Variance and Standard Deviation Questions in Hindi

(D) $n$ प्रेक्षणों का प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 - (\bar{x})^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\bar{x}$ प्रेक्षणों का माध्य है।
दिया गया है कि माध्य $\bar{x} = 5$,प्रसरण $\sigma^2 = 0$,और $\sum_{i=1}^n x_i^2 = 400$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$0 = \frac{1}{n}(400) - (5)^2$
$0 = \frac{400}{n} - 25$
$\frac{400}{n} = 25$
$n = \frac{400}{25} = 16$
अतः,$n$ का मान $16$ है।

(D) विचरण गुणांक $(CV)$ माध्य के चारों ओर डेटा श्रृंखला के डेटा बिंदुओं के फैलाव का एक सांख्यिकीय माप है।
इसे मानक विचलन $\sigma$ और माध्य $\bar{x}$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसे प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है।
सूत्र इस प्रकार है:
$CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$
जहाँ $\bar{x} \neq 0$ है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(D) माना प्रेक्षण $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ हैं। माध्य $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{5} x_i}{5} = 15$,इसलिए $\sum x_i = 75$ है।
दिया गया प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{5} - (\bar{x})^2 = 9$ है।
$\Rightarrow \frac{\sum x_i^2}{5} - 225 = 9$ $\Rightarrow \sum x_i^2 = 5(234) = 1170$ है।
अब,दो नए प्रेक्षण $-5$ और $13$ जोड़े गए हैं। प्रेक्षणों का नया योग $75 - 5 + 13 = 83$ है।
वर्गों का नया योग $1170 + (-5)^2 + (13)^2 = 1170 + 25 + 169 = 1364$ है।
नया माध्य $\bar{x}' = \frac{83}{7}$ है।
नया प्रसरण $\sigma'^2 = \frac{\sum x_i^2 + 25 + 169}{7} - (\bar{x}')^2 = \frac{1364}{7} - (\frac{83}{7})^2$ है।
$\sigma'^2 = \frac{1364 \times 7 - 6889}{49} = \frac{9548 - 6889}{49} = \frac{2659}{49}$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) माना कि पाँच अवलोकन $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ हैं।
दिया गया है कि माध्य $9$ है,इसलिए $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5} = 9$,जिसका अर्थ है $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 = 45$।
चूंकि मानक विचलन $0$ है,इसलिए सभी अवलोकन माध्य के बराबर होने चाहिए। अतः,$x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = x_5 = 9$।
अब,एक अवलोकन $x_5$ को $y$ में बदल दिया जाता है ताकि नया माध्य $10$ हो जाए।
इसलिए,$\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+y}{5} = 10$,जिसका अर्थ है $x_1+x_2+x_3+x_4+y = 50$।
$x_1+x_2+x_3+x_4 = 36$ रखने पर (क्योंकि $x_1=x_2=x_3=x_4=9$),हमें $36+y = 50$ मिलता है,इसलिए $y = 14$।
अवलोकनों का नया समूह ${9, 9, 9, 9, 14}$ है।
नया माध्य $10$ है।
नया मानक विचलन $\sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}} = \sqrt{\frac{(9-10)^2 + (9-10)^2 + (9-10)^2 + (9-10)^2 + (14-10)^2}{5}}$।
$= \sqrt{\frac{(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 + (4)^2}{5}} = \sqrt{\frac{1+1+1+1+16}{5}} = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2$।

(A) दिया गया है कि प्रेक्षणों की संख्या $n = 60$,$\Sigma x_i = 960$,और $\Sigma x_i^2 = 18000$ है।
प्रसरण $\sigma^2$ का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - \left(\frac{\Sigma x_i}{n}\right)^2$ है।
मान रखने पर:
$\sigma^2 = \frac{18000}{60} - \left(\frac{960}{60}\right)^2$.
$\sigma^2 = 300 - (16)^2$.
$\sigma^2 = 300 - 256$.
$\sigma^2 = 44$.

(A) दिए गए अवलोकन $x_i = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 22\}$ हैं।
सबसे पहले,माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{2+3+5+7+11+13+17+22}{8} = \frac{80}{8} = 10$.
इसके बाद,विचलनों के वर्गों का योग $\sum (x_i - \bar{x})^2$ ज्ञात करें:
$(2-10)^2 + (3-10)^2 + (5-10)^2 + (7-10)^2 + (11-10)^2 + (13-10)^2 + (17-10)^2 + (22-10)^2$
$= (-8)^2 + (-7)^2 + (-5)^2 + (-3)^2 + (1)^2 + (3)^2 + (7)^2 + (12)^2$
$= 64 + 49 + 25 + 9 + 1 + 9 + 49 + 144 = 350$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{350}{8} = 43.75$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) सबसे पहले,हम वितरण का माध्य $(\bar{X})$ ज्ञात करते हैं:

$C$.$I$.	$f_i$	मध्य मान $(x_i)$	$f_i x_i$
$75$-$175$	$3$	$125$	$375$
$175$-$275$	$2$	$225$	$450$
$275$-$375$	$1$	$325$	$325$
$375$-$475$	$0$	$425$	$0$
$475$-$575$	$1$	$525$	$525$
$575$-$675$	$2$	$625$	$1250$
$675$-$775$	$3$	$725$	$2175$
कुल	$\sum f_i = 12$	-	$\sum f_i x_i = 5100$

माध्य $\bar{X} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{5100}{12} = 425$ है।
दिया गया प्रसरण $\sigma^2 = 60000$ है,इसलिए मानक विचलन $\sigma = \sqrt{60000} = 100 \sqrt{6}$ होगा।
विचरण गुणांक $(CV)$ का सूत्र: $CV = \frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100$.
$CV = \frac{100 \sqrt{6}}{425} \times 100 = \frac{400 \sqrt{6}}{17}$.

(C) दिया गया है,प्रेक्षणों की संख्या,$n = 10$.
माध्य,$\bar{x} = 50$.
विचलनों के वर्गों का योग,$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = 250$.
प्रसरण (Variance),$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{250}{10} = 25$.
मानक विचलन,$\sigma = \sqrt{25} = 5$.
विचरण गुणांक ($C$.$V$.) का सूत्र: $\text{C.V.} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$.
$\text{C.V.} = \frac{5}{50} \times 100 = 0.1 \times 100 = 10$.

(C) दी गई श्रेणी $9, 15, 21, \ldots, (6n+3)$ है। यह एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 9$ और सार्व अंतर $d = 6$ है।
$n$ पदों वाली समांतर श्रेणी का प्रसरण $\sigma^2 = \frac{(n^2-1)d^2}{12}$ द्वारा दिया जाता है।
$d = 6$ रखने पर,$P = \frac{(n^2-1) \times 6^2}{12} = \frac{(n^2-1) \times 36}{12} = 3(n^2-1)$।
प्रथम $n$ सम संख्याएँ $2, 4, 6, \ldots, 2n$ हैं। यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 2$ और $d = 2$ है।
इन $n$ सम संख्याओं का प्रसरण $\sigma_{even}^2 = \frac{(n^2-1) \times 2^2}{12} = \frac{(n^2-1) \times 4}{12} = \frac{n^2-1}{3}$ होगा।
पहले समीकरण से,$n^2-1 = \frac{P}{3}$।
इस मान को दूसरे प्रसरण में रखने पर,$\sigma_{even}^2 = \frac{1}{3} \times \frac{P}{3} = \frac{P}{9}$ प्राप्त होता है।

(D) $1$. वर्ग अंतराल के मध्य बिंदु $(x_i)$ ज्ञात करें: $1, 3, 5, 7, 9$.
$2$. आवृत्तियाँ $(f_i)$ $2, 3, 5, 3, 2$ हैं। कुल आवृत्ति $N = 15$.
$3$. माध्य $(\bar{x})$ ज्ञात करें: $\bar{x} = \frac{75}{15} = 5$.
$4$. प्रसरण $(\sigma^2)$ ज्ञात करें: $\sigma^2 = \frac{88}{15}$.
$5$. मानक विचलन $(\sigma)$ = $\sqrt{\frac{88}{15}}$.
$6$. विकल्पों के आधार पर,सही उत्तर $D$ है।

(A) माध्य $\bar{x} = \frac{\Sigma x_i}{n} = \frac{1+2+3+5+8+13+17}{7} = \frac{49}{7} = 7$.
वर्गों का योग $\Sigma x_i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 5^2 + 8^2 + 13^2 + 17^2 = 1 + 4 + 9 + 25 + 64 + 169 + 289 = 561$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{561}{7} - (7)^2 = \frac{561}{7} - 49 = \frac{561 - 343}{7} = \frac{218}{7} \approx 31.14$.

(A) प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग $\sum_{i=1}^{n} (2i-1) = n^2$ है।
प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग $\sum_{i=1}^{n} (2i-1)^2 = \sum_{i=1}^{n} (4i^2 - 4i + 1) = 4 \sum i^2 - 4 \sum i + \sum 1$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर: $\sum i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum i = \frac{n(n+1)}{2}$।
योग $= 4 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - 4 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] + n = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3} = \frac{n(4n^2-1)}{3}$।
अतः,कारण $(R)$ सही है।
प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left( \frac{\sum x_i}{n} \right)^2$ है।
$\sigma^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3n} - \left( \frac{n^2}{n} \right)^2 = \frac{4n^2-1}{3} - n^2 = \frac{4n^2-1-3n^2}{3} = \frac{n^2-1}{3}$।
अतः,कथन $(A)$ सही है और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(D) मान लीजिए कि मूल प्रेक्षण $x_i$ हैं और उनका प्रसरण $\sigma^2 = 7$ है।
जब प्रत्येक प्रेक्षण को $y_i = ax + b$ में परिवर्तित किया जाता है,तो नया प्रसरण $\sigma^2(y) = a^2 \sigma^2(x)$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$a = 6$ और $b = -5$ है।
अचर $b$ का प्रसरण पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
अतः,नया प्रसरण $\sigma^2_{new} = 6^2 \times 7 = 36 \times 7 = 252$ होगा।

(B) हमारे पास है,$\text{माध्य} = 6$.
$\frac{8+9+6+5+x+4+6+5}{8} = 6$
$\Rightarrow 43+x = 48$ $\Rightarrow x = 5$.
अतः,डेटा सेट $8, 9, 6, 5, 5, 4, 6, 5$ है।
प्रेक्षणों का योग $\Sigma x_i = 48$ और वर्गों का योग $\Sigma x_i^2 = 64 + 81 + 36 + 25 + 25 + 16 + 36 + 25 = 308$ है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{N} \Sigma x_i^2 - (\bar{x})^2 = \frac{308}{8} - (6)^2 = 38.5 - 36 = 2.5$ है।
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{2.5} \approx 1.58$ है।

(C) प्रसरण ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए मध्य बिंदु $x_i$ की गणना करते हैं और फिर आवश्यक योग ज्ञात करते हैं:

वर्ग अंतराल	$f_i$	$x_i$	$f_i x_i$	$f_i x_i^2$
$0$-$5$	$4$	$2.5$	$10$	$25$
$5$-$10$	$1$	$7.5$	$7.5$	$56.25$
$10$-$15$	$10$	$12.5$	$125$	$1562.5$
$15$-$20$	$3$	$17.5$	$52.5$	$918.75$
$20$-$25$	$2$	$22.5$	$45$	$1012.5$
कुल	$N=20$		$\Sigma f_i x_i = 240$	$\Sigma f_i x_i^2 = 3575$

प्रसरण $\sigma^2$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\sigma^2 = \frac{1}{N} \Sigma f_i x_i^2 - \left(\frac{1}{N} \Sigma f_i x_i\right)^2$
मान रखने पर:
$\sigma^2 = \frac{3575}{20} - \left(\frac{240}{20}\right)^2$
$\sigma^2 = 178.75 - (12)^2$
$\sigma^2 = 178.75 - 144 = 34.75$

(C) माना $x_1, x_2, \ldots, x_n$ का प्रसरण $\sigma^2$ है।
प्रसरण के गुणधर्म के अनुसार,$\text{Var}(ax + b) = a^2 \text{Var}(x)$ होता है।
कथन $(A)$ के लिए,$a = 4$ और $b = 0$ रखने पर,$\text{Var}(4x) = 4^2 \text{Var}(x) = 16 \sigma^2$ प्राप्त होता है। अतः,$(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ के लिए,सही गुणधर्म $\text{Var}(ax + b) = a^2 \text{Var}(x)$ है। दिया गया कथन $\text{Var}(y) = a \text{Var}(x) + b$ गलत है। अतः,$(R)$ असत्य है।

(A) प्रथम $5$ अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{2+3+5+7+11}{5} = \frac{28}{5} = 5.6$.
वर्गों का योग $\Sigma x_i^2 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 11^2 = 4 + 9 + 25 + 49 + 121 = 208$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2} = \sqrt{\frac{208}{5} - (\frac{28}{5})^2} = \sqrt{\frac{1040 - 784}{25}} = \sqrt{\frac{256}{25}} = \frac{16}{5} = 3.2$.
विचरण गुणांक $C.V. = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 = \frac{16/5}{28/5} \times 100 = \frac{16}{28} \times 100 = \frac{4}{7} \times 100 = \frac{400}{7}$.

(B) दिया गया है,\\ विचरण गुणांक $= 7.2$ \\ प्रसरण $\sigma^2 = 3.24$ \\ मानक विचलन $\sigma = \sqrt{3.24} = 1.8$ \\ विचरण गुणांक का सूत्र है: \\ $\text{विचरण गुणांक} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ \\ मान रखने पर: \\ $7.2 = \frac{1.8}{\bar{x}} \times 100$ \\ $\bar{x} = \frac{1.8 \times 100}{7.2} = \frac{180}{7.2} = 25$ \\ अतः,माध्य $25$ है.

(A) दिया गया है,$\sum_{i=1}^{15} x_i^2 = 3600$ और $\sum_{i=1}^{15} x_i = 175$,जहाँ $n = 15$ है।
जब गलत अवलोकन $20$ को सही मान $40$ से बदला जाता है,तो नए योग हैं:
$\sum x_i = 175 - 20 + 40 = 195$
$\sum x_i^2 = 3600 - (20)^2 + (40)^2 = 3600 - 400 + 1600 = 4800$
प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2$ है।
सही मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sigma^2 = \frac{4800}{15} - \left(\frac{195}{15}\right)^2$
$\sigma^2 = 320 - (13)^2$
$\sigma^2 = 320 - 169 = 151$.

(D) दिए गए आंकड़े: $2, 3, 5, 11, 13, 17, 19$,जहाँ $n = 7$ है।
सबसे पहले,माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{2 + 3 + 5 + 11 + 13 + 17 + 19}{7} = \frac{70}{7} = 10$।
हम प्रसरण $(\sigma^2)$ का सूत्र जानते हैं:
$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$।
आंकड़ों के वर्गों का योग ज्ञात करें:
$\sum x_i^2 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 11^2 + 13^2 + 17^2 + 19^2 = 4 + 9 + 25 + 121 + 169 + 289 + 361 = 978$।
अब,मानों को प्रसरण के सूत्र में रखें:
$\sigma^2 = \frac{978}{7} - (10)^2 = 139.714 - 100 = 39.714$।
अतः,प्रसरण लगभग $39.71$ है।

(A) प्रसरण ज्ञात करने के लिए,हम पहले मध्य-मान $(x_i)$ की गणना करते हैं और पद-विचलन विधि का उपयोग करते हैं।
यहाँ,कल्पित माध्य $A = 10$ और वर्ग अंतराल की चौड़ाई $h = 4$ है।
सारणी इस प्रकार है:

वर्ग अंतराल	$x_i$	$f_i$	$d_i = \frac{x_i - A}{h}$	$f_i d_i$	$f_i d_i^2$
$0$-$4$	$2$	$2$	-$2$	-$4$	$8$
$4$-$8$	$6$	$4$	-$1$	-$4$	$4$
$8$-$12$	$10$	$6$	$0$	$0$	$0$
$12$-$16$	$14$	$3$	$1$	$3$	$3$
$16$-$20$	$18$	$1$	$2$	$2$	$4$
कुल		$\Sigma f_i = 16$		$\Sigma f_i d_i = -3$	$\Sigma f_i d_i^2 = 19$

प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = h^2 \left( \frac{\Sigma f_i d_i^2}{\Sigma f_i} - \left( \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i} \right)^2 \right)$ है।
मान रखने पर:
$\sigma^2 = 4^2 \left( \frac{19}{16} - \left( \frac{-3}{16} \right)^2 \right)$
$\sigma^2 = 16 \left( \frac{19}{16} - \frac{9}{256} \right)$
$\sigma^2 = 16 \left( \frac{304 - 9}{256} \right)$
$\sigma^2 = 16 \left( \frac{295}{256} \right) = \frac{295}{16}$.

(B) माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{3(5) + 2(7) + 1(9) + 2(11)}{3+2+1+2} = \frac{15+14+9+22}{8} = \frac{60}{8} = 7.5$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{\sum f_i} - (\bar{x})^2 = \frac{3(25) + 2(49) + 1(81) + 2(121)}{8} - (7.5)^2 = \frac{75+98+81+242}{8} - 56.25 = \frac{496}{8} - 56.25 = 62 - 56.25 = 5.75$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{5.75} = \sqrt{\frac{575}{100}} = \frac{\sqrt{23 \times 25}}{10} = \frac{5\sqrt{23}}{10} = \frac{\sqrt{23}}{2}$.
विचरण गुणांक ($C$.$V$.) $= \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 = \frac{\sqrt{23}/2}{7.5} \times 100 = \frac{\sqrt{23}}{15} \times 100 = \frac{20\sqrt{23}}{3}$.

(D) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का माध्य $\bar{x} = \frac{n+1}{2}$ है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण $\sigma^2 = \frac{n^2-1}{12}$ है।
अतः,मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{n^2-1}{12}}$ है।
विचरण गुणांक $(CV)$ का सूत्र $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ है।
मान रखने पर:
$CV = \frac{\sqrt{\frac{n^2-1}{12}}}{\frac{n+1}{2}} \times 100 = \frac{100}{\sqrt{3}} \sqrt{\frac{n-1}{n+1}}$।

(C) दिया गया है,$n=20$,$\bar{x}=40$,और $\sigma=5$.
वजन का योग $\Sigma x = n \bar{x} = 20 \times 40 = 800$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\Sigma x^2}{n} - (\bar{x})^2 = 25$.
$\frac{\Sigma x^2}{20} - 40^2 = 25$ $\Rightarrow \frac{\Sigma x^2}{20} = 1625$ $\Rightarrow \Sigma x^2 = 32500$.
$43 \ kg$ और $37 \ kg$ वजन वाले दो लड़कों को बाहर करने के बाद:
वजन का नया योग $\Sigma x_{new} = 800 - 43 - 37 = 720$.
लड़कों की नई संख्या $n_{new} = 18$.
नया माध्य $\bar{x}_{new} = \frac{720}{18} = 40$.
वर्गों का नया योग $\Sigma x_{new}^2 = 32500 - (43)^2 - (37)^2 = 32500 - 1849 - 1369 = 29282$.
नया प्रसरण $\sigma_{new}^2 = \frac{\Sigma x_{new}^2}{n_{new}} - (\bar{x}_{new})^2 = \frac{29282}{18} - (40)^2 = 1626.777... - 1600 = 26.777... \approx 26.78$.

(D) किसी मान $B$ की मान $A$ पर प्रतिशत वृद्धि इस सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{B-A}{A} \times 100$.
यहाँ,हमें $D_1$ $(\sigma_1)$ के मानक विचलन की तुलना में $D_2$ $(\sigma_2)$ के मानक विचलन में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करनी है।
अतः,आवश्यक प्रतिशत वृद्धि $\frac{\sigma_2-\sigma_1}{\sigma_1} \times 100$ है।

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण $\sigma^2 = \frac{n^2-1}{12}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम $n$ सम संख्याओं $(2, 4, 6, \dots, 2n)$ के लिए,प्रत्येक पद प्राकृतिक संख्या का $2$ गुना है। अतः,प्रसरण $A = 2^2 \times \frac{n^2-1}{12} = \frac{4(n^2-1)}{12} = \frac{n^2-1}{3}$ है।
प्रथम $n$ विषम संख्याओं $(1, 3, 5, \dots, 2n-1)$ के लिए,ये संख्याएँ प्रथम $n$ सम संख्याओं में से $1$ घटाकर प्राप्त की जाती हैं। चूँकि प्रसरण मूल बिंदु के परिवर्तन से अपरिवर्तित रहता है,इसलिए प्रथम $n$ विषम संख्याओं का प्रसरण $B$,प्रथम $n$ सम संख्याओं के प्रसरण के समान ही होता है।
अतः,$A = B$.

(C) दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी है: $a, a+d, a+2d, \ldots, a+2nd$.
पदों की संख्या $m$ के लिए,$a+(m-1)d = a+2nd$,जिससे $m-1 = 2n$,अर्थात $m = 2n+1$.
$m$ पदों और सार्व अंतर $d$ वाली समांतर श्रेणी का मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{m^2-1}{12}} |d|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$m = 2n+1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sigma = \sqrt{\frac{(2n+1)^2-1}{12}} |d|$
$\sigma = \sqrt{\frac{4n^2+4n+1-1}{12}} |d|$
$\sigma = \sqrt{\frac{4n(n+1)}{12}} |d|$
$\sigma = \sqrt{\frac{n(n+1)}{3}} |d|$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया है कि माध्य समान है,मान लीजिए $\bar{X}_A = \bar{X}_B = \bar{X}$।
विचरण गुणांक $(CV)$ का सूत्र $CV = \frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100$ है।
टीम $A$ के लिए,$CV_A = \frac{\sigma_A}{\bar{X}} \times 100 = 4$।
टीम $B$ के लिए,$CV_B = \frac{\sigma_B}{\bar{X}} \times 100 = 2$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{CV_A}{CV_B} = \frac{\sigma_A / \bar{X}}{\sigma_B / \bar{X}} = \frac{4}{2}$।
$\frac{\sigma_A}{\sigma_B} = 2$।
अतः,$\sigma_A = 2 \sigma_B$।

(C) माना कि चार प्रेक्षण $x_1, x_2, x_3$ और $x_4$ हैं।
दिया गया है,माध्य $(\bar{x}) = 3$ और वर्गों का योग $\Sigma x_i^2 = 48$ है।
प्रेक्षणों की संख्या $n = 4$ है।
मानक विचलन $(SD)$ का सूत्र है:
$SD = \sqrt{\frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2}$
मान रखने पर:
$SD = \sqrt{\frac{48}{4} - (3)^2}$
$SD = \sqrt{12 - 9}$
$SD = \sqrt{3}$

(D) $3$ के गुणज वाली प्रथम $10$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं: $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30$।
माध्य $\mu$ की गणना इस प्रकार है: $\mu = \frac{3+6+9+12+15+18+21+24+27+30}{10} = \frac{165}{10} = 16.5$।
प्रसरण $\sigma^2$ का सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2$ है।
विचलन के वर्गों का योग: $\sum (x_i - 16.5)^2 = (3-16.5)^2 + (6-16.5)^2 + \dots + (30-16.5)^2 = 182.25 + 110.25 + 56.25 + 20.25 + 2.25 + 2.25 + 20.25 + 56.25 + 110.25 + 182.25 = 742.5$।
अतः,$\sigma^2 = \frac{742.5}{10} = 74.25$।

(B) प्रसरण ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक वर्ग के लिए मध्य मान $(x_i)$ निकालते हैं और फिर $\Sigma f_i x_i$ और $\Sigma f_i x_i^2$ की गणना करते हैं।
यहाँ,$N = \Sigma f_i = 70$ और $\Sigma f_i x_i = 1470$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{N} = \frac{1470}{70} = 21$ है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{N} \Sigma f_i x_i^2 - (\bar{x})^2$ है।
$\sigma^2 = \frac{42150}{70} - (21)^2$ है।
$\sigma^2 = 602.14 - 441 = 161.14$ है।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,प्रसरण $161.1$ है।

(B) सबसे पहले,प्रत्येक अंतराल के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात करें:
$0-4: x_1 = 2$
$4-8: x_2 = 6$
$8-12: x_3 = 10$
$12-16: x_4 = 14$
गणना तालिका:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{वर्ग} & f_i & x_i & f_i x_i & f_i x_i^2 \\ \hline 0-4 & 2 & 2 & 4 & 8 \\ \hline 4-8 & 3 & 6 & 18 & 108 \\ \hline 8-12 & 2 & 10 & 20 & 200 \\ \hline 12-16 & 1 & 14 & 14 & 196 \\ \hline \text{कुल} & 8 & & 56 & 512 \\ \hline\end{array}$
माध्य $(\bar{x})$ = $\frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{56}{8} = 7$
प्रसरण $(\sigma^2)$ = $\frac{\Sigma f_i x_i^2}{\Sigma f_i} - (\bar{x})^2$
$= \frac{512}{8} - (7)^2$
$= 64 - 49 = 15$

(A) प्रसरण ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए मध्य-बिंदु $(x_i)$ की गणना करते हैं और फिर आवश्यक योग प्राप्त करते हैं:

वर्ग अंतराल	$f_i$	$x_i$	$f_i x_i$	$f_i x_i^2$
$0-6$	$10$	$3$	$30$	$90$
$6-12$	$8$	$9$	$72$	$648$
$12-18$	$6$	$15$	$90$	$1350$
$18-24$	$4$	$21$	$84$	$1764$
$24-30$	$2$	$27$	$54$	$1458$
कुल	$N = 30$	-	$\Sigma f_i x_i = 330$	$\Sigma f_i x_i^2 = 5310$

प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{N} \Sigma f_i x_i^2 - \left(\frac{\Sigma f_i x_i}{N}\right)^2$ है।
मान रखने पर:
$\sigma^2 = \frac{5310}{30} - \left(\frac{330}{30}\right)^2$
$\sigma^2 = 177 - (11)^2$
$\sigma^2 = 177 - 121 = 56$.

(C) दिए गए मानक विचलन $\sigma_x = 5$ और $\sigma_y = 6$ हैं,जहाँ $n = 100$ अवलोकन हैं।
$\sum_{i=1}^{100}(x_i-\bar{x})^2 = n \sigma_x^2 = 100 \times 25 = 2500$.
$\sum_{i=1}^{100}(y_i-\bar{y})^2 = n \sigma_y^2 = 100 \times 36 = 3600$.
दिया गया है कि $\sum_{i=1}^{100}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = 600$.
मान लीजिए $z_i = x_i - y_i$. तो $\bar{z} = \bar{x} - \bar{y}$.
$Z$ का प्रसरण $\sigma_z^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{100}(z_i - \bar{z})^2$ है।
$\sigma_z^2 = \frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100}((x_i - y_i) - (\bar{x} - \bar{y}))^2 = \frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100}((x_i - \bar{x}) - (y_i - \bar{y}))^2$.
वर्ग का विस्तार करने पर: $\sigma_z^2 = \frac{1}{100} [\sum(x_i - \bar{x})^2 + \sum(y_i - \bar{y})^2 - 2 \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})]$.
$\sigma_z^2 = \frac{1}{100} [2500 + 3600 - 2(600)] = \frac{1}{100} [6100 - 1200] = \frac{4900}{100} = 49$.
अतः,$\sigma_z = \sqrt{49} = 7$.

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम $2k$ प्राकृतिक संख्याओं के लिए,$S_1 = \frac{(2k)^2 - 1}{12} = \frac{4k^2 - 1}{12}$।
प्रथम $k$ प्राकृतिक संख्याओं के लिए,$S_2 = \frac{k^2 - 1}{12}$।
अतः,अनुपात $\frac{S_1}{S_2} = \frac{4k^2 - 1}{k^2 - 1} = \frac{4(k^2 - 1) + 3}{k^2 - 1} = 4 + \frac{3}{k^2 - 1}$।
चूंकि $k > 1$,$k^2 - 1 > 0$। जैसे $k \to 1^+$,$\frac{3}{k^2 - 1} \to \infty$,और जैसे $k \to \infty$,$\frac{3}{k^2 - 1} \to 0$।
अतः,$4 + \frac{3}{k^2 - 1} \in (4, \infty)$।

(C) माना कुल अवलोकनों की संख्या $n$ है।
दिया गया है कि $\frac{n}{4}$ अवलोकन $a$ हैं,$\frac{n}{4}$ अवलोकन $-a$ हैं,$\frac{n}{4}$ अवलोकन $b$ हैं,और $\frac{n}{4}$ अवलोकन $-b$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{\frac{n}{4}(a - a + b - b)}{n} = 0$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $ab = \frac{\frac{n}{4}(a^2 + (-a)^2 + b^2 + (-b)^2)}{n} - 0$.
$ab = \frac{a^2 + a^2 + b^2 + b^2}{4} = \frac{2a^2 + 2b^2}{4} = \frac{a^2 + b^2}{2}$.
$2ab = a^2 + b^2 \Rightarrow a^2 + b^2 - 2ab = 0$.
$(a - b)^2 = 0 \Rightarrow a = b$.

(C) चरण $1$: माध्य $(\bar{x})$ ज्ञात करें।
$\bar{x} = \frac{3+4+5+6+7+8+10+13}{8} = \frac{56}{8} = 7$.
चरण $2$: माध्य से विचलनों के वर्ग $(x_i - \bar{x})^2$ ज्ञात करें।
$(3-7)^2 = 16, (4-7)^2 = 9, (5-7)^2 = 4, (6-7)^2 = 1, (7-7)^2 = 0, (8-7)^2 = 1, (10-7)^2 = 9, (13-7)^2 = 36$.
चरण $3$: प्रसरण $(\sigma^2)$ ज्ञात करें।
$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{16+9+4+1+0+1+9+36}{8} = \frac{76}{8} = 9.5$.

(D) हम जानते हैं कि किसी भी स्थिरांक $a$ और $b$ के लिए,मानक विचलन (standard deviation) का गुणधर्म $\sigma(a + bX) = |b| \sigma(X)$ होता है।
दिया गया है कि $\sigma(X) = 2.6$ है।
हमें $\sigma(1 - 4X)$ ज्ञात करना है।
यहाँ,$a = 1$ और $b = -4$ है।
गुणधर्म लागू करने पर: $\sigma(1 - 4X) = |-4| \sigma(X)$।
$\sigma(1 - 4X) = 4 \times 2.6$।
$\sigma(1 - 4X) = 10.4$।

(C) माना प्रेक्षण $x_{i} = a_{i}$ हैं,जहाँ $i = 1, 2, \ldots, n$ है। मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^2}$ है।
नए प्रेक्षण $y_{i} = \lambda a_{i} = \lambda x_{i}$ हैं।
नए प्रेक्षणों का माध्य $\bar{y} = \lambda \bar{x}$ है।
नए प्रेक्षणों का मानक विचलन $\sigma_{y} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_{i} - \bar{y})^2} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (\lambda x_{i} - \lambda \bar{x})^2} = \sqrt{\lambda^2 \cdot \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^2} = |\lambda| \sigma$.

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$ होता है।
यहाँ $n = 20$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$\sigma^2 = \frac{20^2 - 1}{12}$
$= \frac{400 - 1}{12}$
$= \frac{399}{12}$
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{133}{4}$.

(D) $X$ का माध्य $\bar{x} = \frac{1+19}{2} = 10$ है।
$X$ का प्रसरण $\sigma_x^2 = \frac{n^2-1}{12} = \frac{19^2-1}{12} = \frac{360}{12} = 30$ है।
दिया गया है $Y = aX + b$,इसलिए $Y$ का माध्य $\bar{y} = a\bar{x} + b = 10a + b = 30$ है।
$Y$ का प्रसरण $\sigma_y^2 = a^2 \sigma_x^2 = a^2(30) = 750$ है।
अतः,$a^2 = 25$,जिसका अर्थ है $a = 5$ या $a = -5$ है।
यदि $a = 5$ है,तो $10(5) + b = 30 \Rightarrow b = -20$ है।
यदि $a = -5$ है,तो $10(-5) + b = 30 \Rightarrow b = 80$ है।
$b$ के सभी संभावित मानों का योग $-20 + 80 = 60$ है।

(D) माना $\sum x_i^2 = S_2$ और $\sum x_i = S_1$ है।
दिए गए समीकरणों का विस्तार करने पर:
$S_2 + 4S_1 + 40 = 180 \implies S_2 + 4S_1 = 140$
$S_2 - 2S_1 + 10 = 90 \implies S_2 - 2S_1 = 80$
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(S_2 + 4S_1) - (S_2 - 2S_1) = 140 - 80 \implies 6S_1 = 60 \implies S_1 = 10$।
$S_1 = 10$ को $S_2 - 2S_1 = 80$ में रखने पर: $S_2 - 20 = 80 \implies S_2 = 100$।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{S_2}{n} - (\frac{S_1}{n})^2 = \frac{100}{10} - (\frac{10}{10})^2 = 10 - 1 = 9$।
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{9} = 3$।

(B) माना $S_1 = \sum_{i=1}^{20} (x_i + 5)^2 = \sum x_i^2 + 10\sum x_i + 500 = 2500$.
माना $S_2 = \sum_{i=1}^{20} (x_i - 5)^2 = \sum x_i^2 - 10\sum x_i + 500 = 100$.
$S_1$ में से $S_2$ घटाने पर: $20\sum x_i = 2400 \Rightarrow \sum x_i = 120$.
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{120}{20} = 6$.
$S_1$ और $S_2$ को जोड़ने पर: $2\sum x_i^2 + 1000 = 2600 \Rightarrow 2\sum x_i^2 = 1600 \Rightarrow \sum x_i^2 = 800$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{800}{20} - 6^2 = 40 - 36 = 4$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{4} = 2$.
माध्य और मानक विचलन का अनुपात $\frac{\bar{x}}{\sigma} = \frac{6}{2} = 3:1$ है।