Angle between two straight lines Questions in Gujarati

(A) રેખા $L$ બિંદુ $(-2, -3)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત છે,તેથી તેનું સમીકરણ $x = -2$ (શિરોલંબ રેખા) છે.
રેખા $x = -2$ અને રેખા $ax - 2y + 3 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.
રેખા $ax - 2y + 3 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{a}{2}$ છે.
શિરોલંબ રેખા અને $m_1$ ઢાળ ધરાવતી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $|\tan(90^{\circ} - \theta)| = |\frac{1}{m_1}|$ થાય.
ખૂણો $45^{\circ}$ હોવાથી,$|\frac{1}{a/2}| = \tan(45^{\circ}) = 1$.
તેથી,$\frac{2}{a} = 1$,જે આપણને $a = 2$ આપે છે.
હવે,$a = 2$ ને સમીકરણ $x + ay - 4 = 0$ માં મૂકતા $x + 2y - 4 = 0$ મળે છે.
આ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{1}{2}$ છે.
ધન $X$-અક્ષ સાથે બનાવેલ ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = -\frac{1}{2}$ થાય.
ઢાળ ઋણ હોવાથી,ખૂણો બીજા ચરણમાં છે,તેથી $\theta = \pi - \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.

(B) રેખાનો ઢાળ $m$ છે. રેખા $x + y - 3 = 0$ નો ઢાળ $m_2 = -1$ છે.
આપેલ છે કે $\tan \theta = \left|\frac{m - m_2}{1 + m m_2}\right| = \frac{5}{7}$.
$m_2 = -1$ મૂકતા,આપણને $\left|\frac{m + 1}{1 - m}\right| = \frac{5}{7}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $7|m + 1| = 5|1 - m|$.
કિસ્સો $1$: $7(m + 1) = 5(1 - m)$ $\Rightarrow 7m + 7 = 5 - 5m$ $\Rightarrow 12m = -2$ $\Rightarrow m = -1/6$.
કિસ્સો $2$: $7(m + 1) = -5(1 - m)$ $\Rightarrow 7m + 7 = -5 + 5m$ $\Rightarrow 2m = -12$ $\Rightarrow m = -6$.
કારણ કે $m \in \mathbb{Z}$,તેથી $m = -6$ લેતા.
$(1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -6$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 1 = -6(x - 1)$ છે.
$y - 1 = -6x + 6 \Rightarrow 6x + y - 7 = 0$.
$ax + y + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 6$ અને $c = -7$ મળે છે.
તેથી,$ac = 6 \times (-7) = -42$.

(D) બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m - m'}{1 + m m'} \right|$ છે.
અહીં $\theta = \frac{\pi}{6}$ અને $m' = 2$ આપેલ છે,તેથી $\tan \frac{\pi}{6} = \left| \frac{m - 2}{1 + 2m} \right|$.
$\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \left| \frac{m - 2}{1 + 2m} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{3} = \frac{(m - 2)^2}{(1 + 2m)^2}$.
$(1 + 2m)^2 = 3(m - 2)^2$.
$1 + 4m + 4m^2 = 3(m^2 - 4m + 4)$.
$1 + 4m + 4m^2 = 3m^2 - 12m + 12$.
$m^2 + 16m - 11 = 0$.
આ $m$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે જેના બીજ $m_1$ અને $m_2$ છે.
બીજનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{16}{1} = -16$ થાય.

(A) આપેલ રેખા $x+y-3=0$ નો ઢાળ $m_1 = -1$ છે. ધારો કે માંગેલ રેખાનો ઢાળ $m$ છે. બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m m_1} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{m - (-1)}{1 + m(-1)} \right|$.
$\sqrt{3} = \left| \frac{m+1}{1-m} \right|$.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે: $\frac{m+1}{1-m} = \sqrt{3}$ અથવા $\frac{m+1}{1-m} = -\sqrt{3}$.
કિસ્સો $1$: $m+1 = \sqrt{3} - \sqrt{3}m$ $\Rightarrow m(1+\sqrt{3}) = \sqrt{3}-1$ $\Rightarrow m = 2-\sqrt{3}$.
રેખાનું સમીકરણ $y-1 = (2-\sqrt{3})(x-1)$ છે.
કિસ્સો $2$: $m+1 = -\sqrt{3} + \sqrt{3}m$ $\Rightarrow m(1-\sqrt{3}) = -\sqrt{3}-1$ $\Rightarrow m = 2+\sqrt{3}$.
રેખાનું સમીકરણ $y-1 = (2+\sqrt{3})(x-1)$ છે,જે વિકલ્પ $A$ સાથે સુસંગત છે.

(C) $(1, 2)$ અને $(3, 4)$ બિંદુઓને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{4-2}{3-1} = 1$ છે.
ધારો કે જરૂરી રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. આપેલ રેખા સાથેનો ખૂણો $30^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m - 1}{1 + m} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \left| \frac{m - 1}{m + 1} \right|$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $m = 2 \pm \sqrt{3}$ મળે છે.
$m_1 > m_2$ હોવાથી,$m_1 = 2 + \sqrt{3}$ અને $m_2 = 2 - \sqrt{3}$.
તેથી,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = 7 + 4\sqrt{3}$.

(B) આપેલ રેખા $\sqrt{3} x + y = 1$ છે,જેનો ઢાળ $m_1 = -\sqrt{3}$ છે.
ધારો કે માંગેલ રેખાનો ઢાળ $m_2$ છે. બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{-\sqrt{3} - m_2}{1 - \sqrt{3} m_2} \right|$
$\sqrt{3} = \left| \frac{-\sqrt{3} - m_2}{1 - \sqrt{3} m_2} \right|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$3(1 - \sqrt{3} m_2)^2 = (\sqrt{3} + m_2)^2$
$3(1 + 3m_2^2 - 2\sqrt{3} m_2) = 3 + m_2^2 + 2\sqrt{3} m_2$
$8m_2^2 - 8\sqrt{3} m_2 = 0$
$m_2 = 0$ અથવા $m_2 = \sqrt{3}$.
$m_2 = \sqrt{3}$ માટે,$(3, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 2 = \sqrt{3}(x - 3)$
$\sqrt{3} x - y + (2 - 3\sqrt{3}) = 0$.

(C) રેખાઓ $x-2y+3=0$ અને $kx-y+2=0$ ના ઢાળ અનુક્રમે $m_1 = \frac{1}{2}$ અને $m_2 = k$ છે.
આપેલ ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,આપણે સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ નો ઉપયોગ કરીએ.
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{\frac{1}{2} - k}{1 + \frac{k}{2}} \right| = 1$.
$|1 - 2k| = |2 + k|$.
કિસ્સો $1$: $1 - 2k = 2 + k$ $\Rightarrow 3k = -1$ $\Rightarrow k = -\frac{1}{3}$.
કિસ્સો $2$: $1 - 2k = -(2 + k)$ $\Rightarrow 1 - 2k = -2 - k$ $\Rightarrow k = 3$.
$k_1 > k_2$ હોવાથી,$k_1 = 3$ અને $k_2 = -\frac{1}{3}$ મળે.
તેથી $k_1 - 2 = 3 - 2 = 1$.
વિકલ્પો તપાસતા: $-3k_2 = -3(-\frac{1}{3}) = 1$.
આમ,$k_1 - 2 = -3k_2$.

(D) બે રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ પરસ્પર લંબ હોય તો તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,અથવા $a_1a_2 + b_1b_2 = 0$.
અહીં,$a_1 = 2, b_1 = (3 - 2k)$ અને $a_2 = k, b_2 = (k - 1)$.
શરત $a_1a_2 + b_1b_2 = 0$ લાગુ પાડતા:
$2(k) + (3 - 2k)(k - 1) = 0$
$2k + (3k - 3 - 2k^2 + 2k) = 0$
$-2k^2 + 7k - 3 = 0$
$2k^2 - 7k + 3 = 0$
$(2k - 1)(k - 3) = 0$
આમ,$k = 3$ અથવા $k = \frac{1}{2}$.
આપેલ છે કે $\alpha > \beta$,તેથી $\alpha = 3$ અને $\beta = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\alpha^2 + 2\beta = (3)^2 + 2(\frac{1}{2}) = 9 + 1 = 10$.

(D) આપેલ રેખાઓ $L_1: \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ અને $L_2: \frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1$ છે.
$L_1$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{b}{a}$ છે.
$L_2$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{a}{b}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{-\frac{b}{a} - (-\frac{a}{b})}{1 + (-\frac{b}{a})(-\frac{a}{b})} \right| = \left| \frac{\frac{a}{b} - \frac{b}{a}}{1 + 1} \right| = \left| \frac{a^2 - b^2}{2ab} \right|$.
$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{|a^2 - b^2|}{|2ab|}$ હોવાથી,કર્ણ $\sqrt{(a^2 - b^2)^2 + (2ab)^2} = |a^2 + b^2|$ થાય.
તેથી,$\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \left| \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} \right|$.

(B) ધારો કે આપેલી રેખા $L_1: \sqrt{3}x + y - 9 = 0$ છે. $L_1$ નો ઢાળ $m_1 = -\sqrt{3}$ છે.
ધારો કે જરૂરી રેખા $L$ નો ઢાળ $m$ છે. $L$ અને $L_1$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{m - (-\sqrt{3})}{1 + m(-\sqrt{3})} \right|$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \left| \frac{m + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m} \right|$.
કિસ્સો $1$: $\sqrt{3} = \frac{m + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m}$ $\Rightarrow \sqrt{3} - 3m = m + \sqrt{3}$ $\Rightarrow 4m = 0$ $\Rightarrow m = 0$.
સમીકરણ $y + 3 = 0$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $-\sqrt{3} = \frac{m + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m}$ $\Rightarrow -\sqrt{3} + 3m = m + \sqrt{3}$ $\Rightarrow 2m = 2\sqrt{3}$ $\Rightarrow m = \sqrt{3}$.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $y - (-3) = \sqrt{3}(x - 5) \Rightarrow \sqrt{3}x - y - 3 - 5\sqrt{3} = 0$ મળે છે.

(C) $(1, -2)$ અને $(3, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{2 - (-2)}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ છે.
રેખા $x + 2y - 7 = 0$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{2}$ છે.
અહીં $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$ હોવાથી,બંને રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(C) રેખાઓ $4x - y + 7 = 0$ અને $kx - 5y - 9 = 0$ ના ઢાળ અનુક્રમે $m_1 = 4$ અને $m_2 = \frac{k}{5}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{4 - \frac{k}{5}}{1 + 4 \cdot \frac{k}{5}} \right|$
$1 = \left| \frac{20 - k}{5 + 4k} \right|$
આથી $\frac{20 - k}{5 + 4k} = 1$ અથવા $\frac{20 - k}{5 + 4k} = -1$.
કિસ્સો $1$: $20 - k = 5 + 4k$ $\Rightarrow 5k = 15$ $\Rightarrow k = 3$.
કિસ્સો $2$: $20 - k = -5 - 4k$ $\Rightarrow 3k = -25$ $\Rightarrow k = -\frac{25}{3}$.
$k > 0$ હોવાથી,સાચો જવાબ $k = 3$ છે.

(B) ધારો કે જરૂરી રેખાનો ઢાળ $m$ છે. રેખા $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $(y - 2) = m(x - 1)$ છે.
આપેલ છે કે આ રેખા અને $y = 2x + 1$ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.
આપેલ રેખાનો ઢાળ $m_1 = 2$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - 2}{1 + 2m} \right|$
$1 = \left| \frac{m - 2}{1 + 2m} \right|$
આ બે કિસ્સાઓ આપે છે:
કિસ્સો $1$: $\frac{m - 2}{1 + 2m} = 1$ $\Rightarrow m - 2 = 1 + 2m$ $\Rightarrow m = -3$.
સમીકરણ $(y - 2) = -3(x - 1)$ $\Rightarrow y - 2 = -3x + 3$ $\Rightarrow 3x + y = 5$ છે.
કિસ્સો $2$: $\frac{m - 2}{1 + 2m} = -1$ $\Rightarrow m - 2 = -1 - 2m$ $\Rightarrow 3m = 1$ $\Rightarrow m = \frac{1}{3}$.
સમીકરણ $(y - 2) = \frac{1}{3}(x - 1)$ $\Rightarrow 3y - 6 = x - 1$ $\Rightarrow x - 3y + 5 = 0$ છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$3x + y = 5$ સાચો જવાબ છે.

(B) $(1, -2)$ અને $(3, 2)$ બિંદુઓને જોડતી રેખા $L_1$ ધારો. $L_1$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{2 - (-2)}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ છે.
બીજી રેખા $L_2$ નું સમીકરણ $x + 2y - 7 = 0$ છે,જેને $y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
$L_2$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{2}$ છે.
હવે,ઢાળનો ગુણાકાર: $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$.
ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ હોવાથી,બંને રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(B) આપેલ છે કે બે રેખાઓ $L_1: \frac{3}{2}x + (2a - 1)y = 3$ અને $L_2: 2x + a^2y = -3$ પરસ્પર લંબ છે.
$L_1 \perp L_2$ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 \times m_2 = -1$ થાય.
$L_1$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{3}{4a - 2}$ અને $L_2$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{2}{a^2}$ છે.
તેથી,$(-\frac{3}{4a - 2}) \times (-\frac{2}{a^2}) = -1 \Rightarrow 2a^3 - a^2 + 3 = 0$.
$a = -1$ લેતા,સમીકરણ સંતોષાય છે.
$a = -1$ મૂકતા,રેખાઓ $x - 2y = 2$ અને $2x + y = -3$ મળે છે.
આ રેખાઓનું છેદબિંદુ $(-\frac{4}{5}, -\frac{7}{5})$ છે.
બિંદુ $(1, 1)$ થી અંતર $\sqrt{(1 + \frac{4}{5})^2 + (1 + \frac{7}{5})^2} = \sqrt{(\frac{9}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2} = \sqrt{\frac{225}{25}} = 3$ એકમ થાય.

(D) ધારો કે આપેલી રેખાઓ $L_1: 3x + 4y - 5 = 0$ અને $L_2: 4x - 3y - 15 = 0$ છે. તેમના ઢાળ $m_1 = -\frac{3}{4}$ અને $m_2 = \frac{4}{3}$ છે.
$m_1 \times m_2 = -1$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
ધારો કે $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m$ છે. તેનું સમીકરણ $y - 2 = m(x - 1)$ અથવા $mx - y + (2 - m) = 0$ છે.
$AB = AC$ હોવાથી,રેખા $BC$ એ $L_1$ અને $L_2$ સાથે સમાન ખૂણો બનાવતી હોવી જોઈએ. $L_1 \perp L_2$ હોવાથી,રેખા $BC$ બંને રેખાઓ સાથે $45^\circ$ નો ખૂણો બનાવશે.
ઢાળ $m$ વાળી રેખા અને $L_1$ વચ્ચેનો ખૂણો $\tan 45^\circ = |\frac{m - (-3/4)}{1 + m(-3/4)}| = 1$ દ્વારા મળે છે.
$|\frac{4m + 3}{4 - 3m}| = 1$.
કિસ્સો $1$: $\frac{4m + 3}{4 - 3m} = 1$ $\Rightarrow 4m + 3 = 4 - 3m$ $\Rightarrow 7m = 1$ $\Rightarrow m = \frac{1}{7}$.
સમીકરણ $y - 2 = \frac{1}{7}(x - 1)$ $\Rightarrow 7y - 14 = x - 1$ $\Rightarrow x - 7y + 13 = 0$ છે.
કિસ્સો $2$: $\frac{4m + 3}{4 - 3m} = -1$ $\Rightarrow 4m + 3 = -4 + 3m$ $\Rightarrow m = -7$.
સમીકરણ $y - 2 = -7(x - 1)$ $\Rightarrow y - 2 = -7x + 7$ $\Rightarrow 7x + y = 9$ છે.
આમ,રેખાઓ $7x + y = 9$ અને $x - 7y + 13 = 0$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $y-3kx+4=0$ $(i)$ અને $(2k-1)x-(8k-1)y-6=0$ (ii) છે.
રેખા $(i)$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{-(-3k)}{1} = 3k$ છે.
રેખા (ii) નો ઢાળ $m_2 = \frac{-(2k-1)}{-(8k-1)} = \frac{2k-1}{8k-1}$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,એટલે કે $m_1 m_2 = -1$.
$3k \times \frac{2k-1}{8k-1} = -1$
$3k(2k-1) = -(8k-1)$
$6k^2 - 3k = -8k + 1$
$6k^2 + 5k - 1 = 0$
$6k^2 + 6k - k - 1 = 0$
$6k(k+1) - 1(k+1) = 0$
$(6k-1)(k+1) = 0$
તેથી,$k = 1/6$ અથવા $k = -1$.

(B) આપેલ રેખા: $\sqrt{3}x + y = 1$,જેને $y = -\sqrt{3}x + 1$ તરીકે લખી શકાય. ઢાળ $m_2 = -\sqrt{3}$.
ધારો કે જરૂરી રેખાનો ઢાળ $m_1$ છે. રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{m_1 - (-\sqrt{3})}{1 + m_1(-\sqrt{3})} \right|$
$\sqrt{3} = \left| \frac{m_1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m_1} \right|$
આના બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\sqrt{3} = \frac{m_1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m_1} \implies m_1 = 0$. રેખાનું સમીકરણ $y + 2 = 0$.
કિસ્સો $2$: $-\sqrt{3} = \frac{m_1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m_1} \implies m_1 = \sqrt{3}$. રેખાનું સમીકરણ $y - x\sqrt{3} + 2 + 3\sqrt{3} = 0$.

(D) આપેલ રેખા $x+y=0$ છે,જેને $y = -x$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -1$ છે.
ધારો કે જરૂરી રેખાઓનો ઢાળ $m$ છે. રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m m_1} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - (-1)}{1 + m(-1)} \right|$
$1 = \left| \frac{m+1}{1-m} \right|$
આના બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\frac{m+1}{1-m} = 1 \implies m+1 = 1-m \implies 2m = 0 \implies m = 0$.
$(1,1)$ માંથી પસાર થતી અને $0$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y-1 = 0(x-1) \implies y-1 = 0$ છે.
કિસ્સો $2$: $\frac{m+1}{1-m} = -1 \implies m+1 = -1+m \implies 1 = -1$,જે અશક્ય છે (આનો અર્થ એ છે કે રેખા શિરોલંબ છે).
$(1,1)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા $x=1$ અથવા $x-1=0$ છે.
આમ,રેખાઓના સમીકરણો $x-1=0$ અને $y-1=0$ છે.