Foot of perpendicular, Image of a point and Reflexive properties Questions in Gujarati

(C) ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી ચલ રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ પરના લંબનો લંબપાદ $P(x_1, y_1)$ છે.
લંબ અંતરના સૂત્ર મુજબ,$d = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$.
આપેલ છે કે $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{4}$,તેથી $\sqrt{x_1^2 + y_1^2} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,$x_1^2 + y_1^2 = 4$,જે $2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.

(D) $P(2, 3)$ અને $Q(4, 5)$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{2+4}{2}, \frac{3+5}{2}) = (3, 4)$ છે.
$PQ$ નો ઢાળ $= \frac{5-3}{4-2} = \frac{2}{2} = 1$ છે.
રેખા $L$ એ $PQ$ નો લંબદ્વિભાજક હોવાથી,રેખા $L$ નો ઢાળ $m = -1$ થાય.
બિંદુ $(3, 4)$ માંથી પસાર થતી અને $-1$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $L$ નું સમીકરણ $y - 4 = -1(x - 3) \Rightarrow x + y - 7 = 0$ છે.
ધારો કે બિંદુ $R(0, 0)$ નું પ્રતિબિંબ $S(x_1, y_1)$ છે.
$RS$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{x_1}{2}, \frac{y_1}{2})$ એ રેખા $L$ પર આવેલું છે,તેથી $\frac{x_1}{2} + \frac{y_1}{2} - 7 = 0 \Rightarrow x_1 + y_1 = 14$.
$RS$ નો ઢાળ $\frac{y_1}{x_1}$ છે. $RS \perp L$ હોવાથી,$RS$ નો ઢાળ $1$ થવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{y_1}{x_1} = 1 \Rightarrow x_1 = y_1$.
$x_1 = y_1$ ને $x_1 + y_1 = 14$ માં મૂકતા,$2x_1 = 14 \Rightarrow x_1 = 7$ અને $y_1 = 7$ મળે.
તેથી,$R$ નું પ્રતિબિંબ $(7, 7)$ છે.

(C) ધારો કે $P(0, 1)$ એ આપેલ બિંદુ છે અને $L: 2x - y = 0$ એ રેખા છે.
રેખા $ax + by + c = 0$ માં બિંદુ $(x_0, y_0)$ ના પ્રતિબિંબ $(x_1, y_1)$ માટેનું સૂત્ર $\frac{x_1 - x_0}{a} = \frac{y_1 - y_0}{b} = -2 \frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{x_1 - 0}{2} = \frac{y_1 - 1}{-1} = -2 \frac{2(0) - 1(1)}{2^2 + (-1)^2} = -2 \frac{-1}{5} = \frac{2}{5}$.
આમ,$x_1 = 2 \times \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$ અને $y_1 = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.
તેથી,વિધાન $1$ સાચું છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,રેખામાં બિંદુનું પ્રતિબિંબ એવું બિંદુ છે કે જેથી રેખા એ બિંદુ અને તેના પ્રતિબિંબને જોડતા રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક બને. આ સૂચવે છે કે બિંદુઓ વિરુદ્ધ બાજુઓ પર આવેલા છે અને રેખાથી સમાન અંતરે છે. તેથી,વિધાન $2$ સાચું છે અને તે વિધાન $1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) આપેલ વક્ર $x^{2}+2xy-3y^{2}=0$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $2x + 2y + 2x\frac{dy}{dx} - 6y\frac{dy}{dx} = 0$.
બિંદુ $(2,2)$ આગળ: $2(2) + 2(2) + 2(2)\frac{dy}{dx} - 6(2)\frac{dy}{dx} = 0$.
$4 + 4 + 4\frac{dy}{dx} - 12\frac{dy}{dx} = 0 \implies 8 - 8\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = 1$.
બિંદુ $(2,2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{T} = 1$ છે.
બિંદુ $(2,2)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_{N} = -\frac{1}{m_{T}} = -1$ છે.
બિંદુ $(2,2)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $(y - 2) = -1(x - 2) \implies y - 2 = -x + 2 \implies x + y - 4 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખા $x + y - 4 = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|ax_{0} + by_{0} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|0 + 0 - 4|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.

(A) વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $A(1,0)$ અને $B(2,3)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $1:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુ $P$ ના યામ:
$P = \left(\frac{n(1)+1(2)}{1+n}, \frac{n(0)+1(3)}{1+n}\right) = \left(\frac{n+2}{n+1}, \frac{3}{n+1}\right)$
રેખાખંડ $AB$ નો ઢાળ $m = \frac{3-0}{2-1} = 3$ છે.
$AB$ ને લંબ રેખાનો ઢાળ $m' = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{3}$ થાય.
બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતી અને $m'$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - \frac{3}{n+1} = -\frac{1}{3} \left(x - \frac{n+2}{n+1}\right)$
$3(n+1)$ વડે ગુણતા:
$3(n+1)y - 9 = -(n+1)x + n + 2$
$(n+1)x + 3(n+1)y = n + 11$

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ છે અને આપેલ બિંદુ $P(-2, 9)$ છે.
રેખાખંડ $OP$ નો ઢાળ $m_{1} = \frac{9 - 0}{-2 - 0} = -\frac{9}{2}$ છે.
રેખા $OP$ ને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_{2} = -\frac{1}{m_{1}} = -\frac{1}{(-9/2)} = \frac{2}{9}$ થશે.
બિંદુ $P(-2, 9)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{2}{9}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - y_{1} = m(x - x_{1})$
$y - 9 = \frac{2}{9}(x + 2)$
$9y - 81 = 2x + 4$
$2x - 9y + 85 = 0$.

(A) રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક તે રેખાખંડના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને તેને લંબ હોય છે.
રેખાખંડના અંત્યબિંદુઓ $A(3, 4)$ અને $B(-1, 2)$ છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{3-1}{2}, \frac{4+2}{2}\right) = (1, 3)$ છે.
$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{2-4}{-1-3} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$ છે.
લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $m = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{1/2} = -2$ થાય.
$(1, 3)$ માંથી પસાર થતી અને $-2$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $(y - 3) = -2(x - 1)$ છે.
$y - 3 = -2x + 2$
$2x + y = 5$.

(A) ધારો કે $(a, b)$ એ બિંદુ $(-1, 3)$ માંથી રેખા $3x - 4y - 16 = 0$ પરના લંબપાદના યામ છે.
$(-1, 3)$ અને $(a, b)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{b - 3}{a + 1}$ છે.
આપેલ રેખા $3x - 4y - 16 = 0$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{3}{4}$ છે.
બંને રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$.
$\therefore \left(\frac{b - 3}{a + 1}\right) \times \left(\frac{3}{4}\right) = -1$
$\Rightarrow 3b - 9 = -4a - 4$
$\Rightarrow 4a + 3b = 5$ ..... $(1)$
બિંદુ $(a, b)$ એ રેખા $3x - 4y - 16 = 0$ પર આવેલું હોવાથી:
$3a - 4b = 16$ ..... $(2)$
સમીકરણો $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા:
$a = \frac{68}{25}$ અને $b = -\frac{49}{25}$ મળે છે.
આમ,લંબપાદના યામ $\left(\frac{68}{25}, -\frac{49}{25}\right)$ છે.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી દોરેલ લંબ રેખાને $P(-1, 2)$ બિંદુએ મળે છે.
$(0, 0)$ અને $(-1, 2)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{2 - 0}{-1 - 0} = -2$ થાય.
આપેલ રેખા $y = mx + c$ આ રેખાખંડને લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
તેથી,$m \times (-2) = -1$,જે આપણને $m = \frac{1}{2}$ આપે છે.
બિંદુ $(-1, 2)$ એ રેખા $y = mx + c$ પર હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$2 = m(-1) + c$
$m = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$2 = \frac{1}{2}(-1) + c$
$2 = -\frac{1}{2} + c$
$c = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
આમ,$m = \frac{1}{2}$ અને $c = \frac{5}{2}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $Q(h, k)$ એ રેખા $x - 3y + 4 = 0$ ... $(1)$ માં બિંદુ $P(1, 2)$ નું પ્રતિબિંબ છે.
રેખા $(1)$ એ રેખાખંડ $PQ$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
રેખા $x - 3y + 4 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{1}{3}$ છે.
રેખા $PQ$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{k - 2}{h - 1}$ છે.
$PQ$ એ રેખા $(1)$ ને લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$,તેથી $\frac{1}{3} \times \frac{k - 2}{h - 1} = -1$,જે $k - 2 = -3(h - 1)$ આપે છે,અથવા $3h + k = 5$ ... $(2)$.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{h + 1}{2}, \frac{k + 2}{2}\right)$ છે.
$M$ એ રેખા $(1)$ પર હોવાથી,$\frac{h + 1}{2} - 3\left(\frac{k + 2}{2}\right) + 4 = 0$,જે $h + 1 - 3k - 6 + 8 = 0$ માં પરિણમે છે,અથવા $h - 3k = -3$ ... $(3)$.
સમીકરણો $(2)$ અને $(3)$ ઉકેલતા:
સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા: $9h + 3k = 15$.
સમીકરણ $(3)$ સાથે ઉમેરતા: $(9h + 3k) + (h - 3k) = 15 - 3$,તેથી $10h = 12$,$h = \frac{6}{5}$.
$h$ ની કિંમત $(3)$ માં મૂકતા: $\frac{6}{5} - 3k = -3$,તેથી $3k = \frac{6}{5} + 3 = \frac{21}{5}$,$k = \frac{7}{5}$.
આમ,પ્રતિબિંબ $\left(\frac{6}{5}, \frac{7}{5}\right)$ છે.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $x+3y=7$ છે ... $(1)$.
ધારો કે બિંદુ $B(a,b)$ એ બિંદુ $A(3,8)$ નું પ્રતિબિંબ છે.
તદનુસાર,રેખા $(1)$ એ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{b-8}{a-3}$,જ્યારે રેખા $(1)$ નો ઢાળ $= -\frac{1}{3}$ છે.
રેખા $(1)$ એ $AB$ ને લંબ હોવાથી,$\left(\frac{b-8}{a-3}\right) \times \left(-\frac{1}{3}\right) = -1$.
આથી $\frac{b-8}{3a-9} = 1$,જે $b-8 = 3a-9$ અથવા $3a-b = 1$ આપે છે ... $(2)$.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{a+3}{2}, \frac{b+8}{2}\right)$ છે.
આ મધ્યબિંદુ રેખા $(1)$ પર આવેલું હોવાથી,$\left(\frac{a+3}{2}\right) + 3\left(\frac{b+8}{2}\right) = 7$.
$2$ વડે ગુણતા,$a+3 + 3b+24 = 14$,જે $a+3b = -13$ માં પરિણમે છે ... $(3)$.
સમીકરણો $(2)$ અને $(3)$ ઉકેલતા: સમીકરણ $(2)$ પરથી $b = 3a-1$. સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા,$a + 3(3a-1) = -13$,તેથી $a + 9a - 3 = -13$,$10a = -10$,$a = -1$.
પછી $b = 3(-1)-1 = -4$.
આમ,બિંદુનું પ્રતિબિંબ $(-1,-4)$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો છે:
$2x - 3y + 4 = 0$ $(1)$
$3x + 4y - 5 = 0$ $(2)$
$6x - 7y + 8 = 0$ $(3)$
વ્યક્તિ રેખાઓ $(1)$ અને $(2)$ દ્વારા દર્શાવેલ રસ્તાઓના સંગમ પર ઉભી છે.
સમીકરણો $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા,આપણને બિંદુ $(-\frac{1}{17}, \frac{22}{17})$ મળે છે.
ઓછામાં ઓછા સમયમાં રસ્તા $(3)$ પર પહોંચવા માટે,વ્યક્તિએ બિંદુ $(-\frac{1}{17}, \frac{22}{17})$ થી રેખા $(3)$ ને લંબ રેખા પર ચાલવું જોઈએ.
રેખા $(3)$ નો ઢાળ $m = \frac{6}{7}$ છે.
લંબ રેખાનો ઢાળ $m' = -\frac{7}{6}$ થશે.
બિંદુ $(-\frac{1}{17}, \frac{22}{17})$ માંથી પસાર થતી અને $-\frac{7}{6}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$(y - \frac{22}{17}) = -\frac{7}{6}(x + \frac{1}{17})$
$119x + 102y = 125$.

(D) રેખાખંડ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{k+1}{2}, \frac{7}{2}\right)$ છે.
રેખાખંડ $PQ$ નો ઢાળ $m_{PQ} = \frac{3-4}{k-1} = \frac{-1}{k-1}$ છે.
તેથી,લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $m = k-1$ થશે.
લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ $y - \frac{7}{2} = (k-1)\left(x - \frac{k+1}{2}\right)$ છે.
$y$-અંતઃખંડ $-4$ હોવાથી,$x=0$ અને $y=-4$ મુકતા:
$-4 - \frac{7}{2} = (k-1)\left(-\frac{k+1}{2}\right)$
$-\frac{15}{2} = -\frac{k^2-1}{2}$
$k^2 = 16 \Rightarrow k = \pm 4$.

(C) $x$-અંતઃખંડ $3$ અને $y$-અંતઃખંડ $1$ ધરાવતી રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x}{3} + \frac{y}{1} = 1$ છે,જે $x + 3y - 3 = 0$ થાય છે.
બિંદુ $(x_0, y_0) = (-1, -4)$ નું રેખા $ax + by + c = 0$ માં પ્રતિબિંબ $(x', y')$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\frac{x' - x_0}{a} = \frac{y' - y_0}{b} = -2 \frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{x' + 1}{1} = \frac{y' + 4}{3} = -2 \frac{1(-1) + 3(-4) - 3}{1^2 + 3^2}$.
$\frac{x' + 1}{1} = \frac{y' + 4}{3} = -2 \frac{-16}{10} = \frac{16}{5}$.
$x'$ માટે: $x' + 1 = \frac{16}{5} \Rightarrow x' = \frac{11}{5}$.
$y'$ માટે: $\frac{y' + 4}{3} = \frac{16}{5}$ $\Rightarrow y' + 4 = \frac{48}{5}$ $\Rightarrow y' = \frac{28}{5}$.
આમ,પ્રતિબિંબ $\left(\frac{11}{5}, \frac{28}{5}\right)$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(3,5)$ નું રેખા $x-y+1=0$ માં પ્રતિબિંબ $P'(x,y)$ છે.
રેખા $ax+by+c=0$ માં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના પ્રતિબિંબ માટેનું સૂત્ર:
$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = -2 \left( \frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2} \right)$
કિંમતો $x_1=3, y_1=5, a=1, b=-1, c=1$ મૂકતા:
$\frac{x-3}{1} = \frac{y-5}{-1} = -2 \left( \frac{3-5+1}{1^2+(-1)^2} \right)$
$\frac{x-3}{1} = \frac{y-5}{-1} = -2 \left( \frac{-1}{2} \right) = 1$
તેથી,$x-3=1 \implies x=4$ અને $y-5=-1 \implies y=4$.
પ્રતિબિંબ બિંદુ $(4,4)$ છે.
હવે,ચકાસો કે કયો વિકલ્પ બિંદુ $(4,4)$ દ્વારા સંતોષાય છે:
વિકલ્પ $D$ માટે: $(4-2)^2 + (4-4)^2 = 2^2 + 0^2 = 4$.
આમ,બિંદુ $(4,4)$ એ વર્તુળ $(x-2)^2 + (y-4)^2 = 4$ પર આવેલું છે.

(B) આપેલ છે $A = \left(\frac{3}{\sqrt{a}}, \sqrt{a}\right)$.
$y$-અક્ષમાં $A$ નું પ્રતિબિંબ $B = \left(-\frac{3}{\sqrt{a}}, \sqrt{a}\right)$ છે.
$x$-અક્ષમાં $B$ નું પ્રતિબિંબ $C = \left(-\frac{3}{\sqrt{a}}, -\sqrt{a}\right)$ છે.
$\triangle ACD$ નું ક્ષેત્રફળ નિશ્ચાયકની મદદથી શોધતા:
$\text{Area} = 3\sqrt{a} |\cos \theta - \sin \theta|$
ચોથા ચરણમાં $\cos \theta - \sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{2}$ છે.
તેથી,$3\sqrt{a} \cdot \sqrt{2} = 12$.
$\sqrt{2a} = 4 \implies 2a = 16 \implies a = 8$.

(A) $P'(2, -3)$ એ $P(2, 3)$ નું $x$-અક્ષ $(y=0)$ પરનું પ્રતિબિંબ છે.
કિરણ $A$ પર પરાવર્તન પામતું હોવાથી,$P', A$ અને $Q$ સમરેખ છે.
$P'Q$ રેખાનું સમીકરણ: $y + 3 = \frac{4 - (-3)}{5 - 2}(x - 2) \implies 3y + 9 = 7x - 14 \implies 7x - 3y = 23$.
$A$ પર $y = 0$ હોવાથી,$7x = 23 \implies x = \frac{23}{7}$. તેથી,$A = (\frac{23}{7}, 0)$.
$R$ એ $AQ$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. $A = (\frac{23}{7}, 0)$ અને $Q = (5, 4)$.
$R = (\frac{2(5) + 1(23/7)}{3}, \frac{2(4) + 1(0)}{3}) = (\frac{31}{7}, \frac{8}{3})$.
$\angle PAQ$ નો દ્વિભાજક એ $A$ માંથી પસાર થતી અને $x$-અક્ષને લંબ રેખા $x = \frac{23}{7}$ છે.
$R(\frac{31}{7}, \frac{8}{3})$ માંથી રેખા $x = \frac{23}{7}$ પરના લંબનો લંબપાદ $M(\frac{23}{7}, \frac{8}{3})$ છે.
તેથી,$\alpha = \frac{23}{7}$ અને $\beta = \frac{8}{3}$.
$7\alpha + 3\beta = 7(\frac{23}{7}) + 3(\frac{8}{3}) = 23 + 8 = 31$.

(C) $\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જ્યાં $\angle ABC = 90^{\circ}$ છે.
$\triangle ABC$ નું પરિકેન્દ્ર એ કર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ $M$ છે.
પરાવર્તનના ગુણધર્મો મુજબ,$AB$ એ $PP_1$ નો લંબદ્વિભાજક છે અને $BC$ એ $PP_2$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
$AB \perp BC$ હોવાથી,બિંદુ $B$ એ $P, P_1,$ અને $P_2$ થી સમાન અંતરે છે,કારણ કે $BP = BP_1$ અને $BP = BP_2$ છે.
આમ,$B$ એ $\triangle P_1PP_2$ નું પરિકેન્દ્ર છે.
$\triangle ABC$ માં,$M$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $BM = AM = MC = \frac{AC}{2}$ (કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરની મધ્યગાનો ગુણધર્મ).
તેથી,પરિકેન્દ્રો $B$ અને $M$ વચ્ચેનું અંતર $BM = \frac{AC}{2}$ છે.

(C) ધારો કે $\angle PAB = \theta$ અને $\angle PAC = \phi$.
$Q$ એ $AB$ માં $P$ નું પ્રતિબિંબ હોવાથી,$AQ = AP$ અને $\angle QAB = \angle PAB = \theta$ થાય.
$R$ એ $AC$ માં $P$ નું પ્રતિબિંબ હોવાથી,$AR = AP$ અને $\angle RAC = \angle PAC = \phi$ થાય.
આપેલ છે કે $Q, A, R$ સમરેખ છે,તેથી $\angle QAR = 180^{\circ}$.
આકૃતિ પરથી,$\angle QAR = \angle QAB + \angle BAC + \angle RAC = \theta + (\theta + \phi) + \phi = 2(\theta + \phi) = 180^{\circ}$.
તેથી,$\theta + \phi = 90^{\circ}$.
$\angle BAC = \theta + \phi$ હોવાથી,$\angle BAC = 90^{\circ}$ થાય.

(B) આપાત કિરણ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $m = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
તેનું સમીકરણ $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ છે.
રેખા $x + y = 1$ સાથેનું છેદબિંદુ $P$ મેળવવા માટે $y = \frac{x}{\sqrt{3}}$ ને $x + y = 1$ માં મૂકતા:
$x + \frac{x}{\sqrt{3}} = 1 \Rightarrow x = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}$.
તેથી,$P = \left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}, \frac{1}{\sqrt{3} + 1}\right)$.
પરાવર્તિત કિરણનો ઢાળ $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ છે.
પરાવર્તિત કિરણનું સમીકરણ $y - \frac{1}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3}(x - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1})$ છે.
$y = 0$ મૂકતા,$x$-અંતઃખંડ $Q$ માટે:
$\sqrt{3}x = \frac{2}{\sqrt{3} + 1} \Rightarrow x = \frac{2}{3 + \sqrt{3}}$.

(C) રેખા $2x+y-6=0$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $B(7,2)$ નું પ્રતિબિંબ $B'(x', y')$ મેળવવા માટે,
પ્રતિબિંબના સૂત્ર $\frac{x'-7}{2} = \frac{y'-2}{1} = -2 \left( \frac{2(7)+1(2)-6}{2^2+1^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,
$\frac{x'-7}{2} = \frac{y'-2}{1} = -2 \left( \frac{14+2-6}{5} \right) = -2 \left( \frac{10}{5} \right) = -4$.
આમ,$x'-7 = -8 \implies x' = -1$ અને $y'-2 = -4 \implies y' = -2$.
તેથી,$B' = (-1, -2)$.
આપાત કિરણ બિંદુ $A(3, 10)$ અને $B'(-1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.
આપાત કિરણનો ઢાળ $m = \frac{10 - (-2)}{3 - (-1)} = \frac{12}{4} = 3$ છે.
આપાત કિરણનું સમીકરણ $y - 10 = 3(x - 3) \implies y - 10 = 3x - 9 \implies 3x - y + 1 = 0$ મળે છે.
$ax + by + 1 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 3$ અને $b = -1$ મળે છે.
તેથી,$a^2 + b^2 + 3ab = (3)^2 + (-1)^2 + 3(3)(-1) = 9 + 1 - 9 = 1$.

(D) ધારો કે $G$ એ $(1,3), (3,1)$ અને $(2,4)$ શિરોબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર છે.
$G = \left(\frac{1+3+2}{3}, \frac{3+1+4}{3}\right) = \left(2, \frac{8}{3}\right)$.
ધારો કે $(\alpha, \beta)$ એ રેખા $x+2y-2=0$ ની સાપેક્ષે $G$ નું પ્રતિબિંબ છે.
રેખા $ax+by+c=0$ માં બિંદુ $(x_0, y_0)$ ના પ્રતિબિંબ $(x', y')$ માટેનું સૂત્ર $\frac{x'-x_0}{a} = \frac{y'-y_0}{b} = -2\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\alpha-2}{1} = \frac{\beta-8/3}{2} = -2\frac{2+2(8/3)-2}{1^2+2^2}$.
$\frac{\alpha-2}{1} = \frac{\beta-8/3}{2} = -2\frac{16/3}{5} = -\frac{32}{15}$.
આમ,$\alpha = 2 - \frac{32}{15} = -\frac{2}{15}$ અને $\beta = \frac{8}{3} - \frac{64}{15} = \frac{40-64}{15} = -\frac{24}{15}$.
અંતે,$15(\alpha-\beta) = 15\left(-\frac{2}{15} - (-\frac{24}{15})\right) = 15\left(\frac{22}{15}\right) = 22$.

(A) પ્રથમ,રેખાઓના સમીકરણોને જોડીમાં ઉકેલીને ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધો:
$1$) $7x-6y+3=0$ અને $x+2y-31=0$ એ $A(9, 11)$ માં છેદે છે.
$2$) $7x-6y+3=0$ અને $9x-2y-19=0$ એ $B(3, 4)$ માં છેદે છે.
$3$) $x+2y-31=0$ અને $9x-2y-19=0$ એ $C(5, 13)$ માં છેદે છે.
$\Delta ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{9+3+5}{3}, \frac{11+4+13}{3}\right) = \left(\frac{17}{3}, \frac{28}{3}\right)$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ રેખા $3x+6y-53=0$ માં $G\left(\frac{17}{3}, \frac{28}{3}\right)$ નું પ્રતિબિંબ છે. પ્રતિબિંબ માટેનું સૂત્ર $\frac{h-x_1}{a} = \frac{k-y_1}{b} = -2\frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2}$ છે.
અહીં,$a=3, b=6, c=-53, x_1=\frac{17}{3}, y_1=\frac{28}{3}$.
$\frac{h-17/3}{3} = \frac{k-28/3}{6} = -2\frac{3(17/3)+6(28/3)-53}{3^2+6^2} = -2\frac{17+56-53}{45} = -\frac{8}{9}$.
$h = 3, k = 4$.
તેથી,$h^2+k^2+hk = 3^2+4^2+(3)(4) = 37$.

(A) આપેલ રેખાઓની સંહતિનું સમીકરણ $x(3 \lambda+1)+y(7 \lambda+2)=17 \lambda+5$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(x+2y-5) + \lambda(3x+7y-17) = 0$ મળે છે.
આ રેખાઓ $x+2y-5=0$ અને $3x+7y-17=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$P(1, 2)$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી સૌથી દૂર રહેલી રેખા $L$ એ $OP$ ને લંબ હોય છે.
$OP$ નો ઢાળ $m_{OP} = 2$ છે,તેથી રેખા $L$ નો ઢાળ $m_L = -\frac{1}{2}$ થાય.
બિંદુ $P(1, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ નું સમીકરણ $x+2y-5=0$ છે.
બિંદુ $Q(3, 6)$ થી રેખા $L$ નું અંતર $d = \frac{|3+12-5|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$ છે.
તેથી,$d^2 = 20$.

(D) $P$ ના ધ્રુવીય યામ $\left(2, \frac{\pi}{6}\right)$ આપેલા છે.
જો $Q$ એ $X$-અક્ષની સાપેક્ષે $P$ નું પ્રતિબિંબ હોય,તો ત્રિજ્યા $r$ સમાન રહે છે અને ખૂણો $\theta$ બદલાઈને $-\theta$ થાય છે.
તેથી,$Q$ ના યામ $\left(2, -\frac{\pi}{6}\right)$ થાય.
ખૂણાને પ્રમાણિત અંતરાલ $[0, 2\pi)$ માં દર્શાવવા માટે,આપણે ખૂણામાં $2\pi$ ઉમેરીએ છીએ:
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$.
આમ,$Q$ ના ધ્રુવીય યામ $\left(2, \frac{11\pi}{6}\right)$ છે.

(D) રેખાખંડ $AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{-5-3}{6-(-2)} = \frac{-8}{8} = -1$ છે.
લંબદ્વિભાજક $AB$ ને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m$ એ $m \times m_{AB} = -1$ નું પાલન કરે છે,તેથી $m = 1$.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left( \frac{-2+6}{2}, \frac{3-5}{2} \right) = (2, -1)$ છે.
$m=1$ ઢાળ ધરાવતી અને $(2, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $y - (-1) = 1(x - 2)$,જેનું સાદું રૂપ $y + 1 = x - 2$ એટલે કે $x - y = 3$ થાય છે.

(C) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ છે અને લંબપાદ $N(3, -4)$ છે.
રેખાખંડ $ON$ નો ઢાળ $m_{ON} = \frac{-4 - 0}{3 - 0} = -\frac{4}{3}$ છે.
રેખા $L$ એ $ON$ ને લંબ હોવાથી,રેખા $L$ નો ઢાળ $(m_L)$ એ $m_L \times m_{ON} = -1$ દ્વારા મળે છે.
$m_L \times (-\frac{4}{3}) = -1 \Rightarrow m_L = \frac{3}{4}$.
રેખા $L$ એ બિંદુ $N(3, -4)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $m_L = \frac{3}{4}$ છે.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,રેખા $L$ નું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
$y - (-4) = \frac{3}{4}(x - 3)$
$4(y + 4) = 3(x - 3)$
$4y + 16 = 3x - 9$
$3x - 4y - 25 = 0$.

(D) ધારો કે લંબપાદ $(h, k)$ છે.
$(h, k)$ એ રેખા $3x - y - 1 = 0$ પર હોવાથી,$3h - k - 1 = 0 \implies k = 3h - 1$ ... $(i)$.
આપેલ રેખા $3x - y - 1 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = 3$ છે.
બિંદુઓ $(-2, 3)$ અને $(h, k)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m_2 = \frac{k - 3}{h + 2}$ છે.
બંને રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$,તેથી $3 \times \frac{k - 3}{h + 2} = -1$.
$3(k - 3) = -(h + 2) \implies 3k - 9 = -h - 2 \implies h + 3k = 7$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $k = 3h - 1$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$h + 3(3h - 1) = 7 \implies h + 9h - 3 = 7 \implies 10h = 10 \implies h = 1$.
$h = 1$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,$k = 3(1) - 1 = 2$.
આમ,લંબપાદના યામ $(1, 2)$ છે.

(A) ધારો કે લંબપાદ $(x, y)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી રેખા $ax + by + c = 0$ પરના લંબપાદ માટેનું સૂત્ર:
$\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = -\frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$
કિંમતો $(x_1, y_1) = (1, 2)$ અને $x - 3y + 7 = 0$ મૂકતા:
$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-3} = -\frac{1 - 3(2) + 7}{1^2 + (-3)^2}$
$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-3} = -\frac{1 - 6 + 7}{1 + 9} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$
હવે,$x$ અને $y$ માટે ઉકેલતા:
$x - 1 = -\frac{1}{5} \Rightarrow x = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
$y - 2 = -3 \times \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{3}{5} \Rightarrow y = 2 + \frac{3}{5} = \frac{13}{5}$
આમ,લંબપાદ $\left(\frac{4}{5}, \frac{13}{5}\right)$ છે.

(B) આપેલ બિંદુ $(x_{1}, y_{1}) = (a \cos^{3} \theta, a \sin^{3} \theta)$.
આપેલ રેખા: $x \sec \theta + y \operatorname{cosec} \theta = a$.
આપેલ રેખાને ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં લખતા:
$y \operatorname{cosec} \theta = -x \sec \theta + a$
$y = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} x + a \sin \theta$.
તેથી,ઢાળ $m_{1} = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.
આ રેખાને લંબ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{1}{m_{1}} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ થાય.
માગેલ રેખાનું સમીકરણ $(y - y_{1}) = m(x - x_{1})$ મુજબ:
$y - a \sin^{3} \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} (x - a \cos^{3} \theta)$
$y \sin \theta - a \sin^{4} \theta = x \cos \theta - a \cos^{4} \theta$
$x \cos \theta - y \sin \theta = a (\cos^{4} \theta - \sin^{4} \theta)$
$x \cos \theta - y \sin \theta = a (\cos^{2} \theta - \sin^{2} \theta) (\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta)$
$x \cos \theta - y \sin \theta = a \cos 2 \theta$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(1, 1)$ નું પ્રતિબિંબ $Q(h, k)$ છે.
પરાવર્તનની રેખા $x + y = 0$ છે.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{h+1}{2}, \frac{k+1}{2}\right)$ છે,જે રેખા $x + y = 0$ પર હોવું જોઈએ.
$\frac{h+1}{2} + \frac{k+1}{2} = 0 \Rightarrow h + k + 2 = 0 \quad \dots(i)$
રેખા $PQ$ એ રેખા $x + y = 0$ (જેનો ઢાળ $-1$ છે) ને લંબ છે.
$PQ$ નો ઢાળ $\frac{k-1}{h-1}$ છે.
$PQ$ એ $x + y = 0$ ને લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$\left(\frac{k-1}{h-1}\right) \times (-1) = -1$ $\Rightarrow \frac{k-1}{h-1} = 1$ $\Rightarrow k - 1 = h - 1$ $\Rightarrow k = h$.
સમીકરણ $(i)$ માં $k = h$ મૂકતા:
$h + h + 2 = 0$ $\Rightarrow 2h = -2$ $\Rightarrow h = -1$.
$k = h$ હોવાથી,$k = -1$ મળે.
આમ,બિંદુ $(1, 1)$ નું રેખા $y = -x$ ની સાપેક્ષે પ્રતિબિંબ $(-1, -1)$ છે.

(C) ધારો કે આપેલી રેખા $L_1: x+y=4$ છે. $L_1$ નો ઢાળ $m_1 = -1$ છે.
$L_1$ ને લંબ રેખા $L_2$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = 1$ થાય.
બિંદુ $(2,4)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L_2$ નું સમીકરણ $y-4 = 1(x-2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y-x=2$ થાય.
લંબપાદ શોધવા માટે,આપણે નીચેના સમીકરણો ઉકેલીશું:
$x+y=4$
$y-x=2$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2y = 6 \Rightarrow y=3$.
$y=3$ ને $x+y=4$ માં મૂકતા,$x+3=4 \Rightarrow x=1$ મળે.
આમ,લંબપાદ $(1,3)$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી રેખા $ax+by+c=0$ પર દોરેલા લંબના લંબપાદ $(h, k)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{h-x_1}{a} = \frac{k-y_1}{b} = \frac{-(ax_1+by_1+c)}{a^2+b^2}$
અહીં,બિંદુ $(x_1, y_1) = (3,4)$ છે અને રેખા $2x+y-7=0$ છે.
તેથી,$a=2, b=1, c=-7$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{h-3}{2} = \frac{k-4}{1} = \frac{-(2(3) + 1(4) - 7)}{2^2 + 1^2}$
$\frac{h-3}{2} = \frac{k-4}{1} = \frac{-(6+4-7)}{4+1}$
$\frac{h-3}{2} = \frac{k-4}{1} = \frac{-3}{5}$
હવે,$h$ માટે ઉકેલતા:
$h-3 = 2 \times \left(\frac{-3}{5}\right) = \frac{-6}{5}$
$h = 3 - \frac{6}{5} = \frac{15-6}{5} = \frac{9}{5}$
$k$ માટે ઉકેલતા:
$k-4 = 1 \times \left(\frac{-3}{5}\right) = \frac{-3}{5}$
$k = 4 - \frac{3}{5} = \frac{20-3}{5} = \frac{17}{5}$
તેથી,લંબપાદના યામ $\left(\frac{9}{5}, \frac{17}{5}\right)$ છે.

(A) $A(-3, 4)$ નું રેખા $2x + y - 7 = 0$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ $A'(\frac{21}{5}, \frac{38}{5})$ મળે છે.
ટૂંકા રસ્તા માટે $B$ એ $A'C$ રેખા અને આપેલી રેખાનું છેદબિંદુ છે.
રેખા $A'C$ નું સમીકરણ $11x - 7y + 7 = 0$ છે.
બંને રેખાઓ ઉકેલતા $B(\frac{42}{25}, \frac{91}{25})$ મળે છે.
અંતર સૂત્ર મુજબ $AB = \sqrt{(\frac{42}{25} + 3)^2 + (\frac{91}{25} - 4)^2} = \frac{9 \sqrt{170}}{25}$.

(C) $A(3,1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - 1 = m(x - 3)$ છે,જે $mx - y + (1 - 3m) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ થી આ રેખાનું અંતર $d = \frac{|1 - 3m|}{\sqrt{m^2 + 1}}$ છે.
અંતર મહત્તમ હોવા માટે,રેખા $OA$ ને લંબ હોવી જોઈએ.
$OA$ નો ઢાળ $\frac{1}{3}$ છે.
તેથી રેખાનો ઢાળ $m = -3$ થશે.
રેખાનું સમીકરણ $3x + y = 10$ મળે છે.
$P$ અને $Q$ ના યામ $(\frac{10}{3}, 0)$ અને $(0, 10)$ છે.
$\triangle OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \frac{10}{3} \times 10 = \frac{50}{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ લંબકેન્દ્ર $H(5,8)$ અને પરિકેન્દ્ર $O(h,k)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{2h+5}{3}, \frac{2k+8}{3}\right) = \left(3, \frac{14}{3}\right)$
યામ સરખાવતા:
$\frac{2h+5}{3} = 3 \Rightarrow h = 2$
$\frac{2k+8}{3} = \frac{14}{3} \Rightarrow k = 3$
તેથી,પરિકેન્દ્ર $O(2,3)$ છે.
રેખા $x-y=0$ ની સાપેક્ષમાં લંબકેન્દ્ર $H(5,8)$ નું પ્રતિબિંબ $(8,5)$ મળે છે,જે પરિવર્તુળ પર છે.
પરિવર્તુળની ત્રિજ્યા $R = \sqrt{(8-2)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ છે.
વ્યાસ $= 2R = 4\sqrt{10}$.

(B) પગલું $1$: બિંદુ $P(4,1)$ નું રેખા $x-y=0$ (અથવા $y=x$) માં પ્રતિબિંબ. $y=x$ માં પ્રતિબિંબનો નિયમ $(x,y) \to (y,x)$ છે. તેથી,નવું બિંદુ $P'$ એ $(1,4)$ થશે.
પગલું $2$: ધન $X$-અક્ષની દિશામાં $2$ એકમનું સ્થાનાંતર. નિયમ $(x,y) \to (x+2, y)$ છે. તેથી,$P'' = (1+2, 4) = (3,4)$ થશે.
પગલું $3$: $X$-અક્ષ પર પ્રક્ષેપણ. બિંદુ $(x,y)$ નું $X$-અક્ષ પરનું પ્રક્ષેપણ $(x,0)$ છે. તેથી,અંતિમ બિંદુ $(3,0)$ થશે.

(D) બિંદુ $(x, y)$ નું $X$-અક્ષમાં પ્રતિબિંબ $(x, -y)$ છે.
તેથી,$B$ ના યામ $(2, -3)$ છે.
બિંદુ $(x, y)$ નું રેખા $x+y=0$ માં પ્રતિબિંબ $(-y, -x)$ છે.
તેથી,$C$ ના યામ $(3, -2)$ છે.
બિંદુ $(x, y)$ નું રેખા $x-y=0$ માં પ્રતિબિંબ $(y, x)$ છે.
તેથી,$D$ ના યામ $(-2, 3)$ છે.
રેખા $AB$ એ $(2, 3)$ અને $(2, -3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $x=2$ છે.
રેખા $CD$ એ $(3, -2)$ અને $(-2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે. ઢાળ $m = \frac{3 - (-2)}{-2 - 3} = -1$ છે.
$CD$ નું સમીકરણ $y - 3 = -1(x + 2) \Rightarrow x + y = 1$ છે.
$x=2$ ને $x+y=1$ માં મૂકતા,$2+y=1 \Rightarrow y=-1$ મળે છે.
આમ,છેદબિંદુ $(2, -1)$ છે.

(B) આપેલ રેખા $x \sec \theta + y \operatorname{cosec} \theta = a$ છે,જેને $\frac{x}{\cos \theta} + \frac{y}{\sin \theta} = a$ તરીકે લખી શકાય.
$Ax + By + C = 0$ ને લંબ રેખાનું સ્વરૂપ $Bx - Ay + k = 0$ છે.
તેથી,આપેલ રેખાને લંબ રેખા $x \operatorname{cosec} \theta - y \sec \theta + k = 0$ અથવા $\frac{x}{\sin \theta} - \frac{y}{\cos \theta} = -k$ છે.
આ રેખા બિંદુ $(a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી:
$\frac{a \cos^3 \theta}{\sin \theta} - \frac{a \sin^3 \theta}{\cos \theta} = -k$
$\frac{a(\cos^4 \theta - \sin^4 \theta)}{\sin \theta \cos \theta} = -k$
$\cos^4 \theta - \sin^4 \theta = \cos 2 \theta$ હોવાથી:
$\frac{a \cos 2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = -k$
આ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x}{\sin \theta} - \frac{y}{\cos \theta} = \frac{a \cos 2 \theta}{\sin \theta \cos \theta}$
$\sin \theta \cos \theta$ વડે ગુણતા:
$x \cos \theta - y \sin \theta = a \cos 2 \theta$.

(A) આપેલ રેખા $x \cos \theta - y \sin \theta = 2 \cos 2 \theta$ છે.
તેનો ઢાળ $m_1 = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ છે.
આ રેખાને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ થાય.
$(2 \cos^3 \theta, 2 \sin^3 \theta)$ માંથી પસાર થતી અને $m_2$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 2 \sin^3 \theta = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} (x - 2 \cos^3 \theta)$
$y \cos \theta - 2 \sin^3 \theta \cos \theta = -x \sin \theta + 2 \cos^3 \theta \sin \theta$
$x \sin \theta + y \cos \theta = 2 \sin \theta \cos \theta (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ હોવાથી,
$x \sin \theta + y \cos \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$
બંને બાજુ $\sin \theta \cos \theta$ વડે ભાગતા:
$x \sec \theta + y \operatorname{cosec} \theta = 2$.

(B) વ્યક્તિ $2x - 3y + 4 = 0$ અને $3x + 4y - 5 = 0$ રેખાઓના છેદબિંદુ પર ઉભી છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને છેદબિંદુ $A = (-\frac{1}{17}, \frac{22}{17})$ મળે છે.
$6x - 7y + 8 = 0$ રસ્તા પર ઓછામાં ઓછા સમયમાં પહોંચવા માટે,વ્યક્તિએ લંબ રેખા પર ચાલવું જોઈએ.
આપેલ રસ્તાનો ઢાળ $m_1 = \frac{6}{7}$ છે.
તેથી લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{7}{6}$ થશે.
$(-\frac{1}{17}, \frac{22}{17})$ માંથી પસાર થતી અને $-\frac{7}{6}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - \frac{22}{17} = -\frac{7}{6}(x + \frac{1}{17})$
$119x + 102y - 125 = 0$.

(A) ધારો કે $B = (x_1, y_1)$. $3x + 4y - 18 = 0$ એ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક હોવાથી,$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ રેખા પર આવેલું છે.
$M = (\frac{x_1+3}{2}, \frac{y_1-4}{2})$. રેખાના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $3(\frac{x_1+3}{2}) + 4(\frac{y_1-4}{2}) - 18 = 0 \implies 3x_1 + 4y_1 = 43$.
વળી,$AB$ નો ઢાળ રેખા $3x + 4y - 18 = 0$ (ઢાળ $-3/4$) ને લંબ છે. તેથી,$AB$ નો ઢાળ $= 4/3$.
$\frac{y_1+4}{x_1-3} = \frac{4}{3} \implies 4x_1 - 3y_1 = 24$.
સમીકરણો ઉકેલતા: $x_1 = 9$ અને $y_1 = 4$. તેથી $B = (9, 4)$.
મધ્યકેન્દ્ર $G = (\frac{3+9+6}{3}, \frac{-4+4+3}{3}) = (6, 1)$.

(A) $y$-અક્ષમાં રેખા $x+y-2=0$ નું પ્રતિબિંબ શોધવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણમાં $x$ ને $-x$ વડે બદલીએ છીએ.
$x+y-2=0$ માં $x = -x$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(-x)+y-2=0$
$-x+y-2=0$
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$x-y+2=0$
વૈકલ્પિક રીતે,રેખા $x+y=2$ એ બિંદુઓ $A(2, 0)$ અને $B(0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
$y$-અક્ષમાં $A(2, 0)$ નું પ્રતિબિંબ $A'(-2, 0)$ છે,અને $B(0, 2)$ નું પ્રતિબિંબ $B(0, 2)$ પોતે જ છે.
$A'(-2, 0)$ અને $B(0, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$y-0 = \frac{2-0}{0-(-2)}(x-(-2))$
$y = \frac{2}{2}(x+2)$
$y = x+2$
$x-y+2=0$

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, -2)$ અને $B(\alpha, \beta)$ છે. $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ $\left(\frac{\alpha + 1}{2}, \frac{\beta - 2}{2}\right)$ છે.
$M$ એ રેખા $2x - 3y + 5 = 0$ પર હોવાથી,$2\left(\frac{\alpha + 1}{2}\right) - 3\left(\frac{\beta - 2}{2}\right) + 5 = 0$,જેનું સાદુંરૂપ $2\alpha - 3\beta + 18 = 0$ $(i)$ થાય છે.
રેખા $AB$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{\beta + 2}{\alpha - 1}$ છે. આપેલી રેખા $2x - 3y + 5 = 0$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{2}{3}$ છે.
$AB$ એ આપેલી રેખાને લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$,તેથી $\left(\frac{\beta + 2}{\alpha - 1}\right) \times \frac{2}{3} = -1$,જે $2\beta + 4 = -3\alpha + 3$ અથવા $3\alpha + 2\beta + 1 = 0$ $(ii)$ આપે છે.
સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા: $\alpha = -3$ અને $\beta = 4$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = -3 + 4 = 1$.

(C) $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{1+k}{2}, \frac{7}{2}\right)$ છે.
રેખા $PQ$ નો ઢાળ $m = \frac{3-4}{k-1} = \frac{-1}{k-1}$ છે.
લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $m' = k-1$ છે.
લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ $y - \frac{7}{2} = (k-1)(x - \frac{1+k}{2})$ છે.
$y$-અંતઃખંડ માટે $x=0$ અને $y=-4$ લેતા:
$-4 - \frac{7}{2} = (k-1)(-\frac{1+k}{2})$
$-\frac{15}{2} = -\frac{k^2-1}{2}$
$15 = k^2 - 1$ $\Rightarrow k^2 = 16$ $\Rightarrow k = \pm 4$.
તેથી,$k$ ની શક્ય કિંમત $-4$ છે.

(C) ધારો કે આપાત કિરણનો ઢાળ $m$ છે. અરીસાની રેખા $7x - y + 1 = 0$ છે,જેનો ઢાળ $m_1 = 7$ છે. પરાવર્તિત કિરણ $y + 2x = 1$ છે,જેનો ઢાળ $m_2 = -2$ છે. આપાત બિંદુ $(0, 1)$ છે.
આપાતકોણ = પરાવર્તનકોણ હોવાથી,આપાત કિરણ અને અરીસા વચ્ચેનો ખૂણો એ પરાવર્તિત કિરણ અને અરીસા વચ્ચેના ખૂણા જેટલો જ હોય.
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\left| \frac{m - 7}{1 + 7m} \right| = \left| \frac{7 - (-2)}{1 + 7(-2)} \right| = \left| \frac{9}{1 - 14} \right| = \frac{9}{13}$.
$\frac{m - 7}{1 + 7m} = \frac{9}{13}$ અથવા $\frac{m - 7}{1 + 7m} = -\frac{9}{13}$.
કિસ્સો $1$: $13(m - 7) = 9(1 + 7m)$ $\Rightarrow 13m - 91 = 9 + 63m$ $\Rightarrow -50m = 100$ $\Rightarrow m = -2$ (આ પરાવર્તિત કિરણનો ઢાળ છે).
કિસ્સો $2$: $13(m - 7) = -9(1 + 7m)$ $\Rightarrow 13m - 91 = -9 - 63m$ $\Rightarrow 76m = 82$ $\Rightarrow m = \frac{41}{38}$.
$(0, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $m = \frac{41}{38}$ ઢાળ ધરાવતી આપાત રેખાનું સમીકરણ:
$y - 1 = \frac{41}{38}(x - 0)$ $\Rightarrow 38y - 38 = 41x$ $\Rightarrow 41x - 38y + 38 = 0$.

(B) આપાત રેખાનું સમીકરણ $x-2y-3=0$ છે. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{1}{2}$ છે.
કણ લંબ દિશામાં પરાવર્તિત થતો હોવાથી,પરાવર્તિત રેખાનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ નું પાલન કરે છે.
તેથી,$m_2 = -2$.
આપાત બિંદુ એ $x-2y-3=0$ અને $3x-2y-5=0$ નું છેદબિંદુ છે.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા: $(3x-2y-5) - (x-2y-3) = 0$ $\Rightarrow 2x-2=0$ $\Rightarrow x=1$.
$x=1$ ને $x-2y-3=0$ માં મૂકતા,$1-2y-3=0$ $\Rightarrow -2y=2$ $\Rightarrow y=-1$.
છેદબિંદુ $(1, -1)$ છે.
$(1, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $m_2 = -2$ ઢાળ ધરાવતી પરાવર્તિત રેખાનું સમીકરણ:
$y - (-1) = -2(x - 1)$
$y + 1 = -2x + 2$
$2x + y - 1 = 0$.

(A) ધારો કે $l_1 \equiv 2x + 3y = 5$.
રેખા $AB$ એ $l_1$ ને લંબ હોવાથી,$l_1$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{2}{3}$ છે.
તેથી,$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = -\frac{1}{m_1} = \frac{3}{2}$ થાય.
બિંદુ $A\left(1, \frac{1}{3}\right)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{3}{2}$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $AB$ નું સમીકરણ:
$\left(y - \frac{1}{3}\right) = \frac{3}{2}(x - 1)$
$\Rightarrow 2y - \frac{2}{3} = 3x - 3$
$\Rightarrow 3x - 2y = \frac{7}{3}$
$\Rightarrow 9x - 6y = 7$ $(i)$
રેખા $l_1$ નું સમીકરણ $2x + 3y = 5$ છે. તેને $2$ વડે ગુણતા $4x + 6y = 10$ (ii) મળે.
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા: $13x = 17 \Rightarrow x = \frac{17}{13}$.
$2x + 3y = 5$ માં $x$ ની કિંમત મૂકતા: $2\left(\frac{17}{13}\right) + 3y = 5$ $\Rightarrow 3y = 5 - \frac{34}{13} = \frac{31}{13}$ $\Rightarrow y = \frac{31}{39}$.
છેદબિંદુ $P$ (જે $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે) $\left(\frac{17}{13}, \frac{31}{39}\right)$ છે.
ધારો કે $B = (x_2, y_2)$. $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{1 + x_2}{2} = \frac{17}{13} \Rightarrow x_2 = \frac{21}{13}$
$\frac{1/3 + y_2}{2} = \frac{31}{39} \Rightarrow y_2 = \frac{49}{39}$
આમ,$B = \left(\frac{21}{13}, \frac{49}{39}\right)$.