Multiplication of Vectors Questions in Hindi

(A) विकर्णों $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$.
यहाँ $\vec{d_1} = 5\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{d_2} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ की गणना करें:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & -4 & 3 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 6) - \hat{j}(-5 - 9) + \hat{k}(10 - (-12)) = -2\hat{i} + 14\hat{j} + 22\hat{k}$.
अब,इस सदिश का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(-2)^2 + 14^2 + 22^2} = \sqrt{4 + 196 + 484} = \sqrt{684}$.
वर्गमूल को सरल करने पर: $\sqrt{684} = \sqrt{36 \times 19} = 6\sqrt{19}$.
अंत में,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 6\sqrt{19} = 3\sqrt{19} = \sqrt{171} \text{ unit}^2$ होगा।

(B) सदिश $\vec A$ का सदिश $\vec B$ पर प्रक्षेप,$\vec B$ की दिशा में $\vec A$ का अदिश घटक (scalar component) है।
गणितीय रूप से,यह $\vec A$ का $\vec B$ के इकाई सदिश (unit vector) के साथ अदिश गुणनफल है।
प्रक्षेप $= |\vec A| \cos \theta$.
चूंकि $\vec A \cdot \vec B = |\vec A| |\vec B| \cos \theta$,इसलिए $|\vec A| \cos \theta = \frac{\vec A \cdot \vec B}{|\vec B|}$ होता है।
चूंकि इकाई सदिश $\hat B = \frac{\vec B}{|\vec B|}$ है,इसलिए प्रक्षेप $\vec A \cdot \hat B$ के बराबर है।

(A) दिया गया है कि $\hat{A}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए इसका परिमाण स्थिर है,अर्थात $|\hat{A}| = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|\hat{A}|^2 = \hat{A} \cdot \hat{A} = 1$ प्राप्त होता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन (differentiation) करने पर,$\frac{d}{dt}(\hat{A} \cdot \hat{A}) = \frac{d}{dt}(1)$ प्राप्त होता है।
डॉट प्रोडक्ट के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर,$\frac{d\hat{A}}{dt} \cdot \hat{A} + \hat{A} \cdot \frac{d\hat{A}}{dt} = 0$ होता है।
चूंकि डॉट प्रोडक्ट क्रमविनिमेय (commutative) होता है,इसलिए यह $2(\hat{A} \cdot \frac{d\hat{A}}{dt}) = 0$ में सरल हो जाता है।
अतः,$\hat{A} \cdot \frac{d\hat{A}}{dt} = 0$ है।

(A) दिया गया है कि $|F_1| = |F_2| = F$ और $|F_1 \cdot F_2| = |F_1 \times F_2|$.
अदिश गुणन और सदिश गुणन की परिभाषा का उपयोग करने पर: $F^2 \cos \theta = F^2 \sin \theta$.
इसका अर्थ है $\tan \theta = 1$,अतः $\theta = 45^{\circ}$.
परिणामी सदिश का परिमाण $|F_1 + F_2| = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $|F_1 + F_2| = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F^2 \cos 45^{\circ}}$.
$|F_1 + F_2| = \sqrt{2F^2 + 2F^2 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)} = \sqrt{2F^2 + F^2 \sqrt{2}}$.
$|F_1 + F_2| = F \sqrt{2 + \sqrt{2}}$.

(D) दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो,अर्थात $\vec P \cdot \vec Q = 0$.
यहाँ $\vec P = a\hat i + a\hat j + 3\hat k$ और $\vec Q = a\hat i - 2\hat j - \hat k$ दिया गया है।
$(a\hat i + a\hat j + 3\hat k) \cdot (a\hat i - 2\hat j - \hat k) = 0$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(a)(a) + (a)(-2) + (3)(-1) = 0$.
$a^2 - 2a - 3 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $a^2 - 3a + a - 3 = 0$.
$a(a - 3) + 1(a - 3) = 0$.
$(a - 3)(a + 1) = 0$.
इससे $a = 3$ या $a = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रश्न में $a$ का धनात्मक मान पूछा गया है,इसलिए $a = 3$ सही उत्तर है।

(C) सदिश त्रिक गुणन सर्वसमिका $\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{B}(\vec{A} \cdot \vec{C}) - \vec{C}(\vec{A} \cdot \vec{B})$ का उपयोग करते हुए:
$\hat{i} \times (\hat{i} \times \vec{a}) = \hat{i}(\hat{i} \cdot \vec{a}) - \vec{a}(\hat{i} \cdot \hat{i}) = \hat{i}a_x - \vec{a}$
$\hat{j} \times (\hat{j} \times \vec{a}) = \hat{j}(\hat{j} \cdot \vec{a}) - \vec{a}(\hat{j} \cdot \hat{j}) = \hat{j}a_y - \vec{a}$
$\hat{k} \times (\hat{k} \times \vec{a}) = \hat{k}(\hat{k} \cdot \vec{a}) - \vec{a}(\hat{k} \cdot \hat{k}) = \hat{k}a_z - \vec{a}$
इन पदों का योग करने पर:
$(\hat{i}a_x + \hat{j}a_y + \hat{k}a_z) - 3\vec{a}$
चूंकि $\vec{a} = \hat{i}a_x + \hat{j}a_y + \hat{k}a_z$,इसलिए व्यंजक होगा:
$\vec{a} - 3\vec{a} = -2\vec{a}$.

(B) दो सदिशों $\vec A$ और $\vec B$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{\vec A \cdot \vec B}{|\vec A| |\vec B|}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणन (dot product) की गणना करें: $\vec A \cdot \vec B = (2)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) = 2 + 0 + 1 = 3$.
इसके बाद,परिमाण (magnitudes) की गणना करें: $|\vec A| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ और $|\vec B| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.
अब,इन मानों को सूत्र में रखें: $\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूंकि $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है,इसलिए कोण $\theta = 30^o$ होगा।

(A) मान लीजिए कि इकाई सदिश $\hat{i}$ (पूर्व) और $\hat{j}$ (उत्तर) हैं। अतः,$A = A\hat{i}$ और $B = B\hat{j}$ है।
$(A) (A+B) = A\hat{i} + B\hat{j}$,जो उत्तर-पूर्व दिशा की ओर इंगित करता है। अतः,$(A) \rightarrow (p)$।
$(B) (A-B) = A\hat{i} - B\hat{j}$,जो दक्षिण-पूर्व दिशा की ओर इंगित करता है। यह स्तंभ $II$ में नहीं दिया गया है,अतः $(B) \rightarrow (s)$।
$(C) (A \times B) = (A\hat{i}) \times (B\hat{j}) = AB(\hat{i} \times \hat{j}) = AB\hat{k}$,जो ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर इंगित करता है। अतः,$(C) \rightarrow (q)$।
$(D) (A \times B) \times (A \times B) = 0$,क्योंकि किसी भी सदिश का स्वयं के साथ क्रॉस गुणनफल शून्य होता है। यह स्तंभ $II$ में नहीं दिया गया है,अतः $(D) \rightarrow (s)$।
अतः,सही मिलान $(A \rightarrow p, B \rightarrow s, C \rightarrow q, D \rightarrow s)$ है।

(B) किसी भी सदिश $\vec{A}$ का शून्य सदिश $\vec{0}$ के साथ सदिश गुणन (cross product) $\vec{A} \times \vec{0} = \vec{0}$ के रूप में परिभाषित होता है।
चूंकि दो सदिशों का सदिश गुणनफल एक सदिश ही होता है,इसलिए $\vec{A} \times 0$ का परिणाम एक शून्य सदिश है,जिसे $\vec{0}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अतः,सही विकल्प शून्य सदिश है।

(N/A) $F$ और $d$ का अदिश गुणनफल $F \cdot d = F_x d_x + F_y d_y + F_z d_z$ द्वारा दिया जाता है।
$F \cdot d = (3)(5) + (4)(4) + (-5)(3) = 15 + 16 - 15 = 16$ इकाई।
उनके परिमाण $F = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50}$ इकाई और $d = \sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50}$ इकाई हैं।
$F \cdot d = F d \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,$16 = \sqrt{50} \cdot \sqrt{50} \cdot \cos \theta$।
$16 = 50 \cos \theta \implies \cos \theta = \frac{16}{50} = 0.32$।
अतः,$\theta = \cos^{-1}(0.32)$।
$d$ पर $F$ का प्रक्षेप $\frac{F \cdot d}{|d|} = \frac{16}{\sqrt{50}} = \frac{16}{5\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{10} = 1.6\sqrt{2}$ इकाई है।

(N/A) सदिशों के गुणन के दो प्रकार होते हैं:
$(i)$ अदिश गुणन (डॉट प्रोडक्ट):
यदि दो सदिश राशियों का गुणनफल एक अदिश राशि प्राप्त होता है,तो उस गुणन को अदिश गुणन कहा जाता है। इस गुणन को डॉट प्रोडक्ट के रूप में भी जाना जाता है।
दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ का अदिश गुणन $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta = AB \cos \theta$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $A$ और $B$ क्रमशः $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के परिमाण हैं और $\theta$ उनके बीच का कोण है।
$(ii)$ सदिश गुणन (क्रॉस प्रोडक्ट):
यदि दो सदिश राशियों का गुणनफल एक सदिश राशि प्राप्त होता है,तो उस गुणन को सदिश गुणन कहा जाता है।
सदिश गुणन को दो सदिशों के बीच क्रॉस चिह्न $(\times)$ रखकर दर्शाया जाता है,इसलिए इसे सदिशों का क्रॉस प्रोडक्ट भी कहा जाता है।
यदि $\theta$,$\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण है,तो इसका सदिश गुणन $\vec{A} \times \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta \hat{n} = AB \sin \theta \hat{n}$ होता है,जहाँ $\hat{n}$ वह इकाई सदिश है जो $\vec{A}$ और $\vec{B}$ द्वारा निर्मित तल के लंबवत होता है।

(N/A) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ का अदिश गुणनफल इस प्रकार परिभाषित है:
$\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta = AB \cos \theta$ ... $(1)$
जहाँ $\theta$,$\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
ज्यामितीय रूप से,यह गुणनफल एक सदिश के परिमाण और दूसरे सदिश के पहले सदिश पर प्रक्षेप (projection) के गुणनफल को दर्शाता है।
$\vec{B}$ का $\vec{A}$ पर प्रक्षेप पर विचार करें:
$1$. $\vec{B}$ के शीर्ष से $\vec{A}$ वाली रेखा पर एक लंब खींचें,जो चित्र में दिखाए अनुसार $M$ बिंदु पर मिलता है।
$2$. लंबाई $OM$,$\vec{B}$ का $\vec{A}$ पर प्रक्षेप दर्शाती है,जो $B \cos \theta$ के बराबर है।
$3$. इसे अदिश गुणनफल के सूत्र में रखने पर:
$\vec{A} \cdot \vec{B} = A (B \cos \theta) = A (OM)$
अतः,अदिश गुणनफल $\vec{A}$ का परिमाण और $\vec{A}$ की दिशा में $\vec{B}$ के घटक (प्रक्षेप) का गुणनफल है।
इसी प्रकार,इसे $\vec{B}$ का परिमाण और $\vec{B}$ की दिशा में $\vec{A}$ के घटक के गुणनफल $(B \times A \cos \theta)$ के रूप में भी समझा जा सकता है।

(N/A) मान लीजिए $\vec{A}$ और $\vec{B}$ दो सदिश हैं जिनके बीच का कोण $\theta$ है।
$\vec{A}$ और $\vec{B}$ का अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) इस प्रकार परिभाषित है:
$\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos \theta$
चूंकि अदिश परिमाणों $A$ और $B$ का गुणनफल क्रमविनिमेय होता है $(AB = BA)$,हम लिख सकते हैं:
$AB \cos \theta = BA \cos \theta$
परिभाषा के अनुसार,$BA \cos \theta$,$\vec{B}$ और $\vec{A}$ का अदिश गुणनफल है:
$BA \cos \theta = \vec{B} \cdot \vec{A}$
अतः,$\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$.
यह सिद्ध करता है कि दो सदिशों का अदिश गुणनफल क्रमविनिमेय नियम का पालन करता है।

(N/A) चित्र के अनुसार,मान लीजिए $\overrightarrow{OP} = \vec{A}$,$\overrightarrow{OQ} = \vec{B}$,और $\overrightarrow{QR} = \vec{C}$ है।
अतः,$\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{QR} = \vec{B} + \vec{C}$ होगा।
अदिश गुणनफल $\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C})$ को $\vec{A}$ के परिमाण और $\vec{A}$ की दिशा में $(\vec{B} + \vec{C})$ के प्रक्षेप (projection) के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चित्र से,$\vec{A}$ पर $\vec{B}$ का प्रक्षेप $OM$ है और $\vec{A}$ पर $\vec{C}$ का प्रक्षेप $MN$ है।
इसलिए,$\vec{A}$ पर $(\vec{B} + \vec{C})$ का प्रक्षेप $ON = OM + MN$ है।
अब,$\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = |\vec{A}| (ON) = |\vec{A}| (OM + MN)$.
$= |\vec{A}| (OM) + |\vec{A}| (MN)$.
चूंकि $|\vec{A}| (OM) = \vec{A} \cdot \vec{B}$ और $|\vec{A}| (MN) = \vec{A} \cdot \vec{C}$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C}$.
यह सिद्ध करता है कि अदिश गुणनफल वितरण नियम का पालन करता है।

(N/A) मान लीजिए $\overrightarrow{A}$ एक सदिश है। सदिश $\overrightarrow{A}$ का स्वयं के साथ अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{A} = |\overrightarrow{A}| |\overrightarrow{A}| \cos \theta$ के रूप में परिभाषित है।
चूंकि एक सदिश और स्वयं के बीच का कोण $\theta = 0^{\circ}$ होता है,इसलिए $\cos 0^{\circ} = 1$ होता है।
अतः,$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{A} = |\overrightarrow{A}| |\overrightarrow{A}| (1) = |\overrightarrow{A}|^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|\overrightarrow{A}| = \sqrt{\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{A}}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,किसी सदिश का परिमाण उस सदिश के स्वयं के साथ अदिश गुणनफल के वर्गमूल के बराबर होता है।

(A) यदि दो सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ परस्पर लंबवत हैं,तो उनके बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ होता है।
दो सदिशों का अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) सूत्र $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
इस सूत्र में $\theta = 90^{\circ}$ रखने पर,हमें $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos 90^{\circ} = 0$ होता है,इसलिए अदिश गुणनफल $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \times 0 = 0$ हो जाता है।
अतः,दो परस्पर लंबवत सदिशों का अदिश गुणनफल $0$ होता है।

अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3 \hat{i} - 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) \cdot (-2 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k})$
$= (3)(-2) + (-4)(1) + (5)(-3)$
$= -6 - 4 - 15 = -25$
सदिश गुणनफल (क्रॉस प्रोडक्ट) सारणिक का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -4 & 5 \\ -2 & 1 & -3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-4)(-3) - (5)(1)) - \hat{j}((3)(-3) - (5)(-2)) + \hat{k}((3)(1) - (-4)(-2))$
$= \hat{i}(12 - 5) - \hat{j}(-9 + 10) + \hat{k}(3 - 8)$
$= 7 \hat{i} - \hat{j} - 5 \hat{k}$

(N/A) मान लीजिए कि दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ एक त्रिभुज की भुजाओं $\vec{OK}$ और $\vec{OM}$ द्वारा दर्शाए गए हैं,जो $\theta$ कोण पर झुके हैं।
$\Delta OMN$ में,जहाँ $MN$,$M$ से $OK$ पर डाला गया लंब है,हमारे पास है:
$\sin \theta = \frac{MN}{OM} = \frac{MN}{|\vec{b}|}$
$MN = |\vec{b}| \sin \theta$
$\Delta OMK$ का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times OK \times MN$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$
चूंकि सदिश गुणन का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ के रूप में परिभाषित है,हम इसे क्षेत्रफल के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल दोनों सदिशों के सदिश गुणन के परिमाण का आधा होता है।

(N/A) समानांतर षट्फलक का आयतन उसके आधार के क्षेत्रफल और उसकी ऊंचाई के गुणनफल के रूप में परिभाषित होता है।
मान लीजिए कि समानांतर षट्फलक के तीन आसन्न किनारों को दर्शाने वाले सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ हैं।
समानांतर षट्फलक का आधार सदिशों $\vec{b}$ और $\vec{c}$ द्वारा बनता है। इस आधार का क्षेत्रफल क्रॉस प्रोडक्ट के परिमाण द्वारा दिया जाता है: $Area = |\vec{b} \times \vec{c}|$.
सदिश $\vec{b} \times \vec{c}$ की दिशा आधार के लंबवत होती है,अर्थात $\vec{b}$ और $\vec{c}$ वाले तल के लंबवत होती है।
समानांतर षट्फलक की ऊंचाई $h$,सदिश $\vec{a}$ का लंबवत सदिश $\vec{n} = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|}$ की दिशा पर प्रक्षेप है।
अतः,$h = |\vec{a} \cdot \hat{n}| = \left| \vec{a} \cdot \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|} \right|$.
आयतन $V$ को $V = Area \times h = |\vec{b} \times \vec{c}| \times \left| \vec{a} \cdot \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|} \right| = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,अदिश त्रिक गुणनफल $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ समानांतर षट्फलक के आयतन को दर्शाता है।

(N/A) किसी सदिश $\vec{A}$ का एक धनात्मक वास्तविक संख्या $\lambda$ से गुणा करने पर एक नया सदिश $\lambda \vec{A}$ प्राप्त होता है,जिसका परिमाण $\vec{A}$ के परिमाण का $\lambda$ गुना होता है और इसकी दिशा $\vec{A}$ की दिशा के समान ही रहती है।
$|\lambda \vec{A}| = \lambda |\vec{A}|$ (जहाँ $\lambda > 0$)
उदाहरण के लिए,यदि $\vec{A}$ को $2$ से गुणा किया जाता है,तो परिणामी सदिश $2\vec{A}$ उसी दिशा में होता है जिस दिशा में $\vec{A}$ है और इसका परिमाण $|\vec{A}|$ का दोगुना होता है,जैसा कि चित्र $(a)$ में दिखाया गया है।
किसी सदिश $\vec{A}$ का एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या $\lambda$ से गुणा करने पर एक सदिश $\lambda \vec{A}$ प्राप्त होता है जिसकी दिशा $\vec{A}$ की दिशा के विपरीत होती है और जिसका परिमाण $|\lambda|$ गुना होता है।
उदाहरण के लिए,$\vec{A}$ को $-1$ और $-1.5$ से गुणा करने पर प्राप्त सदिश चित्र $(b)$ में दिखाए गए हैं।
गुणक $\lambda$ भौतिक विमाओं वाली एक अदिश राशि भी हो सकती है। ऐसे मामलों में,परिणामी सदिश $\lambda \vec{A}$ की विमा $\lambda$ और $\vec{A}$ की विमाओं का गुणनफल होती है। उदाहरण के लिए,एक स्थिर वेग सदिश $\vec{v}$ को समय अंतराल $t$ से गुणा करने पर विस्थापन सदिश $\vec{d} = \vec{v}t$ प्राप्त होता है।
$\vec{v}$ की विमा = $[LT^{-1}] = m/s$
$\vec{v}t$ की विमा = $[LT^{-1}] \cdot [T] = [L] = m$

(A) जब एक सदिश $\vec{A}$ को एक अदिश $\lambda$ से गुणा किया जाता है,तो परिणामी सदिश $\vec{B} = \lambda \vec{A}$ होता है।
यदि $\lambda > 0$ है,तो नए सदिश का परिमाण $|\lambda| |\vec{A}|$ हो जाता है और दिशा $\vec{A}$ के समान रहती है।
यदि $\lambda < 0$ है,तो नए सदिश का परिमाण $|\lambda| |\vec{A}|$ हो जाता है और दिशा $\vec{A}$ की विपरीत दिशा में हो जाती है।

(A) सदिश गुणनफल $\vec{V} = \vec{B} \times \vec{C}$ एक ऐसा सदिश देता है जो $\vec{B}$ और $\vec{C}$ वाले तल के लंबवत होता है।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\vec{A} \times \vec{V}$ एक ऐसा सदिश देता है जो $\vec{A}$ और $\vec{V}$ दोनों के लंबवत होता है।
चूंकि $\vec{V}$,$\vec{B}$ और $\vec{C}$ के तल के लंबवत है,इसलिए $\vec{V}$ के लंबवत कोई भी सदिश $\vec{B}$ और $\vec{C}$ के तल में ही स्थित होना चाहिए।
अतः,$\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C})$,$\vec{B}$ और $\vec{C}$ के तल में स्थित है और $\vec{A}$ के लंबवत है।

(N/A) कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में,$\hat{i}, \hat{j}$ और $\hat{k}$ क्रमशः $X, Y$ और $Z$ अक्षों की दिशा में इकाई सदिश हैं।
$(i)$ समानांतर इकाई सदिशों के लिए:
$\hat{i} \cdot \hat{i} = |\hat{i}| |\hat{i}| \cos 0^{\circ} = (1)(1)(1) = 1$
इसी प्रकार,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$ और $\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ होता है।
$(ii)$ लंबवत इकाई सदिशों के लिए:
$\hat{i} \cdot \hat{j} = |\hat{i}| |\hat{j}| \cos 90^{\circ} = (1)(1)(0) = 0$
इसी प्रकार,$\hat{j} \cdot \hat{k} = 0$ और $\hat{k} \cdot \hat{i} = 0$ होता है।
अतः,अदिश गुणनफल इस प्रकार हैं:
$\hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$
$\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{i} = 0$

(N/A) मान लीजिए कि दो सदिश $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ को कार्तीय घटकों में इस प्रकार लिखा गया है:
$\overrightarrow{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j} + A_{z} \hat{k}$
$\overrightarrow{B} = B_{x} \hat{i} + B_{y} \hat{j} + B_{z} \hat{k}$
अतः,अदिश गुणनफल:
$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = (A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j} + A_{z} \hat{k}) \cdot (B_{x} \hat{i} + B_{y} \hat{j} + B_{z} \hat{k})$
वितरण नियम का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$= A_{x} B_{x}(\hat{i} \cdot \hat{i}) + A_{x} B_{y}(\hat{i} \cdot \hat{j}) + A_{x} B_{z}(\hat{i} \cdot \hat{k}) + A_{y} B_{x}(\hat{j} \cdot \hat{i}) + A_{y} B_{y}(\hat{j} \cdot \hat{j}) + A_{y} B_{z}(\hat{j} \cdot \hat{k}) + A_{z} B_{x}(\hat{k} \cdot \hat{i}) + A_{z} B_{y}(\hat{k} \cdot \hat{j}) + A_{z} B_{z}(\hat{k} \cdot \hat{k})$
इकाई सदिशों के गुणों का उपयोग करते हुए: $\hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ और $\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{i} = \hat{i} \cdot \hat{k} = 0$.
इन मानों को रखने पर:
$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = A_{x} B_{x} + A_{y} B_{y} + A_{z} B_{z}$

यदि $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ सदिशों के बीच का कोण $\theta$ है,तो अदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार:
$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = AB \cos \theta$
$\cos \theta$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{A}| |\overrightarrow{B}|} = \frac{\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}}{AB}$
अतः,कोण $\theta$ इस प्रकार प्राप्त होता है:
$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}}{AB} \right)$
कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में,जहाँ $\overrightarrow{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}$ और $\overrightarrow{B} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k}$ है,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$\cos \theta = \frac{A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z}{\sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2} \sqrt{B_x^2 + B_y^2 + B_z^2}}$

(N/A) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ का अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) उन दोनों सदिशों के परिमाणों और उनके बीच के कोण $\theta$ के कोज्या (cosine) के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos \theta$,जहाँ $A$ और $B$ क्रमशः सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के परिमाण हैं,और $\theta$ उनके बीच का कोण है $(0 \le \theta \le \pi)$।
अदिश गुणनफल का परिणाम एक अदिश राशि होती है।

(N/A) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ का अदिश गुणन (या डॉट प्रोडक्ट) उनके परिमाणों और उनके बीच के कोण $\theta$ के कोसाइन के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos \theta$.
अदिश गुणन से किसी सदिश $\vec{A}$ का परिमाण प्राप्त करने के लिए,हम सदिश का स्वयं के साथ डॉट प्रोडक्ट लेते हैं: $\vec{A} \cdot \vec{A} = A A \cos(0^\circ) = A^2$. अतः,परिमाण $A = \sqrt{\vec{A} \cdot \vec{A}}$ होता है।
अदिश गुणन एक अदिश राशि है,जिसका अर्थ है कि इसका केवल परिमाण होता है लेकिन कोई दिशा नहीं होती है। इसलिए,इसकी कोई दिशा नहीं होती है।

(N/A) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ का अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) $\vec{A} \cdot \vec{B} = |A||B| \cos \theta$ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $\theta$ दोनों सदिशों के बीच का कोण है।
दो सदिशों के परस्पर लंबवत होने के लिए,उनके बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ होना चाहिए।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $\vec{A} \cdot \vec{B} = |A||B| \cos(90^{\circ})$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cos(90^{\circ}) = 0$ होता है,इसलिए अदिश गुणनफल $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ हो जाता है।
अतः,दो अशून्य सदिशों के परस्पर लंबवत होने के लिए आवश्यक शर्त यह है कि उनका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए।

(A) दो सदिशों $\overrightarrow{A} = A_x\widehat{i} + A_y\widehat{j} + A_z\widehat{k}$ और $\overrightarrow{B} = B_x\widehat{i} + B_y\widehat{j} + B_z\widehat{k}$ का अदिश गुणनफल (dot product) $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\overrightarrow{A} = 2\widehat{i} - 2\widehat{j} + 0\widehat{k}$ और $\overrightarrow{B} = 0\widehat{i} + 0\widehat{j} + 2\widehat{k}$ दिया गया है।
घटकों का मान रखने पर: $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = (2)(0) + (-2)(0) + (0)(2)$.
$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = 0 + 0 + 0 = 0$.

(A) दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो,अर्थात $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$।
दिया गया है $\vec{A} = (2, -3, 1)$ और $\vec{B} = (3, 4, n)$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(2)(3) + (-3)(4) + (1)(n) = 0$।
$6 - 12 + n = 0$।
$-6 + n = 0$।
अतः,$n = 6$।

(B) यह दिया गया है कि $\vec{P} \perp \vec{Q}$,इसलिए दोनों सदिशों का अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए,अर्थात $\vec{P} \cdot \vec{Q} = 0$.
दिए गए घटकों को प्रतिस्थापित करने पर: $(k, 2, 3) \cdot (0, 3, k) = 0$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(k \times 0) + (2 \times 3) + (3 \times k) = 0$.
इसे सरल करने पर: $0 + 6 + 3k = 0$.
$k$ के लिए हल करने पर: $3k = -6$,जिससे $k = -2$ प्राप्त होता है।

(N/A) परिभाषा: दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का सदिश गुणनफल या क्रॉस गुणनफल एक अन्य सदिश $\vec{c}$ होता है,जिसका परिमाण दोनों सदिशों के परिमाण और उनके बीच के छोटे कोण की ज्या (sine) के गुणनफल के बराबर होता है।
यदि दो सदिशों का गुणनफल एक सदिश राशि प्रदान करता है,तो इस गुणनफल को सदिश गुणनफल कहा जाता है। मान लीजिए दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ हैं और उनके बीच का कोण $\theta$ है।
अतः,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta \hat{n} = ab \sin \theta \hat{n}$ होता है,जहाँ $|\vec{a}| = a$ और $|\vec{b}| = b$ है।
यहाँ,$\hat{n}$ एक एकांक सदिश है जो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ द्वारा निर्मित तल के लंबवत है।
इस गुणनफल को क्रॉस $(\times)$ गुणनफल के रूप में भी जाना जाता है।
यदि $\vec{a} \times \vec{b}$ को $\vec{c}$ द्वारा दर्शाया जाए,तो $\vec{c} = ab \sin \theta \hat{n}$ होता है।
परिणामी सदिश का परिमाण $c = ab \sin \theta$ है।
सदिश $\vec{c}$ की दिशा $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के तल के लंबवत होती है और इसकी दिशा दाएं हाथ के पेंच (screw) के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है।

(N/A) $(1)$ सदिश गुणनफल एंटी-कम्यूटेटिव (क्रम-विनिमेय का विरोधी) होता है: $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$। यह क्रम-विनिमेय नियम का पालन नहीं करता है।
$(2)$ सदिश गुणनफल योग पर वितरण नियम का पालन करता है: $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{a} \times \vec{c})$।
$(3)$ दो समांतर या प्रति-समांतर सदिशों के लिए,सदिश गुणनफल शून्य होता है: $\vec{a} \times \vec{a} = |a||a| \sin(0^{\circ}) \hat{n} = \vec{0}$।
$(4)$ दो लंबवत सदिशों के लिए,सदिश गुणनफल का परिमाण अधिकतम होता है: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |a||b| \sin(90^{\circ}) = |a||b|$।
$(5)$ दो सदिशों का सदिश गुणनफल एक स्यूडोवेक्टर (अक्षीय सदिश) है। परावर्तन के तहत,सदिश गुणनफल का चिह्न नहीं बदलता है क्योंकि दोनों सदिशों का चिह्न बदल जाता है: $(-\vec{a}) \times (-\vec{b}) = \vec{a} \times \vec{b}$।
$(6)$ कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में इकाई सदिशों के लिए: $\hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = \vec{0}$ और $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,$\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$।

(N/A) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ का सदिश गुणनफल (या क्रॉस प्रोडक्ट) एक सदिश $\vec{C}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B} = AB \sin \theta \hat{n}$ है।
यहाँ,$A$ और $B$ क्रमशः सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के परिमाण हैं,$\theta$ दोनों सदिशों के बीच का कोण है $(0^\circ \le \theta \le 180^\circ)$,और $\hat{n}$ एक इकाई सदिश है जो $\vec{A}$ और $\vec{B}$ दोनों को समाहित करने वाले तल के लंबवत है।
$\hat{n}$ की दिशा दाएं हाथ के नियम (right-hand rule) द्वारा निर्धारित की जाती है।

(N/A) दाएं हाथ के पेंच का नियम दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के सदिश गुणनफल (क्रॉस प्रोडक्ट) की दिशा निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक नियम है।
$1$. कल्पना करें कि एक दाएं हाथ का पेंच सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के प्रतिच्छेदन बिंदु पर रखा गया है,जिसकी धुरी दोनों सदिशों वाले तल के लंबवत है।
$2$. पेंच को पहले सदिश $\vec{A}$ की दिशा से दूसरे सदिश $\vec{B}$ की दिशा में उनके बीच के छोटे कोण के माध्यम से घुमाएं।
$3$. पेंच जिस दिशा में आगे बढ़ता है,वह परिणामी सदिश $\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}$ की दिशा को दर्शाता है।
$4$. यदि पेंच आगे बढ़ता है,तो दिशा तल से बाहर की ओर होती है; यदि यह पीछे जाता है,तो दिशा तल के अंदर की ओर होती है।

(A) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ का सदिश गुणनफल $\vec{A} \times \vec{B} = AB \sin \theta \hat{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
यदि सदिश समांतर हैं,तो $\theta = 0^\circ$,इसलिए $\sin 0^\circ = 0$ होता है।
यदि सदिश प्रति-समांतर हैं,तो $\theta = 180^\circ$,इसलिए $\sin 180^\circ = 0$ होता है।
दोनों ही स्थितियों में,सदिश गुणनफल $\vec{A} \times \vec{B} = 0$ होता है।

दो सदिशों का गुणनफल दो तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है: अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) और सदिश गुणनफल (क्रॉस प्रोडक्ट)।
$1$. अदिश गुणनफल को $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos \theta$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूंकि $\cos \theta = \cos(-\theta)$,इसलिए अदिश गुणनफल क्रमविनिमेय होता है,अर्थात $\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$।
$2$. सदिश गुणनफल को $\vec{A} \times \vec{B} = AB \sin \theta \hat{n}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहां $\hat{n}$ एक इकाई सदिश है जो $\vec{A}$ और $\vec{B}$ वाले तल के लंबवत होता है और इसे दाएं हाथ के नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है।
$3$. दाएं हाथ के नियम के अनुसार,$\vec{A} \times \vec{B}$ की दिशा $\vec{B} \times \vec{A}$ की दिशा के विपरीत होती है।
$4$. इसलिए,$\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A})$।
$5$. दिशा बदलने के कारण,सदिश गुणनफल प्रति-क्रमविनिमेय (anti-commutative) होता है,क्रमविनिमेय नहीं।

(B) किसी कण का रैखिक संवेग $\vec{p}$ को $\vec{p} = m\vec{v}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $\vec{v}$ वेग सदिश है।
चूंकि $m$ एक अदिश राशि है,इसलिए $\vec{p}$ हमेशा $\vec{v}$ की दिशा में ही होता है।
यदि दो सदिशों के बीच का कोण $0^\circ$ हो,तो वे समानांतर होते हैं।
दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ का क्रॉस गुणनफल $\vec{A} \times \vec{B} = |A||B| \sin(\theta) \hat{n}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v}$ और $\vec{p}$ के लिए,कोण $\theta = 0^\circ$ है,इसलिए $\sin(0^\circ) = 0$.
अतः,$\vec{v} \times \vec{p} = |v||p| \sin(0^\circ) \hat{n} = 0$.
यह सिद्ध करता है कि किसी भी कण के लिए,उसके वेग और संवेग का क्रॉस गुणनफल शून्य होता है क्योंकि वे संरेखीय होते हैं।

(A) दिया गया है $|A| = 2$ और $|B| = 4$। अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) का सूत्र $\vec A \cdot \vec B = |A||B| \cos \theta = 8 \cos \theta$ है।
$(a) \vec A \cdot \vec B = 0 \implies 8 \cos \theta = 0 \implies \cos \theta = 0 \implies \theta = 90^\circ$। यह $(ii)$ से मेल खाता है।
$(b) \vec A \cdot \vec B = 8 \implies 8 \cos \theta = 8 \implies \cos \theta = 1 \implies \theta = 0^\circ$। यह $(i)$ से मेल खाता है।
$(c) \vec A \cdot \vec B = 4 \implies 8 \cos \theta = 4 \implies \cos \theta = 1/2 \implies \theta = 60^\circ$। यह $(iv)$ से मेल खाता है।
$(d) \vec A \cdot \vec B = -8 \implies 8 \cos \theta = -8 \implies \cos \theta = -1 \implies \theta = 180^\circ$। यह $(iii)$ से मेल खाता है।

(A-IV, B-III, C-I, D-II) दिया गया है $|\vec{A}| = 2$ और $|\vec{B}| = 4$। सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta = 8 \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
$(a) |\vec{A} \times \vec{B}| = 8 \sin \theta = 0 \implies \sin \theta = 0 \implies \theta = 0^{\circ}$। यह $(iv)$ के साथ मेल खाता है।
$(b) |\vec{A} \times \vec{B}| = 8 \sin \theta = 8 \implies \sin \theta = 1 \implies \theta = 90^{\circ}$। यह $(iii)$ के साथ मेल खाता है।
$(c) |\vec{A} \times \vec{B}| = 8 \sin \theta = 4 \implies \sin \theta = 1/2 \implies \theta = 30^{\circ}$। यह $(i)$ के साथ मेल खाता है।
$(d) |\vec{A} \times \vec{B}| = 8 \sin \theta = 4\sqrt{2} \implies \sin \theta = 1/\sqrt{2} \implies \theta = 45^{\circ}$। यह $(ii)$ के साथ मेल खाता है।

(C) दो सदिशों का क्रॉस गुणनफल एंटी-कम्यूटेटिव (anti-commutative) होता है,जिसका अर्थ है $\overrightarrow{ P } \times \overrightarrow{ Q } = -(\overrightarrow{ Q } \times \overrightarrow{ P })$।
दी गई शर्त $\overrightarrow{ P } \times \overrightarrow{ Q } = \overrightarrow{ Q } \times \overrightarrow{ P }$ के अनुसार,हम एंटी-कम्यूटेटिव गुण का उपयोग करते हुए लिख सकते हैं:
$-(\overrightarrow{ Q } \times \overrightarrow{ P }) = \overrightarrow{ Q } \times \overrightarrow{ P }$।
इसका तात्पर्य है कि $2(\overrightarrow{ Q } \times \overrightarrow{ P }) = 0$,इसलिए $\overrightarrow{ Q } \times \overrightarrow{ P } = 0$।
क्रॉस गुणनफल का परिमाण $|\overrightarrow{ Q } \times \overrightarrow{ P }| = PQ \sin \theta = 0$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $P$ और $Q$ शून्यतर सदिश हैं,इसलिए $\sin \theta = 0$ होगा।
$0^{\circ} < \theta < 360^{\circ}$ की सीमा में,$\theta = 180^{\circ}$ पर $\sin \theta = 0$ होता है (क्योंकि $0^{\circ}$ और $360^{\circ}$ को शामिल नहीं किया गया है)।
अतः,$\theta$ का मान $180^{\circ}$ है।

(A) दिया गया संबंध $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A} \times \vec{B}|$ है।
अदिश और सदिश गुणन की परिभाषा का उपयोग करते हुए: $AB \cos \theta = AB \sin \theta$.
दोनों पक्षों को $AB$ से विभाजित करने पर ($A, B \neq 0$ मानते हुए),हमें $\cos \theta = \sin \theta$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan \theta = 1$,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$।
सदिश अंतर का परिमाण $|\vec{A} - \vec{B}|$ सूत्र $\sqrt{A^{2} + B^{2} - 2AB \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = 45^{\circ}$ रखने पर,हमें $\sqrt{A^{2} + B^{2} - 2AB \cos 45^{\circ}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए व्यंजक $\sqrt{A^{2} + B^{2} - 2AB \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{A^{2} + B^{2} - \sqrt{2}AB}$ हो जाता है।

(A) दिए गए सदिश $A = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$,$B = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $C = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ हैं।
सदिश $X = \alpha A + \beta B = \alpha(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) + \beta(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$.
$X$ को सरल करने पर,$X = (\alpha + \beta)\hat{i} + (\alpha - \beta)\hat{j} + (-2\alpha + \beta)\hat{k}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $X$,$C$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए: $X \cdot C = 0$.
$(\alpha + \beta)(2) + (\alpha - \beta)(-3) + (-2\alpha + \beta)(4) = 0$.
पदों का विस्तार करने पर: $2\alpha + 2\beta - 3\alpha + 3\beta - 8\alpha + 4\beta = 0$.
समान पदों को जोड़ने पर: $(2 - 3 - 8)\alpha + (2 + 3 + 4)\beta = 0$.
$-9\alpha + 9\beta = 0$.
$-9\alpha = -9\beta$,जिसका अर्थ है कि $\alpha = \beta$.
अतः,अनुपात $\alpha : \beta = 1 : 1$ है।

(B) सदिश $\vec{A}$ का सदिश $\vec{B}$ पर प्रक्षेप निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{Proj}_{\vec{B}} \vec{A} = \left( \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|} \right) \hat{B}$,जहाँ $\hat{B}$ सदिश $\vec{B}$ की दिशा में इकाई सदिश है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल (dot product) की गणना करें: $\vec{A} \cdot \vec{B} = (1)(1) + (1)(1) + (1)(0) = 1 + 1 = 2$.
इसके बाद,$\vec{B}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{B}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
अब,इकाई सदिश $\hat{B} = \frac{\vec{B}}{|\vec{B}|} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$.
अंत में,इन मानों को प्रक्षेप के सूत्र में रखने पर:
$\text{Proj}_{\vec{B}} \vec{A} = \left( \frac{2}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} \cdot \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} = \hat{i} + \hat{j}$.

(D) कण $P$ की गति की दिशा सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ वाले तल के लंबवत है। अतः,इकाई सदिश $\hat{v}_1 = \pm \frac{\vec{A} \times \vec{B}}{|\vec{A} \times \vec{B}|}$ द्वारा दिया जाता है।
क्रॉस उत्पाद की गणना करने पर: $\vec{A} \times \vec{B} = (\hat{i} + \hat{j}) \times (\hat{j} + \hat{k}) = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
अतः,$\hat{v}_1 = \pm \frac{\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$.
कण $Q$ की गति की दिशा सदिश $\vec{A}$ और $\vec{C}$ वाले तल के लंबवत है। अतः,$\hat{v}_2 = \pm \frac{\vec{A} \times \vec{C}}{|\vec{A} \times \vec{C}|}$.
क्रॉस उत्पाद की गणना करने पर: $\vec{A} \times \vec{C} = (\hat{i} + \hat{j}) \times (-\hat{i} + \hat{j}) = 2\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{A} \times \vec{C}| = 2$ है।
अतः,$\hat{v}_2 = \pm \hat{k}$.
$\hat{v}_1$ और $\hat{v}_2$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = |\hat{v}_1 \cdot \hat{v}_2| = \frac{1}{\sqrt{3}}$ द्वारा प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{x}}$ से करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $|\vec{A}| = c$,जहाँ $c$ एक शून्येतर स्थिरांक है।
किसी भी सदिश का स्वयं के साथ सदिश गुणन (cross product) इस प्रकार परिभाषित होता है: $\vec{A} \times \vec{A} = |\vec{A}| |\vec{A}| \sin(\theta) \hat{n}$,जहाँ $\theta$ सदिश और स्वयं के बीच का कोण है।
चूंकि एक सदिश और स्वयं के बीच का कोण $0^{\circ}$ होता है,इसलिए $\theta = 0^{\circ}$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\vec{A} \times \vec{A} = |\vec{A}|^2 \sin(0^{\circ}) \hat{n}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin(0^{\circ}) = 0$ है,इसलिए व्यंजक $\vec{A} \times \vec{A} = 0$ हो जाता है।

(A) दिए गए सदिश $\overrightarrow{A} = (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) \; m$ और $\overrightarrow{B} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) \; m$ हैं।
सदिश $\overrightarrow{A}$ का सदिश $\overrightarrow{B}$ की दिशा में घटक का सूत्र है: $\text{घटक} = \overrightarrow{A} \cdot \hat{B} = \frac{\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{B}|}$।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = (2)(1) + (3)(2) + (-1)(2) = 2 + 6 - 2 = 6$।
इसके बाद,सदिश $\overrightarrow{B}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\overrightarrow{B}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$।
अंत में,घटक का मान ज्ञात करें:
$\text{घटक} = \frac{6}{3} = 2 \; m$।

(C) सदिश $\vec{A}$ का सदिश $\vec{B}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि प्रक्षेप शून्य है,इसलिए $\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|} = 0$,जिसका अर्थ है कि $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$.
मान लीजिए $\vec{A} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 2 \hat{k}$ और $\vec{B} = \hat{i} + 2 \hat{j} + \alpha \hat{k}$.
डॉट प्रोडक्ट लेने पर: $(2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 2 \hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2 \hat{j} + \alpha \hat{k}) = 0$.
$(2)(1) + (4)(2) + (-2)(\alpha) = 0$.
$2 + 8 - 2\alpha = 0$.
$10 - 2\alpha = 0$.
$2\alpha = 10$.
$\alpha = 5$.

(D) दिए गए समीकरण $F = (\hat{n} \cdot F) \hat{n} + G$ से,हम $G$ को $G = F - (\hat{n} \cdot F) \hat{n}$ के रूप में लिख सकते हैं।
सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका $A \times (B \times C) = B(A \cdot C) - C(A \cdot B)$ का उपयोग करके,हम $(\hat{n} \times F) \times \hat{n}$ का मूल्यांकन करते हैं।
ध्यान दें कि $(\hat{n} \times F) \times \hat{n} = -\hat{n} \times (\hat{n} \times F)$ होता है।
सर्वसमिका लागू करने पर: $-\hat{n} \times (\hat{n} \times F) = -[\hat{n}(\hat{n} \cdot F) - F(\hat{n} \cdot \hat{n})]$।
चूंकि $\hat{n}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $\hat{n} \cdot \hat{n} = 1$ होता है।
अतः,$-\hat{n}(\hat{n} \cdot F) + F(1) = F - (\hat{n} \cdot F) \hat{n}$।
इस परिणाम की तुलना $G$ के समीकरण से करने पर,हमें $G = (\hat{n} \times F) \times \hat{n}$ प्राप्त होता है।

(D) दो सदिशों का सदिश गुणनफल एंटी-कम्यूटेटिव (anticommutative) होता है,जिसका अर्थ है कि $\vec{M} \times \vec{N} = -(\vec{N} \times \vec{M})$।
इसका तात्पर्य यह है कि सदिश $(\vec{M} \times \vec{N})$ और सदिश $(\vec{N} \times \vec{M})$ बिल्कुल विपरीत दिशाओं में इंगित करते हैं।
चूंकि ये सदिश प्रति-समांतर (antiparallel) हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $180^{\circ}$ है।