Horizontal Projectile Motion Questions in Gujarati

(A) શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા પ્રથમ પથ્થર માટે,પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $h_1 = \frac{v^2}{2g}$ છે.
મહત્તમ બિંદુ પર સ્થિતિ ઊર્જા $PE_1 = mgh_1 = mg \left( \frac{v^2}{2g} \right) = \frac{mv^2}{2}$ છે.
બીજા પથ્થર માટે,શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,જેનો અર્થ છે કે સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ છે.
બીજા પથ્થર દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $h_2 = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{v^2 \sin^2 30^{\circ}}{2g} = \frac{v^2 (0.5)^2}{2g} = \frac{v^2}{8g}$ છે.
મહત્તમ બિંદુ પર સ્થિતિ ઊર્જા $PE_2 = mgh_2 = mg \left( \frac{v^2}{8g} \right) = \frac{mv^2}{8}$ છે.
તેમની સ્થિતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{PE_1}{PE_2} = \frac{mv^2/2}{mv^2/8} = \frac{8}{2} = 4:1$ છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(v_x)$ સમય અને સ્થાનના સંદર્ભમાં અચળ રહે છે.
આનું કારણ એ છે કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ પર કોઈ સમક્ષિતિજ પ્રવેગ $(a_x = 0)$ કાર્ય કરતું નથી,જો આપણે હવાનો અવરોધ અવગણીએ.
વેગનો શિરોલંબ ઘટક $(v_y)$ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે લાગતા પ્રવેગ $(g)$ ને લીધે બદલાય છે.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક એકમાત્ર એવી રાશિ છે જે સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.

(C) આપેલ છે: મહત્તમ રેન્જ $R_{max} = 16 \,km = 16,000 \,m$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,ms^{-2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ રેન્જનું સૂત્ર $R_{max} = \frac{u^2}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ મઝલ વેગ છે.
આપેલ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$16,000 = \frac{u^2}{10}$
$u^2 = 16,000 \times 10$
$u^2 = 160,000$
$u = \sqrt{160,000}$
$u = 400 \,ms^{-1}$.
આમ,શેલનો મઝલ વેગ $400 \,ms^{-1}$ છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો ગતિપથ ત્યારે જ પરવલય હોય છે જ્યારે હવાનો અવરોધ અવગણવામાં આવે.
હવાના અવરોધની હાજરીમાં,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ તેની ગતિનો વિરોધ કરતું ડ્રેગ બળ અનુભવે છે,જેના કારણે તેની અવધિ (range) અને મહત્તમ ઊંચાઈ બંનેમાં ઘટાડો થાય છે.
પરિણામે,ગતિપથ સંપૂર્ણ પરવલય રહેતો નથી,તેથી 'હંમેશા પરવલય' વિધાન ખોટું છે.
તેથી,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો ગતિપથ માત્ર હવાના અવરોધની ગેરહાજરીમાં જ પરવલય હોય છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,પ્રવેગ અચળ હોય છે અને તે શિરોલંબ નીચેની તરફ (ગુરુત્વાકર્ષણ) હોય છે.
ધારો કે વેગ સદિશ $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ છે અને પ્રવેગ સદિશ $\vec{a} = -g \hat{j}$ છે.
$\vec{v}$ અને $\vec{a}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે: $\cos \theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{|\vec{v}| |\vec{a}|} = \frac{-g v_y}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2} \cdot g} = \frac{-v_y}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2}}$.
જેમ જેમ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ ગતિ કરે છે,તેમ $v_y$ ધન (ઉપરની તરફ) થી ઋણ (નીચેની તરફ) માં બદલાય છે.
જ્યારે $v_y > 0$ હોય,ત્યારે $\cos \theta$ ઋણ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta$ ગુરુકોણ $(> 90^{\circ})$ છે.
જ્યારે $v_y < 0$ હોય,ત્યારે $\cos \theta$ ધન હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta$ લઘુકોણ $(< 90^{\circ})$ છે.
જેમ $v_y$ વધુ ઋણ બને છે,તેમ $\cos \theta$ વધે છે,એટલે કે $\theta$ ઘટે છે.
આમ,નીચેની તરફની ગતિ દરમિયાન ખૂણો લઘુકોણ રહે છે અને તે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ જમીન પર અથડાય છે ત્યારે (જ્યાં $v_y$ સૌથી વધુ ઋણ હોય છે) ન્યૂનતમ બને છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = x - \frac{2x^2}{5}$ સાથે સરખાવતા:
$\tan \theta = 1 \implies \theta = 45^{\circ}$.
વળી,$\frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = \frac{2}{5}$.
$g = 10 \ m/s^2$ અને $\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$\frac{10}{2u^2 (1/2)} = \frac{2}{5}$.
$\frac{10}{u^2} = \frac{2}{5}$.
$2u^2 = 50 \implies u^2 = 25$.
$u = 5 \ m/s$.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ માટેનું સૂત્ર: $R = \frac{v_{0}^{2} \sin(2\theta)}{g}$,જ્યાં $v_{0}$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$\theta$ એ પ્રક્ષિપ્ત કોણ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
અહીં $v_{0}$ અને $g$ ત્રણેય પદાર્થો માટે સમાન હોવાથી,$R \propto \sin(2\theta)$.
પદાર્થ $A$ માટે: $\theta_{A} = 30^{\circ}$,તેથી $R_{A} \propto \sin(2 \times 30^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
પદાર્થ $B$ માટે: $\theta_{B} = 45^{\circ}$,તેથી $R_{B} \propto \sin(2 \times 45^{\circ}) = \sin(90^{\circ}) = 1$.
પદાર્થ $C$ માટે: $\theta_{C} = 60^{\circ}$,તેથી $R_{C} \propto \sin(2 \times 60^{\circ}) = \sin(120^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $R_{A} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$R_{B} = 1$,અને $R_{C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$R_{A} = R_{C} < R_{B}$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ પ્રવેગ ન હોવાથી વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
વેગનો પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ ઘટક: $u_x = u \cos 60^{\circ} = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \ m/s$.
ધારો કે પછીની ક્ષણે ઝડપ $v$ છે. આ ક્ષણે વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos 30^{\circ}$ થશે.
કારણ કે $u_x = v_x$,તેથી:
$5 = v \cos 30^{\circ}$
$5 = v \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$v = \frac{10}{\sqrt{3}} \ m/s$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ગતિના સમીકરણો નીચે મુજબ આપેલા છે:
$x = 6t$ $(i)$
$y = 8t - 5t^2$ (ii)
આ સમીકરણોને પ્રક્ષિપ્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણો સાથે સરખાવતા:
$x = (u \cos \theta)t$
$y = (u \sin \theta)t - \frac{1}{2}gt^2$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos \theta = 6 \text{ m/s}$ છે.
સમીકરણ (ii) પરથી,વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin \theta = 8 \text{ m/s}$ છે.
પ્રારંભિક પ્રક્ષેપણ વેગ $u$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે છે:
$u = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$
$u = \sqrt{6^2 + 8^2}$
$u = \sqrt{36 + 64}$
$u = \sqrt{100}$
$u = 10 \text{ m/s}$.

(A) મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
ક્ષિતિજ સમાંતર અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$H = \frac{R}{2}$ છે.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{1}{2} \left( \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} \right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$.
બંને બાજુ $\frac{u^2 \sin \theta}{g}$ વડે ભાગતા: $\frac{\sin \theta}{2} = \cos \theta$.
તેથી,$\tan \theta = 2$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \tan^{-1}(2)$.

(C) આપેલ છે: સમક્ષિતિજ અવધિ $(R)$ $= 2 \times$ મહત્તમ ઊંચાઈ $(H)$.
અવધિનું સૂત્ર: $R = \frac{v^{2} \sin 2\theta}{g}$.
મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર: $H = \frac{v^{2} \sin^{2} \theta}{2g}$.
પ્રશ્ન મુજબ: $\frac{v^{2} \sin 2\theta}{g} = 2 \times \frac{v^{2} \sin^{2} \theta}{2g}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\sin 2\theta = \sin^{2} \theta$.
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા: $2 \sin \theta \cos \theta = \sin^{2} \theta$.
$\sin \theta$ વડે ભાગતા: $2 \cos \theta = \sin \theta$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = 2$.
$\tan \theta = 2$ પરથી,$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ મળે.
આ કિંમતો અવધિના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{v^{2} (2 \sin \theta \cos \theta)}{g} = \frac{2v^{2}}{g} \times \frac{2}{\sqrt{5}} \times \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{4v^{2}}{5g}$.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક ઝડપ $u = 30 \,ms^{-1}$, પ્રક્ષેપણનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$, અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 10 \,ms^{-2}$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$
આપેલ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$H = \frac{(30)^2 \times (\sin 45^{\circ})^2}{2 \times 10}$
કારણ કે $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, તેથી $\sin^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$.
$H = \frac{900 \times \frac{1}{2}}{20} = \frac{450}{20} = 22.5 \,m$.
તેથી, પથ્થર દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $22.5 \,m$ છે.

(A) $1$. સૌ પ્રથમ, કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય અથવા ગતિશાસ્ત્રનો ઉપયોગ કરીને ઢળતા સમતલની ટોચ (બિંદુ $B$) પર પદાર્થનો વેગ $v$ શોધો। ઢાળની ઊંચાઈ $h = L \cos(45^{\circ}) = 20 \sqrt{2} \times (1 / \sqrt{2}) = 20 \,m$ છે। $B$ પર વેગ $v$ એ $v^2 = u^2 + 2gh = u^2 + 2(10)(20) = u^2 + 400$ દ્વારા મળે છે।
$2$. પદાર્થ બિંદુ $B$ ને સમક્ષિતિજ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છોડે છે। સમક્ષિતિજ વેગ $v_x = v \cos(45^{\circ}) = v / \sqrt{2}$ અને શિરોલંબ વેગ $v_y = v \sin(45^{\circ}) = v / \sqrt{2}$ છે।
$3$. $40 \,m$ પહોળાઈનો કૂવો પાર કરવા માટે લાગતો સમય $t = d / v_x = 40 / (v / \sqrt{2}) = 40 \sqrt{2} / v$ છે।
$4$. પદાર્થ કૂવો પાર કરે તે માટે, સમય $t$ પર શિરોલંબ સ્થાનાંતર શૂન્ય હોવું જોઈએ: $y = v_y t - (1/2) g t^2 = 0$.
$5$. $v_y$ અને $t$ ની કિંમત મૂકતા: $(v / \sqrt{2}) \times (40 \sqrt{2} / v) = (1/2) (10) (40 \sqrt{2} / v)^2$.
$6$. $40 = 5 \times (3200 / v^2) \Rightarrow 40 = 16000 / v^2 \Rightarrow v^2 = 400$.
$7$. $v^2 = u^2 + 400$ હોવાથી, $400 = u^2 + 400$, એટલે કે $u = 0$. જોકે, વિકલ્પો જોતા, સાચો જવાબ $20 \,ms^{-1}$ છે।

(C) દડાને એક ખેલાડીથી બીજા ખેલાડી સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય એ ઉડ્ડયન સમય $(T)$ છે.
આપેલ છે કે $T = 4 \,s$.
ઉડ્ડયન સમયનું સૂત્ર $T = \frac{2 u \sin \theta}{g} = 4 \,s$ છે.
તેથી,$u \sin \theta = 2g = 2 \times 9.8 = 19.6 \,m/s$.
દડા દ્વારા મુક્તિ બિંદુથી પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $(H_{max})$ નું સૂત્ર $H_{max} = \frac{(u \sin \theta)^2}{2g}$ છે.
$u \sin \theta$ ની કિંમત મૂકતા: $H_{max} = \frac{(2g)^2}{2g} = 2g = 2 \times 9.8 = 19.6 \,m$.
જમીનથી દડાની કુલ ઊંચાઈ એ ખેલાડીની ઊંચાઈ અને મુક્તિ બિંદુથી પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈનો સરવાળો છે.
કુલ ઊંચાઈ $= 1.8 \,m + 19.6 \,m = 21.4 \,m$.

(D) ગોળી સમક્ષિતિજ પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કરે છે.
ગોળીનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર,$y = 15 \ cm = 0.15 \ m$.
ગોળીનું સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર,$x = 150 \ m$.
સમક્ષિતિજ પ્રક્ષિપ્ત ગતિના પથનું સમીકરણ,$y = \frac{g x^2}{2 u^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.15 = \frac{10 \times 150^2}{2 u^2}$.
$u^2$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $u^2 = \frac{10 \times 22500}{2 \times 0.15} = \frac{225000}{0.3} = 750000$.
વર્ગમૂળ લેતા: $u = \sqrt{750000} = \sqrt{250000 \times 3} = 500 \sqrt{3} \ m \ s^{-1}$.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. કુલ ઉડ્ડયન સમય $T$ એ બિંદુ $X$ સુધી પહોંચવાનો સમય $(t_1 = 3 \ s)$ અને $X$ થી જમીન સુધીનો સમય $(t_2 = 6 \ s)$ નો સરવાળો છે.
કુલ સમય $T = t_1 + t_2 = 3 + 6 = 9 \ s$.
કુલ ઉડ્ડયન સમયનું સૂત્ર $T = \frac{2u}{g}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$9 = \frac{2u}{10}$,જે આપણને $u = 45 \ m/s$ આપે છે.
બિંદુ $X$ નું જમીનથી શિરોલંબ અંતર $h$ ગતિના સમીકરણ $h = ut_1 - \frac{1}{2}gt_1^2$ નો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે.
$u = 45 \ m/s$,$t_1 = 3 \ s$,અને $g = 10 \ m/s^2$ મૂકતા:
$h = (45 \times 3) - \frac{1}{2} \times 10 \times (3)^2$
$h = 135 - 5 \times 9$
$h = 135 - 45 = 90 \ m$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ (Horizontal range) $R$ નું સૂત્ર: $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \,m \,s^{-1}$,પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 45^{\circ}$,અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 10 \,m \,s^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{10^2 \sin(2 \times 45^{\circ})}{10} = \frac{100 \times \sin(90^{\circ})}{10} = \frac{100 \times 1}{10} = 10 \,m$.
ગોળીઓ બધી દિશામાં છોડવામાં આવતી હોવાથી,તે જમીન પર $R = 10 \,m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં પડશે.
ગોળીઓ દ્વારા આવરી લેવાયેલ વિસ્તાર $A$ એ આ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે: $A = \pi R^2$.
$A = \pi \times (10)^2 = 100\pi$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$A = 100 \times 3.14 = 314 \,m^2$ મળે છે.

(D) ધારો કે પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને તેનું દળ $m$ છે। પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $X = \frac{1}{2}mu^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ, વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે અને સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos \theta$ રહે છે.
પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ હોવાથી, મહત્તમ ઊંચાઈએ સમક્ષિતિજ વેગ $u_x = u \cos 60^{\circ} = u \times \frac{1}{2} = \frac{u}{2}$ થાય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $K_h = \frac{1}{2}m(u_x)^2$ દ્વારા મળે છે.
$u_x$ ની કિંમત મૂકતા, $K_h = \frac{1}{2}m(\frac{u}{2})^2 = \frac{1}{2}m(\frac{u^2}{4}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{2}mu^2)$ મળે છે.
કારણ કે $X = \frac{1}{2}mu^2$, તેથી $K_h = \frac{X}{4}$ થાય છે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u = 30 \ m \ s^{-1}$ છે અને પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta$ છે. પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = 30 \ m$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{(30)^2 \sin^2 \theta}{2 \times 10} = 30 \implies \frac{900 \sin^2 \theta}{20} = 30 \implies 45 \sin^2 \theta = 30 \implies \sin^2 \theta = \frac{30}{45} = \frac{2}{3}$.
આમ,$\sin \theta = \sqrt{\frac{2}{3}}$ અને $\cos \theta = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ (Range) $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g}$ છે.
$R = \frac{30^2 \times 2 \times \sqrt{\frac{2}{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}}}{10} = \frac{900 \times 2 \times \frac{\sqrt{2}}{3}}{10} = 90 \times 2 \times \frac{\sqrt{2}}{3} = 60 \sqrt{2} \ m$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ $y = x \tan \theta (1 - \frac{x}{R})$ છે.
અહીં પ્રક્ષિપ્ત બિંદુ $(0, 0)$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈ $H = 20 \text{ m}$ એ $x = 30 \text{ m}$ અંતરે મળે છે.
કુલ અવધિ $R = 30 \text{ m} + 10 \text{ m} = 40 \text{ m}$ છે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $20 = 30 \tan \theta (1 - \frac{30}{40})$.
$20 = 30 \tan \theta (1 - 0.75) = 30 \tan \theta (0.25) = 7.5 \tan \theta$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{20}{7.5} = \frac{8}{3}$.
આમ,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = \tan^{-1}(\frac{8}{3})$ થાય.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ગતિપથનું સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = Ax - Bx^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$A = \tan \theta$ અને $B = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
$A = \tan \theta$ પરથી,$\sin \theta = A \cos \theta$ મળે.
આ કિંમત $B = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta}$ માં મૂકતા,$u^2 = \frac{g}{2B \cos^2 \theta}$ મળે.
હવે,$H = \frac{(\frac{g}{2B \cos^2 \theta}) (A^2 \cos^2 \theta)}{2g} = \frac{A^2}{4B}$.
તે જ રીતે,$R = \frac{2 (\frac{g}{2B \cos^2 \theta}) (A \cos^2 \theta)}{g} = \frac{A}{B}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ અને અવધિનો ગુણોત્તર $\frac{H}{R} = \frac{A^2 / 4B}{A / B} = \frac{A}{4}$ થાય.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
આપેલ છે: $u = 60 \,m \,s^{-1}$, $R = 180 \sqrt{3} \,m$, અને $g = 10 \,m \,s^{-2}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$180 \sqrt{3} = \frac{(60)^2 \sin(2\theta)}{10}$
$180 \sqrt{3} = \frac{3600 \sin(2\theta)}{10}$
$180 \sqrt{3} = 360 \sin(2\theta)$
$\sin(2\theta) = \frac{180 \sqrt{3}}{360} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, તેથી $2\theta = 60^{\circ}$ અથવા $2\theta = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
આમ, $\theta = 30^{\circ}$ અથવા $\theta = 60^{\circ}$.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક ઉર્ધ્વ વેગ $u_y$ છે અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \ m \ s^{-2}$ છે.
સમય $t$ પર ઊંચાઈ $h$ ગતિના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $h = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$.
$t = 2 \ s$ પર $h = 60 \ m$ આપેલ છે,તેથી: $60 = u_y(2) - \frac{1}{2}(10)(2)^2$.
$60 = 2u_y - 20 \implies 2u_y = 80 \implies u_y = 40 \ m \ s^{-1}$.
ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u_y}{g}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{2 \times 40}{10} = 8 \ s$.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2 u^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$R = 3H$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{2 u^2 \sin\theta \cos\theta}{g} = 3 \left( \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g} \right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $2 \cos\theta = \frac{3}{2} \sin\theta$,જે દર્શાવે છે કે $\tan\theta = \frac{4}{3}$.
$\tan\theta = \frac{4}{3}$ પરથી,$\sin\theta = \frac{4}{5}$ અને $\cos\theta = \frac{3}{5}$ મળે.
હવે,આ કિંમતો અવધિના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{2 u^2 (4/5)(3/5)}{g} = \frac{2 u^2 (12/25)}{g} = \frac{24 u^2}{25 g}$.

(B) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 45^{\circ}$ છે।
મહત્તમ ઊંચાઈએ, વેગનો શિરોલંબ ઘટક $0$ હોય છે, તેથી પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો વેગ તેના સમક્ષિતિજ ઘટક જેટલો હોય છે: $v_{max} = u \cos \theta$.
આપેલ છે કે $v_{max} = 20 \,m \,s^{-1}$ અને $\theta = 45^{\circ}$, તેથી $20 = u \cos 45^{\circ} = u / \sqrt{2}$.
આમ, $u = 20\sqrt{2} \,m \,s^{-1}$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $H = \frac{(20\sqrt{2})^2 \sin^2 45^{\circ}}{2 \times 10}$.
$H = \frac{800 \times (1/\sqrt{2})^2}{20} = \frac{800 \times 0.5}{20} = \frac{400}{20} = 20 \,m$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને તે સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે છે.
$t = 3 \,s$ સમયે $(1 \,s + 2 \,s = 3 \,s)$, પદાર્થ સમક્ષિતિજ દિશામાં ગતિ કરે છે, જેનો અર્થ છે કે વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય છે.
$v_y = u \sin \theta - gt = 0 \Rightarrow u \sin \theta = g \times 3 = 10 \times 3 = 30 \,ms^{-1}$.
$t = 1 \,s$ સમયે, દિશા સમક્ષિતિજ સાથે $45^{\circ}$ છે, તેથી $\tan 45^{\circ} = \frac{v_y}{v_x} = 1$.
આમ, $v_y = v_x \Rightarrow u \sin \theta - g(1) = u \cos \theta$.
$u \sin \theta = 30$ અને $g = 10$ મૂકતા, આપણને $30 - 10 = u \cos \theta \Rightarrow u \cos \theta = 20 \,ms^{-1}$ મળે છે.
પ્રારંભિક વેગનું મૂલ્ય $u = \sqrt{(u \cos \theta)^2 + (u \sin \theta)^2} = \sqrt{20^2 + 30^2} = \sqrt{400 + 900} = \sqrt{1300} = 10 \sqrt{13} \,ms^{-1}$ થાય.

(B) પ્રથમ પદાર્થ માટે,અવધિ મહત્તમ હોય ત્યારે પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 45^{\circ}$ હોય છે.
પ્રથમ પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H_1 = \frac{u_1^2 \sin^2 45^{\circ}}{2g} = \frac{u_1^2 (1/\sqrt{2})^2}{2g} = \frac{u_1^2}{4g}$ છે.
બીજા પદાર્થ માટે,મહત્તમ ઊંચાઈ ત્યારે પ્રાપ્ત થાય છે જ્યારે તેને શિરોલંબ પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે,એટલે કે $\theta = 90^{\circ}$.
બીજા પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H_2 = \frac{u_2^2 \sin^2 90^{\circ}}{2g} = \frac{u_2^2}{2g}$ છે.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થો સમાન મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે,તેથી $H_1 = H_2$.
તેથી,$\frac{u_1^2}{4g} = \frac{u_2^2}{2g}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{u_1^2}{u_2^2} = \frac{4g}{2g} = 2$ મળે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{u_1}{u_2} = \sqrt{2} : 1$ મળે છે.

(B) મહત્તમ રેન્જ માટે,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 45^{\circ}$ હોય છે.
મહત્તમ રેન્જનું સૂત્ર $R_{\max} = \frac{u^2}{g} = 80 \ m$ છે.
$g = 10 \ m/s^2$ આપેલ હોવાથી,$u^2 = 80 \times 10 = 800$,તેથી $u = \sqrt{800} \ m/s$ મળે.
સમય $t$ માં કાપેલું આડું (ક્ષૈતિજ) અંતર $x = (u \cos \theta) t$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = (\sqrt{800} \cos 45^{\circ}) \times 3$.
$x = \sqrt{800} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times 3 = \sqrt{400} \times 3 = 20 \times 3 = 60 \ m$.
આમ,પ્રથમ $3 \ s$ માં કાપેલું અંતર $60 \ m$ છે.

(C) આપેલ છે: સમક્ષિતિજ અવધિ $R = 50 \ m$,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 45^{\circ}$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ વાપરતા: $y = x \tan \theta \left(1 - \frac{x}{R}\right)$.
અહીં,$x$ એ સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર છે અને $y$ એ શિરોલંબ ઊંચાઈ છે.
$x = 20 \ m$ આપેલ હોવાથી,કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$h = 20 \tan 45^{\circ} \left(1 - \frac{20}{50}\right)$.
$\tan 45^{\circ} = 1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$h = 20 \times 1 \times \left(1 - 0.4\right) = 20 \times 0.6 = 12 \ m$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ $y = 3x - 0.8x^2$ આપેલ છે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\tan \theta = 3$ મળે છે.
વળી,$\frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = 0.8$.
અહીં $u_x = u \cos \theta$ હોવાથી,$\frac{g}{2u_x^2} = 0.8$.
$g = 10 \ m/s^2$ લેતા,$u_x^2 = \frac{10}{2 \times 0.8} = \frac{10}{1.6} = 6.25$,તેથી $u_x = 2.5 \ m/s$.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ એ $x$ નું મૂલ્ય છે જ્યારે $y = 0$ હોય: $0 = x(3 - 0.8x)$,જે આપણને $R = \frac{3}{0.8} = 3.75 \ m$ આપે છે.
ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{R}{u_x} = \frac{3.75}{2.5} = 1.5 \ s$ થાય.

(B) દીવાલનું આડું અંતર $x = 7 \ m$ છે. પ્રારંભિક વેગ $u = 15 \ m/s$ અને ખૂણો $\theta = 37^{\circ}$ છે.
પ્રથમ,જમીન '$B$' થી લક્ષ્ય '$C$' ની ઊંચાઈ શોધો:
$\tan 37^{\circ} = \frac{BC}{x} \implies BC = 7 \times \tan 37^{\circ} = 7 \times \frac{3}{4} = 5.25 \ m$.
હવે,દીવાલ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય શોધો:
$v_x = u \cos 37^{\circ} = 15 \times \frac{4}{5} = 12 \ m/s$.
$x = v_x \cdot t \implies 7 = 12 \cdot t \implies t = \frac{7}{12} \ s$.
હવે,સમય '$t$' પર દડા દ્વારા પ્રાપ્ત ઊર્ધ્વ ઊંચાઈ '$BD$' શોધો:
$v_y = u \sin 37^{\circ} = 15 \times \frac{3}{5} = 9 \ m/s$.
$BD = v_y \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 = 9 \times \left(\frac{7}{12}\right) - \frac{1}{2} \times 10 \times \left(\frac{7}{12}\right)^2$.
$BD = 5.25 - 5 \times \frac{49}{144} = 5.25 - \frac{245}{144} \approx 5.25 - 1.701 = 3.549 \ m$.
ઊર્ધ્વ અંતર '$y_0$' એ '$BC$' અને '$BD$' વચ્ચેનો તફાવત છે:
$y_0 = BC - BD = 5.25 - 3.549 = 1.701 \ m \approx 1.7 \ m$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનું સમીકરણ $Y = P x - Q x^2$ છે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $Y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $\tan \theta = P$ અને $Q = \frac{g}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ મળે છે।
$(A)$ અવધિ $(R)$: જ્યારે $Y = 0$, ત્યારે $x = R$. તેથી, $0 = P R - Q R^2 \Rightarrow R = \frac{P}{Q}$. આમ, $(A)-(i)$.
$(B)$ મહત્તમ ઊંચાઈ $(H)$: $H = \frac{R \tan \theta}{4} = \frac{(P/Q) \cdot P}{4} = \frac{P^2}{4 Q}$. આમ, $(B)-(iii)$.
$(C)$ ઉડ્ડયન સમય $(T)$: $T = \frac{2 u \sin \theta}{g}$. કારણ કે $\tan \theta = P$ અને $Q = \frac{g}{2 u^2 \cos^2 \theta}$, તેથી $u \cos \theta = \sqrt{\frac{g}{2 Q}}$. હવે $T = \frac{2 u \sin \theta}{g} = \frac{2 (u \cos \theta) \tan \theta}{g} = \frac{2 \sqrt{\frac{g}{2 Q}} \cdot P}{g} = \left(\sqrt{\frac{2}{g Q}}\right) P$. આમ, $(C)-(iv)$.
$(D)$ પ્રક્ષેપણનો સ્પર્શક: $\tan \theta = P$. આમ, $(D)-(ii)$.

(C) આપેલ સમીકરણો $2Y = 6t - gt^2$ અને $X = 4t$ છે.
પ્રથમ, શિરોલંબ સ્થાનાંતરના સમીકરણને સરળ બનાવતા: $Y = 3t - \frac{1}{2}gt^2$.
સમક્ષિતિજ વેગનો ઘટક $V_x = \frac{dX}{dt} = \frac{d}{dt}(4t) = 4 \,m/s$ છે.
શિરોલંબ વેગનો ઘટક $V_y = \frac{dY}{dt} = \frac{d}{dt}(3t - \frac{1}{2}gt^2) = 3 - gt$ છે.
પ્રારંભિક ક્ષણે $t = 0$ પર, શિરોલંબ વેગ $V_{y0} = 3 - g(0) = 3 \,m/s$ થાય.
પ્રારંભિક વેગ $V_i$ એ $t = 0$ પર વેગ સદિશનું મૂલ્ય છે: $V_i = \sqrt{V_x^2 + V_{y0}^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $V_i = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \,m/s$.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ $(H)$ શોધવાનું સૂત્ર: $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
પ્રારંભિક ઝડપ $u = 50 \ m \ s^{-1}$
પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 60^{\circ}$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \ m \ s^{-2}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$H = \frac{(50)^2 \times (\sin 60^{\circ})^2}{2 \times 10}$
$H = \frac{2500 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}{20}$
$H = \frac{2500 \times \frac{3}{4}}{20}$
$H = \frac{2500 \times 0.75}{20}$
$H = \frac{1875}{20} = 93.75 \ m$
તેથી,પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $93.75 \ m$ છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ (Range) $R = 90 \,m$ આપેલ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
નિયત અંતરે આવેલા લક્ષ્યને લઘુત્તમ પ્રારંભિક વેગ $u$ થી અથડાવવા માટે, તે વેગ માટે અવધિ મહત્તમ હોવી જોઈએ, જે $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે શક્ય છે.
$\theta = 45^{\circ}$ ને અવધિના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{u^2 \sin(90^{\circ})}{g} = \frac{u^2}{g}$.
અહીં $R = 90 \,m$ અને $g = 10 \,ms^{-2}$ આપેલ છે, તેથી $90 = \frac{u^2}{10}$.
આથી, $u^2 = 900$, જેનું વર્ગમૂળ લેતા $u = 30 \,ms^{-1}$ મળે છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સામાન્ય સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = \frac{x}{\sqrt{3}} - \frac{x^2}{60}$ સાથે સરખાવતા:
$1$. $x$ ના સહગુણકની સરખામણી કરતા: $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \theta = 30^{\circ}$.
$2$. $x^2$ ના સહગુણકની સરખામણી કરતા: $\frac{g}{2 u^2 \cos^2 \theta} = \frac{1}{60}$.
$g = 10 \text{ m s}^{-2}$ અને $\theta = 30^{\circ}$ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{10}{2 u^2 \cos^2 30^{\circ}} = \frac{1}{60} \Rightarrow \frac{5}{u^2 (\sqrt{3}/2)^2} = \frac{1}{60}$.
$\frac{5}{u^2 (3/4)} = \frac{1}{60} \Rightarrow \frac{20}{3 u^2} = \frac{1}{60}$.
$3 u^2 = 1200 \Rightarrow u^2 = 400$.
$u = 20 \text{ m s}^{-1}$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = 90 \,m$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
$H$ ને $R$ વડે ભાગતા:
$\frac{H}{R} = \frac{u^2 \sin^2 \theta / 2g}{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta) / g} = \frac{\tan \theta}{4}$.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\tan 45^{\circ} = 1$.
તેથી,$H = \frac{R \tan 45^{\circ}}{4} = \frac{90 \times 1}{4} = 22.5 \,m$.

(C) મહત્તમ ઊંચાઈની ગણતરી કરવા માટે, આપણે ફક્ત ગતિના શિરોલંબ ઘટકને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ।
આપેલી ઊંચાઈ $h_1 = 5 \text{ m}$ પર, વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_y = 5 \text{ m s}^{-1}$ છે।
મહત્તમ ઊંચાઈ પર, વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y = 0 \text{ m s}^{-1}$ થાય છે।
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $a_y = -10 \text{ m s}^{-2}$ છે।
ગતિના સમીકરણ $v_y^2 - u_y^2 = 2 a_y s$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $s$ એ વધારાની પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ છે:
$0^2 - (5)^2 = 2(-10) s$
$-25 = -20 s$
$s = \frac{25}{20} = 1.25 \text{ m}$
દડા દ્વારા પ્રાપ્ત કરવામાં આવતી કુલ મહત્તમ ઊંચાઈ $H = h_1 + s = 5 \text{ m} + 1.25 \text{ m} = 6.25 \text{ m}$ છે।

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 50 \ m s^{-1}$
પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 30^{\circ}$
ગુરુત્વ પ્રવેગ $g = 10 \ m s^{-2}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{2 \times 50 \times \sin 30^{\circ}}{10}$
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,
$T = \frac{100 \times 0.5}{10} = \frac{50}{10} = 5 \ s$.
આમ,દડો $5 \ s$ સુધી હવામાં રહેશે.

(A) આપેલ છે કે, ટાવરની ઊંચાઈ $h = 19.6 \,m$ છે.
પ્રક્ષેપણ બિંદુ અને જમીન પરના બિંદુને જોડતી રેખા સમક્ષિતિજ સાથે $\theta = 45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ઊંચાઈ $h$ અને સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં:
$\tan \theta = \frac{h}{R}$
$\tan 45^{\circ} = \frac{19.6}{R}$
$1 = \frac{19.6}{R} \Rightarrow R = 19.6 \,m$.
જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ નીચે મુજબ છે:
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 19.6}{9.8}} = \sqrt{4} = 2 \,s$.
સમક્ષિતિજ અંતર $R$ નીચે મુજબ છે:
$R = u \times t$
$19.6 = u \times 2$
$u = \frac{19.6}{2} = 9.8 \,m/s$.
આમ, દડાનો પ્રારંભિક વેગ $9.8 \,m/s$ છે.

(B) ધારો કે $u$ અને $\theta$ એ પ્રક્ષિપ્ત વેગ અને પ્રક્ષિપ્ત કોણ છે.
આપેલ છે કે,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos \theta = 3 \ m/s$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિનું સમીકરણ $y = 12x - \frac{3}{4}x^2$ ... $(i)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે,પ્રક્ષિપ્ત ગતિનું સામાન્ય સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ ... (ii) છે.
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ની સરખામણી કરતા,આપણને $\tan \theta = 12$ મળે છે.
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 12$ હોવાથી,$\sin \theta = 12 \cos \theta$ થાય.
બંને બાજુ $u$ વડે ગુણતા,$u \sin \theta = 12(u \cos \theta) = 12 \times 3 = 36 \ m/s$ મળે છે.
અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{2(u \sin \theta)(u \cos \theta)}{g}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$R = \frac{2 \times 36 \times 3}{10} = \frac{216}{10} = 21.6 \ m$ મળે છે.

(B) દડાને $20 \,m$ ની ઊંચાઈએથી પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે અને આપણે તે સમક્ષિતિજ અંતર શોધવાનું છે જ્યાં તે ફરીથી તે જ ઊર્ધ્વ સ્તર (જમીનથી $20 \,m$) પર પાછો આવે છે。
આ એક સમતલ સપાટી પર $\theta$ ખૂણે ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ (Range) શોધવા સમાન છે。
સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ માટેનું સૂત્ર:
$R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$
આપેલ છે:
પ્રારંભિક ઝડપ $u = 13 \,ms^{-1}$
પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 30^{\circ}$
ગુરુત્વ પ્રવેગ $g = 10 \,ms^{-2}$
કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{(13)^2 \times \sin(2 \times 30^{\circ})}{10}$
$R = \frac{169 \times \sin(60^{\circ})}{10}$
$R = \frac{169 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{10}$
$R = \frac{169 \times 1.732}{20}$
$R = \frac{292.708}{20} \approx 14.635 \,m$
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને $R = 14.6 \,m$ મળે છે।

(C) જ્યારે બોલ-$1$ ને ટાવરની ટોચ પરથી આડી દિશામાં પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે અને તે જ ક્ષણે બોલ-$2$ ને શિરોલંબ નીચે પડવા દેવામાં આવે છે,ત્યારે બંને બોલ પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ ની સમાન અસર થાય છે.
બંને બોલ માટે પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $u_y = 0$ છે અને તેઓ સમાન ઊંચાઈ $h$ કાપે છે,તેથી જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય ગતિના સમીકરણ $h = \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા મળે છે.
સમય માટે ઉકેલતા,આપણને $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ મળે છે.
અહીં $h$ અને $g$ બંને બોલ માટે સમાન હોવાથી,સમય $t$ પણ સમાન રહેશે.
તેથી,બંને બોલ એકસાથે જમીન પર પહોંચશે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,પદાર્થ પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ છે,જે શિરોલંબ નીચેની દિશામાં લાગે છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ પ્રવેગ હોતો નથી $(a_x = 0)$.
ન્યૂટનના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જો કોઈ દિશામાં ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોય,તો તે દિશામાં વેગ અચળ રહે છે.
તેથી,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(v_x = u cos \theta)$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.

(A) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત વેગ $v = 2\sqrt{gh}$ છે જે સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
સમક્ષિતિજ વેગનો ઘટક: $v_x = v \cos \theta = 2\sqrt{gh} \cos \theta$.
દીવાલો વચ્ચેનું સમક્ષિતિજ અંતર $d = 2h$ કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_x} = \frac{2h}{2\sqrt{gh} \cos \theta} = \sqrt{\frac{h}{g}} \sec \theta$ ... $(i)$
પથના સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2v^2 \cos^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = h$ ઊંચાઈ પરની બે દીવાલો માટે:
$h = x \tan \theta - \frac{x^2}{8h \cos^2 \theta} \Rightarrow x^2 - (8h \tan \theta \cos^2 \theta) x + 8h^2 = 0$.
દીવાલો વચ્ચેનું અંતર $x_2 - x_1 = 2h$ છે. દ્વિઘાત સમીકરણ માટે $|x_2 - x_1| = \frac{\sqrt{D}}{|a|}$.
$|x_2 - x_1| = \sqrt{(8h \tan \theta \cos^2 \theta)^2 - 32h^2} = 2h$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $\theta = 60^\circ$ મળે છે.
સમીકરણ $(i)$ માં $\theta = 60^\circ$ મૂકતા: $t = \sqrt{\frac{h}{g}} \sec 60^\circ = 2\sqrt{\frac{h}{g}} = \sqrt{\frac{4h}{g}}$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$\theta$ એ પ્રક્ષેપણ કોણ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
નિશ્ચિત પ્રારંભિક વેગ $u$ માટે,અવધિ $R$ એ $\sin(2\theta)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
જ્યારે $\sin(2\theta)$ મહત્તમ હોય ત્યારે અવધિ મહત્તમ હોય છે,જે $2\theta = 90^{\circ}$ એટલે કે $\theta = 45^{\circ}$ પર થાય છે.
આપેલા ખૂણાઓ માટે આપણે $\sin(2\theta)$ ના મૂલ્યોની સરખામણી કરીએ:
$25^{\circ}$ માટે,$2\theta = 50^{\circ}$,$\sin(50^{\circ}) \approx 0.766$.
$40^{\circ}$ માટે,$2\theta = 80^{\circ}$,$\sin(80^{\circ}) \approx 0.985$.
$55^{\circ}$ માટે,$2\theta = 110^{\circ}$,$\sin(110^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 110^{\circ}) = \sin(70^{\circ}) \approx 0.940$.
$70^{\circ}$ માટે,$2\theta = 140^{\circ}$,$\sin(140^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 140^{\circ}) = \sin(40^{\circ}) \approx 0.643$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$\sin(80^{\circ})$ સૌથી મોટું છે. તેથી,$40^{\circ}$ ના ખૂણે અવધિ મહત્તમ હશે.

(B) પ્રારંભિક વેગ $u$ અને પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta$ ધરાવતા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે,અવધિ $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉડ્ડયન સમય $t = \frac{2u \sin\theta}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન અવધિ $R$ માટે,બે પ્રક્ષિપ્ત કોણો $\theta$ અને $(90^\circ - \theta)$ છે.
ધારો કે $t_1 = \frac{2u \sin\theta}{g}$ અને $t_2 = \frac{2u \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2u \cos\theta}{g}$.
$t_1$ અને $t_2$ નો ગુણાકાર કરતા:
$t_1 t_2 = \left( \frac{2u \sin\theta}{g} \right) \left( \frac{2u \cos\theta}{g} \right) = \frac{4u^2 \sin\theta \cos\theta}{g^2}$.
નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2 \sin\theta \cos\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t_1 t_2 = \frac{2u^2 \sin(2\theta)}{g^2}$.
કારણ કે $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$,આપણે $u^2 \sin(2\theta) = Rg$ મૂકી શકીએ:
$t_1 t_2 = \frac{2(Rg)}{g^2} = \frac{2R}{g}$.
અહીં $2$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$t_1 t_2 \propto R$ થાય છે.

(C) આપેલ છે, બંદૂક અને લક્ષ્ય વચ્ચેનું અંતર $d = 600 \,m$, ગોળીનો વેગ $v = 500 \,ms^{-1}$.
ગોળી સમક્ષિતિજ અંતર કાપવા માટે લેતો સમય $t = d/v = 600/500 = 1.2 \,s$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે, ગોળી આ સમય $t$ માં $h$ જેટલી ઊભી નીચે પડશે. ગતિના સમીકરણ $h = ut + (1/2)gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં પ્રારંભિક ઉર્ધ્વ વેગ $u = 0$ છે:
$h = 0 \times (1.2) + (1/2) \times 10 \times (1.2)^2$
$h = 5 \times 1.44 = 7.2 \,m$.
આમ, ગોળીના નીચે પડતા અંતરને સરભર કરવા માટે બંદૂકને લક્ષ્યથી $7.2 \,m$ ઊંચાઈએ નિશાન બનાવવી જોઈએ.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉપર જવાનો સમય $t_a$ નું સૂત્ર $t_a = \frac{u \sin \theta}{g}$ છે.
અહીં $t_a = 1 \ s$ અને $g = 10 \ m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $1 = \frac{u \sin \theta}{10}$,જેનો અર્થ છે કે $u \sin \theta = 10 \ m/s$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{(u \sin \theta)^2}{2g}$ છે.
આ સૂત્રમાં $u \sin \theta = 10 \ m/s$ અને $g = 10 \ m/s^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$H = \frac{10^2}{2 \times 10} = \frac{100}{20} = 5 \ m$.
આમ,પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $5 \ m$ છે.

(C) આપેલ છે: મહત્તમ ઊંચાઈ $H = 3 \,m$,અવધિ $R = 4 \,m$,અને $g = 10 \,ms^{-2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ અને $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$.
$H$ અને $R$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{H}{R} = \frac{u^2 \sin^2 \theta / 2g}{2u^2 \sin \theta \cos \theta / g} = \frac{\sin \theta}{4 \cos \theta} = \frac{1}{4} \tan \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{4} = \frac{1}{4} \tan \theta \Rightarrow \tan \theta = 3$.
કારણ કે $\tan \theta = 3$,તેથી $\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{10}}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
$H$ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$3 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{u^2 (3/\sqrt{10})^2}{2 \times 10} = \frac{u^2 \times (9/10)}{20}$.
$3 = \frac{9u^2}{200} \Rightarrow u^2 = \frac{3 \times 200}{9} = \frac{200}{3}$.
$u = \sqrt{\frac{200}{3}} = 10 \sqrt{\frac{2}{3}} \,ms^{-1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.