્શાવે છે,તેથી અવધિ એ શૂન્ય સિવાયના ઉકેલને અનુરૂપ છે:
$12 - \frac{3}{4}x = 0$
$\frac{3}{4}x = 12$
$x = 12 \times \frac{4}{3}$
$x = 16\,m$
તેથી,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $16\,m$ છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે કારણ કે સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ પ્રવેગ હોતો નથી.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે જે સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે છે. સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos \theta$ છે.
જ્યારે કણ એવા બિંદુ પર હોય છે જ્યાં તેનો વેગ $v$ સમક્ષિતિજ સાથે $\phi$ ખૂણે હોય,ત્યારે આ વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos \phi$ થાય છે.
સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહેતો હોવાથી,$v_x = u_x$ થાય.
તેથી,$v \cos \phi = u \cos \theta$.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v = \frac{u \cos \theta}{\cos \phi} = u \cos \theta \sec \phi$ મળે છે.

(D) મહત્તમ અવધિ માટે,પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 45^{\circ}$ છે.
અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે. $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$R = \frac{u^2}{g}$.
આપેલ છે કે $R = 100 \, km = 10^5 \, m$ અને $g = 10 \, m/s^2$,તેથી $u^2 = gR = 10 \times 10^5 = 10^6 \, m^2/s^2$,એટલે કે $u = 1000 \, m/s$.
કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u \sin \theta}{g} = \frac{2 \times 1000 \times \sin(45^{\circ})}{10} = 200 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 100\sqrt{2} \, s$.
મિસાઇલ તેના અડધા રસ્તે (ક્ષૈતિજ અંતરની દ્રષ્ટિએ) શોધાય છે,જે તેના ગતિપથનું સર્વોચ્ચ બિંદુ છે.
સર્વોચ્ચ બિંદુથી જમીન સુધી પહોંચવાનો સમય $t = \frac{u \sin \theta}{g} = \frac{1000 \times (1/\sqrt{2})}{10} = \frac{100}{\sqrt{2}} \, s$ છે.

(C) મહત્તમ અવધિ માટે,પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 45^{\circ}$ છે. અવધિ $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{u^2}{g} = 10^5 \, m$. તેથી,$u^2 = gR = 10 \times 10^5 = 10^6$,એટલે કે $u = 1000 \, m/s$.
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos(45^{\circ}) = 1000 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 500\sqrt{2} \, m/s$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,શિરોલંબ ઘટક $0$ હોય છે. અવધિના અડધા રસ્તે,મિસાઇલ તેની મહત્તમ ઊંચાઈ પર હોય છે. તેથી,જ્યારે મિસાઇલને શોધવામાં આવી ત્યારે તેની ઝડપ તેના સમક્ષિતિજ ઘટક જેટલી એટલે કે $500\sqrt{2} \, m/s$ હોય છે.

(A) મહત્તમ અવધિ માટે,પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 45^\circ$ છે. અવધિ $R = 100\, km = 10^5\, m$ આપેલ છે.
અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે. $\sin(90^\circ) = 1$ હોવાથી,$R = \frac{u^2}{g}$,તેથી $u^2 = Rg$.
મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
$u^2 = Rg$ અને $\theta = 45^\circ$ $(\sin^2 45^\circ = 1/2)$ મૂકતા:
$H = \frac{(Rg) \times (1/2)}{2g} = \frac{R}{4}$.
$R = 10^5\, m$ આપેલ હોવાથી,$H = \frac{10^5}{4} = 2.5 \times 10^4\, m$ મળે છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ પ્રક્ષેપણ બિંદુથી $x = \sqrt{3} H$ જેટલા આડા અંતરે તેની મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ પ્રાપ્ત કરે છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે,મહત્તમ ઊંચાઈ સુધીનું આડું અંતર એ અવધિ (Range) કરતા અડધું હોય છે,એટલે કે $x = R/2$.
આપણે અવધિ $R$ અને મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ ના સૂત્રો જાણીએ છીએ:
$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2 v_0^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$
$H = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}$
આપેલ છે કે $x = R/2 = \sqrt{3} H$,તેથી:
$\frac{R}{2H} = \sqrt{3}$
$R$ અને $H$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{\frac{2 v_0^2 \sin \theta \cos \theta}{g}}{2 \left(\frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}\right)} = \sqrt{3}$
$\frac{2 v_0^2 \sin \theta \cos \theta}{g} \cdot \frac{g}{v_0^2 \sin^2 \theta} = \sqrt{3}$
$2 \cot \theta = \sqrt{3}$
$\cot \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan \theta = \frac{2}{\sqrt{3}}$
તેથી,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 2\,kg$,પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = (4 \hat{i} + 4 \hat{j})\,m/s$,બળ $\vec{F} = -20 \hat{j}\,N$.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{-20 \hat{j}}{2} = -10 \hat{j}\,m/s^2$.
$y$-ગતિ માટે: $u_y = 4\,m/s$,$a_y = -10\,m/s^2$,પ્રારંભિક $y_0 = 0$. જ્યારે સ્થાનાંતર $y = 0$ થાય ત્યારે $y$-યામ શૂન્ય હોય છે.
$y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = 4t - 5t^2$ મળે છે.
$t$ માટે ઉકેલતા,$t(4 - 5t) = 0$. $t \neq 0$ હોવાથી,$t = \frac{4}{5} = 0.8\,s$.
$x$-ગતિ માટે: $u_x = 4\,m/s$,$a_x = 0$.
$x$-યામ $x = u_x t = 4 \times 0.8 = 3.2\,m$ થશે.

(B) વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos \theta = 20 \cos 45^{\circ} = 20 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}\,m/s$ છે.
વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin \theta = 20 \sin 45^{\circ} = 20 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}\,m/s$ છે.
$x = 10\,m$ ના અંતરે દીવાલ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{x}{u_x} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,s$ છે.
દડો જે ઊંચાઈ $y$ પર દીવાલને અથડાશે તે ગતિપથના સમીકરણ દ્વારા મળે છે: $y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$.
કિંમતો મૂકતા ($g = 10\,m/s^2$ લેતા): $y = (10\sqrt{2}) \times \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2} \times 10 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2$.
$y = 10 - 5 \times \frac{1}{2} = 10 - 2.5 = 7.5\,m$.

(A) ધારો કે સમક્ષિતિજ દિશા $x$-અક્ષ છે અને શિરોલંબ દિશા $y$-અક્ષ છે.
સમય $t$ પર,પ્રથમ કણનો વેગ સદિશ $\vec{v}_1 = u_1 \hat{i} - gt \hat{j}$ છે.
બીજા કણનો વેગ સદિશ $\vec{v}_2 = -u_2 \hat{i} - gt \hat{j}$ છે.
કારણ કે વેગ પરસ્પર લંબ છે,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 0$.
$(u_1 \hat{i} - gt \hat{j}) \cdot (-u_2 \hat{i} - gt \hat{j}) = 0$.
$-u_1 u_2 + g^2 t^2 = 0$.
$g^2 t^2 = u_1 u_2$.
$t = \frac{\sqrt{u_1 u_2}}{g}$.

(C) પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = a \hat{i} + b \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $u_x = a$ અને $u_y = b$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{2 u_x u_y}{g} = \frac{2ab}{g}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u_y^2}{2g} = \frac{b^2}{2g}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અવધિ એ મહત્તમ ઊંચાઈ કરતાં બમણી છે: $R = 2H$.
$R$ અને $H$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{2ab}{g} = 2 \left( \frac{b^2}{2g} \right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{2ab}{g} = \frac{b^2}{g}$.
અહીં $b \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુને $b/g$ વડે ભાગતા:
$2a = b$ અથવા $b = 2a$ મળે છે.

(D) પ્રથમ દડાને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,તેથી તેની મહત્તમ ઊંચાઈ $h = \frac{u^2}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજા દડાને સમક્ષિતિજ સાથે $\theta = 30^{\circ}$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે,તેથી તેની મહત્તમ ઊંચાઈ $h' = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{u^2 \sin^2 30^{\circ}}{2g} = \frac{u^2}{2g} \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \times \frac{u^2}{2g} = \frac{h}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિ ઊર્જા $PE = mgh$ છે.
તેમની સ્થિતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{PE_1}{PE_2} = \frac{mgh}{mgh'} = \frac{h}{h/4} = \frac{4}{1}$ થાય છે.

(C) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ $A$ ને $v_1$ વેગથી સમક્ષિતિજ સાથે $\theta = 30^{\circ}$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ $A$ ને તેની મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{v_1 \sin \theta}{g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ પર,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ $A$ નો ઉર્ધ્વ વેગ શૂન્ય થઈ જાય છે,અને તેની પાસે માત્ર સમક્ષિતિજ વેગનો ઘટક $v_x = v_1 \cos \theta$ બાકી રહે છે.
બે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થો અથડાય તે માટે,તેઓએ એક જ સમયે એક જ બિંદુ પર પહોંચવું આવશ્યક છે. કારણ કે $B$ ને $A$ ની મહત્તમ ઊંચાઈની બરાબર નીચે આવેલા બિંદુ $Q$ થી ફેંકવામાં આવે છે,તેથી તેમની વચ્ચેનું સમક્ષિતિજ અંતર $A$ દ્વારા $t$ સમયમાં કાપવામાં આવે છે.
$A$ ની મહત્તમ ઊંચાઈ પર અથડામણ થાય તે માટે,$t$ સમયમાં $B$ નું ઉર્ધ્વ સ્થાનાંતર $A$ ની મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$A$ ની મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{v_1^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ $B$ માટે,$t$ સમયમાં સ્થાનાંતર $y = v_2 t - \frac{1}{2} g t^2$ છે.
$t = \frac{v_1 \sin \theta}{g}$ ને $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = v_2 \left( \frac{v_1 \sin \theta}{g} \right) - \frac{1}{2} g \left( \frac{v_1 \sin \theta}{g} \right)^2 = \frac{v_2 v_1 \sin \theta}{g} - \frac{v_1^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
$y = H$ લેતા:
$\frac{v_2 v_1 \sin \theta}{g} - \frac{v_1^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{v_1^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
$\frac{v_2 v_1 \sin \theta}{g} = \frac{v_1^2 \sin^2 \theta}{g}$.
$v_2 = v_1 \sin \theta$.
અહીં $\theta = 30^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $v_2 = v_1 \sin 30^{\circ} = v_1 \left( \frac{1}{2} \right)$.
તેથી,$\frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{2}$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના પથનું સમીકરણ $y = Ax - Bx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ પર,શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y$ એ $0$ હોય છે.
સમીકરણમાં $y = 0$ અને $x = R$ મૂકતા:
$0 = AR - BR^2$
$0 = R(A - BR)$
જ્યાં $R \neq 0$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$A - BR = 0$
$BR = A$
$R = A/B$
આમ,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $A/B$ છે.

(A) વેગ સદિશ $\vec{v} = a\hat{i} + (b - ct)\hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $v_x = a$ અને $v_y = b - ct$ મળે છે.
કણ સમક્ષિતિજ સમતલ પરથી પ્રક્ષિપ્ત થાય છે,તેથી જમીન પર પાછા ફરતી વખતે તેનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર શૂન્ય હોય છે.
ઉડ્ડયન સમય $T$ એ સમય છે જ્યારે કણ સમક્ષિતિજ સમતલ પર પાછો ફરે છે,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = 0$ હોય.
$v_y$ નું સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $y = \int (b - ct) dt = bt - \frac{1}{2}ct^2$.
$y = 0$ લેતા,આપણને $t(b - \frac{1}{2}ct) = 0$ મળે છે. તેથી,$T = \frac{2b}{c}$.
અવધિ $R$ એ સમય $T$ માં કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર છે: $R = v_x \times T = a \times \frac{2b}{c} = \frac{2ab}{c}$.

(A) સમક્ષિતિજ અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
આપેલ છે કે મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R_{\max} = \frac{u^2}{g} = 16 \ km$.
મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2(\theta)}{2g}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 30^o$ આપેલ હોવાથી,કિંમતો મૂકતા:
$H = \frac{u^2 \sin^2(30^o)}{2g} = \frac{u^2}{2g} \times (\frac{1}{2})^2$.
$H = \frac{u^2}{2g} \times \frac{1}{4} = \frac{u^2}{8g}$.
અહીં $\frac{u^2}{g} = 16 \ km$ હોવાથી,$H = \frac{16}{8} \ km = 2 \ km$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 30\,m/s$,ખૂણો $\theta_0 = \tan^{-1}(3/4)$.
$\tan\theta_0 = 3/4$ પરથી,આપણને $\sin\theta_0 = 3/5$ અને $\cos\theta_0 = 4/5$ મળે છે.
પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ ઘટક: $u_x = u \cos\theta_0 = 30 \times (4/5) = 24\,m/s$.
પ્રારંભિક શિરોલંબ ઘટક: $u_y = u \sin\theta_0 = 30 \times (3/5) = 18\,m/s$.
$t = 1\,s$ પછી,સમક્ષિતિજ વેગ અચળ રહે છે: $v_x = u_x = 24\,m/s$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે શિરોલંબ વેગ બદલાય છે: $v_y = u_y - gt = 18 - (10 \times 1) = 8\,m/s$.
સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan\theta = v_y / v_x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan\theta = 8 / 24 = 1/3$.

(C) સમક્ષિતિજ પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(v_x)$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
આપેલ છે કે,પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $v_x = 18 \, m s^{-1}$.
ધારો કે જ્યારે પદાર્થ જમીન સાથે અથડાય ત્યારે વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y$ છે.
સમક્ષિતિજ સાથે અથડામણનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\tan 45^{\circ} = \frac{v_y}{18}$.
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $1 = \frac{v_y}{18}$.
આમ,$v_y = 18 \, m s^{-1}$.

(C) ધારો કે $H$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ છે અને $R$ એ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ છે.
ગતિપથની ભૂમિતિ પરથી,મહત્તમ ઊંચાઈનું બિંદુ પ્રક્ષેપણ બિંદુથી $R/2$ જેટલા સમક્ષિતિજ અંતરે છે.
ઉત્સેધકોણ $\phi$ એ એવો ખૂણો છે જેનો ટેન્જન્ટ એ મહત્તમ ઊંચાઈ અને પ્રક્ષેપણ બિંદુથી મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુના સમક્ષિતિજ અંતરનો ગુણોત્તર છે.
તેથી,$\tan \phi = \frac{H}{R/2}$.
પ્રમાણિત સૂત્રો $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ અને $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\tan \phi = \frac{u^2 \sin^2 \theta / 2g}{(u^2 \sin 2\theta / g) / 2} = \frac{u^2 \sin^2 \theta / 2g}{u^2 \sin 2\theta / 2g} = \frac{\sin^2 \theta}{\sin 2\theta}$.
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \phi = \frac{\sin^2 \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} = \frac{1}{2} \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{1}{2} \tan \theta$.

(B) સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ માટે,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 45^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
શરૂઆતની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ગતિપથના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે અને સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos(\theta)$ હોય છે.
$\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $v_x = v \cos(45^{\circ}) = \frac{v}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $K' = \frac{1}{2}mv_x^2 = \frac{1}{2}m\left(\frac{v}{\sqrt{2}}\right)^2$ થાય.
$K' = \frac{1}{2}m\left(\frac{v^2}{2}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}mv^2\right) = \frac{K}{2} = 0.5K$.

(C) સમક્ષિતિજ વેગ $u_x = u \cos \theta$ એ $a = 3 \, ms^{-2}$ ના પ્રવેગ સાથે $t = 0.5 \, minutes = 30 \, s$ સમયમાં સ્થિર સ્થિતિમાંથી પ્રાપ્ત કરેલા વેગ જેટલો છે.
$u_x = a \times t = 3 \times 30 = 90 \, ms^{-1}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u_y^2}{2g}$ છે,જ્યાં $u_y = u \sin \theta$.
$80 = \frac{(u \sin \theta)^2}{2 \times 10} \implies (u \sin \theta)^2 = 1600 \implies u_y = 40 \, ms^{-1}$.
પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta$ માટે $\tan \theta = \frac{u_y}{u_x}$ થાય.
$\tan \theta = \frac{40}{90} = \frac{4}{9}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(4/9)$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ગતિઊર્જા પ્રક્ષેપણ બિંદુ પર અને જમીન પર મહત્તમ હોય છે (જ્યાં ઝડપ $v$ છે),અને સૌથી ઊંચા બિંદુ પર ન્યૂનતમ હોય છે (જ્યાં ઝડપ $v \cos \theta$ છે).
આપેલ છે કે $\frac{K_{\max}}{K_{\min}} = 9$,તેથી $\frac{\frac{1}{2}mv^2}{\frac{1}{2}mv^2 \cos^2 \theta} = 9$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{\cos^2 \theta} = 9$,જેનો અર્થ છે કે $\cos^2 \theta = \frac{1}{9}$,તેથી $\cos \theta = \frac{1}{3}$.
$\cos \theta = \frac{1}{3}$ હોવાથી,$\sin \theta = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ મળે.
આમ,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{2\sqrt{2}/3}{1/3} = 2\sqrt{2}$.
અવધિ $R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2v^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ અને મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{R}{H} = \frac{2v^2 \sin \theta \cos \theta / g}{v^2 \sin^2 \theta / 2g} = 4 \cot \theta$.
$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ મૂકતા,$\frac{R}{H} = 4 \times \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ મળે.

(B) સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = u \cos \theta \cdot T$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $\theta$ એ પ્રક્ષિપ્ત કોણ છે.
ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $u \sin \theta = \frac{gT}{2}$.
લંબ ઘટકને સમક્ષિતિજ ઘટક વડે ભાગતા:
$\tan \theta = \frac{u \sin \theta}{u \cos \theta} = \frac{gT/2}{R/T} = \frac{gT^2}{2R}$.
તેથી,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = \tan^{-1} \left( \frac{gT^2}{2R} \right)$ થશે.

(B) ધારો કે કણ $B$ નો સમક્ષિતિજ સાથેનો પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\alpha$ છે.
કણ $B$ ને જમીન પર ગતિ કરતા કણ $A$ ને અથડાવવા માટે,$B$ ના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $A$ ના વેગ જેટલો હોવો જોઈએ (કારણ કે $A$ સમક્ષિતિજ સપાટી પર $v$ જેટલી અચળ ઝડપથી ગતિ કરે છે).
તેથી,$v_B \cos \alpha = v$.
અહીં $v_B = \frac{2v}{\sqrt{3}}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{2v}{\sqrt{3}} \cos \alpha = v$.
$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\alpha = 30^{\circ}$ મળે.
પ્રશ્નમાં શિરોલંબ સાથેનો પ્રક્ષિપ્ત કોણ પૂછવામાં આવ્યો છે.
શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો = $90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

(B) પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = u_0 \hat{i} + v_0 \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u_0$ છે અને શિરોલંબ ઘટક $u_y = v_0$ છે.
$x$-દિશામાં પ્રવેગ $a_x = 0$ છે અને $y$-દિશામાં પ્રવેગ $a_y = -g$ છે.
ઉડ્ડયન સમય $T$ એ શિરોલંબ સ્થાનાંતર શૂન્ય થાય તે માટેનો સમય છે: $y = u_y T - \frac{1}{2} g T^2 = 0$.
$v_0 T - \frac{1}{2} g T^2 = 0 \implies T = \frac{2v_0}{g}$.
$x$-દિશામાં મહત્તમ સ્થાનાંતર (સમક્ષિતિજ અવધિ $R$) $R = u_x \times T$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$R = u_0 \times \left( \frac{2v_0}{g} \right) = \frac{2u_0v_0}{g}$.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર $h(t) = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $u_y$ એ પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ છે.
કુલ ઉડ્ડયન સમય $T$ આપેલ છે,તેથી $T = \frac{2 u_y}{g}$,જેનો અર્થ છે કે $u_y = \frac{g T}{2}$.
$t_A = \frac{T}{3}$ સમયે,ઊંચાઈ $h_A$ છે:
$h_A = \left(\frac{g T}{2}\right) \left(\frac{T}{3}\right) - \frac{1}{2} g \left(\frac{T}{3}\right)^2 = \frac{g T^2}{6} - \frac{g T^2}{18} = \frac{3 g T^2 - g T^2}{18} = \frac{2 g T^2}{18} = \frac{g T^2}{9}$.
$t_B = \frac{5T}{6}$ સમયે,ઊંચાઈ $h_B$ છે:
$h_B = \left(\frac{g T}{2}\right) \left(\frac{5T}{6}\right) - \frac{1}{2} g \left(\frac{5T}{6}\right)^2 = \frac{5 g T^2}{12} - \frac{25 g T^2}{72} = \frac{30 g T^2 - 25 g T^2}{72} = \frac{5 g T^2}{72}$.
ઊંચાઈનો તફાવત $H = h_A - h_B = \frac{g T^2}{9} - \frac{5 g T^2}{72} = \frac{8 g T^2 - 5 g T^2}{72} = \frac{3 g T^2}{72} = \frac{g T^2}{24}$.

(C) કાર્ટ દ્વારા $80\,m$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v} = \frac{80}{30} = \frac{8}{3}\,s$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ કાર્ટ પરના સમાન બિંદુ પર પાછો આવે તે માટે,તેને કાર્ટની સાપેક્ષમાં શિરોલંબ દિશામાં ફેંકવો આવશ્યક છે. કુલ ઉડ્ડયન સમય $T$ એ કાર્ટ દ્વારા $80\,m$ અંતર કાપવા માટે લાગતા સમય જેટલો હોવો જોઈએ,તેથી $T = \frac{8}{3}\,s$.
મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_h = \frac{T}{2} = \frac{8/3}{2} = \frac{4}{3}\,s$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં મહત્તમ ઊંચાઈએ $v = 0$,$a = -g = -10\,m/s^2$,અને $t = \frac{4}{3}\,s$ છે:
$0 = u - 10 \times \frac{4}{3}$
$u = \frac{40}{3}\,m/s$.
આમ,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને કાર્ટની સાપેક્ષમાં $\frac{40}{3}\,m/s$ ના વેગથી ફેંકવો જોઈએ.

(B) મહત્તમ અવધિ માટે,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 45^o$ હોવો જોઈએ.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_i = \frac{1}{2}mv^2 = 1000\,J$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે,તેથી વેગ ફક્ત સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos(45^o) = \frac{v}{\sqrt{2}}$ જેટલો જ હોય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $KE_f = \frac{1}{2}m(v_x)^2 = \frac{1}{2}m(\frac{v}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}m(\frac{v^2}{2}) = \frac{1}{2} KE_i$ થાય.
તેથી,$KE_f = \frac{1000}{2} = 500\,J$.

(B) પ્રારંભિક વેગ સદિશ $\vec{u} = 1\hat{i} + 2\hat{j} \, m/s$ છે.
તેને $\vec{u} = u_x\hat{i} + u_y\hat{j}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $u_x = 1 \, m/s$ અને $u_y = 2 \, m/s$ મળે છે.
ક્ષૈતિજ ઘટક $u_x = u \cos \theta = 1 \, m/s$ છે.
શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin \theta = 2 \, m/s$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
અહીં $\tan \theta = \frac{u_y}{u_x} = \frac{2}{1} = 2$ અને $u \cos \theta = u_x = 1$ હોવાથી,આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = x(2) - \frac{10 \cdot x^2}{2(1)^2}$.
$y = 2x - \frac{10x^2}{2}$.
$y = 2x - 5x^2$.