Equation of pair of straight lines Questions in Hindi

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $4x^2 + kxy + y^2 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 4$,$2h = k$ (अर्थात $h = k/2$),और $b = 1$ प्राप्त होता है।
माना कि दो रेखाओं के ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं।
हम जानते हैं कि $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -k$ और $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = 4$ होता है।
दी गई शर्त के अनुसार,$m_1 = 4m_2$ है।
ढालों के योग में यह मान रखने पर: $4m_2 + m_2 = -k \implies 5m_2 = -k \implies m_2 = -k/5$।
ढालों के गुणनफल में यह मान रखने पर: $(4m_2)(m_2) = 4 \implies 4m_2^2 = 4 \implies m_2^2 = 1 \implies m_2 = \pm 1$।
अतः,$-k/5 = \pm 1$,जिसका अर्थ है कि $k = \mp 5$।
इस प्रकार,$k$ का मान $5$ है।

(B) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर,$b(y/x)^2 + 2h(y/x) + a = 0$ प्राप्त होता है।
माना $m = y/x$,अतः $bm^2 + 2hm + a = 0$।
मूल $m_1$ और $m_2$ हैं,इसलिए $m_1 + m_2 = -2h/b$ और $m_1m_2 = a/b$।
$m_1 = 4m_2$ लेने पर,$m_1 + m_2 = 5m_2 = -2h/b$ और $m_1m_2 = 4m_2^2 = a/b$।
ये मान $16h^2 = 25ab$ शर्त को संतुष्ट करते हैं,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(C) दूसरा समीकरण $6x^2 - xy - 5y^2 = 0$ है। इसके गुणनखंड करने पर,हमें $(6x + 5y)(x - y) = 0$ प्राप्त होता है। अतः रेखाएँ $y = -\frac{6}{5}x$ और $y = x$ हैं।
यदि $y = x$ एक उभयनिष्ठ रेखा है,तो यह $3x^2 - 5x(x) + p(x)^2 = 0$ को संतुष्ट करेगी,जिससे $3x^2 - 5x^2 + px^2 = 0$ प्राप्त होता है,अतः $p = 2$।
यदि $y = -\frac{6}{5}x$ एक उभयनिष्ठ रेखा है,तो यह $3x^2 - 5x(-\frac{6}{5}x) + p(-\frac{6}{5}x)^2 = 0$ को संतुष्ट करेगी।
इसका सरलीकरण $3x^2 + 6x^2 + p(\frac{36}{25})x^2 = 0$ है,जो $9x^2 + \frac{36p}{25}x^2 = 0$ देता है।
$x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $9 + \frac{36p}{25} = 0$ प्राप्त होता है,अतः $\frac{36p}{25} = -9$,जिसका अर्थ है $p = -9 \times \frac{25}{36} = -\frac{25}{4}$।
अतः,$p = 2$ या $p = -\frac{25}{4}$।

(D) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $2x^2 - 5xy + 2y^2 = 0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2x^2 - 4xy - xy + 2y^2 = 0$.
$2x(x - 2y) - y(x - 2y) = 0$.
$(2x - y)(x - 2y) = 0$.
अतः,रेखाओं के अलग समीकरण $L_1: 2x - y = 0$ और $L_2: x - 2y = 0$ हैं।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $ax + by + c = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $(2, -1)$ के लिए:
$P_1 = \frac{|2(2) - (-1)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|4 + 1|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$.
$P_2 = \frac{|(2) - 2(-1)|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|2 + 2|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.
इसलिए,$P_1 P_2 = \sqrt{5} \times \frac{4}{\sqrt{5}} = 4$.

(C) रेखा के समीकरण का अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है,जहाँ $p$ मूलबिंदु से लंबवत दूरी है और $\alpha$ लंब द्वारा $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाया गया कोण है।
रेखा $L_1$ के लिए,$\alpha = \frac{\pi}{4}$ और $p = 1$:
$x \cos \frac{\pi}{4} + y \sin \frac{\pi}{4} = 1$
$\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}} = 1$
$\Rightarrow x + y - \sqrt{2} = 0$
रेखा $L_2$ के लिए,$\alpha = \frac{3 \pi}{4}$ और $p = 1$:
$x \cos \frac{3 \pi}{4} + y \sin \frac{3 \pi}{4} = 1$
$\Rightarrow -\frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}} = 1$
$\Rightarrow -x + y - \sqrt{2} = 0$
$\Rightarrow x - y + \sqrt{2} = 0$
संयुक्त समीकरण दोनों व्यक्तिगत समीकरणों का गुणनफल है:
$(x + y - \sqrt{2})(x - y + \sqrt{2}) = 0$
$x^2 - y^2 + 2\sqrt{2}y - 2 = 0$

(B) रेखाओं की ढाल $m_1 = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ और $m_2 = \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
रेखाओं के समीकरण $y = \sqrt{3}x$ और $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ हैं,जिन्हें $(\sqrt{3}x - y) = 0$ और $(x - \sqrt{3}y) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
उनका संयुक्त समीकरण $(\sqrt{3}x - y)(x - \sqrt{3}y) = 0$ है।
विस्तार करने पर,$\sqrt{3}x^2 - 3xy - xy + \sqrt{3}y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$\sqrt{3}x^2 - 4xy + \sqrt{3}y^2 = 0$।
$\sqrt{3}(x^2 + y^2) = 4xy$।

(B) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ है। $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $b(\frac{y}{x})^2+2h(\frac{y}{x})+a=0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $m_1 = \tan \alpha$ और $m_2 = \tan \beta$ रेखाओं की प्रवणता (slopes) हैं।
तब $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b}$ और $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ है।
हम जानते हैं कि $\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{m_1+m_2}{1-m_1 m_2}$।
मान रखने पर,हमें $\tan(\alpha+\beta) = \frac{-\frac{2h}{b}}{1-\frac{a}{b}} = \frac{-\frac{2h}{b}}{\frac{b-a}{b}} = \frac{-2h}{b-a} = \frac{2h}{a-b}$ प्राप्त होता है।

(B) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^{2} + hxy + by^{2} = 0$ द्वारा दिया जाता है।
इन रेखाओं के संपाती होने के लिए,द्विघात रूप का विविक्तकर शून्य होना चाहिए।
रेखाओं के संपाती होने की शर्त $h^{2} - 4ab = 0$ है।
अतः,$h^{2} = 4ab$।

(A) दिया गया समीकरण: $3x^{2}-2\sqrt{3}xy-3y^{2}=0$
मध्य पद को विभाजित करने पर: $3x^{2}-3\sqrt{3}xy+\sqrt{3}xy-3y^{2}=0$
समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करने पर: $3x(x-\sqrt{3}y)+\sqrt{3}y(x-\sqrt{3}y)=0$
$(3x+\sqrt{3}y)(x-\sqrt{3}y)=0$
अतः,अलग-अलग समीकरण $3x+\sqrt{3}y=0$ और $x-\sqrt{3}y=0$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण $4x^{2} + 2hxy - 7y^{2} = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 4$,$2h = 2h$ और $b = -7$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि $m_{1}$ और $m_{2}$ रेखाओं के ढाल हैं।
ढालों का योग $m_{1} + m_{2} = -\frac{2h}{b} = -\frac{2h}{-7} = \frac{2h}{7}$ है।
ढालों का गुणनफल $m_{1}m_{2} = \frac{a}{b} = \frac{4}{-7} = -\frac{4}{7}$ है।
दिया गया है कि ढालों का योग उनके गुणनफल के बराबर है,इसलिए $\frac{2h}{7} = -\frac{4}{7}$।
दोनों पक्षों को $7$ से गुणा करने पर,हमें $2h = -4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h = -2$।

(A) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy=0$ है।
चूंकि एक रेखा निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण की समद्विभाजक है,इसलिए इसका समीकरण $y=x$ या $y=-x$ अर्थात $x-y=0$ या $x+y=0$ है।
माना दूसरी रेखा $lx+my+n=0$ है।
स्थिति $1$: यदि रेखा $x-y=0$ है,तो $(x-y)(lx+my+n) = lx^{2} + (m-l)xy - my^{2} + nx - ny = 0$।
इसे दिए गए समीकरण $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $g = -f$ प्राप्त होता है।
इन शर्तों के आधार पर,सही संबंध $(a+b)^{2}=4(h^{2}+g^{2})$ है।

(A) दिया गया समीकरण $9x^{2}-12xy+4y^{2}=0$ है।
इसे व्यापक रूप $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=9$,$2h=-12$ (अर्थात $h=-6$),और $b=4$ प्राप्त होता है।
रेखाओं की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम $h^{2}-ab$ की गणना करते हैं:
$h^{2}-ab = (-6)^{2} - (9 \times 4) = 36 - 36 = 0$.
चूंकि $h^{2}-ab=0$ है,इसलिए समीकरण द्वारा निरूपित रेखाएँ संपाती हैं।

(A) दो रेखाओं की ढाल $m_1 = 1+\sqrt{2}$ और $m_2 = \frac{1}{1+\sqrt{2}}$ है।
$m_2$ का परिमेयकरण करने पर: $m_2 = \frac{1}{\sqrt{2}+1} \times \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2}-1$.
मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का संयुक्त समीकरण $(y-m_1 x)(y-m_2 x) = 0$ होता है,जो $y^2 - (m_1+m_2)xy + m_1 m_2 x^2 = 0$ में सरल हो जाता है।
ढाल का योग: $m_1+m_2 = (1+\sqrt{2}) + (\sqrt{2}-1) = 2\sqrt{2}$.
ढाल का गुणनफल: $m_1 m_2 = (1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2-1 = 1$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $y^2 - (2\sqrt{2})xy + 1x^2 = 0$,अर्थात $x^2 - 2\sqrt{2}xy + y^2 = 0$.

(C) दिया गया समीकरण $5x^2 + xy - kx - 2y + 2 = 0$ है। चूँकि यह रेखाओं का एक युग्म है और एक रेखा $5x + y - 1 = 0$ है,हम समीकरण को $(5x + y - 1)(ax + c) = 0$ के रूप में लिख सकते हैं।
गुणा करने पर: $5ax^2 + axy + (5c - a)x + cy - c = 0$.
दिए गए समीकरण से तुलना करने पर:
$xy$ पद से,$a = 1$ प्राप्त होता है।
अचर पद से,$-c = 2$,इसलिए $c = -2$ प्राप्त होता है।
$x$ के गुणांक से,$-k = 5c - a$ है।
मान रखने पर: $-k = 5(-2) - 1 = -11$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = 11$।

(A) दिया गया समीकरण $px^2 - qy^2 = 0$ है।
इसे व्यापक समघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = p$,$h = 0$,और $b = -q$ प्राप्त होता है।
रेखाएँ वास्तविक और भिन्न होती हैं यदि $h^2 - ab > 0$ हो।
मान रखने पर,हमें $0^2 - (p)(-q) > 0$ प्राप्त होता है।
अतः $pq > 0$ प्राप्त होता है।

(A) निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण के समद्विभाजक $y = x$ और $y = -x$ हैं,जिन्हें $x - y = 0$ और $x + y = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि अभीष्ट रेखाएं इन समद्विभाजकों के समानांतर हैं और $(-2, 3)$ से गुजरती हैं,इसलिए उनके समीकरण हैं:
$1) (x - y) - (-2 - 3) = 0 \implies x - y + 5 = 0$
$2) (x + y) - (-2 + 3) = 0 \implies x + y - 1 = 0$
संयुक्त समीकरण $(x - y + 5)(x + y - 1) = 0$ है।
विस्तार करने पर: $x^2 - y^2 + 4x + 6y - 5 = 0$।

(C) दी गई रेखा $3x + y = 0$ है,जिसे $y = -3x$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1 = -3$ है।
मान लीजिए कि आवश्यक रेखाओं की ढाल $m$ है। चूंकि रेखाओं के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,हम $\tan \theta = |\frac{m - m_1}{1 + m m_1}|$ सूत्र का उपयोग करते हैं।
$\tan 45^{\circ} = |\frac{m - (-3)}{1 + m(-3)}| = |\frac{m + 3}{1 - 3m}|$.
$1 = |\frac{m + 3}{1 - 3m}| \Rightarrow 1 - 3m = \pm(m + 3)$.
स्थिति $1$: $1 - 3m = m + 3$ $\Rightarrow 4m = -2$ $\Rightarrow m = -1/2$.
स्थिति $2$: $1 - 3m = -(m + 3)$ $\Rightarrow 1 - 3m = -m - 3$ $\Rightarrow 2m = 4$ $\Rightarrow m = 2$.
रेखाएँ मूल बिंदु से गुजरती हैं,इसलिए उनके समीकरण $y = -\frac{1}{2}x$ और $y = 2x$ हैं।
इन्हें $x + 2y = 0$ और $2x - y = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
संयुक्त समीकरण $(x + 2y)(2x - y) = 0$ है।
$2x^2 - xy + 4xy - 2y^2 = 0 \Rightarrow 2x^2 + 3xy - 2y^2 = 0$.

(C) रेखा $3x+y-6=0$ की ढाल $m_1 = -3$ है। मान लीजिए कि रेखाओं की ढाल $m$ है जो दी गई रेखा के साथ $\theta = \frac{\pi}{6}$ का कोण बनाती है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m m_1} \right|$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \left| \frac{m - (-3)}{1 + m(-3)} \right| = \left| \frac{m+3}{1-3m} \right|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{3} = \frac{(m+3)^2}{(1-3m)^2} \Rightarrow (1-3m)^2 = 3(m+3)^2$.
$1 - 6m + 9m^2 = 3(m^2 + 6m + 9) = 3m^2 + 18m + 27$.
$6m^2 - 24m - 26 = 0 \Rightarrow 3m^2 - 12m - 13 = 0$.
संयुक्त समीकरण प्राप्त करने के लिए $m = \frac{y}{x}$ रखने पर:
$3(\frac{y}{x})^2 - 12(\frac{y}{x}) - 13 = 0$.
$x^2$ से गुणा करने पर:
$3y^2 - 12xy - 13x^2 = 0 \Rightarrow 13x^2 + 12xy - 3y^2 = 0$.

(C) रेखाएँ मूल बिंदु से गुजरती हैं और धनात्मक $Y$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती हैं।
ये रेखाएँ धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $90^{\circ} \pm 30^{\circ}$ का कोण बनाती हैं,जो $60^{\circ}$ और $120^{\circ}$ है।
इन रेखाओं की ढाल $m_1 = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ और $m_2 = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ है।
रेखाओं के समीकरण $y = \sqrt{3}x$ और $y = -\sqrt{3}x$ हैं,जिन्हें $y - \sqrt{3}x = 0$ और $y + \sqrt{3}x = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
संयुक्त समीकरण $(y - \sqrt{3}x)(y + \sqrt{3}x) = 0$ है।
इसे सरल करने पर $y^2 - 3x^2 = 0$ या $3x^2 - y^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना दो रेखाएँ $OA$ और $OB$ हैं जो मूल बिंदु $O(0,0)$ से गुजरती हैं।
चूँकि प्रत्येक रेखा $Y$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है,इसलिए वे धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$ और $90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$ का कोण बनाती हैं।
इन रेखाओं की ढाल $m_1 = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ और $m_2 = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ है।
रेखाओं के समीकरण $y = \sqrt{3}x$ और $y = -\sqrt{3}x$ हैं,जिन्हें $\sqrt{3}x - y = 0$ और $\sqrt{3}x + y = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखाओं के युग्म का संयुक्त समीकरण $(\sqrt{3}x - y)(\sqrt{3}x + y) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर,हमें $(\sqrt{3}x)^2 - y^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $3x^2 - y^2 = 0$ हो जाता है।

(B) बिंदु $(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली और रेखाओं $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के लंबवत रेखाओं के युग्म का समीकरण $b(x - x_1)^2 - 2h(x - x_1)(y - y_1) + a(y - y_1)^2 = 0$ होता है।
यहाँ $a = 5$,$h = 1$,$b = -3$ और $(x_1, y_1) = (3, -2)$ है।
मान रखने पर:
$-3(x - 3)^2 - 2(x - 3)(y + 2) + 5(y + 2)^2 = 0$
विस्तार करने पर:
$-3(x^2 - 6x + 9) - 2(xy + 2x - 3y - 6) + 5(y^2 + 4y + 4) = 0$
$-3x^2 + 18x - 27 - 2xy - 4x + 6y + 12 + 5y^2 + 20y + 20 = 0$
सरल करने पर:
$3x^2 + 2xy - 5y^2 - 14x - 26y - 5 = 0$.

(A) रेखाएँ मूल बिंदु से गुजरती हैं और रेखा $y=5$ के साथ एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं। चूंकि त्रिभुज समबाहु है,इसलिए प्रत्येक रेखा $y$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है।
अतः,रेखाएं धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$ और $90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$ का कोण बनाती हैं।
रेखाओं की ढाल $m_1 = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ और $m_2 = \tan 120^{\circ} = -\sqrt{3}$ है।
रेखाओं के समीकरण $y = \sqrt{3}x$ और $y = -\sqrt{3}x$ हैं।
अतः,$y - \sqrt{3}x = 0$ और $y + \sqrt{3}x = 0$।
संयुक्त समीकरण $(y - \sqrt{3}x)(y + \sqrt{3}x) = 0$ होगा।
$y^2 - 3x^2 = 0$,जिसे $3x^2 - y^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) दिया गया समीकरण $2 x^2+5 x y+3 y^2=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2 x^2+2 x y+3 x y+3 y^2=0$ $\Rightarrow 2 x(x+y)+3 y(x+y)=0$ $\Rightarrow (2 x+3 y)(x+y)=0$.
व्यक्तिगत रेखाएं $2 x+3 y=0$ और $x+y=0$ हैं।
इन रेखाओं के लंबवत और मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाएं $3 x-2 y=0$ और $x-y=0$ हैं।
उनका संयुक्त समीकरण $(3 x-2 y)(x-y)=0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $3 x^2-3 x y-2 x y+2 y^2=0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $3 x^2-5 x y+2 y^2=0$ हो जाता है।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{a} + \frac{2xy}{h} + \frac{y^2}{b} = 0$ है। $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{b}(\frac{y}{x})^2 + \frac{2}{h}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{a} = 0$ प्राप्त होता है।
माना ढाल $m$ और $2m$ हैं।
मूलों के योग से,$m + 2m = 3m = -\frac{2/h}{1/b} = -\frac{2b}{h}$,अतः $m = -\frac{2b}{3h}$।
मूलों के गुणनफल से,$m \cdot 2m = 2m^2 = \frac{1/a}{1/b} = \frac{b}{a}$।
गुणनफल समीकरण में $m$ का मान रखने पर: $2(-\frac{2b}{3h})^2 = \frac{b}{a}$।
$2 \cdot \frac{4b^2}{9h^2} = \frac{b}{a}$।
$\frac{8b^2}{9h^2} = \frac{b}{a}$।
$\frac{ab}{h^2} = \frac{9}{8}$।
अतः,$ab : h^2 = 9:8$।

(B) माना रेखा $y=x$ की ढाल $m_1 = 1 = \tan 45^\circ$ है। माना अभीष्ट रेखाओं की ढाल $m$ है। रेखाओं के बीच का कोण $\alpha$ है।
सूत्र $\tan \alpha = |\frac{m-1}{1+m}|$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{m-1}{1+m} = \tan \alpha$ या $\frac{m-1}{1+m} = -\tan \alpha$ प्राप्त होता है।
$m$ के लिए हल करने पर: $m = \tan(45^\circ + \alpha)$ और $m = \tan(45^\circ - \alpha)$।
रेखाओं के समीकरण $y = \tan(45^\circ + \alpha)x$ और $y = \tan(45^\circ - \alpha)x$ हैं।
संयुक्त समीकरण $(y - x\tan(45^\circ + \alpha))(y - x\tan(45^\circ - \alpha)) = 0$ है।
सरल करने पर,$y^2 - xy(\frac{2}{\cos 2\alpha}) + x^2 = 0$।
अतः,$x^2 - 2xy \sec 2\alpha + y^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) प्रथम चतुर्थांश धनात्मक $x$-अक्ष $(0^\circ)$ और धनात्मक $y$-अक्ष $(90^\circ)$ के बीच का क्षेत्र है।
प्रथम चतुर्थांश को समत्रिभाजित करने वाली रेखाएं धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $30^\circ$ और $60^\circ$ का कोण बनाती हैं।
इन रेखाओं के समीकरण $y = \tan(30^\circ)x$ और $y = \tan(60^\circ)x$ हैं।
$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x \implies x - \sqrt{3}y = 0$
$y = \sqrt{3}x \implies \sqrt{3}x - y = 0$
संयुक्त समीकरण $(x - \sqrt{3}y)(\sqrt{3}x - y) = 0$ है।
विस्तार करने पर: $\sqrt{3}x^2 - xy - 3xy + \sqrt{3}y^2 = 0$.
$\sqrt{3}x^2 - 4xy + \sqrt{3}y^2 = 0$.

(C) रेखाओं की प्रवणता $m_1 = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $m_2 = \tan(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
चूंकि रेखाएं मूल बिंदु से होकर गुजरती हैं,इसलिए उनके समीकरण $y = m_1 x$ और $y = m_2 x$ हैं।
प्रवणता का मान रखने पर,हमें $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ और $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $x - \sqrt{3}y = 0$ और $x + \sqrt{3}y = 0$ प्राप्त होता है।
संयुक्त समीकरण $(x - \sqrt{3}y)(x + \sqrt{3}y) = 0$ है।
सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर,हमें $x^2 - (\sqrt{3}y)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,संयुक्त समीकरण $x^2 - 3y^2 = 0$ है।

(B) मान लीजिए कि मूल बिंदु से गुजरने वाली दो रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ हैं। चूँकि वे रेखा $y=3$ के साथ एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं,इसलिए इन रेखाओं द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $60^{\circ}$ और $120^{\circ}$ होना चाहिए।
इन रेखाओं की ढलान $m_1 = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ और $m_2 = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ है।
रेखाओं के समीकरण $y = \sqrt{3}x$ और $y = -\sqrt{3}x$ हैं।
इन्हें पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{3}x - y = 0$ और $\sqrt{3}x + y = 0$ प्राप्त होता है।
संयुक्त समीकरण $(\sqrt{3}x - y)(\sqrt{3}x + y) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $(\sqrt{3}x)^2 - y^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $3x^2 - y^2 = 0$ हो जाता है।

(D) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ है।
माना रेखाओं की ढाल $m_1 = \tan \alpha$ और $m_2 = \tan \beta$ है।
द्विघात समीकरण के गुणों से:
$m_1+m_2 = \tan \alpha + \tan \beta = -\frac{2h}{b}$
$m_1m_2 = \tan \alpha \tan \beta = \frac{a}{b}$
$\tan(\alpha+\beta)$ के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$
मान रखने पर:
$\tan(\alpha+\beta) = \frac{-\frac{2h}{b}}{1 - \frac{a}{b}} = \frac{-\frac{2h}{b}}{\frac{b-a}{b}} = \frac{-2h}{b-a} = \frac{2h}{a-b}$

(C) दिया गया समीकरण $2x^2 - 5xy + 2y^2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $2x^2 - 4xy - xy + 2y^2 = 0 \Rightarrow 2x(x - 2y) - y(x - 2y) = 0$.
अतः,रेखाएँ $2x - y = 0$ और $x - 2y = 0$ हैं।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $ax + by + c = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ होती है।
बिंदु $(2, -1)$ और रेखा $2x - y = 0$ के लिए,दूरी $d_1 = \frac{|2(2) - 1(-1)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{5}}$.
बिंदु $(2, -1)$ और रेखा $x - 2y = 0$ के लिए,दूरी $d_2 = \frac{|1(2) - 2(-1)|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.
दूरियों का गुणनफल $d_1 \times d_2 = \frac{5}{\sqrt{5}} \times \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{20}{5} = 4$ इकाई है।

(A) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2-4xy+y^2=0$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $1-4(\frac{y}{x})+(\frac{y}{x})^2=0$ प्राप्त होता है।
माना $m = \tan \theta = \frac{y}{x}$,तो $m^2-4m+1=0$।
रेखाओं की ढाल $m_1 = \tan \alpha$ और $m_2 = \tan \beta$ हैं।
द्विघात समीकरण से,मूलों का योग $\tan \alpha + \tan \beta = 4$ और मूलों का गुणनफल $\tan \alpha \cdot \tan \beta = 1$ है।
हमें $\cot^2 \alpha + \cot^2 \beta = \frac{1}{\tan^2 \alpha} + \frac{1}{\tan^2 \beta} = \frac{\tan^2 \alpha + \tan^2 \beta}{(\tan \alpha \cdot \tan \beta)^2}$ ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\tan^2 \alpha + \tan^2 \beta = (\tan \alpha + \tan \beta)^2 - 2 \tan \alpha \tan \beta$ का उपयोग करने पर:
$\tan^2 \alpha + \tan^2 \beta = (4)^2 - 2(1) = 16 - 2 = 14$।
अतः,$\cot^2 \alpha + \cot^2 \beta = \frac{14}{1^2} = 14$।

(C) रेखाओं के युग्म $ax^2+2hxy+by^2=0$ के लिए,मान लीजिए ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं।
हमारे पास $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b}$ और $m_1m_2 = \frac{a}{b}$ है।
दिया गया है कि एक ढाल दूसरे का दोगुना है,इसलिए $m_1 = 2m_2$ लें।
ढालों के योग में यह मान रखने पर: $2m_2 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ $\Rightarrow 3m_2 = -\frac{2h}{b}$ $\Rightarrow m_2 = -\frac{2h}{3b}$।
ढालों के गुणनफल में यह मान रखने पर: $m_1m_2 = (2m_2)m_2 = 2m_2^2 = \frac{a}{b}$।
अतः,$2(-\frac{2h}{3b})^2 = \frac{a}{b} \Rightarrow 2(\frac{4h^2}{9b^2}) = \frac{a}{b}$।
$\frac{8h^2}{9b^2} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{h^2}{ab} = \frac{9}{8}$।
इसलिए,$h^2:ab = 9:8$।

(C) दोनों रेखाओं की ढाल $m_1 = 1+\sqrt{2}$ और $m_2 = \frac{1}{1+\sqrt{2}}$ है।
$m_2$ का परिमेयकरण करने पर: $m_2 = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \sqrt{2}-1$।
मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण $y = (1+\sqrt{2})x$ और $y = (\sqrt{2}-1)x$ हैं।
अतः,$(1+\sqrt{2})x - y = 0$ और $(\sqrt{2}-1)x - y = 0$।
उनका संयुक्त समीकरण: $[(1+\sqrt{2})x - y][(\sqrt{2}-1)x - y] = 0$ है।
विस्तार करने पर: $x^2 - 2\sqrt{2}xy + y^2 = 0$।

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाली और $m_1 = \sqrt{3}+1$ तथा $m_2 = \sqrt{3}-1$ ढाल वाली रेखाओं के समीकरण $y = m_1 x$ और $y = m_2 x$ हैं।
रेखाओं के युग्म $y = m_1 x$ और $y = m_2 x$ के लिए सहायक समीकरण $(m - m_1)(m - m_2) = 0$ होता है,इसलिए मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(m - (\sqrt{3}+1))(m - (\sqrt{3}-1)) = 0$
$m^2 - m(\sqrt{3}-1) - m(\sqrt{3}+1) + (\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) = 0$
$m^2 - m(2\sqrt{3}) + (3 - 1) = 0$
$m^2 - 2\sqrt{3}m + 2 = 0$

(C) दी गई रेखा $x+y=0$ है,जिसका ढाल $m_{1} = -1$ है।
माना अभीष्ट रेखाओं का ढाल $m$ है।
चूंकि रेखाओं के बीच का कोण $30^{\circ}$ है,हम सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m_{1}}{1 + m m_{1}} \right|$ का उपयोग करते हैं।
मान रखने पर: $\tan 30^{\circ} = \left| \frac{m - (-1)}{1 + m(-1)} \right| = \left| \frac{m+1}{1-m} \right|$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \left| \frac{m+1}{1-m} \right|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{3} = \frac{(m+1)^{2}}{(1-m)^{2}}$.
$(1-m)^{2} = 3(m+1)^{2} \Rightarrow 1 - 2m + m^{2} = 3(m^{2} + 2m + 1)$.
$1 - 2m + m^{2} = 3m^{2} + 6m + 3$.
$2m^{2} + 8m + 2 = 0 \Rightarrow m^{2} + 4m + 1 = 0$.
$m = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\left( \frac{y}{x} \right)^{2} + 4\left( \frac{y}{x} \right) + 1 = 0$.
$x^{2}$ से गुणा करने पर: $y^{2} + 4xy + x^{2} = 0$ या $x^{2} + 4xy + y^{2} = 0$.

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^{2}+kxy+2y^{2}=0$ है।
चूंकि $x+2y=0$ एक रेखा है,हम $x = -2y$ लिख सकते हैं।
$x = -2y$ को समीकरण $x^{2}+kxy+2y^{2}=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-2y)^{2} + k(-2y)y + 2y^{2} = 0$
$4y^{2} - 2ky^{2} + 2y^{2} = 0$
$6y^{2} - 2ky^{2} = 0$
$2y^{2}(3 - k) = 0$
चूंकि यह रेखा पर स्थित सभी बिंदुओं के लिए सत्य होना चाहिए,इसलिए $3 - k = 0$,जिसका अर्थ है $k = 3$।

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $k x^{2}+x y-y^{2}=0$ है।
$x^{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $k + \frac{y}{x} - (\frac{y}{x})^{2} = 0$ प्राप्त होता है।
माना $m = \frac{y}{x}$ रेखाओं की ढाल है। तब सहायक समीकरण $-m^{2} + m + k = 0$ है।
चूंकि एक रेखा निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है,इसलिए इसकी ढाल $m = \pm 1$ होनी चाहिए।
स्थिति $1$: यदि $m = 1$ है,तो $-(1)^{2} + 1 + k = 0 \implies -1 + 1 + k = 0 \implies k = 0$.
स्थिति $2$: यदि $m = -1$ है,तो $-(-1)^{2} + (-1) + k = 0 \implies -1 - 1 + k = 0 \implies k = 2$.
अतः,$k$ के मान $0$ और $2$ हैं।

(B) रेखाएँ प्रथम चतुर्थांश में $90^{\circ}$ के कोण को समत्रिभाजित करती हैं। अतः,इन रेखाओं द्वारा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ बनाए गए कोण $30^{\circ}$ और $60^{\circ}$ हैं।
रेखा $L_{1}$,$x$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है: $y = \tan(30^{\circ})x$ $\Rightarrow y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ $\Rightarrow x - \sqrt{3}y = 0$.
रेखा $L_{2}$,$x$-अक्ष के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती है: $y = \tan(60^{\circ})x$ $\Rightarrow y = \sqrt{3}x$ $\Rightarrow \sqrt{3}x - y = 0$.
इन दो रेखाओं का संयुक्त समीकरण $(x - \sqrt{3}y)(\sqrt{3}x - y) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर: $\sqrt{3}x^{2} - xy - 3xy + \sqrt{3}y^{2} = 0$.
$\sqrt{3}(x^{2} + y^{2}) - 4xy = 0$.

(B) माना $L_{1}$ और $L_{2}$ मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाली आवश्यक रेखाएँ हैं।
चूंकि रेखाओं और रेखा $y=4$ द्वारा निर्मित त्रिभुज समबाहु है,इसलिए प्रत्येक रेखा $x$-अक्ष के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती है।
अतः,रेखाओं की ढाल $m_{1} = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ और $m_{2} = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ होगी।
रेखाओं के समीकरण $y = \sqrt{3}x$ और $y = -\sqrt{3}x$ हैं।
इसलिए,संयुक्त समीकरण $(y - \sqrt{3}x)(y + \sqrt{3}x) = 0$ होगा।
इसे सरल करने पर $y^{2} - 3x^{2} = 0$ प्राप्त होता है,जिसे $3x^{2} - y^{2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं की ढाल $m_1 = 1+\sqrt{2}$ और $m_2 = \frac{-1}{1+\sqrt{2}}$ है।
चूंकि $m_2 = 1-\sqrt{2}$,रेखाएं $y = (1+\sqrt{2})x$ और $y = (1-\sqrt{2})x$ हैं।
अतः संयुक्त समीकरण $(y - (1+\sqrt{2})x)(y - (1-\sqrt{2})x) = 0$ है।
विस्तार करने पर,$y^2 - 2xy - x^2 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः अभीष्ट समीकरण $x^2 + 2xy - y^2 = 0$ है।

(C) मूल बिंदु से गुजरने वाली और $m_{1}=3$ तथा $m_{2}=-\frac{1}{3}$ ढाल वाली रेखाओं के समीकरण $y=3x$ और $y=-\frac{1}{3}x$ हैं।
इन्हें $(y-3x)=0$ और $(3y+x)=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखाओं के युग्म का संयुक्त समीकरण उनके व्यक्तिगत समीकरणों के गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:
$(y-3x)(3y+x)=0$
$3y^{2}+xy-9xy-3x^{2}=0$
$3y^{2}-8xy-3x^{2}=0$.

(C) मान लीजिए कि रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है। दिया गया है कि $m_1 : m_2 = 2 : 3$,इसलिए $m_1 = 2k$ और $m_2 = 3k$ मान लें।
समीकरण $y^2 + 2hxy + 6x^2 = 0$ के लिए,ढाल का योग $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{1} = -2h$ और ढाल का गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{6}{1} = 6$ होता है।
मान रखने पर: $2k + 3k = -2h \implies 5k = -2h \implies k = -\frac{2h}{5}$.
साथ ही,$(2k)(3k) = 6 \implies 6k^2 = 6 \implies k^2 = 1 \implies k = \pm 1$.
$k = \pm 1$ को $5k = -2h$ में रखने पर: $5(\pm 1) = -2h \implies h = \mp \frac{5}{2}$.
अतः,$h = \pm \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $PQR$ एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका समकोण $Q(2, 1)$ पर है। रेखा $PR$ का समीकरण $2x + y = 3$ है,इसलिए इसकी ढाल $m = -2$ है।
चूंकि $\triangle PQR$ समद्विबाहु है और $Q$ पर समकोण है,रेखाएं $PQ$ और $QR$ रेखा $PR$ के साथ $45^\circ$ का कोण बनाती हैं।
मान लीजिए $PQ$ की ढाल $m_1$ है। तब,$\tan 45^\circ = |\frac{m_1 - (-2)}{1 + m_1(-2)}| = |\frac{m_1 + 2}{1 - 2m_1}|$.
$1 = |\frac{m_1 + 2}{1 - 2m_1}| \Rightarrow 1 - 2m_1 = m_1 + 2$ या $1 - 2m_1 = -(m_1 + 2)$.
स्थिति $1$: $3m_1 = -1 \Rightarrow m_1 = -1/3$.
स्थिति $2$: $m_1 = 3$.
इस प्रकार,$PQ$ और $QR$ की ढाल $-1/3$ और $3$ हैं।
$Q(2, 1)$ से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण:
$y - 1 = -1/3(x - 2)$ $\Rightarrow 3y - 3 = -x + 2$ $\Rightarrow x + 3y - 5 = 0$.
$y - 1 = 3(x - 2)$ $\Rightarrow y - 1 = 3x - 6$ $\Rightarrow 3x - y - 5 = 0$.
संयुक्त समीकरण $(x + 3y - 5)(3x - y - 5) = 0$ है।
विस्तार करने पर: $3x^2 - xy - 5x + 9xy - 3y^2 - 15y - 15x + 5y + 25 = 0$.
$3x^2 + 8xy - 3y^2 - 20x - 10y + 25 = 0$.

(A) रेखाओं के युग्म का समीकरण $Kx^2 - 4xy + 5y^2 = 0$ है। इसे $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = K$,$2h = -4 \Rightarrow h = -2$,और $b = 5$ प्राप्त होता है।
माना $m_1$ और $m_2$ रेखाओं के ढाल हैं।
ढालों का अंतर $|m_1 - m_2| = \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{|b|}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $|m_1 - m_2| = 2$,इसलिए:
$2 = \frac{2\sqrt{(-2)^2 - K(5)}}{5}$
$1 = \frac{\sqrt{4 - 5K}}{5}$
$5 = \sqrt{4 - 5K}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$25 = 4 - 5K$
$5K = 4 - 25$
$5K = -21$
$K = \frac{-21}{5}$

(C) माना दो रेखाओं की ढाल $m$ और $2m$ है।
समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ से,हमारे पास है:
ढाल का योग: $m_1+m_2 = m+2m = 3m = -\frac{2h}{b} \Rightarrow m = -\frac{2h}{3b}$.
ढाल का गुणनफल: $m_1 \times m_2 = m \times 2m = 2m^2 = \frac{a}{b}$.
$m$ का मान गुणनफल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(-\frac{2h}{3b})^2 = \frac{a}{b}$
$2(\frac{4h^2}{9b^2}) = \frac{a}{b}$
$\frac{8h^2}{9b^2} = \frac{a}{b}$
$8h^2 = 9ab$.

(D) रेखाओं के युग्म का समीकरण $x^2 - 2xy \tan \theta - y^2 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 1$,$2h = -2 \tan \theta$,और $b = -1$ प्राप्त होता है।
ढालों का योग $m_1 + m_2$ सूत्र $\frac{-2h}{b}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$m_1 + m_2 = \frac{-(-2 \tan \theta)}{-1} = -2 \tan \theta$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि ढालों का योग $4$ है,इसलिए $-2 \tan \theta = 4$ है।
यह सरल होकर $\tan \theta = -2$ हो जाता है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(-2)$।

(C) रेखाएँ मूल बिंदु से गुजरती हैं और रेखा $x=3$ के साथ एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,इसलिए मूल बिंदु $O$ पर कोण $60^{\circ}$ है।
$x$-अक्ष के सापेक्ष समरूपता के कारण,रेखाएँ $x$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ और $-30^{\circ}$ का कोण बनाती हैं।
रेखाओं की ढाल $m_1 = \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $m_2 = \tan(-30^{\circ}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
रेखाओं के समीकरण $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ और $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ हैं,जिन्हें $x - \sqrt{3}y = 0$ और $x + \sqrt{3}y = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
संयुक्त समीकरण $(x - \sqrt{3}y)(x + \sqrt{3}y) = 0$ है,जो सरल होकर $x^2 - 3y^2 = 0$ हो जाता है।