Foot of perpendicular, Image of a point and Reflexive properties Questions in Gujarati

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(0, b)$ છે કારણ કે તે $Y$-અક્ષ પર છે. તેથી,$a = 0$.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ અને પરાવર્તનકોણ સમાન હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે $Y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં $(2, 3)$ બિંદુનું પ્રતિબિંબ,જે $(-2, 3)$ છે,તે પરાવર્તિત કિરણની રેખા પર આવેલું છે.
પરાવર્તિત કિરણ $P(0, b)$ અને $(3, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
$(-2, 3)$ અને $(3, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 3 = \frac{2 - 3}{3 - (-2)} (x - (-2))$
$y - 3 = \frac{-1}{5} (x + 2)$
$5y - 15 = -x - 2$
$x + 5y = 13$
બિંદુ $P(0, b)$ આ રેખા પર હોવાથી,$x = 0$ અને $y = b$ મૂકતા:
$0 + 5b = 13$
$5b = 13$
$a = 0$ હોવાથી,આપણે $13 = a + 13$ લખી શકીએ.
તેથી,$5b = a + 13$.

(A) આપેલ રેખા $x-2y+3=0$ છે.
$X$-અંતઃખંડ $A$ શોધવા માટે,$y=0$ મૂકો: $x+3=0 \implies x=-3$. તેથી,$A = (-3, 0)$.
$Y$-અંતઃખંડ $B$ શોધવા માટે,$x=0$ મૂકો: $-2y+3=0 \implies y=3/2$. તેથી,$B = (0, 3/2)$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $ax+by+c=0$ પરના લંબનો લંબપાદ $M(x_1, y_1)$ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{x_1}{a} = \frac{y_1}{b} = -\frac{c}{a^2+b^2}$ છે.
અહીં,$a=1, b=-2, c=3$.
$\frac{x_1}{1} = \frac{y_1}{-2} = -\frac{3}{1+4} = -\frac{3}{5}$.
તેથી,$x_1 = -3/5$ અને $y_1 = 6/5$. આમ,$M = (-3/5, 6/5)$.
હવે,$A = (-3, 0)$ અને $M = (-3/5, 6/5)$ વચ્ચેનું અંતર $AM$ શોધો:
$AM = \sqrt{(-3/5 + 3)^2 + (6/5 - 0)^2} = \sqrt{(12/5)^2 + (6/5)^2} = \sqrt{144/25 + 36/25} = \sqrt{180/25} = \frac{6 \sqrt{5}}{5}$.

(A) રેખા $ax + by + c = 0$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના પ્રતિબિંબ $(h, k)$ માટેનું સૂત્ર $\frac{h - x_1}{a} = \frac{k - y_1}{b} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$ છે.
અહીં રેખા $5x - 3y - 2 = 0$ અને બિંદુ $(2, -3)$ આપેલ છે,તેથી $a = 5, b = -3, c = -2, x_1 = 2, y_1 = -3$.
$ax_1 + by_1 + c = 5(2) - 3(-3) - 2 = 10 + 9 - 2 = 17$.
$a^2 + b^2 = 5^2 + (-3)^2 = 25 + 9 = 34$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{h - 2}{5} = \frac{k - (-3)}{-3} = -2 \frac{17}{34} = -1$.
તેથી,$h - 2 = 5(-1) \implies h = -3$.
અને $k + 3 = -3(-1) \implies k + 3 = 3 \implies k = 0$.
આમ,$h + k = -3 + 0 = -3$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(x_1, y_1) = (2, -1)$ છે અને રેખા $ax + by + c = 0$ એટલે કે $x - y + 1 = 0$ છે.
બિંદુનું પ્રતિબિંબ $P'(x', y')$ શોધવાનું સૂત્ર:
$\frac{x' - x_1}{a} = \frac{y' - y_1}{b} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x' - 2}{1} = \frac{y' - (-1)}{-1} = -2 \frac{1(2) - 1(-1) + 1}{1^2 + (-1)^2}$
$\frac{x' - 2}{1} = \frac{y' + 1}{-1} = -2 \frac{4}{2} = -4$
તેથી,$x' - 2 = -4 \implies x' = -2$
અને $y' + 1 = 4 \implies y' = 3$
આમ,પ્રતિબિંબ $(-2, 3)$ છે.

(B) બિંદુ $(a, b)$ એ $(3, 1)$ થી રેખા $x + 3y + 4 = 0$ પરનો લંબપાદ હોવાથી,$a + 3b + 4 = 0$ $(i)$.
$(3, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $x + 3y + 4 = 0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $3x - y - 8 = 0$ છે,તેથી $3a - b - 8 = 0$ $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા,આપણને $(a, b) = (2, -2)$ મળે છે.
ધારો કે $(p, q)$ એ રેખા $3x - 4y + 11 = 0$ ની સાપેક્ષે $(2, -2)$ નું પ્રતિબિંબ છે. મધ્યબિંદુ $P = \left(\frac{2+p}{2}, \frac{-2+q}{2}\right)$ એ રેખા $3x - 4y + 11 = 0$ પર આવેલું છે,તેથી $3(\frac{2+p}{2}) - 4(\frac{-2+q}{2}) + 11 = 0$,જેનું સાદુંરૂપ $3p - 4q + 36 = 0$ $(iii)$ થાય છે.
$(2, -2)$ અને $(p, q)$ ને જોડતી રેખા $3x - 4y + 11 = 0$ ને લંબ છે. આપેલી રેખાનો ઢાળ $\frac{3}{4}$ છે,તેથી $(2, -2)$ અને $(p, q)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $-\frac{4}{3}$ થાય.
તેથી,$\frac{q - (-2)}{p - 2} = -\frac{4}{3}$ $\Rightarrow 3(q + 2) = -4(p - 2)$ $\Rightarrow 4p + 3q - 2 = 0$ $(iv)$.
$(iii)$ અને $(iv)$ ઉકેલતા,આપણને $p = -4$ અને $q = 6$ મળે છે.
અંતે,$\frac{p}{a} + \frac{q}{b} = \frac{-4}{2} + \frac{6}{-2} = -2 - 3 = -5$.

(C) ધારો કે રેખા $L$ એ $x + 3y = 7$ છે અને બિંદુ $P$ એ $(3, 8)$ છે. ધારો કે $Q(h, k)$ એ રેખા $L$ માં બિંદુ $P$ નું પ્રતિબિંબ છે.
રેખા $L$ અરીસા તરીકે કામ કરે છે,તેથી રેખા $PQ$ એ $L$ ને લંબ છે અને $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $R$ એ $L$ પર આવેલું છે.
રેખા $L$ નો ઢાળ $m_1 = -1/3$ છે.
$PQ \perp L$ હોવાથી,$PQ$ નો ઢાળ $m_2 = 3$ થશે.
બિંદુ $(3, 8)$ માંથી પસાર થતી અને $3$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $y - 8 = 3(x - 3) \Rightarrow y = 3x - 1$ છે.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $R$ એ $(\frac{h+3}{2}, \frac{k+8}{2})$ છે.
$R$ એ $x + 3y = 7$ પર હોવાથી,$\frac{h+3}{2} + 3(\frac{k+8}{2}) = 7 \Rightarrow h + 3k = -13$ મળે.
સમીકરણમાં $k = 3h - 1$ મૂકતા: $h + 3(3h - 1) = -13$ $\Rightarrow 10h = -10$ $\Rightarrow h = -1$.
તેથી $k = 3(-1) - 1 = -4$.
આમ,$(\alpha, \beta) = (-1, -4)$.
તેથી,$\alpha + \beta = -1 + (-4) = -5$.

(C) ધારો કે $L_1: \sqrt{3} x-y+2=0$ અને $L_2: \sqrt{3} x+y-2=0$.
આ બંને રેખાઓનું છેદબિંદુ $A(0,2)$ છે.
$P$ એ $L_1$ અથવા $L_2$ પર એવી રીતે છે કે જેથી $AP=5$ થાય.
$L_1$ નો ઢાળ $\sqrt{3}$ છે,તેથી $y$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $30^{\circ}$ છે.
ધારો કે $Q$ એ $P$ માંથી $y$-અક્ષ પર દોરેલો લંબપાદ છે.
$\triangle PAQ$ માં,$AQ = AP \cos 30^{\circ} = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5 \sqrt{3}}{2}$.
$P$ નો $y$-યામ $y_P = y_A + AQ = 2 + \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ છે.
$y$-અક્ષ પરનો લંબપાદ $Q$ એ $(0, y_P)$ છે.
$(0,0)$ થી $Q$ નું અંતર $|y_P| = 2 + \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ થાય.

(A) ધારો કે બિંદુ $A(2,4)$ માંથી રેખા $x+y-1=0$ પરના લંબનો લંબપાદ $B(h,k)$ છે.
લંબપાદ શોધવાનું સૂત્ર: $\frac{h-x_1}{a} = \frac{k-y_1}{b} = -\frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{h-2}{1} = \frac{k-4}{1} = -\frac{2+4-1}{1^2+1^2} = -\frac{5}{2}$
આથી:
$h-2 = -\frac{5}{2} \Rightarrow h = -\frac{1}{2}$
$k-4 = -\frac{5}{2} \Rightarrow k = \frac{3}{2}$
તેથી લંબપાદ $B(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ છે.
રેખા $(0,0)$ અને $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ માંથી પસાર થાય છે.
ઢાળ $m = \frac{\frac{3}{2}-0}{-\frac{1}{2}-0} = -3$.
રેખાનું સમીકરણ $y = -3x$ થાય.

(C) ધારો કે રેખા $4x - y - 1 = 0$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $(3, -4)$ નું પ્રતિબિંબ $P(\alpha, \beta)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ નું રેખા $ax + by + c = 0$ ની સાપેક્ષે પ્રતિબિંબ મેળવવાનું સૂત્ર: $\frac{\alpha - x_1}{a} = \frac{\beta - y_1}{b} = \frac{-2(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\alpha - 3}{4} = \frac{\beta + 4}{-1} = \frac{-2(4(3) - (-4) - 1)}{4^2 + (-1)^2} = \frac{-30}{17}$.
$\alpha$ માટે:
$\alpha = 3 - \frac{120}{17} = \frac{-69}{17}$.
$\beta$ માટે:
$\beta = \frac{30}{17} - 4 = \frac{-38}{17}$.
તેથી,$\beta - \alpha = \frac{-38}{17} - (\frac{-69}{17}) = \frac{31}{17}$.

(D) ધારો કે પ્રતિબિંબ $P'(h, k)$ છે.
$PP'$ એ આપેલી રેખા $x + 3y = 7$ ને લંબ હોવાથી,$PP'$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{k - 8}{h - 3}$ છે.
રેખા $x + 3y = 7$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{3}$ છે.
$PP' \perp \text{રેખા}$ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$ $\Rightarrow \frac{k - 8}{h - 3} \times (-\frac{1}{3}) = -1$ $\Rightarrow k - 8 = 3(h - 3)$ $\Rightarrow 3h - k = 1 \quad \dots(i)$.
$PP'$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{h + 3}{2}, \frac{k + 8}{2})$ છે,જે રેખા $x + 3y = 7$ પર આવેલું છે.
તેથી,$\frac{h + 3}{2} + 3(\frac{k + 8}{2}) = 7$ $\Rightarrow h + 3 + 3k + 24 = 14$ $\Rightarrow h + 3k = -13 \quad \dots(ii)$.
સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$(i)$ પરથી,$k = 3h - 1$.
$(ii)$ માં મૂકતા: $h + 3(3h - 1) = -13$ $\Rightarrow h + 9h - 3 = -13$ $\Rightarrow 10h = -10$ $\Rightarrow h = -1$.
તેથી $k = 3(-1) - 1 = -4$.
આમ,પ્રતિબિંબ $(-1, -4)$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(6, 5)$ છે અને રેખા $x = 3$ છે.
રેખા શિરોલંબ $(x = k)$ હોવાથી,પ્રતિબિંબ $P'(x', y')$ નો $y$-યામ મૂળ બિંદુ જેટલો જ રહેશે,તેથી $y' = 5$.
બિંદુ $P$ નું રેખા $x = 3$ થી અંતર $|6 - 3| = 3$ એકમ છે.
પ્રતિબિંબ $P'$ રેખાની બીજી બાજુએ સમાન અંતરે હોવું જોઈએ.
આમ,$x' = 3 - 3 = 0$.
તેથી,રેખા $x = 3$ માં બિંદુ $(6, 5)$ નું પ્રતિબિંબ $(0, 5)$ છે.

(C) રેખા $ax+by+c=0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના પ્રતિબિંબ $(x', y')$ માટેનું સૂત્ર $\frac{x'-x_1}{a} = \frac{y'-y_1}{b} = -2 \frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2}$ છે.
બિંદુ $(1,1)$ અને રેખા $x+y+5=0$ માટે, $a=1, b=1, c=5$ છે.
$\frac{x'-1}{1} = \frac{y'-1}{1} = -2 \frac{1(1)+1(1)+5}{1^2+1^2} = -2 \frac{7}{2} = -7$.
તેથી, $x'-1 = -7 \Rightarrow x' = -6$ અને $y'-1 = -7 \Rightarrow y' = -6$.
પ્રતિબિંબ બિંદુ $(-6, -6)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી બિંદુ $(-6, -6)$ સુધીનું અંતર $D$ નીચે મુજબ છે:
$D = \sqrt{(-6-0)^2 + (-6-0)^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2}$.

(C) ધારો કે $P(2,3)$ એ આપેલ બિંદુ છે અને $Q$ એ રેખા $y=x$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $P(2,3)$ નું પ્રતિબિંબ છે.
જ્યારે બિંદુ $(x,y)$ નું રેખા $y=x$ માં પ્રતિબિંબ લેવામાં આવે,ત્યારે તેના યામ $(y,x)$ બને છે.
તેથી,$Q$ ના યામ $(3,2)$ થશે.
હવે,બિંદુ $Q$ ને $X$-અક્ષની ધન દિશામાં $2$ એકમ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે આપણે $Q$ ના $x$-યામમાં $2$ ઉમેરીએ છીએ જ્યારે $y$-યામ બદલાતો નથી.
ધારો કે $Q$ નું નવું સ્થાન $R$ છે.
તેથી,$R$ ના યામ $(3+2, 2) = (5,2)$ થશે.

(C) રેખા $x+3y=7$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $3x-y+\lambda=0$ સ્વરૂપનું છે.
આ રેખા બિંદુ $(3,8)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી:
$3(3) - 8 + \lambda = 0$ $\Rightarrow 9 - 8 + \lambda = 0$ $\Rightarrow \lambda = -1$.
આમ,લંબ રેખાનું સમીકરણ $3x-y-1=0$ છે.
લંબપાદ એ $x+3y=7$ અને $3x-y-1=0$ નું છેદબિંદુ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $x=1$ અને $y=2$ મળે છે.
ધારો કે બિંદુ $(3,8)$ નું પ્રતિબિંબ $(x_1, y_1)$ છે. $(1,2)$ એ $(3,8)$ અને $(x_1, y_1)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{3+x_1}{2} = 1 \Rightarrow x_1 = -1$
$\frac{8+y_1}{2} = 2 \Rightarrow y_1 = -4$
તેથી,પ્રતિબિંબ $(-1, -4)$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(4, -13)$ નું પ્રતિબિંબ $P^{\prime}(x_1, y_1)$ છે.
રેખા $AB$ એ $5x + y + 6 = 0$ છે.
રેખા $ax + by + c = 0$ ની સાપેક્ષમાં બિંદુ $(x_0, y_0)$ ના પ્રતિબિંબ $(x_1, y_1)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{x_1 - x_0}{a} = \frac{y_1 - y_0}{b} = -2 \frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}$
કિંમતો $x_0 = 4, y_0 = -13, a = 5, b = 1, c = 6$ મૂકતા:
$\frac{x_1 - 4}{5} = \frac{y_1 - (-13)}{1} = -2 \frac{5(4) + 1(-13) + 6}{5^2 + 1^2}$
$\frac{x_1 - 4}{5} = \frac{y_1 + 13}{1} = -2 \frac{20 - 13 + 6}{25 + 1}$
$\frac{x_1 - 4}{5} = \frac{y_1 + 13}{1} = -2 \frac{13}{26}$
$\frac{x_1 - 4}{5} = \frac{y_1 + 13}{1} = -1$
હવે,$x_1$ અને $y_1$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{x_1 - 4}{5} = -1$ $\Rightarrow x_1 - 4 = -5$ $\Rightarrow x_1 = -1$
$\frac{y_1 + 13}{1} = -1$ $\Rightarrow y_1 + 13 = -1$ $\Rightarrow y_1 = -14$
આમ,બિંદુનું પ્રતિબિંબ $(-1, -14)$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $D(4, 2)$ અને $C(-2, 6)$ છે. રેખા $L=0$ એ રેખાખંડ $CD$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
રેખા $CD$ નો ઢાળ $= \frac{6-2}{-2-4} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}$.
રેખા $L$ એ $CD$ ને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m = -\frac{1}{(-2/3)} = \frac{3}{2}$ થાય.
$CD$ નું મધ્યબિંદુ $O$ એ $\left(\frac{4-2}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = (1, 4)$ છે.
બિંદુ $(1, 4)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{3}{2}$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $L$ નું સમીકરણ:
$y - 4 = \frac{3}{2}(x - 1)$
$2y - 8 = 3x - 3$
$3x - 2y + 5 = 0$.

(A) રેખા $2x + 3y + 4 = 0$ એ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
પ્રથમ,$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ રેખા પર આવેલું છે:
$M = (\frac{1+\alpha}{2}, \frac{2+\beta}{2})$
$2(\frac{1+\alpha}{2}) + 3(\frac{2+\beta}{2}) + 4 = 0$
$2\alpha + 3\beta + 16 = 0$ ... $(i)$
બીજું,$AB$ નો ઢાળ આપેલી રેખાના ઢાળ $(-2/3)$ ને લંબ છે:
$\frac{\beta - 2}{\alpha - 1} \times (-\frac{2}{3}) = -1$
$3\alpha - 2\beta + 1 = 0$ ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$13\alpha = -35$ અને $\beta = -\frac{46}{13}$
તેથી,$13\alpha + 13\beta = -35 - 46 = -81$.

(A) બિંદુઓ $A(3,4)$ અને $B(-1,2)$ ને જોડતા રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક $AB$ ના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને $AB$ ને લંબ છે.
પ્રથમ,$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ શોધો:
$M = \left(\frac{3 + (-1)}{2}, \frac{4 + 2}{2}\right) = (1, 3)$.
હવે,રેખાખંડ $AB$ નો ઢાળ શોધો:
$m_{AB} = \frac{2 - 4}{-1 - 3} = \frac{1}{2}$.
લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $(m_{\perp})$ એ $m_{AB}$ નો વ્યસ્ત અને વિરોધી છે:
$m_{\perp} = -2$.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y - 3 = -2(x - 1)$
$y - 3 = -2x + 2$
$2x + y - 5 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) બિંદુ $B(x_1, y_1)$ એ રેખા $x-y+5=0$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $A(1, -2)$ નું પ્રતિબિંબ છે.
પ્રતિબિંબના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$B = (-7, 6)$ મળે છે.
તે જ રીતે,બિંદુ $C(x_2, y_2)$ એ રેખા $x+2y+5=0$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $A(1, -2)$ નું પ્રતિબિંબ છે.
પ્રતિબિંબના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C = (\frac{1}{5}, -\frac{18}{5})$ મળે છે.
બિંદુઓ $B$ અને $C$ માંથી પસાર થતી રેખા $BC$ નું સમીકરણ $14x+23y-40=0$ મળે છે.

(D) લંબદ્વિભાજકોનું છેદબિંદુ એ પરિકેન્દ્ર $O$ છે. $x-3y-5=0$ અને $x+5y-9=0$ ને ઉકેલતા $O(\frac{13}{2}, \frac{1}{2})$ મળે છે.
$O$ પરિકેન્દ્ર હોવાથી,$OA=OB=OC$ થાય.
$OA^2 = (\frac{13}{2}-1)^2 + (\frac{1}{2}-2)^2 = \frac{65}{2}$.
$B(x_1, y_1)$ એ $A$ નું $x-3y-5=0$ રેખા પરનું પ્રતિબિંબ છે,જે $B(3,-4)$ આપે છે.
$C(x_2, y_2)$ એ $B$ નું $x+5y-9=0$ રેખા પરનું પ્રતિબિંબ છે,જે $C(5,6)$ આપે છે.
$AC = \sqrt{(5-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

(A) આપેલ છે કે $x-y=0$ એ બાજુ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $1$ હોવાથી,$AB$ નો ઢાળ $-1$ થાય.
$AB$ નું સમીકરણ $y-3 = -1(x-2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x+y-5=0$ થાય છે.
$x-y=0$ અને $x+y-5=0$ ઉકેલતા $AB$ નું મધ્યબિંદુ $D(\frac{5}{2}, \frac{5}{2})$ મળે છે.
ધારો કે $B = (x_1, y_1)$. મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{x_1+2}{2} = \frac{5}{2}$ અને $\frac{y_1+3}{2} = \frac{5}{2}$,તેથી $B = (3, 2)$.
આપેલ છે કે $\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=1$ (અથવા $x+y-2=0$) એ $AC$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $-1$ હોવાથી,$AC$ નો ઢાળ $1$ થાય.
$AC$ નું સમીકરણ $y-3 = 1(x-2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x-y+1=0$ થાય છે.
$x+y-2=0$ અને $x-y+1=0$ ઉકેલતા $AC$ નું મધ્યબિંદુ $E(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ મળે છે.
ધારો કે $C = (x_2, y_2)$. મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{x_2+2}{2} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{y_2+3}{2} = \frac{3}{2}$,તેથી $C = (-1, 0)$.
બિંદુઓ $(3, 2)$ અને $(-1, 0)$ માંથી પસાર થતી બાજુ $BC$ નું સમીકરણ $\frac{y-0}{2-0} = \frac{x-(-1)}{3-(-1)}$ થાય છે.
$\frac{y}{2} = \frac{x+1}{4}$ $\Rightarrow 2y = x+1$ $\Rightarrow x-2y+1=0$.

(A) રેખાઓના સમીકરણો $L_1: x+y-1=0$ અને $L_2: x-y+1=0$ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને છેદબિંદુ $R(0,1)$ મળે છે.
ધારો કે $P$ એ બિંદુ $(1,1)$ છે.
$P(1,1)$ થી $L_1$ પરના લંબની લંબાઈ $PS = \frac{|1+1-1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
$P(1,1)$ થી $L_2$ પરના લંબની લંબાઈ $PQ = \frac{|1-1+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
અહીં $PS = PQ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે,અને ત્રિકોણ $\triangle PSR$ અને $\triangle PQR$ એ અનુક્રમે $S$ અને $Q$ આગળ કાટકોણ ધરાવે છે,તેથી તેઓ એકરૂપ છે.
ચતુષ્કોણ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\triangle PSR$ અને $\triangle PQR$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
ક્ષેત્રફળ $= PQ \times PS = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે $M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $PA = PB$ હોવાથી,ત્રિકોણ $PAB$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે અને રેખાખંડ $PM$ એ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
આપેલ રેખા $L: 2x - y + 3 = 0$ નો ઢાળ $m_L = 2$ છે.
$PM \perp AB$ હોવાથી,$PM$ નો ઢાળ $m_{PM} = -\frac{1}{m_L} = -\frac{1}{2}$ થાય.
રેખા $PM$ એ $P(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $-\frac{1}{2}$ છે. તેનું સમીકરણ:
$y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 1)$
$2y - 4 = -x + 1$
$x + 2y = 5$ (સમીકરણ $ii$)
મધ્યબિંદુ $M$ એ રેખા $2x - y = -3$ (સમીકરણ $i$) અને $x + 2y = 5$ (સમીકરણ $ii$) નું છેદબિંદુ છે.
$(i)$ પરથી,$y = 2x + 3$. તેને (ii) માં મૂકતા:
$x + 2(2x + 3) = 5$
$x + 4x + 6 = 5$
$5x = -1 \implies x = -\frac{1}{5}$
$y = 2(-\frac{1}{5}) + 3 = -\frac{2}{5} + \frac{15}{5} = \frac{13}{5}$
આમ,$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M\left(-\frac{1}{5}, \frac{13}{5}\right)$ છે.

(D) રેખા $Ax+By+C=0$ પર ઉગમબિંદુમાંથી દોરેલા લંબનો ઢાળ $m = \frac{B}{A}$ છે.
રેખા $x+y+\sqrt{2}=0$ માટે,લંબનું સમીકરણ $x-y=0$ છે,તેથી તેનો ઢાળ $1$ છે. આમ,$\tan \alpha = 1$,એટલે કે $\alpha = \frac{5 \pi}{4}$.
રેખા $x-\sqrt{3}y-2=0$ માટે,લંબનું સમીકરણ $\sqrt{3}x+y=0$ છે,તેથી તેનો ઢાળ $-\sqrt{3}$ છે. આમ,$\tan \beta = -\sqrt{3}$,એટલે કે $\beta = \frac{5 \pi}{3}$.
સરવાળો $\alpha + \beta = \frac{5 \pi}{4} + \frac{5 \pi}{3} = \frac{15 \pi + 20 \pi}{12} = \frac{35 \pi}{12}$.

(C) રેખાનું સમીકરણ $2x + 7y + 6 = 0$ છે.
રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{2}{7}$ છે.
ઉગમબિંદુમાંથી રેખા પર દોરવામાં આવેલ લંબ રેખાને લંબ છે.
ધારો કે લંબનો ઢાળ $m'$ છે. લંબ રેખાને લંબ હોવાથી,$m \times m' = -1$.
$(-\frac{2}{7}) \times m' = -1 \Rightarrow m' = \frac{7}{2}$.
ધારો કે $\alpha$ એ લંબ દ્વારા ધન $X$-અક્ષ સાથે બનાવેલ ખૂણો છે. તેથી $\tan \alpha = m' = \frac{7}{2}$,એટલે કે $\alpha = \tan^{-1} \frac{7}{2}$.
આકૃતિ પરથી,લંબ ત્રીજા ચરણમાં છે,તેથી ધન $X$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta = \pi + \alpha$ થાય.
તેથી,$\theta = \pi + \tan^{-1} \frac{7}{2}$.

(D) ધારો કે બિંદુ $P = \left(-\frac{7}{5}, -\frac{6}{5}\right)$ અને તેનું પ્રતિબિંબ $Q = (1, 2)$ છે. રેખા એ $PQ$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{-\frac{7}{5} + 1}{2}, \frac{-\frac{6}{5} + 2}{2}\right) = \left(-\frac{1}{5}, \frac{2}{5}\right)$ છે.
$PQ$ નો ઢાળ $m_{PQ} = \frac{2 - (-6/5)}{1 - (-7/5)} = \frac{16/5}{12/5} = \frac{4}{3}$ છે.
માગેલ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{1}{m_{PQ}} = -\frac{3}{4}$ થાય.
બિંદુ $M$ પર બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y - \frac{2}{5} = -\frac{3}{4}\left(x + \frac{1}{5}\right)$
$\frac{5y - 2}{5} = -\frac{3}{4} \cdot \frac{5x + 1}{5}$
$4(5y - 2) = -3(5x + 1)$
$20y - 8 = -15x - 3$
$15x + 20y = 5$
$5$ વડે ભાગતા,આપણને $3x + 4y = 1$ મળે છે.

(B) ધારો કે $A = (2, -1)$ અને $B = (6, 5)$. રેખા $AB$ નો ઢાળ $m = \frac{5 - (-1)}{6 - 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $3x - 2y - 8 = 0$ છે.
લંબ રેખા $PD$ નો ઢાળ $m' = -\frac{2}{3}$ છે.
$P(4, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $PD$ નું સમીકરણ $2x + 3y - 11 = 0$ છે.
ગણતરી મુજબ,લંબપાદ $AB$ ને $5: 8$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.

(C) ધારો કે $Q = (h, k)$. બિંદુ $P(2, 3)$ નું રેખા $x-y+2=0$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ $\frac{h-2}{1} = \frac{k-3}{-1} = -2 \frac{2-3+2}{1^2+(-1)^2} = -1$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$h=1$ અને $k=4$. એટલે કે $Q = (1, 4)$.
ધારો કે $R = (x_1, y_1)$. બિંદુ $P(2, 3)$ નું રેખા $2x+y-2=0$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ $\frac{x_1-2}{2} = \frac{y_1-3}{1} = -2 \frac{2(2)+3-2}{2^2+1^2} = -2$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$x_1=-2$ અને $y_1=1$. એટલે કે $R = (-2, 1)$.
હવે,રેખા $x+y+2=0$ ની સાપેક્ષમાં $Q(1, 4)$ અને $R(-2, 1)$ નું સ્થાન તપાસીએ:
$Q(1, 4)$ માટે,$1+4+2 = 7 > 0$.
$R(-2, 1)$ માટે,$-2+1+2 = 1 > 0$.
બંને કિંમતો ધન હોવાથી,$Q$ અને $R$ રેખા $x+y+2=0$ ની એક જ બાજુએ આવેલા છે.

(A) બિંદુ $P(1, 2)$ નું રેખા $x + y + 1 = 0$ ની સાપેક્ષે પ્રતિબિંબ $Q(x_1, y_1)$ છે,જે $\frac{x_1 - 1}{1} = \frac{y_1 - 2}{1} = -2 \frac{1(1) + 1(2) + 1}{1^2 + 1^2} = -4$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$x_1 = -3$ અને $y_1 = -2$. એટલે કે $Q = (-3, -2)$.
$M$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $M = (-1, 0)$.
બિંદુ $Q(-3, -2)$ નું રેખા $x - y - 1 = 0$ ની સાપેક્ષે પ્રતિબિંબ $R(x_2, y_2)$ છે,જે $\frac{x_2 + 3}{1} = \frac{y_2 + 2}{-1} = -2 \frac{1(-3) - 1(-2) - 1}{1^2 + (-1)^2} = 2$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$x_2 = -1$ અને $y_2 = -4$. એટલે કે $R = (-1, -4)$.
$N$ એ $QR$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $N = (-2, -3)$.
અંતર $MN = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (-3 - 0)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

(D) ધારો કે લંબકેન્દ્ર $H = (5, 8)$ અને પરિકેન્દ્ર $O = (2, 3)$ છે.
પરિવર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ એ પરિકેન્દ્ર $O$ અને ત્રિકોણના કોઈપણ શિરોબિંદુ વચ્ચેનું અંતર છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણની કોઈપણ બાજુની સાપેક્ષમાં લંબકેન્દ્ર $H$ નું પ્રતિબિંબ પરિવર્તુળ પર આવેલું હોય છે.
બાજુ $L: x - y = 0$ લો.
$x - y = 0$ ની સાપેક્ષમાં $H(5, 8)$ નું પ્રતિબિંબ $(x', y')$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{x' - 5}{1} = \frac{y' - 8}{-1} = -2 \frac{5 - 8}{1^2 + (-1)^2} = -2 \frac{-3}{2} = 3$.
તેથી,$x' = 5 + 3 = 8$ અને $y' = 8 - 3 = 5$.
બિંદુ $(8, 5)$ પરિવર્તુળ પર આવેલું છે.
ત્રિજ્યા $R$ એ પરિકેન્દ્ર $O(2, 3)$ અને વર્તુળ પરના બિંદુ $(8, 5)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$R = \sqrt{(8 - 2)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10}$.

(A) રેખા $ax + by + c = 0$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના પ્રતિબિંબ $(h, k)$ માટેનું સૂત્ર $\frac{h - x_1}{a} = \frac{k - y_1}{b} = \frac{-2(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2}$ છે.
બિંદુ $(3, -4)$ અને રેખા $2x - 3y - 5 = 0$ માટે:
$\frac{h - 3}{2} = \frac{k - (-4)}{-3} = \frac{-2(2(3) - 3(-4) - 5)}{2^2 + (-3)^2} = \frac{-2(6 + 12 - 5)}{4 + 9} = \frac{-2(13)}{13} = -2$.
આમ,$h - 3 = -4 \implies h = -1$ અને $k + 4 = 6 \implies k = 2$.
પ્રતિબિંબ બિંદુ $(-1, 2)$ છે.
હવે,$(-1, 2)$ માંથી રેખા $3x + 2y + 12 = 0$ પરના લંબપાદ $(\ell, m)$ ને $\frac{\ell - x_1}{a} = \frac{m - y_1}{b} = \frac{-(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2}$ નો ઉપયોગ કરીને શોધો:
$\frac{\ell - (-1)}{3} = \frac{m - 2}{2} = \frac{-(3(-1) + 2(2) + 12)}{3^2 + 2^2} = \frac{-(-3 + 4 + 12)}{9 + 4} = \frac{-13}{13} = -1$.
તેથી,$\ell + 1 = -3 \implies \ell = -4$ અને $m - 2 = -2 \implies m = 0$.
લંબપાદ $(-4, 0)$ છે.
અંતે,$\ell h + mk + 1 = (-4)(-1) + (0)(2) + 1 = 4 + 0 + 1 = 5$.

(C) આપેલ છે કે,$Q$ એ બિંદુ $P(1,1)$ નું રેખા $x+y+1=0$ ની સાપેક્ષે પ્રતિબિંબ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ નું રેખા $ax+by+c=0$ ની સાપેક્ષે પ્રતિબિંબ શોધવાનું સૂત્ર:
$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = -2 \left( \frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{1} = -2 \left( \frac{1+1+1}{1^2+1^2} \right) = -2 \left( \frac{3}{2} \right) = -3$
તેથી,$x-1 = -3 \Rightarrow x = -2$ અને $y-1 = -3 \Rightarrow y = -2$.
આમ,$Q$ ના યામ $(-2, -2)$ છે.
હવે,$Q(-2, -2)$ માંથી રેખા $3x-4y+3=0$ પરના લંબની લંબાઈ:
$d = \left| \frac{3(-2) - 4(-2) + 3}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right| = \left| \frac{-6 + 8 + 3}{\sqrt{9 + 16}} \right| = \left| \frac{5}{5} \right| = 1$.

(A) બિંદુ $(5, -7)$ માંથી પસાર થતી અને $3x - 5y + 1 = 0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $5x + 3y + k = 0$ છે.
તે $(5, -7)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$5(5) + 3(-7) + k = 0$,જે $25 - 21 + k = 0$ આપે છે,તેથી $k = -4$.
રેખા $5x + 3y - 4 = 0$ છે.
$M$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણો ઉકેલીએ:
$3x - 5y = -1$ ($3$ વડે ગુણતા $\implies 9x - 15y = -3$)
$5x + 3y = 4$ ($5$ વડે ગુણતા $\implies 25x + 15y = 20$)
સરવાળો કરતા,$34x = 17$,તેથી $x = \frac{1}{2}$.
$x = \frac{1}{2}$ ને $5x + 3y = 4$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{5}{2} + 3y = 4$ મળે છે,તેથી $3y = \frac{3}{2}$,જે $y = \frac{1}{2}$ આપે છે.
આમ,$M = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
$M(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ થી રેખા $2x + 5y - 3 = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|2(\frac{1}{2}) + 5(\frac{1}{2}) - 3|}{\sqrt{2^2 + 5^2}} = \frac{|1 + 2.5 - 3|}{\sqrt{4 + 25}} = \frac{|0.5|}{\sqrt{29}} = \frac{1}{2\sqrt{29}}$ છે.

(A) ધારો કે રેખા $3 x-2 y+4=0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $P(\alpha, 2 \alpha-1)$ નું પ્રતિબિંબ $(x, y)$ છે.
રેખા $ax+by+c=0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના પ્રતિબિંબ માટેનું સૂત્ર $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{-2(ax_1+by_1+c)}{a^2+b^2}$ છે.
અહીં,$x_1=\alpha, y_1=2 \alpha-1, a=3, b=-2, c=4$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x-\alpha}{3}=\frac{y-(2 \alpha-1)}{-2}=\frac{-2(3(\alpha)-2(2 \alpha-1)+4)}{3^2+(-2)^2}$
$\frac{x-\alpha}{3}=\frac{y-2 \alpha+1}{-2}=\frac{-2(3 \alpha-4 \alpha+2+4)}{9+4}$
$\frac{x-\alpha}{3}=\frac{y-2 \alpha+1}{-2}=\frac{-2(-\alpha+6)}{13} = \frac{2 \alpha-12}{13}$
હવે,$x$ અને $y$ ને $\alpha$ ના સ્વરૂપમાં શોધવા માટે ભાગોને સરખાવો:
$1) \frac{x-\alpha}{3} = \frac{2 \alpha-12}{13} \implies 13x - 13\alpha = 6\alpha - 36 \implies 13x + 36 = 19\alpha \implies \alpha = \frac{13x+36}{19}$
$2) \frac{y-2\alpha+1}{-2} = \frac{2 \alpha-12}{13} \implies 13y - 26\alpha + 13 = -4\alpha + 24 \implies 13y - 11 = 22\alpha \implies \alpha = \frac{13y-11}{22}$
$\alpha$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{13x+36}{19} = \frac{13y-11}{22}$
$22(13x+36) = 19(13y-11)$

(C) બિંદુ $P(x_1, y_1)$ નું રેખા $ax+by+c=0$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ $(h, k)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\frac{h-x_1}{a} = \frac{k-y_1}{b} = -2 \frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2}$.
આપેલ કિંમતો $P(-1, 2)$ અને રેખા $x-2y+3=0$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{a-(-1)}{1} = \frac{b-2}{-2} = -2 \frac{1(-1) - 2(2) + 3}{1^2 + (-2)^2} = -2 \frac{-2}{5} = \frac{4}{5}$.
તેથી,$a = -\frac{1}{5}$ અને $b = \frac{2}{5}$.
બિંદુ $P^{\prime}$ એ $(-\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ છે.
$P^{\prime}$ થી રેખા $2x+y-7=0$ પરના લંબની લંબાઈ $d = \frac{|2(-\frac{1}{5}) + \frac{2}{5} - 7|}{\sqrt{5}} = \frac{|-7|}{\sqrt{5}} = \frac{7}{\sqrt{5}}$ થાય.

(C) બિંદુ $B$ માટે,$2x - 3y + 5 = 0$ ના સંદર્ભમાં $A(1, -2)$ નું પ્રતિબિંબ $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{-3} = -2 \frac{2(1) - 3(-2) + 5}{2^2 + (-3)^2} = -2 \frac{13}{13} = -2$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$x - 1 = -4 \Rightarrow x = -3$ અને $y + 2 = 6 \Rightarrow y = 4$. તેથી,$B \equiv (-3, 4)$.
$A(1, -2)$ અને $B(-3, 4)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AB$ નું સમીકરણ $y - (-2) = \frac{4 - (-2)}{-3 - 1}(x - 1) \Rightarrow 3x + 2y + 1 = 0$ છે.
$P(-4, -1)$ માંથી $3x + 2y + 1 = 0$ પરના લંબપાદ $R(x, y)$ માટે,$\frac{x - (-4)}{3} = \frac{y - (-1)}{2} = - \frac{3(-4) + 2(-1) + 1}{3^2 + 2^2} = 1$.
આમ,$x + 4 = 3 \Rightarrow x = -1$ અને $y + 1 = 2 \Rightarrow y = 1$.
તેથી,$R \equiv (-1, 1)$.

(D) પગલું $1$: રેખા $x + 2y + 2 = 0$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $A(1, 1)$ નું પ્રતિબિંબ $B$ શોધો.
સૂત્ર $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = -2 \frac{1(1) + 2(1) + 2}{1^2 + 2^2} = -2 \frac{5}{5} = -2$.
$x - 1 = -2 \Rightarrow x = -1$.
$y - 1 = -4 \Rightarrow y = -3$.
તેથી,$B = (-1, -3)$.
પગલું $2$: બિંદુ $B(-1, -3)$ માંથી રેખા $3x + 4y - 10 = 0$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $C$ શોધો.
સૂત્ર $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = - \frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x - (-1)}{3} = \frac{y - (-3)}{4} = - \frac{3(-1) + 4(-3) - 10}{3^2 + 4^2} = - \frac{-3 - 12 - 10}{25} = - \frac{-25}{25} = 1$.
$x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2$.
$y + 3 = 4 \Rightarrow y = 1$.
તેથી,$C = (2, 1)$.
પગલું $3$: બિંદુ $A(1, 1)$ અને $C(2, 1)$ વચ્ચેનું અંતર $AC$ શોધો.
$AC = \sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(3, -1)$ છે અને રેખા $L: 2x + y - 1 = 0$ છે. રેખા $L$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $P$ નું પ્રતિબિંબ $P'(x', y')$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{x' - 3}{2} = \frac{y' - (-1)}{1} = -2 \frac{2(3) + 1(-1) - 1}{2^2 + 1^2}$
$\frac{x' - 3}{2} = \frac{y' + 1}{1} = -2 \frac{4}{5} = -\frac{8}{5}$
તેથી,$x' = 3 - \frac{16}{5} = -\frac{1}{5}$
અને $y' = -1 - \frac{8}{5} = -\frac{13}{5}$
પ્રતિબિંબ $P'(-\frac{1}{5}, -\frac{13}{5})$ છે.
$A(2, 1)$ અને $P'(-\frac{1}{5}, -\frac{13}{5})$ વચ્ચેનું અંતર:
$D = \sqrt{(\frac{11}{5})^2 + (\frac{18}{5})^2} = \sqrt{\frac{121 + 324}{25}} = \sqrt{\frac{445}{25}} = \sqrt{\frac{89}{5}}$

(D) ધારો કે $(0, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y-2 = mx$ છે,એટલે કે $mx - y + 2 = 0$.
બિંદુ $(4, 4)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર $2$ એકમ છે.
$\frac{|m(4) - 4 + 2|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$
$\frac{|4m - 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$
$|2m - 1| = \sqrt{m^2 + 1}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4m^2 - 4m + 1 = m^2 + 1$
$3m^2 - 4m = 0$
$m(3m - 4) = 0$
તેથી,$m = 0$ અથવા $m = \frac{4}{3}$.
કિસ્સો $1$: $m = 0$. રેખા $y = 2$ છે. $(4, 4)$ થી $y = 2$ પરના લંબનો લંબપાદ $D(4, 2)$ છે.
કિસ્સો $2$: $m = \frac{4}{3}$. રેખા $y - 2 = \frac{4}{3}x$ છે,એટલે કે $4x - 3y + 6 = 0$. $(4, 4)$ થી લંબપાદ $(x_1, y_1)$ માટે $\frac{x_1 - 4}{4} = \frac{y_1 - 4}{-3} = -\frac{4(4) - 3(4) + 6}{4^2 + (-3)^2} = -\frac{10}{25} = -\frac{2}{5}$.
$x_1 = 4 - \frac{8}{5} = \frac{12}{5}$,$y_1 = 4 + \frac{6}{5} = \frac{26}{5}$. તેથી $C(\frac{12}{5}, \frac{26}{5})$.
$D(4, 2)$ અને $C(\frac{12}{5}, \frac{26}{5})$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $\frac{\frac{26}{5} - 2}{\frac{12}{5} - 4} = \frac{16/5}{-8/5} = -2$ છે.
સમીકરણ $y - 2 = -2(x - 4)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y + 2x = 10$ થાય છે.

(C) ધારો કે $M$ ના યામ $(x_1, y_1)$ છે.
રેખા $PM$ એ આપેલી રેખા $x + y = 3$ ને લંબ હોવાથી,$PM$ નો ઢાળ એ રેખા $x + y = 3$ ના ઢાળનો વ્યસ્ત વિરોધી થાય.
રેખા $x + y = 3$ નો ઢાળ $-1$ છે,તેથી $PM$ નો ઢાળ $1$ થાય.
આમ,$\frac{y_1 - 3}{x_1 - 2} = 1 \implies y_1 - 3 = x_1 - 2 \implies x_1 - y_1 = -1$ (સમીકરણ $i$).
$M(x_1, y_1)$ એ રેખા $x + y = 3$ પર આવેલું હોવાથી,$x_1 + y_1 = 3$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $i$ અને $ii$ નો સરવાળો કરતા: $(x_1 - y_1) + (x_1 + y_1) = -1 + 3 \implies 2x_1 = 2 \implies x_1 = 1$.
$x_1 = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $ii$ માં મૂકતા: $1 + y_1 = 3 \implies y_1 = 2$.
તેથી,$M$ ના યામ $(1, 2)$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓના કુળનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે.
શરત $2a + 3b = 4c$ પરથી,આપણે તેને $a(\frac{1}{2}) + b(\frac{3}{4}) + c = 0$ તરીકે લખી શકીએ.
આને $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,સંગામી બિંદુ $P$ એ $(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ મળે છે.
$P(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ માંથી રેખા $x + y + 1 = 0$ પરના લંબપાદ $(h, k)$ માટે:
$\frac{h - 1/2}{1} = \frac{k - 3/4}{1} = -\frac{1/2 + 3/4 + 1}{1^2 + 1^2} = -\frac{9/4}{2} = -\frac{9}{8}$.
$h = \frac{1}{2} - \frac{9}{8} = -\frac{5}{8}$ અને $k = \frac{3}{4} - \frac{9}{8} = -\frac{3}{8}$.
તેથી,લંબપાદ $(-\frac{5}{8}, -\frac{3}{8})$ છે.

(D) રેખાનું સમીકરણ $4x - 3y + 8 = 0$ છે. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{4}{3}$ છે.
લંબ રેખા બિંદુ $(2, -3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{3}{4}$ છે.
લંબ રેખાનું સમીકરણ $y - (-3) = -\frac{3}{4}(x - 2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x + 4y + 6 = 0$ થાય છે.
છેદબિંદુ $M(a, b)$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણો ઉકેલીએ:
$4a - 3b = -8$ $(1)$
$3a + 4b = -6$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $4$ વડે અને $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા: $16a - 12b = -32$ અને $9a + 12b = -18$.
બંનેનો સરવાળો કરતા $25a = -50$ મળે,તેથી $a = -2$.
$a = -2$ ને $(2)$ માં મૂકતા: $3(-2) + 4b = -6$,તેથી $-6 + 4b = -6$,જેનો અર્થ છે $b = 0$.
આમ,$M(a, b) = (-2, 0)$.
આપણને $a^3 - b^3 = k^3$ આપેલ છે,તેથી $(-2)^3 - (0)^3 = k^3$,એટલે કે $-8 = k^3$.
તેથી,$k = \sqrt[3]{-8} = -2$.