Equation of pair of straight lines Questions in Hindi

(A) दी गई रेखाएँ ${x^2} - 9{y^2} = 0$ और $x = 4$ हैं।
हमारे पास ${x^2} - 9{y^2} = 0$ है,जिसे $(x - 3y)(x + 3y) = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
अतः रेखाओं के समीकरण हैं:
$x - 3y = 0$ ..... $(i)$
$x + 3y = 0$ ..... $(ii)$
$x = 4$ ..... $(iii)$
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें त्रिभुज के शीर्ष प्राप्त होते हैं:
$(i)$ और $(ii)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A(0, 0)$ है।
$(i)$ और $(iii)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(4, 4/3)$ है।
$(ii)$ और $(iii)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(4, -4/3)$ है।
अब,हम भुजाओं की लंबाई की गणना करते हैं:
$AB = \sqrt{(4 - 0)^2 + (-4/3 - 0)^2} = \frac{4\sqrt{10}}{3}$
$AC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (4/3 - 0)^2} = \frac{4\sqrt{10}}{3}$
$BC = \sqrt{(4 - 4)^2 + (4/3 - (-4/3))^2} = 8/3$
चूंकि $AB = AC$,इसलिए त्रिभुज $ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(D) दिए गए समीकरण का विस्तार करने पर:
$(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 + y^2) = 0$
$2xy = 0$
इसका अर्थ है कि $x = 0$ या $y = 0$ है।
$x = 0$ $y$-अक्ष को दर्शाता है और $y = 0$ $x$-अक्ष को दर्शाता है।
चूंकि $x$-अक्ष और $y$-अक्ष एक-दूसरे के लंबवत होते हैं,इसलिए यह समीकरण दो परस्पर लंबवत रेखाओं को दर्शाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है। दिया है $m_1 = m_2^2$।
समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से,$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ और $m_1m_2 = \frac{a}{b}$ है।
$m_1 = m_2^2$ को योग और गुणनफल में प्रतिस्थापित करने पर:
$m_2^2 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ $(i)$
$m_2^3 = \frac{a}{b} \Rightarrow m_2 = (\frac{a}{b})^{1/3}$ $(ii)$
$(ii)$ से $m_2$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$(\frac{a}{b})^{2/3} + (\frac{a}{b})^{1/3} = -\frac{2h}{b}$
दोनों पक्षों का घन करने पर:
$(\frac{a}{b})^2 + \frac{a}{b} + 3(\frac{a}{b}) [(\frac{a}{b})^{2/3} + (\frac{a}{b})^{1/3}] = -\frac{8h^3}{b^3}$
$(i)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{a^2}{b^2} + \frac{a}{b} + 3(\frac{a}{b})(-\frac{2h}{b}) = -\frac{8h^3}{b^3}$
$\frac{a^2}{b^2} + \frac{a}{b} - \frac{6ah}{b^2} = -\frac{8h^3}{b^3}$
$b^3$ से गुणा करने पर:
$a^2b + ab^2 - 6abh + 8h^3 = 0$.

(D) दिया गया समीकरण $x^2 + xy + y^2 = 0$ है।
इसे व्यापक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1$,$2h = 1$,और $b = 1$ प्राप्त होता है।
रेखाओं की प्रकृति विविक्तकर $h^2 - ab$ द्वारा निर्धारित होती है।
यहाँ,$h = 1/2$,इसलिए $h^2 - ab = (1/2)^2 - (1)(1) = 1/4 - 1 = -3/4$ है।
चूँकि $h^2 - ab < 0$ है,इसलिए समीकरण द्वारा निरूपित रेखाएँ काल्पनिक हैं।

(B) द्वितीय घात वक्र का सामान्य समीकरण $ax^2 + by^2 + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
इसके सरल रेखाओं के युग्म को निरूपित करने के लिए शर्त $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ है।
दिए गए समीकरण $hxy + gx + fy + c = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,हमें $a = 0, b = 0, h' = h/2, g = g/2, f = f/2, c = c$ प्राप्त होता है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$0(0)(c) + 2(f/2)(g/2)(h/2) - 0(f/2)^2 - 0(g/2)^2 - c(h/2)^2 = 0$।
यह सरल होकर $\frac{fgh}{4} - \frac{ch^2}{4} = 0$ हो जाता है।
$4$ से गुणा करने पर,हमें $fgh - ch^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h(fg - ch) = 0$।
चूंकि $xy$ पद के अस्तित्व के लिए $h \neq 0$ है,इसलिए $fg = ch$ होना चाहिए।

(C) दिया गया समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
इन रेखाओं पर लंबवत रेखाओं के युग्म का समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों को आपस में बदल देते हैं और $xy$ पद का चिह्न बदल देते हैं।
अतः,नया समीकरण $bx^2 - 2hxy + ay^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो $ay^2 - 2hxy + bx^2 = 0$ के बराबर है।

(A) द्वितीय घात का समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ सरल रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है यदि सारणिक $\begin{bmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{bmatrix} = 0$ हो।
दिए गए समीकरण $3x^2 + 2hxy - 3y^2 - 40x + 30y - 75 = 0$ की तुलना करने पर:
$a = 3, b = -3, c = -75, h = h, g = -20, f = 15$ प्राप्त होता है।
सरल रेखाओं के युग्म के लिए शर्त $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ है।
मान रखने पर:
$(3)(-3)(-75) + 2(15)(-20)(h) - 3(15)^2 - (-3)(-20)^2 - (-75)(h)^2 = 0$
$675 - 600h - 675 + 1200 + 75h^2 = 0$
$75h^2 - 600h + 1200 = 0$
$75$ से विभाजित करने पर:
$h^2 - 8h + 16 = 0$
$(h - 4)^2 = 0$
अतः,$h = 4, 4$।

(A) दी गई रेखाओं $y = m_1x + c_1$ और $y = m_2x + c_2$ के समांतर और मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाएं $y = m_1x$ और $y = m_2x$ हैं।
इन्हें $(y - m_1x) = 0$ और $(y - m_2x) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इन दो रेखाओं का संयुक्त समीकरण $(y - m_1x)(y - m_2x) = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $y^2 - m_2xy - m_1xy + m_1m_2x^2 = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $m_1m_2x^2 - (m_1 + m_2)xy + y^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $ab(x^2 - y^2) + (a^2 - b^2)xy = 0$
पदों का विस्तार करने पर: $abx^2 - aby^2 + a^2xy - b^2xy = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $abx^2 + a^2xy - b^2xy - aby^2 = 0$
समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करने पर: $ax(bx + ay) - by(bx + ay) = 0$
उभयनिष्ठ पद को बाहर निकालने पर: $(bx + ay)(ax - by) = 0$
अतः,रेखाएं $bx + ay = 0$ और $ax - by = 0$ हैं।

(C) माना $X = x - 5$ और $Y = y - 6$ है। समीकरण $X^2 + XY - 2Y^2 = 0$ हो जाता है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $X^2 + 2XY - XY - 2Y^2 = 0$
$X(X + 2Y) - Y(X + 2Y) = 0$
$(X - Y)(X + 2Y) = 0$
$X = x - 5$ और $Y = y - 6$ वापस रखने पर:
$((x - 5) - (y - 6))((x - 5) + 2(y - 6)) = 0$
$(x - y + 1)(x + 2y - 17) = 0$
यह दो सीधी रेखाओं को दर्शाता है। चूँकि दोनों गुणनखंड $(5, 6)$ पर शून्य हो जाते हैं,इसलिए रेखाएँ बिंदु $(5, 6)$ से गुजरती हैं।

(D) $x$ और $y$ में एक द्वितीय घात का समघातीय समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के रूप का होता है।
यह समीकरण हमेशा मूल बिंदु से गुजरने वाली दो सीधी रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ सरल रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है यदि सारणिक $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ हो।
दिए गए समीकरण $6x^2 + 11xy - 10y^2 + x + 31y + k = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर:
$a = 6, b = -10, c = k, h = \frac{11}{2}, g = \frac{1}{2}, f = \frac{31}{2}$.
इन मानों को शर्त $\Delta = 0$ में रखने पर:
$6(-10)(k) + 2(\frac{31}{2})(\frac{1}{2})(\frac{11}{2}) - 6(\frac{31}{2})^2 - (-10)(\frac{1}{2})^2 - k(\frac{11}{2})^2 = 0$
$-60k + \frac{341}{4} - 6(\frac{961}{4}) + \frac{10}{4} - \frac{121k}{4} = 0$
पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर:
$-240k + 341 - 5766 + 10 - 121k = 0$
$-361k - 5415 = 0$
$361k = -5415$
$k = -\frac{5415}{361} = -15$.

(B) माना रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है। समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के लिए,$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ और $m_1m_2 = \frac{a}{b}$ है।
दिया गया है कि $4ab = 3h^2$,इसलिए $ab = \frac{3h^2}{4}$।
अब,$(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1m_2 = \frac{4h^2}{b^2} - 4\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{4h^2 - 4ab}{b^2}$।
$4ab = 3h^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$(m_1 - m_2)^2 = \frac{4h^2 - 3h^2}{b^2} = \frac{h^2}{b^2}$,अतः $m_1 - m_2 = \pm \frac{h}{b}$।
$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ और $m_1 - m_2 = \frac{h}{b}$ को हल करने पर,$2m_1 = -\frac{h}{b} \implies m_1 = -\frac{h}{2b}$ और $2m_2 = -\frac{3h}{b} \implies m_2 = -\frac{3h}{2b}$ प्राप्त होता है।
अनुपात $m_1 : m_2 = \left(-\frac{h}{2b}\right) : \left(-\frac{3h}{2b}\right) = 1:3$ है।

(C) दिया गया समीकरण $a(b - c)x^2 - xy(a(b - c) + c(a - b)) + c(a - b)y^2 = 0$ है।
यह $Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 0$ के रूप में $x$ और $y$ में एक द्विघात समीकरण है।
हम इसे $(a(b - c)x - c(a - b)y)(x - y) = 0$ के रूप में गुणनखंडित कर सकते हैं।
अतः,रेखाएँ $a(b - c)x - c(a - b)y = 0$ और $x - y = 0$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर,$a + 2h(\frac{y}{x}) + b(\frac{y}{x})^2 = 0$ प्राप्त होता है।
माना $m = \frac{y}{x}$,तो $bm^2 + 2hm + a = 0$ होगा।
यह $m$ में एक द्विघात समीकरण है जिसके मूल $m_1$ और $m_2$ हैं।
मूलों के योग के गुणधर्म से,$m_1 + m_2 = \frac{-2h}{b}$।
मूलों के गुणनफल के गुणधर्म से,$m_1m_2 = \frac{a}{b}$।
अतः,सही संबंध $m_1 + m_2 = \frac{-2h}{b}$ और $m_1m_2 = \frac{a}{b}$ है।

(A) दिया गया समीकरण $4x^2 + 12xy + 9y^2 = 0$ है।
इसे द्वितीय घात के व्यापक समघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 4$,$2h = 12$ (अर्थात $h = 6$),और $b = 9$ प्राप्त होता है।
रेखाओं की प्रकृति $h^2 - ab$ के मान द्वारा निर्धारित होती है।
$h^2 - ab = (6)^2 - (4)(9) = 36 - 36 = 0$ की गणना करने पर।
चूंकि $h^2 - ab = 0$ है,इसलिए समीकरण द्वारा निरूपित रेखाएं वास्तविक और संपाती हैं।

(A) सरल रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिए गए समीकरण $2x^2 - 10xy + 12y^2 + 5x - 16y - 3 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 2$,$2h = -10$ (अर्थात $h = -5$),और $b = 12$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु से गुजरने वाली और दी गई रेखाओं पर लंब रेखाओं के युग्म का समीकरण $bx^2 - 2hxy + ay^2 = 0$ होता है।
मान रखने पर,हमें $12x^2 - (-10)xy + 2y^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो $12x^2 + 10xy + 2y^2 = 0$ में सरल हो जाता है।
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $6x^2 + 5xy + y^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) एक सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ सरल रेखाओं के युग्म को दर्शाता है यदि सारणिक $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ हो।
विकल्प $(c)$ के लिए,समीकरण $4x^2 - 4xy + y^2 - 4 = 0$ है।
यहाँ,$a = 4, h = -2, b = 1, g = 0, f = 0, c = -4$ है।
सारणिक की गणना करने पर: $\Delta = (4)(1)(-4) + 2(0)(-2)(0) - 4(0)^2 - 1(0)^2 - (-4)(-2)^2 = -16 + 0 - 0 - 0 + 16 = 0$ है।
चूँकि $\Delta = 0$,समीकरण $4x^2 - 4xy + y^2 = 4$ सरल रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है।

(A) सरल रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ है।
दिए गए समीकरण ${a^2}{x^2} - a(b + c)xy + bc{y^2} = 0$ की तुलना मानक रूप से करने पर,$A = a^2$,$2H = -a(b + c)$,और $B = bc$ प्राप्त होता है।
रेखाएँ संपाती होती हैं यदि $H^2 - AB = 0$ हो।
मान रखने पर,$\left\{ -\frac{a(b + c)}{2} \right\}^2 - (a^2)(bc) = 0$ प्राप्त होता है।
$\frac{a^2(b + c)^2}{4} - a^2bc = 0$.
$a^2(b^2 + 2bc + c^2) - 4a^2bc = 0$.
$a^2(b^2 - 2bc + c^2) = 0$.
$a^2(b - c)^2 = 0$.
अतः,$a = 0$ या $b = c$।

(D) मूल बिंदु से गुजरने वाली सरल रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2h'xy + by^2 = 0$ है।
दिए गए समीकरण $2x^2 - 2hxy + 2y^2 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 2$,$b = 2$,और $2h' = -2h$ प्राप्त होता है,इसलिए $h' = -h$।
रेखाओं के संपाती होने के लिए शर्त $h'^2 - ab = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $(-h)^2 - (2)(2) = 0$ प्राप्त होता है।
$h^2 - 4 = 0$।
$h^2 = 4$।
अतः,$h = \pm 2$।

(A) दी गई रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
चूंकि $y = mx$ एक रेखा है,हम दिए गए समीकरण में $y = mx$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$ax^2 + 2h(mx)x + b(mx)^2 = 0$
$ax^2 + 2hmx^2 + bm^2x^2 = 0$
$x^2$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$x^2(a + 2hm + bm^2) = 0$
चूंकि $x^2 \neq 0$,इसलिए:
$bm^2 + 2hm + a = 0$.

(A) दिया गया समीकरण $2x^2 - xy - 6y^2 + 7x + 21y - 15 = 0$ है।
$ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के समांतर रेखाओं का समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + k = 0$ के रूप में होता है।
चूंकि ये रेखाएं मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरती हैं,इसलिए $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर हमें $k = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल बिंदु से गुजरने वाली और दी गई रेखाओं के समांतर रेखाओं का समीकरण $2x^2 - xy - 6y^2 = 0$ है।

(C) द्विघात समीकरण का सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिए गए समीकरण $2x^2 + 4xy - py^2 + 4x + qy + 1 = 0$ की तुलना करने पर,$a = 2, h = 2, b = -p, g = 2, f = q/2, c = 1$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के लंबवत होने के लिए शर्त $a + b = 0$ है।
$2 + (-p) = 0 \Rightarrow p = 2$।
रेखाओं के युग्म को निरूपित करने के लिए शर्त $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ है।
मान रखने पर: $2(-p)(1) + 2(q/2)(2)(2) - 2(q/2)^2 - (-p)(2)^2 - 1(2)^2 = 0$।
$p = 2$ रखने पर: $-4 + 4q - q^2/2 + 8 - 4 = 0$।
$-q^2/2 + 4q = 0 \Rightarrow q^2 - 8q = 0$।
$q(q - 8) = 0 \Rightarrow q = 0$ या $q = 8$।
अतः,$p = 2$ और $q = 0$ या $8$।

(D) सामान्य द्विघात समीकरण $Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ सरल रेखाओं के एक युग्म को तभी दर्शाता है जब सारणिक $\begin{bmatrix} A & B & D/2 \\ B & C & E/2 \\ D/2 & E/2 & F \end{bmatrix}$ का मान $0$ हो।
यह शर्त $ACF + 2B(D/2)(E/2) - A(E/2)^2 - C(D/2)^2 - F(B^2) = 0$ द्वारा दी जाती है।
यह शर्त $B^2 - AC$ के चिह्न को विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं करती है। रेखाओं के युग्म के लिए,$B^2 - AC$ धनात्मक (प्रतिच्छेदी रेखाएं),शून्य (समांतर रेखाएं),या ऋणात्मक (काल्पनिक रेखाएं) हो सकता है। इसलिए,दिए गए विकल्पों में से कोई भी सार्वभौमिक रूप से सही नहीं है।

(B) दिया गया समीकरण $xy + a^2 = a(x + y)$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $xy - ax - ay + a^2 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे गुणनखंडित करने पर $x(y - a) - a(y - a) = 0$ मिलता है।
अतः,$(x - a)(y - a) = 0.$
यह दो सरल रेखाओं को दर्शाता है: $x = a$ और $y = a.$
चूंकि यह दो प्रतिच्छेदी सरल रेखाओं को दर्शाता है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(C) माना कि दो रेखाओं के ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं। दिया गया है कि $m_2 = \lambda m_1$.
समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से,$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ और $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ है।
योग में $m_2 = \lambda m_1$ रखने पर: $m_1(1 + \lambda) = -\frac{2h}{b} \Rightarrow m_1 = -\frac{2h}{b(1 + \lambda)}$.
गुणनफल में $m_2 = \lambda m_1$ रखने पर: $\lambda m_1^2 = \frac{a}{b} \Rightarrow m_1^2 = \frac{a}{b\lambda}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\left(-\frac{2h}{b(1 + \lambda)}\right)^2 = \frac{a}{b\lambda}$.
$\frac{4h^2}{b^2(1 + \lambda)^2} = \frac{a}{b\lambda}$.
$4\lambda h^2 = ab(1 + \lambda)^2$.

(A) दी गई रेखाओं के समीकरण हैं:
$ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ ..... $(i)$
$a'x^2 + 2h'xy + b'y^2 = 0$ ..... $(ii)$
माना उभयनिष्ठ रेखा $y = mx$ है। दोनों समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$a + 2hm + bm^2 = 0$ ..... $(iii)$
$a' + 2h'm + b'm^2 = 0$ ..... $(iv)$
$m$ को विलुप्त करने के लिए वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{m^2}{2ha' - 2h'a} = \frac{-m}{ab' - a'b} = \frac{1}{2bh' - 2b'h}$
प्रथम और तृतीय पद से: $m^2 = \frac{ha' - h'a}{bh' - b'h}$
द्वितीय और तृतीय पद से: $m = -\frac{ab' - a'b}{2(bh' - b'h)}$
$m$ के व्यंजक का वर्ग करने पर: $m^2 = \frac{(ab' - a'b)^2}{4(bh' - b'h)^2}$
$m^2$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$(ab' - a'b)^2 = 4(ah' - a'h)(hb' - h'b)$

(A) सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिए गए समीकरण $2y^2 - xy - x^2 + 6x - 8 = 0$ के साथ तुलना करने पर,$a = -1, h = -1/2, b = 2, g = 3, f = 0, c = -8$ प्राप्त होता है।
समीकरण द्वारा सरल रेखाओं का युग्म दर्शाने की शर्त $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ है।
मान रखने पर: $\Delta = (-1)(2)(-8) + 2(0)(3)(-1/2) - (-1)(0)^2 - (2)(3)^2 - (-8)(-1/2)^2$.
$\Delta = 16 + 0 - 0 - 18 - (-8)(1/4) = 16 - 18 + 2 = 0$.
चूंकि $\Delta = 0$,इसलिए यह समीकरण सरल रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है।

(D) दिया गया समीकरण: ${x^2} - 5xy + 6{y^2} = 0$
मध्य पद को विभाजित करने पर:
${x^2} - 2xy - 3xy + 6{y^2} = 0$
समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करने पर:
$x(x - 2y) - 3y(x - 2y) = 0$
$(x - 2y)(x - 3y) = 0$
अतः,रेखाएँ $x - 2y = 0$ और $x - 3y = 0$ हैं।
दिए गए विकल्पों में से कोई भी प्राप्त समीकरणों से मेल नहीं खाता है।

(C) द्विघात समीकरण का व्यापक रूप $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ है।
इसके सरल रेखाओं के युग्म को दर्शाने की शर्त $ABC + 2FGH - AF^2 - BG^2 - CH^2 = 0$ है।
समीकरण $ax^2 + by^2 + cx + cy = 0$ की तुलना करने पर:
$A = a, B = b, C = 0, H = 0, G = c/2, F = c/2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$a(b)(0) + 2(c/2)(c/2)(0) - a(c/2)^2 - b(c/2)^2 - 0(0)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर:
$-a(c^2/4) - b(c^2/4) = 0$ प्राप्त होता है।
$-4$ से गुणा करने पर:
$ac^2 + bc^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$c^2(a + b) = 0$।
अतः,$c(a + b) = 0$।

(A) दिया गया समीकरण $ax^2 + (a + b)xy + by^2 + x + y = 0$ है।
हम पदों को समूहित करके इस व्यंजक का गुणनखंड कर सकते हैं:
$ax^2 + axy + by^2 + bxy + x + y = 0$
$ax(x + y) + by(y + x) + 1(x + y) = 0$
$(ax + by + 1)(x + y) = 0$।
अतः,समीकरण द्वारा निरूपित रेखाएं $ax + by + 1 = 0$ और $x + y = 0$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण $x^2 - 7xy + 12y^2 = 0$ है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $x^2 - 3xy - 4xy + 12y^2 = 0$.
$x(x - 3y) - 4y(x - 3y) = 0$.
$(x - 3y)(x - 4y) = 0$.
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली दो सीधी रेखाओं $x - 3y = 0$ और $x - 4y = 0$ को दर्शाता है।
चूंकि ढाल $m_1 = 1/3$ और $m_2 = 1/4$ हैं,और $m_1 \times m_2 \neq -1$,रेखाएं लंबवत नहीं हैं और मूल बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया समीकरण ${y^2} - ({x^2} - 2x + 1) = 0$ है।
इसे ${y^2} - {(x - 1)^2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सर्वसमिका ${a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर,हमें $(y - (x - 1))(y + (x - 1)) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका सरलीकरण $(y - x + 1)(y + x - 1) = 0$ है।
चूंकि समीकरण को दो रैखिक समीकरणों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह दो सरल रेखाओं का युग्म दर्शाता है।

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ दो सीधी रेखाओं को दर्शाता है यदि $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ हो।
दिए गए समीकरण $\lambda x^2 - 5xy + 2y^2 + 5x - 7y + 3 = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर:
$a = \lambda, b = 2, c = 3, h = -5/2, g = 5/2, f = -7/2$.
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$\lambda(2)(3) + 2(-7/2)(5/2)(-5/2) - \lambda(-7/2)^2 - 2(5/2)^2 - 3(-5/2)^2 = 0$
$6\lambda + 175/4 - 49\lambda/4 - 25/2 - 75/4 = 0$
हर को हटाने के लिए $4$ से गुणा करने पर:
$24\lambda + 175 - 49\lambda - 50 - 75 = 0$
$-25\lambda + 50 = 0$
$25\lambda = 50 \Rightarrow \lambda = 2$.

(C) दिया गया समीकरण $x^2 + 2xy \cot \theta - y^2 = 0$ है।
यह $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के रूप का $2$ घात का समघाती समीकरण है,जहाँ $a = 1$,$h = \cot \theta$,और $b = -1$ है।
इस समीकरण द्वारा निरूपित रेखाएँ $y = \frac{h \pm \sqrt{h^2 - ab}}{b} x$ द्वारा दी जाती हैं।
मान रखने पर: $y = \frac{\cot \theta \pm \sqrt{\cot^2 \theta - (1)(-1)}}{-1} x$.
$y = -(\cot \theta \pm \sqrt{\csc^2 \theta}) x$.
$y = -(\cot \theta \pm \csc \theta) x$.
धनात्मक चिह्न के लिए: $y = -(\frac{\cos \theta + 1}{\sin \theta}) x \Rightarrow x \sin \theta + y(\cos \theta + 1) = 0$.
ऋणात्मक चिह्न के लिए: $y = -(\frac{\cos \theta - 1}{\sin \theta}) x \Rightarrow x \sin \theta + y(\cos \theta - 1) = 0$.
अतः,एक रेखा $x \sin \theta + y(\cos \theta + 1) = 0$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $pq(x^2 - y^2) + (p^2 - q^2)xy = 0$
पदों का विस्तार करने पर: $pqx^2 - pqy^2 + p^2xy - q^2xy = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $pqx^2 + p^2xy - q^2xy - pqy^2 = 0$
पदों का समूह बनाने पर: $px(qx + py) - qy(qx + py) = 0$
उभयनिष्ठ पद को बाहर निकालने पर: $(qx + py)(px - qy) = 0$
अतः,दो रेखाएँ $qx + py = 0$ और $px - qy = 0$ हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही समीकरण $px - qy = 0$ है।

(B) सरल रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $3x^2 - 8xy + 5y^2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(3x - 5y)(x - y) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखाएँ $3x - 5y = 0$ और $x - y = 0$ हैं।
बिंदु $(1, 2)$ से गुजरने वाली और लंबवत रेखाएँ $5x + 3y - 11 = 0$ और $x + y - 3 = 0$ हैं।
अतः,संयुक्त समीकरण $(5x + 3y - 11)(x + y - 3) = 0$ है।

(A) सामान्य द्विघात समीकरण $f(x, y) = ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है यदि $\Delta = 0$ हो।
यदि $h^2 = ab$ है,तो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $h^2 = ab$ है,इसलिए $\tan \theta = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\theta = 0$।
जब $\Delta = 0$ और $h^2 = ab$ होता है,तो रेखाएं समांतर होती हैं।

(C) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
इस समीकरण के संपाती रेखाओं को निरूपित करने के लिए शर्त $h^2 - ab = 0$ का पालन होना चाहिए।
दिए गए समीकरण $x^2 + 4xy + ky^2 = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,हमें $a = 1$,$2h = 4$ (अर्थात $h = 2$),और $b = k$ प्राप्त होता है।
इन मानों को शर्त $h^2 - ab = 0$ में रखने पर:
$(2)^2 - (1)(k) = 0$
$4 - k = 0$
$k = 4$.

(C) दो रेखाओं $L_1 = 0$ और $L_2 = 0$ का संयुक्त समीकरण $L_1 \times L_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई रेखाएँ $x + y - 1 = 0$ और $x - y - 4 = 0$ हैं।
अतः,संयुक्त समीकरण $(x + y - 1)(x - y - 4) = 0$ है।

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ सरल रेखाओं का एक युग्म निरूपित करता है यदि $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ हो।
दिए गए समीकरण $x^2 - \lambda xy + 2y^2 + 3x - 5y + 2 = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर:
$a = 1, b = 2, c = 2, h = -\frac{\lambda}{2}, g = \frac{3}{2}, f = -\frac{5}{2}$.
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$(1)(2)(2) + 2(-\frac{5}{2})(\frac{3}{2})(-\frac{\lambda}{2}) - (1)(-\frac{5}{2})^2 - (2)(\frac{3}{2})^2 - (2)(-\frac{\lambda}{2})^2 = 0$.
$4 + \frac{15\lambda}{4} - \frac{25}{4} - \frac{18}{4} - \frac{\lambda^2}{2} = 0$.
$4$ से गुणा करने पर:
$16 + 15\lambda - 25 - 18 - 2\lambda^2 = 0$.
$2\lambda^2 - 15\lambda + 27 = 0$.
$(2\lambda - 9)(\lambda - 3) = 0$.
अतः,$\lambda = 3$ या $\lambda = \frac{9}{2}$.

(D) द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ एक रेखा युग्म को निरूपित करता है यदि सारणिक $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ हो।
दिए गए समीकरण $2x^2 + 7xy + 3y^2 + 8x + 14y + \lambda = 0$ की तुलना व्यापक रूप से करने पर:
$a = 2, h = 7/2, b = 3, g = 4, f = 7, c = \lambda$.
शर्त $\Delta = 0$ में मान रखने पर:
$(2)(3)(\lambda) + 2(7)(4)(7/2) - 2(7)^2 - 3(4)^2 - \lambda(7/2)^2 = 0$
$6\lambda + 196 - 98 - 48 - 49\lambda/4 = 0$
$6\lambda - 12.25\lambda + 50 = 0$
$-6.25\lambda = -50$
$\lambda = 8$.

(A) माना $x^2 + hxy + 2y^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं की प्रवणताएँ $m_1$ और $m_2$ हैं।
दिया गया है कि $m_1 = 2m_2$ है।
समीकरण $ax^2 + hxy + by^2 = 0$ के लिए,$m_1 + m_2 = -\frac{h}{b}$ और $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ होता है।
यहाँ $a = 1$,$h = h$,और $b = 2$ है।
अतः,$m_1 + m_2 = -\frac{h}{2}$ और $m_1 m_2 = \frac{1}{2}$।
योग में $m_1 = 2m_2$ रखने पर: $3m_2 = -\frac{h}{2} \Rightarrow m_2 = -\frac{h}{6}$।
गुणनफल में रखने पर: $(2m_2)(m_2) = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2m_2^2 = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow m_2^2 = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow m_2 = \pm \frac{1}{2}$।
अब,$3(\pm \frac{1}{2}) = -\frac{h}{2}$ $\Rightarrow \pm \frac{3}{2} = -\frac{h}{2}$ $\Rightarrow h = \mp 3$।
अतः,$h = \pm 3$।

(B) द्विघात समीकरण का सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिए गए समीकरण $L{x^2} - 10xy + 12{y^2} + 5x - 16y - 3 = 0$ की तुलना करने पर:
$a = L, h = -5, b = 12, g = \frac{5}{2}, f = -8, c = -3$ प्राप्त होता है।
सरल रेखाओं के युग्म के लिए शर्त $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ है।
मान रखने पर:
$L(12)(-3) + 2(-8)(\frac{5}{2})(-5) - L(-8)^2 - 12(\frac{5}{2})^2 - (-3)(-5)^2 = 0$
$-36L + 200 - 64L - 75 + 75 = 0$
$-100L + 200 = 0$
$L = 2$.

(C) माना रेखाओं की प्रवणताएँ $m_1$ और $m_2$ हैं। दिया गया है $m_1 : m_2 = 1 : 3$,इसलिए $m_1 = m$ और $m_2 = 3m$ लें।
समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के लिए,$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ और $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ होता है।
मान रखने पर,$m + 3m = 4m = -\frac{2h}{b}$,जिससे $m = -\frac{h}{2b}$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$m(3m) = 3m^2 = \frac{a}{b}$।
दूसरे समीकरण में $m = -\frac{h}{2b}$ रखने पर: $3(-\frac{h}{2b})^2 = \frac{a}{b}$।
$3(\frac{h^2}{4b^2}) = \frac{a}{b}$।
$\frac{3h^2}{4b^2} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{h^2}{ab} = \frac{4b^2}{3b^2} = \frac{4}{3}$।
वैकल्पिक रूप से,$1 : n$ अनुपात के लिए,शर्त $\frac{h^2}{ab} = \frac{(n+1)^2}{4n}$ है।
$n = 3$ के लिए,$\frac{h^2}{ab} = \frac{(3+1)^2}{4(3)} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$।

(C) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2 + 4xy + y^2 = 0$ है।
इसे $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ से तुलना करने पर,$A = a$,$2H = 4$ (अतः $H = 2$),और $B = 1$ प्राप्त होता है।
माना कि दोनों रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं।
तब $m_1 + m_2 = -\frac{2H}{B} = -\frac{4}{1} = -4$ $(i)$.
और $m_1 m_2 = \frac{A}{B} = \frac{a}{1} = a$ $(ii)$.
दिया गया है कि $m_1 = 3m_2$.
इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$3m_2 + m_2 = -4$,जिसका अर्थ है $4m_2 = -4$,अतः $m_2 = -1$.
तब $m_1 = 3(-1) = -3$.
इन मानों को $(ii)$ में रखने पर,$a = m_1 m_2 = (-3)(-1) = 3$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए समीकरण $4x^2 + 2hxy - 7y^2 = 0$ की तुलना मानक समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से करने पर,हमें $a = 4$,$2h = 2h$ और $b = -7$ प्राप्त होता है।
माना $m_1$ और $m_2$ रेखाओं की प्रवणताएँ हैं।
प्रवणताओं का योग $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{2h}{-7} = \frac{2h}{7}$ है।
प्रवणताओं का गुणनफल $m_1m_2 = \frac{a}{b} = \frac{4}{-7}$ है।
दिया गया है कि प्रवणताओं का योग उनके गुणनफल के बराबर है,इसलिए $m_1 + m_2 = m_1m_2$ है।
मान रखने पर,$\frac{2h}{7} = \frac{4}{-7}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $7$ से गुणा करने पर,$2h = -4$ प्राप्त होता है।
अतः,$h = -2$।

(C) माना रेखाओं की प्रवणताएँ $m_1$ और $m_2$ हैं।
समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से,हमारे पास है:
$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ और $m_1m_2 = \frac{a}{b}$.
दिया गया है कि $m_1 = 2m_2$,इसलिए:
$2m_2 + m_2 = -\frac{2h}{b} \implies 3m_2 = -\frac{2h}{b} \implies m_2 = -\frac{2h}{3b}$.
$m_1 = 2m_2$ को गुणनफल के सूत्र में रखने पर:
$(2m_2)(m_2) = \frac{a}{b} \implies 2m_2^2 = \frac{a}{b}$.
$m_2 = -\frac{2h}{3b}$ का मान रखने पर:
$2\left(-\frac{2h}{3b}\right)^2 = \frac{a}{b} \implies 2\left(\frac{4h^2}{9b^2}\right) = \frac{a}{b}$.
$\frac{8h^2}{9b^2} = \frac{a}{b} \implies 8h^2 = 9ab$.

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ सरल रेखाओं के युग्म को दर्शाता है यदि सारणिक $\begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} = 0$ हो।
दिए गए समीकरण की तुलना करने पर,$a=1, b=1, c=6, h=k/2, g=-5/2, f=-7/2$ प्राप्त होता है।
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & k/2 & -5/2 \\ k/2 & 1 & -7/2 \\ -5/2 & -7/2 & 6 \end{vmatrix} = 0$
इस समीकरण को हल करने पर $6k^2 - 35k + 50 = 0$ प्राप्त होता है।
जिसके गुणनखंड $(2k - 5)(3k - 10) = 0$ हैं।
अतः,$k = 5/2$ या $k = 10/3$। विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $10/3$ है।