एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग 3 है। इसके पदो | vedclass

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Question

(A) माना प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है। अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = 3$ है,अतः $a = 3(1-r) \dots (i)$.पदों के वर्गों से बनी

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$\frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, \frac{3}{16}, \dots$

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(A) माना प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है। अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = 3$ है,अतः $a = 3(1-r) \dots (i)$.पदों के वर्गों से बनी श्रेणी $a^2, a^2r^2, a^2r^4, \dots$ है,जिसका प्रथम पद $a^2$ और सार्व अनुपात $r^2$ है। इसका योग $\frac{a^2}{1-r^2} = 3$ है।$a = 3(1-r)$ को दूसरे समीकरण में रखने पर: $\frac{9(1-r)^2}{1-r^2} = 3$.चूंकि $1-r^2 = (1-r)(1+r)$,इसलिए $\frac{9(1-r)^2}{(1-r)(1+r)} = 3$,जो सरल होकर $\frac{3(1-r)}{1+r} = 1$ हो जाता है।$r$ के लिए हल करने पर: $3 - 3r = 1 + r$,अतः $4r = 2$,जिससे $r = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।$r = \frac{1}{2}$ को $(i)$ में रखने पर: $a = 3(1 - \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$.श्रेणी $\frac{3}{2}, \frac{3}{2}(\frac{1}{2}), \frac{3}{2}(\frac{1}{2})^2, \dots$ अर्थात $\frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, \frac{3}{16}, \dots$ है।

एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $3$ है। इसके पदों के वर्गों से बनी श्रेणी का योग भी $3$ है। पहली श्रेणी क्या होगी?

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मान लीजिए $\alpha = 1^2 + 4^2 + 8^2 + 13^2 + 19^2 + 26^2 + \ldots$ $10$ पदों तक और $\beta = \sum_{n=1}^{10} n^4$ है। यदि $4\alpha - \beta = 55k + 40$ है,तो $k$ का मान . . . . . . है।

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