Angle between two straight lines Questions in Gujarati

(B) રેખા $2x + y + 10 = 0$ એ $x$-અક્ષને $A(-5, 0)$ પર અને $y$-અક્ષને $B(0, -10)$ પર છેદે છે.
$AB$ ને $1:2:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતા બિંદુઓ $P$ અને $Q$ છે.
$P$ ના યામ $\left( \frac{2(-5) + 3(0)}{5}, \frac{2(0) + 3(-10)}{5} \right) = (-2, -6)$ મળે છે.
$Q$ ના યામ $\left( \frac{4(-5) + 1(0)}{5}, \frac{4(0) + 1(-10)}{5} \right) = (-4, -2)$ મળે છે.
રેખાઓ $MP$ અને $MQ$ ના ઢાળ $m_1 = 1/2$ અને $m_2 = 3$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\tan \theta = \left| \frac{3 - 0.5}{1 + 3(0.5)} \right| = 1$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \pi / 4$.

(C) આપેલ વક્રો $y = 2x$ અને $x^2 - xy + 2y^2 = 28$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y = 2x$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 - x(2x) + 2(2x)^2 = 28$
$x^2 - 2x^2 + 8x^2 = 28$
$7x^2 = 28 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
જો $x = 2$ હોય,તો $y = 4$. જો $x = -2$ હોય,તો $y = -4$. છેદબિંદુઓ $(2, 4)$ અને $(-2, -4)$ છે.
પ્રથમ વક્ર $y = 2x$ માટે,ઢાળ $m_1 = \frac{dy}{dx} = 2$.
બીજા વક્ર $x^2 - xy + 2y^2 = 28$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$2x - (y + x\frac{dy}{dx}) + 4y\frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}(4y - x) = y - 2x \implies \frac{dy}{dx} = \frac{y - 2x}{4y - x}$.
$(2, 4)$ આગળ,$m_2 = \frac{4 - 2(2)}{4(4) - 2} = \frac{0}{14} = 0$.
$(-2, -4)$ આગળ,$m_2 = \frac{-4 - 2(-2)}{4(-4) - (-2)} = \frac{0}{-14} = 0$.
વક્રો વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો સ્પર્શક $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \theta = |\frac{2 - 0}{1 + 2(0)}| = |\frac{2}{1}| = 2$.

(A) પ્રથમ રેખાનું સમીકરણ $\alpha^2x + \alpha y = 9$ છે,જેને $y = -\alpha x + \frac{9}{\alpha}$ તરીકે લખી શકાય. તેનો ઢાળ $m_1 = -\alpha$ છે.
બીજી રેખાનું સમીકરણ $3x + 2y = 5$ છે,જેને $y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$ તરીકે લખી શકાય. તેનો ઢાળ $m_2 = -\frac{3}{2}$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,એટલે કે $m_1 \times m_2 = -1$.
કિંમતો મૂકતા,$(-\alpha) \times (-\frac{3}{2}) = -1$.
$\frac{3}{2}\alpha = -1$.
$\alpha = -\frac{2}{3}$.

(C) આપેલ રેખા $\sqrt{3}x + y = 1$ છે,જે $y = -\sqrt{3}x + 1$ તરીકે લખી શકાય છે. આ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\sqrt{3}$ છે.
ધારો કે રેખા $L$ નો ઢાળ $m$ છે. રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^o$ છે,તેથી $\tan(60^o) = |\frac{m - m_2}{1 + m \cdot m_2}|$.
$\sqrt{3} = |\frac{m - (-\sqrt{3})}{1 + m(-\sqrt{3})}| = |\frac{m + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m}|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $3 = \frac{(m + \sqrt{3})^2}{(1 - \sqrt{3}m)^2} \Rightarrow 3(1 - 2\sqrt{3}m + 3m^2) = m^2 + 2\sqrt{3}m + 3$.
$3 - 6\sqrt{3}m + 9m^2 = m^2 + 2\sqrt{3}m + 3 \Rightarrow 8m^2 - 8\sqrt{3}m = 0$.
$8m(m - \sqrt{3}) = 0$,તેથી $m = 0$ અથવા $m = \sqrt{3}$.
જો $m = 0$ હોય,તો રેખા $y + 2 = 0(x - 3) \Rightarrow y + 2 = 0$ મળે,જે $x$-અક્ષને સમાંતર છે અને તેને છેદતી નથી.
જો $m = \sqrt{3}$ હોય,તો રેખા $y - (-2) = \sqrt{3}(x - 3) \Rightarrow y + 2 = \sqrt{3}x - 3\sqrt{3}$ મળે.
તેથી $y - \sqrt{3}x + 2 + 3\sqrt{3} = 0$ મળે છે.

(A) બે રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{a_1b_2 - a_2b_1}{a_1a_2 + b_1b_2} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેખાઓ $2x + 3y + c_1 = 0$ અને $-x + 5y + c_2 = 0$ માટે,ખૂણો $\theta_1$ એ $\tan \theta_1 = \left| \frac{(2)(5) - (3)(-1)}{(2)(-1) + (3)(5)} \right| = \left| \frac{10 + 3}{-2 + 15} \right| = \frac{13}{13} = 1$ સંતોષે છે.
તે જ રીતે,રેખાઓ $2x + 3y + c_1 = 0$ અને $-x + 5y + c_3 = 0$ માટે,ખૂણો $\theta_2$ એ $\tan \theta_2 = \left| \frac{(2)(5) - (3)(-1)}{(2)(-1) + (3)(5)} \right| = 1$ સંતોષે છે.
કારણ કે $\tan \theta_1 = \tan \theta_2 = 1$,તેથી $c_2$ અને $c_3$ ની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમતો માટે $\theta_1 = \theta_2$ થાય છે.
આમ,વિધાન-$2$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ સાચું હોવાથી,વિધાન-$1$ પણ સાચું છે,અને વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ માટે તાર્કિક આધાર પૂરો પાડે છે.

(D) રેખાઓના ઢાળ નીચે મુજબ છે:
$m_1 = 1$ ($L_1$ માટે)
$m_2 = -1$ ($L_2$ માટે)
$m_3 = -1$ ($L_3$ માટે)
$m_4 = 1$ ($L_4$ માટે)
$1$. લંબતા તપાસો:
$m_1 \times m_2 = 1 \times (-1) = -1$,તેથી $L_1 \perp L_2$.
$m_1 \times m_3 = 1 \times (-1) = -1$,તેથી $L_1 \perp L_3$.
$2$. સમાંતરતા તપાસો:
$m_2 = m_3 = -1$,તેથી $L_2 || L_3$.
$3$. છેદન તપાસો:
$m_2 \neq m_4$ $(-1 \neq 1)$ હોવાથી,$L_2$ અને $L_4$ સમાંતર નથી અને તેથી એકબીજાને છેદે છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) આપેલ રેખા $2x - 3y + 17 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય. ધારો કે $(7, 17)$ અને $(15, \beta)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m_2$ છે.
$m_2 = \frac{\beta - 17}{15 - 7} = \frac{\beta - 17}{8}$.
$m_1 \times m_2 = -1$ હોવાથી,$\frac{2}{3} \times \frac{\beta - 17}{8} = -1$.
$\frac{\beta - 17}{12} = -1$.
$\beta - 17 = -12$.
$\beta = 17 - 12 = 5$.

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે $m_{1}$ અને $m_{2}$ ઢાળ ધરાવતી બે રેખાઓ વચ્ચેનો લઘુકોણ $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_{2} - m_{1}}{1 + m_{1}m_{2}} \right| \dots (1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $m_{1} = \frac{1}{2},$ $m_{2} = m,$ અને $\theta = \frac{\pi}{4}.$
હવે,આ કિંમતો $(1)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\tan \frac{\pi}{4} = \left| \frac{m - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}m} \right| \implies 1 = \left| \frac{m - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}m} \right|.$
આનાથી બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1: \frac{m - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}m} = 1 \implies m - \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2}m \implies \frac{1}{2}m = \frac{3}{2} \implies m = 3.$
કિસ્સો $2: \frac{m - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}m} = -1 \implies m - \frac{1}{2} = -1 - \frac{1}{2}m \implies \frac{3}{2}m = -\frac{1}{2} \implies m = -\frac{1}{3}.$
તેથી,બીજી રેખાનો ઢાળ $3$ અથવા $-\frac{1}{3}$ છે.

(N/A) ધારો કે બે રેખાઓના ઢાળ $m_{1}$ અને $m_{2}$ છે,જ્યાં $m_{1} = 2m_{2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો બે રેખાઓના ઢાળ $m_{1}$ અને $m_{2}$ હોય,તો તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1}m_{2}} \right|$ થાય.
આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{1}{3},$ તેથી $\frac{1}{3} = \left| \frac{2m_{2} - m_{2}}{1 + (2m_{2})m_{2}} \right| = \left| \frac{m_{2}}{1 + 2m_{2}^{2}} \right|$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{m_{2}}{1 + 2m_{2}^{2}} = \frac{1}{3}$ અથવા $\frac{m_{2}}{1 + 2m_{2}^{2}} = -\frac{1}{3}$.
કિસ્સો $I$: $\frac{m_{2}}{1 + 2m_{2}^{2}} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow 2m_{2}^{2} - 3m_{2} + 1 = 0$ $\Rightarrow (2m_{2} - 1)(m_{2} - 1) = 0$.
તેથી,$m_{2} = \frac{1}{2}$ (જેનાથી $m_{1} = 1$ મળે) અથવા $m_{2} = 1$ (જેનાથી $m_{1} = 2$ મળે).
કિસ્સો $II$: $\frac{m_{2}}{1 + 2m_{2}^{2}} = -\frac{1}{3}$ $\Rightarrow 2m_{2}^{2} + 3m_{2} + 1 = 0$ $\Rightarrow (2m_{2} + 1)(m_{2} + 1) = 0$.
તેથી,$m_{2} = -\frac{1}{2}$ (જેનાથી $m_{1} = -1$ મળે) અથવા $m_{2} = -1$ (જેનાથી $m_{1} = -2$ મળે).
આમ,ઢાળની શક્ય જોડીઓ $(1, \frac{1}{2}), (2, 1), (-1, -\frac{1}{2}), (-2, -1)$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓ:
$y = \sqrt{3}x + 5$ ..... $(1)$
$\sqrt{3}y = x - 6 \implies y = \frac{1}{\sqrt{3}}x - 2\sqrt{3}$ ..... $(2)$
$y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m_1 = \sqrt{3}$ અને $m_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}}{1 + (\sqrt{3})(\frac{1}{\sqrt{3}})} \right| = \left| \frac{\frac{1-3}{\sqrt{3}}}{1+1} \right| = \left| \frac{-2}{2\sqrt{3}} \right| = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\theta = 30^{\circ}$.

આપેલી રેખાઓને $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ લખી શકાય:
$y = -\frac{a_{1}}{b_{1}}x - \frac{c_{1}}{b_{1}}$ ..... $(1)$
$y = -\frac{a_{2}}{b_{2}}x - \frac{c_{2}}{b_{2}}$ ..... $(2)$
રેખાઓ $(1)$ અને $(2)$ ના ઢાળ અનુક્રમે $m_{1} = -\frac{a_{1}}{b_{1}}$ અને $m_{2} = -\frac{a_{2}}{b_{2}}$ છે.
બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય જો તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,એટલે કે $m_{1} \cdot m_{2} = -1$.
$m_{1}$ અને $m_{2}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(-\frac{a_{1}}{b_{1}}) \cdot (-\frac{a_{2}}{b_{2}}) = -1$
$\frac{a_{1}a_{2}}{b_{1}b_{2}} = -1$
$a_{1}a_{2} = -b_{1}b_{2}$
$a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} = 0$
આમ,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે જો $a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} = 0$ થાય.

(A) આપેલ રેખાઓ $\sqrt{3}x + y = 1$ અને $x + \sqrt{3}y = 1$ છે.
ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ માં ફેરવતા:
રેખા $(1): y = -\sqrt{3}x + 1$,તેથી $m_1 = -\sqrt{3}$.
રેખા $(2): \sqrt{3}y = -x + 1 \implies y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $m_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો લઘુકોણ $\theta$ માટેનું સૂત્ર: $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{-\sqrt{3} - (-1/\sqrt{3})}{1 + (-\sqrt{3})(-1/\sqrt{3})} \right| = \left| \frac{(-3 + 1)/\sqrt{3}}{1 + 1} \right| = \left| \frac{-2}{2\sqrt{3}} \right| = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$\theta = 30^{\circ}$.
ગુરુકોણ $180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$ થશે.
તેથી,રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા $30^{\circ}$ અને $150^{\circ}$ છે.

(A) બિંદુઓ $(h, 3)$ અને $(4, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{1 - 3}{4 - h} = \frac{-2}{4 - h}$ છે.
રેખા $7x - 9y - 19 = 0$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{7}{9}$ છે.
બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,તેથી $m_1 \times m_2 = -1$.
$\left(\frac{-2}{4 - h}\right) \times \left(\frac{7}{9}\right) = -1$.
$\frac{-14}{36 - 9h} = -1$.
$14 = 36 - 9h$.
$9h = 36 - 14 = 22$.
$h = \frac{22}{9}$.

(N/A) ધારો કે પ્રથમ રેખાનો ઢાળ $m_{1} = 2$ છે અને બીજી રેખાનો ઢાળ $m_{2}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1}m_{2}} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = 60^{\circ}$ અને $m_{1} = 2$ મૂકતા:
$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{2 - m_{2}}{1 + 2m_{2}} \right|$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \left| \frac{2 - m_{2}}{1 + 2m_{2}} \right|$.
આના બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $I$: $\frac{2 - m_{2}}{1 + 2m_{2}} = \sqrt{3} \Rightarrow m_{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3}}$.
બિંદુ $(2,3)$ માંથી પસાર થતી અને આ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $(y - 3) = \frac{2 - \sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3}}(x - 2)$ છે.
સાદુરૂપ આપતા,$(2 - \sqrt{3})x - (1 + 2\sqrt{3})y + (8\sqrt{3} - 1) = 0$.
કિસ્સો $II$: $\frac{2 - m_{2}}{1 + 2m_{2}} = -\sqrt{3} \Rightarrow m_{2} = -\frac{2 + \sqrt{3}}{2\sqrt{3} - 1}$.
બિંદુ $(2,3)$ માંથી પસાર થતી અને આ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $(y - 3) = -\frac{2 + \sqrt{3}}{2\sqrt{3} - 1}(x - 2)$ છે.
સાદુરૂપ આપતા,$(2 + \sqrt{3})x + (2\sqrt{3} - 1)y - (1 + 8\sqrt{3}) = 0$.

ધારો કે જરૂરી રેખાનો ઢાળ $m_{1}$ છે.
આપેલ રેખા $x-2y=3$ છે,જેને $y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,આપેલ રેખાનો ઢાળ $m_{2}=\frac{1}{2}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે. બે રેખાઓ જેના ઢાળ $m_{1}$ અને $m_{2}$ હોય તેમની વચ્ચેના ખૂણાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan 45^{\circ} = \left| \frac{\frac{1}{2}-m_{1}}{1+m_{1}(\frac{1}{2})} \right|$.
$1 = \left| \frac{1-2m_{1}}{2+m_{1}} \right|$.
આના બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $I$: $\frac{1-2m_{1}}{2+m_{1}} = 1$ $\Rightarrow 1-2m_{1} = 2+m_{1}$ $\Rightarrow 3m_{1} = -1$ $\Rightarrow m_{1} = -\frac{1}{3}$.
કિસ્સો $II$: $\frac{1-2m_{1}}{2+m_{1}} = -1$ $\Rightarrow 1-2m_{1} = -2-m_{1}$ $\Rightarrow m_{1} = 3$.
$m_{1} = 3$ માટે,$(3,2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y-2 = 3(x-3)$ $\Rightarrow y-2 = 3x-9$ $\Rightarrow 3x-y = 7$ છે.
$m_{1} = -\frac{1}{3}$ માટે,$(3,2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y-2 = -\frac{1}{3}(x-3)$ $\Rightarrow 3y-6 = -x+3$ $\Rightarrow x+3y = 9$ છે.
આમ,રેખાઓના સમીકરણો $3x-y=7$ અને $x+3y=9$ છે.

ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y=m_{1}x$ છે,જ્યાં $m_{1} = \frac{y}{x}$ છે.
જો આ રેખા $y=mx+c$ રેખા સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે,તો તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\tan \theta = \left| \frac{m_{1}-m}{1+m_{1}m} \right|$
$m_{1} = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$\tan \theta = \left| \frac{\frac{y}{x}-m}{1+\frac{y}{x}m} \right|$
માનાંક દૂર કરતા બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $I$: $\tan \theta = \frac{\frac{y}{x}-m}{1+\frac{y}{x}m}$
$\Rightarrow \tan \theta + \frac{y}{x}m \tan \theta = \frac{y}{x} - m$
$\Rightarrow m + \tan \theta = \frac{y}{x}(1 - m \tan \theta)$
$\Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{m + \tan \theta}{1 - m \tan \theta}$
કિસ્સો $II$: $-\tan \theta = \frac{\frac{y}{x}-m}{1+\frac{y}{x}m}$
$\Rightarrow -\tan \theta - \frac{y}{x}m \tan \theta = \frac{y}{x} - m$
$\Rightarrow m - \tan \theta = \frac{y}{x}(1 + m \tan \theta)$
$\Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{m - \tan \theta}{1 + m \tan \theta}$
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,જરૂરી સમીકરણ $\frac{y}{x} = \frac{m \pm \tan \theta}{1 \mp m \tan \theta}$ મળે છે.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$y=3x+1$ .... $(1)$
$2y=x+3$ એટલે કે $y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ .... $(2)$
$y=mx+4$ .... $(3)$
આ રેખાઓના ઢાળ $m_1=3$,$m_2=\frac{1}{2}$,અને $m_3=m$ છે.
રેખાઓ $(1)$ અને $(2)$ એ રેખા $(3)$ સાથે સમાન ખૂણે નમેલી હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો સમાન થશે.
$\left| \frac{3-m}{1+3m} \right| = \left| \frac{1-2m}{2+m} \right|$
કિસ્સો $1$: $5m^2 + 5 = 0$ (વાસ્તવિક ઉકેલ નથી).
કિસ્સો $2$: $7m^2 - 2m - 7 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$m = \frac{1 \pm 5\sqrt{2}}{7}$.

(A) ધારો કે જરૂરી રેખાનો ઢાળ $m$ છે. રેખા $(1, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y - 3 = m(x - 1)$ છે.
આપેલ રેખા $y = 3\sqrt{2}x - 1$ છે,જેનો ઢાળ $m_1 = 3\sqrt{2}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
$\sqrt{2} = \left| \frac{m - 3\sqrt{2}}{1 + 3\sqrt{2}m} \right|$.
કિસ્સો $1$: $m = -\frac{4\sqrt{2}}{5}$.
કિસ્સો $2$: $m = \frac{2\sqrt{2}}{7}$.
$m = -\frac{4\sqrt{2}}{5}$ લેતા,રેખાનું સમીકરણ $4\sqrt{2}x + 5y - (15 + 4\sqrt{2}) = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $A'$ એ $(x, 2)$ છે. ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ છે અને $B(2, 3)$ છે.
$OB$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{3}{2}$ છે અને $OA$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{2}{x}$ છે.
ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\tan \frac{\pi}{4} = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = 1$ મળે.
$\left| \frac{\frac{3}{2} - \frac{2}{x}}{1 + \frac{3}{x}} \right| = 1$ $\Rightarrow \left| \frac{3x - 4}{2x + 6} \right| = 1$.
આથી $x = 10$ અથવા $x = -\frac{2}{5}$ મળે.
બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $AA' = |10 - (-\frac{2}{5})| = \frac{52}{5}$ થાય.

(D) રેખા $BC$ નું સમીકરણ $y = x + 4$ છે,તેથી તેનો ઢાળ $m_1 = 1$ છે. ધારો કે રેખાઓ $AB$ અને $AC$ ના ઢાળ અનુક્રમે $m_2$ અને $m_3$ છે. $AB$ અને $BC$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{6}$ છે,તેથી $\tan(\frac{\pi}{6}) = |\frac{m_2 - 1}{1 + m_2}| = \frac{1}{\sqrt{3}}$. આનાથી $m_2 = 2 \pm \sqrt{3}$ મળે છે.
રેખા $AB$ એ $A(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $m_2$ છે. તેનું સમીકરણ $y - 2 = m_2(x - 1)$ છે.
$m_2 = 2 + \sqrt{3}$ માટે,$y - 2 = (2 + \sqrt{3})(x - 1)$. તેને $y = x + 4$ સાથે ઉકેલતા $x + 2 = (2 + \sqrt{3})x - 2 - \sqrt{3}$ મળે,તેથી $x = \frac{3\sqrt{3} - 1}{2}$.
$m_2 = 2 - \sqrt{3}$ માટે,$y - 2 = (2 - \sqrt{3})(x - 1)$. તેને $y = x + 4$ સાથે ઉકેલતા $x + 2 = (2 - \sqrt{3})x - 2 + \sqrt{3}$ મળે,તેથી $x = \frac{-(3\sqrt{3} + 1)}{2}$.
આમ,$\alpha$ અને $\gamma$ એ $\frac{3\sqrt{3} - 1}{2}$ અને $\frac{-(3\sqrt{3} + 1)}{2}$ છે.
$\alpha^2 + \gamma^2 = \frac{27 + 1 - 6\sqrt{3}}{4} + \frac{27 + 1 + 6\sqrt{3}}{4} = \frac{28 + 28}{4} = 14$.

(D) ધારો કે $O$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે,$A = (5, 2)$ અને $B = (2, a)$ છે.
$OA$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{2-0}{5-0} = \frac{2}{5}$ છે.
$OB$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{a-0}{2-0} = \frac{a}{2}$ છે.
$OA$ અને $OB$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{4}$ આપેલ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \frac{\pi}{4} = \left| \frac{\frac{2}{5} - \frac{a}{2}}{1 + (\frac{2}{5})(\frac{a}{2})} \right|$
$1 = \left| \frac{\frac{4-5a}{10}}{1 + \frac{a}{5}} \right| = \left| \frac{4-5a}{10+2a} \right|$
આથી $4-5a = \pm(10+2a)$ મળે.
કિસ્સો $1$: $4-5a = 10+2a$ $\Rightarrow -7a = 6$ $\Rightarrow a = -\frac{6}{7}$.
કિસ્સો $2$: $4-5a = -(10+2a)$ $\Rightarrow 4-5a = -10-2a$ $\Rightarrow 3a = 14$ $\Rightarrow a = \frac{14}{3}$.
$a$ ની શક્ય કિંમતોનો ગુણાકાર $(-\frac{6}{7}) \times (\frac{14}{3}) = -4$ થાય.
તેથી તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|-4| = 4$ છે.

(C) ધારો કે બે સમાન બાજુઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
$-x+2y=4$ અને $x+y=4$ સમીકરણો પરથી,આપણને $m_1 = \frac{1}{2}$ અને $m_2 = -1$ મળે છે.
ધારો કે ત્રીજી બાજુનો ઢાળ $m$ છે. ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોવાથી,ત્રીજી બાજુ અને પ્રથમ બાજુ વચ્ચેનો ખૂણો,ત્રીજી બાજુ અને બીજી બાજુ વચ્ચેના ખૂણા જેટલો જ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right| = \left| \frac{m - m_2}{1 + m \cdot m_2} \right|$.
કિંમતો મૂકતા,$\left| \frac{m - 1/2}{1 + m/2} \right| = \left| \frac{m - (-1)}{1 + m(-1)} \right|$.
$\left| \frac{2m - 1}{2 + m} \right| = \left| \frac{m + 1}{1 - m} \right|$.
આના બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\frac{2m - 1}{2 + m} = \frac{m + 1}{1 - m} \implies m^2 = -1$ (કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી).
કિસ્સો $2$: $\frac{2m - 1}{2 + m} = \frac{m + 1}{m - 1} \implies m^2 - 6m - 1 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{a} = -\frac{-6}{1} = 6$ થાય છે.

(D) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને ધન યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવતી રેખા $y = x$ છે.
$L_1: 2x + y + 6 = 0$ અને $L_2: 4x + 2y - p = 0$ (અથવા $2x + y - \frac{p}{2} = 0$).
$L_1$ અને $L_2$ નો ઢાળ $m = -2$ સમાન હોવાથી,તેઓ સમાંતર રેખાઓ છે.
રેખા $y = x$ એ $L_1$ ને $A$ માં અને $L_2$ ને $B$ માં છેદે છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AMB$ માં,રેખા $y = x$ (ઢાળ $m_1 = 1$) અને રેખા $L_2$ (ઢાળ $m_2 = -2$) વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{1 - (-2)}{1 + (1)(-2)} \right| = \left| \frac{3}{-1} \right| = 3$.
$\triangle AMB$ માં,$\tan \theta = \frac{AM}{BM}$.
તેથી,$\frac{AM}{BM} = 3$.

(A) ધારો કે આપેલી રેખા $2x - 3y = 5$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{2}{3}$ છે.
ધારો કે માંગેલી રેખાનો ઢાળ $m$ છે.
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - \frac{2}{3}}{1 + m \cdot \frac{2}{3}} \right|$
$1 = \left| \frac{3m - 2}{3 + 2m} \right|$
આથી,$m = 5$ અથવા $m = \frac{-1}{5}$ મળે છે.

(B) રેખા $4x - 2y + 13 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{4}{-2} = 2$ છે.
યામ અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ બનાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ થાય,જે $x + y = a$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -1$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{2 - (-1)}{1 + (2)(-1)} \right| = \left| \frac{3}{1 - 2} \right| = \left| \frac{3}{-1} \right| = 3$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(3)$.

(B) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો $x \cos 30^{\circ} + y \sin 30^{\circ} = 3$ અને $x \cos 60^{\circ} + y \sin 60^{\circ} = 5$ છે.
આ સમીકરણો અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ માં છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખાના અભિલંબ દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
પ્રથમ રેખાના અભિલંબનો ખૂણો $\alpha_1 = 30^{\circ}$ અને બીજી રેખા માટે $\alpha_2 = 60^{\circ}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ તેમના અભિલંબ વચ્ચેના ખૂણા જેટલો જ હોય છે.
તેથી,$\theta = |\alpha_2 - \alpha_1| = |60^{\circ} - 30^{\circ}| = 30^{\circ}$.

(A) ધારો કે $(-2, 6)$ અને $(4, 8)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m_1$ છે.
$m_1 = \frac{8 - 6}{4 - (-2)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
ધારો કે $(8, 12)$ અને $(x, 24)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m_2$ છે.
$m_2 = \frac{24 - 12}{x - 8} = \frac{12}{x - 8}$.
રેખાઓ લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$.
$\frac{1}{3} \times \frac{12}{x - 8} = -1$.
$\frac{4}{x - 8} = -1$.
$4 = -(x - 8)$.
$4 = -x + 8$.
$x = 8 - 4 = 4$.

(A) આપેલ છે કે $\theta = 45^{\circ}$ અને $m_1 = \frac{1}{2}$.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા માટેનું સૂત્ર:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{\frac{1}{2} - m_2}{1 + \frac{1}{2} m_2} \right|$
$1 = \left| \frac{1 - 2m_2}{2 + m_2} \right|$
આથી $\frac{1 - 2m_2}{2 + m_2} = 1$ અથવા $\frac{1 - 2m_2}{2 + m_2} = -1$.
કિસ્સો $1$: $1 - 2m_2 = 2 + m_2$ $\Rightarrow -3m_2 = 1$ $\Rightarrow m_2 = -\frac{1}{3}$.
કિસ્સો $2$: $1 - 2m_2 = -(2 + m_2)$ $\Rightarrow 1 - 2m_2 = -2 - m_2$ $\Rightarrow m_2 = 3$.
તેથી,બીજી રેખાનો ઢાળ $3$ અથવા $-\frac{1}{3}$ છે.

(A) પ્રથમ રેખાનું સમીકરણ $x \sin \theta - y \cos \theta = 5$ છે. તેનો ઢાળ $m_1 = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$ છે.
બીજી રેખાનું સમીકરણ $x \sin \alpha - y \cos \alpha + 11 = 0$ છે. તેનો ઢાળ $m_2 = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$ છે.
ધારો કે રેખાઓ વચ્ચેનો લઘુકોણ $\beta$ છે.
તેથી,$\tan \beta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{\tan \theta - \tan \alpha}{1 + \tan \theta \tan \alpha} \right|$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan(\theta - \alpha) = \frac{\tan \theta - \tan \alpha}{1 + \tan \theta \tan \alpha}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\tan \beta = |\tan(\theta - \alpha)|$ મળે છે.
તેથી,$\beta = |\theta - \alpha|$.

(D) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો $y = \sqrt{3}x - 1$ અને $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x - \frac{7}{\sqrt{3}}$ છે.
$y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m_{1} = \sqrt{3}$ અને $m_{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1}m_{2}} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + (\sqrt{3})(\frac{1}{\sqrt{3}})} \right| = \left| \frac{\frac{3-1}{\sqrt{3}}}{1 + 1} \right| = \left| \frac{2/\sqrt{3}}{2} \right| = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી $\theta = 30^{\circ}$ મળે છે.

(D) આપેલી રેખાઓ $x-3=0$ $(i)$ અને $x+y=19$ (ii) છે.
રેખા $(i)$ માટે,$x=3$,જે $y$-અક્ષને સમાંતર શિરોલંબ રેખા છે. તે ધન $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\theta_1 = 90^{\circ}$ છે.
રેખા (ii) માટે,$x+y=19$ ને $y = -x + 19$ તરીકે લખી શકાય. ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m_2 = -1$ મળે છે.
$m_2 = \tan \theta_2 = -1$ હોવાથી,ખૂણો $\theta_2 = 135^{\circ}$ થાય.
બંને રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $|\theta_2 - \theta_1| = |135^{\circ} - 90^{\circ}| = 45^{\circ}$ છે.
$45^{\circ}$ એ લઘુકોણ હોવાથી,માંગેલ ખૂણો $45^{\circ}$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$x+(a-1)y=1$ અને $2x+a^2y=1$.
$x+(a-1)y=1$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{-1}{a-1}$ છે.
$2x+a^2y=1$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{-2}{a^2}$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$.
$\frac{-1}{a-1} \times \frac{-2}{a^2} = -1$
$\frac{2}{a^2(a-1)} = -1$
$a^3 - a^2 + 2 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(a+1)(a^2-2a+2) = 0$.
અહીં $a^2-2a+2 > 0$ હોવાથી,$a=-1$ મળે.
$a=-1$ મૂકતા,રેખાઓ $x-2y=1$ અને $2x+y=1$ મળે.
છેદબિંદુ $(\frac{3}{5}, -\frac{1}{5})$ મળે.
ઉગમબિંદુથી અંતર $\sqrt{(\frac{3}{5})^2 + (-\frac{1}{5})^2} = \sqrt{\frac{10}{25}} = \sqrt{\frac{2}{5}}$.

(D) ધારો કે આપેલી રેખા $L: 3x + y + 4 = 0$ છે. $L$ નો ઢાળ $m = -3$ છે.
રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ ના ઢાળ અનુક્રમે $m_1 = \frac{3}{4}$ અને $m_2$ છે.
બિંદુ $A(2, 5)$ થી રેખા $L$ સુધીનું $L_1$ અને $L_2$ ની દિશામાં માપેલું અંતર સમાન હોવાથી,$L_1$ અને $L_2$ રેખાઓ રેખા $L$ સાથે જે ખૂણા $\theta_1$ અને $\theta_2$ બનાવે છે તે $\tan \theta_1 = \tan \theta_2$ અથવા $\tan \theta_1 = -\tan \theta_2$ નું પાલન કરે છે.
બે રેખાઓના ઢાળ $m$ અને $m'$ હોય તો તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\tan \theta = \left| \frac{m - m'}{1 + mm'} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$L_1$ માટે: $\tan \theta = \left| \frac{-3 - 3/4}{1 + (-3)(3/4)} \right| = \left| \frac{-15/4}{1 - 9/4} \right| = \left| \frac{-15/4}{-5/4} \right| = 3$.
$L_2$ માટે: $\left| \frac{-3 - m_2}{1 - 3m_2} \right| = 3$.
કિસ્સો $1$: $\frac{-3 - m_2}{1 - 3m_2} = 3$ $\Rightarrow -3 - m_2 = 3 - 9m_2$ $\Rightarrow 8m_2 = 6$ $\Rightarrow m_2 = \frac{3}{4}$ (આ $L_1$ જ છે).
કિસ્સો $2$: $\frac{-3 - m_2}{1 - 3m_2} = -3$ $\Rightarrow -3 - m_2 = -3 + 9m_2$ $\Rightarrow 10m_2 = 0$ $\Rightarrow m_2 = 0$.
આમ,$L_2$ નો ઢાળ $0$ છે.

(B) બિંદુ $(3,-2)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y+2=m(x-3)$ $(i)$ છે.
આપેલ રેખા $\sqrt{3} x+y=1$ છે,જેને $y=-\sqrt{3} x+1$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_1=-\sqrt{3}$ છે.
બંને રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે. સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m-m_1}{1+m m_1} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{m-(-\sqrt{3})}{1+m(-\sqrt{3})} \right|$.
$\sqrt{3} = \left| \frac{m+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3} m} \right|$.
કિસ્સો $1$: $\sqrt{3} = \frac{m+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3} m} \Rightarrow \sqrt{3} - 3m = m + \sqrt{3} \Rightarrow 4m = 0 \Rightarrow m = 0$.
$m=0$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$y+2=0(x-3) \Rightarrow y+2=0$ મળે. આ રેખા $X$-અક્ષને સમાંતર છે અને $X$-અક્ષને છેદતી નથી.
કિસ્સો $2$: $-\sqrt{3} = \frac{m+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3} m} \Rightarrow -\sqrt{3} + 3m = m + \sqrt{3} \Rightarrow 2m = 2\sqrt{3} \Rightarrow m = \sqrt{3}$.
$m=\sqrt{3}$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$y+2=\sqrt{3}(x-3) \Rightarrow y+2=\sqrt{3}x-3\sqrt{3} \Rightarrow y-\sqrt{3}x+2+3\sqrt{3}=0$ મળે.

(C) ધારો કે જરૂરી રેખાનો ઢાળ $m$ છે. આપેલી રેખા $x-2y-3=0$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{1}{2}$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$ થાય.
$1 = \left| \frac{m - 1/2}{1 + m/2} \right| = \left| \frac{2m - 1}{2 + m} \right|$.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે: $\frac{2m - 1}{2 + m} = 1$ અથવા $\frac{2m - 1}{2 + m} = -1$.
કિસ્સો $1$: $2m - 1 = 2 + m \Rightarrow m = 3$.
રેખાનું સમીકરણ $y - 2 = 3(x - 3) \Rightarrow 3x - y - 7 = 0$ છે.
કિસ્સો $2$: $2m - 1 = -2 - m \Rightarrow 3m = -1 \Rightarrow m = -1/3$.
રેખાનું સમીકરણ $y - 2 = -1/3(x - 3) \Rightarrow 3y - 6 = -x + 3 \Rightarrow x + 3y - 9 = 0$ છે.
આમ,જરૂરી સમીકરણો $3x - y - 7 = 0$ અને $x + 3y - 9 = 0$ છે.

(C) રેખા $x+y=3$ નો ઢાળ $m_1 = -1$ છે.
બિંદુઓ $(1,1)$ અને $(-3,4)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m_2 = \frac{4-1}{-3-1} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{-\frac{3}{4} - (-1)}{1 + (-1)(-\frac{3}{4})} \right| = \left| \frac{-\frac{3}{4} + 1}{1 + \frac{3}{4}} \right| = \left| \frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}} \right| = \frac{1}{7}$.
તેથી,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$.

(C) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$2x + 3y - 3 = 0$ --- $(1)$
$x + ky + 7 = 0$ --- $(2)$
રેખા $(1)$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{2}{3}$ છે.
રેખા $(2)$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{k}$ છે.
બંને રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$m_1 \times m_2 = -1$
$(-\frac{2}{3}) \times (-\frac{1}{k}) = -1$
$\frac{2}{3k} = -1$
$2 = -3k$
$k = -\frac{2}{3}$

(A) પ્રથમ રેખાનું સમીકરણ $lx + my = n$ છે,જેને $y = -\frac{l}{m}x + \frac{n}{m}$ તરીકે લખી શકાય. તેનો ઢાળ $m_1 = -\frac{l}{m}$ છે.
બીજી રેખાનું સમીકરણ $l'x + m'y = n'$ છે,જેને $y = -\frac{l'}{m'}x + \frac{n'}{m'}$ તરીકે લખી શકાય. તેનો ઢાળ $m_2 = -\frac{l'}{m'}$ છે.
બે રેખાઓ લંબ હોય જો તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,એટલે કે $m_1 \times m_2 = -1$.
$\left(-\frac{l}{m}\right) \times \left(-\frac{l'}{m'}\right) = -1$
$\frac{ll'}{mm'} = -1$
$ll' = -mm'$
$ll' + mm' = 0$.

(B) વિકર્ણ $AC$ નો ઢાળ $m_{AC} = \frac{-1-3}{1-(-3)} = \frac{-4}{4} = -1$ છે.
વિકર્ણ $BD$ નો ઢાળ $m_{BD} = \frac{-2-1}{-2-1} = \frac{-3}{-3} = 1$ છે.
ઢાળનો ગુણાકાર $m_{AC} \times m_{BD} = -1 \times 1 = -1$ હોવાથી,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$l_1: 3x + 4y + 9 = 0$ ...$(i)$
$l_2: x - 7y - 22 = 0$ ...(ii)
રેખા $l_1$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{3}{4}$ છે.
રેખા $l_2$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{1}{7}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$
કિંમતો મૂકતા:
$\tan \theta = \left| \frac{-\frac{3}{4} - \frac{1}{7}}{1 + (-\frac{3}{4})(\frac{1}{7})} \right| = 1$
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(C) આપેલી રેખાઓ $2x + 11y - 7 = 0$ અને $x + 3y + 5 = 0$ છે.
આ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = -\frac{2}{11}$ અને $m_2 = -\frac{1}{3}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left|\frac{-\frac{2}{11} - (-\frac{1}{3})}{1 + (-\frac{2}{11})(-\frac{1}{3})}\right| = \left|\frac{-\frac{6}{33} + \frac{11}{33}}{1 + \frac{2}{33}}\right| = \left|\frac{\frac{5}{33}}{\frac{35}{33}}\right| = \frac{5}{35} = \frac{1}{7}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$.

(B) આપેલ રેખાઓ $L_1: x-y=0$ અને $L_2: y=0$ છે.
$L_1$ ને $y=m_1x+c_1$ સાથે સરખાવતા,$m_1 = 1$ મળે છે.
$L_2$ ને $y=m_2x+c_2$ સાથે સરખાવતા,$m_2 = 0$ મળે છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{1 - 0}{1 + (1)(0)} \right| = 1$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(D) આપેલ રેખાઓ $y=3x+1$ (ઢાળ $m_1=3$) અને $2y=x+3$ એટલે કે $y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ (ઢાળ $m_2=\frac{1}{2}$) છે.
ધારો કે ત્રીજી રેખા $y=mx+4$ નો ઢાળ $m$ છે.
રેખાઓ સમાન નતિ ધરાવતી હોવાથી,પ્રથમ અને ત્રીજી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો એ બીજી અને ત્રીજી રેખા વચ્ચેના ખૂણા જેટલો થાય:
$\left|\frac{m_1-m}{1+m_1m}\right| = \left|\frac{m_2-m}{1+m_2m}\right|$
ઢાળની કિંમતો મૂકતા:
$\left|\frac{3-m}{1+3m}\right| = \left|\frac{1-2m}{2+m}\right|$
કિસ્સો $1$: $\frac{3-m}{1+3m} = \frac{1-2m}{2+m} \Rightarrow 5m^2+5=0$ (વાસ્તવિક ઉકેલ નથી).
કિસ્સો $2$: $\frac{3-m}{1+3m} = -\left(\frac{1-2m}{2+m}\right) \Rightarrow 7m^2-2m-7=0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$m = \frac{2 \pm \sqrt{200}}{14} = \frac{1 \pm 5\sqrt{2}}{7}$.

(A) ધારો કે બે રેખાઓ $S_1$ અને $S_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
જ્યારે $S_1$ નું $S_2$ માં પ્રતિબિંબ લેવામાં આવે,ત્યારે પ્રતિબિંબિત રેખા $S_1'$ અને $S_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ થાય છે.
જ્યારે $S_2$ નું $S_1$ માં પ્રતિબિંબ લેવામાં આવે,ત્યારે પ્રતિબિંબિત રેખા $S_2'$ અને $S_1$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ થાય છે.
પ્રતિબિંબિત રેખાઓ $S_1'$ અને $S_2'$ સંપાતી થાય તે માટે,રેખાઓ દ્વારા આવરી લેવાયેલ કુલ ખૂણો $\pi$ રેડિયન હોવો જોઈએ.
ખાસ કરીને,$S_1'$ અને $S_2'$ વચ્ચેનો ખૂણો $3\theta = \pi$ થાય છે.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(A) ધારો કે રેખા $L$ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે નમેલી રેખાઓનો ઢાળ $n$ છે.
રેખા $L$ નો ઢાળ $m=1$ આપેલ છે.
બે રેખાઓના ઢાળ $m$ અને $n$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{n-m}{1+nm} \right|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા,$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{n-1}{1+n} \right| = \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{(n-1)^2}{(n+1)^2} = 3$.
$(n-1)^2 = 3(n+1)^2
$ $\Rightarrow n^2 - 2n + 1 = 3n^2 + 6n + 3
$ $\Rightarrow 2n^2 + 8n + 2 = 0
$ $\Rightarrow n^2 + 4n + 1 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ એ બે રેખાઓના ઢાળ દર્શાવે છે.
ઢાળનો ગુણાકાર એ અચળ પદ અને $n^2$ ના સહગુણકનો ગુણોત્તર છે,જે $\frac{1}{1} = 1$ થાય છે.

(A) ધારો કે રેખા $L$ નો ઢાળ $m$ છે. આપેલી બંને રેખાઓ રેખા $L$ ને લંબ હોવાથી,તેઓ એકબીજાને સમાંતર હોવી જોઈએ.
બંને રેખાઓના ઢાળ અનુક્રમે $m_1$ અને $m_2$ છે.
પ્રથમ રેખા $p(p^2+1)x - y + q = 0$ માટે,ઢાળ $m_1 = p(p^2+1)$.
બીજી રેખા $(p^2+1)^2 x + (p^2+1)y + 2q = 0$ માટે,ઢાળ $m_2 = -\frac{(p^2+1)^2}{(p^2+1)} = -(p^2+1)$.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,$m_1 = m_2$:
$p(p^2+1) = -(p^2+1)$.
કોઈપણ વાસ્તવિક $p$ માટે $(p^2+1) \neq 0$ હોવાથી,આપણે $(p^2+1)$ વડે ભાગી શકીએ:
$p = -1$.
આમ,$p$ ની માત્ર એક જ કિંમત મળે છે.

(A) ધારો કે $(3,2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m_1$ છે અને $x-2y=3$ નો ઢાળ $m_2$ છે.
$m_2 = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$.
$1 = \left| \frac{m_1 - 1/2}{1 + m_1/2} \right| = \left| \frac{2m_1 - 1}{2 + m_1} \right|$.
કિસ્સો $1$: $\frac{2m_1 - 1}{2 + m_1} = 1$ $\Rightarrow 2m_1 - 1 = 2 + m_1$ $\Rightarrow m_1 = 3$.
સમીકરણ $y - 2 = 3(x - 3)$ $\Rightarrow y - 2 = 3x - 9$ $\Rightarrow 3x - y = 7$ છે.
કિસ્સો $2$: $\frac{2m_1 - 1}{2 + m_1} = -1$ $\Rightarrow 2m_1 - 1 = -2 - m_1$ $\Rightarrow 3m_1 = -1$ $\Rightarrow m_1 = -1/3$.
સમીકરણ $y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 3)$ $\Rightarrow 3y - 6 = -x + 3$ $\Rightarrow x + 3y = 9$ છે.
આમ,રેખાઓના સમીકરણો $3x - y = 7$ અને $x + 3y = 9$ છે.

(B) આપેલ રેખા $(2x + 3y + 4) + \lambda(6x - y + 12) = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(2 + 6\lambda)x + (3 - \lambda)y + (4 + 12\lambda) = 0$ મળે.
આ રેખાનો ઢાળ $(m_1)$ $-\frac{2 + 6\lambda}{3 - \lambda}$ છે.
બીજી રેખા $7x + 5y = 2$ છે,જેનો ઢાળ $(m_2)$ $-\frac{7}{5}$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,તેથી $m_1 \times m_2 = -1$.
$(-\frac{2 + 6\lambda}{3 - \lambda}) \times (-\frac{7}{5}) = -1$.
$\frac{14 + 42\lambda}{5(3 - \lambda)} = -1$.
$14 + 42\lambda = -15 + 5\lambda$.
$37\lambda = -29$.
$\lambda = -\frac{29}{37}$.

(C) આપેલ રેખા $2x-y+3=0$ નો ઢાળ $m_1 = 2$ છે.
ધારો કે રેખા $L$ નો ઢાળ $m$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી $\tan 60^{\circ} = |\frac{m-m_1}{1+m m_1}|$.
$\sqrt{3} = |\frac{m-2}{1+2m}|$.
આના બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\frac{m-2}{1+2m} = \sqrt{3} \Rightarrow m = \frac{8+5\sqrt{3}}{-11}$.
કિસ્સો $2$: $\frac{m-2}{1+2m} = -\sqrt{3} \Rightarrow m = \frac{8-5\sqrt{3}}{-11} = \frac{5\sqrt{3}-8}{11}$.
રેખા $L$ એ ધન $X$-અક્ષ સાથે લઘુકોણ બનાવતી હોવાથી,$m > 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં $m = \frac{5\sqrt{3}-8}{11} > 0$ છે.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $y = \frac{5\sqrt{3}-8}{11}(x - 2)$ છે.
$Y$-અંતઃખંડ માટે $x = 0$ લેતા,$y = \frac{5\sqrt{3}-8}{11}(-2) = \frac{16-10\sqrt{3}}{11}$ મળે છે.