Horizontal Projectile Motion Questions in Gujarati

(A) પ્રક્ષિપ્ત ગતિના ગતિપથનું સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
ધારો કે $k = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta}$. તેથી સમીકરણ $y = x \tan \theta - kx^2$ બને છે.
ગતિપથ $(P, Q)$ અને $(Q, P)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી:
$Q = P \tan \theta - kP^2$ --- $(1)$
$P = Q \tan \theta - kQ^2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$Q - P = (P - Q) \tan \theta - k(P^2 - Q^2)$
$-(P - Q) = (P - Q) \tan \theta - k(P - Q)(P + Q)$
$(P - Q)$ વડે ભાગતા:
$-1 = \tan \theta - k(P + Q) \implies k = \frac{\tan \theta + 1}{P + Q}$.
$k$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$Q = P \tan \theta - \left( \frac{\tan \theta + 1}{P + Q} \right) P^2$
$Q(P + Q) = P(P + Q) \tan \theta - P^2 \tan \theta - P^2$
$PQ + Q^2 + P^2 = PQ \tan \theta$
$\tan \theta = \frac{P^2 + Q^2 + PQ}{PQ}$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊર્ધ્વ ઊંચાઈ $H_{\max}$ નું સૂત્ર $H_{\max} = \frac{v^2}{2g}$ છે,જ્યાં $v$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
આપેલ છે કે $H_{\max} = 136\,m$,તેથી $\frac{v^2}{2g} = 136\,m$.
આના પરથી $v^2 = 272g$ મળે છે.
મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R_{\max}$ એ $45^\circ$ ના ખૂણે પ્રાપ્ત થાય છે અને તેનું સૂત્ર $R_{\max} = \frac{v^2}{g}$ છે.
ઊંચાઈના સમીકરણમાંથી $v^2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $R_{\max} = \frac{272g}{g} = 272\,m$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,કારણ કે $H_{\max} = \frac{v^2}{2g}$ અને $R_{\max} = \frac{v^2}{g}$,તેથી $R_{\max} = 2H_{\max}$ થાય.
તેથી,$R_{\max} = 2 \times 136\,m = 272\,m$.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે જે $\alpha$ ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે,તેની અવધિ $R_1 = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}$ છે.
બીજા પદાર્થ માટે જે $\beta$ ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે,તેની અવધિ $R_2 = \frac{u^2 \sin 2\beta}{g}$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha + \beta = 90^{\circ}$,તેથી $\beta = 90^{\circ} - \alpha$.
$R_2$ ના સૂત્રમાં $\beta$ ની કિંમત મૂકતા:
$R_2 = \frac{u^2 \sin 2(90^{\circ} - \alpha)}{g} = \frac{u^2 \sin(180^{\circ} - 2\alpha)}{g}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(180^{\circ} - \theta) = \sin \theta$,તેથી $R_2 = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}}{\frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}} = \frac{1}{1}$ થાય છે.

(D) ધારો કે પથ્થરનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 30^{\circ}$ છે.
પ્રક્ષેપણ બિંદુએ ગતિઊર્જા $KE_{POP} = \frac{1}{2} m u^2$ છે.
ગતિપથના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે,અને વેગ ફક્ત સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \theta$ જેટલો જ રહે છે.
તેથી,મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $KE_{top} = \frac{1}{2} m (u \cos 30^{\circ})^2 = \frac{1}{2} m u^2 \cos^2 30^{\circ}$ થાય.
ગુણોત્તર $\frac{KE_{POP}}{KE_{top}} = \frac{\frac{1}{2} m u^2}{\frac{1}{2} m u^2 \cos^2 30^{\circ}} = \frac{1}{\cos^2 30^{\circ}}$ છે.
કારણ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\cos^2 30^{\circ} = \frac{3}{4}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$ મળે છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત ગતિના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે અને ઝડપ એ વેગના સમક્ષિતિજ ઘટક જેટલી હોય છે,જે $v_x = u \cos \theta$ છે.
આપેલ છે કે મહત્તમ ઊંચાઈએ ઝડપ $\frac{\sqrt{3}}{2} u$ છે,તેથી $u \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} u$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\theta = 30^{\circ}$.
ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
$\theta = 30^{\circ}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $T = \frac{2u \sin 30^{\circ}}{g} = \frac{2u (1/2)}{g} = \frac{u}{g}$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,મહત્તમ ઊંચાઈએ:
$1$. વેગનો શિરોલંબ ઘટક $V_{y} = 0$ હોય છે.
$2$. વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $V_{x} = u_{x} = u \cos \theta$ હોય છે,જે સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
$3$. ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U_{g} = mgh$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{\max}$ પર મહત્તમ હોય છે કારણ કે ઊંચાઈ $h$ તેનું મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
$4$. મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા શૂન્ય હોતી નથી કારણ કે સમક્ષિતિજ વેગ ઘટક $V_{x}$ શૂન્ય હોતો નથી.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા મહત્તમ ઊંચાઈએ મહત્તમ હોય છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
આપેલ કિંમતો: પ્રારંભિક વેગ $u = 20\,m/s$,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 30^{\circ}$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$H = \frac{(20)^2 \sin^2(30^{\circ})}{2 \times 10}$
$H = \frac{400 \times (1/2)^2}{20}$
$H = \frac{400 \times 1/4}{20}$
$H = \frac{100}{20} = 5\,m$.
આમ,બોલ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $5\,m$ છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
અવધિ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin 2\theta$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ,જે $1$ છે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $2\theta = 90^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 45^{\circ}$.
આમ,વિધાન $A$ સાચું છે કારણ કે $45^{\circ}$ પર અવધિ મહત્તમ હોય છે.
કારણ $R$ પણ સાચું છે કારણ કે તે મહત્તમ અવધિ માટે $\sin 2\theta = 1$ ની શરતને યોગ્ય રીતે ઓળખે છે,જે સીધી રીતે વિધાન $A$ ના નિષ્કર્ષ તરફ દોરી જાય છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ $A$ માટે: $u_1 = 40\,m/s$,$\theta_1 = 30^{\circ}$.
$R_A = \frac{40^2 \sin(2 \times 30^{\circ})}{g} = \frac{1600 \sin(60^{\circ})}{g} = \frac{1600 \times \sqrt{3}}{2g} = \frac{800\sqrt{3}}{g}$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ $B$ માટે: $u_2 = 60\,m/s$,$\theta_2 = 60^{\circ}$.
$R_B = \frac{60^2 \sin(2 \times 60^{\circ})}{g} = \frac{3600 \sin(120^{\circ})}{g} = \frac{3600 \times \sqrt{3}}{2g} = \frac{1800\sqrt{3}}{g}$.
તેમની અવધિનો ગુણોત્તર $\frac{R_A}{R_B} = \frac{800\sqrt{3}/g}{1800\sqrt{3}/g} = \frac{800}{1800} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$ છે.

(A) ગતિપથનું સમીકરણ $y = x - \frac{x^2}{20}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ શોધવા માટે,આપણે $y$ ની કિંમત શોધવી પડશે જ્યારે ગતિપથનો ઢાળ શૂન્ય હોય,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = 0$.
સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x - \frac{x^2}{20}) = 1 - \frac{2x}{20} = 1 - \frac{x}{10}$.
વિકલનને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$1 - \frac{x}{10} = 0 \Rightarrow x = 10\,m$.
હવે,મહત્તમ ઊંચાઈ $y_{\max}$ શોધવા માટે $x = 10$ ની કિંમત ગતિપથના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y_{\max} = 10 - \frac{(10)^2}{20} = 10 - \frac{100}{20} = 10 - 5 = 5\,m$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે,જ્યાં $v$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$\theta$ એ પ્રક્ષિપ્ત કોણ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
અહીં વેગ $v$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ અચળ હોવાથી,અવધિ એ $\sin(2\theta)$ ના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $R \propto \sin(2\theta)$.
આપેલ છે કે $\theta_1 = 15^{\circ}$ અને $R_1 = 50\,m$. $\theta_2 = 45^{\circ}$ માટે આપણે $R_2$ શોધવાનું છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\sin(2\theta_1)}{\sin(2\theta_2)} = \frac{\sin(2 \times 15^{\circ})}{\sin(2 \times 45^{\circ})} = \frac{\sin(30^{\circ})}{\sin(90^{\circ})}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{50}{R_2} = \frac{0.5}{1} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$R_2 = 50 \times 2 = 100\,m$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
બંને પદાર્થો સમાન ઝડપ $u$ થી ફેંકવામાં આવતા હોવાથી,તેમની મહત્તમ ઊંચાઈ $H_1$ અને $H_2$ નો ગુણોત્તર $\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2 \theta_1}{\sin^2 \theta_2}$ થશે.
અહીં $\theta_1 = 30^{\circ}$ અને $\theta_2 = 60^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ અને $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{H_1}{H_2} = \frac{(\sin 30^{\circ})^2}{(\sin 60^{\circ})^2} = \frac{(1/2)^2}{(\sqrt{3}/2)^2} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $1:3$ છે.

(A) પ્રારંભિક વેગના ઘટકો નીચે મુજબ છે:
$u_x = u \cos 30^{\circ} = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}\,m/s$
$u_y = u \sin 30^{\circ} = 40 \times \frac{1}{2} = 20\,m/s$
$t = 2\,s$ સમયે,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે:
$v_x = u_x = 20\sqrt{3}\,m/s$
વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y = u_y - gt$ દ્વારા મળે છે:
$v_y = 20 - (10 \times 2) = 20 - 20 = 0\,m/s$
શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોવાથી,પરિણામી વેગ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(20\sqrt{3})^2 + 0^2} = 20\sqrt{3}\,m/s$ થાય.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $(H_{\max})$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$
આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $(u)$ = $280\,m/s$
પ્રક્ષેપણ કોણ $(\theta)$ = $30^{\circ}$
ગુરુત્વ પ્રવેગ $(g)$ = $9.8\,m/s^2$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$H_{\max} = \frac{(280)^2 \times (\sin 30^{\circ})^2}{2 \times 9.8}$
$H_{\max} = \frac{78400 \times (0.5)^2}{19.6}$
$H_{\max} = \frac{78400 \times 0.25}{19.6}$
$H_{\max} = \frac{19600}{19.6}$
$H_{\max} = 1000\,m$

(B) દડાને $5$ મા પગથિયા પર પહોંચવા માટે,તેણે $4$ પગથિયાં ઓળંગવા પડે.
તેથી,સમક્ષિતિજ અંતર (Range) $(R) = 4 \times 0.1 = 0.4 \ m$.
$R = u \cdot t \implies t = \frac{0.4}{u}$.
તે જ રીતે,શિરોલંબ દિશામાં,
$h = \frac{1}{2} gt^2$.
અહીં $h = 4 \times 0.1 = 0.4 \ m$.
$0.4 = \frac{1}{2} \times 10 \times (\frac{0.4}{u})^2$.
$0.4 = 5 \times \frac{0.16}{u^2}$.
$u^2 = \frac{0.8}{0.4} = 2$.
તેથી,$u = \sqrt{2} \ ms^{-1}$.
આમ,$x = 2$.

(A) પ્રક્ષેપણ બિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ, વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે, તેથી વેગ ફક્ત સમક્ષિતિજ હોય છે: $v_x = u \cos \theta$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ સમક્ષિતિજ અંતર $x = \frac{R}{2} = \frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
કોણીય વેગમાન $L = m v_x h = m (u \cos \theta) \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$ થાય.
$\theta = 30^{\circ}$, $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, અને $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ કિંમતો મૂકતા:
$L = m u \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \frac{u^2 (1/2)^2}{2g} = m u \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \frac{u^2}{8g} = \frac{\sqrt{3} m u^3}{16g}$.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
ધારો કે પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta$ અચળ રહે છે, તો મહત્તમ ઊંચાઈ એ પ્રારંભિક વેગના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $H_{\max} \propto u^2$.
તેથી, નવી મહત્તમ ઊંચાઈ $(H_{2\max})$ અને પ્રારંભિક મહત્તમ ઊંચાઈ $(H_{1\max})$ નો ગુણોત્તર $\frac{H_{2\max}}{H_{1\max}} = \frac{u_2^2}{u_1^2}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $H_{1\max} = 64 \,m$ અને નવો પ્રારંભિક વેગ $u_2 = \frac{u_1}{2}$ આપેલ છે, આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{H_{2\max}}{64} = \frac{(u_1 / 2)^2}{u_1^2} = \frac{u_1^2 / 4}{u_1^2} = \frac{1}{4}$.
$H_{2\max}$ માટે ઉકેલતા, આપણને $H_{2\max} = \frac{64}{4} = 16 \,m$ મળે છે.

(B) અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે અવધિ અને મહત્તમ ઊંચાઈ સમાન છે,તેથી $R = H$ લેતા:
$\frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $u^2/g$ ને દૂર કરતા:
$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{\sin^2 \theta}{2}$.
બંને બાજુ $\sin \theta$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\sin \theta \neq 0$):
$2 \cos \theta = \frac{\sin \theta}{2}$.
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ માટે ગોઠવતા:
$4 = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(4)$.

(A) $H$ ઊંચાઈ પરથી $v$ વેગ સાથે આડી દિશામાં ફેંકવામાં આવેલા પદાર્થ માટે,અવધિ (horizontal range) $R = v \sqrt{\frac{2H}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે આપેલ છે: $100 = v \sqrt{\frac{2H}{g}}$.
બીજા કિસ્સા માટે,દળ $2M$ છે,વેગ $v' = \frac{v}{2}$ છે,અને ઊંચાઈ $H' = 4H$ છે.
નવી અવધિ $x$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x = v' \sqrt{\frac{2H'}{g}} = \left( \frac{v}{2} \right) \sqrt{\frac{2(4H)}{g}}$
$x = \frac{v}{2} \cdot 2 \sqrt{\frac{2H}{g}} = v \sqrt{\frac{2H}{g}}$
કારણ કે $v \sqrt{\frac{2H}{g}} = 100 \ m$,તેથી આપણને $x = 100 \ m$ મળે છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની પ્રારંભિક અવધિ $d = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ બિંદુએ,શિરોલંબ વેગ શૂન્ય છે અને સમક્ષિતિજ વેગ $u = v \cos \theta$ છે. પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{\max} = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
નવા વિસ્તારમાં પ્રવેશ્યા પછી,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ $g^{\prime} = \frac{g}{0.81}$ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ $H_{\max}$ ઊંચાઈથી નીચે પડે છે. ધારો કે મહત્તમ બિંદુથી જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ છે.
$H_{\max} = \frac{1}{2} g^{\prime} t^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $t = \sqrt{\frac{2 H_{\max}}{g^{\prime}}} = \sqrt{\frac{2 (v^2 \sin^2 \theta / 2g)}{g / 0.81}} = \sqrt{\frac{v^2 \sin^2 \theta \times 0.81}{g^2}} = \frac{0.9 v \sin \theta}{g}$.
આ સમયમાં કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $d_1 = u \times t = (v \cos \theta) \times \left( \frac{0.9 v \sin \theta}{g} \right) = \frac{0.9 v^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{0.45 v^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
કુલ નવી અવધિ $d^{\prime} = \frac{d}{2} + d_1 = \frac{v^2 \sin 2\theta}{2g} + \frac{0.9 v^2 \sin 2\theta}{2g} = \frac{v^2 \sin 2\theta}{2g} (1 + 0.9) = \frac{v^2 \sin 2\theta}{2g} (1.9) = 0.95 \left( \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} \right) = 0.95 d$.
આમ,$n = 0.95$.

(A) અથડામણ માટે,દડા અને પથ્થરના વેગના શિરોલંબ ઘટકો સમાન હોવા જોઈએ,જેથી તેઓ ઉડાન દરમિયાન સમાન ઊંચાઈ પર રહે.
કિસ્સો $I$: $(\theta_0, \theta_1) = (45^{\circ}, 45^{\circ})$.
શિરોલંબ ઘટકો: $v_0 \sin 45^{\circ} = v \sin 45^{\circ} \implies v = v_0$.
વેગના સમક્ષિતિજ ઘટકો $v_{0x} = v_0 \cos 45^{\circ} = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$ અને $v_{sx} = v \cos 45^{\circ} = \frac{v}{\sqrt{2}} = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$ છે.
સાપેક્ષ સમક્ષિતિજ ઝડપ $v_{rel} = v_{0x} + v_{sx} = \frac{v_0}{\sqrt{2}} + \frac{v_0}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}v_0$ છે.
સમય $T_1 = \frac{L}{v_{rel}} = \frac{L}{\sqrt{2}v_0}$.
કિસ્સો $II$: $(\theta_0, \theta_1) = (60^{\circ}, 30^{\circ})$.
શિરોલંબ ઘટકો: $v_0 \sin 60^{\circ} = v \sin 30^{\circ} \implies v_0 \frac{\sqrt{3}}{2} = v \frac{1}{2} \implies v = \sqrt{3}v_0$.
વેગના સમક્ષિતિજ ઘટકો $v_{0x} = v_0 \cos 60^{\circ} = \frac{v_0}{2}$ અને $v_{sx} = v \cos 30^{\circ} = (\sqrt{3}v_0) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3v_0}{2}$ છે.
સાપેક્ષ સમક્ષિતિજ ઝડપ $v_{rel} = v_{0x} + v_{sx} = \frac{v_0}{2} + \frac{3v_0}{2} = 2v_0$ છે.
સમય $T_2 = \frac{L}{v_{rel}} = \frac{L}{2v_0}$.
હવે,$(T_1 / T_2)^2 = \left( \frac{L / (\sqrt{2}v_0)}{L / (2v_0)} \right)^2 = \left( \frac{2v_0}{\sqrt{2}v_0} \right)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

(A) વેગનો પ્રારંભિક શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin \theta = 60 \sin 30^{\circ} = 60 \times 0.5 = 30 \; m/s$ છે.
પ્રથમ સેકન્ડમાં $(t=1)$ કાપવામાં આવેલ ઊંચાઈ $h_0 = u_y t - \frac{1}{2} g t^2 = 30(1) - \frac{1}{2}(10)(1)^2 = 30 - 5 = 25 \; m$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટે લાગતો સમય $T = \frac{u_y}{g} = \frac{30}{10} = 3 \; s$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચતા પહેલા છેલ્લી સેકન્ડમાં કાપવામાં આવેલ ઊંચાઈ એ $t = 2 \; s$ અને $t = 3 \; s$ વચ્ચે કાપેલું અંતર છે. આ અંતર મહત્તમ ઊંચાઈથી શૂન્ય પ્રારંભિક વેગ સાથે નીચે ફેંકવામાં આવેલા કણ દ્વારા પ્રથમ સેકન્ડમાં કાપેલા અંતર જેટલું જ હોય છે,જે $h_1 = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (1)^2 = 5 \; m$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$n$ મી સેકન્ડમાં અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $S_n = u_y + \frac{a}{2}(2n-1)$. $t=2$ થી $t=3$ ના અંતરાલ માટે,$n=3$,$u_y=30$,$a=-10$: $h_1 = 30 + \frac{-10}{2}(2(3)-1) = 30 - 5(5) = 30 - 25 = 5 \; m$.
ગુણોત્તર $h_0 : h_1 = 25 : 5 = 5$ થાય.

(B) શરૂઆતની ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2} m u^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $u$ એ શરૂઆતનો વેગ છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે અને દડાનો વેગ તેના સમક્ષિતિજ ઘટક જેટલો હોય છે.
$v_x = u \cos \theta = u \cos 60^{\circ} = u \times \frac{1}{2} = \frac{u}{2}$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $(KE_{top})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$KE_{top} = \frac{1}{2} m v_x^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{u}{2} \right)^2$.
$KE_{top} = \frac{1}{2} m \left( \frac{u^2}{4} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} m u^2 \right)$.
આમ,$KE = \frac{1}{2} m u^2$ હોવાથી,$KE_{top} = \frac{KE}{4}$ થાય.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
બંને પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થો માટે પ્રારંભિક ઝડપ $u$ સમાન હોવાથી,તેમની મહત્તમ ઊંચાઈનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2(45^{\circ}-\alpha)}{\sin^2(45^{\circ}+\alpha)}$.
ત્રિકોણમિતીય વિસ્તરણ $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(45^{\circ}-\alpha) = \frac{1}{\sqrt{2}}\cos \alpha - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \alpha - \sin \alpha)$.
$\sin(45^{\circ}+\alpha) = \frac{1}{\sqrt{2}}\cos \alpha + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \alpha + \sin \alpha)$.
આ પદોનો વર્ગ કરતા:
$\sin^2(45^{\circ}-\alpha) = \frac{1}{2}(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha) = \frac{1}{2}(1 - \sin 2\alpha)$.
$\sin^2(45^{\circ}+\alpha) = \frac{1}{2}(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha) = \frac{1}{2}(1 + \sin 2\alpha)$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{H_1}{H_2} = \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha}$ થાય.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
આપેલ છે કે $(H_{\max})_1 = 8 \times (H_{\max})_2$,તેથી:
$\frac{u^2 \sin^2 \theta_1}{2g} = 8 \times \frac{u^2 \sin^2 \theta_2}{2g}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\sin^2 \theta_1 = 8 \sin^2 \theta_2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta_1 = \sqrt{8} \sin \theta_2 = 2\sqrt{2} \sin \theta_2$.
ઉડ્ડયન સમયનું સૂત્ર $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
તેથી,ઉડ્ડયન સમયનો ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2u \sin \theta_1 / g}{2u \sin \theta_2 / g} = \frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2}$ થાય.
$\sin \theta_1$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\sqrt{2} \sin \theta_2}{\sin \theta_2} = 2\sqrt{2}$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $2\sqrt{2} : 1$ છે.

(B) મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ માટે,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 45^{\circ}$ છે.
મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R_{\max} = \frac{u^2}{g} = \frac{(20)^2}{10} = 40 \ m$ છે.
ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u \sin \theta}{g} = \frac{2 \times 20 \times \sin 45^{\circ}}{10} = 4 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2} \ s$ છે.
બીજો ખેલાડી શરૂઆતના બિંદુથી $24 \ m$ દૂર છે. બોલ શરૂઆતના બિંદુથી $40 \ m$ ના અંતરે જમીન પર પડે છે.
તેથી,બીજા ખેલાડીએ કાપવાનું અંતર $x_2 = R_{\max} - 24 = 40 - 24 = 16 \ m$ છે.
સમય $T$ માં આ બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે બીજા ખેલાડીનો જરૂરી વેગ $V = \frac{x_2}{T} = \frac{16}{2 \sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2} \ ms^{-1}$ છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
અહીં $T = 2 \text{ s}$ આપેલ છે,તેથી $2 = \frac{2u \sin \theta}{g}$,જેનો અર્થ છે કે $u \sin \theta = g$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
સૂત્રમાં $u \sin \theta = g$ મૂકતા,આપણને $H = \frac{(g)^2}{2g} = \frac{g}{2}$ મળે છે.
$g = 10 \text{ m/s}^2$ લેતા,$H = \frac{10}{2} = 5 \text{ m}$ મળે છે.

(B) પ્રક્ષેપણ બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષમાં ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,પ્રક્ષેપણ બિંદુથી સમક્ષિતિજ અંતર $x = R/2$ છે,જ્યાં $R$ એ સમક્ષિતિજ અવધિ (range) છે.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
તેથી,મહત્તમ ઊંચાઈએ સમક્ષિતિજ અંતર $x = \frac{R}{2} = \frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
કણ પર લાગતું બળ તેનું વજન $\vec{F} = m\vec{g}$ છે,જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = F \cdot x = (mg) \cdot \left( \frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} \right)$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\tau = m u^2 \sin \theta \cos \theta$ મળે છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ન્યૂનતમ ગતિઊર્જા તેના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ હોય છે,જ્યાં વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે. તેથી,$K_{min} = \frac{1}{2} m u_x^2$.
આપેલ છે કે ન્યૂનતમ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{min1}}{K_{min2}} = \frac{u_{x1}^2}{u_{x2}^2} = \frac{4}{1}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{u_{x1}}{u_{x2}} = \frac{2}{1}$.
મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u_y^2}{2g}$ છે.
આપેલ છે કે મહત્તમ ઊંચાઈનો ગુણોત્તર $\frac{H_1}{H_2} = \frac{u_{y1}^2}{u_{y2}^2} = \frac{4}{1}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{u_{y1}}{u_{y2}} = \frac{2}{1}$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R = \frac{2 u_x u_y}{g}$ છે.
તેથી,અવધિનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{u_{x1} u_{y1}}{u_{x2} u_{y2}} = \left(\frac{u_{x1}}{u_{x2}}\right) \times \left(\frac{u_{y1}}{u_{y2}}\right) = \frac{2}{1} \times \frac{2}{1} = \frac{4}{1}$ થાય.

(C) $1$. પ્રક્ષેપણ બિંદુની સાપેક્ષ કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રક્ષેપણ બિંદુની સાપેક્ષ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે કણ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times m\vec{g}$ છે. અહીં $\vec{\tau} \neq 0$ હોવાથી,કોણીય વેગમાન અચળ રહેતું નથી.
$2$. રેખીય વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v}$ બદલાય છે કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણ કણ પર સતત બળ લગાડે છે,જેના કારણે પ્રવેગ ઉત્પન્ન થાય છે.
$3$. હવાના અવરોધની ગેરહાજરીમાં,કણ પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ છે,જે સંરક્ષી બળ છે. તેથી,ગતિ દરમિયાન તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ રહે છે.
$4$. આમ,વિકલ્પ $C$ સાચું વિધાન છે.

(A) આપેલ વેગ $\vec{v} = 6 \hat{i} + (20 - 4t) \hat{j}$ છે.
$\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ સાથે સરખાવતા,$v_x = 6$ અને $v_y = 20 - 4t$ મળે. પ્રવેગ $a_y = -4 \ m/s^2$ છે.
$(P)$ ઉડ્ડયન સમય $(T)$: મહત્તમ ઊંચાઈ પર,$v_y = 0$. તેથી,$20 - 4t = 0 \Rightarrow t = 5 \ s$. કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = 2t = 10 \ s$. આમ,$P \rightarrow 2$.
$(Q)$ સમક્ષિતિજ સાથે $53^{\circ}$ ખૂણો: $\tan 53^{\circ} = \frac{v_y}{v_x} = \frac{20 - 4t}{6}$. $\tan 53^{\circ} = \frac{4}{3}$ હોવાથી,$\frac{4}{3} = \frac{20 - 4t}{6} \Rightarrow 8 = 20 - 4t \Rightarrow 4t = 12 \Rightarrow t = 3 \ s$. આમ,$Q \rightarrow 1$.
$(R)$ અવધિ $(R)$: $R = v_x \times T = 6 \times 10 = 60 \ m$. આમ,$R \rightarrow 4$.
$(S)$ મહત્તમ ઊંચાઈ $(H)$: $H = \frac{v_{y0}^2}{2|a_y|} = \frac{20^2}{2 \times 4} = \frac{400}{8} = 50 \ m$. આમ,$S \rightarrow 3$.
સાચી જોડ $P \rightarrow 2, Q \rightarrow 1, R \rightarrow 4, S \rightarrow 3$ છે.

(B) પ્રારંભિક વેગ સદિશ $\vec{u}$ શિરોલંબ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,જેનો અર્થ છે કે તે સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
$\vec{u} = 100 \cos 30^{\circ} \hat{i} + 100 \sin 30^{\circ} \hat{j} = 50\sqrt{3} \hat{i} + 50 \hat{j} \ m/s$.
$t$ સમયે વેગ $\vec{v} = \vec{u} + \vec{g}t = (50\sqrt{3} \hat{i} + 50 \hat{j}) - 10t \hat{j} = 50\sqrt{3} \hat{i} + (50 - 10t) \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ તેની પ્રારંભિક દિશાને લંબ ગતિ કરતો હોવાથી,ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ થાય.
$(50\sqrt{3})(50\sqrt{3}) + 50(50 - 10t) = 0$.
$7500 + 2500 - 500t = 0$.
$10000 = 500t$.
$t = 20 \text{ સેકન્ડ}$.

(B) સમક્ષિતિજ અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ અને મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
આપેલ છે કે $R = nH$,તેથી $\frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g} = n \left[ \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right]$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$2 \cos \theta = \frac{n \sin \theta}{2}$,જે પરથી $\tan \theta = \frac{4}{n}$ મળે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક $0$ હોય છે,તેથી વેગ $v = u \cos \theta$ થાય.
સ્થિતિ ઉર્જા $PE = mgH$ અને ગતિ ઉર્જા $KE = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (u \cos \theta)^2$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{PE}{KE} = \frac{mgH}{\frac{1}{2} m u^2 \cos^2 \theta} = \frac{2g \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)}{u^2 \cos^2 \theta} = \tan^2 \theta$.
$\tan \theta = \frac{4}{n}$ કિંમત મૂકતા,$\frac{PE}{KE} = \left( \frac{4}{n} \right)^2 = \frac{16}{n^2}$ મળે છે.

(B) $H$ ઊંચાઈ પરથી સમક્ષિતિજ રીતે ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ શોધવાનું સૂત્ર: $R = u \sqrt{\frac{2H}{g}}$ છે.
આપેલ કિંમતો: પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $u = 10 \ m/s$,ઊંચાઈ $H = 80 \ m$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = 10 \times \sqrt{\frac{2 \times 80}{10}}$
$R = 10 \times \sqrt{\frac{160}{10}}$
$R = 10 \times \sqrt{16}$
$R = 10 \times 4 = 40 \ m$.
તેથી,ઇમારતના પાયાથી લક્ષ્યનું અંતર $40 \ m$ છે.

(B) બધી દિશાઓમાં છોડવામાં આવેલી ગોળીઓ જમીન પર એક વર્તુળાકાર વિસ્તાર આવરી લેશે.
આ વર્તુળની ત્રિજ્યા એ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R_{\max}$ જેટલી હોય છે.
સમક્ષિતિજ અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
મહત્તમ અવધિ માટે,$\sin(2\theta) = 1$,તેથી $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$.
જમીન પર આવરી લેવાયેલ વિસ્તાર $A = \pi R_{\max}^2$ છે.
$R_{\max}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A = \pi \left(\frac{u^2}{g}\right)^2 = \frac{\pi u^4}{g^2}$ મળે છે.

(C) કણનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = v \cos \theta \hat{i} + v \sin \theta \hat{j}$ છે.
જ્યારે કણ જમીન પર પડે ત્યારે તેનો અંતિમ વેગ $\vec{v}_f = v \cos \theta \hat{i} - v \sin \theta \hat{j}$ છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{p}_i = m \vec{u} = m v \cos \theta \hat{i} + m v \sin \theta \hat{j}$ છે.
અંતિમ વેગમાન $\vec{p}_f = m \vec{v}_f = m v \cos \theta \hat{i} - m v \sin \theta \hat{j}$ છે.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = (m v \cos \theta \hat{i} - m v \sin \theta \hat{j}) - (m v \cos \theta \hat{i} + m v \sin \theta \hat{j}) = -2 m v \sin \theta \hat{j}$ છે.
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{p}| = 2 m v \sin \theta$ છે.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\sin 45^{\circ} = 1 / \sqrt{2}$ થાય.
આમ,$|\Delta \vec{p}| = 2 m v (1 / \sqrt{2}) = \sqrt{2} m v$ મળે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર: $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $\theta$ એ પ્રક્ષેપણ ખૂણો છે.
આના પરથી,આપણે પ્રારંભિક વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin \theta = \sqrt{2gH}$ મેળવી શકીએ છીએ.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર: $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
ઉડ્ડયન સમયના સૂત્રમાં $u \sin \theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = \frac{2 \sqrt{2gH}}{g} = 2 \sqrt{\frac{2gH}{g^2}} = 2 \sqrt{\frac{2H}{g}}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
અહીં $T = 2 \ s$ અને $g = 10 \ m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $2 = \frac{2u \sin \theta}{10}$.
આમ,$u \sin \theta = 10 \ m/s$ મળે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$H = \frac{(10)^2}{2 \times 10} = \frac{100}{20} = 5 \ m$.

(D) આપેલ છે કે અવધિ $(R)$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ $(H)$ જેટલી છે.
$R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$
$H = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$
$R$ અને $H$ ને સરખાવતા:
$\frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g} = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$
બંને બાજુ $\frac{u^2 \sin\theta}{g}$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\sin\theta \neq 0$):
$2 \cos\theta = \frac{\sin\theta}{2}$
$\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 4$
$\tan\theta = 4$
$\theta = \tan^{-1}(4)$

(A) મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિઊર્જા $PE = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ છે.
દડા $A$ માટે,જે શિરોલંબ (ક્ષિતિજ સાથે $90^{\circ}$) ફેંકવામાં આવે છે,તેની મહત્તમ ઊંચાઈ $h_1 = \frac{u^2}{2g}$ છે.
દડા $B$ માટે,જે શિરોલંબ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે,ક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ થશે.
દડા $B$ માટે મહત્તમ ઊંચાઈ $h_2 = \frac{u^2 \sin^2(60^{\circ})}{2g} = \frac{u^2}{2g} \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3u^2}{8g}$ છે.
સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{PE_A}{PE_B} = \frac{mgh_1}{mgh_2} = \frac{h_1}{h_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{u^2}{2g} \times \frac{8g}{3u^2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
આમ,ગુણોત્તર $4:3$ છે.

(C) $\text{પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમયનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:}$
$T = \frac{2u \sin \theta}{g}$
$\text{આપેલ કિંમતો:}$
$\text{પ્રારંભિક વેગ } u = 196 \,m/s$
$\text{પ્રક્ષેપણ કોણ } \theta = 30^{\circ}$
$\text{ગુરુત્વ પ્રવેગ } g = 9.8 \,m/s^2$
$\text{આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:}$
$T = \frac{2 \times 196 \times \sin(30^{\circ})}{9.8}$
$\text{કારણ કે } \sin(30^{\circ}) = 0.5 \text{ છે:}$
$T = \frac{2 \times 196 \times 0.5}{9.8}$
$T = \frac{196}{9.8} = 20 \,s$
$\text{તેથી,ઉડ્ડયન સમય } 20 \,s \text{ છે।}$

(B) પ્રક્ષિપ્ત ગતિના મહત્તમ બિંદુ પર,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે અને સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \theta$ હોય છે.
કણ વર્તુળાકાર ગતિ કરે તે માટે,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે લાગતા પ્રવેગ $g$ દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવે છે,જે વેગને લંબ હોય છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું સૂત્ર $a_c = \frac{v^2}{R}$ છે.
અહીં,$v = v_x = u \cos \theta$ અને $a_c = g$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $g = \frac{(u \cos \theta)^2}{R}$ મળે છે.
ત્રિજ્યા $R$ ને કર્તા બનાવતા,$R = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{g}$ મળે છે.

(C) વિમાન સમક્ષિતિજ દિશામાં ઉડી રહ્યું છે,તેથી બોમ્બના વેગનો પ્રારંભિક શિરોલંબ ઘટક $u_y = 0 \text{ m/s}$ છે.
શિરોલંબ દિશા માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $h = \frac{1}{2} gt^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $980 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$.
$t^2 = \frac{980 \times 2}{9.8} = 100 \times 2 = 200$.
$t = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \text{ s}$.
બોમ્બનો સમક્ષિતિજ વેગ $v_x = 200 \text{ km/hr} = 200 \times \frac{5}{18} = \frac{1000}{18} \text{ m/s}$ છે.
બોમ્બ દ્વારા તેના પતન દરમિયાન કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $d = v_x \times t$ છે.
$d = \frac{1000}{18} \times 10\sqrt{2} = \frac{10000}{9\sqrt{2}} \text{ m}$.

(A) પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = a \hat{i} + b \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમક્ષિતિજ વેગનો ઘટક,$u_x = a$.
શિરોલંબ વેગનો ઘટક,$u_y = b$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u_y^2}{2g} = \frac{b^2}{2g}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R = \frac{2 u_x u_y}{g} = \frac{2ab}{g}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અવધિ એ મહત્તમ ઊંચાઈ કરતાં બમણી છે: $R = 2H$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{2ab}{g} = 2 \left( \frac{b^2}{2g} \right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2ab}{g} = \frac{b^2}{g}$.
બંને બાજુ $b/g$ વડે ભાગતા (ધારો કે $b \neq 0$): $2a = b$,અથવા $b = 2a$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે. તેથી,મહત્તમ ઊંચાઈએ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ઝડપ તેના સમક્ષિતિજ વેગના ઘટક જેટલી હોય છે,જે $v = u \cos \theta$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,મહત્તમ ઊંચાઈએ ઝડપ પ્રારંભિક ઝડપ કરતા અડધી છે:
$u \cos \theta = \frac{u}{2} \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta = 60^{\circ}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{\max}$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
$\theta = 60^{\circ}$ અને $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મૂકતા:
$H_{\max} = \frac{u^2 (\sqrt{3}/2)^2}{2g} = \frac{u^2 (3/4)}{2g} = \frac{3u^2}{8g}$.

(C) ધારો કે પથ્થરનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2} m u^2$ છે.
ગતિપથના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે,જ્યારે સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \theta$ અચળ રહે છે.
તેથી,મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $E' = \frac{1}{2} m v_x^2$ થશે.
$v_x = u \cos \theta$ મૂકતા,આપણને $E' = \frac{1}{2} m (u \cos \theta)^2$ મળે છે.
$E' = \frac{1}{2} m u^2 \cos^2 \theta$.
કારણ કે $E = \frac{1}{2} m u^2$,તેથી $E' = E \cos^2 \theta$ થાય.