Distance between two lines, Perpendicular distance of the line from a point, Position of point w.r.t. line Questions in Hindi

(D) बिंदु $R(3,7)$ से रेखा $x+y-5=0$ की लंबवत दूरी $h$ इस प्रकार दी गई है:
$h = \frac{|3+7-5|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$
एक समबाहु त्रिभुज जिसकी भुजा की लंबाई $a$ है,उसकी ऊँचाई $h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ होती है।
अतः,$\frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{5}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $a = \frac{10}{\sqrt{6}} = \frac{5 \sqrt{6}}{3}$।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{100}{6} \right) = \frac{100 \sqrt{3}}{24} = \frac{25 \sqrt{3}}{6}$ है।

(B) मान लीजिए $P = (a^2, a+1)$ है।
रेखा $L_1: 3x-y+1=0$ के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ पर $L_1(0,0) = 3(0)-0+1 = 1 > 0$ है।
चूंकि $P$ मूल बिंदु के समान ओर स्थित है,इसलिए $L_1(a^2, a+1) > 0$ होगा।
$3(a^2) - (a+1) + 1 > 0$ $\Rightarrow 3a^2 - a > 0$ $\Rightarrow a(3a-1) > 0$।
अतः,$a \in (-\infty, 0) \cup (\frac{1}{3}, \infty) \dots (i)$।
रेखा $L_2: x+2y-5=0$ के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ पर $L_2(0,0) = 0+2(0)-5 = -5 < 0$ है।
चूंकि $P$ मूल बिंदु के समान ओर स्थित है,इसलिए $L_2(a^2, a+1) < 0$ होगा।
$a^2 + 2(a+1) - 5 < 0$ $\Rightarrow a^2 + 2a - 3 < 0$ $\Rightarrow (a+3)(a-1) < 0$।
अतः,$a \in (-3, 1) \dots (ii)$।
$(i)$ और $(ii)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$a \in (-3, 0) \cup (\frac{1}{3}, 1)$।

(D) माना बिंदु $A(2, 3)$ है और रेखा $L: 2x - 3y + 28 = 0$ है। दूरी को रेखा $\sqrt{3}x - y + 1 = 0$ के समानांतर मापा जाता है,जिसका ढाल $m = \sqrt{3}$ है।
अतः,$\tan \theta = \sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $\theta = 60^\circ$। इसलिए,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ और $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
$A(2, 3)$ से गुजरने वाली रेखा पर $r$ दूरी पर स्थित किसी बिंदु $P$ के निर्देशांक $(2 + r \cos \theta, 3 + r \sin \theta) = (2 + \frac{r}{2}, 3 + \frac{\sqrt{3}r}{2})$ हैं।
चूंकि $P$ रेखा $2x - 3y + 28 = 0$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2 + \frac{r}{2}) - 3(3 + \frac{\sqrt{3}r}{2}) + 28 = 0$
$4 + r - 9 - \frac{3\sqrt{3}r}{2} + 28 = 0$
$23 + r(1 - \frac{3\sqrt{3}}{2}) = 0$
$r = 4 + 6\sqrt{3}$।

(D) चरण $1$: $3x + 2y = 14$ और $5x - y = 6$ को हल करके बिंदु $A$ प्राप्त करें। $A = (2, 4)$।
चरण $2$: $4x + 3y = 8$ और $6x + y = 5$ को हल करके बिंदु $B$ प्राप्त करें। $B = (\frac{1}{2}, 2)$।
चरण $3$: रेखा $AB$ का समीकरण $4x - 3y + 4 = 0$ है।
चरण $4$: बिंदु $P(5, -2)$ की रेखा $4x - 3y + 4 = 0$ से दूरी $d = \frac{|4(5) - 3(-2) + 4|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{30}{5} = 6$ है।

(C) हम जानते हैं कि केंद्रक $A$,लंबकेंद्र $C$ और परिकेंद्र $B$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
दिए गए $C(-6, -8)$ और $B(3, 4)$ के लिए,केंद्रक $A(a, b)$ विभाजन सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$a = \frac{2(3) + 1(-6)}{2+1} = 0$
$b = \frac{2(4) + 1(-8)}{2+1} = 0$
अतः,$A(0, 0)$।
अब,बिंदु $P(2a+3, 7b+5)$,$P(3, 5)$ बन जाता है।
हमें $P(3, 5)$ की रेखा $2x+3y-4=0$ से रेखा $x-2y-1=0$ के समानांतर दूरी ज्ञात करनी है।
रेखा $x-2y-1=0$ की ढाल $m = \frac{1}{2}$ है। अतः,$\tan \theta = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ और $\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$।
$P(3, 5)$ से गुजरने वाली और $m = \frac{1}{2}$ ढाल वाली रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(3+\frac{2r}{\sqrt{5}}, 5+\frac{r}{\sqrt{5}})$ हैं।
इसे रेखा $2x+3y-4=0$ में रखने पर:
$2(3+\frac{2r}{\sqrt{5}}) + 3(5+\frac{r}{\sqrt{5}}) - 4 = 0$
$17 + \frac{7r}{\sqrt{5}} = 0$
$r = -\frac{17 \sqrt{5}}{7}$
चूंकि दूरी हमेशा धनात्मक होती है,इसलिए आवश्यक दूरी $|r| = \frac{17 \sqrt{5}}{7}$ है।

(C) त्रिभुज के शीर्ष $A(-1, 3)$,$B(-2, 2)$ और $C(3, -1)$ हैं।
भुजाओं के समीकरण:
$AC$ का समीकरण: ढाल $m = -1$,समीकरण $x + y = 2$ है।
$AB$ का समीकरण: ढाल $m = 1$,समीकरण $x - y + 4 = 0$ है।
$BC$ का समीकरण: ढाल $m = -\frac{3}{5}$,समीकरण $3x + 5y - 4 = 0$ है।
रेखा $ax + by + c = 0$ को $d=1$ इकाई अंदर की ओर स्थानांतरित करने पर,नई रेखा $ax + by + c \pm \sqrt{a^2+b^2} = 0$ प्राप्त होती है।
$AC: x + y - 2 = 0$ के लिए,नई रेखा $x + y = 2 - \sqrt{2}$ है।
मूल बिंदु के सबसे निकट की भुजा $x + y = 2 - \sqrt{2}$ है।

(A) माना रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि रेखा $(3, 5)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{3}{a} + \frac{5}{b} = 1$ है।
इसका अर्थ है $\frac{5}{b} = 1 - \frac{3}{a} = \frac{a-3}{a}$,अतः $b = \frac{5a}{a-3}$ जहाँ $a > 3$ है।
त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} a \left( \frac{5a}{a-3} \right) = \frac{5}{2} \cdot \frac{a^2}{a-3}$ है।
इसे हम $A = \frac{5}{2} \left( \frac{a^2 - 9 + 9}{a-3} \right) = \frac{5}{2} \left( a + 3 + \frac{9}{a-3} \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
$AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करने के लिए,$A = \frac{5}{2} \left( (a-3) + \frac{9}{a-3} + 6 \right)$ लिखें।
$AM$-$GM$ के अनुसार,$(a-3) + \frac{9}{a-3} \geq 2 \sqrt{(a-3) \cdot \frac{9}{a-3}} = 2 \cdot 3 = 6$ है।
अतः,$A \geq \frac{5}{2} (6 + 6) = \frac{5}{2} (12) = 30$ है।
न्यूनतम क्षेत्रफल $30$ है।

(B) दिया गया है $\alpha = 1 + \sum_{r=1}^6 (-3)^{r-1} \binom{12}{2r-1}$.
$(1 + \sqrt{3}i)^{12}$ और $(1 - \sqrt{3}i)^{12}$ के विस्तार का उपयोग करने पर,योग $0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = 1$ है।
रेखा का समीकरण $x - \sqrt{3}y + 1 = 0$ हो जाता है।
बिंदु $(12, \sqrt{3})$ से रेखा की दूरी $d = \frac{|12 - 3 + 1|}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{10}{2} = 5$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $x(x+2)(12-k)=2$.
मान लीजिए $\lambda = 12-k$ है। चूंकि समीकरण के मूल समान हैं,$k \neq 12$,इसलिए $\lambda \neq 0$ है।
समीकरण $\lambda(x^2+2x) = 2$ या $\lambda x^2 + 2\lambda x - 2 = 0$ बन जाता है।
समान मूलों के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 0$ होगा।
$(2\lambda)^2 - 4(\lambda)(-2) = 0$.
$4\lambda^2 + 8\lambda = 0$.
$4\lambda(\lambda + 2) = 0$.
चूंकि $\lambda \neq 0$,इसलिए $\lambda = -2$ है।
मान रखने पर,$12-k = -2$,जिससे $k = 14$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(k, \frac{k}{2}) = (14, 7)$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax+By+C=0$ की दूरी $d = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ होती है।
$d = \frac{|3(14) + 4(7) + 5|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{|42 + 28 + 5|}{5} = \frac{75}{5} = 15$.

(D) दी गई रेखाओं के समीकरण $4x + 3y - 20 = 0$ और $4x + 3y + 15 = 0$ हैं।
चूँकि $x$ और $y$ के गुणांक समान हैं,इसलिए रेखाएँ समांतर हैं।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \left| \frac{c_1 - c_2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 4$,$b = 3$,$c_1 = -20$,और $c_2 = 15$ है।
$d = \left| \frac{-20 - 15}{\sqrt{4^2 + 3^2}} \right| = \left| \frac{-35}{\sqrt{16 + 9}} \right| = \left| \frac{-35}{5} \right| = 7$ इकाई।
चूँकि एक वर्ग की दो विपरीत भुजाओं के बीच की दूरी उसकी भुजा की लंबाई $s$ के बराबर होती है,इसलिए $s = 7$ इकाई।
वर्ग का क्षेत्रफल $s^2 = 7^2 = 49$ वर्ग इकाई है।

(D) रेखा $L$ बिंदु $(13, 32)$ से गुजरती है।
$\frac{13}{5} + \frac{32}{b} = 1$
$\frac{32}{b} = 1 - \frac{13}{5} = -\frac{8}{5}$
$b = -20$
अतः,$L$ का समीकरण $\frac{x}{5} - \frac{y}{20} = 1$ है,जिसे $4x - y - 20 = 0$ लिखा जा सकता है।
$L$ की ढाल $m_1 = 4$ है।
चूंकि रेखा $K$,$L$ के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल $m_2 = 4$ होगी।
$K$ का समीकरण $\frac{x}{c} + \frac{y}{3} = 1$ है,अर्थात $y = -\frac{3}{c}x + 3$।
इसलिए,$-\frac{3}{c} = -4 \Rightarrow c = -\frac{3}{4}$।
$K$ का समीकरण $\frac{x}{-3/4} + \frac{y}{3} = 1$ $\Rightarrow -\frac{4x}{3} + \frac{y}{3} = 1$ $\Rightarrow 4x - y + 3 = 0$ होता है।
$4x - y - 20 = 0$ और $4x - y + 3 = 0$ के बीच की दूरी $\frac{|-20 - 3|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \frac{23}{\sqrt{17}}$ है।

(A) दी गई रेखाओं के समीकरण $5x - 12y + 39 = 0$ और $5x - 12y + 78 = 0$ हैं।
चूँकि $x$ और $y$ के गुणांक समान हैं,रेखाएँ समांतर हैं।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \left| \frac{c_1 - c_2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 5$,$b = -12$,$c_1 = 39$,और $c_2 = 78$ है।
$d = \left| \frac{39 - 78}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} \right| = \left| \frac{-39}{\sqrt{169}} \right| = \frac{39}{13} = 3$ इकाई।
चूँकि वर्ग की दो समांतर भुजाओं के बीच की दूरी उसकी भुजा की लंबाई के बराबर होती है,इसलिए वर्ग की भुजा $s = 3$ इकाई है।
वर्ग का क्षेत्रफल $s^2 = 3^2 = 9$ वर्ग इकाई है।

(B) माना शीर्ष $A(1, 2)$ है और आधार $BC$ रेखा $2x - y - 1 = 0$ पर स्थित है।
शीर्ष $A$ से आधार $BC$ पर डाला गया लंब $AD$,बिंदु $(1, 2)$ से रेखा $2x - y - 1 = 0$ की लंबवत दूरी है।
$AD = \left| \frac{2(1) - (2) - 1}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \right| = \left| \frac{2 - 2 - 1}{\sqrt{5}} \right| = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
एक समबाहु त्रिभुज में,लंब $AD$ और भुजा की लंबाई $s$ के बीच संबंध $AD = s \sin 60^{\circ} = s \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है।
अतः,$\frac{1}{\sqrt{5}} = s \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$s = \frac{2}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{15}}$.

(C) रेखा का अंतःखंड रूप समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है,जिसे $\frac{1}{a}x + \frac{1}{b}y - 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ पर लंब की लंबाई $p = \left| \frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2}} \right|$ द्वारा दी जाती है।
$A = \frac{1}{a}$,$B = \frac{1}{b}$,और $C = -1$ मान रखने पर,$p = \left| \frac{-1}{\sqrt{(\frac{1}{a})^2 + (\frac{1}{b})^2}} \right|$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$p^2 = \frac{1}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{p^2}$।

(D) अक्षों पर $a$ और $b$ अंतःखंड वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है,जिसे $bx + ay - ab = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से इस रेखा पर लंब की लंबाई $p$ सूत्र $p = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें मिलता है $p = \frac{|b(0) + a(0) - ab|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{|-ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें मिलता है $p^2 = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$.
व्युत्क्रम लेने पर,हमें मिलता है $\frac{1}{p^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2} = \frac{a^2}{a^2 b^2} + \frac{b^2}{a^2 b^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2}$.
अतः,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{p^2}$.

(D) दी गई रेखाएँ $3x + 4y = 9$ और $6x + 8y = 15$ हैं।
समांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए,हम पहले $x$ और $y$ के गुणांकों को समान बनाते हैं।
प्रथम समीकरण को $2$ से गुणा करने पर: $2(3x + 4y) = 2(9) \Rightarrow 6x + 8y = 18$.
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 6$,$b = 8$,$c_1 = -18$,और $c_2 = -15$.
$d = \frac{|-18 - (-15)|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{3}{\sqrt{100}} = \frac{3}{10} = 0.3$ इकाई।

(D) मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
विकल्प $A$ के लिए: $d_A = \frac{|4|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{4}{5} = 0.8$.
विकल्प $B$ के लिए: $d_B = \frac{|-5|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{5}{\sqrt{13}} \approx 1.38$.
विकल्प $C$ के लिए: $d_C = \frac{|12|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{12}{5} = 2.4$.
विकल्प $D$ के लिए: $d_D = \frac{|-3|}{\sqrt{5^2 + (-2)^2}} = \frac{3}{\sqrt{29}} \approx 0.55$.
दूरियों की तुलना करने पर,$0.55$ सबसे छोटा मान है। अतः,विकल्प $D$ की रेखा मूल बिंदु के सबसे निकट है।

(A) माना बिंदु $P(x_1, y_1)$ है। चूँकि $P$,$2x - y = 5$ पर स्थित है,इसलिए $y_1 = 2x_1 - 5$ है।
रेखा $3x + 4y - 5 = 0$ से बिंदु $P(x_1, y_1)$ की दूरी $d = \left|\frac{3x_1 + 4y_1 - 5}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\right| = 1$ है।
$y_1 = 2x_1 - 5$ को दूरी के सूत्र में रखने पर:
$\left|\frac{3x_1 + 4(2x_1 - 5) - 5}{5}\right| = 1$
$\left|\frac{11x_1 - 25}{5}\right| = 1$
$11x_1 - 25 = 5$ या $11x_1 - 25 = -5$
स्थिति $1$: $11x_1 = 30 \implies x_1 = \frac{30}{11}$. अतः $y_1 = \frac{5}{11}$.
स्थिति $2$: $11x_1 = 20 \implies x_1 = \frac{20}{11}$. अतः $y_1 = \frac{-15}{11}$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(\frac{30}{11}, \frac{5}{11}\right)$ और $\left(\frac{20}{11}, \frac{-15}{11}\right)$ हैं।

(B) माना रेखा $x+y+3=0$ पर स्थित बिंदु $(k, -3-k)$ है।
दिया गया है कि इस बिंदु की रेखा $x+2y+2=0$ से लंबवत दूरी $\sqrt{5}$ है।
दूरी सूत्र $d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{|k + 2(-3-k) + 2|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \sqrt{5}$
$\frac{|k - 6 - 2k + 2|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$
$|-k - 4| = 5$
$|k + 4| = 5$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$k + 4 = 5 \Rightarrow k = 1$
$k + 4 = -5 \Rightarrow k = -9$
$k = 1$ के लिए,बिंदु $(1, -3-1) = (1, -4)$ है।
$k = -9$ के लिए,बिंदु $(-9, -3-(-9)) = (-9, 6)$ है।

(C) दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, हम पहले समीकरणों को $x$ और $y$ के समान गुणांकों के साथ लिखते हैं।
प्रथम समीकरण $3x + 4y = 9$ को $2$ से गुणा करने पर $6x + 8y = 18$ प्राप्त होता है।
अब रेखाएं $6x + 8y - 18 = 0$ और $6x + 8y - 15 = 0$ हैं।
दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
मान रखने पर: $d = \frac{|-18 - (-15)|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{3}{\sqrt{100}} = \frac{3}{10} = 0.3 \text{ इकाई}$.

(B) दी गई रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है,जिसे $bx + ay - ab = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ पर लंब की लंबाई का सूत्र $d = \left| \frac{Ax_{1} + By_{1} + C}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \right|$ है।
$A = b$,$B = a$,$C = -ab$,$x_{1} = a$,और $y_{1} = b$ प्रतिस्थापित करने पर:
$d = \left| \frac{b(a) + a(b) - ab}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \right| = \left| \frac{ab + ab - ab}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \right| = \left| \frac{ab}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \right|$ इकाई।

(A) बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $d = \left| \frac{Ax_1 + By_1 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}} \right|$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए बिंदु $(4, 1)$ और रेखा $3x - 4y + k = 0$ के लिए:
$2 = \left| \frac{3(4) - 4(1) + k}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right|$
$2 = \left| \frac{12 - 4 + k}{\sqrt{9 + 16}} \right|$
$2 = \left| \frac{8 + k}{5} \right|$
$|8 + k| = 10$
इसका अर्थ है $8 + k = 10$ या $8 + k = -10$ है।
यदि $8 + k = 10$,तो $k = 2$ है।
यदि $8 + k = -10$,तो $k = -18$ है।
अतः,$k$ के मान $2$ और $-18$ हैं।

(C) मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ पर लंब की लंबाई $p = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
पहली रेखा $x \sin \theta + y \cos \theta - 5 \cos 2 \theta = 0$ के लिए,$p_{1} = \frac{|-5 \cos 2 \theta|}{\sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}} = |5 \cos 2 \theta|$.
अतः,$p_{1}^2 = 25 \cos^2 2 \theta$.
दूसरी रेखा $x \operatorname{cosec} \theta + y \sec \theta - 5 = 0$ के लिए,$p_{2} = \frac{|-5|}{\sqrt{\operatorname{cosec}^2 \theta + \sec^2 \theta}} = \frac{5}{\sqrt{\frac{1}{\sin^2 \theta} + \frac{1}{\cos^2 \theta}}} = 5 \sin \theta \cos \theta = \frac{5}{2} \sin 2 \theta$.
अतः,$4 p_{2}^2 = 4 \left( \frac{25}{4} \sin^2 2 \theta \right) = 25 \sin^2 2 \theta$.
इस प्रकार,$p_{1}^2 + 4 p_{2}^2 = 25 \cos^2 2 \theta + 25 \sin^2 2 \theta = 25$.

(D) रेखा $L$,$(13,32)$ से गुजरती है।
$\frac{13}{5}+\frac{32}{b}=1$
$\Rightarrow \frac{32}{b} = 1 - \frac{13}{5} = -\frac{8}{5}$
$\Rightarrow b = -20$
अतः,$L$ का समीकरण $\frac{x}{5}-\frac{y}{20}=1$ है,जिसे $4x-y=20$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$L$ की ढाल $m_1=4$ है।
रेखा $K$ जिसका समीकरण $\frac{x}{c}+\frac{y}{3}=1$ है,की ढाल $m_2=-\frac{3}{c}$ है।
चूंकि $L$ और $K$ समानांतर हैं,इसलिए $m_1=m_2$.
$4 = -\frac{3}{c} \Rightarrow c = -\frac{3}{4}$.
रेखा $K$ का समीकरण $-\frac{4x}{3}+\frac{y}{3}=1$ है,जिसे $4x-y=-3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दो समानांतर रेखाओं $Ax+By+C_1=0$ और $Ax+By+C_2=0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ होती है।
यहाँ,$A=4, B=-1, C_1=-20, C_2=3$.
$d = \frac{|-20-3|}{\sqrt{4^2+(-1)^2}} = \frac{|-23|}{\sqrt{16+1}} = \frac{23}{\sqrt{17}}$.

(A) माना रेखा $L(x, y) = x+y-1 = 0$ है।
बिंदुओं $(x_1, y_1) = (1, 2)$ और $(x_2, y_2) = (\sin \theta, \cos \theta)$ के रेखा के एक ही ओर स्थित होने के लिए,गुणनफल $L(x_1, y_1) \cdot L(x_2, y_2) > 0$ होना चाहिए।
$L(1, 2) = 1+2-1 = 2 > 0$ है।
अतः,$L(\sin \theta, \cos \theta) > 0$ होना चाहिए।
$\Rightarrow \sin \theta + \cos \theta - 1 > 0$
$\Rightarrow \sin \theta + \cos \theta > 1$
$\sqrt{2}$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta > \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow \sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) > \frac{1}{\sqrt{2}}$
चूंकि $\theta \in (0, \pi)$,इसलिए $\theta + \frac{\pi}{4} \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right)$ है।
इस अंतराल में,$\sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) > \frac{1}{\sqrt{2}}$ तब होता है जब:
$\frac{\pi}{4} < \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}$
सभी पक्षों से $\frac{\pi}{4}$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$
अतः,मानों का समुच्चय $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ है।

(B) बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{y-y_1}{x-x_1} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदुओं $(5,0)$ और $(0,3)$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{y-0}{x-5} = \frac{3-0}{0-5} = -\frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $5y = -3(x-5)$,अर्थात $3x + 5y - 15 = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_0, y_0)$ से रेखा $ax + by + c = 0$ पर लंब की लंबाई $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
बिंदु $(x_0, y_0) = (4,4)$ और रेखा के समीकरण $3x + 5y - 15 = 0$ को रखने पर:
$d = \frac{|3(4) + 5(4) - 15|}{\sqrt{3^2 + 5^2}} = \frac{|12 + 20 - 15|}{\sqrt{9 + 25}} = \frac{17}{\sqrt{34}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर,$d = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac{\sqrt{34}}{2} = \sqrt{\frac{34}{4}} = \sqrt{\frac{17}{2}}$।

(B) एक समबाहु त्रिभुज में,केंद्रक,परिकेंद्र और अंतःकेंद्र संपाती होते हैं। मान लीजिए $O$ मूल बिंदु $(0,0)$ है,जो केंद्रक है।
अंतःत्रिज्या $r$,केंद्रक $O(0,0)$ से भुजा $x+y-3=0$ की लंबवत दूरी है।
$r = \left| \frac{0+0-3}{\sqrt{1^2+1^2}} \right| = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
एक समबाहु त्रिभुज में,परिवृत्त त्रिज्या $R$,अंतःत्रिज्या $r$ की दोगुनी होती है,इसलिए $R = 2r$.
$R = 2 \times \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}}$.
अतः,$R+r = \frac{6}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}}$.

(D) माना $M$, $O(0,0)$ से रेखा $3x + 4y + 15 = 0$ पर डाले गए लंब का पाद है।
अतः, लंब की लंबाई $OM = \left| \frac{3(0) + 4(0) + 15}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right| = \frac{15}{5} = 3$.
समकोण त्रिभुज $\triangle OMQ$ में, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$MQ = \sqrt{OQ^2 - OM^2} = \sqrt{9^2 - 3^2} = \sqrt{81 - 9} = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2}$.
$\triangle OPQ$ का क्षेत्रफल $= 2 \times (\triangle OMQ$ का क्षेत्रफल)।
$\triangle OPQ$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \left( \frac{1}{2} \times OM \times MQ \right) = OM \times MQ$.
$\triangle OPQ$ का क्षेत्रफल $= 3 \times 6 \sqrt{2} = 18 \sqrt{2}$.

(C) माना बिंदु $P(-3, 4)$ और $Q(2, -8)$ हैं। $P$ और $Q$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-8 - 4)^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ इकाई है।
$P$ से गुजरने वाली किसी भी रेखा को रेखा $PQ$ के साथ किसी कोण $\theta$ पर दर्शाया जा सकता है। ऐसी रेखा पर $Q$ से लंबवत दूरी $d \sin \theta$ है,जहाँ $d = 13$ है।
हम चाहते हैं कि दूरी $5$ इकाई हो,इसलिए $13 \sin \theta = 5$,जिससे $\sin \theta = \frac{5}{13}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|\sin \theta| \le 1$ और $\frac{5}{13} < 1$,इसलिए $[0, 2\pi)$ की सीमा में $\theta$ के लिए दो संभावित मान हैं,अर्थात् $\theta = \arcsin(\frac{5}{13})$ और $\theta = \pi - \arcsin(\frac{5}{13})$।
अतः,ऐसी $2$ रेखाएँ संभव हैं।

(B) माना दिया गया बिंदु $P(4, -5)$ है और स्थिर बिंदु $Q(1, 3)$ है।
बिंदु $P$ और $Q$ के बीच की दूरी $d$ दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है:
$d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-8)^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73}$.
चूँकि $\sqrt{73} \approx 8.54$,बिंदु $P$ और $Q$ के बीच की दूरी $10$ इकाई से कम है।
बिंदु $P$ से गुजरने वाली किसी भी रेखा की बिंदु $Q$ से लंबवत दूरी हमेशा $PQ$ से कम या उसके बराबर होती है।
यहाँ $PQ < 10$ है,इसलिए $P$ से गुजरने वाली कोई भी रेखा $Q$ से $10$ इकाई की दूरी पर नहीं हो सकती है।
अतः,ऐसी रेखाओं की संख्या $0$ है।

(B) दी गई रेखाएँ $3x + 4y = 9$ और $6x + 8y = 15$ हैं।
$x$ और $y$ के गुणांकों को समान करने के लिए,पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर:
$6x + 8y = 18$।
अब,समीकरण $6x + 8y - 18 = 0$ और $6x + 8y - 15 = 0$ हैं।
दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = 6, B = 8, C_1 = -18, C_2 = -15$ है।
$d = \frac{|-18 - (-15)|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{3}{\sqrt{100}} = \frac{3}{10} \text{ इकाई}$।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) माना $P$ मूलबिंदु $O(0, 0)$ से रेखा $3x - 4y + 25 = 0$ पर डाला गया लंब है।
लंबवत दूरी $OP$ इस प्रकार है:
$OP = \left| \frac{3(0) - 4(0) + 25}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right| = \left| \frac{25}{\sqrt{9 + 16}} \right| = \left| \frac{25}{5} \right| = 5$.
समकोण त्रिभुज $\triangle OAP$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AP^2 + OP^2 = OA^2$
$AP^2 + 5^2 = 13^2$
$AP^2 = 169 - 25 = 144$
$AP = 12$.
चूँकि $OP \perp AB$,$P$,$AB$ का मध्यबिंदु है,अतः $AB = 2 \times AP = 2 \times 12 = 24$.
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times AB \times OP = \frac{1}{2} \times 24 \times 5 = 60$ वर्ग इकाई।

(D) मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ पर लंब की लंबाई $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
पहली रेखा $x \sec \alpha + y \operatorname{cosec} \alpha - 10 = 0$ के लिए,$p = \frac{|-10|}{\sqrt{\sec^2 \alpha + \operatorname{cosec}^2 \alpha}} = 10 \sin \alpha \cos \alpha = 5 \sin 2 \alpha$ प्राप्त होता है।
अतः,$p^2 = 25 \sin^2 2 \alpha$,जिसका अर्थ है $4p^2 = 100 \sin^2 2 \alpha$.
दूसरी रेखा $x \cos \alpha - y \sin \alpha - 10 \cos 2 \alpha = 0$ के लिए,$q = \frac{|-10 \cos 2 \alpha|}{\sqrt{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}} = 10 \cos 2 \alpha$ प्राप्त होता है।
अतः,$q^2 = 100 \cos^2 2 \alpha$.
इस प्रकार,$4p^2 + q^2 = 100 \sin^2 2 \alpha + 100 \cos^2 2 \alpha = 100(1) = 100$.

(B) रेखा $x+1=0$,$x=-1$ के बराबर है।
$3x+2y=5$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x=-1$ रखें:
$3(-1)+2y=5 \implies -3+2y=5 \implies 2y=8 \implies y=4$।
अतः,पहला बिंदु $(-1, 4)$ है।
$3x+2y=3$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x=-1$ रखें:
$3(-1)+2y=3 \implies -3+2y=3 \implies 2y=6 \implies y=3$।
अतः,दूसरा बिंदु $(-1, 3)$ है।
अंतःखंड की लंबाई $(-1, 4)$ और $(-1, 3)$ के बीच की दूरी है:
दूरी $= \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$।

(C) $m$ ढाल और $c$ $y$-अंतःखंड वाली रेखा का समीकरण $y = mx + c$ होता है।
यहाँ $c = 4$ दिया गया है,इसलिए रेखा का समीकरण $y = mx + 4$ या $mx - y + 4 = 0$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ बिंदु मूलबिंदु $(0, 0)$ है,इसलिए $x_1 = 0$ और $y_1 = 0$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \frac{|m(0) - (0) + 4|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}}$
$d = \frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}}$.

(A) माना रेखा $L(x, y) = 3x - 4y - 8 = 0$ है।
बिंदु $(3, 4)$ के लिए,$L(3, 4) = 3(3) - 4(4) - 8 = 9 - 16 - 8 = -15$ प्राप्त होता है।
चूंकि $L(3, 4) < 0$,बिंदु $(\alpha, \beta)$ के विपरीत पक्ष पर होने के लिए,$L(\alpha, \beta) > 0$ होना चाहिए।
$L(x, y)$ में $(\alpha, \beta)$ रखने पर,$3\alpha - 4\beta - 8 > 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(\alpha, \beta)$ रेखा $3x + y = 0$ पर स्थित है,इसलिए $\beta = -3\alpha$ होगा।
असमिका में $\beta = -3\alpha$ रखने पर:
$3\alpha - 4(-3\alpha) - 8 > 0$
$3\alpha + 12\alpha - 8 > 0$
$15\alpha - 8 > 0$.

(C) समीकरण $|x+y|=4$ दो समानांतर रेखाओं को दर्शाता है: $x+y=4$ और $x+y=-4$।
एक बिंदु $(a, a)$ के इन दो रेखाओं के बीच स्थित होने के लिए,$(a, a)$ पर व्यंजक $(x+y)$ का मान $-4$ और $4$ के बीच होना चाहिए।
$(a, a)$ को $x+y$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a+a = 2a$ प्राप्त होता है।
अतः,शर्त $-4 < 2a < 4$ है।
असमिका को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $-2 < a < 2$ प्राप्त होता है।
यह $|a| < 2$ के बराबर है।

(C) मान लीजिए रेखाएं $L_1: x+2y-5=0$ और $L_2: 3x-y+1=0$ हैं। मूल बिंदु $(0,0)$ के लिए $L_1(0,0) = -5 < 0$ और $L_2(0,0) = 1 > 0$ है।
बिंदु $P(\lambda^2, \lambda+1)$ के मूल बिंदु वाले क्षेत्र में होने के लिए,इसे $L_1(P) < 0$ और $L_2(P) > 0$ को संतुष्ट करना होगा।
$L_1$ के लिए: $\lambda^2 + 2(\lambda+1) - 5 < 0$ $\Rightarrow \lambda^2 + 2\lambda - 3 < 0$ $\Rightarrow (\lambda+3)(\lambda-1) < 0$ $\Rightarrow \lambda \in (-3, 1)$।
$L_2$ के लिए: $3(\lambda^2) - (\lambda+1) + 1 > 0$ $\Rightarrow 3\lambda^2 - \lambda > 0$ $\Rightarrow \lambda(3\lambda-1) > 0$ $\Rightarrow \lambda \in (-\infty, 0) \cup (1/3, \infty)$।
$\lambda \in (-3, 1)$ और $\lambda \in (-\infty, 0) \cup (1/3, \infty)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $\lambda \in (-3, 0) \cup (1/3, 1)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\lambda \in \mathbb{Z}$,इसलिए $\lambda$ के संभावित पूर्णांक मान $\lambda = -2, -1$ हैं।
अतः,ऐसे $2$ बिंदु संभव हैं।

(B) माना रेखा $L(x, y) = 3x - 5y + a = 0$ है।
दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के रेखा $Ax + By + C = 0$ के एक ही ओर स्थित होने के लिए,$L(x_1, y_1)$ और $L(x_2, y_2)$ के चिह्न समान होने चाहिए,अर्थात $L(x_1, y_1) \times L(x_2, y_2) > 0$।
बिंदु $(1, 2)$ के लिए,$L(1, 2) = 3(1) - 5(2) + a = a - 7$।
बिंदु $(3, 4)$ के लिए,$L(3, 4) = 3(3) - 5(4) + a = a - 11$।
अतः,हमें $(a - 7)(a - 11) > 0$ की आवश्यकता है।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $a < 7$ या $a > 11$ हो।

(B) माना $f(x, y) = 3x - 5y + a$ है। बिंदुओं $(1, 2)$ और $(3, 4)$ के रेखा के एक ही ओर स्थित होने के लिए,$f(1, 2)$ और $f(3, 4)$ के चिह्न समान होने चाहिए।
$f(1, 2) = 3(1) - 5(2) + a = a - 7$
$f(3, 4) = 3(3) - 5(4) + a = a - 11$
अतः,$(a - 7)(a - 11) > 0$।
इस असमिका को हल करने पर,हमें $a < 7$ या $a > 11$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a \in (-\infty, 7) \cup (11, \infty)$,जो $R - [7, 11]$ है।

(A) सबसे पहले,$L_2$ की रेखाओं $3x-y+2=0$ और $x-3y-2=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। हल करने पर,$x=-1, y=-1$ प्राप्त होता है। चूँकि $L_2$,$(0,0)$ और $(-1,-1)$ से गुजरती है,इसका समीकरण $y=x$ या $x-y=0$ है।
इसके बाद,$L_1$ की रेखाओं $x-2y+3=0$ और $2x-y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। हल करने पर,$x=-1, y=-2$ प्राप्त होता है। चूँकि $L_1$,$L_2$ $(x-y=0)$ के समांतर है,इसका समीकरण $x-y+k=0$ है। $(-1,-2)$ रखने पर,$-1-(-2)+k=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $k=-1$ है। अतः,$L_1$ का समीकरण $x-y-1=0$ है।
समांतर रेखाओं $Ax+By+C_1=0$ और $Ax+By+C_2=0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ होती है।
यहाँ,$d = \frac{|-1-0|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(A) बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
बिंदु $(2, 3)$ के लिए,$d_1 = \frac{|3(2) + 4(3) - 3|}{5} = 3$ है।
चूंकि दूरियाँ समान हैं,$d_2 = d_3 = 3$ होगा।
$(4, a)$ के लिए,$|4a + 9| = 15 \implies a = 1.5$ या $a = -6$ है।
$(\alpha, \beta)$ के लिए,$|3\alpha + 4\beta - 3| = 15$ है।
समीकरणों को हल करने पर,सभी संभावित मानों का योग $\frac{-79}{10}$ प्राप्त होता है।

(D) रेखा $L$ की ढाल $m = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
रेखा का समीकरण $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + c$ है,जिसे $x - \sqrt{3}y + \sqrt{3}c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा की दूरी $5$ है,इसलिए $\frac{|\sqrt{3}c|}{\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}} = 5$।
$\frac{|\sqrt{3}c|}{2} = 5 \implies |\sqrt{3}c| = 10 \implies \sqrt{3}c = \pm 10$।
चूंकि $Y$-अंतःखंड $c$ ऋणात्मक है,हम $\sqrt{3}c = -10$ लेते हैं।
रेखा $L$ का समीकरण $x - \sqrt{3}y - 10 = 0$ है।
बिंदु $(1, -\sqrt{3})$ से रेखा $L$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|1(1) - \sqrt{3}(-\sqrt{3}) - 10|}{\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}}$ है।
$d = \frac{|1 + 3 - 10|}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{|-6|}{2} = 3$।

(B) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं। चूंकि $P$,$x+y+5=0$ पर स्थित है,इसलिए $y = -x-5$ होगा। अतः,$P = (x, -x-5)$।
रेखा $Ax+By+C=0$ से बिंदु $(x_1, y_1)$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$2x+3y+3=0$ से दूरी $\sqrt{13}$ दी गई है,इसलिए:
$\frac{|2x+3(-x-5)+3|}{\sqrt{2^2+3^2}} = \sqrt{13}$
$\frac{|2x-3x-15+3|}{\sqrt{13}} = \sqrt{13}$
$|-x-12| = 13$
$|x+12| = 13$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$1) x+12 = 13 \Rightarrow x = 1$। तब $y = -1-5 = -6$। अतः,$P = (1, -6)$।
$2) x+12 = -13 \Rightarrow x = -25$। तब $y = -(-25)-5 = 20$। अतः,$P = (-25, 20)$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $(1, -6)$ है।

(A) माना रेखा $x+y=4$ पर स्थित बिंदु $(\alpha, 4-\alpha)$ है।
दिया गया है कि इस बिंदु से रेखा $4x+3y-10=0$ की लंबवत दूरी $1$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\left|\frac{4\alpha+3(4-\alpha)-10}{\sqrt{4^2+3^2}}\right|=1$.
$\left|\frac{4\alpha+12-3\alpha-10}{5}\right|=1$.
$|\alpha+2|=5$.
इससे $\alpha+2=5$ या $\alpha+2=-5$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha=3$ या $\alpha=-7$ है।
$\alpha=3$ के लिए,बिंदु $(3, 1)$ है।
$\alpha=-7$ के लिए,बिंदु $(-7, 11)$ है।
बिंदुओं $(3, 1)$ और $(-7, 11)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(-7-3)^2+(11-1)^2}$ है।
$d=\sqrt{(-10)^2+(10)^2} = \sqrt{100+100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$.

(C) $P(1,1)$ से गुजरने वाली चर रेखा का समीकरण $a(x-1) + b(y-1) = 0$ लें,जो $ax + by - (a+b) = 0$ में सरल हो जाता है।
रेखा $ax + by - (a+b) = 0$ से $A(2,0)$ और $B(0,2)$ की दूरियों का बीजगणितीय योग इस प्रकार है:
$d = \frac{a(2) + b(0) - (a+b)}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{a(0) + b(2) - (a+b)}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$d = \frac{2a - a - b}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{2b - a - b}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$d = \frac{a - b}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{b - a}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$d = \frac{a - b + b - a}{\sqrt{a^2+b^2}} = 0$.
अतः,$P(1,1)$ से गुजरने वाली सभी रेखाओं के लिए $d = 0$ है।

(C) माना $\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसका आधार $BC$,$x+y-2=0$ द्वारा दिया गया है और शीर्ष $A$,$(2,-1)$ है।
शीर्ष $A$ से आधार $BC$ पर लंब की लंबाई $h$,बिंदु $(2,-1)$ से रेखा $x+y-2=0$ की लंबवत दूरी है।
$h = \frac{|(1)(2) + (1)(-1) - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 1 - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$s$ भुजा की लंबाई वाले समबाहु त्रिभुज में,शीर्षलंब $h = \frac{\sqrt{3}}{2}s$ होता है।
इसलिए,$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}s$.
$s = \frac{2}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.

(C) $3x - y = 7$ के समांतर रेखा का समीकरण $3x - y = \lambda$ मानिए।
चूंकि यह $(1, 2)$ से गुजरती है,इसलिए $3(1) - 2 = \lambda \Rightarrow \lambda = 1$।
अतः,रेखा $3x - y = 1$ है।
अब,$x + y + 5 = 0$ और $3x - y = 1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $4x + 5 = 1$ $\Rightarrow 4x = -4$ $\Rightarrow x = -1$।
$x = -1$ को $x + y + 5 = 0$ में रखने पर: $-1 + y + 5 = 0 \Rightarrow y = -4$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, -4)$ है।
अभीष्ट दूरी $(1, 2)$ और $(-1, -4)$ के बीच की दूरी है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $d = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$।

(B) रेखाओं $3x + 4y = 9$ और $6x + 8y = 15$ के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए,हम पहले उन्हें $ax + by + c = 0$ के रूप में लिखते हैं।
दूसरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $3x + 4y = 7.5$ या $3x + 4y - 7.5 = 0$ प्राप्त होता है।
पहला समीकरण $3x + 4y - 9 = 0$ है।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \left| \frac{c_1 - c_2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 3$,$b = 4$,$c_1 = -9$,और $c_2 = -7.5$ है।
$d = \left| \frac{-9 - (-7.5)}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right| = \left| \frac{-1.5}{5} \right| = \frac{3}{10} \text{ इकाई}$.