Distance between two lines, Perpendicular distance of the line from a point, Position of point w.r.t. line Questions in Hindi

(B) रेखा $ax + by + c = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1) = (3, -4)$ की स्थिति निर्धारित करने के लिए,जहाँ $a = 3, b = -4, c = 5$,हम व्यंजक $ax_1 + by_1 + c$ का मान ज्ञात करते हैं।
मान रखने पर: $3(3) - 4(-4) + 5 = 9 + 16 + 5 = 30$.
चूंकि $30$ धनात्मक है और अचर पद $c = 5$ भी धनात्मक है,इसलिए बिंदु $(3, -4)$ रेखा के मूलबिंदु वाली ओर स्थित है।

(B) रेखा $x - y + 1 = 0$ की ढाल $1$ है। अतः यह $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है।
$(2, 3)$ से गुजरने वाली और $45^{\circ}$ का कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - 2}{\cos 45^{\circ}} = \frac{y - 3}{\sin 45^{\circ}} = r$ है।
इस रेखा पर किसी बिंदु के निर्देशांक $(2 + \frac{r}{\sqrt{2}}, 3 + \frac{r}{\sqrt{2}})$ होंगे।
यदि यह बिंदु $2x - 3y + 9 = 0$ पर स्थित है,तो $2(2 + \frac{r}{\sqrt{2}}) - 3(3 + \frac{r}{\sqrt{2}}) + 9 = 0$.
$4 + \frac{2r}{\sqrt{2}} - 9 - \frac{3r}{\sqrt{2}} + 9 = 0$.
$4 - \frac{r}{\sqrt{2}} = 0 \implies r = 4\sqrt{2}$.
अतः,अभीष्ट दूरी $4\sqrt{2}$ है।

(D) दी गई रेखाएँ $x = 3$ और $x = 8$,$Y$-अक्ष के समांतर हैं।
इन दोनों रेखाओं से समान दूरी पर स्थित रेखा भी $Y$-अक्ष के समांतर होगी और उसका रूप $x = k$ होगा।
चूँकि रेखा $x = k$,$x = 3$ और $x = 8$ से समान दूरी पर है,इसलिए $x = k$ और $x = 3$ के बीच की दूरी,$x = 8$ और $x = k$ के बीच की दूरी के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$k - 3 = 8 - k$.
$2k = 11$
$k = \frac{11}{2}$
इसलिए,अभीष्ट रेखा का समीकरण $x = \frac{11}{2}$ है,जिसे $2x - 11 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) माना अभीष्ट बिंदु $P(x_1, y_1)$ है। चूँकि $P$ रेखा $x + y = 4$ पर स्थित है,इसलिए $y_1 = 4 - x_1$ होगा।
बिंदु $P(x_1, y_1)$ से रेखा $4x + 3y - 10 = 0$ की लंबवत दूरी $1$ दी गई है।
सूत्र $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{|4x_1 + 3(4 - x_1) - 10|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = 1$
$\frac{|4x_1 + 12 - 3x_1 - 10|}{5} = 1$
$|x_1 + 2| = 5$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $x_1 + 2 = 5 \implies x_1 = 3$. तब $y_1 = 4 - 3 = 1$. बिंदु $(3, 1)$ है।
स्थिति $2$: $x_1 + 2 = -5 \implies x_1 = -7$. तब $y_1 = 4 - (-7) = 11$. बिंदु $(-7, 11)$ है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(3, 1)$ और $(-7, 11)$ हैं।

(C) माना रेखा का समीकरण $f(x, y) = x + 2y - 3 = 0$ है।
बिंदुओं $A, B$ और $C$ के निर्देशांकों को $f(x, y)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$A(-1, 3)$ के लिए: $f(-1, 3) = -1 + 2(3) - 3 = -1 + 6 - 3 = 2 > 0$.
$B(2, -3)$ के लिए: $f(2, -3) = 2 + 2(-3) - 3 = 2 - 6 - 3 = -7 < 0$.
$C(4, 9)$ के लिए: $f(4, 9) = 4 + 2(9) - 3 = 4 + 18 - 3 = 19 > 0$.
चूंकि $f(A)$ और $f(C)$ का चिह्न समान (धनात्मक) है और $f(B)$ का चिह्न भिन्न (ऋणात्मक) है,इसलिए बिंदु $A$ और $C$ रेखा के एक ओर स्थित हैं,जबकि बिंदु $B$ रेखा के दूसरी ओर स्थित है।

(A) रेखा $x \sec \theta + y \csc \theta = a$ पर $(0, 0)$ से लंब की लंबाई:
$P_1 = \frac{|-a|}{\sqrt{\sec^2 \theta + \csc^2 \theta}} = a \sin \theta \cos \theta = \frac{a}{2} \sin 2\theta$.
अतः,$2P_1 = a \sin 2\theta$.
रेखा $x \cos \theta - y \sin \theta = a \cos 2\theta$ पर $(0, 0)$ से लंब की लंबाई:
$P_2 = \frac{|-a \cos 2\theta|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = a \cos 2\theta$.
अब,$4P_1^2 + P_2^2$ की गणना करने पर:
$4P_1^2 + P_2^2 = (2P_1)^2 + P_2^2 = (a \sin 2\theta)^2 + (a \cos 2\theta)^2 = a^2 (\sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta) = a^2$.

(D) दी गई रेखाएँ $L_1: 2x + 3y - 7 = 0$ और $L_2: 2x + 3y - 12 = 0$ हैं।
बिंदु $A(3, -5)$ के लिए व्यंजकों का मान:
$L_1(3, -5) = 2(3) + 3(-5) - 7 = -16 < 0$.
$L_2(3, -5) = 2(3) + 3(-5) - 12 = -21 < 0$.
चूंकि दोनों मानों का चिह्न समान है,बिंदु $A$ रेखाओं के बीच स्थित नहीं है।
$A$ से $L_1$ की लंबवत दूरी $d_1 = \frac{|-16|}{\sqrt{13}} = \frac{16}{\sqrt{13}}$.
$A$ से $L_2$ की लंबवत दूरी $d_2 = \frac{|-21|}{\sqrt{13}} = \frac{21}{\sqrt{13}}$.
समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|-7 - (-12)|}{\sqrt{13}} = \frac{5}{\sqrt{13}}$.
अतः,दिए गए विकल्पों $A, B, C$ में से कोई भी सही नहीं है।

(D) बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ पर लंब की लंबाई का सूत्र $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
दिया गया बिंदु $(x_1, y_1) = (2, 1)$ और रेखा $3x - 4y + 8 = 0$ है।
यहाँ,$A = 3$,$B = -4$,और $C = 8$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \frac{|3(2) - 4(1) + 8|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$
$d = \frac{|6 - 4 + 8|}{\sqrt{9 + 16}}$
$d = \frac{|10|}{\sqrt{25}}$
$d = \frac{10}{5} = 2$.
अतः,लंब की लंबाई $2$ है।

(D) दी गई रेखा $L: \frac{x}{5} + \frac{y}{b} = 1$ बिंदु $(13, 32)$ से होकर गुजरती है।
बिंदु को $L$ में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{13}{5} + \frac{32}{b} = 1 \implies \frac{32}{b} = 1 - \frac{13}{5} = -\frac{8}{5}$.
अतः,$b = \frac{32 \times 5}{-8} = -20$.
$L$ का समीकरण $\frac{x}{5} - \frac{y}{20} = 1$ है,जो सरल होकर $4x - y - 20 = 0$ हो जाता है।
चूंकि रेखा $K: \frac{x}{c} + \frac{y}{3} = 1$,$L$ के समांतर है,इसलिए ढाल समान होने चाहिए। $L$ की ढाल $4$ है। $K$ की ढाल $-\frac{1/c}{1/3} = -\frac{3}{c}$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $4 = -\frac{3}{c} \implies c = -\frac{3}{4}$.
$c$ का मान $K$ में रखने पर: $\frac{x}{-3/4} + \frac{y}{3} = 1 \implies -\frac{4x}{3} + \frac{y}{3} = 1 \implies 4x - y + 3 = 0$.
समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
यहाँ,$A = 4, B = -1, C_1 = -20, C_2 = 3$.
$d = \frac{|-20 - 3|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \frac{|-23|}{\sqrt{16 + 1}} = \frac{23}{\sqrt{17}}$.

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: x + y - 1 = 0$ और $L_2: 2x + 2y - 3 = 0$ हैं।
बिंदु $(1, a)$ के इन दो रेखाओं के बीच स्थित होने के लिए,व्यंजक $L_1(1, a)$ और $L_2(1, a)$ के चिह्न विपरीत होने चाहिए।
माना $f(x, y) = x + y - 1$ और $g(x, y) = 2x + 2y - 3$ है।
$(1, a)$ पर,$f(1, a) = 1 + a - 1 = a$ है।
$(1, a)$ पर,$g(1, a) = 2(1) + 2(a) - 3 = 2a - 1$ है।
चूंकि बिंदु रेखाओं के बीच स्थित है,इसलिए $f(1, a) \cdot g(1, a) < 0$ होगा।
अतः,$a(2a - 1) < 0$।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $a$,$a(2a - 1) = 0$ के मूलों $0$ और $1/2$ के बीच हो।
अतः,$a \in (0, 1/2)$।

(B) बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ तक की लंबवत दूरी $d$ का सूत्र है: $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$।
यहाँ,बिंदु मूलबिंदु $(0, 0)$ है,इसलिए $x_1 = 0$ और $y_1 = 0$ है।
रेखा का समीकरण $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$ है,जहाँ $A = \sqrt{3}$,$B = -1$,और $C = 2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \frac{|\sqrt{3}(0) - (0) + 2|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}}$
$d = \frac{|2|}{\sqrt{3 + 1}}$
$d = \frac{2}{\sqrt{4}}$
$d = \frac{2}{2} = 1$।
अतः,लंब की लंबाई $1$ है।

(A) रेखा का दिया गया समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
इसे $\frac{bx + ay}{ab} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $bx + ay - ab = 0$ हो जाता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ तक की लंबवत दूरी का सूत्र $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
यहाँ,बिंदु मूलबिंदु $(0, 0)$ है,इसलिए $x_1 = 0$ और $y_1 = 0$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $d = \frac{|b(0) + a(0) - ab|}{\sqrt{b^2 + a^2}}$.
$d = \frac{|-ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
अतः,लंब की लंबाई $\frac{|ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।

(C) समीकरण $|x + y| = 2$ दो समांतर रेखाओं को दर्शाता है: $x + y = 2$ और $x + y = -2$।
बिंदु $(a, a)$ रेखा $y = x$ पर स्थित है।
$a$ का वह मान ज्ञात करने के लिए जिसके लिए बिंदु $(a, a)$ इन दो रेखाओं के बीच स्थित हो,हम रेखाओं के समीकरणों में $x = a$ और $y = a$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$x + y = 2$ के लिए,हमें $a + a = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2a = 2$,इसलिए $a = 1$।
$x + y = -2$ के लिए,हमें $a + a = -2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2a = -2$,इसलिए $a = -1$।
चूंकि बिंदु $(a, a)$ को रेखाओं $x + y = 2$ और $x + y = -2$ के बीच स्थित होना चाहिए,इसलिए $a$ का मान $-1 < a < 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
यह असमिका $|a| < 1$ के बराबर है।

(C) दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
दी गई रेखाएँ $5x + 12y + 13 = 0$ और $5x + 12y - 9 = 0$ हैं।
यहाँ,$A = 5$,$B = 12$,$C_1 = 13$,और $C_2 = -9$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \frac{|13 - (-9)|}{\sqrt{5^2 + 12^2}}$
$d = \frac{|13 + 9|}{\sqrt{25 + 144}}$
$d = \frac{22}{\sqrt{169}}$
$d = \frac{22}{13}$.

(D) दी गई रेखाओं के समीकरण $y = 2x + 4$ और $6x = 3y + 5$ हैं।
इन्हें मानक रूप $ax + by + c = 0$ में लिखने पर:
$2x - y + 4 = 0$
$6x - 3y - 5 = 0 \Rightarrow 2x - y - \frac{5}{3} = 0$
चूंकि रेखाएं समांतर हैं,उनके बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 2$,$b = -1$,$c_1 = 4$,और $c_2 = -\frac{5}{3}$ है।
$d = \frac{|4 - (-\frac{5}{3})|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}$
$d = \frac{|4 + \frac{5}{3}|}{\sqrt{4 + 1}}$
$d = \frac{|\frac{12 + 5}{3}|}{\sqrt{5}}$
$d = \frac{17}{3\sqrt{5}}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$d = \frac{17\sqrt{5}}{3 \times 5} = \frac{17\sqrt{5}}{15}$

(A) रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है,जिसे $bx + ay - ab = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूलबिंदु $(0, 0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $p = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$p = \frac{|-ab|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{|ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$p^2 = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{1}{p^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2}$।
$4$ से गुणा करने पर,$\frac{4}{p^2} = \frac{4}{a^2} + \frac{4}{b^2}$ प्राप्त होता है,जो $\frac{1}{p^2/4} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$ है।
अतः,$a^2, 4p^2, b^2$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।

(C) चूंकि रेखा $L$,$(13, 32)$ से गुजरती है,हमारे पास है:
$\frac{13}{5} + \frac{32}{b} = 1$ $\Rightarrow \frac{32}{b} = 1 - \frac{13}{5} = -\frac{8}{5}$ $\Rightarrow b = -20$.
अतः,रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x}{5} - \frac{y}{20} = 1$ है,जो $4x - y = 20$ में सरल हो जाता है।
चूंकि रेखा $K$,$L$ के समानांतर है,इसका समीकरण $4x - y = k$ के रूप में होगा।
रेखा $K$ का समीकरण $\frac{x}{c} + \frac{y}{3} = 1$ दिया गया है,जिसे $y = -\frac{3}{c}x + 3$ के रूप में लिखा जा सकता है। $L$ की ढाल $4$ है,इसलिए $K$ की ढाल $-\frac{3}{c} = 4$ होगी,जिससे $c = -\frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
$c$ का मान रखने पर,हमें $-4x + y = 3$ या $4x - y = -3$ प्राप्त होता है।
दो समानांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
यहाँ,$A = 4, B = -1, C_1 = -20, C_2 = 3$.
$d = \frac{|-20 - 3|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \frac{|-23|}{\sqrt{16 + 1}} = \frac{23}{\sqrt{17}}$.

(B) बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $p = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} = 0$ है,जिसे $x \cos^2 \alpha + y \sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $({m^2}, 2m)$ के लिए,$p_1 = (m \cos \alpha + \sin \alpha)^2$.
इसी प्रकार,बिंदु $(m'^2, 2m')$ के लिए,$p_3 = (m' \cos \alpha + \sin \alpha)^2$.
बिंदु $(mm', m + m')$ के लिए,$p_2 = |(m \cos \alpha + \sin \alpha)(m' \cos \alpha + \sin \alpha)|$.
अतः,$p_2 = \sqrt{p_1} \cdot \sqrt{p_3}$,जो दर्शाता है कि $p_2^2 = p_1 p_3$.
इसलिए,${p_1}, {p_2}, {p_3}$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं।

(C) माना अभीष्ट दूरी $r$ है।
जिस रेखा के समानांतर दूरी मापी जानी है,वह रेखा $3x - 4y + 8 = 0$ है। इसका ढाल $m = \frac{3}{4}$ है।
अतः,$\tan \theta = \frac{3}{4}$,जिसका अर्थ है $\sin \theta = \frac{3}{5}$ और $\cos \theta = \frac{4}{5}$।
बिंदु $(2, 5)$ से गुजरने वाली और $m = \frac{3}{4}$ ढाल वाली रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ के निर्देशांक $(2 + r \cos \theta, 5 + r \sin \theta) = (2 + r \cdot \frac{4}{5}, 5 + r \cdot \frac{3}{5})$ हैं।
चूंकि $P$ रेखा $3x + y + 4 = 0$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3(2 + \frac{4r}{5}) + (5 + \frac{3r}{5}) + 4 = 0$
$6 + \frac{12r}{5} + 5 + \frac{3r}{5} + 4 = 0$
$15 + \frac{15r}{5} = 0$
$15 + 3r = 0$
$3r = -15$
$r = -5$
चूंकि दूरी $r$ धनात्मक होनी चाहिए,हम इसका परिमाण लेते हैं: $|r| = |-5| = 5$।

(B) माना रेखा $L(x, y) = a^2x + aby + 1 = 0$ है।
मूलबिंदु $(0, 0)$ के लिए,$L(0, 0) = 0 + 0 + 1 = 1$,जो धनात्मक है।
बिंदुओं के एक ही ओर स्थित होने के लिए,$L(1, 1)$ को भी सभी $a \in R$ के लिए धनात्मक होना चाहिए।
$L(1, 1) = a^2(1) + ab(1) + 1 = a^2 + ab + 1 > 0$.
यह $a$ में एक द्विघात व्यंजक है जिसका अग्रणी गुणांक धनात्मक है।
इसके सभी $a \in R$ के लिए धनात्मक होने हेतु,विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$D = (b)^2 - 4(1)(1) < 0$.
$b^2 - 4 < 0$.
$(b - 2)(b + 2) < 0$.
इसका अर्थ है $-2 < b < 2$.
चूंकि $b > 0$ दिया गया है,इसलिए अभीष्ट मान $b \in (0, 2)$ है।

(C) रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - 1 = 0$ है।
मूलबिंदु $(0,0)$ से रेखा पर लंब की लंबाई $2p = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}$ है।
अतः,$\frac{1}{4p^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$।
इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि $\frac{1}{a^2}, \frac{1}{8p^2}, \frac{1}{b^2}$ $A.P.$ में हैं,जिसका अर्थ है कि $a^2, 8p^2, b^2$ $H.P.$ में हैं।

(D) व्यंजक $E = (2^a)^3 + (2^b)^3 - 3 \cdot 2^a \cdot 2^b$ है।
$a=b=0$ रखने पर,$E = 1 + 1 - 3 = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,न्यूनतम मान $p = -1$,$a = 0, b = 0$ पर प्राप्त होता है।
इसलिए,$P = (0, 0)$ और $p = -1$ है।
रेखा का समीकरण $x + y - 2 = 0$ है।
बिंदु $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी $d = \frac{|0 + 0 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।

(A) $a^2 + b^2$ मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $12a + 5b = 9$ पर स्थित बिंदु $(a, b)$ की दूरी का वर्ग है।
$a^2 + b^2$ का न्यूनतम मान मूल बिंदु से रेखा $12a + 5b - 9 = 0$ की लंबवत दूरी का वर्ग है।
लंबवत दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$d = \frac{|12(0) + 5(0) - 9|}{\sqrt{12^2 + 5^2}} = \frac{9}{13}$.
अतः,$a^2 + b^2$ का न्यूनतम मान $d^2 = \frac{81}{169}$ होगा।

(D) मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की दूरी $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = \sqrt{\sin \theta}$,$B = \sqrt{\cos \theta}$,और $C = 1$ है।
अतः,$f(\theta) = \frac{1}{\sqrt{\sin \theta + \cos \theta}}$।
व्यंजक को परिभाषित होने के लिए,$\sin \theta \ge 0$ और $\cos \theta \ge 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $\theta \in [0, \pi/2]$।
मान लीजिए $g(\theta) = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \pi/4)$।
$\theta \in [0, \pi/2]$ के लिए,$g(\theta)$ का परिसर $[1, \sqrt{2}]$ है।
चूंकि $f(\theta) = \frac{1}{\sqrt{g(\theta)}}$,हम $g(\theta)$ के परिसर के आधार पर $f(\theta)$ का परिसर ज्ञात करते हैं।
जब $g(\theta) = 1$,तब $f(\theta) = 1/\sqrt{1} = 1$।
जब $g(\theta) = \sqrt{2}$,तब $f(\theta) = 1/\sqrt{\sqrt{2}} = 1/2^{1/4}$।
इस प्रकार,$f(\theta)$ का परिसर $[1/2^{1/4}, 1]$ है।

(B) सबसे पहले,दूरी सूत्र का उपयोग करके बिंदुओं $A(4, -5)$ और $B(-2, 3)$ के बीच की दूरी $AB$ ज्ञात करें: $AB = \sqrt{(-2 - 4)^2 + (3 - (-5))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$. अतः,कथन-$2$ सत्य है।
कथन-$1$ के लिए,$A$ से गुजरने वाली एक ऐसी रेखा पर विचार करें जिसकी $B$ से दूरी $d = 12$ है। चूंकि दूरी $d = 12$,$AB = 10$ से अधिक है,ऐसी रेखाएं मौजूद हैं। विशेष रूप से,ऐसी दो रेखाएं होती हैं (जो $B$ केंद्र और $12$ त्रिज्या वाले वृत्त को $A$ से स्पर्श करती हैं)। चूंकि प्रश्न में 'एक' रेखा का उल्लेख है,इसलिए कथन-$1$ असत्य है क्योंकि वास्तव में ऐसी दो रेखाएं होती हैं। अतः,कथन-$1$ असत्य है और कथन-$2$ सत्य है।

(B) रेखाएँ $L_1: 2x + y - 3 = 0$ और $L_2: 2x + y - 5 = 0$ हैं।
ये समानांतर रेखाएँ हैं।
$L_1$ के लिए,अंतःखंड $x = 1.5$ $(A)$ और $y = 3$ $(B)$ हैं।
$L_2$ के लिए,अंतःखंड $x = 2.5$ $(C)$ और $y = 5$ $(D)$ हैं।
रेखाओं के बीच का क्षेत्र $3 < 2x + y < 5$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $(2, 3)$ के लिए,हम $2(2) + 3 = 4 + 3 = 7$ की गणना करते हैं।
चूँकि $7 > 5$,बिंदु $(2, 3)$ रेखाओं के बीच स्थित नहीं है।
इसलिए,कथन-$1$ असत्य है।
कथन-$2$ भी असत्य है क्योंकि बिंदु रेखाओं के बीच स्थित नहीं है।

(A) समीकरण $|x + y + 1| = 4$ दो समांतर रेखाओं को दर्शाता है:
$x + y - 3 = 0$ और $x + y + 5 = 0$
बिंदु $(a, 2a)$ के इन दो रेखाओं के बीच स्थित होने के लिए,बिंदु $(a, 2a)$ पर व्यंजकों $(x + y - 3)$ और $(x + y + 5)$ के चिह्न विपरीत होने चाहिए।
$(a + 2a - 3)(a + 2a + 5) < 0$
$(3a - 3)(3a + 5) < 0$
$9(a - 1)(a + 5/3) < 0$
$(a - 1)(a + 5/3) < 0$
अतः,$a \in (-5/3, 1)$

(B) माना $(1, 2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - 2 = m(x - 1)$ है,जिसे $mx - y + (2 - m) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $(8, 9)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी का सूत्र $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
मान रखने पर,$7 = \frac{|m(8) - 9 + (2 - m)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}}$.
$7 = \frac{|7m - 7|}{\sqrt{m^2 + 1}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $49(m^2 + 1) = (7m - 7)^2$.
$49(m^2 + 1) = 49(m - 1)^2$.
$m^2 + 1 = m^2 - 2m + 1$.
$-2m = 0$,जिससे $m = 0$ प्राप्त होता है।
रेखा के समीकरण में $m = 0$ रखने पर: $y - 2 = 0(x - 1) \Rightarrow y = 2$.

(B) बिंदु $(x_1, y_1)$ की रेखा $ax + by + c = 0$ से लंबवत दूरी $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $P(1, 2)$ और रेखा $3x + 4y - 9 = 0$ के लिए,समबाहु त्रिभुज का शीर्षलंब $h$ है:
$h = \frac{|3(1) + 4(2) - 9|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 8 - 9|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{2}{5}$.
$a$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,शीर्षलंब $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ होता है।
$h$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{2}{5}$
$a$ के लिए हल करने पर:
$a = \frac{2}{5} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{5\sqrt{3}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$a = \frac{4}{5\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{15}$.

(B) रेखा $5x - y = 1$ के लंबवत रेखा का समीकरण $x + 5y = c$ के रूप में होता है।
इस रेखा के निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $y=0$ और $x=0$ रखकर प्राप्त किए जा सकते हैं:
$y=0$ के लिए,$x=c$. अतः,$x$-अंतःखंड $(c, 0)$ है।
$x=0$ के लिए,$5y=c$,अतः $y=c/5$. $y$-अंतःखंड $(0, c/5)$ है।
इस रेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |\text{आधार}| \times |\text{ऊंचाई}| = 5$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{1}{2} \times |c| \times |\frac{c}{5}| = 5$
$\frac{c^2}{10} = 5$ $\Rightarrow c^2 = 50$ $\Rightarrow c = \pm 5\sqrt{2}$.
अतः,रेखा $L$ का समीकरण $x + 5y = \pm 5\sqrt{2}$ है।
समांतर रेखाओं $x + 5y = c$ और $x + 5y = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c - 0|}{\sqrt{1^2 + 5^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{26}}$ द्वारा दी जाती है।
$c = \pm 5\sqrt{2}$ रखने पर:
$d = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{26}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{13}} = \frac{5}{\sqrt{13}}$.

(D) दी गई रेखाएँ $L_1: x + y - 1 = 0$ और $L_2: 2x + 2y - 3 = 0$ हैं।
बिंदु $(1, a)$ के इन दो समांतर रेखाओं के बीच स्थित होने के लिए,व्यंजकों $L_1(1, a)$ और $L_2(1, a)$ के चिह्न विपरीत होने चाहिए।
माना $f(x, y) = x + y - 1$ और $g(x, y) = 2x + 2y - 3$ है।
समीकरणों में $(1, a)$ रखने पर:
$f(1, a) = 1 + a - 1 = a$
$g(1, a) = 2(1) + 2a - 3 = 2a - 1$
चूंकि बिंदु रेखाओं के बीच स्थित है,इसलिए $f(1, a) \cdot g(1, a) < 0$ होगा।
अतः,$a(2a - 1) < 0$।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $a$,$a(2a - 1) = 0$ के मूलों $a = 0$ और $a = 1/2$ के बीच हो।
इस प्रकार,$a \in \left( 0, \frac{1}{2} \right)$।

(A) रेखा $4x - 3y + 2 = 0$ के समांतर किसी भी रेखा का समीकरण $4x - 3y + \lambda = 0$ के रूप में होता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी $\frac{|\lambda|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|\lambda|}{5}$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि यह दूरी $\frac{3}{5}$ दी गई है,हमारे पास $\frac{|\lambda|}{5} = \frac{3}{5}$ है,जिसका अर्थ है $|\lambda| = 3$,इसलिए $\lambda = \pm 3$ है।
अतः,रेखाओं के समीकरण $4x - 3y + 3 = 0$ और $4x - 3y - 3 = 0$ हैं।
अब,हम दिए गए बिंदुओं की जाँच करते हैं:
विकल्प $A$ के लिए: $4(-\frac{1}{4}) - 3(\frac{2}{3}) + 3 = -1 - 2 + 3 = 0$। यह बिंदु समीकरण $4x - 3y + 3 = 0$ को संतुष्ट करता है।

(C) रेखा $AB$ का समीकरण जो $(1, -1)$ और $(0, 2)$ से होकर गुजरती है,$3x + y - 2 = 0$ है।
आधार $AB$ की लंबाई $\sqrt{10}$ है।
$\Delta PAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = 5$.
$\frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times h = 5 \Rightarrow h = \sqrt{10}$.
बिंदु $P$ की रेखा $AB$ से लंबवत दूरी $\frac{|4\lambda - 2|}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$ है।
$|4\lambda - 2| = 10 \Rightarrow 4\lambda - 2 = 10$ या $4\lambda - 2 = -10$.
अतः,$\lambda = 3$ या $\lambda = -2$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई रेखा $3x - 4y - 26 = 0$ है।
इसे सामान्य समीकरण $Ax + By + C = 0$ से तुलना करने पर,हमें $A = 3$,$B = -4$,और $C = -26$ प्राप्त होता है।
दिया गया बिंदु $(x_1, y_1) = (3, -5)$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ की रेखा $Ax + By + C = 0$ से लंबवत दूरी $d$ का सूत्र है:
$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
मान रखने पर:
$d = \frac{|3(3) + (-4)(-5) - 26|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$
$d = \frac{|9 + 20 - 26|}{\sqrt{9 + 16}}$
$d = \frac{|3|}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5} = 0.6$.

(A) दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
यहाँ,$A = 3$,$B = -4$,$C_1 = 7$,और $C_2 = 5$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \frac{|7 - 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$
$d = \frac{|2|}{\sqrt{9 + 16}}$
$d = \frac{2}{\sqrt{25}}$
$d = \frac{2}{5}$

(A) दिया गया समीकरण $x-\sqrt{3} y+8=0$ है।
इसे $x-\sqrt{3} y=-8$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $-x+\sqrt{3} y=8$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-\frac{1}{2} x+\frac{\sqrt{3}}{2} y=4$.
यह $x \cos \omega+y \sin \omega=p$ के रूप में है,जहाँ $\cos \omega = -\frac{1}{2}$ और $\sin \omega = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
चूँकि $\cos \omega$ ऋणात्मक है और $\sin \omega$ धनात्मक है,इसलिए $\omega$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।
अतः,$\omega = 180^{\circ}-60^{\circ} = 120^{\circ}$ है।
लंबवत दूरी $p = 4$ और कोण $\omega = 120^{\circ}$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x - y = 4$ है।
इसे अभिलंब रूप $x \cos \omega + y \sin \omega = p$ में बदलने के लिए,हम समीकरण को $\sqrt{A^2 + B^2}$ से विभाजित करते हैं,जहाँ $A = 1$ और $B = -1$ है।
$\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
$\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{\sqrt{2}}x - \frac{1}{\sqrt{2}}y = \frac{4}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{1}{\sqrt{2}}x - \frac{1}{\sqrt{2}}y = 2\sqrt{2}$ हो जाता है।
इसकी तुलना $x \cos \omega + y \sin \omega = p$ से करने पर,$\cos \omega = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \omega = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cos \omega > 0$ और $\sin \omega < 0$ है,इसलिए कोण $\omega$ चौथे चतुर्थांश में स्थित है।
$\omega = 360^{\circ} - 45^{\circ} = 315^{\circ}$.
अतः,लंबवत दूरी $p = 2\sqrt{2}$ और कोण $\omega = 315^{\circ}$ है।

(A) रेखा का दिया गया समीकरण $12(x + 6) = 5(y - 2)$ है।
$\Rightarrow 12x + 72 = 5y - 10$
$\Rightarrow 12x - 5y + 82 = 0$ ... $(1)$
समीकरण $(1)$ की तुलना रेखा के व्यापक समीकरण $Ax + By + C = 0$ से करने पर,हमें $A = 12$,$B = -5$,और $C = 82$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $(d)$ का सूत्र $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
दिया गया बिंदु $(x_1, y_1) = (-1, 1)$ है।
अतः,बिंदु $(-1, 1)$ की दी गई रेखा से दूरी:
$d = \frac{|12(-1) + (-5)(1) + 82|}{\sqrt{(12)^2 + (-5)^2}}$ इकाई
$d = \frac{|-12 - 5 + 82|}{\sqrt{144 + 25}}$ इकाई
$d = \frac{|65|}{\sqrt{169}}$ इकाई
$d = \frac{65}{13}$ इकाई
$d = 5$ इकाई।

(A) दी गई रेखा का समीकरण $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$ है।
$12$ से गुणा करने पर,$4x + 3y - 12 = 0$ प्राप्त होता है।
माना $x$-अक्ष पर स्थित बिंदु $(a, 0)$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = 4, B = 3, C = -12, x_1 = a, y_1 = 0$,और $d = 4$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$4 = \frac{|4a + 3(0) - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}$।
$4 = \frac{|4a - 12|}{5} \implies |4a - 12| = 20$।
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$4a - 12 = 20 \implies 4a = 32 \implies a = 8$।
$4a - 12 = -20 \implies 4a = -8 \implies a = -2$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(-2, 0)$ और $(8, 0)$ हैं।

(C) दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $(d)$ का सूत्र है:
$d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
दी गई रेखाएँ:
$15x + 8y - 34 = 0$
$15x + 8y + 31 = 0$
यहाँ,$A = 15$,$B = 8$,$C_1 = -34$,और $C_2 = 31$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \frac{|-34 - 31|}{\sqrt{15^2 + 8^2}}$
$d = \frac{|-65|}{\sqrt{225 + 64}}$
$d = \frac{65}{\sqrt{289}}$
$d = \frac{65}{17}$ इकाई।

(A) दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $(d)$ का सूत्र $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
दी गई समीकरणें $l(x + y) + p = 0$ और $l(x + y) - r = 0$ हैं।
इन्हें विस्तारित करने पर,$lx + ly + p = 0$ और $lx + ly - r = 0$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$A = l$,$B = l$,$C_1 = p$,और $C_2 = -r$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \frac{|p - (-r)|}{\sqrt{l^2 + l^2}}$
$d = \frac{|p + r|}{\sqrt{2l^2}}$
$d = \frac{|p + r|}{l\sqrt{2}}$
$d = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{|p + r|}{l}$ इकाई।

दी गई रेखाओं के समीकरण हैं:
$x \cos \theta - y \sin \theta = k \cos 2 \theta$ ..... $(1)$
$x \sec \theta + y \csc \theta = k$ ..... $(2)$
बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $(d)$ का सूत्र $d = \frac{|Ax_{1} + By_{1} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ है।
रेखा $(1)$ के लिए,$A = \cos \theta, B = -\sin \theta, C = -k \cos 2 \theta$। मूल बिंदु $(0,0)$ से लंबवत दूरी $p$:
$p = \frac{|-k \cos 2 \theta|}{\sqrt{\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta}} = |k \cos 2 \theta|$
$p^{2} = k^{2} \cos^{2} 2 \theta$ ..... $(3)$
रेखा $(2)$ के लिए,$A = \sec \theta, B = \csc \theta, C = -k$। मूल बिंदु $(0,0)$ से लंबवत दूरी $q$:
$q = \frac{|-k|}{\sqrt{\sec^{2} \theta + \csc^{2} \theta}} = \frac{|k|}{\sqrt{\frac{1}{\cos^{2} \theta} + \frac{1}{\sin^{2} \theta}}} = |k \sin \theta \cos \theta|$
$q = |k \frac{\sin 2 \theta}{2}|$
$4q^{2} = k^{2} \sin^{2} 2 \theta$ ..... $(4)$
$(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$p^{2} + 4q^{2} = k^{2} \cos^{2} 2 \theta + k^{2} \sin^{2} 2 \theta = k^{2}$।
अतः,$p^{2} + 4q^{2} = k^{2}$ सिद्ध हुआ।

(N/A) अक्षों पर $a$ और $b$ अंतःखंड वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
इसे $bx + ay = ab$ या $bx + ay - ab = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है ... $(1)$।
मूलबिंदु $(0, 0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $p = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
समीकरण $(1)$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,हमें $A = b$,$B = a$,और $C = -ab$ प्राप्त होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$p = \frac{|b(0) + a(0) - ab|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{|-ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$p^2 = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{1}{p^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2} = \frac{a^2}{a^2 b^2} + \frac{b^2}{a^2 b^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{p^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2}$,जो कि $\frac{1}{p^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$ है।

(A) माना कि $(0, b)$ $y$-अक्ष पर वह बिंदु है जिसकी रेखा $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$ से दूरी $4$ इकाई है।
दी गई रेखा को $4x + 3y - 12 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है $(1)$।
रेखा के सामान्य समीकरण $Ax + By + C = 0$ से तुलना करने पर,हमें $A = 4$,$B = 3$,और $C = -12$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$4 = \frac{|4(0) + 3(b) - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}$
$4 = \frac{|3b - 12|}{5}$
$20 = |3b - 12|$
इसका अर्थ है $3b - 12 = 20$ या $3b - 12 = -20$।
स्थिति $1$: $3b = 32 \Rightarrow b = \frac{32}{3}$।
स्थिति $2$: $3b = -8 \Rightarrow b = -\frac{8}{3}$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(0, \frac{32}{3}\right)$ और $\left(0, -\frac{8}{3}\right)$ हैं।

(C) $(\cos \theta, \sin \theta)$ और $(\cos \phi, \sin \phi)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$y - \sin \theta = \frac{\sin \phi - \sin \theta}{\cos \phi - \cos \theta} (x - \cos \theta)$
सूत्र $\sin C - \sin D = 2 \sin \frac{C-D}{2} \cos \frac{C+D}{2}$ और $\cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर,ढाल:
$m = -\cot \left( \frac{\phi+\theta}{2} \right)$
अतः,रेखा का समीकरण $x \cos \left( \frac{\phi+\theta}{2} \right) + y \sin \left( \frac{\phi+\theta}{2} \right) - \cos \left( \frac{\phi-\theta}{2} \right) = 0$ है।
मूलबिंदु $(0,0)$ से लंबवत दूरी:
$d = \left| \cos \left( \frac{\phi-\theta}{2} \right) \right|$

(A) दी गई रेखाएँ हैं:
$2x - y = 0$ ..... $(1)$
$4x + 7y + 5 = 0$ ..... $(2)$
बिंदु $A$ $(1, 2)$ है।
माना $B$ रेखाओं $(1)$ और $(2)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$(1)$ से,$y = 2x$. इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$4x + 7(2x) + 5 = 0$
$4x + 14x + 5 = 0$
$18x = -5 \implies x = -\frac{5}{18}$
तब $y = 2(-\frac{5}{18}) = -\frac{5}{9}$.
अतः,बिंदु $B$ $(-\frac{5}{18}, -\frac{5}{9})$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करके $AB$ की दूरी:
$AB = \sqrt{(1 - (-\frac{5}{18}))^2 + (2 - (-\frac{5}{9}))^2}$
$AB = \sqrt{(\frac{23}{18})^2 + (\frac{23}{9})^2} = \frac{23 \sqrt{5}}{18}$ इकाई।

(A) दी गई रेखाएँ $9x + 6y - 7 = 0$ और $3x + 2y + 6 = 0$ हैं।
$x$ और $y$ के गुणांकों को समान करने के लिए,दूसरे समीकरण को $3$ से गुणा करें:
$3(3x + 2y + 6) = 3(0) \Rightarrow 9x + 6y + 18 = 0$.
अब रेखाएँ $L_1: 9x + 6y - 7 = 0$ और $L_2: 9x + 6y + 18 = 0$ हैं।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ से समान दूरी पर स्थित रेखा का समीकरण $ax + by + \frac{c_1 + c_2}{2} = 0$ होता है।
यहाँ,$a = 9, b = 6, c_1 = -7, c_2 = 18$ है।
अभीष्ट समीकरण $9x + 6y + \frac{-7 + 18}{2} = 0$ है।
$9x + 6y + \frac{11}{2} = 0$.
$2$ से गुणा करने पर,हमें $18x + 12y + 11 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दो बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ रेखा $ax+by+c=0$ के एक ही ओर स्थित होते हैं यदि व्यंजक $(ax_1+by_1+c)$ और $(ax_2+by_2+c)$ का चिह्न समान हो,अर्थात $(ax_1+by_1+c)(ax_2+by_2+c) > 0$ हो।
दी गई रेखा $x+y-1=0$ और बिंदु $(1, 2)$ तथा $(\sin \theta, \cos \theta)$ हैं।
सबसे पहले,$(1, 2)$ पर व्यंजक का मान ज्ञात करें:
$1+2-1 = 2$,जो धनात्मक है।
अतः,बिंदुओं के एक ही ओर स्थित होने के लिए,$(\sin \theta, \cos \theta)$ पर व्यंजक का मान भी धनात्मक होना चाहिए:
$\sin \theta + \cos \theta - 1 > 0$
$\Rightarrow \sin \theta + \cos \theta > 1$
$\sqrt{2}$ से भाग देने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta > \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow \sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) > \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)$
चूंकि $\theta \in (0, \pi)$,इसलिए $\theta + \frac{\pi}{4} \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right)$।
इस अंतराल में,$\sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) > \frac{1}{\sqrt{2}}$ तब होता है जब:
$\frac{\pi}{4} < \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}$
सभी भागों से $\frac{\pi}{4}$ घटाने पर:
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$

(B) दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
पहले युग्म के लिए,$2x - y + 3 = 0$ को $4x - 2y + 6 = 0$ के रूप में लिखें। दूरी $\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{|\alpha - 6|}{\sqrt{4^2 + (-2)^2}} = \frac{|\alpha - 6|}{2\sqrt{5}}$ है।
अतः,$|\alpha - 6| = 2$,जिससे $\alpha = 8$ या $\alpha = 4$ प्राप्त होता है।
दूसरे युग्म के लिए,$2x - y + 3 = 0$ को $6x - 3y + 9 = 0$ के रूप में लिखें। दूरी $\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{|\beta - 9|}{\sqrt{6^2 + (-3)^2}} = \frac{|\beta - 9|}{3\sqrt{5}}$ है।
अतः,$|\beta - 9| = 6$,जिससे $\beta = 15$ या $\beta = 3$ प्राप्त होता है।
$\alpha$ और $\beta$ के सभी संभावित मानों का योग $(8 + 4) + (15 + 3) = 12 + 18 = 30$ है।

(A) समबाहु त्रिभुज का केंद्रक $O$ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
समबाहु त्रिभुज के केंद्रक से किसी भी भुजा की लंबवत दूरी अंतःत्रिज्या $r$ के बराबर होती है।
भुजा का समीकरण $x + y - 3 = 0$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $x + y - 3 = 0$ की लंबवत दूरी:
$r = \frac{|0 + 0 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
समबाहु त्रिभुज में,परिवृत्त त्रिज्या $R$ अंतःत्रिज्या $r$ की दोगुनी होती है,अर्थात $R = 2r$.
इसलिए,$R = 2 \times \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}}$.
अतः,$R + r = \frac{6}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}}$.