यदि सरल रेखाएँ ax + by + p = 0 और x cos alpha | vedclass

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Question

(B) रेखाएँ $ax + by + p = 0$ और $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ के बीच का कोण $\pi / 4$ है।अतः,$	an(\pi / 4) = \left| \frac{(-a/b) - (-\cos \

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$2$

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(B) रेखाएँ $ax + by + p = 0$ और $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ के बीच का कोण $\pi / 4$ है।अतः,$	an(\pi / 4) = \left| \frac{(-a/b) - (-\cos \alpha / \sin \alpha)}{1 + (-a/b)(-\cos \alpha / \sin \alpha)} ight| = 1$.यह $|-a \sin \alpha + b \cos \alpha| = |b \sin \alpha + a \cos \alpha|$ में सरल हो जाता है।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 \sin^2 \alpha + b^2 \cos^2 \alpha - 2ab \sin \alpha \cos \alpha = b^2 \sin^2 \alpha + a^2 \cos^2 \alpha + 2ab \sin \alpha \cos \alpha$ प्राप्त होता है।पुनर्व्यवस्थित करने पर $(a^2 - b^2)(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) = 4ab \sin \alpha \cos \alpha$ मिलता है।चूंकि रेखाएँ $x \sin \alpha - y \cos \alpha = 0$ के साथ संगामी हैं,इसलिए सारणिक शून्य होगा:$\begin{vmatrix} a & b & p \ \cos \alpha & \sin \alpha & -p \ \sin \alpha & -\cos \alpha & 0 \end{vmatrix} = 0$.सारणिक का विस्तार करने पर: $-ap \cos \alpha - bp \sin \alpha - p = 0 \implies a \cos \alpha + b \sin \alpha = -1$ प्राप्त होता है।इसका वर्ग करने पर: $a^2 \cos^2 \alpha + b^2 \sin^2 \alpha + 2ab \sin \alpha \cos \alpha = 1$ मिलता है।शर्तों का उपयोग करने पर,$a^2 + b^2 = 2$ प्राप्त होता है।

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