Bisectors of the angle between the lines, Point of intersection of the lines Questions in Hindi

(C) सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
समीकरण द्वारा रेखाओं के युग्म को निरूपित करने की शर्त $\Delta = 0$ है,जहाँ $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ है।
रेखाओं के समांतर होने के लिए शर्त $h^2 = ab$ है।
रेखाओं के संपाती होने के लिए,समांतर रेखाओं के बीच की दूरी शून्य होनी चाहिए।
समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = 2\sqrt{\frac{g^2 - ac}{a(a+b)}}$ या $d = 2\sqrt{\frac{f^2 - bc}{b(a+b)}}$ द्वारा दी जाती है।
$d = 0$ रखने पर,हमें $g^2 = ac$ और $f^2 = bc$ प्राप्त होता है।
अतः,संपाती रेखाओं के लिए शर्त $\Delta = 0, h^2 = ab, g^2 = ac$ और $f^2 = bc$ है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(C) रेखाओं के युग्म का समीकरण ${x^2} - 2hxy - 2{y^2} = 0$ है।
$ax^2 + 2h'xy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1$,$2h' = -2h$,और $b = -2$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच के कोणों के समद्विभाजक का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h'}$ है।
मान रखने पर,$\frac{x^2 - y^2}{1 - (-2)} = \frac{xy}{-h} \Rightarrow \frac{x^2 - y^2}{3} = \frac{xy}{-h}$ प्राप्त होता है।
यह $-h(x^2 - y^2) = 3xy$ या $hx^2 + 3xy - hy^2 = 0$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $x - 2y = 0$ एक समद्विभाजक है,इसलिए इसे इस समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।
$x = 2y$ रखने पर,$h(2y)^2 + 3(2y)y - hy^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$4hy^2 + 6y^2 - hy^2 = 0 \Rightarrow 3hy^2 + 6y^2 = 0$।
$3y^2(h + 2) = 0$।
सभी $y$ के लिए यह सत्य होने हेतु,$h + 2 = 0$,अतः $h = -2$।

(A) दिया गया समीकरण $4x^2 - 16xy - 7y^2 = 0$ है।
इसे $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 4$,$2h = -16$ (अतः $h = -8$),और $b = -7$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच के कोण के समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x^2 - y^2}{4 - (-7)} = \frac{xy}{-8}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{x^2 - y^2}{11} = \frac{xy}{-8}$ में सरल हो जाता है।
वज्र-गुणन करने पर $-8(x^2 - y^2) = 11xy$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $8x^2 + 11xy - 8y^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $(y - mx)^2 = (x + my)^2$ है।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर,हमें $y^2 + m^2x^2 - 2mxy = x^2 + m^2y^2 + 2mxy$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(m^2 - 1)x^2 - 4mxy + (1 - m^2)y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
यह $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ के रूप में है,जहाँ $A = m^2 - 1$,$H = -2m$,और $B = 1 - m^2$ है।
रेखाओं के बीच के कोण के समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{A - B} = \frac{xy}{H}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x^2 - y^2}{(m^2 - 1) - (1 - m^2)} = \frac{xy}{-2m}$ प्राप्त होता है।
$\frac{x^2 - y^2}{2(m^2 - 1)} = \frac{xy}{-2m}$।
$-m(x^2 - y^2) = (m^2 - 1)xy$।
$-mx^2 + my^2 = (m^2 - 1)xy$।
$mx^2 + (m^2 - 1)xy - my^2 = 0$।

(C) दिया गया समीकरण ${x^2} - {y^2} = 0$ है।
इसे सरल रेखाओं के युग्म के सामान्य समीकरण ${ax^2} + {2hxy} + {by^2} = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 1$,$h = 0$,और $b = -1$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच के कोण के समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{{x^2 - y^2}}{{a - b}} = \frac{{xy}}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{{x^2 - y^2}}{{1 - (-1)}} = \frac{{xy}}{0}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $xy = 0$।

(C) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2 - 2hxy + by^2 = 0$ है। इन रेखाओं के बीच के कोणों के समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{-h}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे $h(x^2 - y^2) + (a - b)xy = 0$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
चूंकि $y = mx$ समद्विभाजकों में से एक है,इसलिए इसे समद्विभाजकों के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।
समीकरण $h(x^2 - y^2) + (a - b)xy = 0$ में $y = mx$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$h(x^2 - (mx)^2) + (a - b)x(mx) = 0$
$h(x^2 - m^2x^2) + (a - b)mx^2 = 0$
$x^2$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए):
$h(1 - m^2) + m(a - b) = 0$.

(B) निर्देशांक अक्षों के समीकरण $x = 0$ और $y = 0$ हैं।
निर्देशांक अक्षों के बीच के कोणों के समद्विभाजक रेखाएं $y = x$ और $y = -x$ हैं।
इन्हें $y - x = 0$ और $y + x = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
संयुक्त समीकरण इन दोनों समीकरणों का गुणनफल है:
$(y - x)(y + x) = 0$
$y^2 - x^2 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $x^2 - y^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के लिए कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ है ... $(i)$.
दूसरा समीकरण $(a + \lambda)x^2 + 2hxy + (b + \lambda)y^2 = 0$ है।
इस समीकरण के लिए कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{(a + \lambda) - (b + \lambda)} = \frac{xy}{h}$ है,जो सरल होकर $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ हो जाता है ... $(ii)$.
चूंकि समीकरण $(i)$ और समीकरण $(ii)$ किसी भी $\lambda$ के लिए समान हैं,इसलिए $\lambda$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए समद्विभाजक संपाती होंगे।

(A) दिया गया समीकरण $\sqrt{3}x^2 - 4xy + \sqrt{3}y^2 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = \sqrt{3}$,$h = -2$,और $b = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच के कोण के समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x^2 - y^2}{\sqrt{3} - \sqrt{3}} = \frac{xy}{-2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि बाईं ओर का हर $0$ है,इसलिए समीकरण $x^2 - y^2 = 0$ हो जाता है।

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
दिए गए समीकरण ${x^2} + 2xy \cot \theta + {y^2} = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 1$,$h = \cot \theta$,और $b = 1$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच के कोणों के समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x^2 - y^2}{1 - 1} = \frac{xy}{\cot \theta}$ प्राप्त होता है।
चूंकि बाईं ओर का हर $0$ है,इसलिए समीकरण ${x^2} - {y^2} = 0$ हो जाता है।

(A) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ रेखाओं के युग्म के लिए कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम युग्म के लिए,समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ है।
द्वितीय युग्म के लिए,समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{a' - b'} = \frac{xy}{h'}$ है।
चूंकि समद्विभाजक समान हैं,इसलिए गुणांकों का अनुपात बराबर होना चाहिए:
$\frac{a - b}{h} = \frac{a' - b'}{h'}$.
वज्र-गुणन करने पर: $(a - b)h' = (a' - b')h$ प्राप्त होता है।

(C) $px^2 - 2rxy + qy^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के बीच के कोण के समद्विभाजक का समीकरण है:
$\frac{x^2 - y^2}{p - q} = \frac{xy}{-r}$ .....$(i)$
$y = mx$ को $(i)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1 - m^2}{p - q} = \frac{m}{-r}$
$r(1 - m^2) + m(p - q) = 0$.

(D) समीकरण $a(x - 1)^2 + 2h(x - 1)y + by^2 = 0$ बिंदु $(1, 0)$ पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है।
मूल बिंदु को $(1, 0)$ पर स्थानांतरित करने पर,हम $x = X + 1$ और $y = Y$ प्रतिस्थापित करते हैं,जो समीकरण को $aX^2 + 2hXY + bY^2 = 0$ $(i)$ में बदल देता है।
दिया गया समद्विभाजक $2x + y - 2 = 0$,$2(X + 1) + Y - 2 = 0$ बन जाता है,जो सरल होकर $2X + Y = 0$ हो जाता है।
चूंकि रेखाओं के युग्म के कोण समद्विभाजक हमेशा एक-दूसरे के लंबवत होते हैं,इसलिए दूसरे समद्विभाजक की ढाल पहले समद्विभाजक की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होनी चाहिए।
$2X + Y = 0$ की ढाल $m_1 = -2$ है। अतः,दूसरे समद्विभाजक की ढाल $m_2 = 1/2$ है।
$(1, 0)$ से गुजरने वाले दूसरे समद्विभाजक का समीकरण $Y - 0 = \frac{1}{2}(X - 0)$ है,जो सरल होकर $X - 2Y = 0$ हो जाता है।
$X = x - 1$ और $Y = y$ वापस रखने पर,हमें $(x - 1) - 2y = 0$ या $x - 2y - 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $2x^2 + 7xy + 3y^2 + 8x + 14y + 8 = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर:
$a = 2, b = 3, h = 3.5, g = 4, f = 7, c = 8$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ के लिए सूत्र:
$x = \frac{hf - bg}{ab - h^2} = \frac{(3.5)(7) - (3)(4)}{(2)(3) - (3.5)^2} = -2$.
$y = \frac{hg - af}{ab - h^2} = \frac{(3.5)(4) - (2)(7)}{(2)(3) - (3.5)^2} = 0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 0)$ है।

(C) माना $X = x + 2$ और $Y = y - 2$ है।
दिया गया समीकरण $2X^2 + 3XY - 2Y^2 = 0$ हो जाता है।
यह $X$ और $Y$ में एक द्विघात समघात समीकरण है,जो मूल बिंदु $(X, Y) = (0, 0)$ से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म को दर्शाता है।
$X$ और $Y$ के मान वापस रखने पर:
$x + 2 = 0 \implies x = -2$
$y - 2 = 0 \implies y = 2$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 2)$ है।

(A) $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_0, y_0)$,$\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ और $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ के हल से प्राप्त होता है।
ये समीकरण $ax + hy + g = 0$ और $hx + by + f = 0$ हैं।
क्रेमर के नियम का उपयोग करके,$x_0 = \frac{hf - bg}{ab - h^2}$ और $y_0 = \frac{gf - ah}{ab - h^2}$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से दूरी का वर्ग $x_0^2 + y_0^2 = \frac{(hf - bg)^2 + (gf - ah)^2}{(ab - h^2)^2}$ है।
अंश का विस्तार करने पर: $f^2(g^2 + h^2) + h^2(a^2 + b^2) - 2hfg(a + b)$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के लिए शर्त $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ का उपयोग करने पर,यह व्यंजक $\frac{c(a + b) - f^2 - g^2}{ab - h^2}$ में सरल हो जाता है।

(A) रेखाओं $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के बीच के कोण के समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $x^2 - 2pxy - y^2 = 0$ के लिए,$a = 1, h = -p, b = -1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{1 - (-1)} = \frac{xy}{-p}$ प्राप्त होता है।
$\frac{x^2 - y^2}{2} = \frac{xy}{-p}$ $\Rightarrow -p(x^2 - y^2) = 2xy$ $\Rightarrow px^2 + 2xy - py^2 = 0$।
इसे दिए गए समद्विभाजक समीकरण $x^2 - 2qxy - y^2 = 0$ के साथ तुलना करने पर,गुणांकों का अनुपात:
$\frac{p}{1} = \frac{2}{-2q} = \frac{-p}{-1}$।
$\frac{p}{1} = \frac{2}{-2q}$ से,हमें $p = -\frac{1}{q}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $pq = -1$ या $pq + 1 = 0$।

(C) दिया गया समीकरण $x^2 - y^2 + 2y = 1$ है,जिसे $x^2 - (y - 1)^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह रेखाओं के युग्म $(x - y + 1)(x + y - 1) = 0$ को दर्शाता है।
इन रेखाओं के कोण समद्विभाजक $x = 0$ और $y = 1$ हैं।
त्रिभुज रेखाओं $x = 0$,$y = 1$ और $x + y = 3$ द्वारा बनता है।
त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$. $x = 0$ और $y = 1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 1)$ है।
$2$. $x = 0$ और $x + y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 3)$ है।
$3$. $y = 1$ और $x + y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 1)$ है।
$y = 1$ पर त्रिभुज का आधार $|2 - 0| = 2$ है।
$x = 0$ पर त्रिभुज की ऊँचाई $|3 - 1| = 2$ है।
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ है।

(D) माना $\varphi(x, y) = 2x^2 - 7xy - 4y^2 - x + 22y - 10 = 0$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x$ और $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करते हैं और उन्हें शून्य के बराबर रखते हैं।
$\frac{\partial \varphi}{\partial x} = 4x - 7y - 1 = 0$ (समीकरण $1$)
$\frac{\partial \varphi}{\partial y} = -7x - 8y + 22 = 0$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ से,$4x = 7y + 1 \implies x = \frac{7y + 1}{4}$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-7(\frac{7y + 1}{4}) - 8y + 22 = 0$
$-49y - 7 - 32y + 88 = 0$
$-81y + 81 = 0 \implies y = 1$।
$y = 1$ का मान $4x - 7(1) - 1 = 0$ में रखने पर:
$4x - 8 = 0 \implies x = 2$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 1)$ है।

(A) नई स्थिति में रेखाओं के बीच के कोणों के समद्विभाजक,पुरानी स्थिति में उनके बीच के कोणों के समद्विभाजकों के समान ही रहते हैं।
$ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के लिए समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ होता है।
यहाँ,$a = 1$,$h = -p$,और $b = -1$ है।
मान रखने पर:
$\frac{x^2 - y^2}{1 - (-1)} = \frac{xy}{-p}$
$\frac{x^2 - y^2}{2} = \frac{xy}{-p}$
$-p(x^2 - y^2) = 2xy$
$px^2 + 2xy - py^2 = 0$

(A) दिया गया समीकरण $2x^{2} - 7xy + 3y^{2} = 0$ है।
इसे $ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ के साथ तुलना करने पर,$a = 2$,$2h = -7 \implies h = -7/2$,और $b = 3$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच के कोणों के समद्विभाजक का समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{x^{2} - y^{2}}{a - b} = \frac{xy}{h}$
मान रखने पर:
$\frac{x^{2} - y^{2}}{2 - 3} = \frac{xy}{-7/2}$
$\frac{x^{2} - y^{2}}{-1} = \frac{2xy}{-7}$
$7(x^{2} - y^{2}) = 2xy$
$7x^{2} - 7y^{2} = 2xy$
$7x^{2} - 2xy - 7y^{2} = 0$.

(C) माना दिया गया समीकरण $f(x, y) = 2x^2 + 3xy + y^2 - 7x - 5y + 6 = 0$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(h, k)$ ज्ञात करने के लिए,हम $x$ और $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करते हैं और उन्हें शून्य के बराबर रखते हैं।
$\frac{\partial f}{\partial x} = 4x + 3y - 7 = 0$ (समीकरण $1$)
$\frac{\partial f}{\partial y} = 3x + 2y - 5 = 0$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ को $2$ से और समीकरण $2$ को $3$ से गुणा करने पर:
$8x + 6y - 14 = 0$
$9x + 6y - 15 = 0$
दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर:
$(9x - 8x) + (6y - 6y) - (15 - 14) = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$.
$x = 1$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$4(1) + 3y - 7 = 0 \implies 3y - 3 = 0 \implies y = 1$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।

(A) दी गई रेखाओं का युग्म $my^2 + (1 - m^2)xy - mx^2 = 0$ है।
$xy = 0$ रेखाएं निर्देशांक अक्ष $x = 0$ और $y = 0$ को दर्शाती हैं।
$x = 0$ और $y = 0$ के बीच के कोण के समद्विभाजक $x^2 - y^2 = 0$ होते हैं,जिसका अर्थ है $x = y$ और $x = -y$।
यदि $my^2 + (1 - m^2)xy - mx^2 = 0$ में से एक रेखा समद्विभाजक है,तो $m = \pm 1$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$m = 1$ सही उत्तर है।

(D) सरल रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $xy - x - y + 1 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर,हमें $(x - 1)(y - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि दो रेखाएँ $x - 1 = 0$ और $y - 1 = 0$ हैं।
इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।
चूंकि तीनों रेखाएँ संगामी हैं,इसलिए बिंदु $(1, 1)$ को तीसरी रेखा $ax + 2y - 3 = 0$ के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।
समीकरण में $x = 1$ और $y = 1$ रखने पर: $a(1) + 2(1) - 3 = 0$।
$a + 2 - 3 = 0$।
$a - 1 = 0$,जिससे $a = 1$ प्राप्त होता है।

(D) दो रेखाओं से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का बिंदुपथ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के कोण समद्विभाजक होते हैं।
दिए गए समीकरण $x^2 \cos^2 \theta - xy \sin^2 \theta - y^2 \sin^2 \theta = 0$ की तुलना $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से करने पर,हमें $a = \cos^2 \theta$,$2h = -\sin^2 \theta$,और $b = -\sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
कोण समद्विभाजक का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x^2 - y^2}{\cos^2 \theta - (-\sin^2 \theta)} = \frac{xy}{-\frac{1}{2} \sin^2 \theta}$ प्राप्त होता है।
$\frac{x^2 - y^2}{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = \frac{2xy}{-\sin^2 \theta}$.
चूँकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,इसलिए $x^2 - y^2 = -\frac{2xy}{\sin^2 \theta}$.
$x^2 - y^2 = -2xy \csc^2 \theta$.
अतः,$x^2 - y^2 + 2xy \csc^2 \theta = 0$।

(B) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है। इन रेखाओं के बीच के कोणों के समद्विभाजक का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम युग्म $x^2 - 2mxy - y^2 = 0$ के लिए,$a = 1, h = -m, b = -1$ है। समद्विभाजक $\frac{x^2 - y^2}{1 - (-1)} = \frac{xy}{-m} \Rightarrow mx^2 + 2xy - my^2 = 0$ है।
द्वितीय युग्म $x^2 - 2nxy - y^2 = 0$ के लिए,$a = 1, h = -n, b = -1$ है। समद्विभाजक $nx^2 + 2xy - ny^2 = 0$ है।
चूंकि प्रत्येक युग्म दूसरे युग्म के कोण को समद्विभाजित करता है,इसलिए प्रथम युग्म के समद्विभाजक द्वितीय युग्म के समान होने चाहिए। $mx^2 + 2xy - my^2 = 0$ और $x^2 - 2nxy - y^2 = 0$ की तुलना करने पर,$\frac{m}{1} = \frac{2}{-2n} = \frac{-m}{-1}$ प्राप्त होता है।
अतः,$mn = -1$।

(A) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $f(x, y) = ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x$ और $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करते हैं:
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2ax + 2hy + 2g = 0 \implies ax + hy + g = 0$
$\frac{\partial f}{\partial y} = 2hx + 2by + 2f = 0 \implies hx + by + f = 0$
चूंकि रेखाएं $y$-अक्ष पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु का $x$-निर्देशांक $x = 0$ है।
$x = 0$ को पहले आंशिक अवकलन समीकरण में रखने पर: $h(y) + g = 0 \implies y = -g/h$।
अब,$(0, -g/h)$ को मूल समीकरण $f(x, y) = 0$ में रखने पर:
$a(0)^2 + 2h(0)(-g/h) + b(-g/h)^2 + 2g(0) + 2f(-g/h) + c = 0$
$b(g^2/h^2) - 2fg/h + c = 0$
$h^2$ से गुणा करने पर,हमें $bg^2 - 2fgh + ch^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $bg^2 + ch^2 = 2fgh$ हो जाता है।

(A) सरल रेखाओं के युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे $h(x^2 - y^2) - (a - b)xy = 0 \dots (1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि रेखा $y = mx$ एक समद्विभाजक है,इसलिए यह समीकरण $(1)$ को संतुष्ट करेगी।
समीकरण $(1)$ में $y = mx$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$h(x^2 - (mx)^2) - (a - b)x(mx) = 0$
$h(x^2 - m^2x^2) - (a - b)mx^2 = 0$
$x^2$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए):
$h(1 - m^2) - (a - b)m = 0$
$h - hm^2 - (a - b)m = 0$
$hm^2 + (a - b)m - h = 0$.
अतः,$m$ द्विघात समीकरण $hx^2 + (a - b)x - h = 0$ का एक मूल है।

(D) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ कोण समद्विभाजकों के युग्म को निरूपित करता है,जो हमेशा एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
इसलिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए,अर्थात $a + b = 0$।
चूंकि मूल बिंदु $(0, 0)$ कोण समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए यह $L_2$ के समीकरण को संतुष्ट करता है।
$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ में $(0, 0)$ रखने पर,हमें $F = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + b + F = 0 + 0 = 0$।
सामान्य द्विघात समीकरण के रेखाओं के युग्म को निरूपित करने के लिए,सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए।
यह शर्त लागू करने पर $BDE = AE^2 + CD^2$ संबंध प्राप्त होता है।
विकल्प $D$ गलत है क्योंकि रेखाओं के कोण समद्विभाजक उन रेखाओं के विशिष्ट गुणांकों पर निर्भर करते हैं,न कि किसी भी $l, m, n$ पर।

(B) समघात समीकरण $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ के कोण समद्विभाजकों के युग्म का समीकरण सूत्र $\frac{x^{2}-y^{2}}{a-b} = \frac{xy}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $x^{2}-4xy-5y^{2}=0$ के लिए,$a=1$,$2h=-4$ (अतः $h=-2$),और $b=-5$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x^{2}-y^{2}}{1-(-5)} = \frac{xy}{-2}$
$\frac{x^{2}-y^{2}}{6} = \frac{xy}{-2}$
दोनों पक्षों को $6$ से गुणा करने पर:
$x^{2}-y^{2} = -3xy$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^{2}+3xy-y^{2}=0$.

(D) समघात समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ के लिए कोण समद्विभाजकों के युग्म का समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$
$2x^2+xy-3y^2=0$ की तुलना $ax^2+2hxy+by^2=0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=2$,$2h=1 \implies h=1/2$,और $b=-3$.
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x^2-y^2}{2-(-3)} = \frac{xy}{1/2}$
$\frac{x^2-y^2}{5} = 2xy$
$x^2-y^2 = 10xy$
$x^2-y^2-10xy=0$

(B) समघातीय समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ के कोण समद्विभाजकों के युग्म का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $x^2+3xy+2y^2=0$ के लिए,$a=1$,$2h=3$ (अतः $h=\frac{3}{2}$),और $b=2$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x^2-y^2}{1-2} = \frac{xy}{3/2}$
$\frac{x^2-y^2}{-1} = \frac{2xy}{3}$
$3(x^2-y^2) = -2xy$
$3x^2-3y^2 = -2xy$
$3x^2+2xy-3y^2=0$.

(A) रेखाओं के युग्म $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ के कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^{2}-y^{2}}{a-b} = \frac{xy}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
युग्म $x^{2}-2pxy-y^{2}=0$ के लिए,हमारे पास $a=1, h=-p, b=-1$ है।
कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^{2}-y^{2}}{1-(-1)} = \frac{xy}{-p}$ है,जो $\frac{x^{2}-y^{2}}{2} = \frac{xy}{-p}$ में सरल हो जाता है।
इससे $x^{2}-y^{2} = -\frac{2}{p}xy$ प्राप्त होता है,या $x^{2} + \frac{2}{p}xy - y^{2} = 0$।
यह दिया गया है कि यह युग्म $x^{2}-2qxy-y^{2}=0$ के समान है।
$xy$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $-2q = \frac{2}{p}$ प्राप्त होता है।
अतः,$pq = -1$।

(A) दिया गया समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है,जहाँ $a = 2$,$2h = 11$,और $b = 3$ है।
रेखाओं के बीच के कोणों के समद्विभाजकों का संयुक्त समीकरण सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$
मान रखने पर:
$\frac{x^2 - y^2}{2 - 3} = \frac{xy}{11/2}$
$\frac{x^2 - y^2}{-1} = \frac{2xy}{11}$
$11(x^2 - y^2) = -2xy$
$11x^2 - 11y^2 + 2xy = 0$
$11x^2 + 2xy - 11y^2 = 0$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) $ax^2+2hxy+by^2=0$ सामान्य समीकरण वाली दो रेखाओं के कोण समद्विभाजक का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ होता है।
दिए गए समीकरण $x^2-4xy-5y^2=0$ की तुलना $ax^2+2hxy+by^2=0$ से करने पर,हमें $a=1$,$b=-5$,और $2h=-4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h=-2$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{x^2-y^2}{1-(-5)} = \frac{xy}{-2}$
$\frac{x^2-y^2}{6} = \frac{xy}{-2}$
$x^2-y^2 = -3xy$
$x^2+3xy-y^2=0$.

(B) रेखाओं के युग्म का समीकरण $x^2-3 x y-4 y^2=0$ है। इसे $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A=1, H=-\frac{3}{2}, B=-4$ प्राप्त होता है।
कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{A-B} = \frac{xy}{H}$ द्वारा दिया जाता है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x^2-y^2}{1-(-4)} = \frac{xy}{-3/2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{x^2-y^2}{5} = -\frac{2xy}{3}$.
$3(x^2-y^2) = -10xy$.
$3x^2+10xy-3y^2=0$.
इसे दिए गए समीकरण $3x^2-kxy-3y^2=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $-k=10$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $k=-10$.

(A) दिया गया समीकरण $3x^{2} + 2xy - y^{2} = 0$ है। इसे $ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 3$,$h = 1$,और $b = -1$ प्राप्त होता है।
कोण समद्विभाजकों के युग्म का संयुक्त समीकरण $\frac{x^{2} - y^{2}}{a - b} = \frac{xy}{h}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\frac{x^{2} - y^{2}}{3 - (-1)} = \frac{xy}{1}$ प्राप्त होता है।
$\frac{x^{2} - y^{2}}{4} = xy$.
$x^{2} - y^{2} = 4xy$.
$x^{2} - 4xy - y^{2} = 0$.

(B) रेखाएँ $x=5$ और $y=3$ बिंदु $(5, 3)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
चूंकि ये रेखाएँ लंबवत हैं,इसलिए कोण समद्विभाजक $(5, 3)$ से गुजरते हैं और $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ और $135^{\circ}$ का कोण बनाते हैं।
इन समद्विभाजकों की ढाल $m = \tan 45^{\circ} = 1$ और $m = \tan 135^{\circ} = -1$ है।
समद्विभाजकों के समीकरण हैं:
$y - 3 = 1(x - 5) \Rightarrow y - x + 2 = 0$
$y - 3 = -1(x - 5) \Rightarrow y + x - 8 = 0$
संयुक्त समीकरण $(y - x + 2)(y + x - 8) = 0$ है।
विस्तार करने पर: $x^2 - y^2 - 10x + 6y + 16 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) रेखाओं $x^{2}-2 p x y-y^{2}=0$ के बीच के कोणों के समद्विभाजक का समीकरण $\frac{x^{2}-y^{2}}{a-b} = \frac{xy}{h}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a=1, b=-1, h=-p$ है।
अतः,$\frac{x^{2}-y^{2}}{1-(-1)} = \frac{xy}{-p}$.
$\Rightarrow \frac{x^{2}-y^{2}}{2} = \frac{-xy}{p}$.
$\Rightarrow px^{2} + 2xy - py^{2} = 0$.
चूंकि यह समीकरण $x^{2}-2qxy-y^{2}=0$ के समान रेखाओं के युग्म को दर्शाता है,हम गुणांकों की तुलना करते हैं:
$\frac{p}{1} = \frac{2}{-2q} = \frac{-p}{-1}$.
$\frac{p}{1} = \frac{2}{-2q}$ से,हमें $p = -\frac{1}{q}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $pq = -1$ या $pq+1=0$।

(A) सरल रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $xy-x+y-1=0$ है।
गुणनखंड करने पर: $x(y-1)+1(y-1)=0$,जो $(x+1)(y-1)=0$ देता है।
यह दो रेखाओं को दर्शाता है: $L_1: x+1=0$ और $L_2: y-1=0$।
इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, 1)$ है।
चूंकि रेखा $x+ky-3=0$ इन रेखाओं के साथ संगामी है,इसलिए इसे बिंदु $(-1, 1)$ से होकर गुजरना चाहिए।
$(-1, 1)$ को रेखा के समीकरण में रखने पर: $-1 + k(1) - 3 = 0$।
$k - 4 = 0$,जिसका अर्थ है कि $k = 4$।

(A) माना $\phi(x, y) = 2x^{2}-xy-15y^{2}-7x+32y-9=0$ ...$(1)$
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम आंशिक अवकलन करते हैं:
$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 4x-y-7=0$ ...$(2)$
$\frac{\partial \phi}{\partial y} = -x-30y+32=0$ ...$(3)$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को हल करने पर:
$(2)$ से,$y = 4x-7$.
इसे $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $-x - 30(4x-7) + 32 = 0$ $\Rightarrow -x - 120x + 210 + 32 = 0$ $\Rightarrow -121x + 242 = 0$ $\Rightarrow x = 2$.
तब $y = 4(2)-7 = 1$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 1)$ है।
$(2, 1)$ से गुजरने वाली और निर्देशांक अक्षों के समानांतर रेखाएं $x=2$ और $y=1$ हैं।
संयुक्त समीकरण $(x-2)(y-1) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $xy - x - 2y + 2 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $x^2 - y^2 + x + 3y - 2 = 0$ है।
इसे व्यापक द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1, h=0, b=-1, g=\frac{1}{2}, f=\frac{3}{2}, c=-2$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ आंशिक अवकलज $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ और $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ के हल द्वारा प्राप्त होता है।
$\frac{\partial}{\partial x}(x^2 - y^2 + x + 3y - 2) = 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$.
$\frac{\partial}{\partial y}(x^2 - y^2 + x + 3y - 2) = -2y + 3 = 0 \Rightarrow y = \frac{3}{2}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ है।

(B) दी गई रेखाएँ $x=5$ और $y=3$ हैं।
ये रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
रेखाओं $x=h$ और $y=k$ के बीच के कोणों के समद्विभाजक $x-h = \pm(y-k)$ द्वारा दिए जाते हैं।
$h=5$ और $k=3$ रखने पर,हमें $x-5 = \pm(y-3)$ प्राप्त होता है।
इससे दो समीकरण मिलते हैं: $x-5 = y-3 \implies x-y-2=0$ और $x-5 = -(y-3) \implies x+y-8=0$।
संयुक्त समीकरण $(x-y-2)(x+y-8) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर: $x^2 - y^2 - 10x + 6y + 16 = 0$।

(B) रेखाओं के एक युग्म का समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ है। इस युग्म के कोण समद्विभाजक $\frac{x^2 - y^2}{A - B} = \frac{xy}{H}$ द्वारा दिए जाते हैं।
पहले युग्म $x^2 - 2axy - y^2 = 0$ के लिए,$A=1, B=-1, H=-a$ है। समद्विभाजक $\frac{x^2 - y^2}{1 - (-1)} = \frac{xy}{-a}$ हैं,जो सरल होकर $\frac{x^2 - y^2}{2} = \frac{xy}{-a}$ अर्थात $ax^2 + 2xy - ay^2 = 0$ हो जाता है।
चूंकि यह दूसरा युग्म $x^2 - 2bxy - y^2 = 0$ होना चाहिए,इसलिए गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{a}{1} = \frac{2}{-2b} = \frac{-a}{-1}$.
$\frac{a}{1} = \frac{2}{-2b}$ से,हमें $a = -\frac{1}{b}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $ab = -1$.

(B) दिया गया समीकरण $x^2+4xy+3y^2-4x-10y+3=0$ है।
$ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=2, b=3, g=-2, f=-5, c=3$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1) = \left(\frac{bg-fh}{h^2-ab}, \frac{af-gh}{h^2-ab}\right)$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $x_1 = \frac{3(-2)-(-5)(2)}{4-3} = 4$ और $y_1 = \frac{1(-5)-(-2)(2)}{4-3} = -1$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, -1)$ है।
$(4, -1)$ और $(2, 2)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ है।
$y + 1 = \frac{2 + 1}{2 - 4}(x - 4) \Rightarrow y + 1 = -\frac{3}{2}(x - 4)$।
$2y + 2 = -3x + 12 \Rightarrow 3x + 2y - 10 = 0$।

(A) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $ax^2+2hxy-ay^2+2gx+2fy+c=0$ है।
माना प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_0, y_0)$ है।
रेखाओं के युग्म $Ax^2+2Hxy+By^2+2Gx+2Fy+C=0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक $x_0 = \frac{HF-BG}{AB-H^2}$ और $y_0 = \frac{GH-AF}{AB-H^2}$ सूत्रों द्वारा दिए जाते हैं।
यहाँ,$A=a$,$H=h$,$B=-a$,$G=g$,$F=f$,$C=c$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x_0 = \frac{hf+ag}{-(a^2+h^2)}$
$y_0 = \frac{af-gh}{a^2+h^2}$.
मूल बिंदु $(0,0)$ से दूरी का वर्ग $x_0^2 + y_0^2$ है।
$x_0^2 + y_0^2 = \frac{(hf+ag)^2 + (af-gh)^2}{(a^2+h^2)^2} = \frac{f^2(h^2+a^2) + g^2(a^2+h^2)}{(a^2+h^2)^2} = \frac{f^2+g^2}{a^2+h^2}$.

(B) रेखाओं के पहले युग्म का गुणनखंड करने पर:
$6x^2 - xy - 12y^2 = 6x^2 - 9xy + 8xy - 12y^2 = 3x(2x - 3y) + 4y(2x - 3y) = (3x + 4y)(2x - 3y) = 0$
रेखाओं के दूसरे युग्म का गुणनखंड करने पर:
$15x^2 + 14xy - 8y^2 = 15x^2 + 20xy - 6xy - 8y^2 = 5x(3x + 4y) - 2y(3x + 4y) = (5x - 2y)(3x + 4y) = 0$
उभयनिष्ठ रेखा $3x + 4y = 0$ है।
इस रेखा की ढाल $m = -\frac{3}{4}$ है।
$(-1, 1)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{3}{4}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - 1 = -\frac{3}{4}(x + 1)$
$4y - 4 = -3x - 3$
$3x + 4y - 1 = 0$

(B) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a=3$,$2h=5$,और $b=4$ है।
कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x^2-y^2}{3-4} = \frac{xy}{5/2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{x^2-y^2}{-1} = \frac{2xy}{5}$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर,हमें $x^2-y^2 = -\frac{2}{5}xy$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $x^2-y^2+\frac{2}{5}xy=0$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई रेखाओं का समीकरण: $f(x, y) = 3x^2 - 11xy + 10y^2 - 7x + 13y + 4 = 0$.
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम आंशिक अवकलज $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ और $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ को हल करते हैं।
$\frac{\partial f}{\partial x} = 6x - 11y - 7 = 0$
$\frac{\partial f}{\partial y} = -11x + 20y + 13 = 0$
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{-143 + 140} = \frac{-y}{78 - 77} = \frac{1}{120 - 121}$
$\frac{x}{-3} = \frac{-y}{1} = \frac{1}{-1}$
$x = 3$ और $y = 1$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, 1)$ है।

(B) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $3x^2-11xy+10y^2-7x+13y+k=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=3, h=-\frac{11}{2}, b=10, g=-\frac{7}{2}, f=\frac{13}{2}$.
रेखाओं के युग्म का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$x = \frac{hf-bg}{ab-h^2}$ और $y = \frac{gh-af}{ab-h^2}$.
सबसे पहले,हर (denominator) की गणना करें: $ab-h^2 = (3)(10) - (-\frac{11}{2})^2 = 30 - \frac{121}{4} = \frac{120-121}{4} = -\frac{1}{4}$.
अब,$x$ के लिए अंश (numerator) की गणना करें: $hf-bg = (-\frac{11}{2})(\frac{13}{2}) - (10)(-\frac{7}{2}) = -\frac{143}{4} + 35 = \frac{-143+140}{4} = -\frac{3}{4}$.
अतः,$x = \frac{-3/4}{-1/4} = 3$.
अब,$y$ के लिए अंश की गणना करें: $gh-af = (-\frac{7}{2})(-\frac{11}{2}) - (3)(\frac{13}{2}) = \frac{77}{4} - \frac{39}{2} = \frac{77-78}{4} = -\frac{1}{4}$.
अतः,$y = \frac{-1/4}{-1/4} = 1$.
इसलिए,प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, 1)$ है।