Mix Examples-Pair of straight lines Questions in Hindi

(A) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{a} + \frac{2xy}{h} + \frac{y^2}{b} = 0$ है। $x^2$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{a} + \frac{2}{h}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{b}(\frac{y}{x})^2 = 0$ प्राप्त होता है।
माना $m = \frac{y}{x}$ रेखाओं की ढाल है। तब $\frac{1}{b}m^2 + \frac{2}{h}m + \frac{1}{a} = 0$।
माना ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं। दिया है $m_2 = 2m_1$।
द्विघात समीकरण से,मूलों का योग $m_1 + m_2 = -\frac{2b}{h}$।
अतः,$3m_1 = -\frac{2b}{h} \Rightarrow m_1 = -\frac{2b}{3h}$।
मूलों का गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{b}{a}$।
अतः,$2m_1^2 = \frac{b}{a} \Rightarrow 2(-\frac{2b}{3h})^2 = \frac{b}{a}$।
$2(\frac{4b^2}{9h^2}) = \frac{b}{a} \Rightarrow \frac{8b^2}{9h^2} = \frac{b}{a}$।
$\frac{ab}{h^2} = \frac{9}{8}$।
अतः,$ab : h^2 = 9 : 8$।

(C) दिया गया समीकरण $(lx + my)^2 - 3(mx - ly)^2 = 0$ है।
इसे $(lx + my)^2 - (\sqrt{3}(mx - ly))^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(lx + my - \sqrt{3}mx + \sqrt{3}ly)(lx + my + \sqrt{3}mx - \sqrt{3}ly) = 0$।
यह दो रेखाओं को दर्शाता है:
$L_1: (l - \sqrt{3}m)x + (m + \sqrt{3}l)y = 0$
$L_2: (l + \sqrt{3}m)x + (m - \sqrt{3}l)y = 0$
तीसरी रेखा $L_3: lx + my + n = 0$ है।
इन रेखाओं की ढाल (slopes) इस प्रकार हैं:
$m_1 = -\frac{l - \sqrt{3}m}{m + \sqrt{3}l}$,$m_2 = -\frac{l + \sqrt{3}m}{m - \sqrt{3}l}$,$m_3 = -\frac{l}{m}$।
$\tan \theta = |\frac{m_i - m_j}{1 + m_i m_j}|$ का उपयोग करके रेखाओं के बीच के कोणों की गणना करने पर,हमें पता चलता है कि किन्हीं भी दो रेखाओं के बीच का कोण $60^\circ$ है।
चूंकि सभी आंतरिक कोण $60^\circ$ हैं,इसलिए बनने वाला त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है।

(D) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के लिए कोण समद्विभाजक का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ होता है।
प्रथम समीकरण $3x^2 - 4xy + 5y^2 = 0$ के लिए,$a=3, h=-2, b=5$. समद्विभाजक का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{3 - 5} = \frac{xy}{-2}$ अर्थात $x^2 - y^2 = xy$ प्राप्त होता है।
द्वितीय समीकरण $5x^2 + 4xy + 3y^2 = 0$ के लिए,$a=5, h=2, b=3$. समद्विभाजक का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{5 - 3} = \frac{xy}{2}$ अर्थात $x^2 - y^2 = xy$ प्राप्त होता है।
चूंकि समद्विभाजक समान हैं,ये रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं। अतः,कोण $90^\circ$ है।

(C) दिए गए समीकरण $x^2 - 5x + 6 = 0$ और $y^2 - 6y + 5 = 0$ हैं।
इन्हें हल करने पर,हमें $x = 2, 3$ और $y = 1, 5$ प्राप्त होते हैं।
ये रेखाएं $x=2, x=3, y=1, y=5$ हैं,जो $(2,1), (3,1), (3,5),$ और $(2,5)$ शीर्षों वाला एक आयत बनाती हैं।
विकर्ण $d_1$,$(2,1)$ और $(3,5)$ से होकर गुजरता है। इसका समीकरण $y - 1 = \frac{5 - 1}{3 - 2}(x - 2)$ $\Rightarrow y - 1 = 4(x - 2)$ $\Rightarrow y = 4x - 7$ है।
विकर्ण $d_2$,$(3,1)$ और $(2,5)$ से होकर गुजरता है। इसका समीकरण $y - 1 = \frac{5 - 1}{2 - 3}(x - 3)$ $\Rightarrow y - 1 = -4(x - 3)$ $\Rightarrow y - 1 = -4x + 12$ $\Rightarrow 4x + y = 13$ है।
अतः,विकर्णों के समीकरण $4x + y = 13$ और $y = 4x - 7$ हैं।

(A) दिए गए समीकरण:
$l^2x^2 - m^2y^2 - n(lx + my) = 0 \implies (lx + my)(lx - my - n) = 0$.
अतः,पहली जोड़ी की रेखाएं $lx + my = 0$ और $lx - my = n$ हैं।
$l^2x^2 - m^2y^2 + n(lx - my) = 0 \implies (lx - my)(lx + my + n) = 0$.
अतः,दूसरी जोड़ी की रेखाएं $lx - my = 0$ और $lx + my = -n$ हैं।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\left| \frac{(c_1 - c_2)(d_1 - d_2)}{a_1b_2 - a_2b_1} \right|$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल = $\left| \frac{(0 - n)(0 - (-n))}{l(-m) - m(l)} \right| = \frac{n^2}{2|lm|}$.

(C) $x^2 + 4xy + y^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं का युग्म $y = m_1x$ और $y = m_2x$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $m^2 + 4m + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
ढाल $m_1, m_2 = -2 \pm \sqrt{3}$ है।
तीसरी रेखा $x - y = 4$ है,जिसे $y = x - 4$ के रूप में लिखा जा सकता है,इसलिए इसकी ढाल $m_3 = 1$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ निकालने के लिए $\tan \theta = |\frac{m_a - m_b}{1 + m_a m_b}|$ का उपयोग करते हुए,
$m_1 = -2 + \sqrt{3}$ और $m_3 = 1$ के लिए: $\tan \theta_{13} = \sqrt{3}$,अर्थात $\theta_{13} = 60^\circ$।
$m_2 = -2 - \sqrt{3}$ और $m_3 = 1$ के लिए: $\tan \theta_{23} = \sqrt{3}$,अर्थात $\theta_{23} = 60^\circ$।
चूंकि दो कोण $60^\circ$ हैं,इसलिए तीसरा कोण भी $60^\circ$ होगा।
अतः,यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है।

(B) माना $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के समीकरण $y - m_1x = 0$ और $y - m_2x = 0$ हैं। एक विकर्ण $AC$,$lx + my = 1$ है।
$ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से,$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ और $m_1m_2 = \frac{a}{b}$ प्राप्त होता है।
$OA$ $(y = m_1x)$ और $OC$ $(y = m_2x)$ के समीकरणों को $AC$ $(lx + my = 1)$ के साथ हल करने पर,$A$ और $C$ के निर्देशांक प्राप्त होते हैं:
$A = \left(\frac{1}{l + mm_1}, \frac{m_1}{l + mm_1}\right)$ और $C = \left(\frac{1}{l + mm_2}, \frac{m_2}{l + mm_2}\right)$.
$AC$ का मध्य-बिंदु $M$ है।
दूसरा विकर्ण मूल बिंदु $O(0,0)$ और मध्य-बिंदु $M$ से होकर गुजरता है। इस विकर्ण की ढाल $\frac{am - hl}{bl - hm}$ प्राप्त होती है।
अतः,विकर्ण का समीकरण $(bl - hm)y = (am - hl)x$ है।

(A) दिया गया समीकरण ${x^2} - ({y^2} - 2y + 1) = 0$ है,जो ${x^2} - {(y - 1)^2} = 0$ में सरल हो जाता है।
यह रेखाओं के युग्म $(x - y + 1)(x + y - 1) = 0$ को दर्शाता है।
रेखाएँ $x - y + 1 = 0$ और $x + y - 1 = 0$ हैं।
इन रेखाओं के कोण समद्विभाजक $\frac{x - y + 1}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{x + y - 1}{\sqrt{1^2 + 1^2}}$ द्वारा दिए जाते हैं।
यह $x - y + 1 = \pm (x + y - 1)$ में सरल हो जाता है।
स्थिति $1$: $x - y + 1 = x + y - 1 \implies 2y = 2 \implies y = 1$।
स्थिति $2$: $x - y + 1 = -(x + y - 1) \implies 2x = 0 \implies x = 0$।
अतः,कोण समद्विभाजक रेखाएँ $x = 0$ और $y = 1$ हैं।
तीसरी रेखा $x + y = 3$ है।
$x = 0$,$y = 1$,और $x + y = 3$ द्वारा निर्मित त्रिभुज के शीर्ष:
$x = 0$ और $y = 1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 1)$ है।
$x = 0$ और $x + y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 3)$ है।
$y = 1$ और $x + y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 1)$ है।
यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसके शीर्ष $(0, 1)$,$(0, 3)$,और $(2, 1)$ हैं।
आधार की लंबाई $2 - 0 = 2$ और ऊँचाई $3 - 1 = 2$ है।
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$।

(A) दिया गया वक्र $x^2 + 2xy - 3y^2 = 0$ है।
व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $x^2 + 3xy - xy - 3y^2 = 0 \Rightarrow x(x + 3y) - y(x + 3y) = 0 \Rightarrow (x + 3y)(x - y) = 0$.
यह दो रेखाओं को दर्शाता है: $x - y = 0$ और $x + 3y = 0$.
बिंदु $(1,1)$ रेखा $x - y = 0$ पर स्थित है। इस रेखा की ढाल $m = 1$ है।
$(1,1)$ पर वक्र का अभिलंब उस बिंदु पर स्पर्शरेखा के लंबवत होता है। चूंकि वक्र रेखाओं का एक युग्म है,इसलिए $(1,1)$ पर अभिलंब रेखा $x - y = 0$ के लंबवत है।
अभिलंब की ढाल $m' = -1/m = -1$ है।
$(1,1)$ पर अभिलंब का समीकरण $(y - 1) = -1(x - 1) \Rightarrow y - 1 = -x + 1 \Rightarrow x + y = 2$ है।
यह पता लगाने के लिए कि यह अभिलंब वक्र को फिर से कहाँ काटता है,हम $x + y = 2$ और दूसरी रेखा $x + 3y = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$x + 3y = 0$ से,हमें $x = -3y$ प्राप्त होता है।
$x + y = 2$ में मान रखने पर: $-3y + y = 2 \Rightarrow -2y = 2 \Rightarrow y = -1$.
तब $x = -3(-1) = 3$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, -1)$ है।
चूंकि $x$-निर्देशांक धनात्मक है और $y$-निर्देशांक ऋणात्मक है,इसलिए बिंदु $(3, -1)$ $4^{th}$ चतुर्थांश में स्थित है।

(B) दिए गए समीकरण $x^2 - 7x + 6 = 0$ और $y^2 - 14y + 40 = 0$ हैं।
$x^2 - 7x + 6 = 0$ को हल करने पर,हमें $(x - 6)(x - 1) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 6$ और $x = 1$।
$y^2 - 14y + 40 = 0$ को हल करने पर,हमें $(y - 10)(y - 4) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $y = 10$ और $y = 4$।
समांतर चतुर्भुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं: $A(1, 10)$,$B(6, 10)$,$C(6, 4)$,और $D(1, 4)$।
विकर्ण $BD$,$B(6, 10)$ और $D(1, 4)$ से होकर गुजरता है।
$BD$ की ढाल $m = \frac{4 - 10}{1 - 6} = \frac{-6}{-5} = \frac{6}{5}$ है।
रेखा $BD$ का समीकरण $y - 4 = \frac{6}{5}(x - 1)$ है,जिसे सरल करने पर $5(y - 4) = 6(x - 1)$ अर्थात $5y - 20 = 6x - 6$ या $6x - 5y + 14 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई रेखाओं का युग्म $x^2 - 4xy + y^2 = 0$ है। इन रेखाओं की प्रवणता $m_1, m_2$ समीकरण $m^2 - 4m + 1 = 0$ को संतुष्ट करती है,जिससे $m = 2 \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
ये प्रवणताएँ $x$-अक्ष के साथ $75^\circ$ और $15^\circ$ के कोण बनाती हैं।
इन दो रेखाओं के बीच का कोण $|75^\circ - 15^\circ| = 60^\circ$ है।
तीसरी रेखा $x + y + 4 = 0$ है,जिसकी प्रवणता $-1$ है,जो $x$-अक्ष के साथ $135^\circ$ का कोण बनाती है।
निर्मित त्रिभुज के कोण $60^\circ$,$180^\circ - 135^\circ + 15^\circ = 60^\circ$,और $180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$ हैं।
चूंकि सभी कोण $60^\circ$ हैं,इसलिए त्रिभुज समबाहु है।

(B) दी गई रेखाओं का युग्म $2x^2 - 2y^2 + 3xy + 3x + y + 1 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(x + 2y + 1)(2x - y + 1) = 0$.
अतः,त्रिभुज की भुजाएँ हैं:
$L_1: x + 2y + 1 = 0$
$L_2: 2x - y + 1 = 0$
$L_3: 3x + 2y + 1 = 0$
चूँकि $L_1$ और $L_2$ की प्रवणताओं का गुणनफल $(-\frac{1}{2}) \times (2) = -1$ है,रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ परस्पर लंबवत हैं।
समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र उस शीर्ष पर होता है जहाँ समकोण बनता है।
$x + 2y + 1 = 0$ और $2x - y + 1 = 0$ को हल करने पर:
$y = 2x + 1$ को $x + 2(2x + 1) + 1 = 0$ में रखने पर,$5x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{5}$.
अतः $y = 2(-\frac{3}{5}) + 1 = -\frac{1}{5}$.
लंबकेंद्र $\left( -\frac{3}{5}, -\frac{1}{5} \right)$ है।

(A) रेखाओं $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के बीच के कोण के समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
रेखाओं के पहले युग्म $2x^2 + 6xy + y^2 = 0$ के लिए,समद्विभाजक $\frac{x^2 - y^2}{2 - 1} = \frac{xy}{3} \implies 3x^2 - xy - 3y^2 = 0$ हैं।
रेखाओं के दूसरे युग्म $4x^2 + 18xy + y^2 = 0$ के लिए,समद्विभाजक $\frac{x^2 - y^2}{4 - 1} = \frac{xy}{9} \implies 3x^2 - xy - 3y^2 = 0$ हैं।
चूँकि दोनों रेखा युग्मों के कोण समद्विभाजक समान हैं,इसलिए वे एक-दूसरे के प्रति समान रूप से झुके हुए हैं।
यदि $L_1$ और $l_1$ के बीच का कोण $\theta$ है,तो समान झुकाव के गुण के अनुसार,$L_2$ और $l_2$ के बीच का कोण भी $\theta$ होगा।

(C) दी गई रेखाओं के युग्म का समीकरण $y^2 - 9xy + 18x^2 = 0$ है।
इसके गुणनखंड करने पर $(y - 3x)(y - 6x) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो रेखाएँ $y = 3x$ और $y = 6x$ हैं।
ये रेखाएँ मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरती हैं।
रेखाओं के समीकरण में $y = 9$ रखने पर:
$y = 3x$ के लिए,$9 = 3x \Rightarrow x = 3$. अतः,शीर्ष $(3, 9)$ है।
$y = 6x$ के लिए,$9 = 6x \Rightarrow x = 1.5$. अतः,शीर्ष $(1.5, 9)$ है।
त्रिभुज के शीर्ष $(0, 0)$,$(3, 9)$ और $(1.5, 9)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(9 - 9) + 3(9 - 0) + 1.5(0 - 9)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0 + 27 - 13.5| = \frac{1}{2} |13.5| = 6.75 \, sq. \, units$.

(A) दी गई रेखाओं के युग्म $xy = 0$ और $xy + 5x - 4y - 20 = 0$ हैं।
$xy = 0$ से,हमें रेखाएँ $x = 0$ (y-अक्ष) और $y = 0$ (x-अक्ष) प्राप्त होती हैं।
दूसरे समीकरण $xy + 5x - 4y - 20 = 0$ का गुणनखंड करने पर:
$x(y + 5) - 4(y + 5) = 0$
$(x - 4)(y + 5) = 0$
इससे हमें रेखाएँ $x = 4$ और $y = -5$ प्राप्त होती हैं।
यह क्षेत्र रेखाओं $x = 0$,$x = 4$,$y = 0$ और $y = -5$ द्वारा घिरा हुआ है।
यह एक आयत बनाता है जिसकी लंबाई $|4 - 0| = 4$ इकाई और चौड़ाई $|0 - (-5)| = 5$ इकाई है।
आयत का क्षेत्रफल = $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 4 \times 5 = 20$ वर्ग इकाई है।

(C) समीकरण $6x^2+xy-y^2=0$ को $-(y-3x)(y+2x)=0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है,जो रेखाएं $y=3x$ और $y=-2x$ देती हैं।
त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम इन रेखाओं का $x+3y=10$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$1$. $y=3x$ और $x+3y=10$ का प्रतिच्छेदन: $x+3(3x)=10 \implies 10x=10 \implies x=1, y=3$. शीर्ष $(1,3)$ है।
$2$. $y=-2x$ और $x+3y=10$ का प्रतिच्छेदन: $x+3(-2x)=10 \implies -5x=10 \implies x=-2, y=4$. शीर्ष $(-2,4)$ है।
$3$. $y=3x$ और $y=-2x$ का प्रतिच्छेदन मूल बिंदु $(0,0)$ है।
केंद्रक $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) = \left(\frac{0+1-2}{3}, \frac{0+3+4}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}, \frac{7}{3}\right)$ है।

(C) रेखाओं का युग्म $x^2-4xy+y^2=0$ मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरता है। इन रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $a=1, h=-2, b=1$ है,इसलिए $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{(-2)^2-1\times 1}}{1+1}\right| = \sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $\theta = 60^{\circ}$।
चूंकि रेखाएँ $x+y=10$ के साथ एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं,इसलिए मूल बिंदु त्रिभुज का एक शीर्ष है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा $x+y-10=0$ तक की लंबवत दूरी समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई $h$ है।
$h = \frac{|0+0-10|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$।
एक समबाहु त्रिभुज जिसकी भुजा की लंबाई $s$ है,के लिए ऊँचाई $h = \frac{\sqrt{3}}{2}s$,इसलिए $s = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2(5\sqrt{2})}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4}s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \left(\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{200}{3} = \frac{50\sqrt{3}}{3} = \frac{50}{\sqrt{3}}$ वर्ग इकाई है।

(C) दिया गया समीकरण $y^2 - 9xy + 18x^2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(y - 3x)(y - 6x) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो रेखाएँ $y = 3x$ और $y = 6x$ हैं।
तीसरी रेखा $y = 9$ है।
त्रिभुज के शीर्ष बिंदु इस प्रकार हैं:
$1$. $y = 3x$ और $y = 6x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ है।
$2$. $y = 3x$ और $y = 9$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, 9)$ है।
$3$. $y = 6x$ और $y = 9$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{3}{2}, 9)$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(9 - 9) + 3(9 - 0) + \frac{3}{2}(0 - 9)| = \frac{27}{4}$ वर्ग इकाई।

(A) दी गई रेखाएँ $6x^2+xy-y^2=0$ और $x-2y=10$ हैं।
$6x^2+xy-y^2=0$ का गुणनखंड करने पर,हमें $(2x+y)(3x-y)=0$ प्राप्त होता है।
इससे दो रेखाएँ मिलती हैं: $L_1: 3x-y=0$ और $L_2: 2x+y=0$।
तीसरी रेखा $L_3: x-2y=10$ है।
ढाल (slopes) देखने पर: $L_2$ की ढाल $m_2 = -2$ है और $L_3$ की ढाल $m_3 = 1/2$ है।
चूंकि $m_2 \times m_3 = -1$,इसलिए रेखाएँ $L_2$ और $L_3$ परस्पर लंबवत हैं।
समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
अतः,लंबकेंद्र $L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$2x+y=0$ और $x-2y=10$ को हल करने पर:
$y = -2x$ को $x-2(-2x)=10$ में रखने पर,$5x=10 \Rightarrow x=2$ प्राप्त होता है।
अतः $y = -4$।
लंबकेंद्र $(2,-4)$ है।

(D) दी गई रेखाओं का युग्म $6 x^2+13 x y+6 y^2=0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(3 x+2 y)(2 x+3 y)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो रेखाएँ $L_1: 3 x+2 y=0$ और $L_2: 2 x+3 y=0$ हैं।
तीसरी रेखा $L_3: x+2 y+3=0$ है।
शीर्ष ज्ञात करने पर:
$1$) $L_1$ और $L_2$: $(0, 0)$।
$2$) $L_1$ और $L_3$: $(\frac{3}{2}, -\frac{9}{4})$।
$3$) $L_2$ और $L_3$: $(9, -6)$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)| = \frac{45}{8}$ वर्ग इकाई।

(A) दिए गए समीकरण $3x + y + 15 = 0$ $(i)$ और $3x^2 + 12xy - 13y^2 = 0$ (ii) हैं।
समीकरण (ii) मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाली रेखाओं का युग्म दर्शाता है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $\frac{n^2 \sqrt{h^2 - ab}}{|am^2 - 2hlm + bl^2|}$ है।
यहाँ $a = 3, h = 6, b = -13, l = 3, m = 1, n = 15$ रखने पर,
क्षेत्रफल $= \frac{15^2 \sqrt{6^2 - 3(-13)}}{|3(1)^2 - 2(6)(3)(1) + (-13)(3)^2|} = \frac{225 \sqrt{75}}{150} = \frac{15\sqrt{3}}{2}$.

(A) दिया गया समीकरण $18x^2 - 9xy + y^2 = 0$ है।
इसे $(y - 3x)(y - 6x) = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
अतः,दो रेखाएँ $y = 3x$ और $y = 6x$ हैं।
इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु मूल बिंदु $(0, 0)$ है।
इन रेखाओं का $y = c$ रेखा के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{c}{3}, c)$ और $(\frac{c}{6}, c)$ हैं।
इन तीन बिंदुओं $(0, 0)$,$(\frac{c}{3}, c)$,और $(\frac{c}{6}, c)$ द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 27$ है।
$\frac{1}{2} |\frac{c^2}{3} - \frac{c^2}{6}| = 27 \Rightarrow c^2 = 324$.
$c = 18$ लेने पर,शीर्ष $(0, 0)$,$(6, 18)$,और $(3, 18)$ प्राप्त होते हैं।
केंद्रक $(\frac{0 + 6 + 3}{3}, \frac{0 + 18 + 18}{3}) = (3, 12)$ है।

(D) दी गई रेखाएँ $x+y-1=0$ और $6x^2-13xy+5y^2=0$ हैं।
दूसरे समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$6x^2-10xy-3xy+5y^2=0$
$(2x-y)(3x-5y)=0$
अतः,रेखाएँ $2x-y=0$ और $3x-5y=0$ हैं।
माना त्रिभुज के शीर्ष $O(0,0)$,$A$,और $B$ हैं।
$2x-y=0$ और $x+y-1=0$ को हल करने पर,$A = (1/3, 2/3)$ प्राप्त होता है।
$3x-5y=0$ और $x+y-1=0$ को हल करने पर,$B = (5/8, 3/8)$ प्राप्त होता है।
माना लंबकेंद्र $H(h, k)$ है।
$B$ से $OA$ पर डाला गया शीर्षलंब $y=2x$ के लंबवत है। इसका समीकरण $4x + 8y - 6 = 0$ है।
$A$ से $OB$ पर डाला गया शीर्षलंब $y=3/5x$ के लंबवत है। इसका समीकरण $15x + 9y - 11 = 0$ है।
इन दो शीर्षलंब समीकरणों को हल करने पर:
$4h + 8k = 6$ और $15h + 9k = 11$.
हल करने पर $h = 17/42$ और $k = 109/168$ प्राप्त होता है।
मूलबिंदु से दूरी $\sqrt{h^2+k^2} = \frac{11\sqrt{2}}{24}$ है।

(D) त्रिभुज की दो भुजाओं का दिया गया समीकरण $3x^2-5xy+2y^2=0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(3x-2y)(x-y)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो भुजाओं के समीकरण $L_1: 3x-2y=0$ और $L_2: x-y=0$ हैं।
लंबकेंद्र $H(2,1)$ है।
शीर्ष $B$ से $AC$ पर डाला गया लंब $H(2,1)$ से गुजरता है और $AC: x-y=0$ के लंबवत है। लंब रेखा का समीकरण $x+y-3=0$ प्राप्त होता है।
$x+y-3=0$ और $3x-2y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(6/5, 9/5)$ है।
शीर्ष $C$ से $AB$ पर डाला गया लंब $H(2,1)$ से गुजरता है और $AB: 3x-2y=0$ के लंबवत है। लंब रेखा का समीकरण $2x+3y-7=0$ प्राप्त होता है।
$2x+3y-7=0$ और $x-y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(7/5, 7/5)$ है।
तीसरी भुजा $BC$,$(6/5, 9/5)$ और $(7/5, 7/5)$ से गुजरती है।
ढाल $m = -2$ प्राप्त होती है।
समीकरण $10x+5y=21$ प्राप्त होता है।

(C) समीकरण $4x^2 - 17xy + 4y^2 = 0$ को $(4x - y)(x - 4y) = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
अतः,रेखाएं $L_1: 4x - y = 0$ और $L_2: x - 4y = 0$ हैं।
तीसरी रेखा $L_3: x + y = 5$ है।
त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों के युग्मों को हल करते हैं:
$1$) $L_1$ और $L_2$: $4x - y = 0$ और $x - 4y = 0$ से शीर्ष $V_1 = (0, 0)$ प्राप्त होता है।
$2$) $L_1$ और $L_3$: $4x - y = 0$ और $x + y = 5$ से $5x = 5$ मिलता है,इसलिए $x = 1, y = 4$। अतः $V_2 = (1, 4)$।
$3$) $L_2$ और $L_3$: $x - 4y = 0$ और $x + y = 5$ से $5y = 5$ मिलता है,इसलिए $y = 1, x = 4$। अतः $V_3 = (4, 1)$।
केंद्रक $(a, b) = (\frac{0+1+4}{3}, \frac{0+4+1}{3}) = (\frac{5}{3}, \frac{5}{3})$ है।
अतः,$a = \frac{5}{3}$ और $b = \frac{5}{3}$।
शीर्षों $(0, 0), (1, 4), (4, 1)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $c = \frac{1}{2} |0(4-1) + 1(1-0) + 4(0-4)| = \frac{1}{2} |1 - 16| = \frac{15}{2}$ है।
अतः,$a + b + c = \frac{5}{3} + \frac{5}{3} + \frac{15}{2} = \frac{10}{3} + \frac{15}{2} = \frac{20 + 45}{6} = \frac{65}{6}$.

(A) दी गई रेखा $2x + 3y = 6$ है,जिसका ढाल $m_1 = -2/3$ है।
चूंकि मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का युग्म इस रेखा के साथ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज बनाता है,इसलिए रेखाएँ दी गई रेखा के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती हैं।
माना अभीष्ट रेखाओं का ढाल $m$ है। दो रेखाओं के बीच का कोण $\tan \theta = |(m - m_1) / (1 + m \cdot m_1)|$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = 45^{\circ}$ और $m_1 = -2/3$ रखने पर:
$1 = |(m - (-2/3)) / (1 + m(-2/3))| = |(3m + 2) / (3 - 2m)|$.
इसके दो मामले हैं:
मामला $1$: $(3m + 2) / (3 - 2m) = 1$ $\Rightarrow 3m + 2 = 3 - 2m$ $\Rightarrow 5m = 1$ $\Rightarrow m = 1/5$.
रेखा का समीकरण $y = (1/5)x \Rightarrow x - 5y = 0$ है।
मामला $2$: $(3m + 2) / (3 - 2m) = -1$ $\Rightarrow 3m + 2 = -3 + 2m$ $\Rightarrow m = -5$.
रेखा का समीकरण $y = -5x \Rightarrow 5x + y = 0$ है।
अतः,रेखाएँ $x - 5y = 0$ और $5x + y = 0$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण $2x^2-5xy+2y^2=0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(2x-y)(x-2y)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो भुजाएँ $y=2x$ और $y=\frac{1}{2}x$ हैं।
मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $O(0,0)$,$A(a, 2a)$ और $B(2b, b)$ हैं।
केंद्रक $(1,1)$ दिया गया है।
केंद्रक सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{0+a+2b}{3}=1 \Rightarrow a+2b=3$ $(i)$ और $\frac{0+2a+b}{3}=1 \Rightarrow 2a+b=3$ (ii)।
समीकरणों $(i)$ और (ii) को हल करने पर,हमें $a=1$ और $b=1$ प्राप्त होता है।
अतः,शीर्ष $O(0,0)$,$A(1,2)$ और $B(2,1)$ हैं।
तीसरी भुजा $A(1,2)$ और $B(2,1)$ से होकर गुजरती है।
$(1,2)$ और $(2,1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y-2 = \frac{1-2}{2-1}(x-1)$ है,जो सरल होकर $y-2 = -1(x-1) \Rightarrow x+y-3=0$ हो जाता है।

(B) $23x^2 - 48xy + 3y^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं का युग्म $y = m_1x$ और $y = m_2x$ है।
$ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 23, 2h = -48, b = 3$ प्राप्त होता है।
ढाल का योग $m_1 + m_2 = 16$ और गुणनफल $m_1m_2 = 23/3$ है।
ढाल का अंतर $|m_1 - m_2| = 26/\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
इन रेखाओं के बीच का कोण $\tan \theta = \sqrt{3}$ अर्थात $\theta = 60^{\circ}$ है।
तीसरी रेखा $2x + 3y + 4 = 0$ की ढाल $m_3 = -2/3$ है।
गणना करने पर,यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज बनता है।

(C) समांतर चतुर्भुज की दो भुजाओं को दर्शाने वाली रेखाओं का युग्म $2x^2+3xy-2y^2=0$ है।
इसे $ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,$a=2, b=-2, h=\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया विकर्ण $3x+y=-1$ है,जिसे $lx+my=1$ के रूप में लिखने पर $l=3, m=1$ प्राप्त होता है।
समांतर चतुर्भुज के दूसरे विकर्ण का सूत्र $y(bl-hm) = x(am-hl)$ है।
मान रखने पर:
$y((-2)(3) - (\frac{3}{2})(1)) = x((2)(1) - (\frac{3}{2})(3))$
$y(-6 - \frac{3}{2}) = x(2 - \frac{9}{2})$
$y(-\frac{15}{2}) = x(-\frac{5}{2})$
$15y = 5x$
$3y = x \Rightarrow x-3y=0$.

(A) दिया गया समीकरण $2 x^2-3 x y-2 y^2=0$ को $(2 x+y)(x-2 y)=0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
मान लीजिए $L_1: 2 x+y=0$ और $L_2: x-2 y=0$ है।
दूसरा समीकरण $2 x^2-3 x y-2 y^2-x+7 y-3=0$ को $(2 x+y-1)(x-2 y+3)=0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
मान लीजिए $L_3: x-2 y+3=0$ और $L_4: 2 x+y-1=0$ है।
$L_1$ और $L_3$ को हल करने पर,$A = \left(-\frac{3}{5}, \frac{6}{5}\right)$ प्राप्त होता है।
$L_2$ और $L_4$ को हल करने पर,$B = \left(\frac{2}{5}, \frac{1}{5}\right)$ प्राप्त होता है।
$L_3$ और $L_4$ को हल करने पर,$C = \left(-\frac{1}{5}, \frac{7}{5}\right)$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_A(y_B-y_C) + x_B(y_C-y_A) + x_C(y_A-y_B)|$ सूत्र का उपयोग करने पर,क्षेत्रफल $\frac{3}{10}$ प्राप्त होता है।

(A) रेखाओं के युग्म का समीकरण दिया गया है: $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$.
चूँकि रेखाएँ $x$-अक्ष पर प्रतिच्छेद करती हैं,$x$-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y=0$ रखने पर:
$a x^2+2 g x+c=0$.
रेखाओं के $x$-अक्ष पर प्रतिच्छेद करने के लिए,इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D=0$ होना चाहिए:
$(2 g)^2 - 4(a)(c) = 0$ $\Rightarrow 4 g^2 = 4 a c$ $\Rightarrow g^2 = a c$.
सामान्य द्विघात समीकरण के रेखाओं का युग्म होने की शर्त है:
$a b c+2 f g h-a f^2-b g^2-c h^2=0$.
$g^2=a c$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a b c+2 f g h-a f^2-b(a c)-c h^2=0$
$a b c+2 f g h-a f^2-a b c-c h^2=0$
$2 f g h = a f^2 + c h^2$.
अतः,$a b c = 2 f g h$ सामान्यतः सत्य नहीं है।

(C) मान लीजिए उभयनिष्ठ रेखा की ढाल $m$ है। अन्य दो रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं।
$2x^2 + axy + 3y^2 = 0$ के लिए,$m + m_1 = -a/3$ और $m \cdot m_1 = 2/3$ है।
$2x^2 + bxy - 3y^2 = 0$ के लिए,$m + m_2 = b/3$ और $m \cdot m_2 = -2/3$ है।
चूंकि अन्य दो रेखाएँ लंबवत हैं,$m_1 \cdot m_2 = -1$ है।
हल करने पर $m^2 = 4/9$,अर्थात $m = \pm 2/3$ प्राप्त होता है।
यदि $m = 2/3$ है,तो $a = -5$ और $b = -1$ मिलता है।
यदि $m = -2/3$ है,तो $a = 5$ और $b = 1$ मिलता है।
अतः,$(a, b)$ का मान $(5, 1)$ है।

(A) समीकरण $x^2-4xy+y^2=0$ मूल बिंदु से गुजरने वाली दो सरल रेखाओं का युग्म दर्शाता है।
$ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=-2, b=1$ प्राप्त होता है।
इन रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right| = \left| \frac{2\sqrt{(-2)^2-(1)(1)}}{1+1} \right| = \sqrt{3}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\theta = 60^\circ$ है।
तीसरी रेखा $x+y+4\sqrt{6}=0$ है,जिसका ढाल $-1$ है,अर्थात यह $x$-अक्ष के साथ $135^\circ$ का कोण बनाती है।
इस प्रकार,त्रिभुज के तीनों कोण $60^\circ$ हैं,इसलिए यह एक समबाहु त्रिभुज है।

(D) माना $2x^2 + axy + 3y^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं की ढाल $m$ और $m_1$ हैं। तब $m + m_1 = -a/3$ और $mm_1 = 2/3$ है।
माना $2x^2 + bxy - 3y^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं की ढाल $m$ और $m_2$ हैं। तब $m + m_2 = b/3$ और $mm_2 = -2/3$ है।
चूंकि अन्य दो रेखाएं लंबवत हैं,$m_1m_2 = -1$ है।
ढालों के गुणनफल को विभाजित करने पर: $(mm_1) / (mm_2) = (2/3) / (-2/3) = -1$।
अतः,$m_1 / m_2 = -1$,जिसका अर्थ है $m_1 = -m_2$ या $m_1 + m_2 = 0$।
$mm_1 = 2/3$ और $mm_2 = -2/3$ से,$m_1 = 2/(3m)$ और $m_2 = -2/(3m)$ प्राप्त होता है।
$m_1m_2 = -1$ में प्रतिस्थापित करने पर: $(2/(3m)) \times (-2/(3m)) = -1$ $\Rightarrow -4/(9m^2) = -1$ $\Rightarrow m^2 = 4/9$ $\Rightarrow m = 2/3$।
अतः $m_1 = 1$ और $m_2 = -1$ है।
$m + m_1 = -a/3$ का उपयोग करने पर: $2/3 + 1 = -a/3 \Rightarrow a = -5$।
$m + m_2 = b/3$ का उपयोग करने पर: $2/3 - 1 = b/3 \Rightarrow b = -1$।

(B) दिया गया समीकरण $y^3-6xy^2+11x^2y-6x^3=0$ है।
घन व्यंजक का गुणनखंड करने पर,हमें $(y-x)(y-2x)(y-3x)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,तीन रेखाएँ $L_1: y=x$,$L_2: y=2x$,और $L_3: y=3x$ हैं।
हम इन रेखाओं का $x+y=1$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$P$ $(y=x)$ के लिए: $x+x=1 \Rightarrow x=1/2, y=1/2$. अतः $P = (1/2, 1/2)$।
$Q$ $(y=2x)$ के लिए: $x+2x=1 \Rightarrow x=1/3, y=2/3$. अतः $Q = (1/3, 2/3)$।
$R$ $(y=3x)$ के लिए: $x+3x=1 \Rightarrow x=1/4, y=3/4$. अतः $R = (1/4, 3/4)$।
अब,मूलबिंदु $O(0,0)$ से दूरी के वर्गों की गणना करें:
$(OP)^2 = (1/2)^2 + (1/2)^2 = 1/4 + 1/4 = 1/2 = 36/72$।
$(OQ)^2 = (1/3)^2 + (2/3)^2 = 1/9 + 4/9 = 5/9 = 40/72$।
$(OR)^2 = (1/4)^2 + (3/4)^2 = 1/16 + 9/16 = 10/16 = 5/8 = 45/72$।
योग करने पर: $(OP)^2+(OQ)^2+(OR)^2 = 36/72 + 40/72 + 45/72 = 121/72$।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ दो सीधी रेखाओं को दर्शाता है। मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखाओं की दूरी $d = \frac{|c_i|}{\sqrt{1+m_i^2}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि रेखाएं मूल बिंदु से समान दूरी पर हैं,इसलिए $\frac{|c_1|}{\sqrt{1+m_1^2}} = \frac{|c_2|}{\sqrt{1+m_2^2}}$,जिसका अर्थ है $c_1^2(1+m_2^2) = c_2^2(1+m_1^2)$।
इसे सरल करने पर $c_1^2-c_2^2 = c_2^2m_1^2-c_1^2m_2^2$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के गुणों का उपयोग करते हुए,$c_1+c_2 = -\frac{2f}{b}$,$c_1c_2 = \frac{c}{b}$,और $m_1c_2+m_2c_1 = \frac{2g}{b}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने और दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$f^2(f^2-bc) = g^2(g^2-ac)$ प्राप्त होता है।
अतः,$f^4-g^4 = c(bf^2-ag^2)$ है।

(D) दी गई रेखाओं का युग्म $8x^2-6xy+y^2=0$ है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $8x^2-4xy-2xy+y^2=0$ $\Rightarrow 4x(2x-y)-y(2x-y)=0$ $\Rightarrow (4x-y)(2x-y)=0$.
अतः,दो रेखाएँ $y=4x$ और $y=2x$ हैं।
तीसरी रेखा $2x+3y=a$ है।
त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$. $y=4x$ और $y=2x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $O(0,0)$ है।
$2$. $y=4x$ और $2x+3y=a$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $2x+3(4x)=a$ $\Rightarrow 14x=a$ $\Rightarrow x=a/14, y=2a/7$. यानी,$A(a/14, 2a/7)$.
$3$. $y=2x$ और $2x+3y=a$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $2x+3(2x)=a$ $\Rightarrow 8x=a$ $\Rightarrow x=a/8, y=a/4$. यानी,$B(a/8, a/4)$.
शीर्षों $(0,0), (x_1, y_1), (x_2, y_2)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|$ होता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |(\frac{a}{14})(\frac{a}{4}) - (\frac{a}{8})(\frac{2a}{7})| = \frac{1}{2} |\frac{a^2}{56} - \frac{2a^2}{56}| = \frac{1}{2} |-\frac{a^2}{56}| = \frac{a^2}{112}$.
दिया गया क्षेत्रफल $7$ है,इसलिए $\frac{a^2}{112} = 7$ $\Rightarrow a^2 = 784$ $\Rightarrow a = 28$।

(A) दी गई रेखाओं का युग्म: $xy-x-y+1=0$
$\Rightarrow x(y-1)-1(y-1)=0$
$\Rightarrow (x-1)(y-1)=0$
रेखाएँ $x=1$ और $y=1$ हैं।
माना अभीष्ट रेखा $y=mx+c$ है।
रेखा $y=mx+c$ और $x=1$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है।
$\tan 45^{\circ} = |\frac{1}{m}| = 1 \Rightarrow m = \pm 1$
रेखा $y=mx+c$ और $y=1$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है।
$\tan 45^{\circ} = |m| = 1 \Rightarrow m = \pm 1$
विकल्पों की जाँच करने पर,$x-y=5$ की ढाल $1$ है,जो शर्त को पूरा करती है।

(A) दी गई रेखाओं का युग्म $2x^2 - 3xy + y^2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(x - y)(2x - y) = 0$ प्राप्त होता है,जो रेखाओं $L_1: x - y = 0$ और $L_2: 2x - y = 0$ को दर्शाता है।
तीसरी भुजा $L_3: x + y = 1$ है।
त्रिभुज के शीर्ष:
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु मूल बिंदु $O(0, 0)$ है।
$L_1$ $(x = y)$ और $L_3$ $(x + y = 1)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $2x = 1 \Rightarrow x = 1/2, y = 1/2$। अतः,$A(1/2, 1/2)$।
$L_2$ $(y = 2x)$ और $L_3$ $(x + y = 1)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x + 2x = 1$ $\Rightarrow 3x = 1$ $\Rightarrow x = 1/3, y = 2/3$। अतः,$B(1/3, 2/3)$।
भुजाओं की लंबाई:
$OA^2 = (1/2)^2 + (1/2)^2 = 1/2$।
$OB^2 = (1/3)^2 + (2/3)^2 = 5/9$।
$AB^2 = (1/3 - 1/2)^2 + (2/3 - 1/2)^2 = 1/18$।
चूंकि $OA^2 + AB^2 = 1/2 + 1/18 = 5/9 = OB^2$,इसलिए त्रिभुज $A$ पर समकोण है।
समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र और परिकेंद्र के बीच की दूरी कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
दूरी $= \frac{OB}{2} = \frac{\sqrt{5}}{6}$।

(D) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $2x^2 - xy - 3y^2 + 6x + y + 4 = 0$ है।
इसके गुणनखंड करने पर:
$2x^2 + x(6 - y) - (3y^2 - y - 4) = 0$.
$x$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{y-6 \pm (5y-2)}{4}$.
इससे दो रेखाएं प्राप्त होती हैं:
$L_1: 2x - 3y + 4 = 0$.
$L_2: x + y + 1 = 0$.
बिंदु $(-1, 5)$ से $2x - 3y + 4 = 0$ पर लंब की लंबाई $P_1 = \sqrt{13}$ है।
बिंदु $(-1, 5)$ से $x + y + 1 = 0$ पर लंब की लंबाई $P_2 = \frac{5}{\sqrt{2}}$ है।
लंबों की लंबाइयों का गुणनफल $P_1 \times P_2 = \sqrt{13} \times \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{65}{\sqrt{26}}$ है।

(D) रेखाओं का युग्म $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ द्वारा दिया गया है।
माना इन रेखाओं के बीच का कोण $2\theta$ है। चूंकि $ax+by+c=0$ रेखा के साथ बना त्रिभुज समबाहु है,इसलिए प्रत्येक रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
रेखाओं $y=m_1x$ और $y=m_2x$ के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{H^2-AB}}{A+B}\right|$ द्वारा दिया जाता है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए $\theta = 30^{\circ}$।
अतः,$\tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{H^2-AB}}{|A+B|}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{3} = \frac{H^2-AB}{(A+B)^2}$।
$(A+B)^2 = 3(H^2-AB)$।
$A^2+B^2+2AB = 3H^2-3AB$।
$A^2+B^2+5AB = 3H^2$।
हमें $(A+3B)(3A+B) = 3A^2+10AB+3B^2$ का मान ज्ञात करना है।
रेखाओं $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ होने की शर्त के अनुसार,हम $\cos 60^{\circ} = \frac{|A+B|}{\sqrt{(A-B)^2+4H^2}}$ सूत्र का उपयोग करते हैं।
$\frac{1}{2} = \frac{|A+B|}{\sqrt{(A-B)^2+4H^2}} \implies (A-B)^2+4H^2 = 4(A+B)^2$।
$A^2+B^2-2AB+4H^2 = 4(A^2+B^2+2AB)$।
$4H^2 = 3A^2+3B^2+10AB$।
अतः,$(A+3B)(3A+B) = 3A^2+10AB+3B^2 = 4H^2$।

(A) दी गई रेखाओं का युग्म $2x^2+5xy+3y^2=0$ है।
इसका गुणनखंड करने पर,हमें $(x+y)(2x+3y)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो रेखाएँ $x+y=0$ और $2x+3y=0$ हैं।
तीसरी रेखा $y=x+c$ है,या $x-y+c=0$ है।
त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$. $x+y=0$ और $2x+3y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु मूलबिंदु $(0,0)$ है।
$2$. $x+y=0$ और $x-y+c=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: समीकरणों को जोड़ने पर,$2x+c=0 \Rightarrow x=-\frac{c}{2}$। तब $y=\frac{c}{2}$। अतः,$B = (-\frac{c}{2}, \frac{c}{2})$।
$3$. $2x+3y=0$ और $x-y+c=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: दूसरे समीकरण से,$x=y-c$। पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$2(y-c)+3y=0$ $\Rightarrow 5y=2c$ $\Rightarrow y=\frac{2c}{5}$। तब $x=\frac{2c}{5}-c=-\frac{3c}{5}$। अतः,$C = (-\frac{3c}{5}, \frac{2c}{5})$।
$(0,0)$,$(x_1, y_1)$,और $(x_2, y_2)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |(-\frac{c}{2})(\frac{2c}{5}) - (-\frac{3c}{5})(\frac{c}{2})| = \frac{1}{2} |-\frac{c^2}{5} + \frac{3c^2}{10}| = \frac{1}{2} |\frac{c^2}{10}| = \frac{c^2}{20}$।
दिया गया क्षेत्रफल $= \frac{1}{20}$ है,इसलिए $\frac{c^2}{20} = \frac{1}{20}$ $\Rightarrow c^2=1$ $\Rightarrow c = \pm 1$।

(A) दिए गए समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ के लिए,ढालों का योग $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b}$ और ढालों का गुणनफल $m_1m_2 = \frac{a}{b}$ है।
$m_1m_2-2=0$ से,हमें $\frac{a}{b}=2$ प्राप्त होता है,इसलिए $a=2b$ है।
$3(m_1-m_2)-7=0$ से,हमें $m_1-m_2 = \frac{7}{3}$ प्राप्त होता है।
$(m_1-m_2)^2 = (m_1+m_2)^2 - 4m_1m_2$ का उपयोग करने पर,$(\frac{7}{3})^2 = (-\frac{2h}{b})^2 - 4(\frac{a}{b})$ प्राप्त होता है।
$a=2b$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{49}{9} = \frac{4h^2}{b^2} - 4(2) = \frac{4h^2}{b^2} - 8$ प्राप्त होता है।
$\frac{4h^2}{b^2} = \frac{49}{9} + 8 = \frac{49+72}{9} = \frac{121}{9}$ है।
वर्गमूल लेने पर,$\frac{2h}{b} = \pm \frac{11}{3}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{h}{b} = \pm \frac{11}{6}$ है।
इस प्रकार,$\frac{h}{\pm 11} = \frac{b}{6}$ है।
चूंकि $a=2b$ है,इसलिए $\frac{a}{2} = b$,अतः $\frac{a}{12} = \frac{b}{6}$ है।
इसलिए,$\frac{a}{12} = \frac{b}{6} = \frac{h}{\pm 11}$ सत्य है।

(D) दिया गया समीकरण $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ है।
माना रेखाओं की ढाल $m$ और $m^2$ हैं।
समीकरण के गुणों से,ढालों का योग $m+m^2 = -\frac{2h}{b}$ और ढालों का गुणनफल $m \cdot m^2 = m^3 = \frac{a}{b}$ है।
हमें $m(1+m) = -\frac{2h}{b}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घन करने पर,$m^3(1+m)^3 = -\frac{8h^3}{b^3}$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$m^3(1+m^3+3m(1+m)) = -\frac{8h^3}{b^3}$।
$m^3 = \frac{a}{b}$ और $m(1+m) = -\frac{2h}{b}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{a}{b}(1+\frac{a}{b}+3(-\frac{2h}{b})) = -\frac{8h^3}{b^3}$ प्राप्त होता है।
$b^3$ से गुणा करने पर,$a(b+a-6h) = -8h^3$ प्राप्त होता है।
$ab + a^2 - 6ah = -8h^3$।
$abh$ से भाग देने पर,$\frac{a+b}{h} + \frac{8h^2}{ab} = 6$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई रेखाओं का युग्म $3x^2+7xy+2y^2=0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(3x+y)(x+2y)=0$ प्राप्त होता है।
दो रेखाएँ $L_1: 3x+y=0$ और $L_2: x+2y=0$ हैं।
$(\alpha, 1)$ से $L_1$ और $L_2$ पर लंब की लंबाई $p_1 = \frac{|3\alpha+1|}{\sqrt{10}}$ और $p_2 = \frac{|\alpha+2|}{\sqrt{5}}$ है।
लंबाई का गुणनफल $p_1 p_2 = \frac{|3\alpha^2+7\alpha+2|}{5\sqrt{2}}$ है।
दिया गया है कि $p_1 p_2 = \frac{\sqrt{2}}{5}$,इसलिए $|3\alpha^2+7\alpha+2| = 2$।
स्थिति $1$: $3\alpha^2+7\alpha+2 = 2 \implies \alpha = 0, -\frac{7}{3}$।
स्थिति $2$: $3\alpha^2+7\alpha+2 = -2 \implies \alpha = -\frac{4}{3}, -1$।
$P = \{0, -\frac{7}{3}, -\frac{4}{3}, -1\}$ का योग $-\frac{14}{3}$ है।

(C) दी गई दो भुजाओं का समीकरण $3x^2-5xy+2y^2=0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(3x-2y)(x-y)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो भुजाएँ $L_1: 3x-2y=0$ और $L_2: x-y=0$ हैं।
इन दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु मूलबिंदु $(0,0)$ है,जो त्रिभुज का एक शीर्ष है।
तीसरी भुजा का समीकरण $ax+by+c=0$ मानिए।
लंबकेंद्र $H(2,1)$ शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
गणना करने पर,तीसरी भुजा का समीकरण $8x+4y-17=0$ प्राप्त होता है।

(B) समीकरण $4x^2-y^2=0$ को $(2x-y)(2x+y)=0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
यह दो रेखाएं दर्शाता है: $L_1: 2x-y=0$ और $L_2: 2x+y=0$।
तीसरी रेखा $L_3: lx+my+n=0$ है।
त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ है।
$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x_1 = -n/(l+2m), y_1 = -2n/(l+2m)$।
$L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x_2 = -n/(l-2m), y_2 = 2n/(l-2m)$।
केंद्रक $\left(\frac{x_1+x_2+0}{3}, \frac{y_1+y_2+0}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, 0\right)$ है।
$y$-निर्देशांक से: $m=0$ प्राप्त होता है।
$x$-निर्देशांक से: $l=-n$ प्राप्त होता है।
अतः,$l+m+n = -n+0+n = 0$।