Mix Examples-Straight Line Questions in Hindi

(B) बिंदु $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ संरेख होते हैं यदि उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ हो।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$
दिए गए बिंदुओं $(1, 1)$,$(0, \sec^2 \theta)$ और $(\csc^2 \theta, 0)$ को रखने पर:
$\frac{1}{2} |1(\sec^2 \theta - 0) + 0(0 - 1) + \csc^2 \theta(1 - \sec^2 \theta)| = 0$
$\sec^2 \theta + \csc^2 \theta - \csc^2 \theta \sec^2 \theta = 0$
$\frac{1}{\cos^2 \theta} + \frac{1}{\sin^2 \theta} - \frac{1}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = 0$
$\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} - \frac{1}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = 0$
$\frac{1}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} - \frac{1}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = 0$
यह सर्वसमिका $0 = 0$ सभी $\theta$ के लिए सत्य है जहाँ $\sec \theta$ और $\csc \theta$ परिभाषित हैं।
अतः,$\theta = \frac{n\pi}{2}$ को छोड़कर सभी $\theta$ के लिए बिंदु संरेख हैं।

(A) माना बिंदु $M(1, 5)$ से गुजरने वाली रेखा $\frac{x - 1}{\cos \theta} = \frac{y - 5}{\sin \theta} = r$ है।
चूंकि रेखाखंड $M(1, 5)$ पर समद्विभाजित होता है,इसलिए अंतिम बिंदु $A$ और $B$,$M$ से $r = d$ और $r = -d$ की दूरी पर हैं।
बिंदु $A$ $(1 + d \cos \theta, 5 + d \sin \theta)$ है और यह $5x - y - 4 = 0$ पर स्थित है।
$A$ को पहली रेखा में रखने पर: $5(1 + d \cos \theta) - (5 + d \sin \theta) - 4 = 0 \implies 5d \cos \theta - d \sin \theta = 4$.
बिंदु $B$ $(1 - d \cos \theta, 5 - d \sin \theta)$ है और यह $3x + 4y - 4 = 0$ पर स्थित है।
$B$ को दूसरी रेखा में रखने पर: $3(1 - d \cos \theta) + 4(5 - d \sin \theta) - 4 = 0 \implies 3d \cos \theta + 4d \sin \theta = 19$.
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $d \cos \theta = \frac{35}{23}$ और $d \sin \theta = \frac{83}{23}$ प्राप्त होता है।
रेखा की ढाल $m = \frac{83}{35}$ है।
बिंदु $(1, 5)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - 5 = \frac{83}{35}(x - 1)$ अर्थात $83x - 35y + 92 = 0$ है।

(A) माध्यिका शीर्ष $A$ से गुजरती है,जो रेखाओं $px + qy - 1 = 0$ और $qx + py - 1 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
इन दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाली किसी भी रेखा का समीकरण $(px + qy - 1) + \lambda(qx + py - 1) = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ एक स्थिरांक है।
चूँकि माध्यिका आधार $BC$ के मध्य बिंदु $(p, q)$ से भी गुजरती है,हम इस बिंदु को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(p(p) + q(q) - 1) + \lambda(q(p) + p(q) - 1) = 0$
$(p^2 + q^2 - 1) + \lambda(2pq - 1) = 0$
$\lambda = -\frac{p^2 + q^2 - 1}{2pq - 1}$.
$\lambda$ का मान समीकरण में रखने पर:
$(px + qy - 1) - \frac{p^2 + q^2 - 1}{2pq - 1}(qx + py - 1) = 0$
$(2pq - 1)(px + qy - 1) = (p^2 + q^2 - 1)(qx + py - 1)$.

(C) दी गई रेखाएं $L_1: 2x + y + 6 = 0$ और $L_2: 4x + 2y - 9 = 0$ हैं। ये रेखाएं समांतर हैं।
इन रेखाओं पर लंबवत रेखा का समीकरण $x - 2y = 0$ होगा क्योंकि यह मूल बिंदु से गुजरती है।
रेखा $x - 2y = 0$ और $2x + y + 6 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $P = (-12/5, -6/5)$ है।
रेखा $x - 2y = 0$ और $4x + 2y - 9 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $Q = (9/5, 9/10)$ है।
माना मूल बिंदु $(0, 0)$ रेखाखंड $PQ$ को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है,विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$0 = \frac{\lambda(9/5) + 1(-12/5)}{\lambda + 1}$ $\Rightarrow 9\lambda = 12$ $\Rightarrow \lambda = 4/3$.
अतः,अनुपात $4 : 3$ है।

(C) रेखा $2x + 3y = 12$,$y$-अक्ष को $B$ पर काटती है जहाँ $x=0$,अतः $B = (0, 4)$ है।
रेखा $2x + 3y = 12$ की ढाल $m_1 = -\frac{2}{3}$ है।
$AB$ के लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{3}{2}$ है।
$(5, 5)$ से गुजरने वाली और $\frac{3}{2}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 5 = \frac{3}{2}(x - 5)$ है,जो $3x - 2y = 5$ में सरल हो जाता है।
यह रेखा $x$-अक्ष को $C$ पर काटती है जहाँ $y=0$,अतः $3x = 5 \implies C = (\frac{5}{3}, 0)$ है।
$E$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों को हल करते हैं:
$2x + 3y = 12$ $(i)$
$3x - 2y = 5$ (ii)
$(i)$ को $2$ से और (ii) को $3$ से गुणा करने पर: $4x + 6y = 24$ और $9x - 6y = 15$ प्राप्त होता है।
जोड़ने पर $13x = 39 \implies x = 3$ मिलता है। $(i)$ में $x=3$ रखने पर,$6 + 3y = 12 \implies 3y = 6 \implies y = 2$ मिलता है। अतः $E = (3, 2)$ है।
चतुर्भुज $OCEB$ का क्षेत्रफल $\Delta OCE$ और $\Delta OEB$ में विभाजित करके निकाला जा सकता है।
$\Delta OCE$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_O(y_C - y_E) + x_C(y_E - y_O) + x_E(y_O - y_C)| = \frac{1}{2} |0 + \frac{5}{3}(2 - 0) + 3(0 - 0)| = \frac{5}{3}$ है।
$\Delta OEB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_O(y_E - y_B) + x_E(y_B - y_O) + x_B(y_O - y_E)| = \frac{1}{2} |0 + 3(4 - 0) + 0| = 6$ है।
कुल क्षेत्रफल $= \frac{5}{3} + 6 = \frac{23}{3} \text{ वर्ग इकाई}$।

(A) दी गई रेखाएँ $3x + 4y = 9$ और $y = mx + 1$ हैं।
दूसरे समीकरण से $y$ का मान पहले समीकरण में रखने पर:
$3x + 4(mx + 1) = 9$
$3x + 4mx + 4 = 9$
$x(3 + 4m) = 5$
$x = \frac{5}{3 + 4m}$
$x$ को पूर्णांक होने के लिए,$(3 + 4m)$ को $5$ का भाजक होना चाहिए। $5$ के भाजक $\pm 1$ और $\pm 5$ हैं।
स्थिति $1$: $3 + 4m = 1 \implies 4m = -2 \implies m = -0.5$ (पूर्णांक नहीं है)।
स्थिति $2$: $3 + 4m = -1 \implies 4m = -4 \implies m = -1$ (पूर्णांक है)।
स्थिति $3$: $3 + 4m = 5 \implies 4m = 2 \implies m = 0.5$ (पूर्णांक नहीं है)।
स्थिति $4$: $3 + 4m = -5 \implies 4m = -8 \implies m = -2$ (पूर्णांक है)।
$m$ के पूर्णांक मान $-1$ और $-2$ हैं। अतः,ऐसे $2$ मान संभव हैं।

(D) त्रिभुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजक परिकेंद्र $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$x - y + 5 = 0$ और $x + 2y = 0$ को हल करने पर,परिकेंद्र $O = (-\frac{10}{3}, \frac{5}{3})$ प्राप्त होता है।
रेखा $x - y + 5 = 0$ के सापेक्ष बिंदु $A(1, -2)$ का प्रतिबिंब $B(-7, 6)$ है।
रेखा $x + 2y = 0$ के सापेक्ष बिंदु $A(1, -2)$ का प्रतिबिंब $C(\frac{11}{5}, \frac{2}{5})$ है।
बिंदुओं $B$ और $C$ से गुजरने वाली रेखा $BC$ का समीकरण $14x + 23y - 40 = 0$ है।

(A) माना शीर्ष $A(-1, 2)$ है और आधार $BC$ का समीकरण $2x - y - 1 = 0$ है।
शीर्ष $A$ से आधार $BC$ पर डाला गया लंब $AD$,बिंदु $A$ से रेखा $2x - y - 1 = 0$ की लंबवत दूरी है।
$AD = \left| \frac{2(-1) - (2) - 1}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \right| = \left| \frac{-2 - 2 - 1}{\sqrt{5}} \right| = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$.
एक समबाहु त्रिभुज में,लंब $AD$ और भुजा की लंबाई $s$ के बीच संबंध $AD = s \sin(60^o) = s \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है।
अतः,$\sqrt{5} = s \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow s = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 \times 5}{3}} = \sqrt{\frac{20}{3}}$.

(A) माना सार्व अनुपात $r$ है। चूंकि ${x_1}, {x_2}, {x_3}$ $G$.$P$. में हैं,इसलिए ${x_2} = {x_1}r$ और ${x_3} = {x_1}r^2$ है।
इसी प्रकार,चूंकि ${y_1}, {y_2}, {y_3}$ समान सार्व अनुपात $r$ के साथ $G$.$P$. में हैं,इसलिए ${y_2} = {y_1}r$ और ${y_3} = {y_1}r^2$ है।
बिंदु $P_1 = ({x_1}, {y_1})$,$P_2 = ({x_1}r, {y_1}r)$,और $P_3 = ({x_1}r^2, {y_1}r^2)$ हैं।
ध्यान दें कि सभी बिंदुओं के लिए $y$-निर्देशांक और $x$-निर्देशांक का अनुपात स्थिर है: $\frac{{y_1}}{{x_1}} = \frac{{y_1}r}{{x_1}r} = \frac{{y_1}r^2}{{x_1}r^2} = m$ (जहाँ $m = \frac{{y_1}}{{x_1}}$)।
यह दर्शाता है कि तीनों बिंदु रैखिक समीकरण $y = mx$ को संतुष्ट करते हैं,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

(A) $AB$ और $BC$ की ढाल क्रमशः $-4$ और $\frac{3}{4}$ है। मान लीजिए $AB$ और $BC$ के बीच का कोण $\alpha$ है। तब,$\tan \alpha = \left| \frac{-4 - \frac{3}{4}}{1 + (-4)(\frac{3}{4})} \right| = \frac{19}{8}$.
चूंकि $AB = AC$,त्रिभुज $ABC$ समद्विबाहु है,इसलिए $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$। अतः,रेखा $AC$ भी रेखा $BC$ के साथ $\alpha$ कोण बनाती है। मान लीजिए $AC$ की ढाल $m$ है। बिंदु $A(2, -7)$ से गुजरने वाली रेखा $AC$ का समीकरण $y + 7 = m(x - 2)$ है।
$\tan \alpha = \left| \frac{m - \frac{3}{4}}{1 + m(\frac{3}{4})} \right| = \frac{19}{8}$.
$\frac{4m - 3}{4 + 3m} = \pm \frac{19}{8}$.
स्थिति $1$: $m = -4$ (यह $AB$ की ढाल है)।
स्थिति $2$: $m = -\frac{52}{89}$।
$m = -\frac{52}{89}$ का उपयोग करने पर,$y + 7 = -\frac{52}{89}(x - 2)$ $\Rightarrow 89y + 623 = -52x + 104$ $\Rightarrow 52x + 89y + 519 = 0$।

(B) रेखाएँ $ax + by + p = 0$ और $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ के बीच का कोण $\pi / 4$ है।
अतः,$\tan(\pi / 4) = \left| \frac{(-a/b) - (-\cos \alpha / \sin \alpha)}{1 + (-a/b)(-\cos \alpha / \sin \alpha)} \right| = 1$.
यह $|-a \sin \alpha + b \cos \alpha| = |b \sin \alpha + a \cos \alpha|$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 \sin^2 \alpha + b^2 \cos^2 \alpha - 2ab \sin \alpha \cos \alpha = b^2 \sin^2 \alpha + a^2 \cos^2 \alpha + 2ab \sin \alpha \cos \alpha$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $(a^2 - b^2)(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) = 4ab \sin \alpha \cos \alpha$ मिलता है।
चूंकि रेखाएँ $x \sin \alpha - y \cos \alpha = 0$ के साथ संगामी हैं,इसलिए सारणिक शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} a & b & p \\ \cos \alpha & \sin \alpha & -p \\ \sin \alpha & -\cos \alpha & 0 \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $-ap \cos \alpha - bp \sin \alpha - p = 0 \implies a \cos \alpha + b \sin \alpha = -1$ प्राप्त होता है।
इसका वर्ग करने पर: $a^2 \cos^2 \alpha + b^2 \sin^2 \alpha + 2ab \sin \alpha \cos \alpha = 1$ मिलता है।
शर्तों का उपयोग करने पर,$a^2 + b^2 = 2$ प्राप्त होता है।

(A) सबसे पहले,रेखाओं $4x + y - 1 = 0$ और $7x - 3y - 35 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
पहले समीकरण को $3$ से गुणा करने पर,हमें $12x + 3y - 3 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे $7x - 3y - 35 = 0$ में जोड़ने पर,हमें $19x - 38 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 2$।
$x = 2$ को $4x + y - 1 = 0$ में रखने पर,हमें $4(2) + y - 1 = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = -7$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, -7)$ है।
$(3, 5)$ और $(2, -7)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{-7 - 5}{2 - 3} = \frac{-12}{-1} = 12$ है।
रेखा का समीकरण $y - 5 = 12(x - 3)$ है,जो $12x - y - 31 = 0$ में सरल हो जाता है।
इस रेखा की $(0, 0)$ से दूरी $d_1 = \frac{|12(0) - 0 - 31|}{\sqrt{12^2 + (-1)^2}} = \frac{31}{\sqrt{145}}$ है।
इस रेखा की $(8, 34)$ से दूरी $d_2 = \frac{|12(8) - 34 - 31|}{\sqrt{12^2 + (-1)^2}} = \frac{|96 - 65|}{\sqrt{145}} = \frac{31}{\sqrt{145}}$ है।
चूंकि $d_1 = d_2$,कथन सही है।

(B) के निर्देशांक $(0, 12)$ और $B$ के निर्देशांक $(8, 0)$ हैं।
$AB$ का मध्यबिंदु $M(4, 6)$ है।
$AB$ की ढाल $-\frac{3}{2}$ है,इसलिए लंब समद्विभाजक की ढाल $\frac{2}{3}$ है।
लंब समद्विभाजक का समीकरण $y - 6 = \frac{2}{3}(x - 4)$ यानी $2x - 3y + 10 = 0$ है।
$(0, -1)$ से गुजरने वाली और $x$-अक्ष के समानांतर रेखा $y = -1$ है।
$y = -1$ को लंब समद्विभाजक में रखने पर,$2x - 3(-1) + 10 = 0 \implies x = -\frac{13}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः $C$ के निर्देशांक $\left(-\frac{13}{2}, -1\right)$ हैं।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |0(0 - (-1)) + 8(-1 - 12) + (-\frac{13}{2})(12 - 0)| = 91 \, sq. \, units$ है।

(A) माना मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाएँ $y = mx$ हैं। ये रेखाएँ रेखा $2x + 3y = 6$ (जिसका ढाल $m_1 = -2/3$ है) के साथ $\pm 45^\circ$ का कोण बनाती हैं।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m m_1} \right|$ का उपयोग करने पर:
$\tan(\pm 45^\circ) = \frac{m - (-2/3)}{1 + m(-2/3)} = \pm 1$
$\frac{3m + 2}{3 - 2m} = \pm 1$
स्थिति $1$: $3m + 2 = 3 - 2m$ $\Rightarrow 5m = 1$ $\Rightarrow m = 1/5$.
रेखा $x - 5y = 0$ है।
स्थिति $2$: $3m + 2 = -(3 - 2m) \Rightarrow m = -5$.
रेखा $5x + y = 0$ है।
त्रिभुज के शीर्ष $(0,0)$,$(\frac{30}{13}, \frac{6}{13})$ और $(-\frac{6}{13}, \frac{30}{13})$ हैं।
क्षेत्रफल $\Delta = \frac{36}{13}$ प्राप्त होता है।

(C) माना अभीष्ट रेखाओं की ढाल $m$ है। दी गई रेखा $x + y = 2$ है,जिसकी ढाल $m_1 = -1$ है।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,भुजाओं के बीच का कोण $60^\circ$ है।
सूत्र $\tan \theta = |\frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}|$ का उपयोग करने पर:
$\tan 60^\circ = |\frac{m - (-1)}{1 + m(-1)}|$
$\sqrt{3} = |\frac{m + 1}{1 - m}|$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$1) \sqrt{3} = \frac{m + 1}{1 - m} \Rightarrow m = 2 - \sqrt{3}$
$2) -\sqrt{3} = \frac{m + 1}{1 - m} \Rightarrow m = 2 + \sqrt{3}$
बिंदु $(2, 3)$ का उपयोग करते हुए बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ से:
$y - 3 = (2 \pm \sqrt{3})(x - 2)$.

(A) रेखाओं $x - 3y + 1 = 0$ और $2x + 5y - 9 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाली रेखाओं का परिवार $(x - 3y + 1) + \lambda(2x + 5y - 9) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
यह $(1 + 2\lambda)x + (5\lambda - 3)y + (1 - 9\lambda) = 0$ में सरल हो जाता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी $\sqrt{5}$ दी गई है।
सूत्र $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ का उपयोग करते हुए,$\frac{|1 - 9\lambda|}{\sqrt{(1 + 2\lambda)^2 + (5\lambda - 3)^2}} = \sqrt{5}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{(1 - 9\lambda)^2}{(1 + 2\lambda)^2 + (5\lambda - 3)^2} = 5$.
सरल करने पर $64\lambda^2 - 112\lambda + 49 = 0$ प्राप्त होता है।
$(8\lambda - 7)^2 = 0$,जिससे $\lambda = \frac{7}{8}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $\lambda = \frac{7}{8}$ रखने पर: $(x - 3y + 1) + \frac{7}{8}(2x + 5y - 9) = 0$.
$8x - 24y + 8 + 14x + 35y - 63 = 0$.
$22x + 11y - 55 = 0$.
$11$ से विभाजित करने पर,$2x + y - 5 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ पर लंब की लंबाई $p = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
पहली रेखा $x \sec \alpha + y \csc \alpha - 2a = 0$ के लिए,$p_1 = \frac{|-2a|}{\sqrt{\sec^2 \alpha + \csc^2 \alpha}} = |a \sin 2\alpha|$।
अतः,$p_1^2 = a^2 \sin^2 2\alpha$।
दूसरी रेखा $x \cos \alpha - y \sin \alpha - a \cos 2\alpha = 0$ के लिए,$p_2 = \frac{|-a \cos 2\alpha|}{\sqrt{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}} = |a \cos 2\alpha|$।
अतः,$p_2^2 = a^2 \cos^2 2\alpha$।
अब,$\left( \frac{p_1}{p_2} + \frac{p_2}{p_1} \right)^2 = \frac{(p_1^2 + p_2^2)^2}{p_1^2 p_2^2} = \frac{(a^2 \sin^2 2\alpha + a^2 \cos^2 2\alpha)^2}{a^4 \sin^2 2\alpha \cos^2 2\alpha} = \frac{1}{\sin^2 2\alpha \cos^2 2\alpha} = \frac{4}{\sin^2 4\alpha} = 4 \csc^2 4\alpha$।

(C) $P(1, 1)$ से गुजरने वाली और $\theta$ कोण वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - 1}{\cos\theta} = \frac{y - 1}{\sin\theta} = r$ है।
$A$ के निर्देशांक $(1 - \cot\theta, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(0, 1 - \tan\theta)$ हैं।
$AB^2 = OP^2$ दिया गया है,इसलिए $(1 - \cot\theta)^2 + (1 - \tan\theta)^2 = 1^2 + 1^2 = 2$।
विस्तार करने पर: $2 - 2(\cot\theta + \tan\theta) + (\cot^2\theta + \tan^2\theta) = 2$।
माना $u = \tan\theta + \cot\theta$। अतः $u^2 - 2 - 2u = 0 \Rightarrow u^2 - 2u - 2 = 0$।
हल करने पर: $u = 1 \pm \sqrt{3}$।
चूँकि $|\tan\theta + \cot\theta| \ge 2$,इसलिए $1 - \sqrt{3}$ संभव नहीं है।
अतः,$\tan\theta + \cot\theta = 1 + \sqrt{3}$।

(D) रेखा पर किसी भी बिंदु $P$ के लिए,$|PA - PB|$ का अधिकतम मान $AB$ होता है,जो तब प्राप्त होता है जब $P, A, B$ संरेख (collinear) हों।
$|PA - PB|$ को अधिकतम करने के लिए,$P$ को रेखा $AB$ और दी गई रेखा $4x + 3y + 9 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु होना चाहिए।
$(0, 1)$ और $(2, 0)$ से गुजरने वाली रेखा $AB$ का समीकरण $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} = 1$ है,जो $x + 2y = 2$ के रूप में सरल होता है।
हम समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं:
$4x + 3y = -9$ $(1)$
$x + 2y = 2$ $(2)$
$(2)$ से,$x = 2 - 2y$। $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$4(2 - 2y) + 3y = -9$
$8 - 8y + 3y = -9$
$-5y = -17 \implies y = \frac{17}{5}$।
$y = \frac{17}{5}$ को $x = 2 - 2y$ में रखने पर:
$x = 2 - 2\left(\frac{17}{5}\right) = 2 - \frac{34}{5} = -\frac{24}{5}$।
अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $\left( -\frac{24}{5}, \frac{17}{5} \right)$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण $16a^2 - 40ab + 25b^2 - c^2 = 0$ है।
इसे $(4a - 5b)^2 - c^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सर्वसमिका $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ का उपयोग करने पर,हमें $(4a - 5b - c)(4a - 5b + c) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $4a - 5b - c = 0$ या $4a - 5b + c = 0$ है।
हम इनकी तुलना रेखा के समीकरण $ax + by + c = 0$ से करते हैं।
स्थिति $1$: $4a - 5b + c = 0$ को $a(4) + b(-5) + c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है। $ax + by + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $(x, y) = (4, -5)$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $4a - 5b - c = 0$ को $a(-4) + b(5) + c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है। $ax + by + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $(x, y) = (-4, 5)$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा $(4, -5)$ और $(-4, 5)$ से होकर गुजरती है।

(C) दिए गए समीकरण $x + y = |a|$ और $ax - y = 1$ हैं।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,$(1 + a)x = |a| + 1$,जिससे $x = \frac{|a| + 1}{a + 1}$ प्राप्त होता है।
$x$ का मान पहले समीकरण में रखने पर,$y = |a| - x = |a| - \frac{|a| + 1}{a + 1} = \frac{a|a| - 1}{a + 1}$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु प्रथम चतुर्थांश में होने के लिए $x > 0$ और $y > 0$ होना चाहिए।
$x = \frac{|a| + 1}{a + 1} > 0$ के लिए,$a + 1 > 0$ अर्थात $a > -1$ होना चाहिए।
$y = \frac{a|a| - 1}{a + 1} > 0$ के लिए,$a|a| - 1 > 0$ अर्थात $a|a| > 1$ होना चाहिए।
यदि $a > 0$ है,तो $a^2 > 1$,जिसका अर्थ है $a > 1$।
अतः,$a$ के संभावित मानों का अंतराल $(1, \infty)$ है।

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,इसलिए हमारे पास संबंध $2b = a + c$ है,जिसे $a - 2b + c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सरल रेखा का समीकरण $ax + by + c = 0$ है।
इसे शर्त $a(1) + b(-2) + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि रेखा बिंदु $(x, y) = (1, -2)$ के लिए समीकरण को संतुष्ट करती है।
अतः,रेखा $ax + by + c = 0$ हमेशा बिंदु $(1, -2)$ से होकर गुजरती है।

(A) रेखा $AB$ की ढाल $m = \frac{1-0}{3-2} = 1$ है।
चूंकि $m = \tan \theta = 1$,इसलिए झुकाव का कोण $\theta = 45^\circ$ है।
जब रेखा को $A$ के परितः वामावर्त दिशा में $15^\circ$ घुमाया जाता है,तो नया झुकाव कोण $\theta' = 45^\circ + 15^\circ = 60^\circ$ हो जाता है।
नई रेखा की ढाल $m' = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$ है।
रेखा बिंदु $A(2,0)$ से होकर गुजरती है,इसलिए समीकरण $y - 0 = \sqrt{3}(x - 2)$ होगा।
$y = \sqrt{3}x - 2\sqrt{3}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{3}x - y - 2\sqrt{3} = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना कर्ण के सम्मुख शीर्ष $B(2, 2)$ है। चूंकि त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है,आधार के कोण $45^\circ$ हैं।
$B(2, 2)$ से गुजरने वाली एक भुजा की ढाल $m$ मानिए।
इस भुजा का समीकरण $y - 2 = m(x - 2)$ है।
इस रेखा और कर्ण $3x + 4y - 4 = 0$ के बीच का कोण $45^\circ$ है।
$\tan 45^\circ = \left| \frac{m - (-3/4)}{1 + m(-3/4)} \right| = 1$
$\left| \frac{4m + 3}{4 - 3m} \right| = 1$
इससे $m = 1/7$ या $m = -7$ प्राप्त होता है।
$m = 1/7$ रखने पर,$y - 2 = \frac{1}{7}(x - 2) \Rightarrow x - 7y + 12 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) रेखाओं का समीकरण $y = \sqrt{3}|x| + 2$ है।
यह दो रेखाओं को दर्शाता है: $x \ge 0$ के लिए $y = \sqrt{3}x + 2$ और $x < 0$ के लिए $y = -\sqrt{3}x + 2$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ $(0, 2)$ है।
रेखाओं और $y$-अक्ष (जो कोण समद्विभाजक है) के बीच का कोण ढाल से ज्ञात किया जा सकता है। $y = \sqrt{3}x + 2$ के लिए,ढाल $\sqrt{3}$ है,इसलिए $x$-अक्ष के साथ कोण $60^\circ$ है। $y$-अक्ष के साथ कोण $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ है।
मान लीजिए $P$ रेखा पर एक बिंदु है जो $AP = 5$ की दूरी पर है।
$P$ से $y$-अक्ष पर डाले गए लंब का पाद $M$,$y$-अक्ष पर स्थित है।
दूरी $AM = AP \cos(30^\circ) = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$।
चूंकि $A$ $(0, 2)$ पर है और रेखाएं ऊपर की ओर विस्तारित हैं,$M$ का $y$-निर्देशांक $2 + \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{4 + 5\sqrt{3}}{2}$ है।
अतः,$M$ के निर्देशांक $\left(0, \frac{4 + 5\sqrt{3}}{2}\right)$ हैं।

(B) माना वर्ग के शीर्ष $O(0,0)$,$A(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$,$B$,और $C$ हैं।
चूंकि भुजा $OA$,$x$-अक्ष के साथ $\alpha$ का कोण बनाती है,इसलिए इसके निर्देशांक $A(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ हैं।
विकर्ण $OB$,$x$-अक्ष के साथ $\alpha + \frac{\pi}{4}$ का कोण बनाता है।
$OB$ की ढाल $\tan(\alpha + \frac{\pi}{4})$ है।
विकर्ण $AC$,$OB$ पर लंबवत है।
$AC$ की ढाल $-\cot(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$ है।
$A(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ से गुजरने वाली रेखा $AC$ का समीकरण:
$y - a \sin \alpha = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} (x - a \cos \alpha)$
गणना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y(\cos \alpha + \sin \alpha) - x(\sin \alpha - \cos \alpha) = a$.

(B) त्रिभुज के शीर्ष $(0, 0)$,$(0, 21)$ और $(21, 0)$ हैं।
आंतरिक बिंदुओं $(x, y)$ को $x > 0$,$y > 0$ और $x + y < 21$ को संतुष्ट करना चाहिए।
एक निश्चित $x$ के लिए,$y$ का मान $1$ से $21 - x - 1 = 20 - x$ तक हो सकता है।
चूँकि $y > 0$,इसलिए $20 - x \geq 1$ होना चाहिए,अतः $x$ का मान $1$ से $19$ तक हो सकता है।
प्रत्येक $x \in \{1, 2, \dots, 19\}$ के लिए,$y$ के संभावित मानों की संख्या $20 - x$ है।
पूर्णांक बिंदुओं की कुल संख्या $\sum_{x=1}^{19} (20 - x) = 19 + 18 + \dots + 1$ है।
योग सूत्र $\frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करते हुए,$n = 19$ के लिए,हमें $\frac{19 \times 20}{2} = 190$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई रेखाएँ $y - mx = 0$,$y - mx - 1 = 0$,$y - nx = 0$ और $y - nx - 1 = 0$ हैं।
ये रेखाएँ एक समांतर चतुर्भुज बनाती हैं।
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_1x + b_1y + c_2 = 0$,$a_2x + b_2y + d_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + d_2 = 0$ रेखाओं द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \left| \frac{(c_1 - c_2)(d_1 - d_2)}{a_1b_2 - a_2b_1} \right|$
यहाँ,समीकरण हैं:
$mx - y + 0 = 0$
$mx - y + 1 = 0$
$nx - y + 0 = 0$
$nx - y + 1 = 0$
सूत्र के साथ तुलना करने पर,हमें $c_1 = 0, c_2 = 1, d_1 = 0, d_2 = 1, a_1 = m, b_1 = -1, a_2 = n, b_2 = -1$ प्राप्त होता है।
$\text{Area} = \left| \frac{(0 - 1)(0 - 1)}{m(-1) - n(-1)} \right| = \left| \frac{(-1)(-1)}{-m + n} \right| = \left| \frac{1}{n - m} \right| = \frac{1}{|m - n|}$.

(B) रेखाओं का दिया गया परिवार $2x + y + 4 = 0$ और $x - 2y - 3 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है।
इन समीकरणों को हल करने पर: $2(2x + y + 4) + (x - 2y - 3) = 0$ $\Rightarrow 5x + 5 = 0$ $\Rightarrow x = -1$।
$x = -1$ को $2x + y + 4 = 0$ में रखने पर,हमें $y = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,परिवार की सभी रेखाएँ निश्चित बिंदु $P(-1, -2)$ से होकर गुजरती हैं।
बिंदु $P(-1, -2)$ और $M(2, -3)$ के बीच की दूरी $PM = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-3 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ है।
$P$ से गुजरने वाली कोई भी रेखा जिसकी $M$ से दूरी $d$ है,वह $d \le PM$ का पालन करती है। चूँकि आवश्यक दूरी बिल्कुल $\sqrt{10} = PM$ है,इसलिए इस दूरी पर केवल एक ही रेखा है जो बिंदु $P$ पर रेखाखंड $PM$ के लंबवत है।
अतः,ऐसी केवल $1$ रेखा है।

(D) दो समांतर रेखाएँ $L_1: x + 2y + 3 = 0$ और $L_2: x + 2y - 7 = 0$ हैं।
इन दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|3 - (-7)|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{10}{\sqrt{5}}$ है।
चूंकि ये रेखाएँ एक वर्ग की दो भुजाएँ बनाती हैं,इसलिए अन्य दो समांतर भुजाओं के बीच की दूरी भी $d = \frac{10}{\sqrt{5}}$ होनी चाहिए।
तीसरी भुजा $L_3: 2x - y - 4 = 0$ है। चौथी भुजा $L_4$ को $L_3$ के समांतर होना चाहिए,इसलिए मान लें $L_4: 2x - y + \lambda = 0$ है।
$L_3$ और $L_4$ के बीच की दूरी $\frac{|\lambda + 4|}{\sqrt{5}}$ है।
दूरियों की तुलना करने पर: $\frac{|\lambda + 4|}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}}$,जिसका अर्थ है $|\lambda + 4| = 10$ है।
इससे $\lambda = 6$ या $\lambda = -14$ प्राप्त होता है।
अतः चौथी भुजाओं के समीकरण $2x - y + 6 = 0$ और $2x - y - 14 = 0$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण $y + \sqrt{3} |x| = 2$ है। यह दो रेखाओं को दर्शाता है: $L_1: y + \sqrt{3}x = 2$ ($x \ge 0$ के लिए) और $L_2: y - \sqrt{3}x = 2$ ($x < 0$ के लिए)।
दोनों रेखाएं बिंदु $P(0, 2)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
इन रेखाओं के कोण समद्विभाजक $y$-अक्ष $(x=0)$ और रेखा $y=2$ हैं।
बिंदु $A$ रेखाओं पर $P(0, 2)$ से $d = \frac{4}{\sqrt{3}}$ की दूरी पर स्थित है।
$L_1$ के लिए,ढाल $m = -\sqrt{3}$ है,इसलिए $x$-अक्ष के साथ कोण $120^\circ$ है। $A$ के निर्देशांक $(0 + d \cos 120^\circ, 2 + d \sin 120^\circ) = \left( -\frac{2}{\sqrt{3}}, 4 \right)$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$A$ से कोण समद्विभाजक $x=0$ पर डाले गए लंब का पाद $(0, 4)$ है।

(D) रेखा $x + y = p$ अक्षों को $A(p, 0)$ और $B(0, p)$ पर काटती है। $\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times p \times p = \frac{p^2}{2}$ है।
माना $Q$,$AB$ को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। $Q$ के निर्देशांक $\left(\frac{p}{1+\lambda}, \frac{p\lambda}{1+\lambda}\right)$ हैं।
चूँकि $PQ \perp AB$,$PQ$ की ढाल $1$ है।
$PQ$ रेखा का समीकरण $y - \frac{p\lambda}{1+\lambda} = 1(x - \frac{p}{1+\lambda})$ है।
$x = 0$ रखने पर,$P$ के निर्देशांक $\left(0, \frac{p(\lambda - 1)}{\lambda + 1}\right)$ प्राप्त होते हैं।
$\triangle APQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{p^2 \lambda}{2(\lambda + 1)^2}$ है।
दिया गया है कि $\frac{\text{Area}(\triangle APQ)}{\text{Area}(\triangle OAB)} = \frac{3}{8}$,अतः $\frac{\lambda}{(\lambda + 1)^2} = \frac{3}{8}$ है।
इसे हल करने पर $\frac{AQ}{BQ} = 3$ या $1/3$ प्राप्त होता है।

(B) रेखा $AB$ का समीकरण $2x + 3y = 12$ है। रेखा $ED$ की ढाल $\frac{3}{2}$ है।
$(5, 5)$ से गुजरने वाली रेखा $ED$ का समीकरण $3x - 2y = 5$ है।
बिंदु $E$ ज्ञात करने के लिए $2x + 3y = 12$ और $3x - 2y = 5$ को हल करने पर $E = (3, 2)$ प्राप्त होता है।
बिंदु $C$ $x$-अक्ष पर है,अतः $C = (\frac{5}{3}, 0)$ और बिंदु $B = (0, 4)$ है।
चतुर्भुज $OCEB$ का क्षेत्रफल शूलेस सूत्र द्वारा: $\frac{1}{2} |(0 \times 0 + \frac{5}{3} \times 2 + 3 \times 4 + 0 \times 0) - (0 \times \frac{5}{3} + 0 \times 3 + 2 \times 0 + 4 \times 0)| = \frac{23}{3}$ वर्ग इकाई।

(D) दी गई रेखाएँ $L_1: 2x + y - 5 = 0$ और $L_2: x - 2y - 3 = 0$ हैं।
चूँकि उनके ढालों का गुणनफल $( -2 ) \times ( 1/2 ) = -1$ है,रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं।
माना $A$ प्रतिच्छेदन बिंदु है। चूँकि $AB = AC$,$\triangle ABC$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $A$ पर है।
रेखा $BC$ को दी गई रेखाओं के साथ $45^\circ$ या $135^\circ$ का कोण बनाना चाहिए।
रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के कोण समद्विभाजकों के ढाल $x + 3y - 2 = 0$ और $3x - y - 8 = 0$ हैं।
इन समद्विभाजकों के ढाल $-1/3$ और $3$ हैं।
चूँकि $BC$ कोण समद्विभाजक के लंबवत है,$BC$ का ढाल $3$ या $-1/3$ है।
ढाल $m = 3$ और बिंदु $(2, 3)$ के लिए: $3x - y - 3 = 0$।
ढाल $m = -1/3$ और बिंदु $(2, 3)$ के लिए: $x + 3y - 11 = 0$।
अतः,दोनों रेखाएँ संभव हैं।

(A) रेखा $L_2$ की ढाल $4$ है। चूँकि $L_1 \perp L_2$,रेखा $L_1$ की ढाल $m = -\frac{1}{4}$ है।
रेखा $L_1$ का समीकरण $y = -\frac{1}{4}x + k$ लें,जिसे $x + 4y = 4k$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $c = 4k$ है। अंतःखंड $(c, 0)$ और $(0, \frac{c}{4})$ हैं।
मूलबिंदु $(0, 0)$ और इन अंतःखंडों द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज $T$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |c| \times |\frac{c}{4}| = 8$ है।
$|c^2| = 64$,इसलिए $c = \pm 8$ है।
$c = 8$ लेने पर,शीर्ष $(0, 0), (8, 0)$ और $(0, 2)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई $8, 2$ और $\sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{68}$ है।
परिमाप $8 + 2 + \sqrt{68} = 10 + \sqrt{68}$ है।

(A) $P(3, 1)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m$ मान लीजिए। रेखा का समीकरण $(y - 1) = m(x - 3)$ अर्थात $mx - y + (1 - 3m) = 0$ है।
मूल बिंदु $O(0, 0)$ से इस रेखा की दूरी $d = \frac{|1 - 3m|}{\sqrt{m^2 + 1}}$ है।
दूरी अधिकतम होने के लिए,रेखा $AB$ को $OP$ के लंबवत होना चाहिए। $OP$ की ढाल $m_{OP} = \frac{1}{3}$ है। अतः,$AB$ की ढाल $m = -3$ होगी।
रेखा $AB$ का समीकरण $(y - 1) = -3(x - 3)$ अर्थात $3x + y = 10$ है।
अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखने पर $x = \frac{10}{3}$ (बिंदु $A$) और $x = 0$ रखने पर $y = 10$ (बिंदु $B$) प्राप्त होता है।
त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times \frac{10}{3} \times 10 = \frac{50}{3} \text{ वर्ग इकाई}$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x^3 - 3x^2 + x + \lambda = 0$ है जिसके मूल $a, b, c$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग $a + b + c = 3$ है,जिसका अर्थ है $a + b = 3 - c$.
रेखा का समीकरण $x(a + b) + y = 1$ है,जिसे अंतःखंड रूप में $\frac{x}{1/(a+b)} + \frac{y}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
निर्देशांक अक्षों के साथ बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times |\text{आधार}| \times |\text{ऊंचाई}| = \frac{1}{2} \times \frac{1}{|a+b|} \times 1 = \frac{1}{2|3-c|}$ है।
चूंकि $c \in [1, 2]$,इसलिए $3 - c \in [1, 2]$,अतः $a + b > 0$.
इस प्रकार,$A = \frac{1}{2(3-c)}$.
$A$ को अधिकतम करने के लिए,हमें हर $2(3-c)$ को अधिकतम करना होगा,जो तब होता है जब $c$ अंतराल $[1, 2]$ में अपने अधिकतम मान पर हो।
$c = 2$ के लिए,$A = \frac{1}{2(3-2)} = \frac{1}{2}$.
अतः,$A$ का अधिकतम मान $1/2$ वर्ग इकाई है।

(B) $|PA - PB|$ अधिकतम होता है जब $P, A, B$ संरेख हों। रेखा $AB$ का समीकरण $x + y = 2$ है।
$x + y = 2$ और $2x + 3y + 1 = 0$ को हल करने पर $P(7, -5)$ प्राप्त होता है।
$|QA - QB|$ न्यूनतम होता है जब $Q$,रेखा $2x + 3y + 1 = 0$ और $AB$ के लंब समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु हो।
$AB$ का लंब समद्विभाजक $y - x = 0$ है।
$y = x$ और $2x + 3y + 1 = 0$ को हल करने पर $5x = -1$ प्राप्त होता है,अतः $x_2 = -1/5$ और $y_2 = -1/5$ है।
अतः,$x_1 - y_1 + x_2 - y_2 = (7 - (-5)) + (-1/5 - (-1/5)) = 12 + 0 = 12$.

(A) विकल्प $(A)$ के लिए: मान लीजिए रेखा $ax + by + c = 0$ है। लंबवत दूरियों का योग $\frac{4a+2b+c}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{2a+4b+c}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} = 0$ है। इसका अर्थ है $6a + 6b + 3c = 0$,या $2a + 2b + c = 0$। यह रेखा के $(2,2)$ से गुजरने की शर्त है। अतः,$(A)$ सही है।
विकल्प $(B)$ के लिए: शर्त $Ar(\Delta PAB) + Ar(\Delta PBC) + Ar(\Delta PAC) = Ar(\Delta ABC)$ $\Delta ABC$ के अंदर किसी भी बिंदु $P$ के लिए संतुष्ट होती है,न कि केवल लंबकेंद्र के लिए। अतः,$(B)$ गलत है।
विकल्प $(C)$ के लिए: रेखाओं के युग्म के कोण द्विभाजक एक-दूसरे के लंबवत होते हैं,वे अपने बीच के कोण को समद्विभाजित नहीं करते हैं। अतः,$(C)$ गलत है।
विकल्प $(D)$ के लिए: $A$ और $B$ के मध्य बिंदु का हार्मोनिक संयुग्मी अनंत पर होता है। अतः,$(D)$ गलत है।

(D) $(2, 5)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ मानिए।
चूँकि रेखा $(2, 5)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{2}{a} + \frac{5}{b} = 1$ है।
निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |ab| = 24$ है,अतः $|ab| = 48$ है।
स्थिति $1$: $ab = 48$. तब $b = \frac{48}{a}$. समीकरण में रखने पर: $\frac{2}{a} + \frac{5a}{48} = 1 \Rightarrow 5a^2 - 48a + 96 = 0$. विविक्तकर $D > 0$ है,अतः $2$ रेखाएँ प्राप्त होती हैं।
स्थिति $2$: $ab = -48$. तब $b = -\frac{48}{a}$. समीकरण में रखने पर: $\frac{2}{a} - \frac{5a}{48} = 1 \Rightarrow 5a^2 + 48a - 96 = 0$. विविक्तकर $D > 0$ है,अतः $2$ रेखाएँ प्राप्त होती हैं।
कुल रेखाओं की संख्या $= 2 + 2 = 4$.

(B) दो समांतर रेखाओं $3x + 4y - 11 = 0$ और $3x + 4y - 1 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|11 - 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{10}{5} = 2 \text{ units}$ है।
चूंकि रेखा द्वारा काटा गया अंतःखंड इन समांतर रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर है,इसलिए अभीष्ट रेखा दी गई रेखाओं के लंबवत होगी।
दी गई रेखाओं की ढाल $m = -\frac{3}{4}$ है,अतः अभीष्ट रेखा की ढाल $m' = \frac{4}{3}$ होगी।
$(3, 2)$ से गुजरने वाली और $\frac{4}{3}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण: $y - 2 = \frac{4}{3}(x - 3)$.
$3y - 6 = 4x - 12 \implies 3y - 4x + 6 = 0$.

(B) माना $C$ के निर्देशांक $(\alpha, \beta)$ हैं।
चूंकि $AC = BC$,इसलिए $AC^2 = BC^2$.
$(\alpha + 2)^2 + (\beta - 3)^2 = (\alpha - 2)^2 + (\beta - 0)^2$
$\alpha^2 + 4\alpha + 4 + \beta^2 - 6\beta + 9 = \alpha^2 - 4\alpha + 4 + \beta^2$
$8\alpha - 6\beta + 9 = 0$ ......$(1)$
$AB$ की ढाल $= \frac{0 - 3}{2 - (-2)} = -\frac{3}{4}$.
$AB$ के समानांतर रेखा का समीकरण $y = -\frac{3}{4}x + c$ है।
$y$-अंतःखंड $c = \frac{43}{12}$ दिया गया है,इसलिए समीकरण $y = -\frac{3}{4}x + \frac{43}{12}$ है,जिसे $9x + 12y = 43$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि यह रेखा $C(\alpha, \beta)$ से गुजरती है,इसलिए $9\alpha + 12\beta = 43$ ......$(2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर:
$(1)$ से,$6\beta = 8\alpha + 9 \Rightarrow 12\beta = 16\alpha + 18$.
$(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $9\alpha + 16\alpha + 18 = 43$ $\Rightarrow 25\alpha = 25$ $\Rightarrow \alpha = 1$.
तब $12\beta = 43 - 9(1) = 34 \Rightarrow \beta = \frac{34}{12} = \frac{17}{6}$.
अतः,$C = \left(1, \frac{17}{6}\right)$.

(C) दी गई रेखाएँ $L_1: 4x + 3y - 10 = 0$ और $L_2: 8x + 6y + 5 = 0$ हैं।
ध्यान दें कि $L_2$ को $2(4x + 3y) + 5 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका अर्थ है $4x + 3y = -2.5$।
चूंकि रेखाएँ $4x + 3y = 10$ और $4x + 3y = -2.5$ समानांतर हैं,मूल बिंदु $O(0,0)$ से गुजरने वाली कोई भी रेखा उन्हें बिंदुओं $A$ और $B$ पर इस प्रकार काटेगी कि दूरियों $OA$ और $OB$ का अनुपात मूल बिंदु से इन रेखाओं की लंबवत दूरियों के अनुपात के बराबर होगा।
$(0,0)$ से $4x + 3y - 10 = 0$ की लंबवत दूरी $d_1 = \frac{|-10|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{10}{5} = 2$ है।
$(0,0)$ से $8x + 6y + 5 = 0$ की लंबवत दूरी $d_2 = \frac{|5|}{\sqrt{8^2 + 6^2}} = \frac{5}{10} = 0.5 = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि रेखाएँ मूल बिंदु के विपरीत पक्षों पर हैं,इसलिए मूल बिंदु $O$,रेखाखंड $AB$ को $OA:OB = d_1:d_2 = 2 : \frac{1}{2} = 4:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(A) मान लीजिए रेखा $L$ के $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः $a$ और $b$ हैं। रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि अंतःखंड $P(1, 2)$ पर समद्विभाजित होता है,इसलिए $\frac{a}{2} = 1 \implies a = 2$ और $\frac{b}{2} = 2 \implies b = 4$ है।
अतः,रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x}{2} + \frac{y}{4} = 1$ है,जो $2x + y = 4 \quad (1)$ में सरल होता है।
रेखा $L$ की ढाल $m = -2$ है। $L$ के लंबवत रेखा $L_1$ की ढाल $m_1 = -\frac{1}{m} = \frac{1}{2}$ है।
$L_1$,$(-2, 1)$ से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $y - 1 = \frac{1}{2}(x + 2) \implies x - 2y = -4 \quad (2)$ है।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर:
$x = \frac{4}{5}$ और $y = \frac{12}{5}$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $\left( \frac{4}{5}, \frac{12}{5} \right)$ है।

(D) दो रेखाएँ लंबवत हैं,इसलिए उनके ढाल का गुणनफल $-1$ है।
रेखा $L_1: x + (a - 1)y = 1$ का ढाल $m_1 = -\frac{1}{a - 1}$ है।
रेखा $L_2: 2x + a^2y = 1$ का ढाल $m_2 = -\frac{2}{a^2}$ है।
$m_1 m_2 = -1$ होने के कारण,$\left(-\frac{1}{a - 1}\right) \left(-\frac{2}{a^2}\right) = -1$.
$\Rightarrow \frac{2}{a^2(a - 1)} = -1$ $\Rightarrow a^3 - a^2 + 2 = 0$.
समीकरण के गुणनखंड करने पर: $(a + 1)(a^2 - 2a + 2) = 0$.
चूँकि $a^2 - 2a + 2 = (a - 1)^2 + 1 > 0$,एकमात्र वास्तविक हल $a = -1$ है।
$a = -1$ रखने पर:
$L_1: x - 2y = 1$.
$L_2: 2x + y = 1$.
समीकरणों को हल करने पर:
$x - 2y = 1$ $(1)$
$2x + y = 1$ $(2)$
समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर: $4x + 2y = 2$.
दोनों को जोड़ने पर: $5x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{5}$.
$x = \frac{3}{5}$ को $(2)$ में रखने पर: $y = -\frac{1}{5}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $P(\frac{3}{5}, -\frac{1}{5})$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से दूरी $OP = \sqrt{(\frac{3}{5})^2 + (-\frac{1}{5})^2} = \sqrt{\frac{10}{25}} = \sqrt{\frac{2}{5}}$.

(D) दी गई रेखाएँ हैं:
$5x - y + 4 = 0$ ..... $(1)$
$3x + 4y - 4 = 0$ ..... $(2)$
माना कि अभीष्ट रेखा रेखाओं $(1)$ और $(2)$ को क्रमशः $P(\alpha_{1}, \beta_{1})$ और $Q(\alpha_{2}, \beta_{2})$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
चूँकि $P$,$(1)$ पर स्थित है,$\beta_{1} = 5\alpha_{1} + 4$.
चूँकि $Q$,$(2)$ पर स्थित है,$\beta_{2} = \frac{4 - 3\alpha_{2}}{4}$.
$PQ$ का मध्यबिंदु $(1, 5)$ है,इसलिए $\frac{\alpha_{1} + \alpha_{2}}{2} = 1$ और $\frac{\beta_{1} + \beta_{2}}{2} = 5$.
पहले से,$\alpha_{2} = 2 - \alpha_{1}$.
दूसरे में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{(5\alpha_{1} + 4) + \frac{4 - 3(2 - \alpha_{1})}{4}}{2} = 5$.
$20\alpha_{1} + 16 + 4 - 6 + 3\alpha_{1} = 40 \implies 23\alpha_{1} = 26 \implies \alpha_{1} = \frac{26}{23}$.
तब $\beta_{1} = 5(\frac{26}{23}) + 4 = \frac{222}{23}$.
रेखा $(1, 5)$ और $(\frac{26}{23}, \frac{222}{23})$ से होकर गुजरती है।
ढाल $m = \frac{\frac{222}{23} - 5}{\frac{26}{23} - 1} = \frac{107}{3}$.
समीकरण $y - 5 = \frac{107}{3}(x - 1) \implies 3y - 15 = 107x - 107$.
अतः,अभीष्ट समीकरण $107x - 3y - 92 = 0$ है।

(B) मान लीजिए $P \equiv (x_1, mx_1)$ और $Q \equiv (x_2, mx_2)$ है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल:
$A_1 = \frac{1}{2} |3(0 - 1) + 2(1 - 4) + (-1)(4 - 0)| = \frac{13}{2}$.
$\Delta PQC$ का क्षेत्रफल:
$A_2 = m|x_1 - x_2|$.
चूंकि $A_1 = 3A_2$,इसलिए $|x_1 - x_2| = \frac{13}{6m}$ है।
रेखा $AC$ का समीकरण $x + 3y = 2$ है,जिससे $x_1 = \frac{2}{1 + 3m}$ प्राप्त होता है।
रेखा $BC$ का समीकरण $y = 4x - 8$ है,जिससे $x_2 = \frac{8}{4 - m}$ प्राप्त होता है।
$|x_1 - x_2| = \frac{26m}{(3m + 1)(4 - m)} = \frac{13}{6m}$.
अतः $15m^2 - 11m - 4 = 0$,जिसे हल करने पर $m = 1$ प्राप्त होता है।

(A) पहली रेखा $x \operatorname{cosec} \alpha - y \sec \alpha = k \cot 2 \alpha$ है,जिसे $\frac{x}{\sin \alpha} - \frac{y}{\cos \alpha} = \frac{k \cos 2 \alpha}{\sin 2 \alpha}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\sin \alpha \cos \alpha$ से गुणा करने पर,हमें $x \cos \alpha - y \sin \alpha = \frac{k}{2} \cos 2 \alpha$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $x \cos \alpha - y \sin \alpha - \frac{k}{2} \cos 2 \alpha = 0$ की लंबवत दूरी $p = \left| \frac{k}{2} \cos 2 \alpha \right|$ है।
अतः,$2p = |k \cos 2 \alpha|$,जिसका अर्थ है $4p^{2} = k^{2} \cos^{2} 2 \alpha$ $(i)$.
दूसरी रेखा $x \sin \alpha + y \cos \alpha = k \sin 2 \alpha$ है। मूल बिंदु से लंबवत दूरी $q = |k \sin 2 \alpha|$ है।
अतः,$q^{2} = k^{2} \sin^{2} 2 \alpha$ $(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$4p^{2} + q^{2} = k^{2} (\cos^{2} 2 \alpha + \sin^{2} 2 \alpha) = k^{2}$ प्राप्त होता है।