Equation of pair of straight lines Questions in Gujarati

(A) આપેલ રેખાઓ ${x^2} - 9{y^2} = 0$ અને $x = 4$ છે.
આપણી પાસે ${x^2} - 9{y^2} = 0$ છે,જેને $(x - 3y)(x + 3y) = 0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે.
તેથી રેખાઓના સમીકરણો છે:
$x - 3y = 0$ ..... $(i)$
$x + 3y = 0$ ..... $(ii)$
$x = 4$ ..... $(iii)$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ મળે છે:
$(i)$ અને $(ii)$ નું છેદબિંદુ $A(0, 0)$ છે.
$(i)$ અને $(iii)$ નું છેદબિંદુ $C(4, 4/3)$ છે.
$(ii)$ અને $(iii)$ નું છેદબિંદુ $B(4, -4/3)$ છે.
હવે,આપણે બાજુઓની લંબાઈ ગણીએ:
$AB = \sqrt{(4 - 0)^2 + (-4/3 - 0)^2} = \frac{4\sqrt{10}}{3}$
$AC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (4/3 - 0)^2} = \frac{4\sqrt{10}}{3}$
$BC = \sqrt{(4 - 4)^2 + (4/3 - (-4/3))^2} = 8/3$
અહીં $AB = AC$ હોવાથી,ત્રિકોણ $ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(D) આપેલ સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 + y^2) = 0$
$2xy = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $x = 0$ અથવા $y = 0$.
$x = 0$ એ $y$-અક્ષ દર્શાવે છે અને $y = 0$ એ $x$-અક્ષ દર્શાવે છે.
$x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ એકબીજાને લંબ હોવાથી,આ સમીકરણ બે પરસ્પર લંબ રેખાઓ દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. આપેલ છે કે $m_1 = m_2^2$.
સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ પરથી,$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને $m_1m_2 = \frac{a}{b}$ મળે.
$m_1 = m_2^2$ ને સરવાળા અને ગુણાકારમાં મૂકતા:
$m_2^2 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ $(i)$
$m_2^3 = \frac{a}{b} \Rightarrow m_2 = (\frac{a}{b})^{1/3}$ $(ii)$
$(ii)$ માંથી $m_2$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$(\frac{a}{b})^{2/3} + (\frac{a}{b})^{1/3} = -\frac{2h}{b}$
બંને બાજુ ઘન કરતા:
$(\frac{a}{b})^2 + \frac{a}{b} + 3(\frac{a}{b}) [(\frac{a}{b})^{2/3} + (\frac{a}{b})^{1/3}] = -\frac{8h^3}{b^3}$
$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a^2}{b^2} + \frac{a}{b} + 3(\frac{a}{b})(-\frac{2h}{b}) = -\frac{8h^3}{b^3}$
$\frac{a^2}{b^2} + \frac{a}{b} - \frac{6ah}{b^2} = -\frac{8h^3}{b^3}$
$b^3$ વડે ગુણતા:
$a^2b + ab^2 - 6abh + 8h^3 = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2 + xy + y^2 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$,$2h = 1$,અને $b = 1$ મળે છે.
રેખાઓનો પ્રકાર વિવેચક $h^2 - ab$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
અહીં,$h = 1/2$,તેથી $h^2 - ab = (1/2)^2 - (1)(1) = 1/4 - 1 = -3/4$.
$h^2 - ab < 0$ હોવાથી,સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ કાલ્પનિક છે.

(B) દ્વિઘાત વક્રનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + by^2 + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
તે બે સીધી રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટેની શરત $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $hxy + gx + fy + c = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 0, b = 0, h' = h/2, g = g/2, f = f/2, c = c$ મળે છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$0(0)(c) + 2(f/2)(g/2)(h/2) - 0(f/2)^2 - 0(g/2)^2 - c(h/2)^2 = 0$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{fgh}{4} - \frac{ch^2}{4} = 0$ થાય છે.
$4$ વડે ગુણતા,આપણને $fgh - ch^2 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $h(fg - ch) = 0$.
$xy$ પદ અસ્તિત્વમાં હોવા માટે $h \neq 0$ હોવાથી,$fg = ch$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
આ રેખાઓને લંબ રેખાઓની જોડી મેળવવા માટે,આપણે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોની અદલાબદલી કરીએ છીએ અને $xy$ પદની નિશાની બદલીએ છીએ.
આમ,નવું સમીકરણ $bx^2 - 2hxy + ay^2 = 0$ બને છે,જે $ay^2 - 2hxy + bx^2 = 0$ ને સમાન છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ એ રેખાયુગ્મ દર્શાવે છે જો નિશ્ચાયક $\begin{bmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{bmatrix} = 0$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $3x^2 + 2hxy - 3y^2 - 40x + 30y - 75 = 0$ ને સરખાવતા:
$a = 3, b = -3, c = -75, h = h, g = -20, f = 15$.
રેખાયુગ્મ માટેની શરત $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$(3)(-3)(-75) + 2(15)(-20)(h) - 3(15)^2 - (-3)(-20)^2 - (-75)(h)^2 = 0$
$675 - 600h - 675 + 1200 + 75h^2 = 0$
$75h^2 - 600h + 1200 = 0$
$75$ વડે ભાગતા:
$h^2 - 8h + 16 = 0$
$(h - 4)^2 = 0$
તેથી,$h = 4, 4$.

(A) આપેલ રેખાઓ $y = m_1x + c_1$ અને $y = m_2x + c_2$ ને સમાંતર અને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓ $y = m_1x$ અને $y = m_2x$ છે.
આને $(y - m_1x) = 0$ અને $(y - m_2x) = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ બે રેખાઓનું સંયુક્ત સમીકરણ $(y - m_1x)(y - m_2x) = 0$ દ્વારા મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $y^2 - m_2xy - m_1xy + m_1m_2x^2 = 0$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $m_1m_2x^2 - (m_1 + m_2)xy + y^2 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $ab(x^2 - y^2) + (a^2 - b^2)xy = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $abx^2 - aby^2 + a^2xy - b^2xy = 0$
પદોને ગોઠવતા: $abx^2 + a^2xy - b^2xy - aby^2 = 0$
જૂથ બનાવીને અવયવ પાડતા: $ax(bx + ay) - by(bx + ay) = 0$
સામાન્ય પદ બહાર કાઢતા: $(bx + ay)(ax - by) = 0$
તેથી,રેખાઓ $bx + ay = 0$ અને $ax - by = 0$ છે.

(C) ધારો કે $X = x - 5$ અને $Y = y - 6$. સમીકરણ $X^2 + XY - 2Y^2 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $X^2 + 2XY - XY - 2Y^2 = 0$
$X(X + 2Y) - Y(X + 2Y) = 0$
$(X - Y)(X + 2Y) = 0$
$X = x - 5$ અને $Y = y - 6$ પાછા મૂકતા:
$((x - 5) - (y - 6))((x - 5) + 2(y - 6)) = 0$
$(x - y + 1)(x + 2y - 17) = 0$
આ બે સીધી રેખાઓ દર્શાવે છે. બંને અવયવો $(5, 6)$ આગળ શૂન્ય થાય છે,તેથી રેખાઓ $(5, 6)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(D) $x$ અને $y$ માં દ્વિઘાત સમપરિમાણીય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સ્વરૂપનું હોય છે.
આ સમીકરણ હંમેશા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે સીધી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ એ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો નિશ્ચાયક $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $6x^2 + 11xy - 10y^2 + x + 31y + k = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$a = 6, b = -10, c = k, h = \frac{11}{2}, g = \frac{1}{2}, f = \frac{31}{2}$.
શરત $\Delta = 0$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$6(-10)(k) + 2(\frac{31}{2})(\frac{1}{2})(\frac{11}{2}) - 6(\frac{31}{2})^2 - (-10)(\frac{1}{2})^2 - k(\frac{11}{2})^2 = 0$
$-60k + \frac{341}{4} - 6(\frac{961}{4}) + \frac{10}{4} - \frac{121k}{4} = 0$
આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા:
$-240k + 341 - 5766 + 10 - 121k = 0$
$-361k - 5415 = 0$
$361k = -5415$
$k = -\frac{5415}{361} = -15$.

(B) ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ માટે,$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને $m_1m_2 = \frac{a}{b}$ થાય.
આપેલ છે કે $4ab = 3h^2$,તેથી $ab = \frac{3h^2}{4}$.
હવે,$(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1m_2 = \frac{4h^2}{b^2} - 4\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{4h^2 - 4ab}{b^2}$.
$4ab = 3h^2$ મૂકતા,$(m_1 - m_2)^2 = \frac{4h^2 - 3h^2}{b^2} = \frac{h^2}{b^2}$,તેથી $m_1 - m_2 = \pm \frac{h}{b}$.
$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને $m_1 - m_2 = \frac{h}{b}$ ઉકેલતા,$2m_1 = -\frac{h}{b} \implies m_1 = -\frac{h}{2b}$ અને $2m_2 = -\frac{3h}{b} \implies m_2 = -\frac{3h}{2b}$ મળે.
ગુણોત્તર $m_1 : m_2 = \left(-\frac{h}{2b}\right) : \left(-\frac{3h}{2b}\right) = 1:3$ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણ $a(b - c)x^2 - xy(a(b - c) + c(a - b)) + c(a - b)y^2 = 0$ છે.
આ $Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 0$ સ્વરૂપનું દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
આપણે તેને $(a(b - c)x - c(a - b)y)(x - y) = 0$ તરીકે અવયવ પાડી શકીએ છીએ.
તેથી,રેખાઓ $a(b - c)x - c(a - b)y = 0$ અને $x - y = 0$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ આપેલ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,$a + 2h(\frac{y}{x}) + b(\frac{y}{x})^2 = 0$ મળે.
ધારો કે $m = \frac{y}{x}$,તો $bm^2 + 2hm + a = 0$ થાય.
આ $m$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે જેના બીજ $m_1$ અને $m_2$ છે.
બીજના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ,$m_1 + m_2 = \frac{-2h}{b}$.
બીજના ગુણાકારના ગુણધર્મ મુજબ,$m_1m_2 = \frac{a}{b}$.
આમ,સાચો સંબંધ $m_1 + m_2 = \frac{-2h}{b}$ અને $m_1m_2 = \frac{a}{b}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $4x^2 + 12xy + 9y^2 = 0$ છે.
તેને દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 4$,$2h = 12$ (તેથી $h = 6$),અને $b = 9$ મળે છે.
રેખાઓનો પ્રકાર $h^2 - ab$ ની કિંમત દ્વારા નક્કી થાય છે.
$h^2 - ab = (6)^2 - (4)(9) = 36 - 36 = 0$ ની ગણતરી કરતા.
કારણ કે $h^2 - ab = 0$ છે,તેથી સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ વાસ્તવિક અને સંપાતી છે.

(A) રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $2x^2 - 10xy + 12y^2 + 5x - 16y - 3 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$,$2h = -10$ (તેથી $h = -5$),અને $b = 12$ મળે છે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને આપેલ રેખાઓને લંબ હોય તેવી રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $bx^2 - 2hxy + ay^2 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$12x^2 - (-10)xy + 2y^2 = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $12x^2 + 10xy + 2y^2 = 0$ થાય છે.
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,$6x^2 + 5xy + y^2 = 0$ મળે છે.

(C) સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ રેખાયુગ્મ દર્શાવે છે જો નિશ્ચાયક $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ થાય.
વિકલ્પ $(c)$ માટે,સમીકરણ $4x^2 - 4xy + y^2 - 4 = 0$ છે.
અહીં,$a = 4, h = -2, b = 1, g = 0, f = 0, c = -4$.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા: $\Delta = (4)(1)(-4) + 2(0)(-2)(0) - 4(0)^2 - 1(0)^2 - (-4)(-2)^2 = -16 + 0 - 0 - 0 + 16 = 0$.
કારણ કે $\Delta = 0$,સમીકરણ $4x^2 - 4xy + y^2 = 4$ એ રેખાયુગ્મ દર્શાવે છે.

(A) રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ ${a^2}{x^2} - a(b + c)xy + bc{y^2} = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$A = a^2$,$2H = -a(b + c)$,અને $B = bc$ મળે છે.
રેખાઓ સંપાતી હોય જો $H^2 - AB = 0$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\left\{ -\frac{a(b + c)}{2} \right\}^2 - (a^2)(bc) = 0$.
$\frac{a^2(b + c)^2}{4} - a^2bc = 0$.
$a^2(b^2 + 2bc + c^2) - 4a^2bc = 0$.
$a^2(b^2 - 2bc + c^2) = 0$.
$a^2(b - c)^2 = 0$.
આમ,$a = 0$ અથવા $b = c$.

(D) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે રેખાઓના જોડનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2h'xy + by^2 = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $2x^2 - 2hxy + 2y^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$,$b = 2$,અને $2h' = -2h$ મળે છે,તેથી $h' = -h$.
રેખાઓ સંપાતી હોવા માટેની શરત $h'^2 - ab = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(-h)^2 - (2)(2) = 0$ મળે છે.
$h^2 - 4 = 0$.
$h^2 = 4$.
તેથી,$h = \pm 2$.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
કારણ કે $y = mx$ એ એક રેખા છે,આપણે આપેલ સમીકરણમાં $y = mx$ મૂકીએ:
$ax^2 + 2h(mx)x + b(mx)^2 = 0$
$ax^2 + 2hmx^2 + bm^2x^2 = 0$
$x^2$ સામાન્ય લેતા:
$x^2(a + 2hm + bm^2) = 0$
$x^2 \neq 0$ હોવાથી:
$bm^2 + 2hm + a = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણ $2x^2 - xy - 6y^2 + 7x + 21y - 15 = 0$ છે.
$ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓને સમાંતર રેખાઓનું સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + k = 0$ સ્વરૂપનું હોય છે.
આ રેખાઓ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા આપણને $k = 0$ મળે છે.
તેથી,ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને સમાંતર રેખાઓનું સમીકરણ $2x^2 - xy - 6y^2 = 0$ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $2x^2 + 4xy - py^2 + 4x + qy + 1 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2, h = 2, b = -p, g = 2, f = q/2, c = 1$ મળે છે.
રેખાઓ લંબ હોય તે માટેની શરત $a + b = 0$ છે.
$2 + (-p) = 0 \Rightarrow p = 2$.
રેખાઓની જોડી દર્શાવવા માટેની શરત $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2(-p)(1) + 2(q/2)(2)(2) - 2(q/2)^2 - (-p)(2)^2 - 1(2)^2 = 0$.
$p = 2$ લેતા: $-4 + 4q - q^2/2 + 8 - 4 = 0$.
$-q^2/2 + 4q = 0 \Rightarrow q^2 - 8q = 0$.
$q(q - 8) = 0 \Rightarrow q = 0$ અથવા $q = 8$.
આમ,$p = 2$ અને $q = 0$ અથવા $8$.

(D) સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ એ બે સીધી રેખાઓની જોડી ત્યારે જ દર્શાવે છે જો નિશ્ચાયક $\begin{bmatrix} A & B & D/2 \\ B & C & E/2 \\ D/2 & E/2 & F \end{bmatrix}$ નું મૂલ્ય $0$ હોય.
આ શરત $ACF + 2B(D/2)(E/2) - A(E/2)^2 - C(D/2)^2 - F(B^2) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ શરત $B^2 - AC$ ની નિશાનીને અનન્ય રીતે નક્કી કરતી નથી. રેખાઓની જોડી માટે,$B^2 - AC$ ધન (છેદતી રેખાઓ),શૂન્ય (સમાંતર રેખાઓ),અથવા ઋણ (કાલ્પનિક રેખાઓ) હોઈ શકે છે. તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સાર્વત્રિક રીતે સાચું નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ $xy + a^2 = a(x + y)$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $xy - ax - ay + a^2 = 0$ મળે છે.
આને અવયવ પાડતા $x(y - a) - a(y - a) = 0$ મળે છે.
આમ,$(x - a)(y - a) = 0.$
આ બે સીધી રેખાઓ દર્શાવે છે: $x = a$ અને $y = a.$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે બે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. આપેલ છે કે $m_2 = \lambda m_1$.
સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ પરથી,$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$.
સરવાળામાં $m_2 = \lambda m_1$ મૂકતા: $m_1(1 + \lambda) = -\frac{2h}{b} \Rightarrow m_1 = -\frac{2h}{b(1 + \lambda)}$.
ગુણાકારમાં $m_2 = \lambda m_1$ મૂકતા: $\lambda m_1^2 = \frac{a}{b} \Rightarrow m_1^2 = \frac{a}{b\lambda}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\left(-\frac{2h}{b(1 + \lambda)}\right)^2 = \frac{a}{b\lambda}$.
$\frac{4h^2}{b^2(1 + \lambda)^2} = \frac{a}{b\lambda}$.
$4\lambda h^2 = ab(1 + \lambda)^2$.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ ..... $(i)$
$a'x^2 + 2h'xy + b'y^2 = 0$ ..... $(ii)$
ધારો કે સામાન્ય રેખા $y = mx$ છે. બંને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$a + 2hm + bm^2 = 0$ ..... $(iii)$
$a' + 2h'm + b'm^2 = 0$ ..... $(iv)$
$m$ નો લોપ કરવા માટે ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{m^2}{2ha' - 2h'a} = \frac{-m}{ab' - a'b} = \frac{1}{2bh' - 2b'h}$
પ્રથમ અને ત્રીજા પદ પરથી: $m^2 = \frac{ha' - h'a}{bh' - b'h}$
બીજા અને ત્રીજા પદ પરથી: $m = -\frac{ab' - a'b}{2(bh' - b'h)}$
$m$ ના પદનો વર્ગ કરતા: $m^2 = \frac{(ab' - a'b)^2}{4(bh' - b'h)^2}$
$m^2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$(ab' - a'b)^2 = 4(ah' - a'h)(hb' - h'b)$

(A) સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $2y^2 - xy - x^2 + 6x - 8 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = -1, h = -1/2, b = 2, g = 3, f = 0, c = -8$ મળે છે.
સમીકરણ બે સીધી રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટેની શરત $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta = (-1)(2)(-8) + 2(0)(3)(-1/2) - (-1)(0)^2 - (2)(3)^2 - (-8)(-1/2)^2$.
$\Delta = 16 + 0 - 0 - 18 - (-8)(1/4) = 16 - 18 + 2 = 0$.
કારણ કે $\Delta = 0$,તેથી આ સમીકરણ બે સીધી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: ${x^2} - 5xy + 6{y^2} = 0$
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા:
${x^2} - 2xy - 3xy + 6{y^2} = 0$
સામાન્ય અવયવ કાઢતા:
$x(x - 2y) - 3y(x - 2y) = 0$
$(x - 2y)(x - 3y) = 0$
આમ,રેખાઓ $x - 2y = 0$ અને $x - 3y = 0$ છે.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ મેળવેલ સમીકરણો સાથે બંધબેસતું નથી.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણનું વ્યાપક સ્વરૂપ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ છે.
તે બે સીધી રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટેની શરત $ABC + 2FGH - AF^2 - BG^2 - CH^2 = 0$ છે.
સમીકરણ $ax^2 + by^2 + cx + cy = 0$ ને સરખાવતા:
$A = a, B = b, C = 0, H = 0, G = c/2, F = c/2$.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$a(b)(0) + 2(c/2)(c/2)(0) - a(c/2)^2 - b(c/2)^2 - 0(0)^2 = 0$.
જેનું સાદું રૂપ:
$-a(c^2/4) - b(c^2/4) = 0$.
$-4$ વડે ગુણતા:
$ac^2 + bc^2 = 0$.
$c^2(a + b) = 0$.
તેથી,$c(a + b) = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + (a + b)xy + by^2 + x + y = 0$ છે.
આપણે પદોને જૂથબદ્ધ કરીને આ પદાવલિનું અવયવીકરણ કરી શકીએ છીએ:
$ax^2 + axy + by^2 + bxy + x + y = 0$
$ax(x + y) + by(y + x) + 1(x + y) = 0$
$(ax + by + 1)(x + y) = 0$.
આમ,સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ $ax + by + 1 = 0$ અને $x + y = 0$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 7xy + 12y^2 = 0$ છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $x^2 - 3xy - 4xy + 12y^2 = 0$.
$x(x - 3y) - 4y(x - 3y) = 0$.
$(x - 3y)(x - 4y) = 0$.
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે સીધી રેખાઓ $x - 3y = 0$ અને $x - 4y = 0$ દર્શાવે છે.
ઢાળ $m_1 = 1/3$ અને $m_2 = 1/4$ હોવાથી,અને $m_1 \times m_2 \neq -1$,રેખાઓ પરસ્પર લંબ નથી અને ઉગમબિંદુ પર છેદે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ ${y^2} - ({x^2} - 2x + 1) = 0$ છે.
આને ${y^2} - {(x - 1)^2} = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
નિત્યસમ ${a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(y - (x - 1))(y + (x - 1)) = 0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $(y - x + 1)(y + x - 1) = 0$ થાય છે.
આમ,સમીકરણ બે રેખીય સમીકરણોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી તે બે સીધી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ એ બે સીધી રેખાઓ દર્શાવે છે જો $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ હોય.
આપેલ સમીકરણ $\lambda x^2 - 5xy + 2y^2 + 5x - 7y + 3 = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$a = \lambda, b = 2, c = 3, h = -5/2, g = 5/2, f = -7/2$.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$\lambda(2)(3) + 2(-7/2)(5/2)(-5/2) - \lambda(-7/2)^2 - 2(5/2)^2 - 3(-5/2)^2 = 0$
$6\lambda + 175/4 - 49\lambda/4 - 25/2 - 75/4 = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે $4$ વડે ગુણતા:
$24\lambda + 175 - 49\lambda - 50 - 75 = 0$
$-25\lambda + 50 = 0$
$25\lambda = 50 \Rightarrow \lambda = 2$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 + 2xy \cot \theta - y^2 = 0$ છે.
આ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સ્વરૂપનું $2$ ઘાતનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a = 1$,$h = \cot \theta$,અને $b = -1$.
આ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ $y = \frac{h \pm \sqrt{h^2 - ab}}{b} x$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $y = \frac{\cot \theta \pm \sqrt{\cot^2 \theta - (1)(-1)}}{-1} x$.
$y = -(\cot \theta \pm \sqrt{\csc^2 \theta}) x$.
$y = -(\cot \theta \pm \csc \theta) x$.
ધન ચિહ્ન માટે: $y = -(\frac{\cos \theta + 1}{\sin \theta}) x \Rightarrow x \sin \theta + y(\cos \theta + 1) = 0$.
ઋણ ચિહ્ન માટે: $y = -(\frac{\cos \theta - 1}{\sin \theta}) x \Rightarrow x \sin \theta + y(\cos \theta - 1) = 0$.
આમ,એક રેખા $x \sin \theta + y(\cos \theta + 1) = 0$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $pq(x^2 - y^2) + (p^2 - q^2)xy = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $pqx^2 - pqy^2 + p^2xy - q^2xy = 0$
પદોને ગોઠવતા: $pqx^2 + p^2xy - q^2xy - pqy^2 = 0$
પદોના જૂથ બનાવતા: $px(qx + py) - qy(qx + py) = 0$
સામાન્ય પદ બહાર કાઢતા: $(qx + py)(px - qy) = 0$
આમ,બે રેખાઓ $qx + py = 0$ અને $px - qy = 0$ છે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું સમીકરણ $px - qy = 0$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $3x^2 - 8xy + 5y^2 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(3x - 5y)(x - y) = 0$ મળે છે.
તેથી,રેખાઓ $3x - 5y = 0$ અને $x - y = 0$ છે.
બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને લંબ રેખાઓ $5x + 3y - 11 = 0$ અને $x + y - 3 = 0$ છે.
તેથી,સંયુક્ત સમીકરણ $(5x + 3y - 11)(x + y - 3) = 0$ છે.

(A) સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $f(x, y) = ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ એ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો $\Delta = 0$ હોય.
જો $h^2 = ab$ હોય,તો રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $h^2 = ab$ હોવાથી,$\tan \theta = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 0$.
જ્યારે $\Delta = 0$ અને $h^2 = ab$ હોય,ત્યારે રેખાઓ સમાંતર હોય છે.

(C) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
આ સમીકરણ બે સંપાતી રેખાઓ દર્શાવે તે માટેની શરત $h^2 - ab = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2 + 4xy + ky^2 = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$2h = 4$ (તેથી $h = 2$),અને $b = k$ મળે છે.
આ કિંમતોને શરત $h^2 - ab = 0$ માં મૂકતા:
$(2)^2 - (1)(k) = 0$
$4 - k = 0$
$k = 4$.

(C) બે રેખાઓ $L_1 = 0$ અને $L_2 = 0$ નું સંયુક્ત સમીકરણ $L_1 \times L_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ રેખાઓ $x + y - 1 = 0$ અને $x - y - 4 = 0$ છે.
તેથી,સંયુક્ત સમીકરણ $(x + y - 1)(x - y - 4) = 0$ છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ એ બે સીધી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ હોય.
આપેલ સમીકરણ $x^2 - \lambda xy + 2y^2 + 3x - 5y + 2 = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$a = 1, b = 2, c = 2, h = -\frac{\lambda}{2}, g = \frac{3}{2}, f = -\frac{5}{2}$.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$(1)(2)(2) + 2(-\frac{5}{2})(\frac{3}{2})(-\frac{\lambda}{2}) - (1)(-\frac{5}{2})^2 - (2)(\frac{3}{2})^2 - (2)(-\frac{\lambda}{2})^2 = 0$.
$4 + \frac{15\lambda}{4} - \frac{25}{4} - \frac{18}{4} - \frac{\lambda^2}{2} = 0$.
$4$ વડે ગુણતા:
$16 + 15\lambda - 25 - 18 - 2\lambda^2 = 0$.
$2\lambda^2 - 15\lambda + 27 = 0$.
$(2\lambda - 9)(\lambda - 3) = 0$.
તેથી,$\lambda = 3$ અથવા $\lambda = \frac{9}{2}$.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ એ રેખાયુગ્મ દર્શાવે છે જો નિશ્ચાયક $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $2x^2 + 7xy + 3y^2 + 8x + 14y + \lambda = 0$ ને વ્યાપક સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$a = 2, h = 7/2, b = 3, g = 4, f = 7, c = \lambda$.
શરત $\Delta = 0$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(2)(3)(\lambda) + 2(7)(4)(7/2) - 2(7)^2 - 3(4)^2 - \lambda(7/2)^2 = 0$
$6\lambda + 196 - 98 - 48 - 49\lambda/4 = 0$
$6\lambda - 12.25\lambda + 50 = 0$
$-6.25\lambda = -50$
$\lambda = 8$.

(A) $x^2 + hxy + 2y^2 = 0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ ધારો.
આપેલ છે કે $m_1 = 2m_2$.
સમીકરણ $ax^2 + hxy + by^2 = 0$ માટે,$m_1 + m_2 = -\frac{h}{b}$ અને $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ થાય.
અહીં $a = 1$,$h = h$,અને $b = 2$ છે.
તેથી,$m_1 + m_2 = -\frac{h}{2}$ અને $m_1 m_2 = \frac{1}{2}$.
સરવાળામાં $m_1 = 2m_2$ મૂકતા: $3m_2 = -\frac{h}{2} \Rightarrow m_2 = -\frac{h}{6}$.
ગુણાકારમાં મૂકતા: $(2m_2)(m_2) = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2m_2^2 = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow m_2^2 = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow m_2 = \pm \frac{1}{2}$.
હવે,$3(\pm \frac{1}{2}) = -\frac{h}{2}$ $\Rightarrow \pm \frac{3}{2} = -\frac{h}{2}$ $\Rightarrow h = \mp 3$.
આમ,$h = \pm 3$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $L{x^2} - 10xy + 12{y^2} + 5x - 16y - 3 = 0$ ને સરખાવતા:
$a = L, h = -5, b = 12, g = \frac{5}{2}, f = -8, c = -3$.
રેખાઓની જોડી માટેની શરત $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$L(12)(-3) + 2(-8)(\frac{5}{2})(-5) - L(-8)^2 - 12(\frac{5}{2})^2 - (-3)(-5)^2 = 0$
$-36L + 200 - 64L - 75 + 75 = 0$
$-100L + 200 = 0$
$L = 2$.

(C) ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. આપેલ છે કે $m_1 : m_2 = 1 : 3$,તેથી $m_1 = m$ અને $m_2 = 3m$ લો.
સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ માટે,$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$m + 3m = 4m = -\frac{2h}{b}$,જે આપણને $m = -\frac{h}{2b}$ આપે છે.
વળી,$m(3m) = 3m^2 = \frac{a}{b}$.
બીજા સમીકરણમાં $m = -\frac{h}{2b}$ મૂકતા: $3(-\frac{h}{2b})^2 = \frac{a}{b}$.
$3(\frac{h^2}{4b^2}) = \frac{a}{b}$.
$\frac{3h^2}{4b^2} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{h^2}{ab} = \frac{4b^2}{3b^2} = \frac{4}{3}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$1 : n$ ગુણોત્તર માટે,શરત $\frac{h^2}{ab} = \frac{(n+1)^2}{4n}$ છે.
$n = 3$ માટે,$\frac{h^2}{ab} = \frac{(3+1)^2}{4(3)} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$.

(C) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2 + 4xy + y^2 = 0$ છે.
તેને $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$A = a$,$2H = 4$ (તેથી $H = 2$),અને $B = 1$ મળે છે.
ધારો કે બે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
તો $m_1 + m_2 = -\frac{2H}{B} = -\frac{4}{1} = -4$ $(i)$.
અને $m_1 m_2 = \frac{A}{B} = \frac{a}{1} = a$ $(ii)$.
આપેલ છે કે $m_1 = 3m_2$.
આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,$3m_2 + m_2 = -4$,જેનો અર્થ છે કે $4m_2 = -4$,તેથી $m_2 = -1$.
તેથી $m_1 = 3(-1) = -3$.
આ કિંમતો $(ii)$ માં મૂકતા,$a = m_1 m_2 = (-3)(-1) = 3$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $4x^2 + 2hxy - 7y^2 = 0$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 4$,$2h = 2h$ અને $b = -7$ મળે છે.
ધારો કે $m_1$ અને $m_2$ એ રેખાઓના ઢાળ છે.
ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{2h}{-7} = \frac{2h}{7}$ થાય.
ઢાળનો ગુણાકાર $m_1m_2 = \frac{a}{b} = \frac{4}{-7}$ થાય.
આપેલ છે કે ઢાળનો સરવાળો અને ગુણાકાર સમાન છે,તેથી $m_1 + m_2 = m_1m_2$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{2h}{7} = \frac{4}{-7}$ મળે.
બંને બાજુ $7$ વડે ગુણતા,$2h = -4$ મળે.
તેથી,$h = -2$.

(C) ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ પરથી,આપણી પાસે છે:
$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને $m_1m_2 = \frac{a}{b}$.
આપેલ છે કે $m_1 = 2m_2$,તેથી:
$2m_2 + m_2 = -\frac{2h}{b} \implies 3m_2 = -\frac{2h}{b} \implies m_2 = -\frac{2h}{3b}$.
$m_1 = 2m_2$ ને ગુણાકારના સૂત્રમાં મૂકતા:
$(2m_2)(m_2) = \frac{a}{b} \implies 2m_2^2 = \frac{a}{b}$.
$m_2 = -\frac{2h}{3b}$ ની કિંમત મૂકતા:
$2\left(-\frac{2h}{3b}\right)^2 = \frac{a}{b} \implies 2\left(\frac{4h^2}{9b^2}\right) = \frac{a}{b}$.
$\frac{8h^2}{9b^2} = \frac{a}{b} \implies 8h^2 = 9ab$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} = 0$ થાય.
આપેલ સમીકરણને સરખાવતા,$a=1, b=1, c=6, h=k/2, g=-5/2, f=-7/2$ મળે છે.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય લેતા:
$\begin{vmatrix} 1 & k/2 & -5/2 \\ k/2 & 1 & -7/2 \\ -5/2 & -7/2 & 6 \end{vmatrix} = 0$
આ સમીકરણ ઉકેલતા $6k^2 - 35k + 50 = 0$ મળે છે.
જેના અવયવો $(2k - 5)(3k - 10) = 0$ થાય છે.
તેથી,$k = 5/2$ અથવા $k = 10/3$. વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $10/3$ છે.