Mix Examples-Straight Line Questions in Hindi

(C) माना बिंदु $B$ $(x_1, y_1)$ है। चूँकि $B$,$x - y - 2 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $y_1 = x_1 - 2$,अतः $B = (x_1, x_1 - 2)$ है।
दूरी $AB = \sqrt{(x_1 - 4)^2 + (x_1 - 2 - 3)^2} = \frac{\sqrt{29}}{3}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x_1 - 4)^2 + (x_1 - 5)^2 = \frac{29}{9}$ प्राप्त होता है।
$2x_1^2 - 18x_1 + 41 = \frac{29}{9} \implies 18x_1^2 - 162x_1 + 340 = 0 \implies 9x_1^2 - 81x_1 + 170 = 0$ है।
हल करने पर: $(3x_1 - 10)(3x_1 - 17) = 0$,जिससे $x_1 = \frac{10}{3}$ या $x_1 = \frac{17}{3}$ मिलता है।
ढाल $1$ से अधिक होने के कारण,$B = (\frac{10}{3}, \frac{4}{3})$ होगा।
विकल्प $(C)$ में मान रखने पर: $x + 2y = \frac{10}{3} + 2(\frac{4}{3}) = 6$ प्राप्त होता है।

(D) रेखा $2x + 3y = 18$,$Y$-अक्ष को $B$ पर काटती है। $x = 0$ रखने पर,$3y = 18$,अतः $y = 6$। इस प्रकार,$B = (0, 6)$।
चूँकि $PB = PC$,$P$ रेखाखंड $BC$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित है। मान लीजिए $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $D$,रेखा $2x + 3y = 18$ पर स्थित है और $PD$,$BC$ के लंबवत है,इसलिए $BC$ की ढाल $-2/3$ है। अतः,$PD$ की ढाल $3/2$ है।
$P(10, 10)$ से गुजरने वाली रेखा $PD$ का समीकरण $y - 10 = \frac{3}{2}(x - 10)$ है,जो $3x - 2y = 10$ में सरल होता है।
समीकरणों को हल करने पर:
$2x + 3y = 18$ $(i)$
$3x - 2y = 10$ (ii)
हल करने पर $D = (66/13, 34/13)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,$a = 132/13$ और $b = -10/13$ प्राप्त होता है।
$8a + 2b = 8(132/13) + 2(-10/13) = 1036/13 \approx 79.69$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $78$ है।

(C) रेखा $L$ का समीकरण $9x + 5y = 45$ है। इसके अंतःखंड $(5, 0)$ और $(0, 9)$ हैं।
रेखाएँ $l_1$ और $l_2$ मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरती हैं और $(5, 0)$ तथा $(0, 9)$ के बीच के रेखाखंड को समत्रिभाजित करती हैं।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,समत्रिभाजन बिंदु हैं:
$P_1 = \left( \frac{2(0) + 1(5)}{3}, \frac{2(9) + 1(0)}{3} \right) = \left( \frac{5}{3}, 6 \right)$
$P_2 = \left( \frac{1(0) + 2(5)}{3}, \frac{1(9) + 2(0)}{3} \right) = \left( \frac{10}{3}, 3 \right)$
ढाल $m_1 = \frac{6}{5/3} = \frac{18}{5}$ और $m_2 = \frac{3}{10/3} = \frac{9}{10}$ हैं।
ढालों का योग $m_1 + m_2 = \frac{18}{5} + \frac{9}{10} = \frac{36+9}{10} = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$ है।
रेखा $y = \frac{9}{2}x$ है,या $9x - 2y = 0$ है।
$L: 9x + 5y = 45$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को घटाने पर:
$(9x + 5y) - (9x - 2y) = 45 - 0 \implies 7y = 45 \implies y = \frac{45}{7}$.
तब $9x = 2y = \frac{90}{7} \implies x = \frac{10}{7}$ है।
बिंदु $(\frac{10}{7}, \frac{45}{7})$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$C: \frac{45}{7} - \frac{10}{7} = \frac{35}{7} = 5$। यह सही है।
अतः,बिंदु $y - x = 5$ पर स्थित है।

(D) रेखा $4x + 5y = 20$ अक्षों को $P(5, 0)$ और $Q(0, 4)$ पर काटती है।
माना समत्रिभाजन बिंदु $A$ और $B$ हैं ताकि $PA = AB = BQ$ हो।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$A$ के निर्देशांक $PQ$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करते हैं:
$A = \left( \frac{1(0) + 2(5)}{1+2}, \frac{1(4) + 2(0)}{1+2} \right) = \left( \frac{10}{3}, \frac{4}{3} \right)$.
$B$ के निर्देशांक $PQ$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करते हैं:
$B = \left( \frac{2(0) + 1(5)}{2+1}, \frac{2(4) + 1(0)}{2+1} \right) = \left( \frac{5}{3}, \frac{8}{3} \right)$.
रेखा $OA$ की ढाल $(m_1)$ = $\frac{4/3}{10/3} = \frac{2}{5}$.
रेखा $OB$ की ढाल $(m_2)$ = $\frac{8/3}{5/3} = \frac{8}{5}$.
$L_1$ और $L_2$ के बीच के कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta$:
$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{\frac{8}{5} - \frac{2}{5}}{1 + (\frac{8}{5})(\frac{2}{5})} \right| = \frac{30}{41}$.

(C) दी गई रेखा $3x + 4y = 12$ है। मान लीजिए $P$ के निर्देशांक $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ हैं और $Q$ के निर्देशांक $(r \cos(90^{\circ} + \theta), r \sin(90^{\circ} + \theta)) = (-r \sin \theta, r \cos \theta)$ हैं,क्योंकि $\triangle OPQ$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $OP = OQ = r$ और $\angle POQ = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $P$ और $Q$ रेखा $3x + 4y = 12$ पर स्थित हैं:
$P$ के लिए: $3(r \cos \theta) + 4(r \sin \theta) = 12 \Rightarrow r(3 \cos \theta + 4 \sin \theta) = 12 \ldots(1)$
$Q$ के लिए: $3(-r \sin \theta) + 4(r \cos \theta) = 12 \Rightarrow r(4 \cos \theta - 3 \sin \theta) = 12 \ldots(2)$
$(1)$ और $(2)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$r^2(3 \cos \theta + 4 \sin \theta)^2 + r^2(4 \cos \theta - 3 \sin \theta)^2 = 12^2 + 12^2$
$r^2(25 \cos^2 \theta + 25 \sin^2 \theta) = 288$ $\Rightarrow 25r^2 = 288$ $\Rightarrow r^2 = \frac{288}{25}$.
$\triangle OPQ$ में,$PQ^2 = OP^2 + OQ^2 = r^2 + r^2 = 2r^2$.
अतः $l = OP^2 + PQ^2 + QO^2 = r^2 + 2r^2 + r^2 = 4r^2$.
$l = 4 \times \frac{288}{25} = \frac{1152}{25} = 46.08$.
$l$ से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक $\lfloor 46.08 \rfloor = 46$ है।

(A) बिंदु $(4, -9)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y + 9 = m(x - 4)$ है।
$x$-अंतःखंड $A$ ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें: $9 = m(x - 4) \Rightarrow x = 4 + \frac{9}{m}$. अतः,$A = (4 + \frac{9}{m}, 0)$.
$y$-अंतःखंड $B$ ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें: $y + 9 = m(-4) \Rightarrow y = -9 - 4m$. अतः,$B = (0, -(9 + 4m))$.
मूल बिंदु से दूरियों का योग $S = OA + OB = 4 + \frac{9}{m} + 9 + 4m = 13 + 4m + \frac{9}{m}$ है।
$AM \geq GM$ असमिका का उपयोग करने पर: $\frac{4m + \frac{9}{m}}{2} \geq \sqrt{36} = 6$.
इसलिए,$4m + \frac{9}{m} \geq 12$.
अतः,$S \geq 13 + 12 = 25$.

(A) दी गई रेखाएँ $ax + by + c = 0$ और $bx + ay + c = 0$ हैं।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(a - b)x + (b - a)y = 0 \Rightarrow (a - b)(x - y) = 0$.
चूंकि $a > b$,इसलिए $a - b \neq 0$,अतः $x = y$.
प्रथम समीकरण में $x = y$ रखने पर: $ax + bx + c = 0$ $\Rightarrow x(a + b) = -c$ $\Rightarrow x = \frac{-c}{a + b}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $P = \left(\frac{-c}{a + b}, \frac{-c}{a + b}\right)$ है।
$(1, 1)$ और $P$ के बीच की दूरी $\sqrt{(1 - (\frac{-c}{a + b}))^2 + (1 - (\frac{-c}{a + b}))^2} < 2\sqrt{2}$ है।
$\sqrt{2(1 + \frac{c}{a + b})^2} < 2\sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{2}(1 + \frac{c}{a + b}) < 2\sqrt{2}$.
$1 + \frac{c}{a + b} < 2$ $\Rightarrow \frac{c}{a + b} < 1$ $\Rightarrow c < a + b$.
यह दर्शाता है कि $a + b - c > 0$।

(C) मान लीजिए $P(x, y)$ प्रथम चतुर्थांश में एक बिंदु है,इसलिए $x > 0$ और $y > 0$ है।
दूरियाँ $d_1(P) = \frac{|x-y|}{\sqrt{2}}$ और $d_2(P) = \frac{|x+y|}{\sqrt{2}}$ हैं।
दी गई शर्त $2 \leq \frac{|x-y|}{\sqrt{2}} + \frac{|x+y|}{\sqrt{2}} \leq 4$ है,जो $2\sqrt{2} \leq |x-y| + |x+y| \leq 4\sqrt{2}$ में सरल हो जाती है।
स्थिति $1$: $x \geq y$. तो $|x-y| + |x+y| = (x-y) + (x+y) = 2x$.
अतः,$2\sqrt{2} \leq 2x \leq 4\sqrt{2} \implies \sqrt{2} \leq x \leq 2\sqrt{2}$. चूंकि $x \geq y > 0$,यह क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में एक आयत है।
स्थिति $2$: $y > x$. तो $|x-y| + |x+y| = (y-x) + (x+y) = 2y$.
अतः,$2\sqrt{2} \leq 2y \leq 4\sqrt{2} \implies \sqrt{2} \leq y \leq 2\sqrt{2}$. चूंकि $y > x > 0$,यह क्षेत्र भी एक आयत है।
क्षेत्र $R$ इन दो आयतों का संघ है,जो एक $L$-आकार का क्षेत्र बनाता है।
क्षेत्रफल $2\sqrt{2}$ भुजा वाले बड़े वर्ग और $\sqrt{2}$ भुजा वाले छोटे वर्ग के क्षेत्रफल का अंतर है।
क्षेत्रफल $= (2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2 = 8 - 2 = 6$.

(C) मान लीजिए कि समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी $5$ है। बिंदु $P$ एक रेखा से $1$ की दूरी पर और दूसरी रेखा से $4$ की दूरी पर है।
मान लीजिए $\theta$ वह कोण है जो $PR$ उस रेखा के साथ बनाता है जो $P$ से $4$ की दूरी पर है।
त्रिभुज की ज्यामिति से,$PR = \frac{4}{\sin \theta} = 4 \operatorname{cosec} \theta$.
इसी प्रकार,$PQ = \frac{1}{\sin(90^{\circ} - (\theta + 30^{\circ}))} = \frac{1}{\cos(\theta + 30^{\circ})}$.
चूंकि $\triangle PQR$ समबाहु है,$PR = PQ = d$.
अतः,$4 \operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\cos(\theta + 30^{\circ})}$.
$4 \cos(\theta + 30^{\circ}) = \sin \theta$.
$4(\cos \theta \cos 30^{\circ} - \sin \theta \sin 30^{\circ}) = \sin \theta$.
$4(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta - \frac{1}{2} \sin \theta) = \sin \theta$.
$2\sqrt{3} \cos \theta - 2 \sin \theta = \sin \theta$.
$2\sqrt{3} \cos \theta = 3 \sin \theta \Rightarrow \tan \theta = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
तब $\sin^2 \theta = \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{4/3}{1 + 4/3} = \frac{4/3}{7/3} = \frac{4}{7}$.
$d^2 = PR^2 = (4 \operatorname{cosec} \theta)^2 = 16 \operatorname{cosec}^2 \theta = 16 \times \frac{1}{\sin^2 \theta} = 16 \times \frac{7}{4} = 28$.

(D) मान लीजिए $P = (1, 2)$ और $Q = \left(\frac{57}{13}, \frac{-40}{13}\right)$ है। रेखा $2x - 3y + \lambda = 0$ रेखाखंड $PQ$ का लंब समद्विभाजक है।
$PQ$ का मध्य-बिंदु $M$ इस प्रकार है:
$M = \left(\frac{1 + \frac{57}{13}}{2}, \frac{2 - \frac{40}{13}}{2}\right) = \left(\frac{35}{13}, \frac{-7}{13}\right)$.
चूँकि $M$ रेखा $2x - 3y + \lambda = 0$ पर स्थित है:
$2\left(\frac{35}{13}\right) - 3\left(\frac{-7}{13}\right) + \lambda = 0$
$\frac{70}{13} + \frac{21}{13} + \lambda = 0$ $\Rightarrow 7 + \lambda = 0$ $\Rightarrow \lambda = -7$.
चूँकि तीनों रेखाएँ संगामी हैं,उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} 3 & -4 & -\alpha \\ 8 & -11 & -33 \\ 2 & -3 & \lambda \end{vmatrix} = 0$
$\lambda = -7$ रखने पर:
$3(77 - 99) + 4(-56 + 66) - \alpha(-24 + 22) = 0$
$-66 + 40 + 2\alpha = 0$ $\Rightarrow 2\alpha = 26$ $\Rightarrow \alpha = 13$.
अतः,$|\alpha \lambda| = |13 \times (-7)| = 91$.

(C) रेखा का समीकरण $x + by + c = 0$ है,जिसे $\frac{x}{-c} + \frac{y}{-c/b} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अंतःखंड $a = -c$ और $b' = -c/b$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |a \cdot b'| = \frac{1}{2} |(-c) \cdot (-c/b)| = \frac{1}{2} |\frac{c^2}{b}| = 48$ है।
अतः,$|\frac{c^2}{b}| = 96$।
मूल बिंदु से रेखा $L$ पर लंब धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है। इस लंब की ढाल $\tan(45^{\circ}) = 1$ है।
रेखा $L$ की ढाल $-1/b$ है। लंबवत रेखाओं की ढाल का गुणनफल $-1$ होता है,इसलिए $(1) \cdot (-1/b) = -1$,जिससे $b = 1$ प्राप्त होता है।
$b = 1$ को $|\frac{c^2}{b}| = 96$ में रखने पर,हमें $|c^2| = 96$ प्राप्त होता है,इसलिए $c^2 = 96$।
अतः,$b^2 + c^2 = 1^2 + 96 = 97$।

(A) दी गई रेखाओं के समीकरण $3x + 4y = 9$ और $y = mx + 1$ हैं।
$y = mx + 1$ को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$3x + 4(mx + 1) = 9$
$3x + 4mx + 4 = 9$
$x(3 + 4m) = 5$
$x = \frac{5}{3 + 4m}$
$x$ के पूर्णांक होने के लिए,$(3 + 4m)$ को $5$ का भाजक होना चाहिए।
$5$ के भाजक $\{1, -1, 5, -5\}$ हैं।
स्थिति $1$: $3 + 4m = 1 \implies 4m = -2 \implies m = -0.5$ (पूर्णांक नहीं है)।
स्थिति $2$: $3 + 4m = -1 \implies 4m = -4 \implies m = -1$ (पूर्णांक है)।
स्थिति $3$: $3 + 4m = 5 \implies 4m = 2 \implies m = 0.5$ (पूर्णांक नहीं है)।
स्थिति $4$: $3 + 4m = -5 \implies 4m = -8 \implies m = -2$ (पूर्णांक है)।
अतः,$m$ के $2$ पूर्णांक मान संभव हैं,जो $\{-1, -2\}$ हैं।

(A) माना मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y = mx$ है।
इसे पहली रेखा $4x + 3y - 10 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $4x + 3(mx) = 10$ प्राप्त होता है,अतः $x_A = \frac{10}{4+3m}$ और $y_A = \frac{10m}{4+3m}$।
इस प्रकार,$OA = \sqrt{x_A^2 + y_A^2} = \frac{10\sqrt{1+m^2}}{|4+3m|}$।
$y = mx$ को दूसरी रेखा $8x + 6y + 5 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $8x + 6(mx) = -5$ प्राप्त होता है,अतः $x_B = \frac{-5}{8+6m}$ और $y_B = \frac{-5m}{8+6m}$।
इस प्रकार,$OB = \sqrt{x_B^2 + y_B^2} = \frac{5\sqrt{1+m^2}}{|8+6m|} = \frac{5\sqrt{1+m^2}}{2|4+3m|}$।
अनुपात $OA : OB = \frac{10\sqrt{1+m^2}}{|4+3m|} : \frac{5\sqrt{1+m^2}}{2|4+3m|} = 10 : \frac{5}{2} = 20 : 5 = 4 : 1$।
अतः $O$,$AB$ को $4:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(C) माना रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि रेखा बिंदु $(2,3)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$,जिसका अर्थ है $2b + 3a = ab$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $12$ वर्ग इकाई दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{2}|ab| = 12$,यानी $ab = \pm 24$।
स्थिति $I$: $ab = 24$। $b = \frac{24}{a}$ को $2b + 3a = ab$ में रखने पर,$2(\frac{24}{a}) + 3a = 24$ प्राप्त होता है,जो $a^2 - 8a + 16 = 0$ में सरल हो जाता है। इससे $a = 4$ और $b = 6$ प्राप्त होता है। यह $1$ रेखा देता है।
स्थिति $II$: $ab = -24$। $b = \frac{-24}{a}$ को $2b + 3a = ab$ में रखने पर,$2(\frac{-24}{a}) + 3a = -24$ प्राप्त होता है,जो $a^2 + 8a - 16 = 0$ में सरल हो जाता है। इसके हल $a = -4 \pm 4\sqrt{2}$ हैं। चूंकि $b = \frac{-24}{a}$ है,इसलिए $a$ के प्रत्येक मान के लिए $b$ का एक भिन्न मान प्राप्त होता है। यह $2$ अतिरिक्त रेखाएं देता है।
अतः,संभावित रेखाओं की कुल संख्या $1 + 2 = 3$ है।

(A) रेखा $l_1$ की ढाल $= \frac{4-2}{-3-1} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$ है।
चूंकि $(h, k)$,$l_1$ पर स्थित है,$(h, k)$ और $(1, 2)$ के बीच की ढाल $-\frac{1}{2}$ होगी:
$\frac{k-2}{h-1} = -\frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2k-4 = -h+1$ $\Rightarrow h+2k = 5$ ... $(i)$.
रेखा $l_2$,$(h, k)$ और $(4, 3)$ से गुजरती है और $l_1$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{-1/2} = 2$ है।
अतः,$\frac{3-k}{4-h} = 2$ $\Rightarrow 3-k = 8-2h$ $\Rightarrow 2h-k = 5$ ... $(ii)$.
समीकरण $(ii)$ को $2$ से गुणा करने पर: $4h-2k = 10$ ... $(iii)$.
$(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर: $(h+2k) + (4h-2k) = 5+10$ $\Rightarrow 5h = 15$ $\Rightarrow h = 3$.
$h=3$ को $(i)$ में रखने पर: $3+2k = 5$ $\Rightarrow 2k = 2$ $\Rightarrow k = 1$.
अतः,$\frac{k}{h} = \frac{1}{3}$.

(A) माना बिंदु $P(1, 2)$ है। $P$ से गुजरने वाली और $3x - y = 2$ के समानांतर रेखा का समीकरण $3x - y = k$ है। चूँकि यह $(1, 2)$ से गुजरती है,इसलिए $3(1) - 2 = k$,जिससे $k = 1$ प्राप्त होता है। रेखा का समीकरण $3x - y = 1$ या $y = 3x - 1$ है।
इस रेखा का $x + y = 0$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $Q$ ज्ञात करने के लिए,$y = 3x - 1$ को $x + y = 0$ में प्रतिस्थापित करें:
$x + (3x - 1) = 0 \implies 4x = 1 \implies x = \frac{1}{4}$.
अतः $y = -x = -\frac{1}{4}$. इसलिए $Q = (\frac{1}{4}, -\frac{1}{4})$ है।
दूरी $PQ = \sqrt{(1 - \frac{1}{4})^2 + (2 - (-\frac{1}{4}))^2} = \sqrt{(\frac{3}{4})^2 + (\frac{9}{4})^2} = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{81}{16}} = \sqrt{\frac{90}{16}} = \frac{3 \sqrt{10}}{4}$ इकाई।

(D) दी गई रेखाएँ हैं:
$4ax + 2ay + c = 0$ $(i)$
$5bx + 2by + d = 0$ $(ii)$
$(i)$ को $b$ से और $(ii)$ को $a$ से गुणा करने पर:
$4abx + 2aby + bc = 0$
$5abx + 2aby + ad = 0$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$-abx + bc - ad = 0 \Rightarrow x = \frac{bc - ad}{ab}$
$x$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$y = \frac{4ad - 5bc}{2ab}$
चूँकि बिंदु $4^{\text{th}}$ चतुर्थांश में है और अक्षों से समान दूरी पर है,इसलिए $x = -y$।
$\frac{bc - ad}{ab} = -(\frac{4ad - 5bc}{2ab})$
$2bc - 2ad = -4ad + 5bc$
$2ad - 3bc = 0$

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$1. 4x + 6y = 5$
$2. 8x + 12y = 10$
चरण-दर-चरण जाँच:
समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$2(4x + 6y) = 2(5) \Rightarrow 8x + 12y = 10$
यह समीकरण $(2)$ के समान है।
निष्कर्ष:
चूंकि दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए इस निकाय के अनंत अनेक हल हैं।

(C) दी गई रेखाएं $L_1: 4x + 2y - 9 = 0$ और $L_2: 2x + y + 6 = 0$ हैं।
$L_1$ को $2(2x + y) = 9$ के रूप में लिखा जा सकता है,यानी $2x + y = 4.5$।
मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा को $y = mx$ मानें।
$y = mx$ को $L_1$ में रखने पर: $x_P = \frac{4.5}{2+m}$,$y_P = \frac{4.5m}{2+m}$।
$y = mx$ को $L_2$ में रखने पर: $x_Q = \frac{-6}{2+m}$,$y_Q = \frac{-6m}{2+m}$।
चूंकि $O$ मूल बिंदु $(0,0)$ है,इसलिए $O$ द्वारा $PQ$ को विभाजित करने वाला अनुपात $OP$ और $OQ$ की दूरियों का अनुपात है।
$OP : OQ = 4.5 : 6 = 3 : 4$।
अतः,$O$,$PQ$ को $3:4$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(B) $2x + y - 4 = 0$ और $x - 3y + 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण: $(2x + y - 4) + \lambda(x - 3y + 5) = 0$ ... $(i)$
सरल करने पर: $x(2 + \lambda) + y(1 - 3\lambda) + (5\lambda - 4) = 0$.
मूल बिंदु $(0, 0)$ से दूरी $\sqrt{5}$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\left|\frac{5\lambda - 4}{\sqrt{(2 + \lambda)^2 + (1 - 3\lambda)^2}}\right| = \sqrt{5}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{(5\lambda - 4)^2}{10\lambda^2 - 2\lambda + 5} = 5$
$25\lambda^2 - 40\lambda + 16 = 50\lambda^2 - 10\lambda + 25$
$25\lambda^2 + 30\lambda + 9 = 0$
$(5\lambda + 3)^2 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{3}{5}$.
$\lambda = -\frac{3}{5}$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(2x + y - 4) - \frac{3}{5}(x - 3y + 5) = 0$
$10x + 5y - 20 - 3x + 9y - 15 = 0$
$7x + 14y - 35 = 0$
$7$ से भाग देने पर: $x + 2y - 5 = 0$.

(D) माना बिंदु $P(x, y)$ है। चूंकि $P$ रेखा $3x + y + 4 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $y = -3x - 4$ है।
माना $A = (-5, 6)$ और $B = (3, 2)$ है।
चूंकि $P$,$A$ और $B$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PA^2 = PB^2$ होगा।
$(x + 5)^2 + (y - 6)^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2$.
$x^2 + 10x + 25 + y^2 - 12y + 36 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y + 4$.
$16x - 8y + 48 = 0$,जिसे सरल करने पर $2x - y + 6 = 0$ प्राप्त होता है।
$y = -3x - 4$ को $2x - y + 6 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2x - (-3x - 4) + 6 = 0$.
$5x + 10 = 0 \implies x = -2$.
अतः $y = -3(-2) - 4 = 6 - 4 = 2$.
बिंदु $(-2, 2)$ है।

(B) चूँकि $L_1$ और $L_2$ समांतर हैं,इसलिए उनकी ढाल (slopes) समान हैं।
$L_2 \equiv 4x-6y+8=0$ के लिए,ढाल $m_2 = -\frac{4}{-6} = \frac{2}{3}$ है।
चूँकि $L_1$ रेखा $L_2$ के समांतर है,$L_1 \equiv ax-3y+5=0$ की ढाल $\frac{a}{3} = \frac{2}{3}$ होगी,जिससे $a=2$ प्राप्त होता है।
$L_1: 2x-3y+5=0$ के लिए,$X$-अंतःखंड $p$ ज्ञात करने के लिए $y=0$ रखने पर,$2p+5=0 \implies p = -\frac{5}{2}$।
$Y$-अंतःखंड $q$ ज्ञात करने के लिए $x=0$ रखने पर,$-3q+5=0 \implies q = \frac{5}{3}$। बिंदु $(p, q) = (-\frac{5}{2}, \frac{5}{3})$ है।
$L_2: 4x-6y+8=0$ के लिए,$X$-अंतःखंड $m$ ज्ञात करने के लिए $y=0$ रखने पर,$4m+8=0 \implies m = -2$।
$Y$-अंतःखंड $n$ ज्ञात करने के लिए $x=0$ रखने पर,$-6n+8=0 \implies n = \frac{4}{3}$। बिंदु $(m, n) = (-2, \frac{4}{3})$ है।
$(p, q)$ और $(m, n)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $M = \frac{\frac{4}{3} - \frac{5}{3}}{-2 - (-\frac{5}{2})} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = -\frac{2}{3}$ है।
रेखा का समीकरण $y - \frac{4}{3} = -\frac{2}{3}(x + 2) \implies 3y - 4 = -2x - 4 \implies 2x + 3y = 0$ है।

(A) मान लीजिए रेखा $PQ$ का ढाल $m$ है। $(1, 5)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - 5 = m(x - 1)$ है,जिसे $y = mx + 5 - m$ लिखा जा सकता है।
चूंकि $Q$,$5x - y - 4 = 0$ पर स्थित है,$y = mx + 5 - m$ को समीकरण में रखने पर:
$5x - (mx + 5 - m) - 4 = 0 \Rightarrow (5 - m)x + m - 9 = 0 \Rightarrow x_Q = \frac{9 - m}{5 - m}$.
अतः $y_Q = \frac{25 - m}{5 - m}$.
चूंकि $P$,$3x + 4y - 4 = 0$ पर स्थित है,$y = mx + 5 - m$ को समीकरण में रखने पर:
$3x + 4(mx + 5 - m) - 4 = 0 \Rightarrow (3 + 4m)x + 16 - 4m = 0 \Rightarrow x_P = \frac{4m - 16}{4m + 3}$.
अतः $y_P = \frac{m + 15}{4m + 3}$.
$(1, 5)$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $x$-निर्देशांक $\frac{x_P + x_Q}{2} = 1$ होगा:
$\frac{4m - 16}{4m + 3} + \frac{9 - m}{5 - m} = 2$.
$m$ के लिए हल करने पर: $35m = 83 \Rightarrow m = \frac{83}{35}$.

(B) रेखा $x/a - y/b = 1$ बिंदु $(8, 6)$ से गुजरती है,इसलिए $8/a - 6/b = 1$ . . . $(i)$.
अंतःखंड $(a, 0)$ और $(0, -b)$ हैं। अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $1/2 \times |a| \times |-b| = 12$ है,इसलिए $|ab| = 24$,जिसका अर्थ है $ab = 24$ या $ab = -24$.
स्थिति $1$: $b = 24/a$. $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $8/a - 6/(24/a) = 1 \implies 8/a - a/4 = 1 \implies 32 - a^2 = 4a \implies a^2 + 4a - 32 = 0 \implies (a+8)(a-4) = 0$.
यदि $a = 4$,तो $b = 6$. रेखा $x/4 - y/6 = 1 \implies 3x - 2y = 12 \implies 3x - 2y - 12 = 0$.
यदि $a = -8$,तो $b = -3$. रेखा $x/(-8) - y/(-3) = 1 \implies -x/8 + y/3 = 1 \implies -3x + 8y = 24 \implies 3x - 8y + 24 = 0$.
अतः,समीकरण $3x - 2y - 12 = 0$ और $3x - 8y + 24 = 0$ हैं।

(A) माना रेखा का झुकाव कोण $\theta$ है। चूँकि यह बिंदु $A(1,2)$ से गुजरती है,रेखा का प्राचलिक समीकरण $\frac{x-1}{\cos \theta} = \frac{y-2}{\sin \theta} = r$ है,जहाँ $r = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $P(1 + r \cos \theta, 2 + r \sin \theta)$ है।
चूँकि $P$ रेखा $x+y=4$ पर स्थित है,इसलिए $(1 + r \cos \theta) + (2 + r \sin \theta) = 4$ होगा।
$3 + r(\cos \theta + \sin \theta) = 4 \Rightarrow r(\cos \theta + \sin \theta) = 1$।
$r = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$ रखने पर,$\pm \frac{\sqrt{6}}{3}(\cos \theta + \sin \theta) = 1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{6}{9}(\cos \theta + \sin \theta)^2 = 1 \Rightarrow \frac{2}{3}(1 + \sin 2\theta) = 1$।
$1 + \sin 2\theta = \frac{3}{2} \Rightarrow \sin 2\theta = \frac{1}{2}$।
अतः,$2\theta = 30^{\circ}$ या $150^{\circ}$,जिससे $\theta = 15^{\circ}$ या $75^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(A) $3x - 4y + 1 = 0$ और $5x + y - 1 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाली रेखाओं के परिवार का समीकरण $(3x - 4y + 1) + \lambda(5x + y - 1) = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(3 + 5\lambda)x + (\lambda - 4)y + (1 - \lambda) = 0$ प्राप्त होता है।
रेखा द्वारा अक्षों पर समान अंतःखंड काटने के लिए,रेखा की ढाल $-1$ होनी चाहिए।
ढाल $m = -\frac{3 + 5\lambda}{\lambda - 4} = -1$ $\Rightarrow 3 + 5\lambda = \lambda - 4$ $\Rightarrow 4\lambda = -7$ $\Rightarrow \lambda = -\frac{7}{4}$.
$\lambda = -\frac{7}{4}$ रखने पर,$23x + 23y - 11 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) $3x - 4y + 1 = 0$ और $5x + y - 1 = 0$ रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण $(3x - 4y + 1) + \lambda(5x + y - 1) = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(3 + 5\lambda)x + (\lambda - 4)y = \lambda - 1$ प्राप्त होता है।
रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{\frac{\lambda - 1}{3 + 5\lambda}} + \frac{y}{\frac{\lambda - 1}{\lambda - 4}} = 1$ है।
चूंकि अंतःखंड समान और शून्येतर हैं,इसलिए $\frac{\lambda - 1}{3 + 5\lambda} = \frac{\lambda - 1}{\lambda - 4}$ जहाँ $\lambda \neq 1$ है।
इससे $\lambda - 4 = 3 + 5\lambda$ प्राप्त होता है,जिसका हल $4\lambda = -7$ अर्थात $\lambda = -\frac{7}{4}$ है।
$\lambda = -\frac{7}{4}$ को $(3 + 5\lambda)x + (\lambda - 4)y = \lambda - 1$ में रखने पर,$(3 - \frac{35}{4})x + (-\frac{7}{4} - 4)y = -\frac{7}{4} - 1$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$-\frac{23}{4}x - \frac{23}{4}y = -\frac{11}{4}$,जो $23x + 23y = 11$ देता है।

(C) माना बिंदु $A(\alpha, 3)$ और $B(2, -1)$ हैं। $AB$ का मध्यबिंदु $M$,$\left(\frac{\alpha+2}{2}, 1\right)$ है।
लंब समद्विभाजक $M$ से होकर गुजरता है और इसका $y$-अंतःखंड $1$ है,जो $M$ के $y$-निर्देशांक के समान है। इसका अर्थ है कि $M$ का $x$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए या रेखा क्षैतिज होनी चाहिए।
$\frac{\alpha+2}{2} = 0 \implies \alpha = -2$.
वैकल्पिक रूप से,यदि $\alpha=2$ है,तो $AB$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा बन जाती है और लंब समद्विभाजक $y=1$ होता है,जिसका $y$-अंतःखंड $1$ है।
अतः,$\alpha = \pm 2$.

(C) . माना $Y$-अंतःखंड $a$ है,तो $X$-अंतःखंड $2a$ है। समीकरण: $\frac{x}{2a} + \frac{y}{a} = 1 \Rightarrow x+2y=2a$. यह $(4,3)$ से गुजरती है,इसलिए $4+2(3)=2a \Rightarrow 2a=10$. समीकरण: $x+2y-10=0$ (विकल्प $IV$).
$B$. केंद्रक $G = (\frac{10}{3}, -\frac{2}{3})$. परिकेंद्र $O = (\frac{21}{4}, -\frac{5}{4})$. $G$ और $O$ से गुजरने वाली रेखा $7x+23y-8=0$ है (विकल्प $II$).
$C$. $x-y+2=0$ के लंबवत रेखा की ढाल $-1$ है। समीकरण: $y-0 = -1(x - (-3/5)) \Rightarrow 5x+5y+3=0$ (विकल्प $V$).
$D$. अभिलंब रूप: $x \cos 45^{\circ} + y \sin 45^{\circ} = 2 \Rightarrow x+y-2\sqrt{2}=0$ (विकल्प $I$).

(B) धनात्मक $x$ और $y$ अक्षों पर समान अंतःखंड $a$ बनाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ है,जिसे $x + y = a$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि इस रेखा की मूल बिंदु $(0, 0)$ से दूरी $1$ इकाई है,इसलिए:
$\left| \frac{0 + 0 - a}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \right| = 1$
$\left| \frac{-a}{\sqrt{2}} \right| = 1 \implies a = \sqrt{2}$ (क्योंकि अंतःखंड धनात्मक अक्षों पर हैं)।
अतः,रेखा का समीकरण $x + y = \sqrt{2}$ है।
दूसरी रेखा $y = 2x + 3 + \sqrt{2}$ दी गई है,जिसे $2x - y = -3 - \sqrt{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_0, y_0)$ ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को हल करें:
$x + y = \sqrt{2}$
$2x - y = -3 - \sqrt{2}$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$3x = -3 \implies x_0 = -1$.
$x_0 = -1$ को $x + y = \sqrt{2}$ में रखने पर:
$-1 + y_0 = \sqrt{2} \implies y_0 = \sqrt{2} + 1$.
अब,$2x_0 + y_0$ का मान:
$2(-1) + (\sqrt{2} + 1) = -2 + \sqrt{2} + 1 = \sqrt{2} - 1$.

(B) दिया गया है कि $l, m, n$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
अतः,$2m = l + n$।
रेखा का समीकरण $lx + my + n = 0$ है।
हम बिंदु $(1, -2)$ को समीकरण में रखते हैं:
$l(1) + m(-2) + n = 0$
$l - 2m + n = 0$
$l + n = 2m$
चूंकि यह $l, m, n$ के समांतर श्रेणी में होने की शर्त को संतुष्ट करता है,इसलिए रेखा सदैव बिंदु $(1, -2)$ से होकर गुजरेगी।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) चरण $1$: रेखाओं $3x + y - 4 = 0$ और $x - y = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ ज्ञात करें। समीकरणों को जोड़ने पर,$4x = 4 \Rightarrow x = 1$. $x = 1$ को $x - y = 0$ में रखने पर,$y = 1$ प्राप्त होता है। अतः,$A = (1, 1)$.
चरण $2$: मान लीजिए कि आवश्यक रेखा की ढाल $m$ है। रेखा $x - 3y + 5 = 0$ की ढाल $m_1 = 1/3$ है।
चरण $3$: रेखाओं के बीच का कोण $45^{\circ}$ है। सूत्र $\tan \theta = |(m - m_1) / (1 + m \cdot m_1)|$ का उपयोग करते हुए,$\tan 45^{\circ} = |(m - 1/3) / (1 + m/3)| = 1$.
चरण $4$: इससे $(m - 1/3) / (1 + m/3) = 1$ या $(m - 1/3) / (1 + m/3) = -1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $m = 2$.
स्थिति $2$: $m = -1/2$.
चूंकि ढाल ऋणात्मक है,हम $m = -1/2$ चुनते हैं।
चरण $5$: $(1, 1)$ से गुजरने वाली और $m = -1/2$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 1 = -1/2(x - 1) \Rightarrow x + 2y = 3$ है।

(A) रेखा $L$,$3x - 4y = 6$ के लंबवत है। दी गई रेखा की ढाल $3/4$ है,इसलिए रेखा $L$ की ढाल $-4/3$ है।
माना रेखा $L$ का समीकरण $4x + 3y = k$ है।
अक्षों पर अंतःखंड $x = k/4$ और $y = k/3$ हैं।
अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\frac{k}{4}| |\frac{k}{3}| = 6$ है।
$|k^2| / 24 = 6$ $\Rightarrow k^2 = 144$ $\Rightarrow k = \pm 12$.
$L$ के लिए संभावित समीकरण $4x + 3y - 12 = 0$ और $4x + 3y + 12 = 0$ हैं।
बिंदु $(1, 1)$ से $ax + by + c = 0$ की दूरी $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
$4x + 3y - 12 = 0$ के लिए,$d_1 = \frac{|4(1) + 3(1) - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|7 - 12|}{5} = \frac{5}{5} = 1$.
$4x + 3y + 12 = 0$ के लिए,$d_2 = \frac{|4(1) + 3(1) + 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|19|}{5} = 3.8$.
न्यूनतम दूरी $1$ है।

(B) $P(2,3)$ से गुजरने वाली और $\theta = 30^{\circ}$ कोण बनाने वाली रेखा का प्राचलिक समीकरण $\frac{x-2}{\cos 30^{\circ}} = \frac{y-3}{\sin 30^{\circ}} = r$ है।
अतः,$x = 2 + r \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $y = 3 + \frac{r}{2}$।
इन मानों को $x^2 - 2xy - y^2 = 0$ में रखने पर:
$(2 + r \frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 2(2 + r \frac{\sqrt{3}}{2})(3 + \frac{r}{2}) - (3 + \frac{r}{2})^2 = 0$।
सरल करने पर,$r^2(\frac{1-\sqrt{3}}{2}) - r(5 + \sqrt{3}) - 17 = 0$ प्राप्त होता है।
मूलों का गुणनफल $PA \cdot PB = |r_1 r_2| = |\frac{-17}{(1-\sqrt{3})/2}| = 17(\sqrt{3}+1)$।

(A) दी गई रेखा $5x - y = 1$ है,जिसे $y = 5x - 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1 = 5$ है।
चूंकि रेखा $L$ इस रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m$ को $m \times 5 = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए,अतः $m = -1/5$।
रेखा $L$ का समीकरण $y = -\frac{1}{5}x + c$ या $x + 5y = 5c$ है। मान लीजिए $k = 5c$,तो समीकरण $x + 5y = k$ है।
इस रेखा के अंतःखंड $x = k$ (जब $y=0$) और $y = k/5$ (जब $x=0$) हैं।
निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_{int} \times y_{int}| = 5$ है।
$\frac{1}{2} |k \times \frac{k}{5}| = 5 \implies |k^2| = 50 \implies k = \pm \sqrt{50} = \pm 5 \sqrt{2}$।
अतः,रेखा $L$ का समीकरण $x + 5y = \pm 5 \sqrt{2}$ है।

(D) रेखा $y - 3kx + 4 = 0$ की ढाल $m_1 = 3k$ है।
रेखा $(2k - 1)x - (8k - 1)y - 6 = 0$ की ढाल $m_2 = \frac{2k - 1}{8k - 1}$ है।
चूंकि रेखाएँ लंबवत हैं,इसलिए $m_1 \times m_2 = -1$।
$3k \times \left(\frac{2k - 1}{8k - 1}\right) = -1$।
$6k^2 - 3k = -8k + 1$।
$6k^2 + 5k - 1 = 0$।
$(6k - 1)(k + 1) = 0$।
अतः,$k = \frac{1}{6}$ या $k = -1$।
$k_1 > k_2$ दिया गया है,इसलिए $k_1 = \frac{1}{6}$ और $k_2 = -1$।
अभीष्ट रेखा की ढाल $m = \frac{k_2}{k_1} = \frac{-1}{1/6} = -6$ है।
$(k_1, k_2) = (\frac{1}{6}, -1)$ से गुजरने वाली और $m = -6$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - (-1) = -6(x - \frac{1}{6})$।
$y + 1 = -6x + 1$।
$6x + y = 0$।

(A) रेखा $4x + 3y - 1 = 0$ है। इस रेखा की ढाल $m = -4/3$ है।
माना रेखा पर बिंदु $(x, y)$ है। बिंदु $A(-2, 3)$ से $r = 10$ की दूरी पर स्थित बिंदुओं के लिए प्राचलिक रूप: $x = x_0 + r cos \theta$ और $y = y_0 + r sin \theta$ है।
चूंकि ढाल $m = \tan \theta = -4/3$ है,इसलिए $\cos \theta = \pm 3/5$ और $\sin \theta = \mp 4/5$ प्राप्त होता है।
दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के लिए:
$x_1 = -2 + 10(3/5) = 4, y_1 = 3 + 10(-4/5) = -5$
$x_2 = -2 + 10(-3/5) = -8, y_2 = 3 + 10(4/5) = 11$
अब,$(x_1 + y_1)^2 + (x_2 + y_2)^2$ की गणना करने पर:
$(4 - 5)^2 + (-8 + 11)^2 = (-1)^2 + (3)^2 = 1 + 9 = 10$.

(D) माना रेखा $y=x+3$ पर बिंदु $(x, y)$ है।
रेखा की ढाल $m=1$ है,इसलिए झुकाव कोण $\theta=45^{\circ}$ है।
बिंदु $(x, y)$ रेखा $y=x+3$ पर स्थित है और $(0,3)$ से $2$ इकाई की दूरी पर है।
$(0,3)$ से गुजरने वाली और $\theta=45^{\circ}$ कोण बनाने वाली रेखा के प्राचलिक रूप का उपयोग करने पर:
$\frac{x-0}{\cos 45^{\circ}} = \frac{y-3}{\sin 45^{\circ}} = r$,जहाँ $r = \pm 2$ है।
इससे $x = r \cos 45^{\circ} = \pm 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \sqrt{2}$ और $y = 3 + r \sin 45^{\circ} = 3 \pm \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
दो संभावित बिंदु $P_1 = (\sqrt{2}, 3+\sqrt{2})$ और $P_2 = (-\sqrt{2}, 3-\sqrt{2})$ हैं।
मूल बिंदु $(0,0)$ से दूरी $D$ के लिए $D^2 = x^2 + y^2$ होगा।
$P_1$ के लिए: $D_1^2 = (\sqrt{2})^2 + (3+\sqrt{2})^2 = 2 + (9 + 2 + 6\sqrt{2}) = 13 + 6\sqrt{2}$।
$P_2$ के लिए: $D_2^2 = (-\sqrt{2})^2 + (3-\sqrt{2})^2 = 2 + (9 + 2 - 6\sqrt{2}) = 13 - 6\sqrt{2}$।
अतः न्यूनतम दूरी $\sqrt{13-6\sqrt{2}}$ है।

(C) रेखाओं के प्रथम परिवार $(x-2y-1)+\lambda(3x+2y-11)=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $x-2y-1=0$ और $3x+2y-11=0$ को हल करने पर $(3,1)$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के दूसरे परिवार $(3x+4y-11)+\mu(-x+2y-3)=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $3x+4y-11=0$ और $-x+2y-3=0$ को हल करने पर $(1,2)$ प्राप्त होता है।
दोनों परिवारों के लिए उभयनिष्ठ रेखा $(3,1)$ और $(1,2)$ से होकर गुजरती है।
$(3,1)$ और $(1,2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{y-1}{x-3} = \frac{2-1}{1-3} = \frac{1}{-2}$ है।
$-2(y-1) = x-3$ $\Rightarrow -2y+2 = x-3$ $\Rightarrow x+2y-5=0$.
$x+2y-5=0$ की तुलना $ax+by-5=0$ से करने पर,$a=1$ और $b=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$2a+b = 2(1)+2 = 4$.

(C) रेखाखंड $PQ$ को $4:1$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $R$ के निर्देशांक:
$R = \left(\frac{4(1)+1(2)}{4+1}, \frac{4(1)+1(-1)}{4+1}\right) = \left(\frac{6}{5}, \frac{3}{5}\right)$
चूंकि बिंदु $R$,रेखा $L \equiv 3x+4y-k=0$ पर स्थित है:
$3\left(\frac{6}{5}\right) + 4\left(\frac{3}{5}\right) - k = 0 \Rightarrow k=6$
अतः,$L \equiv 3x+4y-6=0$.
रेखा $PQ$ का समीकरण:
$2x+y-3=0$
संगामी रेखाओं का परिवार:
$(3x+4y-6) + \lambda(2x+y-3) = 0$
रेखा $y=x$ के समानांतर होने के कारण इसका ढाल $1$ है:
$-\frac{3+2\lambda}{4+\lambda} = 1 \Rightarrow \lambda = -\frac{7}{3}$
मान रखने पर:
$5x-5y-3=0$

(D) माना रेखा $L$ का समीकरण $y - 5 = m(x - 1)$ है,जिसे $mx - y + (5 - m) = 0$ लिखा जा सकता है।
रेखा $L$ और $L_1: 5x - y - 4 = 0$ तथा $L_2: 3x + 4y - 4 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु क्रमशः $A$ और $B$ हैं।
चूंकि $(1, 5)$ बिंदु $AB$ का मध्य-बिंदु है,यदि $A = (x_1, y_1)$ है,तो $B = (2 - x_1, 10 - y_1)$ होगा।
बिंदु $A$,$5x - y - 4 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $5x_1 - y_1 - 4 = 0 \implies y_1 = 5x_1 - 4$।
बिंदु $B$,$3x + 4y - 4 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $3(2 - x_1) + 4(10 - y_1) - 4 = 0$।
$6 - 3x_1 + 40 - 4y_1 - 4 = 0 \implies 3x_1 + 4y_1 = 42$।
$y_1 = 5x_1 - 4$ को समीकरण में रखने पर: $3x_1 + 4(5x_1 - 4) = 42$।
$3x_1 + 20x_1 - 16 = 42 \implies 23x_1 = 58 \implies x_1 = \frac{58}{23}$।
तब $y_1 = 5(\frac{58}{23}) - 4 = \frac{290 - 92}{23} = \frac{198}{23}$।
बिंदु $(1, 5)$ और $(\frac{58}{23}, \frac{198}{23})$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{\frac{198}{23} - 5}{\frac{58}{23} - 1} = \frac{198 - 115}{58 - 23} = \frac{83}{35}$ है।
$L$ का समीकरण $y - 5 = \frac{83}{35}(x - 1) \implies 35y - 175 = 83x - 83$ है।
$83x - 35y + 92 = 0$।

(C) दी गई रेखाएँ $y=x+r$ और $y=-x+r$ हैं,जहाँ $r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
ये रेखाएँ वर्गों का एक ग्रिड बनाती हैं।
दो रेखाएँ $y=x+r_1$ और $y=x+r_2$ समानांतर हैं,और उनके बीच की दूरी $\frac{|r_1-r_2|}{\sqrt{2}}$ है।
वर्ग की भुजा की लंबाई $\sqrt{2}$ होने के लिए,$\frac{|r_1-r_2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ आवश्यक है,जिसका अर्थ है $|r_1-r_2| = 2$।
समुच्चय $r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ के लिए,$2$ के अंतर वाली जोड़ियाँ $(0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)$ हैं। ऐसी $5$ जोड़ियाँ हैं।
इसी प्रकार,$y=-x+r$ रेखाओं के लिए,दो रेखाओं के बीच की दूरी $\frac{|r_3-r_4|}{\sqrt{2}}$ है।
इसे $\sqrt{2}$ के बराबर रखने पर $|r_3-r_4| = 2$ प्राप्त होता है,जो भी $5$ जोड़ियाँ देता है।
निर्मित वर्गों की कुल संख्या प्रत्येक दिशा में $2$ लंबाई के अंतरालों की संख्या का गुणनफल है,जो $5 \times 5 = 25$ है।

(A) रेखाओं की ढाल $m_1 = -2$,$m_2 = -\frac{a}{b}$,और $m_3 = -\frac{1}{2}$ है।
चूँकि $L_1$ और $L_2$ समान भुजाएँ हैं,$L_1$ और $L_3$ के बीच का कोण $L_2$ और $L_3$ के बीच के कोण के बराबर होना चाहिए।
सूत्र $\tan \theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $|\frac{-2 - (-1/2)}{1 + (-2)(-1/2)}| = |\frac{-a/b - (-1/2)}{1 + (-a/b)(-1/2)}|$.
$|\frac{-3/2}{2}| = |\frac{-2a+b}{2b+a}| \Rightarrow \frac{3}{4} = |\frac{2a-b}{a+2b}|$.
स्थिति $1$: $\frac{3}{4} = \frac{2a-b}{a+2b}$ $\Rightarrow 3a+6b = 8a-4b$ $\Rightarrow 5a = 10b$ $\Rightarrow a=2b$.
चूँकि $(5,1)$ रेखा $L_2$ पर स्थित है,$5a+b+c=0$ $\Rightarrow 10b+b+c=0$ $\Rightarrow c=-11b$.
अतः $\frac{b^2}{|ac|} = \frac{b^2}{|(2b)(-11b)|} = \frac{b^2}{22b^2} = \frac{1}{22}$.
स्थिति $2$: $-\frac{3}{4} = \frac{2a-b}{a+2b}$ $\Rightarrow -3a-6b = 8a-4b$ $\Rightarrow 11a = -2b$ $\Rightarrow a=-\frac{2b}{11}$.
चूँकि $(5,1)$ रेखा $L_2$ पर स्थित है,$5(-\frac{2b}{11})+b+c=0 \Rightarrow c = \frac{10b}{11}-b = -\frac{b}{11}$.
अतः $\frac{b^2}{|ac|} = \frac{b^2}{|(-\frac{2b}{11})(-\frac{b}{11})|} = \frac{b^2}{2b^2/121} = \frac{121}{2}$.

(A) $3x - 4y + 1 = 0$ और $5x + y - 1 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $(3x - 4y + 1) + \lambda(5x + y - 1) = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(3 + 5\lambda)x + (-4 + \lambda)y + (1 - \lambda) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखा अक्षों पर समान अंतःखंड बनाती है,$3 + 5\lambda = -4 + \lambda$ $\Rightarrow 4\lambda = -7$ $\Rightarrow \lambda = -\frac{7}{4}$।
समीकरण में $\lambda = -\frac{7}{4}$ रखने पर,$23x + 23y = 11$ प्राप्त होता है।
अंतःखंड रूप में: $\frac{x}{11/23} + \frac{y}{11/23} = 1$।
अंतःखंड $a = \frac{11}{23}$ और $b = \frac{11}{23}$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \frac{11}{23} \times \frac{11}{23} = \frac{121}{1058}$ वर्ग इकाई।

(B) माना अभीष्ट रेखा $x+2y+k=0$ है।
चूंकि यह $x+2y+3=0$ और $x+2y+8=0$ के बीच की दूरी को $1:2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करती है,इसलिए $\frac{|k-3|}{|k-8|} = \frac{1}{2}$।
$2|k-3| = |k-8| \Rightarrow 4(k^2-6k+9) = k^2-16k+64$।
$3k^2-8k-28=0 \Rightarrow (3k-14)(k+2)=0$।
चूंकि रेखा दी गई दो रेखाओं के बीच स्थित है,$k$ का मान $3$ और $8$ के बीच होना चाहिए,इसलिए $k = \frac{14}{3}$।
समीकरण $x+2y+\frac{14}{3}=0$ या $3x+6y+14=0$ है।
अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ में बदलने के लिए,$-3x-6y=14$ लिखें।
$\sqrt{(-3)^2+(-6)^2} = \sqrt{45}$ से विभाजित करने पर,$\frac{-3}{\sqrt{45}}x + \frac{-6}{\sqrt{45}}y = \frac{14}{\sqrt{45}}$।
यहाँ $\cos \alpha = \frac{-3}{\sqrt{45}} = \frac{-1}{\sqrt{5}}$ और $\sin \alpha = \frac{-6}{\sqrt{45}} = \frac{-2}{\sqrt{5}}$।
चूंकि $\cos \alpha$ और $\sin \alpha$ दोनों ऋणात्मक हैं,$\alpha$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।
$\alpha = \pi + \tan^{-1}(\frac{-2/-1}) = \pi + \tan^{-1}(2)$।