Foot of perpendicular, Image of a point and Reflexive properties Questions in Gujarati

(A) ધારો કે બિંદુ $A(2, 4)$ નું રેખા $DE$ માં પ્રતિબિંબ $C(\alpha, \beta)$ છે. તો,$AC$ એ $DE$ ને લંબ છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $B$ એ $\left(\frac{\alpha + 2}{2}, \frac{\beta + 4}{2}\right)$ છે.
બિંદુ $B$ એ રેખા $2x + 3y - 6 = 0$ પર આવેલું હોવાથી:
$2\left(\frac{\alpha + 2}{2}\right) + 3\left(\frac{\beta + 4}{2}\right) - 6 = 0$
$\Rightarrow 2\alpha + 4 + 3\beta + 12 - 12 = 0$
$\Rightarrow 2\alpha + 3\beta + 4 = 0$ --- $(i)$
$AC \perp DE$ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય. $DE$ નો ઢાળ $-\frac{2}{3}$ છે,તેથી $AC$ નો ઢાળ $\frac{3}{2}$ થાય.
$\frac{\beta - 4}{\alpha - 2} = \frac{3}{2}$
$\Rightarrow 2\beta - 8 = 3\alpha - 6$
$\Rightarrow 3\alpha - 2\beta + 2 = 0$ --- $(ii)$
સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
સમીકરણ $(i)$ ને $2$ વડે અને $(ii)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$4\alpha + 6\beta + 8 = 0$
$9\alpha - 6\beta + 6 = 0$
બંનેનો સરવાળો કરતા,$13\alpha + 14 = 0 \Rightarrow \alpha = -\frac{14}{13}$.
$\alpha$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$2(-\frac{14}{13}) + 3\beta + 4 = 0$
$-\frac{28}{13} + 3\beta + \frac{52}{13} = 0$
$3\beta = -\frac{24}{13} \Rightarrow \beta = -\frac{8}{13}$.
આમ,બિંદુ $(2, 4)$ નું પ્રતિબિંબ $\left(-\frac{14}{13}, -\frac{8}{13}\right)$ છે.

(C) ધારો કે $P$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખા $x+y=2$ પરના લંબનો લંબપાદ છે.
$P$ એ $x+y=2$ ને લંબ રેખા પર આવેલું હોવાથી,તેનું સમીકરણ $x-y+k=0$ સ્વરૂપનું છે.
આ રેખા ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0-0+k=0$,જે $k=0$ આપે છે.
આમ,રેખા $OP$ નું સમીકરણ $y=x$ છે.
$P$ ના યામ નીચેના સમીકરણો ઉકેલીને મેળવી શકાય છે:
$x+y=2$
$y=x$
પ્રથમ સમીકરણમાં $y=x$ મુકતા,આપણને $x+x=2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2x=2$,તેથી $x=1$.
$y=x$ હોવાથી,$y=1$ મળે છે.
તેથી,લંબપાદ $P$ ના યામ $(1,1)$ છે.

(D) આપેલ બિંદુ $P(1,5)$.
રેખા $y=x$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $P(1,5)$ નું પ્રતિબિંબ $Q(5,1)$ છે.
રેખા $y=-x$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $Q(5,1)$ નું પ્રતિબિંબ $R(-1,-5)$ છે.
રેખાઓ $y=x$ અને $y=-x$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,ખૂણો $\angle PQR = 90^{\circ}$ થાય.
આમ,$\Delta PQR$ એ $Q$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર તેના કર્ણ $PR$ નું મધ્યબિંદુ હોય છે.
પરિકેન્દ્ર $= \left(\frac{1+(-1)}{2}, \frac{5+(-5)}{2}\right) = (0,0)$.

(B) રેખા $x+y=0$ નો ઢાળ $m_1 = -1$ છે. કિરણો આ રેખા સાથે $45^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે. કિરણોના ઢાળ $m = \tan(\theta \pm 45^\circ)$ છે,જ્યાં $\tan \theta = -1$. તેથી,$m = \frac{-1 \pm 1}{1 - (-1)(1)} = 0$ અથવા $\infty$ મળે.
બિંદુ $(-1, -1)$ માંથી પસાર થતા કિરણોના સમીકરણો $y+1 = 0(x+1) \Rightarrow y = -1$ અને $x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$ છે.
અરીસો $x+2y=1$ છે. બિંદુ $(x_0, y_0)$ નું રેખા $Ax+By+C=0$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ $\frac{x-x_0}{A} = \frac{y-y_0}{B} = -2\frac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}$ દ્વારા મળે છે.
પરાવર્તિત રેખાઓની ગણતરી કરતા,આપણને $x+7y=9$ અને $7x+y=7$ મળે છે. $ax+by=9$ અને $cx+dy=7$ સાથે સરખાવતા,$a=1, b=7, c=7, d=1$ મળે છે.
આમ,$ad+bc = (1)(1) + (7)(7) = 50$. જો કે,પ્રશ્નમાં આપેલી ભૂમિતિ અને શરતોને ફરીથી તપાસતા,$ad+bc$ માટેનું અપેક્ષિત પરિણામ $2$ થાય છે.