Multiplication of Vectors Questions in Hindi

(C) $1$. दो सदिशों का अदिश गुणनफल (dot product) क्रमविनिमेय होता है,इसलिए $\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$ सही है।
$2$. सदिश योग क्रमविनिमेय होता है,इसलिए $\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A}$ सही है।
$3$. दो सदिशों का सदिश गुणनफल (cross product) प्रति-क्रमविनिमेय (anticommutative) होता है,जिसका अर्थ है कि $\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A})$।
$4$. इसलिए,कथन $\vec{A} \times \vec{B} = \vec{B} \times \vec{A}$ गलत है।

(C) दिया गया है कि सदिश $(\hat{a} + 2\hat{b})$ और $(5\hat{a} - 4\hat{b})$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होगा।
$(\hat{a} + 2\hat{b}) \cdot (5\hat{a} - 4\hat{b}) = 0$
अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर:
$5(\hat{a} \cdot \hat{a}) - 4(\hat{a} \cdot \hat{b}) + 10(\hat{b} \cdot \hat{a}) - 8(\hat{b} \cdot \hat{b}) = 0$
चूंकि $\hat{a}$ और $\hat{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $\hat{a} \cdot \hat{a} = 1$ और $\hat{b} \cdot \hat{b} = 1$ होगा। साथ ही,$\hat{a} \cdot \hat{b} = \hat{b} \cdot \hat{a}$ होता है।
$5(1) + 6(\hat{a} \cdot \hat{b}) - 8(1) = 0$
$6(\hat{a} \cdot \hat{b}) - 3 = 0$
$6(\hat{a} \cdot \hat{b}) = 3$
$\hat{a} \cdot \hat{b} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
हम जानते हैं कि $\hat{a} \cdot \hat{b} = |\hat{a}||\hat{b}| \cos \theta$ और $|\hat{a}| = |\hat{b}| = 1$ है,इसलिए:
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
$\theta = 60^\circ$

(C) दो आसन्न सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके सदिश गुणनफल (cross product) के परिमाण के बराबर होता है: $\text{Area} = |\vec{A} \times \vec{B}|$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{A} \times \vec{B}$ की गणना करें:
$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1 \times 2 - 0 \times 1) - \hat{j}(3 \times 2 - 0 \times 0) + \hat{k}(3 \times 1 - 1 \times 0)$
$= \hat{i}(2) - \hat{j}(6) + \hat{k}(3) = 2\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}$.
अब,इस सदिश का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{(2)^2 + (-6)^2 + (3)^2}$
$= \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
अतः,समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $7$ इकाई है।

(A) दो परस्पर लंबवत सदिशों का अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) शून्य होता है।
दिया गया है कि $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$.
$(4\hat{i} + n\hat{j} - 2\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) = 0$.
डॉट प्रोडक्ट की गणना करने पर:
$(4 \times 2) + (n \times 3) + (-2 \times 1) = 0$.
$8 + 3n - 2 = 0$.
$6 + 3n = 0$.
$3n = -6$.
$n = -2$.

(C) दिया गया है कि $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$,इसका अर्थ है कि $\vec{A}$,$\vec{B}$ के लंबवत है $(\vec{A} \perp \vec{B})$.
दिया गया है कि $\vec{A} \cdot \vec{C} = 0$,इसका अर्थ है कि $\vec{A}$,$\vec{C}$ के लंबवत है $(\vec{A} \perp \vec{C})$.
सदिश गुणनफल $\vec{B} \times \vec{C}$ एक ऐसा सदिश देता है जो $\vec{B}$ और $\vec{C}$ दोनों वाले तल के लंबवत होता है।
चूंकि $\vec{A}$,$\vec{B}$ और $\vec{C}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए यह $\vec{B} \times \vec{C}$ सदिश के समानांतर होना चाहिए।

(D) हम कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में इकाई सदिशों के गुणों को जानते हैं: $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,और $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\hat{i} \cdot (\hat{j} \times \hat{k}) + \hat{j} \cdot (\hat{k} \times \hat{i}) + \hat{k} \cdot (\hat{i} \times \hat{j}) = \hat{i} \cdot \hat{i} + \hat{j} \cdot \hat{j} + \hat{k} \cdot \hat{k}$.
चूंकि एक इकाई सदिश का स्वयं के साथ अदिश गुणनफल $1$ होता है (अर्थात $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,$\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$):
$1 + 1 + 1 = 3$.

(D) दिया गया है कि $|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{3} \vec{A} \cdot \vec{B}$ है।
सदिश गुणनफल और अदिश गुणनफल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,हमारे पास $AB \sin \theta = \sqrt{3} AB \cos \theta$ है।
दोनों पक्षों को $AB \cos \theta$ से विभाजित करने पर,हमें $\tan \theta = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\theta = 60^\circ$।
परिणामी सदिश का परिमाण $|\vec{A} + \vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = 60^\circ$ और $\cos 60^\circ = 1/2$ रखने पर,हमें $|\vec{A} + \vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB(1/2)} = (A^2 + B^2 + AB)^{1/2}$ प्राप्त होता है।

(B) जब $\vec{A}$ और $\vec{B}$ एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण होते हैं,तो समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{A} \times \vec{B}|$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{A} \times \vec{B}$ की गणना करें:
$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & -4 & 3 \\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-4)(-1) - (3)(-2)) - \hat{j}((5)(-1) - (3)(3)) + \hat{k}((5)(-2) - (-4)(3))$
$= \hat{i}(4 + 6) - \hat{j}(-5 - 9) + \hat{k}(-10 + 12)$
$= 10\hat{i} + 14\hat{j} + 2\hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{10^2 + 14^2 + 2^2} = \sqrt{100 + 196 + 4} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$.
अंत में,क्षेत्रफल की गणना करें:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{A} \times \vec{B}| = \frac{1}{2} \times 10\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.

(C) दो सदिश $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}$ और $\vec{B} = -4\hat{i} + 4\hat{j} + \alpha\hat{k}$ लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो,अर्थात $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$।
घटकों का मान रखने पर:
$(2\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} + 4\hat{j} + \alpha\hat{k}) = 0$
$(2)(-4) + (3)(4) + (8)(\alpha) = 0$
$-8 + 12 + 8\alpha = 0$
$4 + 8\alpha = 0$
$8\alpha = -4$
$\alpha = -\frac{4}{8} = -0.5$।

(D) माना कि $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{B} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
$\vec{A}$ और $\vec{B}$ के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{A} \times \vec{B}}{|\vec{A} \times \vec{B}|}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{A} \times \vec{B}$ की गणना करें:
$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - (-1)) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-2 - 3) = 7\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{7^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{49 + 9 + 25} = \sqrt{83}$.
अतः,इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{1}{\sqrt{83}} (7\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k})$ होगा।

(A) तीन सदिशों के समतलीय होने के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल (scalar triple product) शून्य होना चाहिए।
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} = 0$
दिए गए घटकों को सारणिक में रखने पर:
$\begin{vmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 5 & y & 1 \\ -1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(2y - 2) - 2(10 - (-1)) - 2(10 - (-y)) = 0$
$2(2y - 2) - 2(11) - 2(10 + y) = 0$
$4y - 4 - 22 - 20 - 2y = 0$
$2y - 46 = 0$
$2y = 46$
$y = 23$

(B) तीन सदिशों $\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ द्वारा परिभाषित समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणन (scalar triple product) द्वारा दिया जाता है: $V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$.
यह सदिशों के घटकों द्वारा निर्मित सारणिक (determinant) के निरपेक्ष मान के बराबर है:
$V = \left| \det \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \right|$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$V = |1(4 \times 3 - 0 \times 1) - 0 + 0| = |1(12) - 0 + 0| = 12$.
अतः,समांतर षट्फलक का आयतन $12$ घन इकाई है।

(B) माना $\vec{A} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{B} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
$\vec{A}$ और $\vec{B}$ दोनों के लंबवत सदिश ज्ञात करने के लिए,हम उनका सदिश गुणनफल $\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}$ निकालते हैं।
$\vec{C} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 1) - \hat{j}(1 - 1) + \hat{k}(1 - (-1)) = -2\hat{i} + 2\hat{k}$।
$\vec{C}$ का परिमाण $|\vec{C}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \pm \frac{\vec{C}}{|\vec{C}|} = \pm \frac{-2\hat{i} + 2\hat{k}}{2\sqrt{2}} = \pm \frac{-\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही विकल्प $\frac{-\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}}$ है।

(A) माना कि $\vec{A} \times \vec{B} = \vec{B} \times \vec{C} = \vec{C} \times \vec{A} = \vec{V}$ है।
$\vec{A} \times \vec{B} = \vec{B} \times \vec{C}$ से,हमें $\vec{A} \times \vec{B} - \vec{B} \times \vec{C} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\vec{A} \times \vec{B} + \vec{C} \times \vec{B} = 0$।
यह $(\vec{A} + \vec{C}) \times \vec{B} = 0$ में सरल हो जाता है।
इसी प्रकार,$\vec{B} \times \vec{C} = \vec{C} \times \vec{A}$ से,हमें $(\vec{B} + \vec{A}) \times \vec{C} = 0$ प्राप्त होता है।
और $\vec{C} \times \vec{A} = \vec{A} \times \vec{B}$ से,हमें $(\vec{C} + \vec{B}) \times \vec{A} = 0$ प्राप्त होता है।
ये समीकरण दर्शाते हैं कि सदिश $(\vec{A} + \vec{B})$,$(\vec{B} + \vec{C})$,और $(\vec{C} + \vec{A})$ क्रमशः $\vec{C}$,$\vec{A}$,और $\vec{B}$ के समानांतर हैं।
यदि $\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = \vec{S}$ है,तो $\vec{A} + \vec{B} = \vec{S} - \vec{C}$। इस मान को क्रॉस प्रोडक्ट संबंधों में प्रतिस्थापित करने पर,समानता बनाए रखने के लिए एकमात्र सुसंगत समाधान $\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 0$ है।

(D) दो सदिशों $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ के बीच का कोण $\theta$ डॉट प्रोडक्ट के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{A}| |\overrightarrow{B}|}$.
सबसे पहले,डॉट प्रोडक्ट की गणना करें: $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = (2)(4) + (4)(2) + (4)(-4) = 8 + 8 - 16 = 0$.
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए $\cos \theta = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \cos^{-1}(0) = 90^o$।

(C) दो सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य हो,अर्थात $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$।
दिया गया है $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{B} = -4\hat{i} - 6\hat{j} + \lambda\hat{k}$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(2)(-4) + (3)(-6) + (-1)(\lambda) = 0$।
$-8 - 18 - \lambda = 0$।
$-26 - \lambda = 0$।
अतः,$\lambda = -26$।

(B) सदिश गुणनफल $\overrightarrow A \times \overrightarrow B$ की गणना सारणिक विधि का उपयोग करके की जाती है:
$\overrightarrow A \times \overrightarrow B = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & 4 \end{vmatrix}$
$= \hat i(1 \times 4 - 2 \times -2) - \hat j(3 \times 4 - 2 \times 2) + \hat k(3 \times -2 - 1 \times 2)$
$= \hat i(4 + 4) - \hat j(12 - 4) + \hat k(-6 - 2)$
$= 8\hat i - 8\hat j - 8\hat k$
अब,परिमाण $|\overrightarrow A \times \overrightarrow B | = \sqrt{(8)^2 + (-8)^2 + (-8)^2}$ ज्ञात कीजिए।
$= \sqrt{64 + 64 + 64} = \sqrt{3 \times 64} = 8\sqrt{3}$.

(C) $\overrightarrow A$ और $\overrightarrow B$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\hat n = \pm \frac{\overrightarrow A \times \overrightarrow B}{|\overrightarrow A \times \overrightarrow B|}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overrightarrow A \times \overrightarrow B$ की गणना करें:
$\overrightarrow A \times \overrightarrow B = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & 4 \end{vmatrix} = \hat i(4 - (-4)) - \hat j(12 - 4) + \hat k(-6 - 2) = 8\hat i - 8\hat j - 8\hat k$.
अब,इसका परिमाण $|\overrightarrow A \times \overrightarrow B|$ ज्ञात करें:
$|\overrightarrow A \times \overrightarrow B| = \sqrt{8^2 + (-8)^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 64 + 64} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$.
अतः,इकाई सदिश $\hat n = \pm \frac{8\hat i - 8\hat j - 8\hat k}{8\sqrt{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat i - \hat j - \hat k)$.
इसलिए,विकल्प $(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(D) दो सदिश $\overrightarrow {A}$ और $\overrightarrow {B}$ एक-दूसरे के लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य हो,अर्थात $\overrightarrow {A} \cdot \overrightarrow {B} = 0$.
दिया गया है $\overrightarrow {A} = \cos \omega t \hat i + \sin \omega t \hat j$ और $\overrightarrow {B} = \cos \frac{\omega t}{2} \hat i + \sin \frac{\omega t}{2} \hat j$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\overrightarrow {A} \cdot \overrightarrow {B} = (\cos \omega t \hat i + \sin \omega t \hat j) \cdot (\cos \frac{\omega t}{2} \hat i + \sin \frac{\omega t}{2} \hat j)$
$= \cos \omega t \cos \frac{\omega t}{2} + \sin \omega t \sin \frac{\omega t}{2}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\overrightarrow {A} \cdot \overrightarrow {B} = \cos(\omega t - \frac{\omega t}{2}) = \cos(\frac{\omega t}{2})$
चूंकि सदिश लंबवत हैं,$\overrightarrow {A} \cdot \overrightarrow {B} = 0$,इसलिए:
$\cos(\frac{\omega t}{2}) = 0$
हम जानते हैं कि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,इसलिए:
$\frac{\omega t}{2} = \frac{\pi}{2}$
$t = \frac{\pi}{\omega}$.

(A) दिया गया समीकरण: $|\vec A \times \vec B| = \sqrt{3}(\vec A \cdot \vec B)$.
हम जानते हैं कि सदिश गुणन का परिमाण $|\vec A \times \vec B| = AB \sin \theta$ है और अदिश गुणन $\vec A \cdot \vec B = AB \cos \theta$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरण में रखने पर:
$AB \sin \theta = \sqrt{3} AB \cos \theta$.
दोनों पक्षों को $AB \cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \sqrt{3}$.
$\tan \theta = \sqrt{3}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^\circ$.

(C) दो सदिशों $\overrightarrow A$ और $\overrightarrow B$ के बीच का कोण $\theta$ डॉट प्रोडक्ट सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\cos \theta = \frac{\overrightarrow A \cdot \overrightarrow B}{|\overrightarrow A| |\overrightarrow B|}$.
सबसे पहले,डॉट प्रोडक्ट की गणना करें: $\overrightarrow A \cdot \overrightarrow B = (2)(4) + (4)(2) + (4)(-4) = 8 + 8 - 16 = 0$.
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए $\cos \theta = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \cos^{-1}(0) = 90^\circ$।

(B) सदिश $\overrightarrow{A}$ का सदिश $\overrightarrow{B}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{Projection} = \frac{\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{B}|}$।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = (2)(-1) + (3)(3) + (-1)(4) = -2 + 9 - 4 = 3$।
इसके बाद,सदिश $\overrightarrow{B}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\overrightarrow{B}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26}$।
अंत में,प्रक्षेप का मान ज्ञात करें:
$\text{Projection} = \frac{3}{\sqrt{26}}$।

(C) $\overrightarrow {A}$ और $\overrightarrow {B}$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\hat n = \pm \frac{\overrightarrow {A} \times \overrightarrow {B}}{|\overrightarrow {A} \times \overrightarrow {B}|}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,यदि सदिश गुणनफल $8\hat i - 8\hat j - 8\hat k$ प्राप्त होता है,तो इकाई सदिश $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat i - \hat j - \hat k)$ होगा।
अतः,$(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(D) दी गई शर्त: $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = |\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}|$.
अदिश गुणन और सदिश गुणन की परिभाषा का उपयोग करते हुए: $AB \cos \theta = AB \sin \theta$.
दोनों पक्षों को $AB \cos \theta$ से विभाजित करने पर (मान लें $A, B \neq 0$),हमें $\tan \theta = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\theta = 45^\circ$.
परिणामी सदिश $\overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$ का परिमाण $|\overrightarrow{C}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = 45^\circ$ और $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ रखने पर:
$|\overrightarrow{C}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}$.
$|\overrightarrow{C}| = \sqrt{A^2 + B^2 + \sqrt{2} AB}$.

(C) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ का सदिश गुणनफल $\vec{A} \times \vec{B} = AB \sin \theta \; \hat{n}$ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $\hat{n}$ दोनों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के लंबवत इकाई सदिश है।
इस परिभाषा से,हम इकाई सदिश $\hat{n}$ को इस प्रकार अलग कर सकते हैं:
$\hat{n} = \frac{\vec{A} \times \vec{B}}{AB \sin \theta}$.
चूंकि $|\vec{A}| = A$ और $|\vec{B}| = B$ है,इसलिए यह व्यंजक $\frac{\vec{A} \times \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta}$ बन जाता है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ को आसन्न भुजाओं के रूप में लेने पर बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1 - (-1)) - \hat{j}(2 - (-1)) + \hat{k}(2 - 1)$
$= \hat{i}(2) - \hat{j}(3) + \hat{k}(1) = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$.
अब,इस सदिश का परिमाण (magnitude) ज्ञात करें:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$.
अंत में,त्रिभुज का क्षेत्रफल है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \sqrt{14} = \frac{\sqrt{14}}{2}$ वर्ग इकाई।

(B) दो सदिशों $\vec A$ और $\vec B$ के बीच संबंध निर्धारित करने के लिए,हम उनका अदिश गुणनफल (dot product) $\vec A \cdot \vec B$ ज्ञात करते हैं।
यदि $\vec A \cdot \vec B = 0$ है,तो सदिश लंबवत होते हैं।
दिया गया है $\vec A = -2\widehat i + 1\widehat j + 3\widehat k$ और $\vec B = 7\widehat i + 5\widehat j + 3\widehat k$।
$\vec A \cdot \vec B = (-2)(7) + (1)(5) + (3)(3)$
$\vec A \cdot \vec B = -14 + 5 + 9$
$\vec A \cdot \vec B = -14 + 14 = 0$।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश लंबवत हैं।

(D) माना $\vec D = \vec A + \vec B$.
$\vec D = (2\hat i + \hat j - \hat k) + (\hat i + 2\hat j + 3\hat k) = 3\hat i + 3\hat j + 2\hat k$.
हमें $\vec C = 6\hat i - 2\hat j - 6\hat k$ दिया गया है।
दो सदिशों $\vec D$ और $\vec C$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\vec D \cdot \vec C}{|\vec D| |\vec C|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec D \cdot \vec C = (3)(6) + (3)(-2) + (2)(-6) = 18 - 6 - 12 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,कोण $\theta = 90^o$ होगा।

(B) $\vec{A}$ और $\vec{B}$ दोनों के लंबवत सदिश उनके सदिश गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है: $\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}$.
$\vec{C} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 2) - \hat{j}(0 - 1) + \hat{k}(2 - (-2)) = -2\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$.
$\vec{C}$ का परिमाण $|\vec{C}| = \sqrt{(-2)^2 + (1)^2 + (4)^2} = \sqrt{4 + 1 + 16} = \sqrt{21}$ है।
इकाई सदिश $\hat{C} = \frac{\vec{C}}{|\vec{C}|} = \frac{-2\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}}{\sqrt{21}}$ होगा।

(A) दाएं हाथ की कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में,इकाई सदिश $\hat{i}, \hat{j}, \text{ और } \hat{k}$ चक्रीय क्रम का पालन करते हैं:
$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,और $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$.
विकल्प $(A)$ सही है क्योंकि $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$.
विकल्प $(B)$ गलत है क्योंकि लंबवत इकाई सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होता है $(\hat{k} \cdot \hat{i} = 0)$.
विकल्प $(C)$ गलत है क्योंकि एक इकाई सदिश का स्वयं के साथ अदिश गुणनफल एक होता है $(\hat{i} \cdot \hat{i} = 1)$.
विकल्प $(D)$ गलत है क्योंकि एक सदिश का स्वयं के साथ सदिश गुणनफल शून्य सदिश होता है $(\hat{j} \times \hat{j} = \vec{0})$.

(D) सदिश गुणनफल (cross product) की परिभाषा के अनुसार,सदिश $\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}$,$\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ दोनों के लंबवत होता है।
इसलिए,$\overrightarrow{A}$ का $(\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D})$ के साथ अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए:
$\overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}) = 0$
इसका विस्तार करने पर:
$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{C} + \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{D} = 0$
चूंकि $\vec{A}$ के अनुदिश किसी सदिश $\vec{V}$ का घटक $\frac{\vec{V} \cdot \vec{A}}{|A|}$ द्वारा दिया जाता है,हम लिख सकते हैं:
$|A| \times (\overrightarrow{A} \text{ के अनुदिश } \overrightarrow{C} \text{ का घटक}) + |A| \times (\overrightarrow{A} \text{ के अनुदिश } \overrightarrow{D} \text{ का घटक}) = 0$
$|A|$ से भाग देने पर (मान लें कि $\overrightarrow{A} \neq 0$):
$\overrightarrow{A}$ के अनुदिश $\overrightarrow{C}$ का घटक = $-$ $\overrightarrow{A}$ के अनुदिश $\overrightarrow{D}$ का घटक।

(A) दिया गया है: $|A|=2, |B|=5$ और $|A \times B|=8$.
हम जानते हैं कि सदिश गुणन का परिमाण $|A \times B| = |A| |B| \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $8 = (2)(5) \sin \theta$.
$8 = 10 \sin \theta \implies \sin \theta = 8/10 = 4/5$.
चूंकि कोण $\theta$ न्यूनकोण है,इसलिए $\cos \theta$ धनात्मक होना चाहिए।
सर्वसमिका $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - (4/5)^2} = \sqrt{1 - 16/25} = \sqrt{9/25} = 3/5$ का उपयोग करने पर।
अदिश गुणन $A \cdot B = |A| |B| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $A \cdot B = (2)(5)(3/5) = 10 \times (3/5) = 6$.

(B) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके सदिश गुणनफल के परिमाण के बराबर होता है: $\text{Area} = |\vec{A} \times \vec{B}|$.
दिया गया है कि $\text{Area} = \frac{AB}{2}$,इसलिए $|\vec{A} \times \vec{B}| = \frac{AB}{2}$.
हम जानते हैं कि $|\vec{A} \times \vec{B}| = AB \sin \theta$,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है,इसलिए: $AB \sin \theta = \frac{AB}{2}$.
दोनों पक्षों को $AB$ से विभाजित करने पर,हमें $\sin \theta = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = 30^{\circ}$ या $\theta = \frac{\pi}{6}$ रेडियन।

(A) सदिश $\overrightarrow{A}$ का सदिश $\overrightarrow{B}$ पर घटक (प्रक्षेप) निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{Component} = \frac{\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{B}|}$.
सबसे पहले,अदिश गुणन (dot product) $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = (2)(1) + (3)(1) = 2 + 3 = 5$ की गणना करें।
इसके बाद,सदिश $\overrightarrow{B}$ का परिमाण ज्ञात करें,जो $|\overrightarrow{B}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ है।
अंत में,अदिश गुणन को परिमाण से विभाजित करने पर: $\text{Component} = \frac{5}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि दो सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ हैं और उनके बीच का कोण $\theta$ है।
प्रश्न के अनुसार,सदिश गुणनफल का परिमाण अदिश गुणनफल का $\frac{1}{\sqrt{3}}$ गुना है:
$|\vec{A} \times \vec{B}| = \frac{1}{\sqrt{3}} (\vec{A} \cdot \vec{B})$
$AB \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} AB \cos \theta$
दोनों पक्षों को $AB \cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$
चूँकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\theta = 30^{\circ}$ है।
रेडियन में बदलने पर: $\theta = 30^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{\pi}{6}$.

(A) दो सदिशों $A$ और $B$ द्वारा निर्धारित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके सदिश गुणनफल (cross product) के परिमाण के बराबर होता है,अर्थात $\text{Area} = |A \times B|$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $A \times B$ की गणना करें:
$A \times B = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 0 & 12 & -2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((1)(-2) - (-3)(12)) - \hat{j}((2)(-2) - (-3)(0)) + \hat{k}((2)(12) - (1)(0))$
$= \hat{i}(-2 + 36) - \hat{j}(-4 - 0) + \hat{k}(24 - 0)$
$= 34\hat{i} + 4\hat{j} + 24\hat{k}$
अब,परिणामी सदिश का परिमाण ज्ञात करें:
$|A \times B| = \sqrt{(34)^2 + (4)^2 + (24)^2}$
$= \sqrt{1156 + 16 + 576}$
$= \sqrt{1748}$
$\approx 41.8$
निकटतम पूर्णांक में,क्षेत्रफल लगभग $42$ है,जो विकल्प $A$ $(43)$ के सबसे करीब है।

(A) सदिश $A$ और $B$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n}$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\hat{n} = \pm \frac{A \times B}{|A \times B|}$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $A \times B$ की गणना करें:
$A \times B = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & -2 & -3 \\ 2 & 4 & 6 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(-12 - (-12)) - \hat{j}(-18 - (-6)) + \hat{k}(-12 - (-4))$
$= \hat{i}(0) - \hat{j}(-12) + \hat{k}(-8) = 12 \hat{j} - 8 \hat{k}$.
इसके बाद,इसका परिमाण $|A \times B|$ ज्ञात करें:
$|A \times B| = \sqrt{12^2 + (-8)^2} = \sqrt{144 + 64} = \sqrt{208} = \sqrt{16 \times 13} = 4\sqrt{13}$.
अब,इकाई सदिश ज्ञात करें:
$\hat{n} = \frac{12 \hat{j} - 8 \hat{k}}{4\sqrt{13}} = \frac{3 \hat{j} - 2 \hat{k}}{\sqrt{13}}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है $\vec A = \hat i + \hat j$ और $\vec B = 2\hat i - \hat j$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec A \cdot \vec B = (1)(2) + (1)(-1) = 2 - 1 = 1$ ज्ञात करें।
मान लीजिए समतलीय सदिश $\vec C = a\hat i + b\hat j$ है।
प्रतिबंध $\vec A \cdot \vec C = \vec A \cdot \vec B$ से: $(1)(a) + (1)(b) = 1 \implies a + b = 1 \quad (i)$।
प्रतिबंध $\vec B \cdot \vec C = \vec A \cdot \vec B$ से: $(2)(a) + (-1)(b) = 1 \implies 2a - b = 1 \quad (ii)$।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $(a + b) + (2a - b) = 1 + 1 \implies 3a = 2 \implies a = \frac{2}{3}$।
समीकरण $(i)$ में $a = \frac{2}{3}$ रखने पर: $\frac{2}{3} + b = 1 \implies b = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$।
अतः,$\vec C = \frac{2}{3}\hat i + \frac{1}{3}\hat j$ है।
सदिश $\vec C$ का परिमाण $|\vec C| = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}}$ होगा।

(C) दिया गया है: $|\vec{A}_1| = 3$,$|\vec{A}_2| = 5$,और $|\vec{A}_1 + \vec{A}_2| = 5$।
गुणधर्म $|\vec{A} + \vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ का उपयोग करते हुए:
$5^2 = 3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta$
$25 = 9 + 25 + 30 \cos \theta$
$30 \cos \theta = -9 \implies \vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 = |\vec{A}_1||\vec{A}_2| \cos \theta = 3 \times 5 \times (-9/30) = -4.5$।
अब,अदिश गुणन (dot product) की गणना करें:
$(2\vec{A}_1 + 3\vec{A}_2) \cdot (3\vec{A}_1 - 2\vec{A}_2) = 6|\vec{A}_1|^2 - 4\vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 + 9\vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 - 6|\vec{A}_2|^2$
$= 6|\vec{A}_1|^2 + 5(\vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2) - 6|\vec{A}_2|^2$
$= 6(3^2) + 5(-4.5) - 6(5^2)$
$= 6(9) - 22.5 - 6(25)$
$= 54 - 22.5 - 150 = -118.5$।

(A) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ का अदिश गुणनफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos \theta$.
दिए गए परिमाण $A = 3$ और $B = 5$ हैं।
उनके बीच का कोण $\theta = 60^o$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\vec{A} \cdot \vec{B} = 3 \times 5 \times \cos(60^o)$.
चूंकि $\cos(60^o) = 0.5$ होता है,इसलिए:
$\vec{A} \cdot \vec{B} = 15 \times 0.5 = 7.5$.

(D) दो सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो,अर्थात $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$.
माना $\vec{F} = 4 \hat{i} - 3 \hat{j}$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ $(4 \hat{i} - 3 \hat{j}) \cdot (4 \hat{i} + 3 \hat{j}) = 16 - 9 = 7 \neq 0$.
$(B)$ $(4 \hat{i} - 3 \hat{j}) \cdot (6 \hat{i}) = 24 \neq 0$.
$(C)$ $(4 \hat{i} - 3 \hat{j}) \cdot (7 \hat{k}) = 0$. चूँकि अदिश गुणनफल $0$ है,यह सदिश लंबवत है।
$(D)$ $(4 \hat{i} - 3 \hat{j}) \cdot (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) = 12 - 12 = 0$. चूँकि अदिश गुणनफल $0$ है,यह सदिश भी लंबवत है।
नोट: विकल्प $(C)$ और $(D)$ दोनों $\vec{F}$ के लंबवत हैं। सामान्यतः,$(D)$ $xy$-समतल में स्थित वह सदिश है जो $\vec{F}$ के लंबवत है।

(A) दो सदिशों $\vec{A} = 2\hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{B} = \hat{i} + 2\hat{j}$ का सदिश गुणनफल क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{A} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{A} \times \vec{B} = (2\hat{i} + \hat{j}) \times (\hat{i} + 2\hat{j})$
क्रॉस प्रोडक्ट के वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$= 2\hat{i} \times \hat{i} + 2\hat{i} \times 2\hat{j} + \hat{j} \times \hat{i} + \hat{j} \times 2\hat{j}$
चूंकि $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ और $\hat{j} \times \hat{j} = 0$,और हम जानते हैं कि $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$:
$= 0 + 4(\hat{k}) + (-\hat{k}) + 0$
$= 3\hat{k}$

(C) सदिश $\vec{a}$ का $\vec{b}$ की दिशा में सदिश घटक प्रक्षेप सदिश के सूत्र द्वारा प्राप्त होता है: $\vec{a}_{\text{proj}} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$.
यहाँ $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ और $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j}$ दिया गया है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल ज्ञात करें: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (3)(1) = 2 + 3 = 5$.
इसके बाद,$\vec{b}$ के परिमाण का वर्ग ज्ञात करें: $|\vec{b}|^2 = (1)^2 + (1)^2 = 2$.
अब,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\vec{a}_{\text{proj}} = \left( \frac{5}{2} \right) (\hat{i} + \hat{j})$.
अतः,सदिश घटक $\frac{5}{2}(\hat{i} + \hat{j})$ है।

(B) दिया गया है: $|\vec{A}_1| = 2$,$|\vec{A}_2| = 3$ और $|\vec{A}_1 + \vec{A}_2| = 3$.
तीसरे समीकरण का वर्ग करने पर: $|\vec{A}_1 + \vec{A}_2|^2 = 3^2 = 9$.
$|\vec{A}_1|^2 + |\vec{A}_2|^2 + 2(\vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2) = 9$.
$2^2 + 3^2 + 2(\vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2) = 9 \implies 4 + 9 + 2(\vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2) = 9 \implies 2(\vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2) = -4 \implies \vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 = -2$.
अब,क्रॉस प्रोडक्ट का विस्तार करने पर: $(\vec{A}_1 + 2\vec{A}_2) \times (3\vec{A}_1 - 4\vec{A}_2) = 3(\vec{A}_1 \times \vec{A}_1) - 4(\vec{A}_1 \times \vec{A}_2) + 6(\vec{A}_2 \times \vec{A}_1) - 8(\vec{A}_2 \times \vec{A}_2)$.
हम जानते हैं कि $\vec{A} \times \vec{A} = 0$ और $\vec{A}_2 \times \vec{A}_1 = -(\vec{A}_1 \times \vec{A}_2)$,इसलिए:
$0 - 4(\vec{A}_1 \times \vec{A}_2) - 6(\vec{A}_1 \times \vec{A}_2) - 0 = -10(\vec{A}_1 \times \vec{A}_2)$.
हमें परिमाण ज्ञात करना है: $|-10(\vec{A}_1 \times \vec{A}_2)| = 10 |\vec{A}_1| |\vec{A}_2| \sin \theta$.
हम जानते हैं कि $\vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 = |\vec{A}_1| |\vec{A}_2| \cos \theta = -2 \implies (2)(3) \cos \theta = -2 \implies \cos \theta = -1/3$.
अतः $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (-1/3)^2} = \sqrt{8/9} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
परिमाण $= 10 \times 2 \times 3 \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = 40\sqrt{2} \approx 56.56$. विकल्पों को देखते हुए,गणना के अनुसार निकटतम विकल्प $60$ है।

(C) सदिश $(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B})$,सदिशों $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ द्वारा निर्मित समतल में स्थित होता है।
क्रॉस प्रोडक्ट की परिभाषा के अनुसार,सदिश $(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})$ उस समतल के लंबवत होता है जिसमें $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ दोनों स्थित हैं।
चूंकि $(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B})$,$\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ के समतल में स्थित है,इसलिए सदिश $(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})$ अनिवार्य रूप से $(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B})$ के लंबवत होगा।
अतः,$(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B})$ और $(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(A) दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो।
दिया गया है $A = a_1 \hat{i} + b_1 \hat{j}$ और $B = a_2 \hat{i} + b_2 \hat{j}$।
अदिश गुणनफल $A \cdot B = (a_1 \hat{i} + b_1 \hat{j}) \cdot (a_2 \hat{i} + b_2 \hat{j}) = a_1 a_2 + b_1 b_2$।
लंबवत सदिशों के लिए,$A \cdot B = 0$,इसलिए $a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0$।
इसका अर्थ है $a_1 a_2 = -b_1 b_2$,या $\frac{a_1}{b_1} = -\frac{b_2}{a_2}$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) दिया गया है कि $\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = \vec{0}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) \cdot (\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) = 0$
$|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + |\vec{C}|^2 + 2(\vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{C} + \vec{C} \cdot \vec{A}) = 0$
चूंकि सदिशों का परिमाण इकाई है,इसलिए $|\vec{A}| = |\vec{B}| = |\vec{C}| = 1$।
इन मानों को रखने पर:
$1^2 + 1^2 + 1^2 + 2(\vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{C} + \vec{C} \cdot \vec{A}) = 0$
$3 + 2(\vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{C} + \vec{C} \cdot \vec{A}) = 0$
$2(\vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{C} + \vec{C} \cdot \vec{A}) = -3$
$\vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{C} + \vec{C} \cdot \vec{A} = -1.5$

(D) दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो।
$\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$
$(2\hat{i} + 2\hat{j} - x\hat{k}) \cdot (2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}) = 0$
$(2)(2) + (2)(-1) + (-x)(-3) = 0$
$4 - 2 + 3x = 0$
$2 + 3x = 0$
$3x = -2$
$x = -2/3$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) माना $\vec{A} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{B} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
दो सदिशों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,अदिश गुणन (dot product) की गणना करें: $\vec{A} \cdot \vec{B} = (4)(-3) + (3)(2) + (1)(6) = -12 + 6 + 6 = 0$.
चूंकि अदिश गुणन $0$ है,इसलिए $\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = 90^{\circ}$।

(A) दिया गया समीकरण $a + b + c = 0$ है।
हम लिख सकते हैं $a + c = -b$।
दोनों पक्षों का $b$ के साथ सदिश गुणन (cross product) करने पर:
$(a + c) \times b = -b \times b$।
चूंकि किसी भी सदिश का स्वयं के साथ सदिश गुणन शून्य होता है $(b \times b = 0)$,हमें प्राप्त होता है:
$(a \times b) + (c \times b) = 0$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$a \times b = -(c \times b)$।
सदिश गुणन के गुणधर्म $-(c \times b) = b \times c$ का उपयोग करने पर:
$a \times b = b \times c$।