nth term of special series, Sum to n terms and Infinite number of terms Questions in Hindi

(A) $n$ वें समूह में $n$ पद हैं जो एक समांतर श्रेणी में हैं और जिनका सार्व अंतर $1$ है।
$n$ वें समूह का प्रथम पद $T_n$,पिछले $(n-1)$ समूहों में पदों की कुल संख्या प्लस $1$ है।
प्रथम $(n-1)$ समूहों में पदों की संख्या $1 + 2 + 3 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$ है।
अतः,$n$ वें समूह का प्रथम पद $T_n = \frac{n(n-1)}{2} + 1 = \frac{n^2 - n + 2}{2}$ है।
$n$ वें समूह के $n$ पदों का योग समांतर श्रेणी के योग सूत्र द्वारा दिया जाता है: $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$,जहाँ $a = T_n$ और $d = 1$ है।
$S_n = \frac{n}{2} [2(\frac{n^2 - n + 2}{2}) + (n-1)(1)]$
$S_n = \frac{n}{2} [n^2 - n + 2 + n - 1]$
$S_n = \frac{n}{2} [n^2 + 1] = \frac{1}{2} [n(n^2 + 1)]$.

(B) माना श्रेणी $S_n = 1 + 6 + 13 + 22 + 33 + \dots + T_n$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर $5, 7, 9, 11, \dots$ है,जो एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाता है।
माना $T_n = an^2 + bn + c$ है।
$n=1$ के लिए,$T_1 = a + b + c = 1$।
$n=2$ के लिए,$T_2 = 4a + 2b + c = 6$।
$n=3$ के लिए,$T_3 = 9a + 3b + c = 13$।
समीकरणों को घटाने पर:
$(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 6 - 1 \implies 3a + b = 5$।
$(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 13 - 6 \implies 5a + b = 7$।
इन परिणामों को घटाने पर: $(5a + b) - (3a + b) = 7 - 5 \implies 2a = 2 \implies a = 1$।
$3a + b = 5$ में $a=1$ रखने पर,$3(1) + b = 5 \implies b = 2$।
$a + b + c = 1$ में $a=1, b=2$ रखने पर,$1 + 2 + c = 1 \implies c = -2$।
अतः,$T_n = n^2 + 2n - 2$।
अब,$S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (k^2 + 2k - 2) = \sum k^2 + 2\sum k - \sum 2$।
$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 2n$।
$S_n = \frac{n(2n^2 + 3n + 1) + 6n(n+1) - 12n}{6} = \frac{n(2n^2 + 3n + 1 + 6n + 6 - 12)}{6} = \frac{n(2n^2 + 9n - 5)}{6}$।

(A) दी गई श्रेणी $S_n = 1^2 + 2 \cdot 2^2 + 3^2 + 2 \cdot 4^2 + 5^2 + 2 \cdot 6^2 + \dots + T_n$ है।
जब $n$ सम है,तो योग $S_n = \frac{n(n+1)^2}{2}$ है।
जब $n$ विषम है,तो $(n-1)$ वां पद सम होगा।
अतः,$S_n = S_{n-1} + T_n$।
चूंकि $n-1$ सम है,$S_{n-1} = \frac{(n-1)((n-1)+1)^2}{2} = \frac{(n-1)n^2}{2}$।
विषम $n$ के लिए $n$-वां पद $T_n = n^2$ है।
इसलिए,$S_n = \frac{(n-1)n^2}{2} + n^2 = \frac{n^2(n-1+2)}{2} = \frac{n^2(n+1)}{2}$।

(D) अनुक्रम का $n$-वां पद $T_n = (2n - 1)(2n + 1)(2n + 3)$ है।
इसका विस्तार करने पर,$T_n = (4n^2 - 1)(2n + 3) = 8n^3 + 12n^2 - 2n - 3$ प्राप्त होता है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = 8\sum k^3 + 12\sum k^2 - 2\sum k - \sum 3$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$S_n = 8 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 + 12 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - 2 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] - 3n$.
$S_n = 2n^4 + 8n^3 + 7n^2 - 2n$.
समांतर माध्य $\frac{S_n}{n} = \frac{2n^4 + 8n^3 + 7n^2 - 2n}{n} = 2n^3 + 8n^2 + 7n - 2$ है।

(A) माना योग $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{6}{3^2} + \frac{10}{3^3} + \frac{14}{3^4} + \dots$ $(1)$
$\frac{1}{3}$ से गुणा करने पर: $\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{6}{3^3} + \frac{10}{3^4} + \dots$ $(2)$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:
$S - \frac{1}{3}S = 1 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) + (\frac{6}{3^2} - \frac{2}{3^2}) + (\frac{10}{3^3} - \frac{6}{3^3}) + (\frac{14}{3^4} - \frac{10}{3^4}) + \dots$
$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{4}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \dots$
$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + [\frac{4}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \dots]$
कोष्ठक में दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जहाँ $a = \frac{4}{9}$ और $r = \frac{1}{3}$ है।
योग $= \frac{a}{1-r} = \frac{4/9}{1 - 1/3} = \frac{4/9}{2/3} = \frac{2}{3}$.
अतः,$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 + 1 = 2$.
$S = 2 \times \frac{3}{2} = 3$.

(C) माना $S_{20} = 0.7 + 0.77 + 0.777 + \dots$ $20$ पदों तक।
$S_{20} = 7[0.1 + 0.11 + 0.111 + \dots \text{ } 20 \text{ पदों तक}]$।
$9$ से गुणा और भाग करने पर:
$S_{20} = \frac{7}{9}[0.9 + 0.99 + 0.999 + \dots \text{ } 20 \text{ पदों तक}]$।
$S_{20} = \frac{7}{9}[(1 - 10^{-1}) + (1 - 10^{-2}) + (1 - 10^{-3}) + \dots + (1 - 10^{-20})]$।
$S_{20} = \frac{7}{9}[20 - (10^{-1} + 10^{-2} + \dots + 10^{-20})]$।
कोष्ठक के अंदर गुणोत्तर श्रेणी का योग $\frac{0.1(1 - 10^{-20})}{0.9} = \frac{1}{9}(1 - 10^{-20})$ है।
$S_{20} = \frac{7}{9}[20 - \frac{1}{9}(1 - 10^{-20})] = \frac{7}{9}[\frac{180 - 1 + 10^{-20}}{9}] = \frac{7}{81}(179 + 10^{-20})$।

(C) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{\sum_{k=1}^n k^3}{\sum_{k=1}^n (2k-1)}$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि $\sum_{k=1}^n k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$ और प्रथम $n$ विषम संख्याओं का योग $\sum_{k=1}^n (2k-1) = n^2$ है।
अतः,$T_n = \frac{\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2}{n^2} = \frac{n^2(n+1)^2}{4n^2} = \frac{(n+1)^2}{4}$.
हमें प्रथम $9$ पदों का योग ज्ञात करना है,$S_9 = \sum_{n=1}^9 T_n = \sum_{n=1}^9 \frac{(n+1)^2}{4}$.
$S_9 = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^9 (n+1)^2 = \frac{1}{4} (2^2 + 3^2 + \dots + 10^2)$.
$1^2$ जोड़ने और घटाने पर,हमें प्राप्त होता है $S_9 = \frac{1}{4} \left[ \sum_{k=1}^{10} k^2 - 1^2 \right]$.
सूत्र $\sum_{k=1}^m k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए,$m=10$ के लिए:
$S_9 = \frac{1}{4} \left[ \frac{10(11)(21)}{6} - 1 \right] = \frac{1}{4} [385 - 1] = \frac{384}{4} = 96$.

(D) श्रेणी $S = \left(\frac{8}{5}\right)^2 + \left(\frac{12}{5}\right)^2 + \left(\frac{16}{5}\right)^2 + \left(\frac{20}{5}\right)^2 + \dots$ $10$ पदों तक है।
इसे $S = \frac{1}{25} \sum_{n=1}^{10} (4(n+1))^2 = \frac{16}{25} \sum_{n=1}^{10} (n+1)^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $k = n+1$,तो योग $\frac{16}{25} \sum_{k=2}^{11} k^2$ होगा।
सूत्र $\sum_{k=1}^{N} k^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=1}^{11} k^2 = \frac{11(12)(23)}{6} = 506$।
चूंकि योग $k=2$ से शुरू होता है,$1^2 = 1$ घटाने पर: $506 - 1 = 505$।
अतः,$S = \frac{16}{25} \times 505 = \frac{16 \times 101}{5} = \frac{16}{5} \times 101$।
दिया गया है कि $S = \frac{16}{5}m$,इसलिए $m = 101$।

(A) श्रेणी का $n$-वाँ पद $a_n = n^2$ यदि $n$ विषम है,और $a_n = 2n^2$ यदि $n$ सम है।
$B - 2A = \sum_{n=1}^{40} a_n - 2\sum_{n=1}^{20} a_n = \sum_{n=21}^{40} a_n - \sum_{n=1}^{20} a_n$.
$k=1$ से $20$ तक गणना करने पर,$B - 2A = 24800$ प्राप्त होता है।
अतः $100\lambda = 24800$,जिसका अर्थ है $\lambda = 248$.

(C) दी गई श्रेणी $S = 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \dots \infty$ है।
हम पदों को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:
$S = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots \infty) + (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots \infty)$.
दोनों भाग अनंत गुणोत्तर श्रेणी हैं,जिसका सूत्र $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ है।
पहली श्रेणी के लिए,$a = 1$ और $r = 1/2$,इसलिए $S_1 = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$.
दूसरी श्रेणी के लिए,$a = 1$ और $r = 1/3$,इसलिए $S_2 = \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{1}{2/3} = 3/2$.
अतः,कुल योग $S = S_1 + S_2 = 2 + 3/2 = 7/2$ है।

(D) $k^{th}$ पंक्ति में पदों की संख्या $2k$ है।
प्रथम $(n-1)$ पंक्तियों में कुल पदों की संख्या $2 + 4 + 6 + \dots + 2(n-1) = n^2 - n$ है।
$n^{th}$ पंक्ति का प्रथम पद $(n^2 - n + 1)^{th}$ विषम संख्या है।
$m^{th}$ विषम संख्या $2m - 1$ है।
अतः,$n^{th}$ पंक्ति का प्रथम पद $a = 2(n^2 - n + 1) - 1 = 2n^2 - 2n + 1$ है।
$n^{th}$ पंक्ति $2n$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है,जिसका प्रथम पद $a = 2n^2 - 2n + 1$ और सार्व अंतर $d = 2$ है।
$n^{th}$ पंक्ति का योग $S_n = \frac{2n}{2} [2a + (2n - 1)d] = n [2(2n^2 - 2n + 1) + (2n - 1)2] = 4n^3$ है।

(A) माना $T_k$ श्रेणी का $k$-वां पद है,तो $T_k = 3k(k + 1) = 3k^2 + 3k$.
यदि $S_n$ प्रथम $n$ पदों का योग दर्शाता है,तो $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (3k^2 + 3k)$.
$S_n = 3 \sum_{k=1}^n k^2 + 3 \sum_{k=1}^n k$.
मानक योग सूत्रों $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S_n = 3 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] + 3 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]$.
$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{3n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2} [ (2n+1) + 3 ]$.
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} [ 2n + 4 ] = \frac{n(n+1)}{2} \cdot 2(n + 2) = n(n+1)(n+2)$.

(A) माना $S = 0.1 + 0.01 + 0.001 + \dots$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 0.1$ और सार्व अनुपात $r = 0.1$ है।
योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{0.1}{1-0.1} = \frac{0.1}{0.9} = \frac{1}{9}$ है।
अब,व्यंजक $(0.05)^{\log_{\sqrt{20}}(1/9)}$ है।
ध्यान दें कि $0.05 = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$ है।
साथ ही,$\sqrt{20} = 20^{1/2}$ है।
गुणधर्म $\log_{a^n}(b) = \frac{1}{n} \log_a(b)$ का उपयोग करते हुए,$\log_{20^{1/2}}(1/9) = \frac{1}{1/2} \log_{20}(1/9) = 2 \log_{20}(1/9) = \log_{20}(1/9)^2 = \log_{20}(1/81)$ है।
अतः,व्यंजक $(1/20)^{\log_{20}(1/81)}$ हो जाता है।
गुणधर्म $a^{\log_a(x)} = x$ का उपयोग करते हुए,$(1/20)^{\log_{20}(1/81)}$ को $(20^{-1})^{\log_{20}(1/81)} = (20^{\log_{20}(1/81)})^{-1} = (1/81)^{-1} = 81$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) दिया गया व्यंजक $n$-वें फिबोनाची संख्या के लिए बिनेट का सूत्र है,जहाँ $u_n = F_n$ है।
माना $\alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ और $\beta = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ है।
तब $u_n = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}$ है।
हम जानते हैं कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^2 - x - 1 = 0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha^2 = \alpha + 1$ और $\beta^2 = \beta + 1$ है।
$n \ge 1$ के लिए,$u_{n+1} = \frac{\alpha^{n+1} - \beta^{n+1}}{\sqrt{5}}$ है।
$u_n + u_{n-1} = \frac{1}{\sqrt{5}} [(\alpha^n - \beta^n) + (\alpha^{n-1} - \beta^{n-1})] = \frac{1}{\sqrt{5}} [\alpha^{n-1}(\alpha + 1) - \beta^{n-1}(\beta + 1)]$ है।
चूंकि $\alpha + 1 = \alpha^2$ और $\beta + 1 = \beta^2$ है,हमें $u_n + u_{n-1} = \frac{\alpha^{n+1} - \beta^{n+1}}{\sqrt{5}} = u_{n+1}$ प्राप्त होता है।
अतः,पुनरावृत्ति संबंध $u_{n+1} = u_n + u_{n-1}$ है।

(B) दिया गया समीकरण $\sum_{r=1}^{n}r^3 - \sum_{p=1}^{n}\sum_{m=1}^{p}\sum_{r=1}^{m}1 = 80$ है।
हम जानते हैं कि $\sum_{r=1}^{n}r^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$.
त्रिपद योग: $\sum_{p=1}^{n}\sum_{m=1}^{p}\sum_{r=1}^{m}1 = \sum_{p=1}^{n}\sum_{m=1}^{p} m = \sum_{p=1}^{n} \frac{p(p+1)}{2} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$.
अतः,$\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{6} = 80$.
$n=4$ रखने पर: $10^2 - 20 = 80$.
अतः,$n=4$ सही मान है।

(B) हमें दिया गया है: $\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^i {\sum\limits_{k = 1}^j 1 } } = 560$.
सबसे पहले,आंतरिक योग का मूल्यांकन करने पर: $\sum\limits_{k = 1}^j 1 = j$.
अब व्यंजक इस प्रकार है: $\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^i j } = 560$.
इसके बाद,मध्य योग का मूल्यांकन करने पर: $\sum\limits_{j = 1}^i j = \frac{i(i+1)}{2}$.
अब व्यंजक इस प्रकार है: $\sum\limits_{i = 1}^n \frac{i(i+1)}{2} = 560$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{1}{2} \left[ \sum\limits_{i=1}^n i^2 + \sum\limits_{i=1}^n i \right] = 560$.
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर: $\frac{1}{2} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right] = 560$.
सरल करने पर हमें प्राप्त होता है: $\frac{n(n+1)(n+2)}{6} = 560$.
अतः,$n(n+1)(n+2) = 3360$.
तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल $3360$ है,जहाँ $14 \times 15 \times 16 = 3360$ है।
अतः,$n = 14$.

(B) माना $S = \sum\limits_{n = 1}^\infty \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} \frac{k}{2^{n+k}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{1}{2^n} \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} \frac{k}{2^k}$.
हम जानते हैं कि $\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} k x^k = \frac{x(1 - nx^{n-1} + (n-1)x^n)}{(1-x)^2}$.
$x = \frac{1}{2}$ के लिए,$\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} \frac{k}{2^k} = 2 - \frac{n+1}{2^{n-1}}$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$S = \sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{1}{2^n} (2 - \frac{n+1}{2^{n-1}}) = \sum\limits_{n = 1}^\infty (\frac{1}{2^{n-1}} - \frac{n+1}{2^{2n-1}})$.
$S = 2 - 2 \sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{n+1}{4^n} = 2 - 2(\frac{7}{9}) = \frac{4}{9}$.

(A) माना $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)^2}{7^n} = \frac{1^2}{7^0} + \frac{2^2}{7^1} + \frac{3^2}{7^2} + \frac{4^2}{7^3} + \dots$
$\frac{1}{7}$ से गुणा करने पर:
$\frac{S}{7} = \frac{1^2}{7^1} + \frac{2^2}{7^2} + \frac{3^2}{7^3} + \dots$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$S - \frac{S}{7} = 1 + \frac{2^2 - 1^2}{7^1} + \frac{3^2 - 2^2}{7^2} + \frac{4^2 - 3^2}{7^3} + \dots$
$\frac{6S}{7} = 1 + \frac{3}{7} + \frac{5}{7^2} + \frac{7}{7^3} + \dots$
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है। माना $T = 1 + \frac{3}{7} + \frac{5}{7^2} + \frac{7}{7^3} + \dots$
$\frac{T}{7} = \frac{1}{7} + \frac{3}{7^2} + \frac{5}{7^3} + \dots$
घटाने पर:
$T - \frac{T}{7} = 1 + \frac{2}{7} + \frac{2}{7^2} + \frac{2}{7^3} + \dots$
$\frac{6T}{7} = 1 + \frac{2/7}{1 - 1/7} = 1 + \frac{2/7}{6/7} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
$T = \frac{4}{3} \times \frac{7}{6} = \frac{14}{9}$
अतः,$\frac{6S}{7} = \frac{14}{9} \Rightarrow S = \frac{14}{9} \times \frac{7}{6} = \frac{49}{27}$.

(D) माना $n = 2015$ है। श्रेणी का सामान्य पद $T_k = k(n - k + 1)$ है,जहाँ $k = 1, 2, \dots, n$ है।
हमें योग $S = \sum_{k=1}^{n} k(n - k + 1) = \sum_{k=1}^{n} (k(n+1) - k^2)$ ज्ञात करना है।
योग के सूत्रों $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$S = (n+1) \frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$ प्राप्त होता है।
$n = 2015$ रखने पर:
$S = \frac{2015 \times 2016 \times 2017}{6} = 2015 \times 336 \times 2017$ प्राप्त होता है।
अतः,दिए गए विकल्पों में से कोई भी सही नहीं है।

(A) दी गई श्रेणी $S = \frac{1}{9} + \frac{1}{18} + \frac{1}{30} + \frac{1}{45} + \frac{1}{63} + \dots \infty$ है।
सामान्य पद $T_n = \frac{2}{3n(n+1)}$ है,जहाँ $n=2, 3, 4, \dots$ है।
अतः $S = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{3} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = \frac{2}{3} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3}$.

(D) क्रमिक समूहों में पदों की संख्या $1, 2, 3, \dots, n$ है। अतः,$n^{th}$ समूह में $d = 2$ के सार्व अंतर वाली समांतर श्रेणी के $n$ पद हैं।
सबसे पहले,$n^{th}$ समूह का प्रथम पद ज्ञात करते हैं। प्रथम पदों का अनुक्रम $1, 3, 7, 13, \dots$ है। क्रमिक पदों के बीच का अंतर $2, 4, 6, \dots$ है,जो एक समांतर श्रेणी बनाता है।
माना $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k) = 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 1 + n^2 - n = n^2 - n + 1$.
$n^{th}$ समूह $n$ पदों,प्रथम पद $a = n^2 - n + 1$ और सार्व अंतर $d = 2$ वाली एक समांतर श्रेणी है।
$n^{th}$ समूह का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर: $S_n = \frac{n}{2} [2(n^2 - n + 1) + (n - 1)2] = \frac{n}{2} [2n^2 - 2n + 2 + 2n - 2] = \frac{n}{2} [2n^2] = n^3$.

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - r^2(r + 1)x + r^5 = 0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha_r + \beta_r = r^2(r + 1) = r^3 + r^2$ और मूलों का गुणनफल $\alpha_r \beta_r = r^5$ है।
अतः मूल $\alpha_r = r^2$ और $\beta_r = r^3$ हैं।
हमें $S = \sum_{r=1}^{n} (3r^2 + 2r^3)$ का मान ज्ञात करना है।
मानक सूत्रों का उपयोग करने पर: $S = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{n(n+1)(n^2 + 3n + 1)}{2}$.

(B) दिया गया है $x_n = \frac{2n^2 + n + 1}{2n^2 - 3n + 2}$.
गुणनफल $\prod_{i=1}^r x_i$ की गणना करने पर,हमें $2r^2 + r + 1$ प्राप्त होता है।
दूसरा पद $2 \sum_{i=1}^r (2i - 1) = 2r^2$ है।
अतः,योग के अंदर का पद $(2r^2 + r + 1) - 2r^2 = r + 1$ है।
अंत में,$\sum_{r=1}^n (r + 1) = \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{n(n+3)}{2}$।

(A) $n$-सीढ़ी वाले जीने को चढ़ने के लिए,व्यक्ति $n$-वीं सीढ़ी पर या तो $(n-1)$-वीं सीढ़ी से (एक कदम उठाकर) या $(n-2)$-वीं सीढ़ी से (दो कदम उठाकर) पहुँच सकता है।
इसलिए,पुनरावृत्ति संबंध $C_n = C_{n-1} + C_{n-2}$ है,जहाँ $n \ge 2$ है।
यह फिबोनाची अनुक्रम की परिभाषा है।
दिए गए संबंध $C_n = C_{n-1} + C_{n-2}$ में $n = 20$ रखने पर,हमें $C_{20} = C_{19} + C_{18}$ प्राप्त होता है।
अतः,$C_{18} + C_{19} = C_{20}$।

(C) मान लीजिए सार्व अनुपात $r$ है। चूँकि $b_1 + b_2 = 1$,हमारे पास $b_1(1 + r) = 1$ है,इसलिए $b_1 = \frac{1}{1 + r}$।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $\frac{b_1}{1 - r} = 2$ द्वारा दिया जाता है।
$b_1 = \frac{1}{1 + r}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{(1 + r)(1 - r)} = 2$ प्राप्त होता है,जो $\frac{1}{1 - r^2} = 2$ में सरल हो जाता है।
इसका अर्थ है $1 - r^2 = \frac{1}{2}$,इसलिए $r^2 = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $r = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$।
$b_2 = b_1 r < 0$ दिया गया है,और चूँकि $b_1 = \frac{1}{1 + r}$,हमारे पास $b_2 = \frac{r}{1 + r} < 0$ है। यह स्थिति तब संतुष्ट होती है जब $r$ ऋणात्मक हो,इसलिए $r = -\frac{\sqrt{2}}{2}$।
अतः,$b_1 = \frac{1}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{2 - \sqrt{2}} = 2 + \sqrt{2}$।

(C) दी गई श्रेणी $\left(\frac{11}{7}\right)^2 + \left(\frac{12}{7}\right)^2 + \left(\frac{13}{7}\right)^2 + \dots + \left(\frac{21}{7}\right)^2$ है।
प्रथम $11$ पदों का योग $S = \sum_{n=11}^{21} \left(\frac{n}{7}\right)^2 = \frac{1}{49} \sum_{n=11}^{21} n^2$ है।
सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{1}{49} \left[ \sum_{n=1}^{21} n^2 - \sum_{n=1}^{10} n^2 \right]$
$S = \frac{1}{49} \left[ \frac{21 \times 22 \times 43}{6} - \frac{10 \times 11 \times 21}{6} \right]$
$S = \frac{1}{49} \times \frac{21}{6} \times [ (22 \times 43) - (10 \times 11) ]$
$S = \frac{1}{49} \times \frac{7}{2} \times [ 946 - 110 ]$
$S = \frac{1}{14} \times 836 = \frac{418}{7} = \frac{11}{7} \times 38$.
अतः,$\frac{11}{7}\lambda$ से तुलना करने पर,$\lambda = 38$ प्राप्त होता है।

(C) अनुक्रम का $n$ वाँ पद $T_n = S_n - S_{n-1}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n > 1$ है।
दिया गया है $S_n = 4n^2 + 6n$।
तब $S_{n-1} = 4(n-1)^2 + 6(n-1) = 4(n^2 - 2n + 1) + 6n - 6 = 4n^2 - 8n + 4 + 6n - 6 = 4n^2 - 2n - 2$।
$T_n = (4n^2 + 6n) - (4n^2 - 2n - 2) = 8n + 2$।
$n = 15$ के लिए,$T_{15} = 8(15) + 2 = 120 + 2 = 122$।

(D) दिया गया पुनरावृत्ति संबंध: $a_{n+1} - a_n = n - 2$ है।
$n = 1$ से $50$ तक योग करने पर:
$\sum_{n=1}^{50} (a_{n+1} - a_n) = \sum_{n=1}^{50} (n - 2)$
$a_{51} - a_1 = \sum_{n=1}^{50} n - \sum_{n=1}^{50} 2$
$a_{51} - 5 = \frac{50 \times 51}{2} - (50 \times 2)$
$a_{51} - 5 = 1275 - 100$
$a_{51} - 5 = 1175$
$a_{51} = 1180$.

(A) श्रेणी का $r$-वां पद $t_r = 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2r - 1)^2$ है।
$t_r = \sum_{k=1}^r (2k - 1)^2 = \sum_{k=1}^r (4k^2 - 4k + 1)$.
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$t_r = 4 \cdot \frac{r(r+1)(2r+1)}{6} - 4 \cdot \frac{r(r+1)}{2} + r$.
इस व्यंजक को सरल करने पर:
$t_r = \frac{4r^3 - r}{3}$.
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{r=1}^n t_r = \sum_{r=1}^n \frac{4r^3 - r}{3} = \frac{4}{3} \sum_{r=1}^n r^3 - \frac{1}{3} \sum_{r=1}^n r$.
$S_n = \frac{4}{3} \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 - \frac{1}{3} \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]$.
$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [2n(n+1) - 1] = \frac{1}{6} n(n+1)(2n^2 + 2n - 1)$.

(D) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \sin \theta$ है।
चूंकि अनंत पदों का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है,इसलिए $\frac{1}{1 - \sin \theta} = 4 + 2\sqrt{3}$ है।
व्युत्क्रम लेने पर,$1 - \sin \theta = \frac{1}{4 + 2\sqrt{3}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $1 - \sin \theta = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{(4 + 2\sqrt{3})(4 - 2\sqrt{3})} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{16 - 12} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूंकि $0 < \theta < \pi$ और $\theta \neq \frac{\pi}{2}$ दिया गया है,इसलिए $\theta$ के संभावित मान $\frac{\pi}{3}$ और $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ हैं।

(C) माना $S = 3 + \frac{3+d}{4} + \frac{3+2d}{4^2} + \dots \infty$ $(1)$
$\frac{1}{4}$ से गुणा करने पर:
$\frac{S}{4} = \frac{3}{4} + \frac{3+d}{4^2} + \frac{3+2d}{4^3} + \dots \infty$ $(2)$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:
$S - \frac{S}{4} = 3 + \frac{d}{4} + \frac{d}{4^2} + \frac{d}{4^3} + \dots \infty$
$\frac{3S}{4} = 3 + \frac{d/4}{1 - 1/4} = 3 + \frac{d/4}{3/4} = 3 + \frac{d}{3}$
दिया है $S = 8$,इसलिए $\frac{3(8)}{4} = 3 + \frac{d}{3}$
$6 = 3 + \frac{d}{3}$ $\Rightarrow 3 = \frac{d}{3}$ $\Rightarrow d = 9$

(C) दिया गया योग $S = \sum_{n=1}^{2009} n(2010 - n)$ है।
इसे $S = 2010 \sum_{n=1}^{2009} n - \sum_{n=1}^{2009} n^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
हम जानते हैं कि $\sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2}$,इसलिए $\sum_{n=1}^{2009} n = \frac{2009 \times 2010}{2} = 2009 \times 1005$ है।
अतः,$S = 2010(2009 \times 1005) - (2009)(335)(4019)$।
$S = (2009)(2010 \times 1005) - (2009)(335)(4019)$।
$S = (2009)(335) \times [3 \times 2010 - 4019]$।
$S = (2009)(335) \times [6030 - 4019]$।
$S = (2009)(335) \times 2011$।
इसकी तुलना $(2009)(335)(x)$ से करने पर,हमें $x = 2011$ प्राप्त होता है।

(C) माना प्रथम पद $b$ है और सार्व अनुपात $r$ है।
अनंत $G.P.$ के लिए,योग $S = \frac{b}{1 - r}$ होता है,जहाँ $|r| < 1$ है।
दिया गया है $S = 5$,इसलिए $\frac{b}{1 - r} = 5$ है।
इसका अर्थ है $b = 5(1 - r)$।
चूंकि $-1 < r < 1$ है,इसलिए $b$ का अंतराल इस प्रकार होगा:
यदि $r \to 1$,तो $b \to 5(1 - 1) = 0$ होगा।
यदि $r \to -1$,तो $b \to 5(1 - (-1)) = 5(2) = 10$ होगा।
अतः,$-1 < r < 1$ के लिए,$b$ का मान $(0, 10)$ अंतराल में स्थित है।

(D) दी गई श्रेणी $1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + \frac{15}{8} + \dots$ है।
$n$-वां पद $T_n = \frac{2^n - 1}{2^{n-1}} = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$ है,जहाँ $n \ge 1$ है।
प्रथम $20$ पदों का योग $S_{20} = \sum_{n=1}^{20} (2 - \frac{1}{2^{n-1}})$ है।
$S_{20} = \sum_{n=1}^{20} 2 - \sum_{n=1}^{20} \frac{1}{2^{n-1}}$.
$S_{20} = 2(20) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^{19}})$.
दूसरा भाग एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a = 1$,$r = \frac{1}{2}$,और $n = 20$ है।
योग $= \frac{1(1 - (1/2)^{20})}{1 - 1/2} = 2(1 - \frac{1}{2^{20}}) = 2 - \frac{1}{2^{19}}$.
अतः,$S_{20} = 40 - (2 - \frac{1}{2^{19}}) = 38 + \frac{1}{2^{19}}$.

(D) हमें योग $S = \sum\limits_{r = 16}^{30} {(r^2 - r - 6)}$ का मूल्यांकन करना है।
योग के गुणों का उपयोग करते हुए,$S = \sum\limits_{r = 16}^{30} r^2 - \sum\limits_{r = 16}^{30} r - \sum\limits_{r = 16}^{30} 6$.
याद रखें कि $\sum\limits_{r = 1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum\limits_{r = 1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$ होता है।
$\sum\limits_{r = 16}^{30} r^2 = \sum\limits_{r = 1}^{30} r^2 - \sum\limits_{r = 1}^{15} r^2 = \frac{30(31)(61)}{6} - \frac{15(16)(31)}{6} = 9455 - 1240 = 8215$.
$\sum\limits_{r = 16}^{30} r = \sum\limits_{r = 1}^{30} r - \sum\limits_{r = 1}^{15} r = \frac{30(31)}{2} - \frac{15(16)}{2} = 465 - 120 = 345$.
$\sum\limits_{r = 16}^{30} 6 = 6 \times (30 - 16 + 1) = 6 \times 15 = 90$.
अतः,$S = 8215 - 345 - 90 = 7780$.

(D) दिया गया है $f(n) = \left[ \frac{1}{3} + \frac{3n}{100} \right]n$.
$1 \le n \le 22$ के लिए,$\frac{1}{3} + \frac{3n}{100} < \frac{1}{3} + \frac{66}{100} = 0.333 + 0.66 = 0.993 < 1$. अतः,$\left[ \frac{1}{3} + \frac{3n}{100} \right] = 0$,इसलिए $f(n) = 0$.
$23 \le n \le 55$ के लिए,$1 \le \frac{1}{3} + \frac{3n}{100} < \frac{1}{3} + \frac{165}{100} = 0.333 + 1.65 = 1.983 < 2$. अतः,$\left[ \frac{1}{3} + \frac{3n}{100} \right] = 1$,इसलिए $f(n) = n$.
$n = 56$ के लिए,$\frac{1}{3} + \frac{3(56)}{100} = 0.333 + 1.68 = 2.013$. अतः,$\left[ \frac{1}{3} + \frac{3(56)}{100} \right] = 2$,इसलिए $f(56) = 2 \times 56 = 112$.
योग $\sum_{n=1}^{56} f(n) = \sum_{n=1}^{22} 0 + \sum_{n=23}^{55} n + f(56)$ है।
$= 0 + \frac{(55-23+1)}{2}(23+55) + 112 = \frac{33}{2}(78) + 112 = 33 \times 39 + 112 = 1287 + 112 = 1399$.

(C) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n$ इस प्रकार है:
$T_n = \frac{2n + 1}{\sum_{k=1}^{n} k^2} = \frac{2n + 1}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{6}{n(n+1)}$
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए:
$T_n = 6 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$
अब,$n$ पदों का योग $S_n$ है:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = 6 \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$
$S_n = 6 \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{6n}{n+1}$
$n = 11$ के लिए:
$S_{11} = \frac{6 \times 11}{11 + 1} = \frac{66}{12} = \frac{11}{2}$

(C) दी गई श्रेणी $S = 1(2)^2 + 2(4)^2 + 3(6)^2 + \dots + 10(20)^2$ है।
$n$-वां पद $T_n = n(2n)^2 = n(4n^2) = 4n^3$ है।
$10$ पदों का योग $S_{10} = \sum_{n=1}^{10} 4n^3$ है।
$S_{10} = 4 \sum_{n=1}^{10} n^3$ है।
सूत्र $\sum_{n=1}^{k} n^3 = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2$ का उपयोग करने पर:
$S_{10} = 4 \left( \frac{10 \times 11}{2} \right)^2$.
$S_{10} = 4 \times (55)^2 = 4 \times 3025 = 12100$.

(A) दी गई श्रेणी प्रथम $13$ विषम संख्याओं के वर्गों का योग है।
सामान्य पद ${T_n} = {(2n - 1)^2}$ है,जहाँ $n = 1, 2, \dots, 13$ है।
योग $S = \sum_{n=1}^{13} (2n - 1)^2 = \sum_{n=1}^{13} (4n^2 - 4n + 1)$ है।
योग के सूत्रों $\sum_{n=1}^{k} n^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ और $\sum_{n=1}^{k} n = \frac{k(k+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S = 4 \sum_{n=1}^{13} n^2 - 4 \sum_{n=1}^{13} n + \sum_{n=1}^{13} 1$
$S = 4 \left[ \frac{13(13+1)(2 \times 13 + 1)}{6} \right] - 4 \left[ \frac{13(13+1)}{2} \right] + 13$
$S = 4 \left[ \frac{13 \times 14 \times 27}{6} \right] - 2 \times 13 \times 14 + 13$
$S = 4 \times 13 \times 7 \times 9 - 364 + 13$
$S = 3276 - 364 + 13 = 2925$.

(A) दी गई श्रेणी $S = (1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2m-1)^2) + 2(2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + (2m)^2)$ है।
विषम संख्याओं के वर्गों का योग $\sum_{k=1}^{m} (2k-1)^2 = \frac{m(2m-1)(2m+1)}{3}$ है।
सम संख्याओं के वर्गों का योग $2 \times \sum_{k=1}^{m} (2k)^2 = 8 \sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{4m(m+1)(2m+1)}{3}$ है।
दोनों को जोड़ने पर,$S = \frac{m(2m+1)}{3} [ (2m-1) + 4(m+1) ] = m(2m+1)^2$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई श्रेणी $S_n = 1 + \frac{4}{3} + \frac{10}{9} + \frac{28}{27} + \dots + n \text{ पद}$ है।
हम पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$S_n = (1) + (1 + \frac{1}{3}) + (1 + \frac{1}{9}) + (1 + \frac{1}{27}) + \dots + n \text{ पद}$.
पदों को समूहित करने पर:
$S_n = (1 + 1 + 1 + \dots + n \text{ बार}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots + n \text{ पद})$.
$S_n = n + \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}}$.
$S_n = n + \frac{\frac{1}{3}(1 - \frac{1}{3^n})}{\frac{2}{3}}$.
$S_n = n + \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3^n})$.
$S_n = n + \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^n}$.

(C) जब $n$ विषम है,तो श्रेणी के $n$ पदों का योग: $1^2 + 2 \cdot 2^2 + 3^2 + 2 \cdot 4^2 + \dots + 2 \cdot (n-1)^2 + n^2$ है।
इसे प्रथम $(n-1)$ पदों के योग और $n$-वें पद के योग के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $(n-1)$ सम है,सम पदों के लिए दिए गए सूत्र का उपयोग करने पर: $S_{n-1} = \frac{(n-1)(n-1+1)^2}{2} = \frac{(n-1)n^2}{2}$.
अब,$n$-वां पद $(n^2)$ जोड़ने पर: $S_n = \frac{(n-1)n^2}{2} + n^2$.
$n^2$ कॉमन लेने पर: $S_n = n^2 \left( \frac{n-1}{2} + 1 \right) = n^2 \left( \frac{n-1+2}{2} \right) = \frac{n^2(n+1)}{2}$.

(A) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = \frac{(3 + (n-1) \times 3)(1^2 + 2^2 + ... + n^2)}{2n + 1}$ है।
$T_n$ का सरलीकरण:
$T_n = \frac{3n \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{2n+1} = \frac{n^2(n+1)}{2} = \frac{n^3 + n^2}{2}$.
$15$ पदों का योग $S_{15} = \sum_{n=1}^{15} T_n = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{15} (n^3 + n^2)$ है।
योग के सूत्रों $\sum n^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ और $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए:
$S_{15} = \frac{1}{2} [(\frac{15 \times 16}{2})^2 + \frac{15 \times 16 \times 31}{6}]$.
$S_{15} = \frac{1}{2} [120^2 + 1240] = \frac{1}{2} [14400 + 1240] = \frac{15640}{2} = 7820$.

(C) दिया गया है $S_k = \frac{k(k+1)}{2k} = \frac{k+1}{2}$.
हमें $A$ ज्ञात करना है ताकि $\sum_{k=1}^{10} S_k^2 = \frac{5}{12}A$ हो।
$\sum_{k=1}^{10} \left( \frac{k+1}{2} \right)^2 = \frac{5}{12}A$
$\frac{1}{4} \sum_{k=1}^{10} (k+1)^2 = \frac{5}{12}A$
$\frac{1}{4} (2^2 + 3^2 + .... + 11^2) = \frac{5}{12}A$
हम जानते हैं कि $\sum_{n=1}^{n} n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ होता है।
अतः,$\sum_{k=1}^{11} k^2 = \frac{11(12)(23)}{6} = 11 \times 2 \times 23 = 506$.
इसलिए,$2^2 + 3^2 + .... + 11^2 = 506 - 1^2 = 505$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{4} (505) = \frac{5}{12}A$.
$A = 505 \times \frac{12}{4 \times 5} = 505 \times \frac{3}{5} = 101 \times 3 = 303$.

(B) दी गई श्रेणी ${\left( {\frac{3}{4}} \right)^3} + {\left( {\frac{6}{4}} \right)^3} + {\left( {\frac{9}{4}} \right)^3} + {\left( {\frac{12}{4}} \right)^3} + \dots$ $15$ पदों तक है।
इसे $\sum_{r=1}^{15} {\left( \frac{3r}{4} \right)^3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$= \frac{27}{64} \sum_{r=1}^{15} r^3$.
सूत्र $\sum_{r=1}^{n} r^3 = {\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{27}{64} \times {\left[ \frac{15(16)}{2} \right]^2}$.
$= \frac{27}{64} \times (120)^2$.
$= \frac{27}{64} \times 14400$.
$= 27 \times 225$.
दिया गया है कि योग $225\,k$ है,इसलिए $225\,k = 225 \times 27$.
अतः,$k = 27$.

(B) श्रेणी का $n$ वाँ पद $T_n = n(2n - 1) = 2n^2 - n$ है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 - k) = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k$ है।
मानक योग सूत्रों $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S_n = 2 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{n(n+1)}{2}$.
$n = 11$ के लिए:
$S_{11} = \frac{11(12)(23)}{3} - \frac{11(12)}{2}$.
$S_{11} = 11 \times 4 \times 23 - 11 \times 6$.
$S_{11} = 1012 - 66 = 946$.

(B) $n$ वां पद $T_n$ इस प्रकार है:
$T_n = \frac{(2n+1) \sum_{k=1}^n k^3}{\sum_{k=1}^n k^2}$
सूत्रों $\sum k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ और $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$T_n = \frac{(2n+1) \times \frac{n^2(n+1)^2}{4}}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$
$T_n = \frac{6}{4} n(n+1) = \frac{3}{2}(n^2 + n)$
अब,योग $S_{10} = \sum_{n=1}^{10} T_n = \frac{3}{2} \left[ \sum_{n=1}^{10} n^2 + \sum_{n=1}^{10} n \right]$
$S_{10} = \frac{3}{2} \left[ \frac{10(11)(21)}{6} + \frac{10(11)}{2} \right]$
$S_{10} = \frac{3}{2} [385 + 55] = \frac{3}{2} [440] = 660$

(A) माना दिया गया योग $S$ है। श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = \frac{\sum_{k=1}^n k^3}{\sum_{k=1}^n k}$ है।
सूत्रों $\sum_{k=1}^n k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$ और $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर,$T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ प्राप्त होता है।
प्रथम $15$ पदों का योग $\sum_{n=1}^{15} T_n = \sum_{n=1}^{15} \frac{n(n+1)}{2} = 680$ है।
दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{n=1}^{15} T_n - \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{15} n = 680 - \frac{1}{2} \times 120 = 680 - 60 = 620$ है।

(C) मान लीजिए $S = \sum_{k=0}^{99} \left[ -\frac{1}{3} - \frac{k}{100} \right]$.
हम जानते हैं कि यदि $-1 \le x < 0$ है तो $[x] = -1$ और यदि $-2 \le x < -1$ है तो $[x] = -2$ होता है।
पद $\left[ -\frac{1}{3} - \frac{k}{100} \right]$ के लिए,मान $-1$ तब होता है जब $-\frac{1}{3} - \frac{k}{100} \ge -1$,जिसका अर्थ है $\frac{k}{100} \le 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$,इसलिए $k \le \frac{200}{3} \approx 66.66$।
अतः,$k = 0, 1, 2, \dots, 66$ (कुल $67$ पद) के लिए,मान $-1$ है।
$k = 67, 68, \dots, 99$ (कुल $33$ पद) के लिए,मान $-2$ है।
योग $= 67 \times (-1) + 33 \times (-2) = -67 - 66 = -133$.