Equation of lines joining the origin to the point of intersection of a curve and a line and Distance between the pair of lines Questions in Hindi

(A) माना कि रेखा द्वारा अक्षों पर काटे गए अंतःखंड $a$ और $a$ हैं (क्योंकि उनकी लंबाई समान है)।
रेखा के अंतःखंड रूप के समीकरण का उपयोग करते हुए: $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$।
$a$ से गुणा करने पर,हमें $x + y = a$ प्राप्त होता है,या $x + y - a = 0$।
यह समीकरण $Ax + By + C = 0$ के रूप में है,जहाँ $A = 1$ और $B = 1$ है।
रेखा का ढाल $m$,$m = -\frac{A}{B} = -\frac{1}{1} = -1$ द्वारा दिया जाता है।
वैकल्पिक रूप से,यदि अंतःखंड परिमाण में समान हैं लेकिन चिह्न में विपरीत हैं,तो ढाल $1$ हो सकता है। हालाँकि,दिए गए विकल्पों को देखते हुए,मानक व्याख्या समान अंतःखंड $a$ है,जिससे ढाल $-1$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि अभीष्ट रेखाओं की ढाल $m_1$ है। रेखा $y = mx + c$ (ढाल $m$) और अभीष्ट रेखाओं (मूल बिंदु से गुजरने वाली,ढाल $m_1$) के बीच का कोण $\theta = \tan^{-1} m$ है।
सूत्र $\tan \theta = |\frac{m_1 - m}{1 + m_1 m}|$ का उपयोग करने पर,हमें $m = |\frac{m_1 - m}{1 + m_1 m}|$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $\frac{m_1 - m}{1 + m_1 m} = m \implies m_1 - m = m + m^2 m_1 \implies m_1(1 - m^2) = 2m \implies m_1 = \frac{2m}{1 - m^2}$.
इस रेखा का समीकरण $y = \frac{2m}{1 - m^2}x$ है,जो $2mx + (m^2 - 1)y = 0$ में सरल हो जाता है।
स्थिति $2$: $\frac{m_1 - m}{1 + m_1 m} = -m \implies m_1 - m = -m - m^2 m_1 \implies m_1(1 + m^2) = 0 \implies m_1 = 0$.
इस रेखा का समीकरण $y = 0x$ है,अर्थात $y = 0$.
अतः,समीकरण $y = 0$ और $2mx + (m^2 - 1)y = 0$ हैं।

(D) दिए गए समीकरण $y - x + 7 = 0$ $(1)$ और $y + 2x - 2 = 0$ $(2)$ हैं।
$(2)$ में से $(1)$ घटाने पर,$(y + 2x - 2) - (y - x + 7) = 0$,जो $3x - 9 = 0$ में सरल होता है,इसलिए $x = 3$।
$x = 3$ को $(1)$ में रखने पर,$y - 3 + 7 = 0$,इसलिए $y = -4$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, -4)$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ और $(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y = \frac{y_1}{x_1}x$ है।
$(3, -4)$ रखने पर,$y = \frac{-4}{3}x$,जिसका अर्थ है $3y = -4x$ या $4x + 3y = 0$।

(C) दिए गए वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाले किसी भी वक्र का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $S_1 = 2x^2 + 3y^2 + 10x$ और $S_2 = 3x^2 + 5y^2 + 16x$ है।
अतः,$(2x^2 + 3y^2 + 10x) + \lambda(3x^2 + 5y^2 + 16x) = 0$।
$(2 + 3\lambda)x^2 + (3 + 5\lambda)y^2 + (10 + 16\lambda)x = 0$ ... $(i)$
इस समीकरण को मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का युग्म निरूपित करने के लिए,इसे द्वितीय घात का समघातीय समीकरण होना चाहिए। इसलिए,$x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए।
$10 + 16\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{10}{16} = -\frac{5}{8}$।
$\lambda = -\frac{5}{8}$ को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2 + 3(-\frac{5}{8}))x^2 + (3 + 5(-\frac{5}{8}))y^2 = 0$
$(\frac{16 - 15}{8})x^2 + (\frac{24 - 25}{8})y^2 = 0$
$\frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{8}y^2 = 0 \Rightarrow x^2 - y^2 = 0$।
यह रेखाओं के युग्म $x - y = 0$ और $x + y = 0$ को निरूपित करता है।
ढाल $m_1 = 1$ और $m_2 = -1$ हैं। चूँकि $m_1 \times m_2 = -1$,रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं और उनके बीच का कोण $90^\circ$ है।

(A) मूल बिंदु को प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण प्राप्त करने के लिए,हम रेखा $2x + y = 1$ का उपयोग करके वक्र $3x^2 + 4xy - 4x + 1 = 0$ के समीकरण को समघात (homogenize) बनाते हैं।
$1 = (2x + y)$ को वक्र के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$3x^2 + 4xy - 4x(2x + y) + (2x + y)^2 = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$3x^2 + 4xy - 8x^2 - 4xy + 4x^2 + 4xy + y^2 = 0$
समीकरण को सरल करने पर:
$-x^2 + 4xy + y^2 = 0$ या $x^2 - 4xy - y^2 = 0$
इसे $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के साथ तुलना करने पर,$a = 1$,$2h = -4$ (अतः $h = -2$),और $b = -1$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $a + b = 1 + (-1) = 0$,हर $0$ है,जिसका अर्थ है $\tan \theta = \infty$.
अतः,$\theta = \pi/2$,जिसका अर्थ है कि रेखाएं परस्पर लंबवत हैं।

(B) दिया गया वक्र $x^2 + y^2 - 2x - 1 = 0$ है और रेखा $x + y = 1$ है।
वक्र के समीकरण को $2$ घात वाले समघातीय समीकरण में बदलने के लिए,रेखा को $(x + y) = 1$ के रूप में लिखते हैं।
इसे वक्र के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + y^2 - 2x(x + y) - (x + y)^2 = 0$
$x^2 + y^2 - 2x^2 - 2xy - (x^2 + 2xy + y^2) = 0$
$-2x^2 - 4xy = 0$
$x^2 + 2xy = 0$
इसे $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 1, h = 1, b = 0$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{1^2 - (1)(0)}}{1 + 0} \right| = 2$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(2)$.

(B) दिए गए दो वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से होकर गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण समघातीकरण (homogenization) द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
दिए गए वक्र:
$S_1: ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx = 0$
$S_2: a'x^2 + 2h'xy + b'y^2 + 2g'x = 0$
$S_1$ को $S_2$ का उपयोग करके समघाती बनाने पर:
$g'(ax^2 + 2hxy + by^2) = g(a'x^2 + 2h'xy + b'y^2)$
$(ag' - a'g)x^2 + 2(hg' - h'g)xy + (bg' - b'g)y^2 = 0$
रेखाओं के परस्पर लंब होने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(ag' - a'g) + (bg' - b'g) = 0$
$g'(a + b) - g(a' + b') = 0$
$g(a' + b') = g'(a + b)$.

(A) दिया गया समीकरण $x^2 + 2\sqrt{3}xy + 3y^2 - 3x - 3\sqrt{3}y - 4 = 0$ है।
इसे व्यापक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=\sqrt{3}, b=3, g=-3/2, f=-3\sqrt{3}/2, c=-4$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,$h^2 - ab = (\sqrt{3})^2 - (1)(3) = 3 - 3 = 0$ की जाँच करके देखें कि क्या रेखाएँ समांतर हैं। चूँकि $h^2 - ab = 0$ है,इसलिए रेखाएँ समांतर हैं।
दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी का सूत्र $d = 2\sqrt{\frac{g^2 - ac}{a(a + b)}}$ है।
मान रखने पर: $d = 2\sqrt{\frac{(-3/2)^2 - (1)(-4)}{1(1 + 3)}} = 2\sqrt{\frac{9/4 + 4}{4}} = 2\sqrt{\frac{25/4}{4}} = 2\sqrt{\frac{25}{16}} = 2 \times \frac{5}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$.

(D) वक्र का समीकरण $x^2 + hxy - y^2 + gx + fy = 0$ है।
रेखा का समीकरण $fx - gy = \lambda$ है,जिसका अर्थ है $\frac{fx - gy}{\lambda} = 1$।
रेखा के समीकरण की सहायता से वक्र के समीकरण को समघात बनाने पर:
$x^2 + hxy - y^2 + (gx + fy) \left( \frac{fx - gy}{\lambda} \right) = 0$।
$\lambda$ से गुणा करने पर:
$\lambda(x^2 + hxy - y^2) + (gx + fy)(fx - gy) = 0$।
$(\lambda + gf)x^2 + (\lambda h - g^2 + f^2)xy - (\lambda + fg)y^2 = 0$।
रेखाओं के परस्पर लंबवत होने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(\lambda + gf) + (-(\lambda + fg)) = 0$।
$0 = 0$।
अतः,$\lambda$ का कोई भी मान हो सकता है।

(B) दिए गए वक्र $x^2 + y^2 = a^2$ $(1)$ और $x^2 + y^2 - ax - ay = 0$ $(2)$ हैं।
$(1)$ से,$a^2 = x^2 + y^2$ है।
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर: $ax + ay = a^2 \implies x + y = a$ प्राप्त होता है।
अब $a = x + y$ को $x^2 + y^2 = a^2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + y^2 = (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ प्राप्त होता है।
$2xy = 0 \implies xy = 0$।
अतः,रेखाएं $x = 0$ और $y = 0$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण $x^2 + 2\sqrt{2}xy + 2y^2 + 4x + 4\sqrt{2}y + 1 = 0$ है।
इसे सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=\sqrt{2}, b=2, g=2, f=2\sqrt{2}, c=1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $h^2 - ab = (\sqrt{2})^2 - (1)(2) = 0$,रेखाएं समांतर हैं।
समांतर रेखाओं के बीच की दूरी का सूत्र $d = 2\sqrt{\frac{g^2 - ac}{a(a + b)}}$ है।
मान रखने पर: $d = 2\sqrt{\frac{2^2 - (1)(1)}{1(1 + 2)}} = 2\sqrt{\frac{3}{3}} = 2$.

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाली और वक्र $S = 0$ तथा रेखा $L = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को जोड़ने वाली सरल रेखाओं के युग्म का समीकरण,रेखा के समीकरण का उपयोग करके वक्र के समीकरण को समघात (homogenize) बनाकर प्राप्त किया जा सकता है।
दिया गया वक्र: $x^2 + y^2 = 4$
दी गई रेखा: $y - x = 2$,जिसका अर्थ है $\frac{y - x}{2} = 1$.
इसे वक्र के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + y^2 = 4 \times (1)^2$
$x^2 + y^2 = 4 \times \left( \frac{y - x}{2} \right)^2$
$x^2 + y^2 = 4 \times \frac{(y - x)^2}{4}$
$x^2 + y^2 = (y - x)^2$.

(D) रेखा $x + y = 1$ और वक्र $x^2 + y^2 - 2y + \lambda = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं का समीकरण प्राप्त करने के लिए,हम रेखा के समीकरण की सहायता से वक्र को समघात (homogeneous) बनाते हैं।
चूँकि $x + y = 1$,हम वक्र के समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x^2 + y^2 - 2y(1) + \lambda(1)^2 = 0$
$1 = x + y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + y^2 - 2y(x + y) + \lambda(x + y)^2 = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$x^2 + y^2 - 2xy - 2y^2 + \lambda(x^2 + 2xy + y^2) = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2(1 + \lambda) + xy(2\lambda - 2) + y^2(\lambda - 1) = 0$
रेखाओं के लंबवत होने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए $(A + B = 0)$:
$(1 + \lambda) + (\lambda - 1) = 0$
$2\lambda = 0$
$\lambda = 0$

(C) मूल बिंदु को प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाएं प्राप्त करने के लिए,हम रेखा समीकरण $x - y = 2$ का उपयोग करके वक्र के समीकरण को समघात (homogenize) बनाते हैं,जिसका अर्थ है $\frac{x - y}{2} = 1$ है।
वक्र का समीकरण $5x^2 + 12xy - 8y^2 + 8x - 4y + 12 = 0$ है।
रैखिक और अचर पदों में $1$ के स्थान पर $\frac{x - y}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$5x^2 + 12xy - 8y^2 + (8x - 4y)\left(\frac{x - y}{2}\right) + 12\left(\frac{x - y}{2}\right)^2 = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$12x^2 - 3y^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो $4x^2 - y^2 = 0$ में बदल जाता है।
इसके गुणनखंड $(2x - y)(2x + y) = 0$ हैं,अतः रेखाएं $y = 2x$ और $y = -2x$ हैं।
चूंकि ढाल $m_1 = 2$ और $m_2 = -2$ हैं,रेखाएं अक्षों के सापेक्ष सममित हैं। इसलिए अक्षों के साथ बनाए गए कोण समान हैं।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + h^2 + k^2 - c^2 = 0$ है।
रेखा का समीकरण $\frac{x}{2h} + \frac{y}{2k} = 1$ है।
रेखा के समीकरण का उपयोग करके वृत्त के समीकरण को समघातीय बनाने पर:
$(x^2 + y^2) - 2(hx + ky)\left(\frac{x}{2h} + \frac{y}{2k}\right) + (h^2 + k^2 - c^2)\left(\frac{x}{2h} + \frac{y}{2k}\right)^2 = 0$.
इसे विस्तारित करने पर,$x^2$ का गुणांक $A = \frac{h^2 + k^2 - c^2}{4h^2}$ और $y^2$ का गुणांक $B = \frac{h^2 + k^2 - c^2}{4k^2}$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के लंबवत होने के लिए,$A + B = 0$ होना चाहिए।
$(h^2 + k^2 - c^2) \left(\frac{1}{4h^2} + \frac{1}{4k^2}\right) = 0$.
अतः,$h^2 + k^2 - c^2 = 0$,अर्थात $c^2 = h^2 + k^2$।

(B) दी गई रेखा $3x - 2y = 1$ है।
वक्र $3x^2 + 5xy - 3y^2 + 2x + 3y = 0$ को समघातीय बनाने के लिए,हम $1$ घात वाले पदों को $(3x - 2y)$ से गुणा करते हैं।
$3x^2 + 5xy - 3y^2 + (2x + 3y)(3x - 2y) = 0$.
विस्तार करने पर,$3x^2 + 5xy - 3y^2 + 6x^2 - 4xy + 9xy - 6y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
समान पदों को जोड़ने पर,$9x^2 + 10xy - 9y^2 = 0$ मिलता है।
रेखाओं के युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के लिए,यदि $a + b = 0$ हो तो रेखाएँ परस्पर लंबवत होती हैं।
यहाँ,$a = 9$ और $b = -9$ है।
चूँकि $a + b = 9 + (-9) = 0$ है,इसलिए रेखाएँ एक दूसरे के लंबवत हैं।

(B) दिया गया समीकरण $9x^2 - 6xy + y^2 + 18x - 6y + 8 = 0$ है।
इसे $(3x - y)^2 + 6(3x - y) + 8 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $3x - y = t$,तो समीकरण $t^2 + 6t + 8 = 0$ बन जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t + 4)(t + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो समांतर रेखाएँ $3x - y + 4 = 0$ और $3x - y + 2 = 0$ हैं।
दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = 3$,$B = -1$,$C_1 = 4$,और $C_2 = 2$ है।
$d = \frac{|4 - 2|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$.

(C) दिया गया समीकरण $(x - 2y)^2 + k(x - 2y) = 0$ है।
इसे $(x - 2y)(x - 2y + k) = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
अतः,दो रेखाएँ $L_1: x - 2y = 0$ और $L_2: x - 2y + k = 0$ हैं।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 1$,$b = -2$,$c_1 = 0$,और $c_2 = k$ है।
इसलिए,$3 = \frac{|0 - k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}}$.
अतः,$|k| = 3\sqrt{5}$,जिसका अर्थ है कि $k = \pm 3\sqrt{5}$.

(C) रेखा का समीकरण $y - 2\sqrt{2}x = c$ है,जिसे $\frac{y - 2\sqrt{2}x}{c} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा समीकरण का उपयोग करके वृत्त $x^2 + y^2 = 2$ को समघातीय बनाने पर:
$x^2 + y^2 = 2 \left( \frac{y - 2\sqrt{2}x}{c} \right)^2$
$c^2(x^2 + y^2) = 2(y^2 + 8x^2 - 4\sqrt{2}xy)$
$c^2x^2 + c^2y^2 = 2y^2 + 16x^2 - 8\sqrt{2}xy$
$(c^2 - 16)x^2 + 8\sqrt{2}xy + (c^2 - 2)y^2 = 0$
चूंकि रेखाएं समकोण पर हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(c^2 - 16) + (c^2 - 2) = 0$
$2c^2 - 18 = 0$
$c^2 = 9$
$c^2 - 9 = 0$.

(B) दिया गया समीकरण $8x^2 + 8xy + 2y^2 + 26x + 13y + 15 = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 8, h = 4, b = 2, g = 13, f = 13/2, c = 15$ प्राप्त होता है।
चूंकि $h^2 - ab = 4^2 - (8)(2) = 0$,रेखाएं समानांतर हैं।
समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = 2\sqrt{\frac{g^2 - ac}{a(a + b)}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $d = 2\sqrt{\frac{169 - 120}{8(10)}} = 2\sqrt{\frac{49}{80}} = \frac{7}{2\sqrt{5}}$.

(C) दिया गया समीकरण $x^2 - 6xy + 9y^2 + 3x - 9y - 4 = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1, h = -3, b = 9, g = 3/2, f = -9/2, c = -4$ प्राप्त होता है।
समानांतर रेखाओं के युग्म के बीच की दूरी $d = 2\sqrt{\frac{g^2 - ac}{a(a + b)}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$d = 2\sqrt{\frac{(3/2)^2 - (1)(-4)}{1(1 + 9)}} = 2\sqrt{\frac{9/4 + 4}{10}} = 2\sqrt{\frac{25/4}{10}} = 2\sqrt{\frac{25}{40}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$।

(C) दिए गए समीकरण $x^2 + y^2 = 9$ $(i)$ और $x + y = 3$ $(ii)$ हैं।
मूल बिंदु को प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण प्राप्त करने के लिए,हम समीकरण $(ii)$ का उपयोग करके समीकरण $(i)$ को समघात (homogenize) करेंगे।
$(ii)$ से,$\frac{x + y}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$x^2 + y^2 = 9 \left( \frac{x + y}{3} \right)^2$ प्राप्त होता है।
$x^2 + y^2 = 9 \left( \frac{x^2 + y^2 + 2xy}{9} \right)$.
$x^2 + y^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.
$2xy = 0 \Rightarrow xy = 0$.
अतः,अभीष्ट समीकरण $xy = 0$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x^2 + 2xy + y^2 - 8ax - 8ay - 9a^2 = 0$ है।
इसे $(x+y)^2 - 8a(x+y) - 9a^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $X = x+y$,तो $X^2 - 8aX - 9a^2 = 0$।
गुणनखंड करने पर,$(X - 9a)(X + a) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो रेखाएँ $x + y - 9a = 0$ और $x + y + a = 0$ हैं।
दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = 1, B = 1, C_1 = -9a, C_2 = a$ है।
$d = \frac{|-9a - a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-10a|}{\sqrt{2}} = \frac{10a}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}a$।

(C) मूल बिंदु को प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं का समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम रेखा समीकरण $y - mx = c$ का उपयोग करके वृत्त के समीकरण को समघातीय बनाते हैं,जिसका अर्थ है $\frac{y - mx}{c} = 1$.
इसे वृत्त के समीकरण $x^2 + y^2 = a^2(1)^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2 + y^2 = a^2 \left( \frac{y - mx}{c} \right)^2$
$c^2(x^2 + y^2) = a^2(y^2 - 2mxy + m^2x^2)$
$(c^2 - a^2m^2)x^2 + 2a^2mxy + (c^2 - a^2)y^2 = 0$
इन रेखाओं के परस्पर लंब होने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(c^2 - a^2m^2) + (c^2 - a^2) = 0$
$2c^2 - a^2(m^2 + 1) = 0$
$2c^2 = a^2(1 + m^2)$.

(B) वक्र के समीकरण को रेखा के समीकरण $y - 3x = 2$ का उपयोग करके समघातीय (homogenize) बनाने पर,हमें मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का समीकरण प्राप्त होता है।
गणना करने पर,कोण $\theta = \tan^{-1}(\frac{2\sqrt{2}}{3})$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण रेखाओं का एक युग्म निरूपित करता है। मान लीजिए रेखाएँ $L_1: l_1x + m_1y + n_1 = 0$ और $L_2: l_2x + m_2y + n_2 = 0$ हैं।
मूलबिंदु $(0,0)$ से इन रेखाओं की दूरी $d_1 = \frac{|n_1|}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2}}$ और $d_2 = \frac{|n_2|}{\sqrt{l_2^2 + m_2^2}}$ है।
चूंकि $d_1 = d_2$ दिया गया है,इसलिए $\frac{n_1^2}{l_1^2 + m_1^2} = \frac{n_2^2}{l_2^2 + m_2^2}$ होगा।
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $f^4 - g^4 = c(bf^2 - ag^2)$ शर्त प्राप्त होती है।

(B) मूलबिंदु और वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ तथा रेखा $2x + 3y - 4 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण प्राप्त करने के लिए,हम रेखा के समीकरण का उपयोग करके वृत्त के समीकरण को समघात (homogenize) करेंगे।
रेखा के समीकरण से,$2x + 3y = 4$,जिसका अर्थ है $\frac{2x + 3y}{4} = 1$.
इस मान को वृत्त के समीकरण $x^2 + y^2 = 4(1)^2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + y^2 = 4 \left( \frac{2x + 3y}{4} \right)^2$
$x^2 + y^2 = 4 \left( \frac{4x^2 + 9y^2 + 12xy}{16} \right)$
$x^2 + y^2 = \frac{4x^2 + 9y^2 + 12xy}{4}$
$4x^2 + 4y^2 = 4x^2 + 9y^2 + 12xy$
$5y^2 + 12xy = 0$.

(A) वक्र का समीकरण $x^{2} + 2xy + 3y^{2} + 4x + 8y - 11 = 0 \dots (1)$ है।
रेखा का समीकरण $y = 3x + 2 \Rightarrow \frac{y - 3x}{2} = 1 \dots (2)$ है।
समीकरण $(2)$ का उपयोग करके वक्र के समीकरण को समघात बनाने पर:
$x^{2} + 2xy + 3y^{2} + (4x + 8y) \left( \frac{y - 3x}{2} \right) - 11 \left( \frac{y - 3x}{2} \right)^{2} = 0$
इसे सरल करने पर $7x^{2} - 2xy - y^{2} = 0$ प्राप्त होता है।
$ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ से तुलना करने पर,$a = 7, h = -1, b = -1$ मिलता है।
कोण $\theta$ के लिए,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2} - ab}}{a + b} \right| = \frac{2\sqrt{1 + 7}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
अतः,$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \right)$.

(C) दिए गए समीकरण को $x^2 + 2(\sqrt{2}y + 2)x + (2y^2 + 4\sqrt{2}y + 1) = 0$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-2(\sqrt{2}y + 2) \pm \sqrt{4(\sqrt{2}y + 2)^2 - 4(2y^2 + 4\sqrt{2}y + 1)}}{2}$
$x = -(\sqrt{2}y + 2) \pm \sqrt{(\sqrt{2}y + 2)^2 - (2y^2 + 4\sqrt{2}y + 1)}$
$x = -\sqrt{2}y - 2 \pm \sqrt{3}$.
अतः,रेखाएं $x + \sqrt{2}y + 2 - \sqrt{3} = 0$ और $x + \sqrt{2}y + 2 + \sqrt{3} = 0$ हैं।
ये समानांतर रेखाएं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के रूप में हैं।
उनके बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|(2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3})|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2}} = \frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = 2$.

(C) मूल बिंदु को प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली सरल रेखाओं के युग्म का समीकरण वक्र के समीकरण को रेखा के समीकरण का उपयोग करके समघात बनाकर प्राप्त किया जाता है:
$x^2 + y^2 = 4 \left( \frac{x\sqrt{3} + y}{2} \right)^2$
$x^2 + y^2 = 4 \left( \frac{3x^2 + y^2 + 2\sqrt{3}xy}{4} \right)$
$x^2 + y^2 = 3x^2 + y^2 + 2\sqrt{3}xy$
$2x^2 + 2\sqrt{3}xy = 0$
इसे सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 2$,$h = \sqrt{3}$,और $b = 0$ प्राप्त होता है।
यदि $\alpha$ रेखाओं के बीच का कोण है,तो $\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$।
$\tan \alpha = \frac{2\sqrt{(\sqrt{3})^2 - (2)(0)}}{2 + 0} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$।
अतः,$\alpha = \frac{\pi}{3}$।

(D) प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाएं ज्ञात करने के लिए,हम रेखा के समीकरण का उपयोग करके वृत्त के समीकरण को समघात (homogenize) बनाते हैं।
$x + y = 2$ से,$\frac{x + y}{2} = 1$ प्राप्त होता है।
वृत्त के समीकरण $x^2 + y^2 = 3(1)^2$ में मान रखने पर:
$x^2 + y^2 = 3(\frac{x + y}{2})^2$
$4x^2 + 4y^2 = 3(x^2 + 2xy + y^2)$
$x^2 - 6xy + y^2 = 0$
इस समीकरण को हल करने पर $x = (3 + 2\sqrt{2})y$ और $x = (3 - 2\sqrt{2})y$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) दिया गया समीकरण $9x^2 - 24xy + 16y^2 + 3x - 4y - 6 = 0$ है।
इसे $(3x - 4y)^2 + (3x - 4y) - 6 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $u = 3x - 4y$. तब समीकरण $u^2 + u - 6 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(u + 3)(u - 2) = 0$.
अतः,दो रेखाएँ $3x - 4y + 3 = 0$ और $3x - 4y - 2 = 0$ हैं।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \left|\frac{c_1 - c_2}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right|$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 3, b = -4, c_1 = 3, c_2 = -2$.
$d = \left|\frac{3 - (-2)}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}\right| = \left|\frac{5}{\sqrt{9 + 16}}\right| = \left|\frac{5}{5}\right| = 1$.

(D) रेखा का समीकरण $y - 3x = 2$ है,जिसे $\frac{y - 3x}{2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वक्र के समीकरण $x^2 + 2xy + 3y^2 + 4x + 8y - 11 = 0$ को समघात बनाने के लिए,$1$ के स्थान पर $\frac{y - 3x}{2}$ रखने पर:
$x^2 + 2xy + 3y^2 + (4x + 8y)\left(\frac{y - 3x}{2}\right) - 11\left(\frac{y - 3x}{2}\right)^2 = 0$.
इसे सरल करने पर $y^2 + 2xy - 7x^2 = 0$ प्राप्त होता है।
समघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के लिए,कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}\right|$ है।
यहाँ $a = -7, h = 1, b = 1$ है।
$\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{1^2 - (-7)(1)}}{-7 + 1}\right| = \frac{2\sqrt{8}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$।

(A) $(-1, 1)$ और $(2, -4)$ बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m$ है:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4 - 1}{2 - (-1)} = \frac{-5}{3}$.
बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करते हुए:
$y - 1 = -\frac{5}{3}(x + 1)$
$3(y - 1) = -5(x + 1)$
$3y - 3 = -5x - 5$
$5x + 3y + 2 = 0$.

(C) दिया गया समीकरण $4x^2 + 4xy + y^2 - 6x - 3y - 4 = 0$ है।
द्विघात भाग को $(2x + y)^2 - 3(2x + y) - 4 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $t = 2x + y$ है। तब समीकरण $t^2 - 3t - 4 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर,$(t - 4)(t + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे दो रेखाएँ मिलती हैं: $2x + y - 4 = 0$ और $2x + y + 1 = 0$।
ये रेखाएँ समांतर हैं क्योंकि इनके ढाल समान हैं $(m = -2)$।
दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = 2, B = 1, C_1 = -4, C_2 = 1$ है।
$d = \frac{|-4 - 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$ इकाई।

(A) दिया गया समीकरण $16x^2 - 24xy + 9y^2 + 48x - 36y + 35 = 0$ है।
हम पहले तीन पदों को $(4x - 3y)^2$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,समीकरण $(4x - 3y)^2 + 12(4x - 3y) + 35 = 0$ हो जाता है।
माना $t = 4x - 3y$ है। तो $t^2 + 12t + 35 = 0$।
गुणनखंड करने पर,हमें $(t + 7)(t + 5) = 0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,दो रेखाएँ $4x - 3y + 7 = 0$ और $4x - 3y + 5 = 0$ हैं।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 4$,$b = -3$,$c_1 = 7$,और $c_2 = 5$ है।
$d = \frac{|7 - 5|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{2}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{2}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5}$ इकाई।

(B) माना $D$,रेखा $AB$ का मध्य-बिंदु है।
माना $A = (x_1, y_1)$ और $B = (x_2, y_2)$ है।
तब $D = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ होगा।
भुजाओं $OA$ और $OB$ का संयुक्त समीकरण $x^2-4xy+y^2=0$ है।
रेखा $AB$ का समीकरण $2x+3y-1=0$ है,इसलिए $x = \frac{1-3y}{2}$ है।
इस मान को संयुक्त समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{1-3y}{2})^2 - 4(\frac{1-3y}{2})y + y^2 = 0$
$(1-3y)^2 - 8y(1-3y) + 4y^2 = 0$
$1 - 6y + 9y^2 - 8y + 24y^2 + 4y^2 = 0$
$37y^2 - 14y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
मूलों का योग $y_1+y_2 = \frac{14}{37}$ है।
$D$ का $y$-निर्देशांक $= \frac{y_1+y_2}{2} = \frac{7}{37}$ है।
चूंकि $D$,$2x+3y-1=0$ पर स्थित है:
$2x + 3(\frac{7}{37}) - 1 = 0$
$2x + \frac{21}{37} - 1 = 0$
$2x = 1 - \frac{21}{37} = \frac{16}{37} \Rightarrow x = \frac{8}{37}$ है।
अतः,$D = (\frac{8}{37}, \frac{7}{37})$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ और $(\frac{8}{37}, \frac{7}{37})$ से गुजरने वाली माध्यिका $OD$ का समीकरण:
$\frac{y-0}{x-0} = \frac{7/37}{8/37} = \frac{7}{8}$
$8y = 7x \Rightarrow 7x-8y=0$।

(A) दिया गया समीकरण $(x-2y+1)^2 + k(x-2y+1) = 0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(x-2y+1)(x-2y+1+k) = 0$ प्राप्त होता है।
यह दो समानांतर रेखाओं को दर्शाता है:
$L_1: x-2y+1 = 0$
$L_2: x-2y+(1+k) = 0$.
दो समानांतर रेखाओं $Ax+By+C_1=0$ और $Ax+By+C_2=0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ होती है।
यहाँ,$A=1, B=-2, C_1=1, C_2=1+k$.
दिया गया है $d = \sqrt{5}$,इसलिए $\sqrt{5} = \frac{|1-(1+k)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}$.
$\sqrt{5} = \frac{|-k|}{\sqrt{5}}$.
$|-k| = 5$.
अतः $k = \pm 5$.
विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $A$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2+4xy+4y^2+3x+6y-4=0$ है।
इसे $(x+2y)^2+3(x+2y)-4=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $t = x+2y$,तो $t^2+3t-4=0$।
$(t+4)(t-1)=0$,अतः $(x+2y+4)(x+2y-1)=0$।
दो समांतर रेखाएँ $L_1: x+2y+4=0$ और $L_2: x+2y-1=0$ हैं।
दो समांतर रेखाओं $ax+by+c_1=0$ और $ax+by+c_2=0$ के बीच की दूरी $\lambda = \frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda = \frac{|4-(-1)|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$।
अतः,$\lambda^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$।

(A) माना त्रिभुज $\triangle ABC$ है जिसका समकोण मूल बिंदु $A(0, 0)$ पर है। त्रिभुज का आधार रेखा $2x + 3y = 6$ पर स्थित है।
मूल बिंदु $A(0, 0)$ से रेखा $2x + 3y - 6 = 0$ पर लंबवत दूरी $p$ है:
$p = \frac{|2(0) + 3(0) - 6|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$.
एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज में,समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर डाला गया लंब कर्ण को समद्विभाजित करता है और इसकी लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
अतः,लंब $AL = p = \frac{6}{\sqrt{13}}$.
त्रिभुज का आधार $BC = 2p$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (2p) \times p = p^2$.
क्षेत्रफल $= \left(\frac{6}{\sqrt{13}}\right)^2 = \frac{36}{13}$ वर्ग इकाई।

(B) वक्र का समीकरण $x^2+2y^2=2$ है और रेखा $x+y=1$ है।
रेखाओं $OP$ और $OQ$ को प्राप्त करने के लिए,हम रेखा के समीकरण का उपयोग करके वक्र के समीकरण को समघात बनाते हैं:
$x^2+2y^2=2(1)^2$
$x^2+2y^2=2(x+y)^2$
$x^2+2y^2=2(x^2+y^2+2xy)$
$x^2+2y^2=2x^2+2y^2+4xy$
$x^2+4xy=0$
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है। इसे सामान्य रूप $ax^2+2hxy+by^2=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=1$,$h=2$,और $b=0$ प्राप्त होता है।
इन रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{2^2-(1)(0)}}{1+0} \right| = \left| \frac{2\sqrt{4}}{1} \right| = 4$.

(C) दिया गया वक्र समीकरण: $x^2-xy+y^2+3x+3y-2=0$ $(i)$ और रेखा समीकरण: $x+2y=k$,जिसका अर्थ है $\frac{x+2y}{k}=1$.
$\angle AOB=90^{\circ}$ के लिए शर्त ज्ञात करने हेतु,हम रेखा समीकरण का उपयोग करके वक्र समीकरण को समघात (homogenize) बनाते हैं:
$x^2-xy+y^2+(3x+3y)\left(\frac{x+2y}{k}\right)-2\left(\frac{x+2y}{k}\right)^2=0$.
$k^2$ से गुणा करने पर:
$k^2x^2-k^2xy+k^2y^2+3k(x^2+3xy+2y^2)-2(x^2+4xy+4y^2)=0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2(k^2+3k-2) + xy(-k^2+9k-8) + y^2(k^2+6k-8) = 0$.
$\angle AOB=90^{\circ}$ के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(k^2+3k-2) + (k^2+6k-8) = 0$.
$2k^2+9k-10=0$.

(B) दिया गया समीकरण $x^2+2xy+y^2-8ax-8ay-9a^2=0$ है।
इसे व्यापक द्विघात समीकरण $Ax^2+2Hxy+By^2+2Gx+2Fy+C=0$ से तुलना करने पर,$A=1, B=1, H=1, G=-4a, F=-4a, C=-9a^2$ प्राप्त होता है।
समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = 2 \sqrt{\frac{G^2-AC}{A(A+B)}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$d = 2 \sqrt{\frac{(-4a)^2 - (1)(-9a^2)}{1(1+1)}}$
$d = 2 \sqrt{\frac{16a^2 + 9a^2}{2}}$
$d = 2 \sqrt{\frac{25a^2}{2}} = 2 \times \frac{5a}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}a$.
अतः,दूरी $5\sqrt{2}a$ इकाई है।

(D) दिया गया समीकरण $8x^2 - 24xy + 18y^2 - 6x + 9y - 5 = 0$ है।
द्विघात भाग को $2(2x - 3y)^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखाएं $(2x - 3y + c_1)(2x - 3y + c_2) = 0$ के रूप में हैं।
समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,$4x^2 - 12xy + 9y^2 - 3x + 4.5y - 2.5 = 0$ प्राप्त होता है।
यहाँ $c_1 + c_2 = -1.5$ और $c_1c_2 = -2.5$ है।
समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $\frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
$(c_1 - c_2)^2 = (c_1 + c_2)^2 - 4c_1c_2 = 2.25 + 10 = 12.25$।
अतः $|c_1 - c_2| = 3.5 = 7/2$।
दूरी $= \frac{7/2}{\sqrt{13}} = \frac{7}{2\sqrt{13}}$।

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाली और $x^2+y^2=4$ तथा $x+y=a$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण,वृत्त के समीकरण को रेखा के समीकरण का उपयोग करके समघातीय बनाकर प्राप्त किया जाता है:
$x^2+y^2=4(\frac{x+y}{a})^2$
$a^2(x^2+y^2)=4(x^2+y^2+2xy)$
$(a^2-4)x^2-8xy+(a^2-4)y^2=0$
चूँकि रेखाएँ लंबवत हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(a^2-4)+(a^2-4)=0$
$2(a^2-4)=0$
$a^2=4$
चूँकि $a>0$ है,इसलिए $a=2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $x^2+2xy+y^2-8mx-8my-9m^2=0$ है।
इसे $(x+y)^2-8m(x+y)-9m^2=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $X = x+y$. तब समीकरण $X^2-8mX-9m^2=0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(X-9m)(X+m)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो रेखाएँ $x+y-9m=0$ और $x+y+m=0$ हैं।
ये $Ax+By+C_1=0$ और $Ax+By+C_2=0$ के रूप की समांतर रेखाएँ हैं।
उनके बीच की दूरी $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A=1, B=1, C_1=-9m, C_2=m$ है।
$d = \frac{|-9m-m|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|-10m|}{\sqrt{2}} = \frac{10|m|}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}|m|$।
यदि $m>0$ है,तो दूरी $5\sqrt{2}m$ है।

(B) रेखा का समीकरण $x-y=2$ है,जिसे $\frac{x-y}{2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे वक्र के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $5x^2+12xy-8y^2+(8x-4y)(1) + 12(1)^2=0$.
हर को हटाने के लिए $4$ से गुणा करने पर:
$20x^2+48xy-32y^2+2(8x-4y)(x-y)+3(x^2-2xy+y^2)=0$.
सरल करने पर: $39x^2+18xy-21y^2=0$.
$3$ से भाग देने पर: $13x^2+6xy-7y^2=0$.
गुणनखंड करने पर: $(13x-7y)(x+y)=0$.
रेखाएँ $13x-7y=0$ और $x+y=0$ हैं।
इन रेखाओं के कोण समद्विभाजक $xy=0$ रेखाओं के युग्म पर समान रूप से झुके हुए हैं।

(D) दिया गया समीकरण $x^2+2xy+y^2-8mx-8my-9m^2=0$ है।
इसे $(x+y)^2-8m(x+y)-9m^2=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $X = x+y$. तब समीकरण $X^2-8mX-9m^2=0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(X-9m)(X+m)=0$.
अतः,$X=9m$ या $X=-m$.
यह दो समांतर रेखाएं देता है: $x+y-9m=0$ और $x+y+m=0$.
दो समांतर रेखाओं $Ax+By+C_1=0$ और $Ax+By+C_2=0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ होती है।
यहाँ,$A=1, B=1, C_1=-9m, C_2=m$.
$d = \frac{|-9m-m|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|-10m|}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}|m|$.
यदि $m > 0$ है,तो दूरी $5\sqrt{2}m$ है।