nth term of special series, Sum to n terms and Infinite number of terms Questions in Hindi

(C) $n^{th}$ समूह में अवयवों की संख्या $(2n - 1)$ द्वारा दी जाती है।
$n^{th}$ समूह का प्रथम पद पिछले सभी $(n-1)$ समूहों में अवयवों की संख्या का योग प्लस $1$ है।
प्रथम $(n-1)$ समूहों में अवयवों की संख्या $\sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1) = (n-1)^2$ है।
अतः,$n^{th}$ समूह का प्रथम पद $(n-1)^2 + 1$ है।
$11^{th}$ समूह के लिए,$n = 11$ है।
प्रथम पद $= (11 - 1)^2 + 1 = 10^2 + 1 = 100 + 1 = 101$.

(B) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं कि $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$।
अतः,प्रथम $N$ पदों का योग $S_N = \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $S_N = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1})$ प्राप्त होता है।
सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,और $S_N = 1 - \frac{1}{N+1}$ शेष रहता है।
जब $N \to \infty$ लेते हैं,तो $S = \lim_{N \to \infty} (1 - \frac{1}{N+1}) = 1 - 0 = 1$ प्राप्त होता है।

(A) श्रेणी का $n$ वां पद $T_n = \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$T_n = \frac{n(n + 1)}{2n} = \frac{n + 1}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,$n$ पदों का योग $S = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{k + 1}{2}$ है।
$S = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 \right)$.
$S = \frac{1}{2} \left( \frac{n(n + 1)}{2} + n \right)$.
$S = \frac{1}{2} \left( \frac{n^2 + n + 2n}{2} \right) = \frac{n^2 + 3n}{4} = \frac{n(n + 3)}{4}$.

(B) दी गई श्रेणी $\frac{2}{1!} + \frac{7}{2!} + \frac{15}{3!} + \frac{26}{4!} + \dots$ है।
अंश $2, 7, 15, 26, \dots$ हैं।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर $5, 8, 11, \dots$ है,जो एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाता है।
अतः,अंश का $n$ वां पद $n$ पदों के लिए $a = 2$ और $d = 3$ वाली समांतर श्रेणी का योग है:
$a_n = \frac{n}{2}[2(2) + (n - 1)3] = \frac{n}{2}[4 + 3n - 3] = \frac{n(3n + 1)}{2}$.
इसलिए,श्रेणी का $n$ वां पद $T_n = \frac{a_n}{n!} = \frac{n(3n + 1)}{2(n!)}$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$ है।
हमें विषम पदों का योग ज्ञात करना है: $S_{odd} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^4} = \frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + \dots$.
हम जानते हैं कि $S = S_{odd} + S_{even}$,जहाँ $S_{even} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^4}$ है।
$S_{even} = \frac{1}{2^4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{1}{16} S$.
अतः,$S_{odd} = S - S_{even} = S - \frac{1}{16} S = \frac{15}{16} S$.
$S = \frac{\pi^4}{90}$ का मान रखने पर:
$S_{odd} = \frac{15}{16} \times \frac{\pi^4}{90} = \frac{1}{16} \times \frac{\pi^4}{6} = \frac{\pi^4}{96}$.

(C) माना $x = 2.\overline{357} = 2.357357357...$
इसे $x = 2 + 0.357357357...$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $y = 0.357357357... = \frac{357}{1000} + \frac{357}{1000^2} + \frac{357}{1000^3} + ...$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{357}{1000}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{1000}$ है।
योग $S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{357}{1000}}{1 - \frac{1}{1000}} = \frac{\frac{357}{1000}}{\frac{999}{1000}} = \frac{357}{999}$।
अतः,$x = 2 + \frac{357}{999} = \frac{2 \times 999 + 357}{999} = \frac{1998 + 357}{999} = \frac{2355}{999}$।

(D) माना $S = {n^3} - {(n - 1)^3} + {(n - 2)^3} - {(n - 3)^3} + \dots + {1^3}$.
चूँकि $n$ एक विषम संख्या है,अंतिम पद ${1^3}$ है।
हम $S = \sum_{k=1}^{n} k^3 - 2 \sum_{k=1}^{(n-1)/2} (2k)^3$ लिख सकते हैं।
सूत्र $\sum_{k=1}^{m} k^3 = \left[ \frac{m(m+1)}{2} \right]^2$ का उपयोग करने पर:
$S = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 - 16 \left[ \frac{\frac{n-1}{2} (\frac{n-1}{2} + 1)}{2} \right]^2$
$S = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{(n-1)^2(n+1)^2}{4}$
$S = \frac{(n+1)^2}{4} [n^2 - (n-1)^2]$
$S = \frac{(n+1)^2}{4} (2n - 1)$.

(C) ${n^{th}}$ पद $T_n = \frac{\sum_{k=1}^{n} k^3}{\sum_{k=1}^{n} (2k - 1)}$ द्वारा दिया जाता है।
अंश प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग है: $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$।
हर प्रथम $n$ विषम संख्याओं का योग है,जो $n^2$ है: $\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = n^2$।
अतः,$T_n = \frac{n^2(n+1)^2 / 4}{n^2} = \frac{(n+1)^2}{4} = \frac{n^2 + 2n + 1}{4}$।

(C) दी गई श्रेणी $\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3\sqrt{3}} + \dots$ है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \sqrt{3}$ है।
सार्व अनुपात $r = \frac{T_2}{T_1} = \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$ है।
चूंकि $|r| < 1$,अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$S = \frac{\sqrt{3}}{1 - 1/3} = \frac{\sqrt{3}}{2/3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दी गई श्रेणी $S = 1^3 - 2^3 + 3^3 - 4^3 + 5^3 - 6^3 + 7^3 - 8^3 + 9^3$ है।
हम पदों को इस प्रकार समूहित कर सकते हैं:
$S = (1^3) + (3^3 - 2^3) + (5^3 - 4^3) + (7^3 - 6^3) + (9^3 - 8^3)$.
सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a - b = 1$:
$S = 1 + (3^2 + 3 \times 2 + 2^2) + (5^2 + 5 \times 4 + 4^2) + (7^2 + 7 \times 6 + 6^2) + (9^2 + 9 \times 8 + 8^2)$.
$S = 1 + (9 + 6 + 4) + (25 + 20 + 16) + (49 + 42 + 36) + (81 + 72 + 64)$.
$S = 1 + 19 + 61 + 127 + 217$.
$S = 425$.

(B) दी गई श्रेणी $2, 5, 14, 41, \dots$ है।
क्रमागत पदों का अंतर $3, 9, 27, \dots$ है,जो एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ बनाता है।
$n$-वां पद $t_n$ इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$t_n = 2 + (3 + 9 + 27 + \dots + 3^{n-1})$
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$t_n = 2 + \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3 - 1} = 2 + \frac{3^n - 3}{2} = \frac{4 + 3^n - 3}{2} = \frac{3^n + 1}{2}$
अब,$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} t_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{3^k + 1}{2} = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} 3^k + \sum_{k=1}^{n} 1 \right)$
$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} + n \right)$
$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{3(3^n - 1)}{2} + n \right) = \frac{n}{2} + \frac{3}{4}(3^n - 1)$

(A) $n$ वां पद $a_n = n(n + 1) = n^2 + n$ है।
$n$ पदों का योग ज्ञात करने के लिए,$S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$ की गणना करते हैं।
मानक योग सूत्रों $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ और $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n + 1)}{2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{n(n + 1)}{2}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \left( \frac{2n + 1}{3} + 1 \right) = \frac{n(n + 1)}{2} \left( \frac{2n + 4}{3} \right) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$.

(B) दिया गया अनुक्रम $1, 3, 6, 10, 15, 21, \dots, 5050$ है।
ये त्रिकोणीय संख्याएँ हैं,जहाँ $n$-वाँ पद $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
हमें दिया गया है कि अंतिम पद $T_n = 5050$ है।
अतः,$\frac{n(n+1)}{2} = 5050$.
$n(n+1) = 10100$.
$n^2 + n - 10100 = 0$.
द्विघात सूत्र $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके:
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 40400}}{2} = \frac{-1 \pm 201}{2}$.
धनात्मक मान लेने पर,$n = \frac{200}{2} = 100$.
अतः,अनुक्रम में $100$ पद हैं।

(A) हम जानते हैं कि $\sum_{m=1}^k m^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} = \frac{2k^3 + 3k^2 + k}{6}$.
अतः,$\sum_{k=1}^n \left( \sum_{m=1}^k m^2 \right) = \frac{1}{6} \sum_{k=1}^n (2k^3 + 3k^2 + k)$.
$= \frac{1}{6} \left[ 2 \sum k^3 + 3 \sum k^2 + \sum k \right]$.
$= \frac{1}{6} \left[ 2 \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 3 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right]$.
$= \frac{1}{12} n^2(n^2+2n+1) + \frac{1}{12} (2n^3+3n^2+n) + \frac{1}{12} (n^2+n)$.
$= \frac{1}{12} (n^4 + 2n^3 + n^2 + 2n^3 + 3n^2 + n + n^2 + n) = \frac{1}{12} n^4 + \frac{4}{12} n^3 + \frac{5}{12} n^2 + \frac{2}{12} n$.
$an^4 + bn^3 + cn^2 + dn + e$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = \frac{1}{12}$,$b = \frac{1}{3}$,$c = \frac{5}{12}$,$d = \frac{1}{6}$,और $e = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = \frac{1}{12}$ सत्य है।

(A) श्रेणी का $n$-वां पद $t_n = \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n}$ द्वारा दिया गया है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$t_n = \frac{n(n + 1)}{2n} = \frac{1}{2}(n + 1)$.
अब,$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} t_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}(k + 1)$.
$S_n = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 \right)$.
$S_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{n(n + 1)}{2} + n \right]$.
$S_n = \frac{n}{2} \left( \frac{n + 1}{2} + 1 \right) = \frac{n}{2} \left( \frac{n + 1 + 2}{2} \right) = \frac{n(n + 3)}{4}$.

(D) दी गई श्रेणी $S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + (2m)^2$ है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ होता है।
यहाँ $n = 2m$ रखने पर,
$S = \frac{2m(2m+1)(4m+1)}{6} = \frac{m(2m+1)(4m+1)}{3}$.

(B) हम जानते हैं कि प्रथम $r$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\sum_{m=1}^r m = \frac{r(r+1)}{2}$ होता है।
अतः,दिया गया व्यंजक $\sum_{r=1}^n \frac{r(r+1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{r=1}^n (r^2 + r)$ है।
मानक योग सूत्रों $\sum_{r=1}^n r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{r=1}^n r = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right]$
$= \frac{n(n+1)}{4} \left[ \frac{2n+1}{3} + 1 \right]$
$= \frac{n(n+1)}{4} \left[ \frac{2n+4}{3} \right]$
$= \frac{n(n+1) \cdot 2(n+2)}{12} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$.

(A) दी गई गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद $a = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = (\sqrt{2} + 1)^2$ है।
सार्व अनुपात $r = \frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अनंत पदों का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ सूत्र का उपयोग करने पर,
$S = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{1 - (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)^2$।

(B) योग $S = \sum_{n=11}^{20} n^3 = \sum_{n=1}^{20} n^3 - \sum_{n=1}^{10} n^3$ द्वारा दिया गया है।
सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$ का उपयोग करते हुए:
$S = \left[ \frac{20(21)}{2} \right]^2 - \left[ \frac{10(11)}{2} \right]^2$
$S = (210)^2 - (55)^2$
$S = 44100 - 3025 = 41075$.
चूंकि संख्या $41075$ का अंतिम अंक $5$ है,यह $5$ से विभाज्य है।
चूंकि यह $2$ से विभाज्य नहीं है,यह एक विषम पूर्णांक है।
अतः,यह योग $5$ से विभाज्य एक विषम पूर्णांक है।

(B) माना श्रेणी $S_n = 2 + 4 + 7 + 11 + 16 + \dots + T_n$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर $2, 3, 4, 5, \dots$ है,जो एक समांतर श्रेणी बनाते हैं।
माना $T_n = an^2 + bn + c$ है।
$n=1$ के लिए,$T_1 = a + b + c = 2$।
$n=2$ के लिए,$T_2 = 4a + 2b + c = 4$।
$n=3$ के लिए,$T_3 = 9a + 3b + c = 7$।
समीकरणों को घटाने पर,$3a + b = 2$ और $5a + b = 3$ प्राप्त होता है।
इन्हें हल करने पर,$2a = 1 \implies a = 1/2$,$b = 1/2$,और $c = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$T_n = \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n + 1 = \frac{n^2 + n + 2}{2}$।
योग $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \frac{1}{2} [\sum k^2 + \sum k + \sum 2]$।
$S_n = \frac{1}{2} [\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} + 2n]$।
$S_n = \frac{n}{12} [(n+1)(2n+1) + 3(n+1) + 12] = \frac{n}{12} [2n^2 + 3n + 1 + 3n + 3 + 12] = \frac{n}{12} [2n^2 + 6n + 16] = \frac{n}{6} (n^2 + 3n + 8)$।

(D) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है: $\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots \infty$.
यहाँ,प्रथम पद $a = \frac{1}{4}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1/4}{1-1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$ है।
अब,व्यंजक $(0.2)^{\log_{\sqrt{5}}(1/2)}$ हो जाता है।
चूँकि $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$ और $\sqrt{5} = 5^{1/2}$,हमारे पास है:
$(5^{-1})^{\log_{5^{1/2}}(2^{-1})} = (5^{-1})^{\frac{-1}{1/2} \log_{5} 2} = (5^{-1})^{-2 \log_{5} 2} = 5^{2 \log_{5} 2}$.
गुणधर्म $n \log_{b} a = \log_{b} a^n$ का उपयोग करने पर,$5^{\log_{5} 2^2} = 2^2 = 4$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई श्रेणी $S = n^3 - (n-1)^3 + (n-2)^3 - (n-3)^3 + \dots + 1^3$ है।
चूंकि $n$ एक विषम पूर्णांक है,हम पदों को समूहित कर सकते हैं।
$S = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{n-k} k^3$.
$n=1$ के लिए,$S = 1^3 = 1$. विकल्प $D$ में मान रखने पर: $\frac{1}{4}(1+1)^2(2(1)-1) = \frac{1}{4}(4)(1) = 1$.
$n=3$ के लिए,$S = 3^3 - 2^3 + 1^3 = 27 - 8 + 1 = 20$. विकल्प $D$ में मान रखने पर: $\frac{1}{4}(3+1)^2(2(3)-1) = \frac{1}{4}(16)(5) = 20$.
अतः,सामान्य सूत्र $\frac{1}{4}(n+1)^2(2n-1)$ है।

(D) माना $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{6}{3^2} + \frac{10}{3^3} + \frac{14}{3^4} + \dots \infty \dots (1)$
$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{6}{3^3} + \frac{10}{3^4} + \dots \infty \dots (2)$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:
$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{4}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \dots$
$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{4}{9} (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots)$
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{4}{9} (\frac{1}{1 - 1/3}) = 1 + \frac{1}{3} + \frac{4}{9} (\frac{3}{2}) = 1 + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 2$
$\frac{2}{3}S = 2 \implies S = 3$.

(C) हमें $S = 11^2 + 12^2 + 13^2 + \dots + 20^2$ का योग ज्ञात करना है।
इसे वर्गों के दो योगों के अंतर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$S = \sum_{n=1}^{20} n^2 - \sum_{n=1}^{10} n^2$.
सूत्र $\sum_{n=1}^{k} n^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए:
$k=20$ के लिए: $\frac{20(21)(41)}{6} = 10 \times 7 \times 41 = 2870$.
$k=10$ के लिए: $\frac{10(11)(21)}{6} = 5 \times 11 \times 7 = 385$.
अतः,$S = 2870 - 385 = 2485$.

(B) माना कि योग $S = 0.7 + 0.77 + 0.777 + \dots$ $10$ पदों तक है।
हम इसे $S = 7(0.1 + 0.11 + 0.111 + \dots)$ के रूप में लिख सकते हैं।
$9$ से गुणा और भाग करने पर: $S = \frac{7}{9} (0.9 + 0.99 + 0.999 + \dots)$।
इसे $S = \frac{7}{9} [(1 - 0.1) + (1 - 0.01) + (1 - 0.001) + \dots]$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$10$ पदों के लिए,$S = \frac{7}{9} [10 - (0.1 + 0.01 + \dots + 0.1^{10})]$।
कोष्ठक के अंदर का योग एक गुणोत्तर श्रेणी है जहाँ $a = 0.1$,$r = 0.1$,और $n = 10$ है।
योग $= \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{0.1(1 - 0.1^{10})}{1 - 0.1} = \frac{0.1(1 - 10^{-10})}{0.9} = \frac{1}{9} (1 - 10^{-10})$।
इस मान को वापस रखने पर: $S = \frac{7}{9} [10 - \frac{1}{9} (1 - 10^{-10})] = \frac{7}{9} [\frac{90 - 1 + 10^{-10}}{9}] = \frac{7}{81} (89 + 10^{-10})$।
अतः,योग $\frac{7}{81} (89 + \frac{1}{10^{10}})$ है।

(B) माना $n$-वाँ पद $t_n$ है। श्रेणी $1, 3, 7, 15, 31, \dots$ है।
पदों को $(2^1 - 1), (2^2 - 1), (2^3 - 1), (2^4 - 1), (2^5 - 1), \dots$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$n$-वाँ पद $t_n = 2^n - 1$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} t_k = \sum_{k=1}^{n} (2^k - 1)$.
$S_n = \sum_{k=1}^{n} 2^k - \sum_{k=1}^{n} 1$.
पहला भाग एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 2$ और सार्व अनुपात $r = 2$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के $n$ पदों का योग $= \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2$.
इसलिए,$S_n = (2^{n+1} - 2) - n = 2^{n+1} - n - 2$.

(A) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{10} ((2n+1)^3 - (2n)^3)$ है।
पदों का विस्तार करने पर: $S = (3^3 - 2^3) + (5^3 - 4^3) + \dots + (21^3 - 20^3)$।
इसे $S = (3^3 + 5^3 + \dots + 21^3) - (2^3 + 4^3 + \dots + 20^3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$S = \sum_{n=1}^{10} (12n^2 + 6n + 1)$ प्राप्त करने पर:
$S = 12 \frac{10(11)(21)}{6} + 6 \frac{10(11)}{2} + 10 = 4620 + 330 + 10 = 4960$।

(C) दी गई श्रेणी $S_n = 2 + 4 + 7 + 11 + \dots + t_n$ है।
अनुक्रम $a_n = 2, 4, 7, 11, \dots$ लें।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर $2, 3, 4, \dots$ है,जो एक समांतर श्रेणी बनाता है।
अतः,$t_n = t_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k+1)$।
$t_n = 2 + [2 + 3 + 4 + \dots + n]$।
यह $t_n = 1 + [1 + 2 + 3 + \dots + n]$ है।
योग सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$t_n = 1 + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{2 + n^2 + n}{2} = \frac{n^2 + n + 2}{2}$।

(C) दिया गया अनुक्रम $0.7, 0.77, 0.777, \dots$ है,जिसमें $n=20$ पद हैं।
$n$-वां पद $a_n = \frac{7}{9} (1 - 10^{-n})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{7}{9} (1 - 10^{-k})$ है।
$S_n = \frac{7}{9} [n - \frac{1}{9} (1 - 10^{-n})]$।
$n=20$ के लिए,$S_{20} = \frac{7}{9} [20 - \frac{1}{9} (1 - 10^{-20})] = \frac{7}{81} [180 - 1 + 10^{-20}] = \frac{7}{81} (179 + 10^{-20})$।

(C) श्रेणी का $k$-वाँ पद $T_k = 1 + x + x^2 + \dots + x^{k-1} = \frac{1 - x^k}{1 - x}$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1 - x^k}{1 - x}$ है।
$S_n = \frac{1}{1 - x} \left[ \sum_{k=1}^{n} 1 - \sum_{k=1}^{n} x^k \right]$.
$S_n = \frac{1}{1 - x} \left[ n - \frac{x(1 - x^n)}{1 - x} \right]$.
$S_n = \frac{n(1 - x) - x(1 - x^n)}{(1 - x)^2}$.

(A) दिया गया अनुक्रम $27, 9, \frac{27}{5}, \frac{27}{7}, \dots$ है।
इसे $\frac{27}{1}, \frac{27}{3}, \frac{27}{5}, \frac{27}{7}, \dots$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अंश $27$ स्थिर है।
हर एक समांतर श्रेणी $1, 3, 5, 7, \dots$ बनाता है।
हर का $n$ वां पद $a_n = 1 + (n-1)2 = 2n - 1$ है।
अतः,अनुक्रम का $n$ वां पद $t_n = \frac{27}{2n-1}$ है।
$9$ वें पद के लिए,$n = 9$ रखने पर:
$t_9 = \frac{27}{2(9) - 1} = \frac{27}{18 - 1} = \frac{27}{17} = 1\frac{10}{17}$.

(A) माना योग $S = 1^2 + 2^2 x + 3^2 x^2 + \dots$ है।
हम जानते हैं कि अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ है,जहाँ $|x| < 1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$ प्राप्त होता है।
$x$ से गुणा करने पर,$\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$ प्राप्त होता है।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1-x)^2} \right) = \frac{1+x}{(1-x)^3}$ प्राप्त होता है।
अतः,श्रेणी का योग $S = \frac{1+x}{(1-x)^3}$ है।

(A) दिया गया अनुक्रम $2, \frac{7}{4}, \frac{14}{9}, \dots$ है।
यदि हम अनुक्रम को $2/1, 3/2, 4/3, 5/4, 6/5, 7/6$ के रूप में देखें,तो छठा पद $7/6$ होगा।
अतः सही विकल्प $A$ है।

(A) श्रेणी का $r$-वाँ पद $T_r = (2r-1)(2r+1)(2r+3)$ है।
$T_r = (4r^2 - 1)(2r+3) = 8r^3 + 12r^2 - 2r - 3$.
योग $S_n = \sum_{r=1}^{n} T_r$ ज्ञात करने के लिए,हम मानक योग सूत्रों का उपयोग करते हैं:
$S_n = 8 \sum r^3 + 12 \sum r^2 - 2 \sum r - \sum 3$.
$S_n = 8 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 + 12 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - 2 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] - 3n$.
$S_n = 2n^2(n+1)^2 + 2n(n+1)(2n+1) - n(n+1) - 3n$.
$S_n = 2n^4 + 8n^3 + 7n^2 - 2n = n(2n^3 + 8n^2 + 7n - 2)$.

(B) दी गई श्रेणी $S_n = 2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + (2n)^2$ है।
इसे $S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k)^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$S_n = \sum_{k=1}^{n} 4k^2 = 4 \sum_{k=1}^{n} k^2$।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$।
अतः,$S_n = 4 \times \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{3}$।

(A) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = n(2n + 1)(3n + 2)$ है।
$T_n = n(6n^2 + 4n + 3n + 2) = 6n^3 + 7n^2 + 2n$.
योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = 6\sum n^3 + 7\sum n^2 + 2\sum n$.
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$S_n = 6 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 + 7 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] + 2 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]$.
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left[ 3n(n+1) + \frac{7(2n+1)}{3} + 2 \right]$.
$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [9n^2 + 9n + 14n + 7 + 6] = \frac{n(n+1)(9n^2 + 23n + 13)}{6}$.

(D) हम त्रिविमीय योगफल की गणना चरण-दर-चरण करते हैं:
$\sum_{k=1}^j 1 = j$
अगला,$\sum_{j=1}^i j = \frac{i(i+1)}{2}$
अंत में,$\sum_{i=1}^n \frac{i(i+1)}{2} = \frac{1}{2} \left[ \sum_{i=1}^n i^2 + \sum_{i=1}^n i \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right]$
$= \frac{n(n+1)}{4} \left[ \frac{2n+1}{3} + 1 \right]$
$= \frac{n(n+1)}{4} \left[ \frac{2n+4}{3} \right]$
$= \frac{n(n+1) \cdot 2(n+2)}{12} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

(A) माना दी गई श्रेणी $S = 2 + 7 + 14 + 23 + 34 + \dots + a_n$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर $7-2=5$,$14-7=7$,$23-14=9$,$34-23=11$ है,जो $2$ के सार्व अंतर के साथ एक समांतर श्रेणी बनाता है।
माना $n$ वां पद $a_n = An^2 + Bn + C$ है।
$n=1$ के लिए,$A+B+C = 2$।
$n=2$ के लिए,$4A+2B+C = 7$।
$n=3$ के लिए,$9A+3B+C = 14$।
पहले समीकरण को दूसरे से घटाने पर: $3A+B = 5$।
दूसरे समीकरण को तीसरे से घटाने पर: $5A+B = 7$।
इन परिणामों को घटाने पर: $2A = 2$,इसलिए $A = 1$।
$A=1$ को $3A+B=5$ में रखने पर,हमें $B=2$ प्राप्त होता है।
$A=1, B=2$ को $A+B+C=2$ में रखने पर,हमें $1+2+C=2$ प्राप्त होता है,इसलिए $C=-1$।
अतः,सामान्य पद $a_n = n^2 + 2n - 1$ है।
$99$ वें पद के लिए,$n=99$:
$a_{99} = (99)^2 + 2(99) - 1 = 9801 + 198 - 1 = 9998$।

(D) श्रेणी का $k$-वां पद $T_k = 1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{k(k + 1)}{2}$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k + 1)}{2}$ है।
$S_n = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \frac{1}{2} [\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k]$.
सूत्रों $\sum k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ और $\sum k = \frac{n(n + 1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S_n = \frac{1}{2} [\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n + 1)}{2}] = \frac{n(n + 1)}{4} [\frac{2n + 1}{3} + 1]$.
$S_n = \frac{n(n + 1)}{4} [\frac{2n + 4}{3}] = \frac{n(n + 1) \cdot 2(n + 2)}{12} = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}$.

(C) श्रेणी का $n$-वां पद $t_n = \frac{1^3 + 2^3 + \dots + n^3}{1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1)}$ है।
घनों के योग और प्रथम $n$ विषम संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करने पर:
$t_n = \frac{[\frac{n(n+1)}{2}]^2}{n^2} = \frac{n^2(n+1)^2}{4n^2} = \frac{(n+1)^2}{4} = \frac{n^2 + 2n + 1}{4} = \frac{n^2}{4} + \frac{n}{2} + \frac{1}{4}$.
अब,प्रथम $16$ पदों का योग $S_{16} = \sum_{n=1}^{16} t_n = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{16} n^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{16} n + \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{16} 1$.
$S_{16} = \frac{1}{4} \left[ \frac{16(17)(33)}{6} \right] + \frac{1}{2} \left[ \frac{16(17)}{2} \right] + \frac{1}{4} (16)$.
$S_{16} = \frac{1496}{4} + \frac{272}{4} + 4 = 374 + 68 + 4 = 446$.

(D) अंदर से बाहर की ओर त्रिक योग का मूल्यांकन करने पर:
$\sum_{k=1}^j 1 = j$
इसके बाद,$\sum_{j=1}^i j = \frac{i(i+1)}{2}$
अंत में,$\sum_{i=1}^n \frac{i(i+1)}{2} = \frac{1}{2} [\sum_{i=1}^n i^2 + \sum_{i=1}^n i]$
मानक योग सूत्रों $\sum i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum i = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2} [\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}]$
$= \frac{n(n+1)}{4} [\frac{2n+1}{3} + 1]$
$= \frac{n(n+1)}{4} [\frac{2n+4}{3}]$
$= \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

(A) $n$ वाँ पद $a_n = n(n + 1) = n^2 + n$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$ है।
मानक सूत्रों $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ और $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n + 1)}{2}$
$\frac{n(n + 1)}{2}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \left( \frac{2n + 1}{3} + 1 \right)$
$S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \left( \frac{2n + 4}{3} \right) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$

(A) यहाँ,$n$ वाँ पद $T_n = 2n - 1$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (2k - 1)$ है।
योग के सूत्रों $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ का उपयोग करने पर:
$S_n = 2 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1$
$S_n = 2 \left( \frac{n(n+1)}{2} \right) - n$
$S_n = n(n+1) - n$
$S_n = n^2 + n - n = n^2$.

(C) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=0}^{\infty} (1 + a + a^2 + \dots + a^n)x^n$ है।
हम जानते हैं कि $(1 + a + a^2 + \dots + a^n) = \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a}$।
इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a} x^n = \frac{1}{1 - a} \left[ \sum_{n=0}^{\infty} x^n - \sum_{n=0}^{\infty} a^{n+1} x^n \right]$।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग सूत्र $\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1 - r}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{1}{1 - a} \left[ \frac{1}{1 - x} - \frac{a}{1 - ax} \right]$।
सरल करने पर:
$S = \frac{1}{1 - a} \left[ \frac{1 - ax - a + ax}{(1 - x)(1 - ax)} \right] = \frac{1}{(1 - x)(1 - ax)}$।

(D) माना $S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots \infty$.
$x$ से गुणा करने पर,$xS = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots \infty$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$S - xS = 1 + (2x - x) + (3x^2 - 2x^2) + (4x^3 - 3x^3) + \dots \infty$.
$S(1 - x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots \infty$.
दायां पक्ष एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = x$ है।
चूंकि $|x| < 1$,योग $\frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - x}$ होगा।
अतः,$S(1 - x) = \frac{1}{1 - x}$.
$S = \frac{1}{(1 - x)^2}$.

(D) माना कि दिया गया व्यंजक $X = 5^{1/2} \cdot 5^{1/4} \cdot 5^{1/8} \cdots \infty$ है।
चूंकि आधार समान हैं,इसलिए हम घातों को जोड़ते हैं:
$X = 5^{(1/2 + 1/4 + 1/8 + \cdots \infty)}$।
घात एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1/2$ और सार्व अनुपात $r = 1/2$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$S = \frac{1/2}{1 - 1/2} = \frac{1/2}{1/2} = 1$।
अतः,$X = 5^1 = 5$।

(C) माना $S = \sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{r^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots$
हम इसे विषम और सम पदों में विभाजित कर सकते हैं:
$S = \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \dots \right) + \left( \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{6^2} + \dots \right)$
दिया गया है कि $\sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{(2r-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$,इसलिए विषम पदों का योग $\frac{\pi^2}{8}$ है।
सम पदों का योग $\sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{(2r)^2} = \frac{1}{4} \sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{r^2} = \frac{1}{4} S$ है।
अतः,$S = \frac{\pi^2}{8} + \frac{1}{4} S$.
$S - \frac{1}{4} S = \frac{\pi^2}{8} \implies \frac{3}{4} S = \frac{\pi^2}{8}$.
$S = \frac{\pi^2}{8} \times \frac{4}{3} = \frac{\pi^2}{6}$.

(B) माना $S_n = 6 + 66 + 666 + \dots + n \text{ पद}$.
$S_n = \frac{6}{9} (9 + 99 + 999 + \dots + n \text{ पद})$.
$S_n = \frac{2}{3} [(10 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + \dots + (10^n - 1)]$.
$S_n = \frac{2}{3} [(10 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n) - (1 + 1 + 1 + \dots + n \text{ बार})]$.
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ का उपयोग करते हुए:
$S_n = \frac{2}{3} [\frac{10(10^n - 1)}{10 - 1} - n]$.
$S_n = \frac{2}{3} [\frac{10(10^n - 1)}{9} - n]$.
$S_n = \frac{2}{3} [\frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{9}]$.
$S_n = \frac{2(10^{n+1} - 9n - 10)}{27}$.

(B) माना $n$ वां पद $T_n$ है और $n$ पदों का योग $S_n$ है।
$S_n = 1 + 3 + 7 + 15 + \dots + T_n \quad (i)$
$S_n = 1 + 3 + 7 + \dots + T_{n-1} + T_n \quad (ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर:
$0 = 1 + [2 + 4 + 8 + 16 + \dots + (T_n - T_{n-1})] - T_n$
$T_n = 1 + (2 + 4 + 8 + \dots + 2^{n-1})$
$T_n = 1 + \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 1 + 2^n - 2 = 2^n - 1$
अब,$S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (2^k - 1) = \sum_{k=1}^n 2^k - \sum_{k=1}^n 1$
$S_n = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} - n = 2^{n+1} - 2 - n$

(C) माना $x = 0.1232323......$
$x = 0.1 + 0.0232323......$
$x = \frac{1}{10} + \frac{23}{1000} + \frac{23}{100000} + ...$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{23}{1000}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{100}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{23/1000}{1 - 1/100} = \frac{23/1000}{99/100} = \frac{23}{990}$ होता है।
अतः,$x = \frac{1}{10} + \frac{23}{990} = \frac{99 + 23}{990} = \frac{122}{990} = \frac{61}{495}$।