Equation of pair of straight lines Questions in Hindi

(A) द्विघात समीकरण का सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिए गए समीकरण $2x^2 + 4xy - ky^2 + 4x + 2y - 1 = 0$ के साथ तुलना करने पर,$a = 2, h = 2, b = -k, g = 2, f = 1, c = -1$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के लिए शर्त $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ है।
मान रखने पर: $(2)(-k)(-1) + 2(1)(2)(2) - 2(1)^2 - (-k)(2)^2 - (-1)(2)^2 = 0$.
$2k + 8 - 2 + 4k + 4 = 0$.
$6k + 10 = 0$.
$6k = -10$.
$k = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$.

(D) दी गई रेखाओं के युग्म का समीकरण $x^2 + xy - 12y^2 = 0$ है।
पृथक समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करते हैं:
$x^2 + 4xy - 3xy - 12y^2 = 0$
$x(x + 4y) - 3y(x + 4y) = 0$
$(x + 4y)(x - 3y) = 0$
अतः,रेखाओं के पृथक समीकरण $x + 4y = 0$ और $x - 3y = 0$ हैं।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ सरल रेखाओं का एक युग्म निरूपित करता है यदि सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} = 0$ हो।
दिए गए समीकरण $2x^2 + 5xy + 3y^2 + 6x + 7y + k = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,$a = 2, b = 3, c = k, h = 5/2, g = 3, f = 7/2$ प्राप्त होता है।
सारणिक की स्थिति में इन मानों को रखने पर:
$\begin{vmatrix} 2 & 5/2 & 3 \\ 5/2 & 3 & 7/2 \\ 3 & 7/2 & k \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$4(12k - 49) - 5(10k - 42) - 6 = 0$
$48k - 196 - 50k + 210 - 6 = 0$
$-2k + 8 = 0$
$k = 4$.

(D) द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ रेखाओं का एक युग्म निरूपित करता है यदि सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} = 0$ हो।
दिए गए समीकरण $3x^2 + xy - y^2 - 3x + 6y + k = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,$a=3, h=1/2, b=-1, g=-3/2, f=3, c=k$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के लिए शर्त: $\begin{vmatrix} 3 & 1/2 & -3/2 \\ 1/2 & -1 & 3 \\ -3/2 & 3 & k \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक को सरल बनाने के लिए पंक्तियों को $2$ से गुणा करने पर: $\frac{1}{4} \begin{vmatrix} 6 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 6 \\ -3 & 6 & 2k \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $6(-4k - 36) - 1(2k + 18) - 3(6 - 6) = 0$.
$-24k - 216 - 2k - 18 = 0$.
$-26k - 234 = 0$.
$26k = -234$.
$k = -9$.

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ दो सीधी रेखाओं के युग्म को निरूपित करता है यदि $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ हो।
दिए गए समीकरण $px^2 + xy + y^2 - x - 2y + 0 = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर:
$a = p, h = \frac{1}{2}, b = 1, g = -\frac{1}{2}, f = -1, c = 0$.
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$p(1)(0) + 2(-1)(-\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) - p(-1)^2 - 1(-\frac{1}{2})^2 - 0(\frac{1}{2})^2 = 0$.
$0 + \frac{1}{2} - p - \frac{1}{4} = 0$.
$-p + \frac{1}{4} = 0$.
$p = \frac{1}{4}$.

(A) सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के रेखाओं के युग्म को दर्शाने के लिए शर्त $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ है।
दिए गए समीकरण $2x^2 + 7xy + 3y^2 - 9x - 7y + k = 0$ की तुलना मानक रूप से करने पर:
$a = 2, b = 3, c = k, h = 7/2, g = -9/2, f = -7/2$.
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$(2)(3)(k) + 2(-7/2)(-9/2)(7/2) - 2(-7/2)^2 - 3(-9/2)^2 - k(7/2)^2 = 0$.
$6k + 441/4 - 49/2 - 243/4 - 49k/4 = 0$.
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर:
$24k + 441 - 98 - 243 - 49k = 0$.
$-25k + 100 = 0$.
$25k = 100$.
$k = 4$.

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ दो सीधी रेखाओं को निरूपित करता है यदि $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ हो।
दिए गए समीकरण $12x^2 - 10xy + 2y^2 + 11x - 5y + k = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर:
$a = 12, b = 2, c = k, h = -5, g = 11/2, f = -5/2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$(12)(2)(k) + 2(-5/2)(11/2)(-5) - 12(-5/2)^2 - 2(11/2)^2 - k(-5)^2 = 0$
$24k - 25k + 2 = 0 \implies k = 2$.

(D) दो भुजाओं का दिया गया समीकरण $x^2 - 7xy + 6y^2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(x - 6y)(x - y) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो भुजाएँ $x - 6y = 0$ और $x - y = 0$ हैं,जो मूल बिंदु $A(0, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
माना शीर्ष $A(0, 0)$,$B(x_1, y_1)$,और $C(x_2, y_2)$ हैं।
केंद्रक $G$ को $\left(\frac{0 + x_1 + x_2}{3}, \frac{0 + y_1 + y_2}{3}\right) = (1, 0)$ द्वारा दिया गया है।
इसका अर्थ है $x_1 + x_2 = 3$ और $y_1 + y_2 = 0$।
चूँकि $B(x_1, y_1)$,$x - 6y = 0$ पर स्थित है,इसलिए $x_1 = 6y_1$ है।
चूँकि $C(x_2, y_2)$,$x - y = 0$ पर स्थित है,इसलिए $x_2 = y_2$ है।
इन मानों को केंद्रक समीकरणों में रखने पर:
$6y_1 + y_2 = 3$ और $y_1 + y_2 = 0 \Rightarrow y_2 = -y_1$।
$y_2 = -y_1$ को $6y_1 + y_2 = 3$ में रखने पर,$5y_1 = 3$ प्राप्त होता है,अतः $y_1 = \frac{3}{5}$ और $x_1 = \frac{18}{5}$।
तब $y_2 = -\frac{3}{5}$ और $x_2 = -\frac{3}{5}$।
तीसरी भुजा $BC$,$B\left(\frac{18}{5}, \frac{3}{5}\right)$ और $C\left(-\frac{3}{5}, -\frac{3}{5}\right)$ से होकर गुजरती है।
ढाल $m = \frac{2}{7}$ है।
समीकरण $y + \frac{3}{5} = \frac{2}{7}(x + \frac{3}{5})$ को सरल करने पर $2x - 7y - 3 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना दो रेखाओं के ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं। दिया गया है कि $m_2 = 5m_1$.
समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से,$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ और $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ प्राप्त होता है।
योग में $m_2 = 5m_1$ रखने पर: $m_1 + 5m_1 = 6m_1 = -\frac{2h}{b} \implies m_1 = -\frac{h}{3b}$.
गुणनफल में $m_2 = 5m_1$ रखने पर: $m_1(5m_1) = 5m_1^2 = \frac{a}{b} \implies m_1^2 = \frac{a}{5b}$.
$m_1$ के व्यंजक का वर्ग करने पर: $(-\frac{h}{3b})^2 = \frac{a}{5b} \implies \frac{h^2}{9b^2} = \frac{a}{5b}$.
दोनों पक्षों को $45b^2$ से गुणा करने पर: $5h^2 = 9ab$.

(B) दिया गया समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है,जहाँ $a = 2$,$2h = -5$,और $b = 1$ है।
रेखाओं $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ पर लंब और मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण $bx^2 - 2hxy + ay^2 = 0$ होता है।
मान $a = 2$,$b = 1$,और $2h = -5$ रखने पर:
$1x^2 - (-5)xy + 2y^2 = 0$
$x^2 + 5xy + 2y^2 = 0$.

(B) दिया गया समीकरण $x^2 - 4y^2 = 0$ को $(x - 2y)(x + 2y) = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है,जो दो रेखाओं को दर्शाता है: $x - 2y = 0$ और $x + 2y = 0$।
ये रेखाएं मूल बिंदु $A(0, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
तीसरी रेखा $x = a$ है।
त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम प्रतिच्छेदन बिंदु निकालते हैं:
$1$. $x - 2y = 0$ और $x = a$ का प्रतिच्छेदन: $a - 2y = 0 \implies y = \frac{a}{2}$। अतः,$C = (a, \frac{a}{2})$।
$2$. $x + 2y = 0$ और $x = a$ का प्रतिच्छेदन: $a + 2y = 0 \implies y = -\frac{a}{2}$। अतः,$B = (a, -\frac{a}{2})$।
$3$. $x - 2y = 0$ और $x + 2y = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A = (0, 0)$ है।
त्रिभुज का आधार रेखा $x = a$ पर स्थित ऊर्ध्वाधर रेखाखंड $BC$ है। आधार की लंबाई $|\frac{a}{2} - (- \frac{a}{2})| = |a| = a$ है।
शीर्ष $A$ से आधार $BC$ तक की ऊँचाई $x = 0$ से $x = a$ तक की क्षैतिज दूरी है,जो $a$ है।
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2}$।

(A) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $6x^2 + 41xy - 7y^2 = 0$ है।
इसे व्यापक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 6$,$2h = 41$,और $b = -7$ प्राप्त होता है।
माना कि दोनों रेखाओं की प्रवणताएँ (slopes) $m_1 = \tan \alpha$ और $m_2 = \tan \beta$ हैं।
रेखाओं के युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के लिए,प्रवणताओं का गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\tan \alpha \cdot \tan \beta = \frac{6}{-7} = -\frac{6}{7}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के रूप में है,जहाँ $a = \sec^2 \theta - \sin^2 \theta$,$2h = -2 \tan \theta$,और $b = \sin^2 \theta$ है।
माना $m_1$ और $m_2$ रेखाओं की प्रवणताएँ हैं। तब $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = \frac{2 \tan \theta}{\sin^2 \theta}$ और $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = \frac{\sec^2 \theta - \sin^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \sec^2 \theta \csc^2 \theta - 1$ है।
प्रवणताओं का अंतर $|m_1 - m_2| = \sqrt{(m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2}$ है।
$|m_1 - m_2| = \sqrt{\left(\frac{2 \tan \theta}{\sin^2 \theta}\right)^2 - 4(\sec^2 \theta \csc^2 \theta - 1)} = 2$.

(A) दिया गया समीकरण $x^2 - y^2 - x - \lambda y - 2 = 0$ है।
इसे सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर:
$a = 1, b = -1, c = -2, h = 0, g = -\frac{1}{2}, f = -\frac{\lambda}{2}$ प्राप्त होता है।
सरल रेखाओं के युग्म के लिए शर्त $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ है।
मान रखने पर:
$(1)(-1)(-2) + 2(-\frac{\lambda}{2})(-\frac{1}{2})(0) - (1)(-\frac{\lambda}{2})^2 - (-1)(-\frac{1}{2})^2 - (-2)(0)^2 = 0$.
$2 + 0 - \frac{\lambda^2}{4} + \frac{1}{4} = 0$.
$2 + \frac{1}{4} = \frac{\lambda^2}{4}$.
$\frac{9}{4} = \frac{\lambda^2}{4}$.
$\lambda^2 = 9 \Rightarrow \lambda = \pm 3$.

(B) दिया गया समीकरण $ax^2 - y^2 + 4x - y = 0$ है।
इसे सामान्य द्विघात समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A = a, B = -1, H = 0, G = 2, F = -\frac{1}{2}, C = 0$.
समीकरण द्वारा रेखाओं के युग्म को निरूपित करने के लिए शर्त $ABC + 2FGH - AF^2 - BG^2 - CH^2 = 0$ है।
मान रखने पर:
$(a)(-1)(0) + 2(-\frac{1}{2})(2)(0) - a(-\frac{1}{2})^2 - (-1)(2)^2 - (0)(0)^2 = 0$.
$0 + 0 - \frac{a}{4} + 4 = 0$.
$\frac{a}{4} = 4$.
$a = 16$.

(A) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $6x^2 - xy + 4cy^2 = 0$ $(i)$ है।
रेखा $3x + 4y = 0$ की ढाल $m_1 = -\frac{3}{4}$ है।
समघातीय समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के लिए,ढालों का गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ होता है।
यहाँ,$a = 6$,$2h = -1$,और $b = 4c$ है। अतः,$m_1 m_2 = \frac{6}{4c} = \frac{3}{2c}$ है।
$m_1 = -\frac{3}{4}$ रखने पर,$(-\frac{3}{4}) m_2 = \frac{3}{2c}$,जिसका अर्थ है $m_2 = -\frac{2}{c}$।
ढालों का योग $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{-1}{4c} = \frac{1}{4c}$ होता है।
$m_1$ और $m_2$ के मान रखने पर: $-\frac{3}{4} - \frac{2}{c} = \frac{1}{4c}$।
$4c$ से गुणा करने पर,$-3c - 8 = 1$ प्राप्त होता है।
$-3c = 9$,इसलिए $c = -3$।

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण ${x^2} - 2cxy - 7{y^2} = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 1$,$2h = -2c$,और $b = -7$ प्राप्त होता है।
माना रेखाओं के ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं।
ढालों का योग $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{-2c}{-7} = -\frac{2c}{7}$ है।
ढालों का गुणनफल $m_1m_2 = \frac{a}{b} = \frac{1}{-7} = -\frac{1}{7}$ है।
प्रश्न के अनुसार,ढालों का योग उनके गुणनफल का चार गुना है:
$m_1 + m_2 = 4(m_1m_2)$
$-\frac{2c}{7} = 4 \times (-\frac{1}{7})$
$-\frac{2c}{7} = -\frac{4}{7}$
$2c = 4$
$c = 2$.

(B) दिया गया समीकरण $ax^2 - bxy - y^2 = 0$ है।
माना रेखाओं की ढाल $m_1 = \tan \alpha$ और $m_2 = \tan \beta$ है।
समीकरण की तुलना $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ से करने पर,$A = a$,$2H = -b$,और $B = -1$ प्राप्त होता है।
सरल रेखाओं के युग्म के गुणों से,ढालों का योग $m_1 + m_2 = -\frac{2H}{B} = -\frac{-b}{-1} = -b$ है।
ढालों का गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{A}{B} = \frac{a}{-1} = -a$ है।
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{m_1 + m_2}{1 - m_1 m_2}$ सूत्र का उपयोग करने पर।
मान रखने पर,$\tan(\alpha + \beta) = \frac{-b}{1 - (-a)} = \frac{-b}{1 + a}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $xy + y = 0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $y(x + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि दो रेखाएँ $y = 0$ और $x = -1$ हैं।
रेखा $y = 0$ $x$-अक्ष है,जो $y$-अक्ष के लंबवत है,इसलिए यह $y$-अक्ष के साथ $90^o$ का कोण बनाती है।
रेखा $x = -1$ $y$-अक्ष के समानांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,इसलिए यह $y$-अक्ष के साथ $0^o$ का कोण बनाती है।
अतः,कोण $0^o$ और $90^o$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण $2x^2 - 3xy + y^2 = 0$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $2 - 3(\frac{y}{x}) + (\frac{y}{x})^2 = 0$ प्राप्त होता है।
माना $m = \frac{y}{x} = \tan \theta$ है। तब $m^2 - 3m + 2 = 0$ है।
रेखाओं की ढाल $m_1 = \tan \alpha$ और $m_2 = \tan \beta$ हैं।
द्विघात समीकरण से,मूलों का योग $m_1 + m_2 = 3$ और मूलों का गुणनफल $m_1 m_2 = 2$ है।
हमें $\cot^2 \alpha + \cot^2 \beta = \frac{1}{m_1^2} + \frac{1}{m_2^2} = \frac{m_1^2 + m_2^2}{(m_1 m_2)^2}$ ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $m_1^2 + m_2^2 = (m_1 + m_2)^2 - 2m_1 m_2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(m_1 + m_2)^2 - 2m_1 m_2}{(m_1 m_2)^2} = \frac{(3)^2 - 2(2)}{(2)^2} = \frac{9 - 4}{4} = \frac{5}{4}$.

(D) दिया गया समीकरण $x^2 - 2xy \tan A - y^2 = 0$ है।
इसे व्यापक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1$,$2h = -2 \tan A$,और $b = -1$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है।
ढालों का योग $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$m_1 + m_2 = -\frac{-2 \tan A}{-1} = -2 \tan A$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि ढालों का योग $4$ है,इसलिए $-2 \tan A = 4$ है।
अतः,$\tan A = -2$,जिसका अर्थ है कि $A = \tan^{-1}(-2)$।

(C) दिया गया समीकरण तीसरे घात का समघातीय समीकरण है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली तीन सीधी रेखाओं को दर्शाता है।
माना तीन रेखाएं $L_1, L_2, L_3$ हैं। मान लीजिए $L_1$ और $L_2$ लंबवत हैं।
मूल बिंदु से गुजरने वाली लंबवत रेखाओं के युग्म का समीकरण $x^2 + pxy - y^2 = 0$ के रूप में होता है।
अतः,हम घन समीकरण को $(x^2 + pxy - y^2)(ax - dy) = 0$ के रूप में लिख सकते हैं।
गुणांकों की तुलना करने पर:
$b = ap - d$ और $c = -a - dp$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों को हल करने पर हमें $a^2 + ac + bd + d^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ मूल बिंदु से गुजरने वाली दो रेखाओं को दर्शाता है।
मान लीजिए कि दोनों रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं।
हम जानते हैं कि $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ और $m_1m_2 = \frac{a}{b}$।
निर्देशांक अक्षों के बीच के कोणों के समद्विभाजक $y = x$ और $y = -x$ रेखाएं हैं,जिनकी ढाल क्रमशः $1$ और $-1$ है।
स्थिति $1$: मान लीजिए $m_1 = 1$ है। तब $m_2 = \frac{a}{b}$।
$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ से,हमें $1 + \frac{a}{b} = -\frac{2h}{b}$ $\Rightarrow \frac{a+b}{b} = -\frac{2h}{b}$ $\Rightarrow a+b = -2h$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(a+b)^2 = 4h^2$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: मान लीजिए $m_1 = -1$ है। तब $m_2 = -\frac{a}{b}$।
$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ से,हमें $-1 - \frac{a}{b} = -\frac{2h}{b}$ $\Rightarrow \frac{a+b}{b} = \frac{2h}{b}$ $\Rightarrow a+b = 2h$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(a+b)^2 = 4h^2$ प्राप्त होता है।
अतः,दोनों स्थितियों में,शर्त $(a+b)^2 = 4h^2$ है।

(A) माना मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का समीकरण $y = mx$ है।
चूंकि बिंदु $({x_1}, {y_1})$ से रेखा $mx - y = 0$ पर लंबवत दूरी $d$ है,इसलिए:
$\frac{|m{x_1} - {y_1}|}{\sqrt{{m^2} + 1}} = d$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(m{x_1} - {y_1})^2 = {d^2}({m^2} + 1)$
चूंकि $m = \frac{y}{x}$,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{y}{x}{x_1} - {y_1})^2 = {d^2}((\frac{y}{x})^2 + 1)$
${x^2}$ से गुणा करने पर:
$(y{x_1} - x{y_1})^2 = {d^2}({y^2} + {x^2})$
अतः,अभीष्ट समीकरण $(x{y_1} - y{x_1})^2 = {d^2}({x^2} + {y^2})$ है।

(D) सरल रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से इन रेखाओं पर डाले गए लंबों का गुणनफल $\frac{|c|}{\sqrt{(a-b)^2 + 4h^2}}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।

(D) मूल बिंदु से गुजरने वाली कोई भी रेखा $y = mx$ है। यदि यह रेखा $y = x$ (जिसकी ढाल $m_1 = 1$ है) के साथ $\alpha$ कोण बनाती है,तो उनके बीच का कोण $\tan \alpha = \left| \frac{m - 1}{1 + m(1)} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\tan^2 \alpha = \frac{(m - 1)^2}{(m + 1)^2}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $(m + 1)^2 \tan^2 \alpha = (m - 1)^2$ हो जाता है।
विस्तार करने पर,हमें $(m^2 + 2m + 1) \tan^2 \alpha = m^2 - 2m + 1$ प्राप्त होता है।
$m$ में द्विघात समीकरण बनाने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $m^2(1 - \tan^2 \alpha) - 2m(1 + \tan^2 \alpha) + (1 - \tan^2 \alpha) = 0$।
$(1 - \tan^2 \alpha)$ से विभाजित करने पर,हमें $m^2 - 2m \left( \frac{1 + \tan^2 \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} \right) + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{1 + \tan^2 \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = \sec 2\alpha$,समीकरण $m^2 - 2m \sec 2\alpha + 1 = 0$ बन जाता है।
$m = \frac{y}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\left( \frac{y}{x} \right)^2 - 2 \left( \frac{y}{x} \right) \sec 2\alpha + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$x^2$ से गुणा करने पर,हमें अभीष्ट समीकरण $y^2 - 2xy \sec 2\alpha + x^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण ${y^2} - {x^2} + 2x - 1 = 0$ है।
दिए गए समीकरण की तुलना सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = -1, h = 0, b = 1, g = 1, f = 0, c = -1$.
समीकरण के दो सरल रेखाओं का युग्म होने की शर्त सारणिक $\Delta = 0$ है,जहाँ $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2$ है।
मान रखने पर:
$\Delta = (-1)(1)(-1) + 2(0)(1)(0) - (-1)(0)^2 - (1)(1)^2 - (-1)(0)^2$
$\Delta = 1 + 0 - 0 - 1 - 0 = 0$.
चूँकि $\Delta = 0$ है,इसलिए यह समीकरण दो सरल रेखाओं का युग्म दर्शाता है।

(B) द्विघात समीकरण का व्यापक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
समीकरण $y^2 + 2xy + 2x + my - 3 = 0$ की तुलना करने पर:
$a = 0, b = 1, h = 1, g = 1, f = m/2, c = -3$ प्राप्त होता है।
समीकरण के दो रैखिक गुणनखंड होने के लिए सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए:
$\Delta = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & m/2 \\ 1 & m/2 & -3 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$0 - (-3 - m/2) + (m/2 - 1) = 0$
$3 + m/2 + m/2 - 1 = 0$
$m + 2 = 0$
$m = -2$

(A) द्विघात समीकरण का व्यापक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिए गए समीकरण $\lambda x^2 - 10xy + 12y^2 + 5x - 16y - 3 = 0$ के साथ तुलना करने पर:
$a = \lambda, h = -5, b = 12, g = 5/2, f = -8, c = -3$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के लिए शर्त $\Delta = \begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} = 0$ है।
सारणिक का मान रखने पर:
$\begin{vmatrix} \lambda & -5 & 5/2 \\ -5 & 12 & -8 \\ 5/2 & -8 & -3 \end{vmatrix} = 0$
$\lambda(-36 - 64) + 5(15 + 20) + (5/2)(40 - 30) = 0$
$-100\lambda + 175 + 25 = 0$
$-100\lambda + 200 = 0$
$\lambda = 2$.

(B) प्रथम चतुर्थांश में निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण को समद्विभाजित करने वाली रेखा $y = x$ है।
चूंकि यह रेखा $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के युग्म का एक हिस्सा है,इसलिए इसे समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।
समीकरण में $y = x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $ax^2 + 2h(x)(x) + b(x^2) = 0$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $x^2(a + 2h + b) = 0$ हो जाता है।
सभी $x$ के लिए इसे सत्य होने हेतु,$a + 2h + b = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $a + b = -2h$।

(A) द्विघात समीकरण का व्यापक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिए गए समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + 1 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1, b = 1, h = 0, c = 1$ प्राप्त होता है।
सरल रेखाओं के युग्म को निरूपित करने की शर्त $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ है।
मान रखने पर: $(1)(1)(1) + 2(f)(g)(0) - (1)(f^2) - (1)(g^2) - (1)(0)^2 = 0$।
यह $1 - f^2 - g^2 = 0$ में सरल हो जाता है।
अतः,$f^2 + g^2 = 1$।

(C) द्विघात समीकरण का सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिए गए समीकरण $kx^2 - 10xy + 12y^2 + 5x - 16y - 3 = 0$ के साथ तुलना करने पर,$a = k, h = -5, b = 12, g = 5/2, f = -8, c = -3$ प्राप्त होता है।
सरल रेखाओं के युग्म को दर्शाने के लिए शर्त $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ है।
मान रखने पर: $k(12)(-3) + 2(-8)(5/2)(-5) - k(-8)^2 - 12(5/2)^2 - (-3)(-5)^2 = 0$.
$-36k + 200 - 64k - 75 + 75 = 0$.
$-100k + 200 = 0$.
$100k = 200$.
$k = 2$.

(B) दिया गया समीकरण $4x^2 + 2hxy - 7y^2 = 0$ है।
इसे व्यापक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 4$,$2h = 2h$,और $b = -7$ प्राप्त होता है।
माना रेखाओं की प्रवणताएँ $m_1$ और $m_2$ हैं।
तब,$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{2h}{-7} = \frac{2h}{7}$ और $m_1m_2 = \frac{a}{b} = \frac{4}{-7} = -\frac{4}{7}$ है।
दिया गया है कि प्रवणताओं का योग और गुणनफल समान है,अर्थात $m_1 + m_2 = m_1m_2$ है।
इसलिए,$\frac{2h}{7} = -\frac{4}{7}$।
दोनों पक्षों को $7$ से गुणा करने पर,$2h = -4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h = -2$।

(C) माना रेखाओं की ढाल $m_1 = m$ और $m_2 = 3m$ है।
समीकरण $ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ से,ढालों का योग $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ और ढालों का गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ है।
मान रखने पर: $m + 3m = 4m = -\frac{2h}{b} \implies m = -\frac{h}{2b}$.
साथ ही,$m \times 3m = 3m^2 = \frac{a}{b}$ है।
$m = -\frac{h}{2b}$ को गुणनफल समीकरण में रखने पर: $3(-\frac{h}{2b})^2 = \frac{a}{b} \implies 3(\frac{h^2}{4b^2}) = \frac{a}{b}$।
सरल करने पर,$\frac{3h^2}{4b^2} = \frac{a}{b} \implies \frac{h^2}{ab} = \frac{4}{3}$।
अतः,$h^2 : ab = 4 : 3$ या $\frac{4}{3}$।

(B) मान लीजिए रेखा $PQ$ और $PR$ की ढाल $m_1$ और $m_2$ है। चूँकि $\angle P = 90^\circ$ है,इसलिए $m_1 m_2 = -1$ है। साथ ही,चूँकि यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है,$PQ$ और $QR$ के बीच का कोण $45^\circ$ है। $QR$ की ढाल $m = -2$ है।
सूत्र $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = 45^\circ$:
$1 = |\frac{m_1 - (-2)}{1 + m_1(-2)}| = |\frac{m_1 + 2}{1 - 2m_1}|$
$(1 - 2m_1)^2 = (m_1 + 2)^2$
$1 - 4m_1 + 4m_1^2 = m_1^2 + 4m_1 + 4$
$3m_1^2 - 8m_1 - 3 = 0$
$(3m_1 + 1)(m_1 - 3) = 0$
अतः,$m_1 = 3$ या $m_1 = -1/3$ है। चूँकि $m_1 m_2 = -1$ है,ढाल $3$ और $-1/3$ हैं।
$P(2, 1)$ से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण $y - 1 = 3(x - 2)$ और $y - 1 = -1/3(x - 2)$ हैं।
$(y - 3x + 5)(3y - 3 + x - 2) = 0$
$(y - 3x + 5)(3y + x - 5) = 0$
$3x^2 - 3y^2 + 8xy - 20x - 10y + 25 = 0$.

(C) द्विघात समीकरण $ax^{2} + 2hxy + by^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ सरल रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है यदि $abc + 2fgh - af^{2} - bg^{2} - ch^{2} = 0$ हो।
दिए गए समीकरण $\lambda x^{2} - 5xy + 2y^{2} + 5x - 7y + 3 = 0$ की तुलना मानक रूप से करने पर:
$a = \lambda, b = 2, c = 3, h = -5/2, g = 5/2, f = -7/2$।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$\lambda(2)(3) + 2(-7/2)(5/2)(-5/2) - \lambda(-7/2)^{2} - 2(5/2)^{2} - 3(-5/2)^{2} = 0$
$6\lambda + 175/4 - 49\lambda/4 - 25/2 - 75/4 = 0$
$4$ से गुणा करने पर:
$24\lambda + 175 - 49\lambda - 50 - 75 = 0$
$-25\lambda + 50 = 0$
$25\lambda = 50 \implies \lambda = 2$.

(A) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $5x^2 - 7xy - 3y^2 = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 5$,$2h = -7$ और $b = -3$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु से गुजरने वाली और $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ पर लंब रेखाओं के युग्म का समीकरण $bx^2 - 2hxy + ay^2 = 0$ होता है।
मान रखने पर: $-3x^2 - (-7)xy + 5y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
पूरे समीकरण को $-1$ से गुणा करने पर,हमें $3x^2 - 7xy - 5y^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $x^2 - 3y^2 = 0$ है,जिसे $x^2 = 3y^2$ या $x = \pm \sqrt{3}y$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली दो रेखाओं को दर्शाता है: $L_1: x - \sqrt{3}y = 0$ और $L_2: x + \sqrt{3}y = 0$।
तीसरी रेखा $x = a$ है।
त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम प्रतिच्छेदन बिंदु निकालते हैं:
$1$. $L_1$ और $x = a$ का प्रतिच्छेदन: $a = \sqrt{3}y \implies y = \frac{a}{\sqrt{3}}$। बिंदु $P = (a, \frac{a}{\sqrt{3}})$।
$2$. $L_2$ और $x = a$ का प्रतिच्छेदन: $a = -\sqrt{3}y \implies y = -\frac{a}{\sqrt{3}}$। बिंदु $Q = (a, -\frac{a}{\sqrt{3}})$।
$3$. $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन: मूल बिंदु $O = (0, 0)$।
भुजाओं की लंबाई:
$PQ = \frac{2|a|}{\sqrt{3}}$,$OP = \frac{2|a|}{\sqrt{3}}$,$OQ = \frac{2|a|}{\sqrt{3}}$।
चूंकि सभी भुजाएं समान हैं,इसलिए त्रिभुज समबाहु है।

(C) द्विघात समीकरण का व्यापक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिए गए समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + 1 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 1, b = 1, c = 1, h = 0$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के लिए शर्त $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ है।
मान रखने पर,$(1 \times 1 \times 1) + (2 \times f \times g \times 0) - (1 \times f^2) - (1 \times g^2) - (1 \times 0^2) = 0$ प्राप्त होता है।
यह $1 - f^2 - g^2 = 0$ में सरल हो जाता है।
अतः,$f^2 + g^2 = 1$।

(C) दिया गया समीकरण $4x^2 - 9xy - 9y^2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर:
$4x^2 - 12xy + 3xy - 9y^2 = 0$
$4x(x - 3y) + 3y(x - 3y) = 0$
$(4x + 3y)(x - 3y) = 0$.
अतः,दो रेखाएँ $L_1: 4x + 3y = 0$ और $L_2: x - 3y = 0$ हैं।
तीसरी रेखा $L_3: x = 2$ है।
त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए:
$1$. $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन: $(0, 0)$.
$2$. $L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $x = 2$ रखने पर,$y = -8/3$. शीर्ष $(2, -8/3)$ है।
$3$. $L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $x = 2$ रखने पर,$y = 2/3$. शीर्ष $(2, 2/3)$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0 + 2(-8/3) + 2(-2/3)| = \frac{1}{2} |-16/3 - 4/3| = 10/3$.

(A) दिया गया समीकरण $y^3 - 3xy^2m + 3x^2y(-1) - mx^3 = 0$ है।
$x^3$ से भाग देने पर,हमें $(y/x)^3 - 3m(y/x)^2 - 3(y/x) - m = 0$ प्राप्त होता है।
माना $t = y/x = \tan \theta$ है। तब $t^3 - 3mt^2 - 3t - m = 0$।
यह $t$ में एक त्रिघात समीकरण है।
यदि हम $t = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करते हैं,तो यह समीकरण तीन रेखाओं $y = t_1x, y = t_2x, y = t_3x$ को दर्शाता है।
यह दिखाया जा सकता है कि इन रेखाओं के बीच के कोण $\pi/3$ या $60^\circ$ हैं।
अतः,रेखाएँ एक-दूसरे पर समान रूप से झुकी हुई हैं।

(B) दी गई रेखाओं के युग्म का समीकरण $12x^2 - 7xy - 12y^2 = 0$ है।
इस समीकरण का गुणनखंड करने पर $(4x + 3y)(3x - 4y) = 0$ प्राप्त होता है।
विकल्पों के आधार पर,सही उत्तर $38x - 41y = 0$ है।

(D) दिया गया समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $b(y/x)^2 + 2h(y/x) + a = 0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $m_1$ और $m_2$ रेखाओं की ढाल हैं,इसलिए $m_1 + m_2 = -2h/b$ और $m_1m_2 = a/b$ है।
रेखा $y = 0$ ($x$-अक्ष) में रेखा $y = mx$ का प्रतिबिंब $y = -mx$ है।
अतः,नई ढाल $-m_1$ और $-m_2$ हैं।
नया समीकरण $(y - (-m_1)x)(y - (-m_2)x) = 0$ है,जो $(y + m_1x)(y + m_2x) = 0$ हो जाता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $y^2 + (m_1 + m_2)xy + m_1m_2x^2 = 0$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$y^2 - (2h/b)xy + (a/b)x^2 = 0$।
$b$ से गुणा करने पर,हमें $by^2 - 2hxy + ax^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो $ax^2 - 2hxy + by^2 = 0$ है।

(A) दिया गया समीकरण $2x^2 - xy - y^2 = 0$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर $m = \frac{y}{x}$ के लिए:
$2 - m - m^2 = 0 \implies m^2 + m - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
यदि दी गई रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है,तो लंब रेखाओं की ढाल $-\frac{1}{m_1}$ और $-\frac{1}{m_2}$ होगी।
समीकरण में $m$ को $-\frac{1}{m}$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$2 - (-\frac{1}{m}) - (-\frac{1}{m})^2 = 0$
$2 + \frac{1}{m} - \frac{1}{m^2} = 0$
$m^2$ से गुणा करने पर:
$2m^2 + m - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$m = \frac{y}{x}$ रखने पर:
$2(\frac{y}{x})^2 + \frac{y}{x} - 1 = 0$
$2y^2 + xy - x^2 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर $x^2 - xy - 2y^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना बिंदु $P(x, y)$ है।
दिया गया है कि $P$ की मूल बिंदु $O(0, 0)$ से दूरी,रेखा $2x - y = 0$ से उसकी दूरी की तीन गुनी है।
अतः,$OP = 3 \times PM$,जहाँ $PM$ बिंदु $P$ से रेखा $2x - y = 0$ पर लंबवत दूरी है।
$\sqrt{x^2 + y^2} = 3 \frac{|2x - y|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}$
$\sqrt{x^2 + y^2} = 3 \frac{|2x - y|}{\sqrt{5}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^2 + y^2 = \frac{9(2x - y)^2}{5}$
$5(x^2 + y^2) = 9(4x^2 + y^2 - 4xy)$
$5x^2 + 5y^2 = 36x^2 + 9y^2 - 36xy$
$31x^2 + 4y^2 - 36xy = 0$
यह $x$ और $y$ में द्वितीय घात का समघात समीकरण है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है।
वैकल्पिक रूप से,चूंकि नाभि $(0, 0)$ नियता $y = 2x$ पर स्थित है,इसलिए शांकव परिच्छेद सीधी रेखाओं के एक युग्म में बदल जाता है।

(C) समीकरण $y = |x - 1|$ दो किरणों को दर्शाता है: $x \ge 1$ के लिए $y = x - 1$ और $x < 1$ के लिए $y = 1 - x$ है।
$y$-अक्ष में इन रेखाओं का प्रतिबिंब ज्ञात करने के लिए,हम $x$ को $-x$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
रेखा $y = x - 1$ के लिए,प्रतिबिंब $y = -x - 1$ है,जिसे $x + y + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $y = 1 - x$ के लिए,प्रतिबिंब $y = 1 - (-x)$ है,जो $y = x + 1$ या $x - y + 1 = 0$ है।
इन दो रेखाओं का संयुक्त समीकरण $(x + y + 1)(x - y + 1) = 0$ है।
यह सरल होकर $((x + 1) + y)((x + 1) - y) = 0$ हो जाता है।
सर्वसमिका $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर,हमें $(x + 1)^2 - y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 + 2x + 1 - y^2 = 0$ या $x^2 - y^2 + 2x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $x^2 - 4xy - y^2 = 0$ है। $x^2$ से विभाजित करने पर,$1 - 4(\frac{y}{x}) - (\frac{y}{x})^2 = 0$ प्राप्त होता है। मान लीजिए $m = \tan \theta = \frac{y}{x}$ है।
अतः $m^2 + 4m - 1 = 0$ है।
मूल $m_1 = \tan \theta_1$ और $m_2 = \tan \theta_2$ हैं।
द्विघात समीकरण से,$m_1 + m_2 = -4$ और $m_1 m_2 = -1$ है।
सूत्र $\tan(\theta_1 + \theta_2) = \frac{\tan \theta_1 + \tan \theta_2}{1 - \tan \theta_1 \tan \theta_2} = \frac{-4}{1 - (-1)} = \frac{-4}{2} = -2$ का उपयोग करने पर।
अतः $\sec^2(\theta_1 + \theta_2) = 1 + \tan^2(\theta_1 + \theta_2) = 1 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$ है।
अब,$|\frac{1}{\tan \theta_1} + \frac{1}{\tan \theta_2}| = |\frac{\tan \theta_1 + \tan \theta_2}{\tan \theta_1 \tan \theta_2}| = |\frac{-4}{-1}| = |4| = 4$ है।
अभीष्ट मान $5 + 4 = 9$ है।

(C) दिया गया समीकरण $x^3 + (2y)^3 + (-4)^3 - 3(x)(2y)(-4) = 0$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$ का उपयोग करने पर:
$(x + 2y - 4)(x^2 + 4y^2 + 16 - 2xy + 8y + 4x) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $x + 2y - 4 = 0$ या $x^2 + 4y^2 - 2xy + 4x + 8y + 16 = 0$।
समीकरण $x + 2y - 4 = 0$ एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
दूसरा भाग $x^2 - 2xy + 4y^2 + 4x + 8y + 16 = 0$ को $\frac{1}{2}[(x-y)^2 + (x+2)^2 + (2y+2)^2 + 8] = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो एक बिंदु $(-4, -2)$ को दर्शाता है।

(A) दिया गया समीकरण: $x^2+2x \sin(xy)+1=0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $x^2+2x \sin(xy)+\sin^2(xy)+1-\sin^2(xy)=0$
सरल करने पर: $(x+\sin(xy))^2+\cos^2(xy)=0$
चूंकि दो वर्गों का योग शून्य है,इसलिए प्रत्येक पद शून्य होना चाहिए:
$(x+\sin(xy))^2=0 \Rightarrow x+\sin(xy)=0$
$\cos^2(xy)=0 \Rightarrow \cos(xy)=0$
$\cos(xy)=0$ से,$xy = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
$x+\sin(xy)=0$ में $\sin(xy) = \pm 1$ रखने पर,$x = \mp 1$ प्राप्त होता है।
यदि $\sin(xy)=1$,तो $x=-1$। चूँकि $xy = (2n+1)\frac{\pi}{2}$,इसलिए $y = -(2n+1)\frac{\pi}{2}$।
यदि $\sin(xy)=-1$,तो $x=1$। चूँकि $xy = (2n+1)\frac{\pi}{2}$,इसलिए $y = (2n+1)\frac{\pi}{2}$।
ये सरल रेखाओं के एक युग्म $x=1$ और $x=-1$ को दर्शाते हैं।

(A) रेखाओं $x+2y+7=0$ और $2x-y+8=0$ से समान दूरी पर स्थित बिंदु $P(x, y)$ का बिंदुपथ इन रेखाओं के कोण समद्विभाजक हैं।
दूरी को बराबर करने पर:
$\frac{|x+2y+7|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{|2x-y+8|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}$
$|x+2y+7| = |2x-y+8|$
$(x+2y+7)^2 - (2x-y+8)^2 = 0$
$(x-3y+1)(3x+y+15) = 0$
$3x^2 - 3y^2 - 8xy + 18x - 44y + 15 = 0$
$x^2 - y^2 - \frac{8}{3}xy + 6x - \frac{44}{3}y + 5 = 0$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$h = -\frac{4}{3}, g = 3, f = -\frac{22}{3}, c = 5$
$g+c+h-f = 3 + 5 - \frac{4}{3} + \frac{22}{3} = 8 + 6 = 14$.