Angle between the pair of straight lines, Condition for parallel and perpendicular lines Questions in Hindi

(C) समीकरण $xy = 0$ निर्देशांक अक्षों के युग्म को दर्शाता है।
इसका अर्थ है $x = 0$ ($y$-अक्ष) और $y = 0$ ($x$-अक्ष)।
$x$-अक्ष और $y$-अक्ष के बीच का कोण $90^\circ$ होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ दो समांतर रेखाओं को निरूपित करता है यदि $h^2 = ab$ और $af^2 = bg^2$ हो।
दिए गए समीकरण की तुलना सामान्य रूप से करने पर,$a = 4, h = 6, b = 9$ प्राप्त होता है।
शर्त $h^2 = ab$ की जाँच करने पर: $6^2 = 4 \times 9 \Rightarrow 36 = 36$,जो संतुष्ट है।
शर्त $af^2 = bg^2$ की जाँच करने पर: $4f^2 = 9g^2$ $\Rightarrow (2f)^2 = (3g)^2$ $\Rightarrow 2f = 3g$ $\Rightarrow f = \frac{3}{2}g$।
यदि हम $g = 2$ लेते हैं,तो $f = 3$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म को निरूपित करने के लिए शर्त $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ है।
मान रखने पर: $4 \times 9 \times c + 2(3)(2)(6) - 4(3^2) - 9(2^2) - c(6^2) = 0$।
$36c + 72 - 36 - 36 - 36c = 0$।
$0 = 0$।
यह परिणाम $c$ के किसी भी मान के लिए सत्य है। अतः,$g = 2, f = 3$ और $c$ कोई भी संख्या हो सकती है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2 + 2xy \sec \theta + y^2 = 0$ है।
इसकी तुलना व्यापक समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से करने पर,हमें $a = 1$,$h = \sec \theta$,और $b = 1$ प्राप्त होता है।
माना रेखाओं के बीच का कोण $\alpha$ है। कोण के लिए सूत्र $\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ है।
मान रखने पर: $\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{1 + 1} \right|$.
चूंकि $\sec^2 \theta - 1 = \tan^2 \theta$,इसलिए $\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{\tan^2 \theta}}{2} \right| = |\tan \theta|$.
अतः,$\alpha = \theta$.

(A) रेखाओं के युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के बीच का न्यून कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम युग्म $3x^2 - 7xy + 4y^2 = 0$ के लिए,$a=3, 2h=-7, b=4$ है। अतः $h = -3.5$.
$\tan \theta_1 = \left| \frac{2\sqrt{(-3.5)^2 - (3)(4)}}{3 + 4} \right| = \frac{1}{7}$.
अतः,$\theta_1 = \tan^{-1}(\frac{1}{7})$.
द्वितीय युग्म $6x^2 - 5xy + y^2 = 0$ के लिए,$a=6, 2h=-5, b=1$ है। अतः $h = -2.5$.
$\tan \theta_2 = \left| \frac{2\sqrt{(-2.5)^2 - (6)(1)}}{6 + 1} \right| = \frac{1}{7}$.
अतः,$\theta_2 = \tan^{-1}(\frac{1}{7})$.
इसलिए,$\theta_1 = \theta_2$.

(B) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2 + hxy + by^2 = 0$ है,जहाँ $h = 1/2$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\theta = 45^\circ$,इसलिए $\tan 45^\circ = 1$ है।
$1 = \left| \frac{2\sqrt{(1/2)^2 - ab}}{a + b} \right| = \left| \frac{\sqrt{1 - 4ab}}{a + b} \right|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(a + b)^2 = 1 - 4ab$ प्राप्त होता है।
$a^2 + 2ab + b^2 = 1 - 4ab \Rightarrow a^2 + 6ab + b^2 = 1$।
विकल्प $(b)$ की जाँच करने पर: $a = 1, b = -6$।
$1^2 + 6(1)(-6) + (-6)^2 = 1 - 36 + 36 = 1$। यह शर्त को संतुष्ट करता है।

(A) दिया गया समीकरण $9x^2 + 24xy + 16y^2 + 21x + 28y + 6 = 0$ है।
इसे $(3x + 4y)^2 + 7(3x + 4y) + 6 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $u = 3x + 4y$। तब समीकरण $u^2 + 7u + 6 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर,$(u + 6)(u + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
मान वापस रखने पर,$(3x + 4y + 6)(3x + 4y + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
यह दो रेखाओं को दर्शाता है: $3x + 4y + 6 = 0$ और $3x + 4y + 1 = 0$।
चूंकि दोनों समीकरणों में $x$ और $y$ के गुणांक समान हैं,इसलिए रेखाएँ समांतर हैं।

(A) दिया गया समीकरण $\sqrt{3}x^2 - 4xy + \sqrt{3}y^2 = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = \sqrt{3}$,$2h = -4$ (अर्थात $h = -2$),और $b = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के बीच के कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-2)^2 - (\sqrt{3})(\sqrt{3})}}{\sqrt{3} + \sqrt{3}} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{4 - 3}}{2\sqrt{3}} \right| = \frac{2(1)}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,न्यून कोण $\theta = 30^\circ$ या $\frac{\pi}{6}$ रेडियन है।

(A) दिया गया समीकरण $y^2 + kxy - x^2 \tan^2 A = 0$ है। इसे व्यापक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = -\tan^2 A$,$2h = k$,और $b = 1$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\theta = 2A$ है,इसलिए $\tan 2A = \frac{2\sqrt{(k/2)^2 - (-\tan^2 A)(1)}}{1 - \tan^2 A} = \frac{2\sqrt{\frac{k^2}{4} + \tan^2 A}}{1 - \tan^2 A}$.
हम जानते हैं कि $\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A} = \frac{2\sqrt{\frac{k^2}{4} + \tan^2 A}}{1 - \tan^2 A}$.
इसका अर्थ है $\tan A = \sqrt{\frac{k^2}{4} + \tan^2 A}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\tan^2 A = \frac{k^2}{4} + \tan^2 A$.
अतः,$\frac{k^2}{4} = 0$,जिससे $k = 0$ प्राप्त होता है।

(C) समीकरण $xy = 0$ रेखाओं $x = 0$ ($y$-अक्ष) और $y = 0$ ($x$-अक्ष) के युग्म को दर्शाता है।
चूंकि निर्देशांक अक्ष एक-दूसरे के लंबवत होते हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $90^\circ$ है।

(C) दिया गया समीकरण $4x^2 - 24xy + 11y^2 = 0$ है। इसे व्यापक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 4$,$h = -12$,और $b = 11$ प्राप्त होता है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \pm \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \pm \frac{2\sqrt{(-12)^2 - (4)(11)}}{4 + 11} = \pm \frac{2\sqrt{144 - 44}}{15} = \pm \frac{20}{15} = \pm \frac{4}{3}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\pm \frac{4}{3}\right)$।

(D) दिया गया समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के रूप में है,जहाँ $a = \lambda$,$2h = (1 - \lambda)^2$,और $b = -\lambda$ है।
रेखाओं के लंबवत होने के लिए शर्त $a + b = 0$ है।
यहाँ,$a + b = \lambda + (-\lambda) = 0$ है।
चूँकि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य है,इसलिए समीकरण द्वारा निरूपित रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $90^\circ$ है।

(C) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $(a + 3b)(3a + b) = 4h^2$,बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$3a^2 + ab + 9ab + 3b^2 = 4h^2 \implies 3a^2 + 10ab + 3b^2 = 4h^2$.
हम जानते हैं कि $4h^2 - 4ab = 3a^2 + 10ab + 3b^2 - 4ab = 3a^2 + 6ab + 3b^2 = 3(a + b)^2$.
अतः,$\tan \theta = \frac{\sqrt{4h^2 - 4ab}}{a + b} = \frac{\sqrt{3(a + b)^2}}{a + b} = \sqrt{3}$.
चूंकि $\tan \theta = \sqrt{3}$,इसलिए $\theta = 60^\circ$.

(C) दिया गया समीकरण $(x^2 + y^2)\sin \theta + 2xy = 0$ है,जिसे $(\sin \theta)x^2 + 2xy + (\sin \theta)y^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे रेखाओं के युग्म के सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = \sin \theta$,$h = 1$,और $b = \sin \theta$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\alpha$ सूत्र $\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{1^2 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta + \sin \theta} \right| = \left| \frac{2\cos \theta}{2\sin \theta} \right| = |\cot \theta|$।
अतः,$\alpha = \frac{\pi}{2} - \theta$।

(C) दिया गया समीकरण $x^2 - 7xy + 4y^2 = 0$ है।
इसे व्यापक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 1$,$2h = -7$ (अतः $h = -7/2$),और $b = 4$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-7/2)^2 - (1)(4)}}{1 + 4} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{49/4 - 4}}{5} \right| = \left| \frac{2\sqrt{33/4}}{5} \right| = \frac{\sqrt{33}}{5}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{33}}{5}\right)$.

(C) दिया गया समीकरण $x^2 + 2xy - y^2 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 1$,$h = 1$,और $b = -1$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के लंबवत होने की स्थिति $a + b = 0$ है।
यहाँ,$a + b = 1 + (-1) = 0$ है।
चूंकि स्थिति $a + b = 0$ संतुष्ट होती है,इसलिए रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $\pi/2$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2 - (y^2 + 2y + 1) = 0$ है।
इसे $x^2 - (y + 1)^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर,हमें $(x - (y + 1))(x + (y + 1)) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो रेखाएँ $x - y - 1 = 0$ और $x + y + 1 = 0$ हैं।
इन रेखाओं की ढाल $m_1 = 1$ और $m_2 = -1$ हैं।
चूँकि $m_1 \times m_2 = 1 \times (-1) = -1$,रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
वैकल्पिक रूप से,रेखाओं के युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के लिए,यदि $a + b = 0$ हो तो रेखाएँ लंबवत होती हैं।
यहाँ,$a = 1$ और $b = -1$,इसलिए $a + b = 1 + (-1) = 0$ है।
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $90^o$ है।

(A) दो सरल रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
इसे $2x^2 + 5xy + 3y^2 + 6x + 7y + 4 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 2$,$2h = 5 \implies h = 5/2$,और $b = 3$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(5/2)^2 - (2)(3)}}{2 + 3} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{25/4 - 6}}{5} \right| = \left| \frac{2\sqrt{1/4}}{5} \right| = \left| \frac{2(1/2)}{5} \right| = \frac{1}{5}$.
चूंकि $\theta = \tan^{-1} m$,इसलिए $m = 1/5$।

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य हो,अर्थात $a + b = 0$।
विकल्प $A$ के लिए: $2x^2 = 4xy + 2y^2 \Rightarrow 2x^2 - 4xy - 2y^2 = 0$।
यहाँ,$a = 2$ और $b = -2$ है।
चूँकि $a + b = 2 + (-2) = 0$ है,इसलिए इस समीकरण द्वारा निरूपित रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं।

(D) मूल बिंदु से गुजरने वाली सरल रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
इन रेखाओं के परस्पर लंबवत होने के लिए शर्त $a + b = 0$ है।
दिए गए समीकरण $(p - q)x^2 + 2(p + q)xy + (q - p)y^2 = 0$ की तुलना सामान्य समीकरण से करने पर,हमें $a = (p - q)$ और $b = (q - p)$ प्राप्त होता है।
इन मानों को शर्त $a + b = 0$ में रखने पर,हमें $(p - q) + (q - p) = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $0 = 0$ हो जाता है।
यह सर्वसमिका $p$ और $q$ के सभी मानों के लिए सत्य है। अतः,$p$ और $q$ का कोई भी मान हो सकता है।

(A) सीधी रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
रेखाओं के लंबवत होने के लिए शर्त $a + b = 0$ है।
विकल्प $A$ में,समीकरण $-x^2 + xy + y^2 = 0$ है।
यहाँ,$a = -1$ और $b = 1$ है।
चूंकि $a + b = -1 + 1 = 0$,इसलिए इस समीकरण द्वारा दर्शाई गई रेखाएं परस्पर लंबवत हैं।

(B) दिया गया समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के रूप में है।
$x^2 + 2\sqrt{3}xy + 3y^2 - 3x - 3\sqrt{3}y - 4 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 1$,$h = \sqrt{3}$,और $b = 3$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के समांतर होने की शर्त $h^2 - ab = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $(\sqrt{3})^2 - (1)(3) = 3 - 3 = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $h^2 - ab = 0$ है,इसलिए समीकरण द्वारा निरूपित रेखाएँ समांतर हैं।

(B) सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिया गया है कि $\Delta = 0$,इसलिए समीकरण सीधी रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है।
रेखाओं के लंबवत होने की शर्त यह है कि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य हो,अर्थात $a + b = 0$।
चूंकि $a + b = 0$ दिया गया है,इसलिए समीकरण द्वारा दर्शाई गई रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,समीकरण दो लंबवत सीधी रेखाओं को दर्शाता है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2 - 2pxy + y^2 = 0$ है। इसे व्यापक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1$,$h = -p$,और $b = 1$ प्राप्त होता है।
माना रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है। कोण का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-p)^2 - (1)(1)}}{1 + 1} \right| = \left| \frac{2\sqrt{p^2 - 1}}{2} \right| = \sqrt{p^2 - 1}$।
चूँकि $\tan \theta = \sqrt{p^2 - 1}$,इसलिए $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta = 1 + (p^2 - 1) = p^2$ होगा।
अतः,$\sec \theta = p$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \sec^{-1} p$।

(B) दिया गया समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का एक युग्म है।
इन रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ निकालने का सूत्र $\tan \theta = |\frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}|$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ होता है।
रेखाओं के परस्पर लंब होने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए,अर्थात $a + b = 0$।
दिए गए समीकरण $x^2 + k_2 xy + k_1 y^2 = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,हमें $a = 1$ और $b = k_1$ प्राप्त होता है।
लंबवत होने की शर्त लागू करने पर:
$1 + k_1 = 0$
$\Rightarrow k_1 = -1$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया समीकरण $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 3x + 3y + 1 = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 2$,$2h = 5 \Rightarrow h = 5/2$,और $b = 2$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(5/2)^2 - (2)(2)}}{2 + 2} \right| = \left| \frac{2\sqrt{25/4 - 4}}{4} \right| = \left| \frac{2\sqrt{9/4}}{4} \right| = \left| \frac{2(3/2)}{4} \right| = \frac{3}{4}$.
चूंकि $\tan \theta = 3/4$,इसलिए $\cos \theta = 4/5$ होगा,जिसका अर्थ है $\theta = \cos^{-1}(4/5)$।

(D) दिया गया समीकरण $2x^2 - 5xy + 2y^2 - 3x + 3y + 1 = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 2$,$2h = -5$ (अतः $h = -5/2$),और $b = 2$ प्राप्त होता है।
दो सरल रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ निकालने का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-5/2)^2 - (2)(2)}}{2 + 2} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{25/4 - 4}}{4} \right| = \left| \frac{2\sqrt{9/4}}{4} \right| = \left| \frac{2(3/2)}{4} \right| = \frac{3}{4}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1} \frac{3}{4}$.

(D) दिया गया समीकरण $x^2 - y^2 = 0$ है।
इसे $(x - y)(x + y) = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
अतः,दो रेखाएँ $x - y = 0$ और $x + y = 0$ हैं।
इन रेखाओं की प्रवणता (slopes) $m_1 = 1$ और $m_2 = -1$ हैं।
चूँकि $m_1 \times m_2 = 1 \times (-1) = -1$,इसलिए रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $90^o$ है।

(B) मूल बिंदु से गुजरने वाली सरल रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
इन रेखाओं के लंबवत होने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए।
अतः,$a + b = 0$,जिसका अर्थ है $a = -b$।

(A) दिए गए समीकरण $x^2 + 4xy + y^2 = 0$ की तुलना मानक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से करने पर,हमें $a = 1$,$2h = 4 \implies h = 2$,और $b = 1$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के बीच के कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{2^2 - (1)(1)}}{1 + 1} \right| = \frac{2\sqrt{4 - 1}}{2} = \sqrt{3}$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^o$।

(B) दिया गया समीकरण $2x^2 - 7xy + 3y^2 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 2$,$2h = -7$ (अर्थात $h = -7/2$),और $b = 3$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के बीच के कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-7/2)^2 - (2)(3)}}{2 + 3} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{49/4 - 6}}{5} \right| = \left| \frac{2\sqrt{25/4}}{5} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2 \times (5/2)}{5} \right| = \left| \frac{5}{5} \right| = 1$.
चूंकि $\tan \theta = 1$,इसलिए $\theta = 45^o$ है।

(C) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है,जहाँ $a = \cos \theta - \sin \theta$,$h = \cos \theta$,और $b = \cos \theta + \sin \theta$ है।
रेखाओं के बीच के न्यूनकोण $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ है।
सबसे पहले,$h^2 - ab = \cos^2 \theta - (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = \sin^2 \theta$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$a + b = 2\cos \theta$ ज्ञात करें।
सूत्र में मान रखने पर: $\tan \phi = \frac{2\sin \theta}{2\cos \theta} = \tan \theta$।
अतः,$\phi = \theta$।

(A) दिया गया समीकरण ${x^2} - 3xy + \lambda {y^2} + 3x - 5y + 2 = 0$ है। इसे $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1$,$2h = -3$ (अर्थात $h = -\frac{3}{2}$),और $b = \lambda$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \frac{1}{3}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{\frac{9}{4} - \lambda}}{1 + \lambda}$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{9} = \frac{9 - 4\lambda}{(1 + \lambda)^2}$।
$(1 + \lambda)^2 = 81 - 36\lambda \implies \lambda^2 + 38\lambda - 80 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(\lambda + 40)(\lambda - 2) = 0$।
चूंकि $\lambda$ गैर-ऋणात्मक है,इसलिए $\lambda = 2$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए समीकरण की तुलना सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से करने पर,हमें $a = 1$,$2h = -1 \implies h = -1/2$,और $b = -6$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के बीच के कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-1/2)^2 - (1)(-6)}}{1 + (-6)} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{1/4 + 6}}{-5} \right| = \left| \frac{2\sqrt{25/4}}{-5} \right| = \left| \frac{2 \times (5/2)}{-5} \right| = \left| \frac{5}{-5} \right| = |-1| = 1$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(1) = 45^o$.

(D) दिया गया समीकरण $x^2(\cos^2 \theta - 1) - xy \sin^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta = 0$ है।
चूंकि $\cos^2 \theta - 1 = -\sin^2 \theta$,समीकरण $-x^2 \sin^2 \theta - xy \sin^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta = 0$ हो जाता है।
$-\sin^2 \theta$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2 + xy - y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे व्यापक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1$,$2h = 1$,और $b = -1$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\alpha$,$\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a + b = 1 + (-1) = 0$ है।
चूंकि हर शून्य है,$\tan \alpha$ अपरिभाषित है,जिसका अर्थ है $\alpha = \frac{\pi}{2}$।

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ है।
इन रेखाओं के लंबवत होने के लिए शर्त यह है कि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए,अर्थात $A + B = 0$।
दिए गए समीकरण $3ax^2 + 5xy + (a^2 - 2)y^2 = 0$ में,$A = 3a$ और $B = a^2 - 2$ है।
$A + B = 0$ रखने पर,हमें $3a + a^2 - 2 = 0$ प्राप्त होता है,जो $a^2 + 3a - 2 = 0$ के रूप में सरल होता है।
यह $a$ में एक द्विघात समीकरण है। विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17$ है।
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए समीकरण $a^2 + 3a - 2 = 0$ के $a$ के लिए दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
अतः,रेखाएं $a$ के दो मानों के लिए एक-दूसरे पर लंब हैं।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ सरल रेखाओं के युग्म को दर्शाता है यदि $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ हो।
दिए गए समीकरण $x^2 - 3xy + \lambda y^2 + 3x - 5y + 2 = 0$ की तुलना करने पर,$a=1, h=-3/2, b=\lambda, g=3/2, f=-5/2, c=2$ प्राप्त होता है।
शर्त के अनुसार $\lambda = 2$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\tan \theta = \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} = \frac{2\sqrt{(-3/2)^2 - (1)(2)}}{1+2} = \frac{1}{3}$ होता है।
अतः,$\text{cosec}^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta = 1 + (3)^2 = 10$।

(B) रेखाओं $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$h = a + b$,इसलिए $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{a^2 + ab + b^2}}{a + b} \right|$.
रेखाएँ वृत्त को $\theta$ और $\pi - \theta$ कोण वाले चार त्रिज्यखंडों में विभाजित करती हैं।
दिया गया है कि एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल दूसरे का तीन गुना है,इसलिए $\pi - \theta = 3\theta$,जिसका अर्थ है $4\theta = \pi$,अर्थात $\theta = \frac{\pi}{4}$.
इसलिए,$\tan^2 \theta = \tan^2(\frac{\pi}{4}) = 1$.
$\frac{4(a^2 + ab + b^2)}{(a + b)^2} = 1$.
$4a^2 + 4ab + 4b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$3a^2 + 2ab + 3b^2 = 0$.

(D) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
रेखाओं के लंबवत होने की शर्त यह है कि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए,अर्थात $a + b = 0$।
दिए गए समीकरण $(p - q) x^2 + 2 (p + q) xy + (q - p) y^2 = 0$ में,$a = (p - q)$ और $b = (q - p)$ है।
शर्त $a + b = 0$ लागू करने पर:
$(p - q) + (q - p) = 0$
$0 = 0$।
चूंकि $0 = 0$ हमेशा सत्य है,इसलिए $p$ और $q$ के किसी भी मान के लिए रेखाएँ लंबवत हैं।

(A) माना $x^2 - 2pxy + y^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है।
दिए गए समीकरण की तुलना $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से करने पर,हमें $a = 1, b = 1$ और $2h = -2p$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h = -p$।
रेखाओं के युग्म के बीच के कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-p)^2 - (1)(1)}}{1 + 1} \right| = \left| \frac{2\sqrt{p^2 - 1}}{2} \right| = \sqrt{p^2 - 1}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan^2 \theta = p^2 - 1$,इसलिए $p^2 = 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ होता है।
अतः,$\sec \theta = p$,जिसका अर्थ है $\theta = \sec^{-1}(p)$।

(A) दिए गए समीकरण की तुलना $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से करने पर,$a = 12, b = -p$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए $a + b = 0$ होगा।
अतः,$12 - p = 0 \implies p = 12$.
इस प्रकार,विकल्प $A$ सही है।

(C) दिया गया समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है यदि $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ हो।
$x^2 - 3xy + \lambda y^2 + 3x - 5y + 2 = 0$ से तुलना करने पर,$a=1, b=\lambda, c=2, h=-3/2, g=3/2, f=-5/2$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$(1)(\lambda)(2) + 2(-5/2)(3/2)(-3/2) - 1(-5/2)^2 - \lambda(3/2)^2 - 2(-3/2)^2 = 0$
$2\lambda + 45/4 - 25/4 - 9\lambda/4 - 18/4 = 0$
$-\lambda/4 + 2/4 = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
अब,रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan\theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} \right|$.
$\tan\theta = \left| \frac{2\sqrt{(-3/2)^2 - (1)(2)}}{1+2} \right| = \left| \frac{2\sqrt{9/4 - 2}}{3} \right| = \left| \frac{2\sqrt{1/4}}{3} \right| = 1/3$.
अतः,$\text{cosec}^2\theta = 1 + \cot^2\theta = 1 + (1/\tan\theta)^2 = 1 + (3)^2 = 10$.

(D) दिया गया समीकरण $2x^2 - 7xy + 3y^2 = 0$ है।
इसे $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 2$,$2h = -7 \Rightarrow h = -7/2$,और $b = 3$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के बीच के कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-7/2)^2 - (2)(3)}}{2 + 3} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{49/4 - 6}}{5} \right| = \left| \frac{2\sqrt{25/4}}{5} \right| = \left| \frac{2 \times (5/2)}{5} \right| = \left| \frac{5}{5} \right| = 1$.
चूंकि $\tan \theta = 1$,इसलिए $\theta = 45^o$ है।

(B) द्वितीय घात का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ रेखाओं का युग्म दर्शाता है यदि $\Delta = 0$ हो,जहाँ $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ है।
दिए गए समीकरण $ax^2 + 6xy + by^2 - 10x + 10y - 6 = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,$a=a, h=3, b=b, g=-5, f=5, c=-6$ प्राप्त होता है।
$\Delta = 0$ की शर्त के अनुसार:
$\left|\begin{array}{ccc} a & 3 & -5 \\ 3 & b & 5 \\ -5 & 5 & -6 \end{array}\right| = 0$
$a(-6b - 25) - 3(-18 + 25) - 5(15 + 5b) = 0$
$-6ab - 25a - 21 - 75 - 25b = 0$
$25a + 25b + 6ab + 96 = 0 \quad \dots(1)$
रेखाओं के लंबवत होने के लिए $x^2$ का गुणांक और $y^2$ के गुणांक का योग शून्य होना चाहिए,अर्थात $a + b = 0 \Rightarrow b = -a$।
समीकरण $(1)$ में $b = -a$ रखने पर:
$25a + 25(-a) + 6a(-a) + 96 = 0$
$-6a^2 + 96 = 0$
$6a^2 = 96$
$a^2 = 16$
$|a| = 4$।

(A) दिया गया समीकरण $x^2 - y^2 - 2y - 1 = 0$ है।
इसे $x^2 - (y^2 + 2y + 1) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $x^2 - (y + 1)^2 = 0$ में सरल हो जाता है।
वर्गों के अंतर के सूत्र $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर:
$(x - (y + 1))(x + (y + 1)) = 0$.
$(x - y - 1)(x + y + 1) = 0$.
अतः,दो रेखाएँ $L_1: x - y - 1 = 0$ और $L_2: x + y + 1 = 0$ हैं।
इन रेखाओं की ढाल $m_1 = 1$ और $m_2 = -1$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = 1 \times (-1) = -1$,इसलिए रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,उनके बीच का कोण $90^o$ है।

(A) रेखाओं के युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम समीकरण $3x^2 - 7xy + 4y^2 = 0$ के लिए,$a=3, h=-7/2, b=4$ है।
$\tan \theta_1 = \left| \frac{2\sqrt{(-7/2)^2 - 3(4)}}{3+4} \right| = \left| \frac{2\sqrt{49/4 - 12}}{7} \right| = \frac{1}{7}$.
द्वितीय समीकरण $6x^2 - 5xy + y^2 = 0$ के लिए,$a=6, h=-5/2, b=1$ है।
$\tan \theta_2 = \left| \frac{2\sqrt{(-5/2)^2 - 6(1)}}{6+1} \right| = \left| \frac{2\sqrt{25/4 - 6}}{7} \right| = \frac{1}{7}$.
चूंकि $\tan \theta_1 = \tan \theta_2$,इसलिए $\theta_1 = \theta_2$ है।

(C) दिया गया समीकरण $x^2 + 2xy - y^2 = 0$ है।
इसे रेखाओं के युग्म के व्यापक समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 1$,$h = 1$,और $b = -1$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $\theta$ निकालने का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ है।
यहाँ $a + b = 1 + (-1) = 0$ है,इसलिए हर (denominator) $0$ है।
जब हर $0$ होता है,तो $\tan \theta$ अपरिभाषित होता है,जिसका अर्थ है कि $\theta = \pi / 2$ है।
वैकल्पिक रूप से,यदि $a + b = 0$ हो,तो रेखाएँ एक-दूसरे पर लंब होती हैं।

(B) दिया गया समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का एक युग्म है।
मान लीजिए रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है।
तब,$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ और $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ है।
हम जानते हैं कि $(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2 = \frac{4(h^2 - ab)}{b^2}$ है।
अतः,$|m_1 - m_2| = \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{|b|}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right)$।

(A) दिया गया समीकरण $y^2 + kxy - x^2 \tan^2 A = 0$ है। इसे सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = -\tan^2 A$,$2h = k$,और $b = 1$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के बीच के कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ है।
यहाँ $\theta = 2A$ दिया गया है,इसलिए $\tan 2A = \left| \frac{2\sqrt{(k/2)^2 - (-\tan^2 A)(1)}}{-\tan^2 A + 1} \right|$.
$\tan 2A = \left| \frac{2\sqrt{\frac{k^2}{4} + \tan^2 A}}{1 - \tan^2 A} \right|$.
हम जानते हैं कि $\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A} = \frac{2\sqrt{\frac{k^2}{4} + \tan^2 A}}{1 - \tan^2 A}$.
$\tan A = \sqrt{\frac{k^2}{4} + \tan^2 A}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\tan^2 A = \frac{k^2}{4} + \tan^2 A$.
$\frac{k^2}{4} = 0$,जिसका अर्थ है कि $k = 0$.