જો પહેલા n યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો સરવાળો, એ | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

ધારો કે $S_1$ પહેલા $n$ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો દર્શાવે છે.

$S_1 = 2 + 4 + 6 + &hellip;.n$પદો સુધી

$ = \frac{{	ext{n}}}{{	ext{2}}}{

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{{{\rm{n}} + {\rm{1}}}}{{\rm{n}}}$

Vedclass · Answer

ધારો કે $S_1$ પહેલા $n$ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો દર્શાવે છે.

$S_1 = 2 + 4 + 6 + &hellip;.n$પદો સુધી

$ = \frac{{	ext{n}}}{{	ext{2}}}{	ext{[2}} 	imes {	ext{2}} + {	ext{(n}} - {	ext{1)}} 	imes {	ext{2]}}\,{	ext{[}}\because \,\,{{	ext{a}}_{	ext{1}}} = {	ext{2,}}\,\,{	ext{d}} = {	ext{2]}}$

$ = \frac{{	ext{n}}}{{	ext{2}}}{	ext{(2n}} + {	ext{2)}} = {	ext{n(n}} + {	ext{1)}}\,\,.....{	ext{(1)}}$

$	herefore \,\,{{	ext{S}}_{	ext{1}}} = \frac{{	ext{n}}}{{	ext{2}}}{	ext{(4}} + {	ext{2n}} - {	ext{2)}}$

ધારો કે $S_2$ પહેલા $n$ અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો દર્શાવે

$	herefore \,\,\,{{	ext{S}}_{	ext{2}}} = {	ext{1}} + {	ext{3}} + {	ext{5}} + .....{	ext{n }}$ પદો સુધી 

$ = \frac{{	ext{n}}}{{	ext{2}}}[2 	imes 1 + {	ext{(n}} - {	ext{1)2]}}\,$

$\,{	ext{[}}\because \,\,{{	ext{a}}_{	ext{1}}} = {	ext{1,}}\,\,{	ext{d}} = {	ext{2]}}$

$	herefore \,\,\,{{	ext{S}}_{	ext{2}}}\,\, = \frac{{	ext{n}}}{{	ext{2}}}{	ext{(2}} + {	ext{2n}} - {	ext{2)}} = \frac{{	ext{n}}}{{	ext{2}}}{	ext{(2n)}} = {{	ext{n}}^{	ext{2}}}\,\,......{	ext{(2)}}$

સમીકરણ (1) ને સમીકરણ (2), વડે ભાગતાં

$\frac{{{{	ext{S}}_{	ext{1}}}}}{{{{	ext{S}}_{	ext{2}}}}} = \frac{{{	ext{n(n}} + {	ext{1)}}}}{{{{	ext{n}}^{	ext{2}}}}} = \frac{{{	ext{n}} + {	ext{1}}}}{{	ext{n}}} = {	ext{1}} + \frac{{	ext{1}}}{{	ext{n}}}$

આમ,${{	ext{S}}_{	ext{1}}} = \left( {{	ext{1}} + \frac{{	ext{1}}}{{	ext{n}}}} ight)\,{{	ext{S}}_{	ext{2}}}\,$

$	herefore \,\,{	ext{k}} = \frac{{{	ext{n}} + {	ext{1}}}}{{	ext{n}}}$

Similar Questions

$3,3^2, 3^3, ......, 3^n$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક કયો હશે ?

સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $p$ પદોનો સરવાળો, પ્રથમ $q$ પદોના સરવાળા જેટલો થાય છે, તો પ્રથમ $(p+q)$ પદોનો સરવાળો શોધો.

સમાંતર શ્રેણીનું $n$ મું પદ $3n - 1$ હોય, તો તેના પ્રથમ પાંચ પદોનો સરવાળો....... છે.

જો સમાંતર શ્રેણી નું $p$ મું, $q$ મું , $r$ મું પદ અનુક્રમે $1/a, 1/b, 1/c$ હોય તો $ab(p - q) + bc(q - r) + ca(r - p) = …….$