यदि प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को उपसमुच्चयो | vedclass

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Question

(A) $n$ वां समुच्चय $S_n$ में $n$ पद होते हैं।$S_n$ का प्रथम पद $a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + \frac{(n-1)n}{2}$ द्वारा दिया जाता है।$n = 50$ के

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$62525$

Vedclass · Answer

(A) $n$ वां समुच्चय $S_n$ में $n$ पद होते हैं।$S_n$ का प्रथम पद $a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + \frac{(n-1)n}{2}$ द्वारा दिया जाता है।$n = 50$ के लिए,प्रथम पद $a_{50} = 1 + \frac{49 	imes 50}{2} = 1 + 1225 = 1226$ है।समुच्चय $S_{50}$ में $1226$ से शुरू होने वाले $50$ क्रमागत पूर्णांक हैं,अतः $S_{50} = \{1226, 1227, \dots, 1275\}$।इन $50$ पदों का योग समांतर श्रेणी के योग सूत्र द्वारा: $Sum = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$।$Sum = \frac{50}{2}(2 	imes 1226 + (50-1) 	imes 1) = 25(2452 + 49) = 25(2501) = 62525$।

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$\sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) \ldots(k+r-1) =$

यदि $\sum_{r=1}^{n}r^3 - \sum_{p=1}^{n}\sum_{m=1}^{p}\sum_{r=1}^{m}1 = 80$ है,तो $n$ का संभावित मान क्या है?

उस श्रेणी के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका $n^{th}$ पद $a_n = n^2 + 2^n$ द्वारा दिया गया है।

श्रेणी $6 + 66 + 666 + \dots$ का $n$ पदों तक योग ज्ञात कीजिए।

यदि $\sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{(2r-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$ है,तो $\sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{r^2} = \dots$

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