જો $f(\theta)$ એ રેખા $( \sqrt {\sin \theta } )x + (  \sqrt {\cos  \theta })y +1 = 0$ નુ ઉંગમબિંદુ થી અંતર હોય તો $f(\theta)$ નો વિસ્તાર મેળવો. 

$f : R \to R$ માટે

$f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} + 2mx - 1\,,}&{x \leq 0}\\
{mx - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,}&{x > 0}
\end{array}} \right.$

જો $f (x)$ એક-એક વિધેય હોય તો $'m'$ ની કિમતોનો ગણ મેળવો.

સાબિત કરો કે $f: R \rightarrow R ,$ $f(x)=[x]$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત મહત્તમ પૂર્ણાક વિધેય $(Greatest\, integer \,function)$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી. અહીં, $[x]$ એ $x$ થી નાના અથવા $x$ ને સમાન તમામ પૂર્ણાકોમાં મહત્તમ પૂર્ણાક દર્શાવે છે. બીજા શબ્દોમાં $x$ થી અધિક નહિ તેવા પૂર્ણાકોમાં સૌથી મોટો પૂર્ણાક $x$ છે.

ધારો કે $\mathrm{A}=\{1,3,7,9,11\}$ અને $\mathrm{B}=\{2,4,5,7,8,10,12\}$. તો $f(1)+f(3)=14$ થાય તેવા એક-એક વિધેયો $f: A \rightarrow B$ ની કુલ સંખ્યા .......... છે.

વિધેય $f(x) = \;[x]\; - x$ નો વિસ્તાર મેળવો.

વિધેય $\mathrm{f}: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}$ માટે $\mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{y})=\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{f}(\mathrm{y}) \forall \mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathrm{R}$ થાય જો $\mathrm{f}(1)=2$ અને $g(n)=\sum \limits_{k=1}^{(n-1)} f(k), n \in N$ હોય તો $n$ કિમત મેળવો જ્યાં $\mathrm{g}(\mathrm{n})=20$ થાય