Mix Examples-Straight Line Questions in Hindi

(C) मूल रेखा $x-2y-4=0$ है। इस रेखा का ढाल $m_1 = 1/2$ है।
जब किसी रेखा को उसके समानांतर स्थानांतरित किया जाता है,तो उसका ढाल अपरिवर्तित रहता है। इसलिए,स्थानांतरण के बाद रेखा का ढाल $m_1 = 1/2 = \tan \alpha$ रहता है,जहाँ $\alpha = \tan^{-1}(1/2)$ है।
रेखा को वामावर्त दिशा में $30^{\circ}$ के कोण पर घुमाने के बाद,नया ढाल $m$ कोणों के योग के टेंजेंट के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$m = \tan(\alpha + 30^{\circ}) = \frac{\tan \alpha + \tan 30^{\circ}}{1 - \tan \alpha \tan 30^{\circ}}$
मान $\tan \alpha = 1/2$ और $\tan 30^{\circ} = 1/\sqrt{3}$ रखने पर:
$m = \frac{1/2 + 1/\sqrt{3}}{1 - (1/2)(1/\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{3}+2)/(2\sqrt{3})}{(\sqrt{3}-1)/(2\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-1}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$m = \frac{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{3+\sqrt{3}+2\sqrt{3}+2}{2} = \frac{5+3\sqrt{3}}{2}$
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर:
$m \approx \frac{5+3(1.732)}{2} = \frac{5+5.196}{2} = \frac{10.196}{2} = 5.098$
$m$ का पूर्णांक भाग $5$ है।

(C) दिया गया है $A=(-5,-4)$ और रेखा $L$ की ढाल $\tan \theta$ है। रेखा का प्राचलिक रूप $x = -5 + r \cos \theta$ और $y = -4 + r \sin \theta$ है।
बिंदु $B$,$x+3y+2=0$ पर स्थित है,इसलिए $(-5+r_1 \cos \theta) + 3(-4+r_1 \sin \theta) + 2 = 0$.
$-5 + r_1 \cos \theta - 12 + 3r_1 \sin \theta + 2 = 0 \implies r_1(\cos \theta + 3 \sin \theta) = 15 \implies AB = r_1 = \frac{15}{\cos \theta + 3 \sin \theta}$.
बिंदु $C$,$2x+y+4=0$ पर स्थित है,इसलिए $2(-5+r_2 \cos \theta) + (-4+r_2 \sin \theta) + 4 = 0$.
$-10 + 2r_2 \cos \theta - 4 + r_2 \sin \theta + 4 = 0 \implies r_2(2 \cos \theta + \sin \theta) = 10 \implies AC = r_2 = \frac{10}{2 \cos \theta + \sin \theta}$.
दिए गए समीकरण $\frac{100}{AC^2} - \frac{225}{AB^2} = 4 \cos 2\theta + \sin 2\theta$ में मान रखने पर:
$(2 \cos \theta + \sin \theta)^2 - (\cos \theta + 3 \sin \theta)^2 = 4 \cos 2\theta + \sin 2\theta$.
$(4 \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta) - (\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta + 6 \sin \theta \cos \theta) = 4(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) + 2 \sin \theta \cos \theta$.
$3 \cos^2 \theta - 8 \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta = 4 \cos^2 \theta - 4 \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta$.
$4 \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 0$.
$(2 \sin \theta + \cos \theta)^2 = 0 \implies 2 \sin \theta = -\cos \theta \implies \tan \theta = -\frac{1}{2}$.

(C) दिए गए समीकरण $x^2-3|x|+2=0$ और $y^2-3y+2=0$ हैं।
$x^2-3|x|+2=0$ को हल करने पर: $(|x|-2)(|x|-1)=0$,अतः $|x|=2$ या $|x|=1$,जो $x=\pm 2, \pm 1$ देता है।
$y^2-3y+2=0$ को हल करने पर: $(y-2)(y-1)=0$,अतः $y=2, 1$।
ये रेखाएँ शीर्षों के साथ दो वर्ग बनाती हैं:
वर्ग $1$: $A(-1, 1), B(-1, 2), C(-2, 2), D(-2, 1)$।
वर्ग $2$: $A'(2, 1), B'(2, 2), C'(1, 2), D'(1, 1)$।
इन वर्गों के विकर्ण $x+y=k$ और $x-y=k$ जैसी रेखाएँ हैं।
इन विकर्णों द्वारा निर्मित वर्ग $ABCD$ के लिए,भुजाएँ अक्षों के समानांतर या $45^\circ$ पर हैं।
विकल्पों की जाँच करने पर,समीकरण $x+y=3$ और $x-y=-3$ ऐसी रेखाओं को दर्शाते हैं जो ऐसे वर्ग की भुजाएँ बना सकती हैं।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दी गई रेखाएँ हैं:
$2x + 3y - 1 = 0$ $(i)$
$3x + 4y - 6 = 0$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $3$ से और $(ii)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$6x + 9y - 3 = 0$
$6x + 8y - 12 = 0$
घटाने पर: $y + 9 = 0 \Rightarrow y = -9$.
$y = -9$ को $(i)$ में रखने पर: $2x + 3(-9) - 1 = 0$ $\Rightarrow 2x - 27 - 1 = 0$ $\Rightarrow 2x = 28$ $\Rightarrow x = 14$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(14, -9)$ है।
$5x - 2y = 7$ पर लंब रेखा का रूप $2x + 5y + k = 0$ है।
चूंकि यह $(14, -9)$ से गुजरती है:
$2(14) + 5(-9) + k = 0$
$28 - 45 + k = 0$
$-17 + k = 0 \Rightarrow k = 17$.
अतः,समीकरण $2x + 5y + 17 = 0$ है।

(C) सबसे पहले,$5x - 6y - 1 = 0$ और $3x + 2y + 5 = 0$ रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
दूसरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर,$9x + 6y + 15 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे पहले समीकरण में जोड़ने पर: $(5x - 6y - 1) + (9x + 6y + 15) = 0$ $\Rightarrow 14x + 14 = 0$ $\Rightarrow x = -1$.
$x = -1$ को $3x + 2y + 5 = 0$ में रखने पर: $3(-1) + 2y + 5 = 0$ $\Rightarrow -3 + 2y + 5 = 0$ $\Rightarrow 2y = -2$ $\Rightarrow y = -1$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, -1)$ है।
रेखा $3x - 5y + 11 = 0$ की ढाल $m_1 = \frac{3}{5}$ है।
इस पर लंब रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{5}{3}$ होगी।
$(-1, -1)$ से गुजरने वाली और $m_2 = -\frac{5}{3}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$(y - (-1)) = -\frac{5}{3}(x - (-1))
$ $\Rightarrow 3(y + 1) = -5(x + 1)
$ $\Rightarrow 3y + 3 = -5x - 5
$ $\Rightarrow 5x + 3y + 8 = 0$.

(A) दी गई रेखा $5x - 2y = 7$ है। इस रेखा की ढाल $m_1 = \frac{5}{2}$ है।
इस रेखा के लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{2}{5}$ होगी।
अतः,अभीष्ट रेखा का समीकरण $2x + 5y = \lambda$ के रूप में होगा।
अब,$2x + 3y = 1$ $(i)$ और $3x + 4y = 6$ (ii) रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$(i)$ को $3$ से और (ii) को $2$ से गुणा करने पर:
$6x + 9y = 3$
$6x + 8y = 12$
दोनों समीकरणों को घटाने पर,$y = -9$ प्राप्त होता है।
$y = -9$ को $(i)$ में रखने पर: $2x + 3(-9) = 1$ $\Rightarrow 2x - 27 = 1$ $\Rightarrow 2x = 28$ $\Rightarrow x = 14$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(14, -9)$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा $(14, -9)$ से होकर गुजरती है,इन मानों को $2x + 5y = \lambda$ में रखने पर:
$2(14) + 5(-9) = \lambda$
$28 - 45 = \lambda$
$\lambda = -17$.
अतः,रेखा का समीकरण $2x + 5y = -17$ है,जिसे $2x + 5y + 17 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) रेखा का समीकरण $3x - 4y + 5 = 0$ है,जिसे $3x - 4y = -5$ के रूप में लिखा जा सकता है। $-5$ से विभाजित करने पर,हमें $-\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y = 1$ प्राप्त होता है।
इसे अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ के साथ तुलना करने पर,$\cos \alpha = -\frac{3}{5}$ और $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$।
रेखा $ax + by = 1$ बिंदु $(1, -1)$ से गुजरती है और इसकी ढाल $m = \tan \alpha = -\frac{4}{3}$ है।
रेखा का समीकरण $y - (-1) = -\frac{4}{3}(x - 1)$ है।
$3(y + 1) = -4(x - 1)$ $\Rightarrow 3y + 3 = -4x + 4$ $\Rightarrow 4x + 3y = 1$।
$4x + 3y = 1$ की तुलना $ax + by = 1$ से करने पर,$a = 4$ और $b = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + ab + b = 4 + (4 \times 3) + 3 = 4 + 12 + 3 = 19$।

(D) रेखाओं $L_1: x-y-7=0$ और $L_2: x+y-5=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $P(6, -1)$ है।
रेखा $L_1$ पर बिंदु $A(x_1, y_1)$ के लिए $PA=3\sqrt{2}$ के साथ,सममित रूप का उपयोग करने पर $A = (9, 2)$ प्राप्त होता है।
रेखा $L_2$ पर बिंदु $B(x_2, y_2)$ के लिए $PB=\sqrt{2}$ के साथ,सममित रूप का उपयोग करने पर $B = (5, 0)$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $O(0, 0)$ के साथ सदिश $\vec{OA} = (9, 2)$ और $\vec{OB} = (5, 0)$ हैं।
कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{|\vec{OA}| |\vec{OB}|} = \frac{45}{\sqrt{85} \cdot 5} = \frac{9}{\sqrt{85}}$ है।
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{9}{\sqrt{85}}\right)$।

(A) रेखा $3x - 4y + k = 0$ की ढाल $m = \frac{3}{4}$ है।
चूंकि $L_1$ इस रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_1 = -\frac{4}{3}$ होगी।
बिंदु $P(4, -3)$ से गुजरने वाली रेखा $L_1$ का समीकरण $y - (-3) = -\frac{4}{3}(x - 4)$ है,जो $4x + 3y = 7$ में सरल हो जाता है।
हमें $L_1$ के अनुदिश $P(4, -3)$ की रेखा $L: 5x - 3y - 2 = 0$ से दूरी ज्ञात करनी है। यह $P(4, -3)$ और $L_1$ तथा $L$ के प्रतिच्छेदन बिंदु के बीच की दूरी है।
समीकरणों को हल करने पर:
$4x + 3y = 7$
$5x - 3y = 2$
दोनों को जोड़ने पर: $9x = 9 \Rightarrow x = 1$।
$x = 1$ को $4x + 3y = 7$ में रखने पर: $4(1) + 3y = 7$ $\Rightarrow 3y = 3$ $\Rightarrow y = 1$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।
$P(4, -3)$ और $(1, 1)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$।

(B) माना रेखा $4x - y - 2 = 0$ पर स्थित बिंदु $P(x, y)$ है।
माना $A = (-5, 6)$ और $B = (3, 2)$ है।
चूंकि $P$,$A$ और $B$ से समान दूरी पर है,इसलिए $AP = PB$,जिसका अर्थ है $AP^2 = PB^2$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $(x + 5)^2 + (y - 6)^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2$ है।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $x^2 + 10x + 25 + y^2 - 12y + 36 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y + 4$ है।
सरल करने पर: $16x - 8y + 48 = 0$,जो $2x - y + 6 = 0$ (समीकरण $2$) में बदल जाता है।
हमें रेखा $4x - y - 2 = 0$ (समीकरण $1$) दी गई है।
समीकरण $1$ से समीकरण $2$ को घटाने पर: $(4x - y - 2) - (2x - y + 6) = 0$ है।
$2x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4$ है।
$x = 4$ को $4x - y - 2 = 0$ में रखने पर: $4(4) - y - 2 = 0$ $\Rightarrow 16 - y - 2 = 0$ $\Rightarrow y = 14$ है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(4, 14)$ है।

(B) माना मूल बिंदु $O(0,0)$ से गुजरने वाली रेखा $L_1$ है। यह $L_2: 10x - 8y - 10 = 0$ (जो $5x - 4y - 5 = 0$ में सरल हो जाती है) को बिंदु $P$ पर समकोण पर काटती है।
यह $L_3: \frac{x}{4} - \frac{y}{5} + 1 = 0$ (जो $5x - 4y + 20 = 0$ में सरल हो जाती है) को बिंदु $Q$ पर समकोण पर काटती है।
$L_2$ और $L_3$ समांतर रेखाएँ हैं।
मूल बिंदु $O(0,0)$ से रेखा $L_2$ की लंबवत दूरी $OP = \frac{|5(0) - 4(0) - 5|}{\sqrt{5^2 + (-4)^2}} = \frac{5}{\sqrt{41}}$ है।
मूल बिंदु $O(0,0)$ से रेखा $L_3$ की लंबवत दूरी $OQ = \frac{|5(0) - 4(0) + 20|}{\sqrt{5^2 + (-4)^2}} = \frac{20}{\sqrt{41}}$ है।
चूंकि $P$ और $Q$ मूल बिंदु के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं,इसलिए $O$,रेखाखंड $PQ$ को $OP : OQ = 1 : 4$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(B) शीर्ष $O(0,0), A(-3,-1)$ और $B(-1,-3)$ हैं।
$OB$ की ढाल = $\frac{-3-0}{-1-0} = 3$ है।
रेखा $OB$ का समीकरण $y = 3x$ या $3x - y = 0$ है।
चूंकि $AD \perp OB$,$AD$ की ढाल $-\frac{1}{3}$ है।
$A(-3,-1)$ से गुजरने वाली रेखा $AD$ का समीकरण $y + 1 = -\frac{1}{3}(x + 3)$ है,जो $x + 3y + 6 = 0$ में सरल हो जाता है।
$OB$ $(y=3x)$ और $AD$ $(x+3y+6=0)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $D$ ज्ञात करने के लिए:
$x + 3(3x) + 6 = 0$ $\Rightarrow 10x = -6$ $\Rightarrow x = -\frac{3}{5}$।
$y = 3(-\frac{3}{5}) = -\frac{9}{5}$। अतः,$D = (-\frac{3}{5}, -\frac{9}{5})$ है।
बिंदु $P, AD$ को $3:4$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$P = \left( \frac{3(-\frac{3}{5}) + 4(-3)}{3+4}, \frac{3(-\frac{9}{5}) + 4(-1)}{3+4} \right) = \left( \frac{-\frac{9}{5} - 12}{7}, \frac{-\frac{27}{5} - 4}{7} \right) = \left( \frac{-69}{35}, \frac{-47}{35} \right)$ है।
रेखा $L, OB$ $(y=3x)$ के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $y = 3x + k$ है।
चूंकि $L, P(-\frac{69}{35}, -\frac{47}{35})$ से गुजरती है:
$-\frac{47}{35} = 3(-\frac{69}{35}) + k \Rightarrow k = \frac{-47 + 207}{35} = \frac{160}{35} = \frac{32}{7}$ है।
समीकरण $L: y = 3x + \frac{32}{7}$ $\Rightarrow 7y = 21x + 32$ $\Rightarrow 21x - 7y + 32 = 0$।

(C) बिंदु $(4,1)$ निम्नलिखित परिवर्तनों से गुजरता है:
$(i)$ रेखा $x-y=0$ में परावर्तन: रेखा $y=x$ (या $x-y=0$) में बिंदु $(x,y)$ का परावर्तन $(y,x)$ होता है। अतः,बिंदु $(4,1)$ का परावर्तन $(1,4)$ होगा।
(ii) धनात्मक $X$-अक्ष की दिशा में $2$ इकाई का स्थानांतरण: $x$-निर्देशांक में $2$ जोड़ने पर,हमें $(1+2, 4) = (3,4)$ प्राप्त होता है।
(iii) $X$-अक्ष पर प्रक्षेप: $X$-अक्ष पर बिंदु $(x,y)$ का प्रक्षेप $(x,0)$ होता है। अतः,बिंदु $(3,4)$ का प्रक्षेप $(3,0)$ होगा।
अतः,अंतिम निर्देशांक $(3,0)$ हैं।

(D) $x+2y-19=0$ और $x-2y-3=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाली रेखाओं के निकाय का समीकरण $(x+2y-19) + \lambda(x-2y-3) = 0$ है।
यह $(1+\lambda)x + (2-2\lambda)y - (19+3\lambda) = 0$ में सरल हो जाता है।
बिंदु $(-2,4)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी $5$ इकाई है।
दूरी सूत्र $d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ का उपयोग करते हुए,$5 = \frac{|(1+\lambda)(-2) + (2-2\lambda)(4) - (19+3\lambda)|}{\sqrt{(1+\lambda)^2 + (2-2\lambda)^2}}$.
$5 = \frac{|-13\lambda - 13|}{\sqrt{5\lambda^2-6\lambda+5}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $25(5\lambda^2-6\lambda+5) = (-13\lambda-13)^2$.
$125\lambda^2 - 150\lambda + 125 = 169\lambda^2 + 338\lambda + 169$.
$44\lambda^2 + 488\lambda + 44 = 0 \Rightarrow 11\lambda^2 + 122\lambda + 11 = 0$.
$(11\lambda+1)(\lambda+11) = 0$,अतः $\lambda = -1/11$ या $\lambda = -11$.
$\lambda = -1/11$ के लिए: $5x+12y-103=0$. यहाँ $b=12, c=-103$,अतः $5+b+c = -86$.
$\lambda = -11$ के लिए: $5x-12y-7=0$. यहाँ $b=-12, c=-7$,अतः $5+b+c = -14$.

(B) माना रेखा $3x + 4y = 5$ पर स्थित बिंदु $P(x, y)$ है।
चूंकि $P$,$A(1, 2)$ और $B(3, 4)$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PA^2 = PB^2$ होगा।
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16$
$-2x - 4y + 5 = -6x - 8y + 25$
$4x + 4y = 20$
$x + y = 5$
अब,समीकरणों के निकाय को हल करें:
$3x + 4y = 5$
$x + y = 5 \Rightarrow x = 5 - y$
पहले समीकरण में $x$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$3(5 - y) + 4y = 5$
$15 - 3y + 4y = 5$
$y = -10$
$x = 5 - (-10) = 15$
अतः,बिंदु $(15, -10)$ है।

(A) रेखा $ax + 2y = k$,रेखा $2x - 3y + 7 = 0$ के लंबवत है।
$ax + 2y = k$ की ढाल $m_1 = -a/2$ है।
$2x - 3y + 7 = 0$ की ढाल $m_2 = 2/3$ है।
लंबवत होने के कारण,$m_1 \times m_2 = -1$।
$(-a/2) \times (2/3) = -1 \implies -a/3 = -1 \implies a = 3$।
रेखा का समीकरण $3x + 2y = k$ है।
अंतःखंड रूप में: $\frac{x}{k/3} + \frac{y}{k/2} = 1$।
निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |\frac{k}{3}| \times |\frac{k}{2}| = 3$ है।
$\frac{|k^2|}{12} = 3 \implies |k^2| = 36 \implies k^2 = 36 \implies k = \pm 6$।
$k$ के सभी संभावित मानों का गुणनफल $6 \times (-6) = -36$ है।

(A) समचतुर्भुज की भुजाएँ $x+y+c_1=0$ और $7x-y+c_2=0$ के समांतर हैं।
चूँकि केंद्र $(1,3)$ है,विकर्ण भुजाओं के बीच के कोणों को समद्विभाजित करते हैं।
केंद्र $(1,3)$ से गुजरने वाली भुजाओं के समांतर रेखाएँ $x+y-4=0$ और $7x-y-4=0$ हैं।
समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे के लंब समद्विभाजक होते हैं।
भुजाओं की ढाल $m_1 = -1$ और $m_2 = 7$ है।
$x+y-4=0$ और $7x-y-4=0$ के कोण समद्विभाजक $\frac{x+y-4}{\sqrt{2}} = \pm \frac{7x-y-4}{\sqrt{50}}$ हैं।
सरल करने पर,$5(x+y-4) = \pm (7x-y-4)$।
स्थिति $1$: $5x+5y-20 = 7x-y-4 \implies x-3y+8=0$।
स्थिति $2$: $5x+5y-20 = -7x+y+4 \implies 3x+y-6=0$।
शीर्ष $A(\alpha, \beta)$ रेखा $15x-5y=6$ और एक विकर्ण पर स्थित है।
$3x+y=6$ और $15x-5y=6$ को हल करने पर: $x=1.2, y=2.4$। $\alpha+\beta = 3.6 = \frac{18}{5}$।

(B) माना रेखा $A(1, 5)$ से गुजरती है और इसका ढाल $m = \tan \theta$ है। रेखा का समीकरण $\frac{y-5}{x-1} = m$ है।
माना रेखा $5x - y - 4 = 0$ को $P_1(x_1, y_1)$ पर और $3x + 4y - 4 = 0$ को $P_2(x_2, y_2)$ पर काटती है।
$(1, 5)$ मध्यबिंदु है,इसलिए $P_1 = (1+r\cos\theta, 5+r\sin\theta)$ और $P_2 = (1-r\cos\theta, 5-r\sin\theta)$ है।
$P_1$ को $5x - y - 4 = 0$ में रखने पर: $5(1+r\cos\theta) - (5+r\sin\theta) - 4 = 0 \Rightarrow r = \frac{4}{5\cos\theta - \sin\theta}$.
$P_2$ को $3x + 4y - 4 = 0$ में रखने पर: $3(1-r\cos\theta) + 4(5-r\sin\theta) - 4 = 0 \Rightarrow r = \frac{19}{3\cos\theta + 4\sin\theta}$.
$r$ के दोनों मानों की तुलना करने पर: $\frac{4}{5\cos\theta - \sin\theta} = \frac{19}{3\cos\theta + 4\sin\theta}$.
$12\cos\theta + 16\sin\theta = 95\cos\theta - 19\sin\theta$ $\Rightarrow 35\sin\theta = 83\cos\theta$ $\Rightarrow \tan\theta = \frac{83}{35}$.
रेखा का समीकरण $y - 5 = \frac{83}{35}(x - 1) \Rightarrow 83x - 35y + 92 = 0$ है।

(C) माना बिंदु $P(h, k)$ है।
रेखा $x-2y+1=0$ से दूरी $\sqrt{5}$ होने पर:
$\left|\frac{h-2k+1}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}\right| = \sqrt{5} \Rightarrow |h-2k+1| = 5$.
यह दो समांतर रेखाएँ देता है: $h-2k+1 = 5$ या $h-2k+1 = -5$.
रेखा $2x+3y-1=0$ से दूरी $\sqrt{13}$ होने पर:
$\left|\frac{2h+3k-1}{\sqrt{2^2+3^2}}\right| = \sqrt{13} \Rightarrow |2h+3k-1| = 13$.
यह दो समांतर रेखाएँ देता है: $2h+3k-1 = 13$ या $2h+3k-1 = -13$.
समांतर रेखाओं का प्रत्येक युग्म दूसरे युग्म को $2 \times 2 = 4$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,ऐसे $4$ बिंदु हैं।

(D) कथन - $1$ का हल:
माना तीसरा शीर्ष $C(h, k)$ है।
लंबकेंद्र $O(0, 0)$ है।
चूँकि $AO \perp BC$,$AO$ की ढाल $m_{AO} = \frac{0 - (-1)}{0 - 5} = -\frac{1}{5}$ है।
$BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{k - 3}{h + 2}$ है।
$m_{AO} \cdot m_{BC} = -1$ होने के कारण,$(-\frac{1}{5}) \cdot (\frac{k - 3}{h + 2}) = -1 \Rightarrow 5h - k + 13 = 0$ ....$(1)$
चूँकि $BO \perp AC$,$BO$ की ढाल $m_{BO} = \frac{0 - 3}{0 - (-2)} = -\frac{3}{2}$ है।
$AC$ की ढाल $m_{AC} = \frac{k + 1}{h - 5}$ है।
$m_{BO} \cdot m_{AC} = -1$ होने के कारण,$(-\frac{3}{2}) \cdot (\frac{k + 1}{h - 5}) = -1 \Rightarrow 2h - 3k = 13$ ....$(2)$
समीकरणों $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर,$h = -4$ और $k = -7$ प्राप्त होता है।
अतः,तीसरा शीर्ष $(-4, -7)$ है। इस प्रकार,कथन $1$ सही है।
कथन - $2$ का हल:
$2a, b, c$ एक $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b = 2a + c \Rightarrow 2a - 2b + c = 0$ है।
रेखा का समीकरण $ax + by + c = 0$ है।
$2a - 2b + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,$x = 2$ और $y = -2$ के लिए समीकरण $a(2) + b(-2) + c = 0$ सत्य है।
अतः,रेखाएँ $ax + by + c = 0$ बिंदु $(2, -2)$ पर संगामी हैं। इस प्रकार,कथन $2$ सही है।