श्रेणी 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + dots के n | vedclass

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Question

(D) श्रेणी का $n$ वाँ पद $T_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$ है।$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k +

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$\frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}$

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(D) श्रेणी का $n$ वाँ पद $T_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$ है।$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k + 1)}{2}$ है।$S_n = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k \right)$.मानक योग सूत्रों $\sum k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ और $\sum k = \frac{n(n + 1)}{2}$ का उपयोग करने पर:$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n + 1)}{2} \right)$.$S_n = \frac{n(n + 1)}{4} \left( \frac{2n + 1}{3} + 1 \right) = \frac{n(n + 1)}{4} \left( \frac{2n + 4}{3} \right)$.$S_n = \frac{n(n + 1) \cdot 2(n + 2)}{12} = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}$.

श्रेणी $1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + \dots$ के $n$ पदों का योग क्या होगा?

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यदि $\alpha_r$ और $\beta_r$ (जहाँ $\alpha_r < \beta_r$) द्विघात समीकरण $x^2 - r^2(r + 1)x + r^5 = 0$ के मूल हैं,तो $\sum_{r=1}^{n} (3\alpha_r + 2\beta_r)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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