Horizontal Projectile Motion Questions in Gujarati

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
પ્રથમ દડા માટે,$H_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
બીજા દડા માટે,$H_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^\circ - \theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$.
અહીં $u = 40\,m/s$ અને $g = 10\,m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $H_1 = \frac{1600 \sin^2 \theta}{20} = 80 \sin^2 \theta$ અને $H_2 = 80 \cos^2 \theta$.
આપેલ છે કે $H_2 - H_1 = 50\,m$,તેથી $80(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 50$.
$\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos(2\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,$80 \cos(2\theta) = 50$,તેથી $\cos(2\theta) = \frac{5}{8} = 0.625$.
$\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$ હોવાથી,$2\sin^2 \theta = 1 - 0.625 = 0.375$,તેથી $\sin^2 \theta = 0.1875$.
આમ,$H_1 = 80 \times 0.1875 = 15\,m$.
તેથી $H_2 = H_1 + 50 = 15 + 50 = 65\,m$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક ઝડપ છે અને $\alpha$ એ સમક્ષિતિજ સાથેનો પ્રક્ષેપણ ખૂણો છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે,સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\alpha_1 = \theta$ છે. તેથી,$H_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
બીજા પદાર્થ માટે,શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta$ છે,જેનો અર્થ છે કે સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\alpha_2 = 90^\circ - \theta$ થાય. તેથી,$H_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^\circ - \theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$.
મહત્તમ ઊંચાઈઓનો ગુણોત્તર $\frac{H_1}{H_2} = \frac{u^2 \sin^2 \theta / 2g}{u^2 \cos^2 \theta / 2g} = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \tan^2 \theta$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $\tan^2 \theta : 1$ છે.

(A) તાત્કાલિક વેગ $v = a \hat{i} + (b - ct) \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને પ્રમાણિત પ્રક્ષિપ્ત ગતિના સમીકરણો $v_x = u_x$ અને $v_y = u_y - gt$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ,$u_x = a$
પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ,$u_y = b$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ,$g = c$
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે,ઉડ્ડયન સમય $T$ એ સમય છે જ્યારે શિરોલંબ સ્થાનાંતર શૂન્ય હોય છે. મહત્તમ ઊંચાઈ પર $v_y = 0$ લેતા,$b - ct = 0 \implies t = b/c$. તેથી,કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = 2t = 2b/c$.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ એ $R = u_x \times T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$R = a \times (2b/c) = 2ab/c$.

(B) કુલ સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ એ પ્રક્ષેપણ બિંદુથી દડો જ્યાં પડે છે ત્યાં સુધીનું અંતર છે. દીવાલ $x = 6 \, m$ પર છે અને દડો દીવાલથી $18 \, m$ દૂર પડે છે,તેથી કુલ અવધિ $R = 6 + 18 = 24 \, m$ થશે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિનું સમીકરણ $y = x \tan \theta \left(1 - \frac{x}{R}\right)$ છે.
અહીં,$x = 6 \, m$ માટે $y = 3 \, m$ છે અને $R = 24 \, m$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$3 = 6 \tan \theta \left(1 - \frac{6}{24}\right)$
$3 = 6 \tan \theta \left(1 - \frac{1}{4}\right)$
$3 = 6 \tan \theta \left(\frac{3}{4}\right)$
$3 = \frac{18}{4} \tan \theta$
$3 = 4.5 \tan \theta$
$\tan \theta = \frac{3}{4.5} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3}$
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2 u \sin \theta}{g}$ છે.
અહીં $T = 2 \, s$ આપેલ છે,તેથી $2 = \frac{2 u \sin \theta}{g}$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $u \sin \theta = g$ મળે છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
$H$ ના સમીકરણમાં $u \sin \theta = g$ મૂકતા,આપણને $H = \frac{(g)^2}{2g} = \frac{g}{2}$ મળે છે.
$g = 10 \, m/s^2$ લેતા,$H = \frac{10}{2} = 5 \, m$ મળે છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ઉર્ધ્વ ગતિ એ સમક્ષિતિજ ગતિથી સ્વતંત્ર છે. ઉર્ધ્વ પ્રવેગ $-g$ રહેતો હોવાથી,મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ માં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.
સમક્ષિતિજ અવધિ માટે,પ્રારંભિક અવધિ $R = u_x T$ છે,જ્યાં $T = \frac{2 u_y}{g}$ એ ઉડ્ડયન સમય છે.
સમક્ષિતિજ પ્રવેગ $a_x = \frac{g}{4}$ સાથે નવી સમક્ષિતિજ અવધિ $R^{\prime}$ નીચે મુજબ મળે:
$R^{\prime} = u_x T + \frac{1}{2} a_x T^2$
$R = u_x T$ અને $T^2 = \frac{4 u_y^2}{g^2}$ મૂકતા:
$R^{\prime} = R + \frac{1}{2} \left(\frac{g}{4}\right) \left(\frac{4 u_y^2}{g^2}\right)$
$H = \frac{u_y^2}{2g}$ હોવાથી,$u_y^2 = 2gH$ થાય. આ કિંમત મૂકતા:
$R^{\prime} = R + \frac{g}{8} \left(\frac{4(2gH)}{g^2}\right) = R + \frac{g}{8} \left(\frac{8gH}{g^2}\right) = R + H$
આમ,નવી અવધિ $(R+H)$ અને ઊંચાઈ $H$ થશે.

(B) ધારો કે વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y = u \cos \theta$ છે (કારણ કે ખૂણો શિરોલંબ સાથે છે).
શિરોલંબ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $h = v_y t - \frac{1}{2} g t^2$ છે.
$t_1 = 1\,s$ અને $t_2 = 3\,s$ સમય માટે:
$h = v_y(1) - \frac{1}{2} g(1)^2$ ... $(1)$
$h = v_y(3) - \frac{1}{2} g(3)^2$ ... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા: $v_y - 0.5g = 3v_y - 4.5g$.
$2v_y = 4g \implies v_y = 2g = 2 \times 9.8 = 19.6\,m/s$.
હવે,મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{max} = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{(19.6)^2}{2 \times 9.8} = 19.6\,m$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ કરતાં ચાર ગણી છે,એટલે કે $R = 4H$.
સમક્ષિતિજ અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{U^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2U^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{U^2 \sin^2\theta}{2g}$ છે.
આ કિંમતોને આપેલ શરતમાં મૂકતા: $\frac{2U^2 \sin\theta \cos\theta}{g} = 4 \times \frac{U^2 \sin^2\theta}{2g}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $2 \sin\theta \cos\theta = 2 \sin^2\theta$.
બંને બાજુ $2 \sin\theta$ વડે ભાગતા ($\sin\theta \neq 0$ ધારીને): $\cos\theta = \sin\theta$.
તેથી,$\tan\theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 45^{\circ}$.

(C) ગતિ દરમિયાન વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે.
$u_x = u \cos 60^{\circ} = 150 \times \frac{1}{2} = 75\, ms^{-1}$.
ધારો કે $t$ સમયે વેગ $v$ છે. આ સમયે સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.
$t$ સમયે વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos 45^{\circ}$ છે.
$v_x = u_x$ હોવાથી,$v \cos 45^{\circ} = 75$,તેથી $v = \frac{75}{\cos 45^{\circ}} = 75\sqrt{2}\, ms^{-1}$.
$t$ સમયે વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y = v \sin 45^{\circ} = 75\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 75\, ms^{-1}$.
સમીકરણ $v_y = u_y - gt$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u_y = u \sin 60^{\circ} = 150 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 75\sqrt{3}\, ms^{-1}$:
$75 = 75\sqrt{3} - 10t$.
$10t = 75(\sqrt{3} - 1)$.
$t = 7.5(\sqrt{3} - 1)\,s$.

(A) ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
આપણે $\frac{H}{T^2}$ નો ગુણોત્તર શોધવાનો છે.
$\frac{H}{T^2} = \frac{\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}}{(\frac{2u \sin \theta}{g})^2} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \times \frac{g^2}{4u^2 \sin^2 \theta}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{H}{T^2} = \frac{g}{8}$ મળે છે.
$g = 10 \ m/s^2$ લેતા,ગુણોત્તર $\frac{10}{8} = \frac{5}{4}$ થાય છે.

(A) આપેલ છે:
પ્રારંભિક આડો વેગ $u_x = 10\,m/s$.
પ્રારંભિક ઉર્ધ્વ વેગ $u_y = 0\,m/s$.
ગુરુત્વ પ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$.
સમય $t = 1\,s$.
$(A)$ વેગનો આડો ઘટક $(v_x)$: પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,આડો વેગ અચળ રહે છે. તેથી,$v_x = u_x = 10\,m/s$. જે $(q)$ સાથે સુસંગત છે.
$(B)$ વેગનો ઉર્ધ્વ ઘટક $(v_y)$: $v_y = u_y + g_y t$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $g_y = g = 10\,m/s^2$. તેથી,$v_y = 0 + 10(1) = 10\,m/s$. જે $(q)$ સાથે સુસંગત છે.
$(C)$ આડું સ્થાનાંતર $(x)$: $x = u_x t = 10(1) = 10\,m$. જે $(q)$ સાથે સુસંગત છે.
$(D)$ ઉર્ધ્વ સ્થાનાંતર $(y)$: $y = u_y t + \frac{1}{2} g t^2 = 0(1) + \frac{1}{2}(10)(1)^2 = 5\,m$. જે $(p)$ સાથે સુસંગત છે.
તેથી,સાચી જોડ $(A \rightarrow q, B \rightarrow q, C \rightarrow q, D \rightarrow p)$ છે.

(D) દડો પાછો છોકરાના હાથમાં આવે તે માટે દડાનું કુલ સ્થાનાંતર શૂન્ય હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે દડાનો માર્ગ છોકરાની સાપેક્ષમાં સીધી રેખા હોવો જોઈએ.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જો પ્રારંભિક વેગ સદિશ અને કુલ પ્રવેગ સદિશ એક જ રેખા પર હોય (એક જ દિશામાં કાર્યરત હોય).
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_0$ એ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે છે.
પ્રવેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $a_x = 4\, m/s^2$ છે અને શિરોલંબ ઘટક $a_y = g = 10\, m/s^2$ (નીચેની તરફ) છે.
કુલ પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}$ એ શિરોલંબ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે,જ્યાં $\tan \alpha = \frac{a_x}{a_y} = \frac{4}{10} = 0.4$ થાય.
દડો પાછો પ્રારંભિક બિંદુ પર આવે તે માટે પ્રારંભિક વેગ પ્રવેગની દિશામાં જ હોવો જોઈએ,તેથી શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta$ એ $\alpha$ જેટલો જ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\theta = \tan^{-1} (0.4)$.

(D) પ્રક્ષેપણ બિંદુની સાપેક્ષ કોણીય વેગમાન $L = m(\vec{r} \times \vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ, વેગ $v = u \cos \theta$ (સમક્ષિતિજ દિશામાં) હોય છે.
પ્રક્ષેપણ બિંદુથી વેગ સદિશનું લંબ અંતર એ મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
તેથી, $L = m(u \cos \theta) \times H_{\max}$.
$H_{\max}$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને મળે છે $L = m(u \cos \theta) \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right) = \frac{m u^3 \cos \theta \sin^2 \theta}{2g}$.
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણે લખી શકીએ કે $\cos \theta \sin \theta = \frac{\sin 2\theta}{2}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $L = \frac{m u^3 \sin \theta}{2g} \left( \frac{\sin 2\theta}{2} \right) = \frac{m u^3 \sin \theta \sin 2\theta}{4g}$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર: $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર: $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
$H$ ને $R$ વડે ભાગતા:
$\frac{H}{R} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \times \frac{g}{2u^2 \sin \theta \cos \theta}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{H}{R} = \frac{\sin \theta}{4 \cos \theta} = \frac{1}{4} \tan \theta$.
તેથી,$\frac{R}{H} = \frac{4}{\tan \theta} = 4 \cot \theta$ થાય.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$
જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$\theta$ એ પ્રક્ષેપણનો ખૂણો છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
જો પ્રારંભિક વેગ બમણો કરવામાં આવે,તો નવો વેગ $u' = 2u$ થાય.
નવી અવધિ $R'$ નીચે મુજબ મળે:
$R' = \frac{(2u)^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{4u^2 \sin(2\theta)}{g}$
$R' = 4 \times \left( \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} \right) = 4R$
તેથી,અવધિ મૂળ અવધિ કરતાં ચાર ગણી થાય છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $H$,જ્યારે તેને પ્રારંભિક વેગ $u$ થી $\theta = 90^{\circ}$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવે,ત્યારે તેનું સૂત્ર છે:
$H = \frac{u^2}{2g}$
આના પરથી,આપણે પ્રારંભિક વેગના વર્ગને આ રીતે લખી શકીએ:
$u^2 = 2gH$
મહત્તમ ક્ષૈતિજ અવધિ $R_{\max}$ માટે,પદાર્થને $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેંકવો જોઈએ. મહત્તમ ક્ષૈતિજ અવધિનું સૂત્ર છે:
$R_{\max} = \frac{u^2}{g}$
ઊંચાઈના સમીકરણમાંથી $u^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$R_{\max} = \frac{2gH}{g} = 2H$
તેથી,મહત્તમ ક્ષૈતિજ અંતર $2H$ છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ નું સૂત્ર $h = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
બે પ્રક્ષિપ્ત કોણો $\theta$ અને $(90^\circ - \theta)$ માટે અવધિ $R$ સમાન હોય છે,જે $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $h_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ અને $h_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^\circ - \theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$.
$h_1$ અને $h_2$ નો ગુણાકાર કરતા:
$h_1 h_2 = \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right) \left( \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g} \right) = \frac{u^4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta}{4g^2}$.
કારણ કે $R = \frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g}$,તેથી $R^2 = \frac{u^4 (4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta)}{g^2}$.
આમ,$h_1 h_2 = \frac{u^4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta}{4g^2} = \frac{R^2}{16}$.
તેથી,$R^2 = 16 h_1 h_2$,જેનો અર્થ છે કે $R = 4 \sqrt{h_1 h_2}$.

(A) જ્યારે ક્ષિતિજ સમાંતર ઉડતા વિમાનમાંથી બોમ્બ છોડવામાં આવે છે,ત્યારે તે મુક્ત થવાના સમયે વિમાન જેટલો જ ક્ષિતિજ વેગ ધરાવે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે,તે નીચેની તરફ અચળ પ્રવેગ $(g)$ અનુભવે છે.
ક્ષિતિજ ગતિ અચળ વેગથી થાય છે,જ્યારે શિરોલંબ ગતિ અચળ પ્રવેગી હોય છે.
આ બે સ્વતંત્ર ગતિઓના સંયોજનને કારણે બોમ્બનો ગતિપથ પરવલયાકાર બને છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક ઝડપ છે અને $\theta$ એ પ્રક્ષિપ્ત કોણ છે.
પ્રથમ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે: $\theta_1 = 60^\circ$. તેથી,$R_1 = \frac{u^2 \sin(2 \times 60^\circ)}{g} = \frac{u^2 \sin(120^\circ)}{g} = \frac{u^2 \sin(60^\circ)}{g} = \frac{u^2 \sqrt{3}}{2g}$.
બીજા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે: $\theta_2 = 30^\circ$. તેથી,$R_2 = \frac{u^2 \sin(2 \times 30^\circ)}{g} = \frac{u^2 \sin(60^\circ)}{g} = \frac{u^2 \sqrt{3}}{2g}$.
કારણ કે $\sin(2 \times 60^\circ) = \sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) = \sin(2 \times 30^\circ)$,જ્યારે ખૂણાઓનો સરવાળો $90^\circ$ હોય (કોટિકોણ),ત્યારે અવધિ સમાન મળે છે. તેથી,તેમની અવધિ સમાન હશે.

(C) વ્યક્તિ દડાને પકડી શકે તે માટે,દડાના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક વ્યક્તિની અચળ ઝડપ જેટલો હોવો જોઈએ.
આ સુનિશ્ચિત કરે છે કે દડો સમગ્ર ઉડાન દરમિયાન વ્યક્તિની બરાબર ઉપર રહે,જેનો અર્થ છે કે વ્યક્તિની સાપેક્ષમાં દડાની ગતિ માત્ર શિરોલંબ દિશામાં જ હોય.
દડાના સમક્ષિતિજ વેગને વ્યક્તિની ઝડપ સાથે સરખાવતા:
$v_0 \cos \theta = \frac{v_0}{2}$
બંને બાજુ $v_0$ વડે ભાગતા:
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^o$.
આમ,જો પ્રક્ષિપ્ત કોણ $60^o$ હોય તો વ્યક્તિ દડાને પકડી શકશે.

(D) છોકરો $10\, m$ ઊંચી ઇમારતની છત પરથી દડો ફેંકે છે. આપણે તે શોધવાનું છે કે જ્યારે દડો જમીનથી $10\, m$ ની ઊંચાઈએ હોય ત્યારે તે ફેંકવાના બિંદુથી કેટલા આડા અંતરે હશે.
દડો $10\, m$ ની ઊંચાઈએથી ફેંકવામાં આવે છે અને આપણે તે અંતર શોધવાનું છે જ્યારે તે ફરીથી $10\, m$ ની ઊંચાઈએ હોય,જે પ્રક્ષિપ્ત ગતિના સમક્ષિતિજ વિસ્તાર (Range) જેટલું જ છે.
સમક્ષિતિજ વિસ્તાર $R$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$
આપેલ છે:
પ્રારંભિક ઝડપ $u = 10\, m/s$
પ્રક્ષેપણનો ખૂણો $\theta = 30^o$
ગુરુત્વ પ્રવેગ $g = 10\, m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{(10)^2 \sin(2 \times 30^o)}{10} = \frac{100 \times \sin(60^o)}{10} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\, m$
આમ,દડો ફેંકવાના બિંદુથી $5\sqrt{3}\, m$ ના અંતરે હશે.

(A) બે ઇમારતો વચ્ચેનું આડું અંતર $d = 100 \; m$ છે. બુલેટને એકબીજા તરફ $v = 25 \; m/s$ ના આડા વેગથી છોડવામાં આવે છે.
સાપેક્ષ આડો વેગ $v_{rel} = v_1 + v_2 = 25 + 25 = 50 \; m/s$ છે.
બુલેટને અથડાવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_{rel}} = \frac{100}{50} = 2 \; s$ છે.
આ સમય દરમિયાન,બંને બુલેટ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નીચે પડે છે. શિરોલંબ સ્થાનાંતર $s_y = -\frac{1}{2} gt^2$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $s_y = -\frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 = -5 \times 4 = -20 \; m$.
જમીનથી અથડામણની ઊંચાઈ $H_{collision} = H_{initial} + s_y = 200 - 20 = 180 \; m$ છે.
આમ,બુલેટ $2 \; s$ પછી $180 \; m$ ની ઊંચાઈએ અથડાશે.

(N/A) $v_{o}$ જેટલા પ્રારંભિક વેગથી $\theta_{o}$ ખૂણે ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$R = \frac{v_{o}^{2} \sin(2\theta_{o})}{g}$
ધારો કે બે પ્રક્ષિપ્ત ખૂણાઓ $\theta_{1} = 45^{\circ} + \alpha$ અને $\theta_{2} = 45^{\circ} - \alpha$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ સમાન તફાવત છે.
$\theta_{1} = 45^{\circ} + \alpha$ માટે,અવધિ $R_{1}$:
$R_{1} = \frac{v_{o}^{2} \sin(2(45^{\circ} + \alpha))}{g} = \frac{v_{o}^{2} \sin(90^{\circ} + 2\alpha)}{g} = \frac{v_{o}^{2} \cos(2\alpha)}{g}$
$\theta_{2} = 45^{\circ} - \alpha$ માટે,અવધિ $R_{2}$:
$R_{2} = \frac{v_{o}^{2} \sin(2(45^{\circ} - \alpha))}{g} = \frac{v_{o}^{2} \sin(90^{\circ} - 2\alpha)}{g} = \frac{v_{o}^{2} \cos(2\alpha)}{g}$
અહીં $R_{1} = R_{2}$ હોવાથી,સાબિત થાય છે કે $45^{\circ}$ થી સમાન તફાવત ધરાવતા ખૂણાઓ માટે અવધિ સમાન હોય છે.

(N/A) મહત્તમ ઊંચાઈ $h_{m} = \frac{(v_{0} \sin \theta_{0})^{2}}{2g} = \frac{(28 \sin 30^{\circ})^{2}}{2 \times 9.8} = \frac{14 \times 14}{19.6} = 10.0 \; m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(b)$ સમાન સ્તર પર પાછા આવવા માટે લાગતો સમય (ઉડ્ડયન સમય) $T_{f} = \frac{2 v_{0} \sin \theta_{0}}{g} = \frac{2 \times 28 \times \sin 30^{\circ}}{9.8} = \frac{28}{9.8} \approx 2.86 \; s$ ($2.9 \; s$ તરીકે લેતા).
$(c)$ સમક્ષિતિજ અવધિ $R = \frac{v_{0}^{2} \sin 2\theta_{0}}{g} = \frac{28^{2} \times \sin 60^{\circ}}{9.8} = \frac{784 \times 0.866}{9.8} \approx 69.28 \; m$ ($69 \; m$ તરીકે લેતા).

(A) આપેલ છે: દડાની ઝડપ,$u = 40\; m/s$. મહત્તમ ઊંચાઈ,$h = 25\; m$. ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 9.8\; m/s^2$.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,$\theta$ ખૂણે ફેંકવામાં આવેલા પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ નીચેના સંબંધ દ્વારા મળે છે:
$h = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$
કિંમતો મૂકતા:
$25 = \frac{(40)^2 \sin^2 \theta}{2 \times 9.8}$
$25 = \frac{1600 \sin^2 \theta}{19.6}$
$\sin^2 \theta = \frac{25 \times 19.6}{1600} = 0.30625$
$\sin \theta = \sqrt{0.30625} = 0.5534$
$\theta = \sin^{-1}(0.5534) = 33.60^{\circ}$
સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$
$R = \frac{(40)^2 \sin(2 \times 33.60^{\circ})}{9.8}$
$R = \frac{1600 \times \sin(67.2^{\circ})}{9.8}$
$R = \frac{1600 \times 0.9219}{9.8} \approx 150.53\; m$.

(B) મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે. આપેલ છે કે $R = 100 \; m$,તેથી $\frac{u^2}{g} = 100 \; m$ થાય.
મહત્તમ ઊર્ધ્વ ઊંચાઈ $H$ પ્રાપ્ત કરવા માટે,દડાને $90^{\circ}$ ના ખૂણે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવો પડે.
મહત્તમ ઊંચાઈ માટેનું સૂત્ર $H = \frac{u^2}{2g}$ છે.
હવે,$\frac{u^2}{g} = 100 \; m$ ની કિંમત ઊંચાઈના સૂત્રમાં મૂકતા:
$H = \frac{1}{2} \times \left( \frac{u^2}{g} \right) = \frac{1}{2} \times 100 \; m = 50 \; m$.
આમ,ક્રિકેટર દડાને મહત્તમ $50 \; m$ ની ઊંચાઈ સુધી ફેંકી શકે છે.

(N/A) અંતિમ સ્થાને,ગોળાનો વેગ શૂન્ય હોય છે. જો આ ક્ષણે દોરી કાપવામાં આવે,તો ગોળો ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ શિરોલંબ નીચેની તરફ પડશે. ગતિપથ એક સીધી રેખા હશે.
$(b)$ મધ્યમાન સ્થાને,ગોળાનો વેગ સમક્ષિતિજ દિશામાં $1\; m s^{-1}$ હોય છે. જો આ ક્ષણે દોરી કાપવામાં આવે,તો ગોળા પાસે પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ હશે અને તે ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ આવશે. તેથી,તે પરવલયાકાર ગતિપથ અનુસરશે.

(N/A) પ્રક્ષિપ્ત ગતિ: જ્યારે કોઈ પદાર્થને પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે અચળ સમક્ષિતિજ વેગ અને અચળ ઉર્ધ્વ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે. આવી દ્વિ-પરિમાણીય ગતિને પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કહેવામાં આવે છે અને તે પદાર્થને પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ કહેવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જ્યારે આપણે ફૂટબોલને લાત મારીએ છીએ,ત્યારે જો હવાનો અવરોધ અવગણવામાં આવે તો તે પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કરે છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ સમક્ષિતિજ માર્ગ પર સમાન વેગ $(a_x = 0)$ સાથે ગતિ કરે છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ ઉર્ધ્વ માર્ગ પર $g$ જેટલા સમાન પ્રવેગ $(a_y = -g)$ સાથે ગતિ કરે છે.
ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને $X$-અક્ષ સાથે $\theta_0$ ખૂણે $\vec{v}_0$ વેગ સાથે ફેંકવામાં આવે છે. પ્રવેગ $\vec{a} = -g \hat{j}$ છે.
પ્રારંભિક વેગના ઘટકો:
$v_{0x} = v_0 \cos \theta_0$
$v_{0y} = v_0 \sin \theta_0$
ગતિના સમીકરણ $r = r_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$X$-યામ માટે:
$x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{1}{2} a_x t^2 = 0 + (v_0 \cos \theta_0) t + 0 = v_0 \cos \theta_0 t$
$Y$-યામ માટે:
$y(t) = y_0 + v_{0y} t + \frac{1}{2} a_y t^2 = 0 + (v_0 \sin \theta_0) t - \frac{1}{2} g t^2 = v_0 \sin \theta_0 t - \frac{1}{2} g t^2$
આમ,કોઈપણ સમયે $t$ પર કણનું સ્થાન $(x(t), y(t)) = (v_0 \cos \theta_0 t, v_0 \sin \theta_0 t - \frac{1}{2} g t^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(N/A) વ્યાખ્યા: હવામાં ફેંકવામાં આવેલ પદાર્થ,જે માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ ગતિ કરે છે,તેને પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ કહેવામાં આવે છે અને તેની ગતિને પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કહેવામાં આવે છે.
તારવણી:
ધારો કે એક પદાર્થને સમક્ષિતિજ સાથે $\theta_0$ ખૂણે $v_0$ જેટલા પ્રારંભિક વેગથી ફેંકવામાં આવે છે. પ્રારંભિક વેગના ઘટકો $v_{0x} = v_0 \cos \theta_0$ અને $v_{0y} = v_0 \sin \theta_0$ છે.
સમય $t$ પર સમક્ષિતિજ સ્થાન:
$x = (v_0 \cos \theta_0)t \implies t = \frac{x}{v_0 \cos \theta_0} \quad \dots(1)$
સમય $t$ પર શિરોલંબ સ્થાન:
$y = (v_0 \sin \theta_0)t - \frac{1}{2}gt^2 \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $t$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$y = (v_0 \sin \theta_0) \left( \frac{x}{v_0 \cos \theta_0} \right) - \frac{1}{2}g \left( \frac{x}{v_0 \cos \theta_0} \right)^2$
સાદુરૂપ આપતા:
$y = x \tan \theta_0 - \frac{g}{2(v_0 \cos \theta_0)^2}x^2$
આ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ છે.

(N/A) અવધિ $(R)$ એટલે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થે તેના પ્રારંભિક સ્થાન $(x=0, y=0)$ થી અંતિમ સ્થાન $(x=R, y=0)$ સુધી કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર,જ્યાં તે ફરીથી સમાન સમક્ષિતિજ સપાટી પર પાછો ફરે છે.
કોઈપણ સમયે $t$ માટે,સમક્ષિતિજ સ્થાન $x = (v_0 \cos \theta_0) t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉડ્ડયન સમય $t_F$ પર,સમક્ષિતિજ અંતર $R = (v_0 \cos \theta_0) t_F$ છે.
ઉડ્ડયન સમય $t_F = \frac{2 v_0 \sin \theta_0}{g}$ હોવાથી,તેને અવધિના સમીકરણમાં મૂકતા:
$R = (v_0 \cos \theta_0) \left( \frac{2 v_0 \sin \theta_0}{g} \right)$
$R = \frac{v_0^2 (2 \sin \theta_0 \cos \theta_0)}{g}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2\theta_0 = 2 \sin \theta_0 \cos \theta_0$ નો ઉપયોગ કરતા:
$R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta_0}{g}$
મહત્તમ અવધિ $(R_{\max})$ માટે,$\sin 2\theta_0$ નું મૂલ્ય મહત્તમ એટલે કે $1$ હોવું જોઈએ.
$\sin 2\theta_0 = 1 \implies 2\theta_0 = 90^\circ \implies \theta_0 = 45^\circ$.
$\sin 2\theta_0 = 1$ ને અવધિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$R_{\max} = \frac{v_0^2}{g}$.

(N/A) પ્રક્ષિપ્ત ગતિ એ પૃથ્વીની સપાટીની નજીક ફેંકવામાં આવેલી કોઈ વસ્તુ અથવા કણ (પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ) દ્વારા અનુભવાતી ગતિનું સ્વરૂપ છે,જે માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ વક્ર માર્ગ પર ગતિ કરે છે. પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા અનુસરવામાં આવતા માર્ગને તેનો ગતિપથ (trajectory) કહેવામાં આવે છે.
પ્રક્ષિપ્ત કણ એ કોઈપણ એવી વસ્તુ છે જેને પ્રારંભિક વેગ આપવામાં આવે છે અને ત્યારબાદ તેને માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ અવકાશમાં ગતિ કરવા દેવામાં આવે છે. તેના ઉદાહરણોમાં હવામાં ફેંકાયેલો દડો,બંદૂકમાંથી છોડાયેલી ગોળી અથવા ખેલાડી દ્વારા ફેંકવામાં આવેલો ભાલો વગેરેનો સમાવેશ થાય છે.

(N/A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $R = \frac{v_{0}^2 \sin(2\theta_{0})}{g}$,જ્યાં $v_{0}$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$\theta_{0}$ એ પ્રક્ષિપ્ત કોણ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે $(v_{y} = 0)$.
તેથી,મહત્તમ ઊંચાઈએ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો વેગ તેના સમક્ષિતિજ ઘટક જેટલો હોય છે: $v = v_{x} = v_{0} \cos \theta_{0}$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$\theta$ એ પ્રક્ષેપણનો ખૂણો છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
અવધિ $R$ ને મહત્તમ કરવા માટે,$\sin(2\theta)$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\sin(2\theta)$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે ત્યારે મળે છે જ્યારે $2\theta = 90^{\circ}$ હોય.
તેથી,$\theta = 45^{\circ}$.
આમ,મહત્તમ અવધિ મેળવવા માટે કણને $45^{\circ}$ ના ખૂણે પ્રક્ષેપિત કરવો જોઈએ.

(N/A) ક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગથી ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર: $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
$1$. અવધિ $R$ નું મૂલ્ય નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
- પ્રારંભિક વેગ $(u)$: $R$ એ પ્રારંભિક વેગના વર્ગ $(u^2)$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
- પ્રક્ષેપણ કોણ $(\theta)$: $R$ એ પ્રક્ષેપણ કોણના બમણાના સાઈન વિધેય $(\sin(2\theta))$ પર આધાર રાખે છે.
- ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$: $R$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
$2$. અવધિનું મહત્તમ મૂલ્ય $(R_{max})$ નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
- પ્રારંભિક વેગ $(u)$: $R_{max} = \frac{u^2}{g}$. આમ,તે પ્રારંભિક વેગના વર્ગ $(u^2)$ પર આધાર રાખે છે.
- ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$: $R_{max}$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક $(v_y)$ $0$ થઈ જાય છે,જ્યારે સમક્ષિતિજ ઘટક $(v_x)$ અચળ $(u \cos \theta)$ રહે છે.
આમ,પરિણામી વેગ સદિશ સંપૂર્ણપણે સમક્ષિતિજ દિશામાં હોય છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો પ્રવેગ હંમેશા ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ હોય છે,જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
વેગ સમક્ષિતિજ હોવાથી અને પ્રવેગ શિરોલંબ હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ થાય છે.

(C) બંને બોલ જમીન પર એકસાથે પહોંચશે.
કારણ કે બંને બોલ સમાન ઊંચાઈ $h$ પરથી મુક્ત કરવામાં આવે છે અને તેમનો પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ ઘટક શૂન્ય $(u_y = 0)$ છે,તેથી જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય શિરોલંબ ગતિના સમીકરણ $h = \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ મળે છે.
અહીં $h$ અને $g$ બંને બોલ માટે સમાન હોવાથી,બંને બોલ માટે સમય $t$ સમાન રહેશે.

(B) $(i)$ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ઝડપ તેના ગતિમાર્ગની મહત્તમ ઊંચાઈએ લઘુતમ હોય છે,જ્યાં વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે અને માત્ર સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos \theta$ બાકી રહે છે.
$(ii)$ પ્રક્ષિપ્ત બિંદુએ અને જે બિંદુએ પદાર્થ જમીનને સ્પર્શે છે તે બિંદુએ ઝડપ મહત્તમ હોય છે,કારણ કે આ બિંદુઓએ વેગનો શિરોલંબ ઘટક તેના મહત્તમ મૂલ્ય પર હોય છે.

(B) મહત્તમ અવધિ પ્રાપ્ત કરવા માટે,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 45^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે અને પદાર્થ પાસે માત્ર વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક બાકી રહે છે.
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v_0 \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $v_x = v_0 \cos 45^{\circ}$ મળે છે.
કારણ કે $\cos 45^{\circ} = 1 / \sqrt{2}$,તેથી મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગ $v = v_0 / \sqrt{2}$ થાય.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta_0)}{g}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta_0)}{2g}$ છે.
આપેલ છે કે $R = nH$,તેથી સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{v_0^2 (2 \sin \theta_0 \cos \theta_0)}{g} = n \left( \frac{v_0^2 \sin^2 \theta_0}{2g} \right)$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $v_0^2$,$g$,અને $\sin \theta_0$ દૂર કરતા:
$2 \cos \theta_0 = n \left( \frac{\sin \theta_0}{2} \right)$.
$\tan \theta_0$ માટે ગોઠવતા:
$\frac{\sin \theta_0}{\cos \theta_0} = \frac{4}{n}$.
તેથી,$\tan \theta_0 = \frac{4}{n}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta_0 = \tan^{-1}(\frac{4}{n})$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ માટે,$\theta = 90^\circ$,તેથી $\sin \theta = 1$.
આમ,$H_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} = h$.
આના પરથી,આપણને $v_0^2 = 2gh$ મળે છે.
ક્ષૈતિજ અવધિ $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ક્ષૈતિજ અવધિ માટે,$\theta = 45^\circ$,તેથી $\sin(2\theta) = \sin(90^\circ) = 1$.
આમ,$R_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{g}$.
$R_{\text{max}}$ ના સમીકરણમાં $v_0^2 = 2gh$ મૂકતા,આપણને $R_{\text{max}} = \frac{2gh}{g} = 2h$ મળે છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉડ્યન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2 v_0 \sin \theta}{g}$ છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે જે $\theta$ ખૂણે પ્રક્ષિપ્ત થાય છે,તેનો ઉડ્યન સમય $T_1 = \frac{2 v_0 \sin \theta}{g}$ છે.
બીજા પદાર્થ માટે જે $(90^\circ - \theta)$ ખૂણે પ્રક્ષિપ્ત થાય છે,તેનો ઉડ્યન સમય $T_2 = \frac{2 v_0 \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2 v_0 \cos \theta}{g}$ છે.
તેમના ઉડ્યન સમયનો ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \frac{\frac{2 v_0 \sin \theta}{g}}{\frac{2 v_0 \cos \theta}{g}} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $\tan \theta : 1$ છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{v_{0}^{2} \sin(2\theta)}{g}$ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$\theta_{1} = 15^{\circ}$ અને $R_{1} = 1.5 \ km$ છે.
$1.5 = \frac{v_{0}^{2} \sin(2 \times 15^{\circ})}{g} = \frac{v_{0}^{2} \sin(30^{\circ})}{g} = \frac{v_{0}^{2}}{2g}$.
તેથી,$\frac{v_{0}^{2}}{g} = 1.5 \times 2 = 3.0 \ km$.
બીજા કિસ્સા માટે,$\theta_{2} = 45^{\circ}$ છે.
અવધિ $R_{2} = \frac{v_{0}^{2} \sin(2 \times 45^{\circ})}{g} = \frac{v_{0}^{2} \sin(90^{\circ})}{g} = \frac{v_{0}^{2}}{g}$.
પ્રથમ કિસ્સામાંથી $\frac{v_{0}^{2}}{g}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $R_{2} = 3.0 \ km$ મળે છે.

(N/A) $v_{x} = \text{વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક} = v \cos \theta = \text{અચળ}$
$v_{y} = \text{વેગનો શિરોલંબ ઘટક} = v \sin \theta$
વેગ હંમેશા ગતિની દિશામાં વક્રને સ્પર્શક હોય છે,અને પ્રવેગ હંમેશા શિરોલંબ નીચેની તરફ હોય છે અને તે $g$ જેટલો હોય છે.

(N/A) ફૂટપાથ પર ઉભેલી વ્યક્તિ દ્વારા અવલોકન કરવામાં આવતો દડાનો માર્ગ પરવલયાકાર (parabolic) હોય છે.
જ્યારે દડાને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેની પાસે વેગના બે ઘટકો હોય છે: ફેંકવાને કારણે એક ઉર્ધ્વ ઘટક $(u_y)$ અને કારના અચળ વેગ જેટલો એક સમક્ષિતિજ ઘટક $(u_x)$.
દડા પર કોઈ સમક્ષિતિજ પ્રવેગ કાર્ય કરતું ન હોવાથી,સમગ્ર ઉડાન દરમિયાન સમક્ષિતિજ વેગ અચળ રહે છે.
તે જ સમયે,દડો ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ હોય છે,જે નીચેની તરફ અચળ પ્રવેગ $(g)$ ઉત્પન્ન કરે છે.
સમાન સમક્ષિતિજ ગતિ અને સમાન પ્રવેગી ઉર્ધ્વ ગતિના સંયોજનને કારણે ફૂટપાથ પરના સ્થિર અવલોકનકારની સાપેક્ષમાં દડાનો માર્ગ પરવલયાકાર બને છે.

(D) ધારો કે ફિલ્ડરનો વેગ $\vec{u} = u\hat{i}$ છે અને ફિલ્ડરની સાપેક્ષમાં દડાનો વેગ $\vec{v}_{rel} = v_{0}\cos\theta\hat{i} + v_{0}\sin\theta\hat{j}$ છે.
$(a)$ જમીનની સાપેક્ષમાં દડાનો વેગ $\vec{v} = (u + v_{0}\cos\theta)\hat{i} + (v_{0}\sin\theta)\hat{j}$ છે. અસરકારક ખૂણો $\alpha$ એ $\tan\alpha = \frac{v_{0}\sin\theta}{u + v_{0}\cos\theta}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{v_{0}\sin\theta}{u + v_{0}\cos\theta}\right)$.
$(b)$ વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_{y} = v_{0}\sin\theta$ છે. ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2v_{y}}{g} = \frac{2v_{0}\sin\theta}{g}$ છે.
$(c)$ સમક્ષિતિજ અવધિ $R = v_{x}T = (u + v_{0}\cos\theta)\left(\frac{2v_{0}\sin\theta}{g}\right) = \frac{2uv_{0}\sin\theta + v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}$ છે.
$(d)$ $R$ ને મહત્તમ કરવા માટે,$\frac{dR}{d\theta} = 0$ લો: $\frac{d}{d\theta}\left[\frac{2uv_{0}\sin\theta + v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}\right] = 0 \Rightarrow 2uv_{0}\cos\theta + 2v_{0}^{2}\cos(2\theta) = 0 \Rightarrow v_{0}\cos(2\theta) = -u\cos\theta$.
$(e)$ $v_{0}(2\cos^{2}\theta - 1) = -u\cos\theta$ ઉકેલતા,આપણને $2v_{0}\cos^{2}\theta + u\cos\theta - v_{0} = 0$ મળે છે. $\cos\theta$ માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\cos\theta = \frac{-u + \sqrt{u^{2} + 8v_{0}^{2}}}{4v_{0}}$. જેમ $u$ વધે છે,તેમ $\cos\theta$ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta$ વધે છે.
$(f)$ $u=0$ માટે,$\theta = 45^{\circ}$. જો $u > 0$ હોય,તો વધારાના સમક્ષિતિજ વેગ $u$ ને સરભર કરવા માટે $\theta < 45^{\circ}$ હોવો જોઈએ.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિમાર્ગની મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક $(v_y)$ શૂન્ય થાય છે. તેથી,$(1)$ એ $(b)$ સાથે જોડાય છે.
ગતિમાર્ગના કોઈપણ બિંદુએ રેખીય વેગ સદિશ હંમેશા પરવલયાકાર પથને સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે. તેથી,$(2)$ એ $(a)$ સાથે જોડાય છે.
આમ,સાચી જોડ $(1-b, 2-a)$ છે.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થને સમક્ષિતિજ દિશામાં ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો પ્રારંભિક વેગ સદિશ જમીનને સમાંતર હોય છે,તેથી પ્રક્ષિપ્તકોણ $\theta = 0^o$ થાય છે. આમ,$(1)$ એ $(b)$ સાથે જોડાય છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,પદાર્થ પર લાગતો એકમાત્ર પ્રવેગ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g)$ છે,જે શિરોલંબ નીચેની દિશામાં લાગે છે. તેથી,પ્રવેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $0$ થાય છે. આમ,$(2)$ એ $(a)$ સાથે જોડાય છે.
સાચી જોડ $(1-b, 2-a)$ છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત ગતિ દરમિયાન મહત્તમ ઊંચાઈ $(h)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$h = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$
અહીં પ્રક્ષેપણ કોણ $(\theta)$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ અચળ હોવાથી,મહત્તમ ઊંચાઈ એ પ્રારંભિક વેગ $(u)$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે:
$h \propto u^2$
ઘાત વિધેય માટે સાપેક્ષ ત્રુટિ અથવા ટકાવારી ફેરફારના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\Delta h}{h} \times 100 = 2 \times \left( \frac{\Delta u}{u} \times 100 \right)$
આપેલ છે કે વેગમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta u}{u} \times 100 = 2 \%$ છે,તેથી:
$\frac{\Delta h}{h} \times 100 = 2 \times 2 \% = 4 \%$
આમ,પ્રાપ્ત થયેલી મહત્તમ ઊંચાઈમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $4 \%$ છે.

(A) આપેલ ગતિપથનું સમીકરણ $y = \alpha x - \beta x^2$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથના પ્રમાણિત સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ સાથે સરખાવતા.
$x$ ના સહગુણકોને સરખાવતા,આપણને $\tan \theta = \alpha$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \tan^{-1} \alpha$.
$x^2$ ના સહગુણકોને સરખાવતા,આપણને $\beta = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta}$ મળે છે.
$u^2$ માટે ગોઠવતા,આપણને $u^2 = \frac{g}{2\beta \cos^2 \theta}$ મળે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
$u^2$ ની કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $H = \frac{g}{2\beta \cos^2 \theta} \cdot \frac{\sin^2 \theta}{2g} = \frac{\tan^2 \theta}{4\beta}$.
કારણ કે $\tan \theta = \alpha$,તેથી $H = \frac{\alpha^2}{4\beta}$.

(C) મહત્તમ ઊંચાઈ માટેનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $H = \frac{(25)^2 \cdot (\sin 45^{\circ})^2}{2 \times 10} = \frac{625 \times 0.5}{20} = \frac{312.5}{20} = 15.625\, m$.
સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે લાગતા સમયનું સૂત્ર $T = \frac{u \sin \theta}{g}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{25 \times \sin 45^{\circ}}{10} = \frac{25 \times 0.707}{10} = 2.5 \times 0.707 = 1.7675\, s \approx 1.77\, s$.