અ Gujarati
Properties of binomial coefficients Questions in Gujarati
Class 11 Mathematics · Binomial Theorem · Properties of binomial coefficients
156+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 156 questions in Gujarati
51
AdvancedMCQ
જો $n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોય કે જેથી $n \ge 3$,તો શ્રેણી $1 \cdot n - \frac{(n - 1)}{1!} (n - 1) + \frac{(n - 1)(n - 2)}{2!} (n - 2) - \frac{(n - 1)(n - 2)(n - 3)}{3!} (n - 3) + \dots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?
A
$0$
B
$1$
C
$-1$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(A) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r \binom{n-1}{r} (n-r)$ છે.
આને $S = n \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r \binom{n-1}{r} - \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r r \binom{n-1}{r}$ તરીકે લખી શકાય.
પ્રથમ ભાગ માટે,$\sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r \binom{n-1}{r} = (1-1)^{n-1} = 0$ થાય છે,જ્યાં $n \ge 2$.
બીજા ભાગ માટે,$r \binom{n-1}{r} = (n-1) \binom{n-2}{r-1}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\sum_{r=1}^{n-1} (-1)^r (n-1) \binom{n-2}{r-1} = -(n-1) (1-1)^{n-2}$.
$n > 2$ માટે,$(1-1)^{n-2} = 0$,તેથી સરવાળો $0$ થાય છે.
આને $S = n \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r \binom{n-1}{r} - \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r r \binom{n-1}{r}$ તરીકે લખી શકાય.
પ્રથમ ભાગ માટે,$\sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r \binom{n-1}{r} = (1-1)^{n-1} = 0$ થાય છે,જ્યાં $n \ge 2$.
બીજા ભાગ માટે,$r \binom{n-1}{r} = (n-1) \binom{n-2}{r-1}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\sum_{r=1}^{n-1} (-1)^r (n-1) \binom{n-2}{r-1} = -(n-1) (1-1)^{n-2}$.
$n > 2$ માટે,$(1-1)^{n-2} = 0$,તેથી સરવાળો $0$ થાય છે.
0 likes
View Solution52
AdvancedMCQ
શ્રેણી $aC_0 + (a + b)C_1 + (a + 2b)C_2 + \dots + (a + nb)C_n$ નો સરવાળો શું થાય,જ્યાં $C_r$ એ $(1 + x)^n, n \in N$ ના વિસ્તરણમાં સંચયી સહગુણક દર્શાવે છે?
A
$(a + 2nb)2^n$
B
$(2a + nb)2^n$
C
$(a + nb)2^{n - 1}$
D
$(2a + nb)2^{n - 1}$
Solution
(D) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{r=0}^{n} (a + rb)C_r$ છે.
આને બે ભાગમાં વહેંચી શકાય છે:
$S = a \sum_{r=0}^{n} C_r + b \sum_{r=0}^{n} r C_r$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^{n} C_r = 2^n$ અને $\sum_{r=0}^{n} r C_r = n 2^{n-1}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$S = a(2^n) + b(n 2^{n-1})$.
$2^{n-1}$ સામાન્ય લેતા:
$S = 2a(2^{n-1}) + bn(2^{n-1})$.
$S = (2a + nb) 2^{n-1}$.
આને બે ભાગમાં વહેંચી શકાય છે:
$S = a \sum_{r=0}^{n} C_r + b \sum_{r=0}^{n} r C_r$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^{n} C_r = 2^n$ અને $\sum_{r=0}^{n} r C_r = n 2^{n-1}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$S = a(2^n) + b(n 2^{n-1})$.
$2^{n-1}$ સામાન્ય લેતા:
$S = 2a(2^{n-1}) + bn(2^{n-1})$.
$S = (2a + nb) 2^{n-1}$.
0 likes
View Solution53
AdvancedMCQ
જો $^{2017}C_0 + ^{2017}C_1 + ^{2017}C_2 + ...... + ^{2017}C_{1008} = \lambda^2$ જ્યાં $\lambda > 0$ હોય,તો $\lambda$ ને $33$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધો:
A
$8$
B
$13$
C
$17$
D
$25$
Solution
(D) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $\sum_{r=0}^{n} {^{n}C_r} = 2^n$ થાય છે.
$n = 2017$ માટે,સરવાળો $\sum_{r=0}^{2017} {^{2017}C_r} = 2^{2017}$ છે.
કારણ કે $^{2017}C_r = ^{2017}C_{2017-r}$,તેથી $\sum_{r=0}^{1008} {^{2017}C_r} = \frac{1}{2} \times 2^{2017} = 2^{2016}$ મળે.
આપેલ છે કે $2^{2016} = \lambda^2$,તેથી $\lambda = \sqrt{2^{2016}} = 2^{1008}$ મળે.
$\lambda = 2^{1008}$ ને $33$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવા માટે,મોડ્યુલર અંકગણિતનો ઉપયોગ કરીએ:
$2^5 = 32 \equiv -1 \pmod{33}$.
તેથી $\lambda = 2^{1008} = (2^5)^{201} \times 2^3$.
$\lambda \equiv (-1)^{201} \times 8 \pmod{33}$.
$\lambda \equiv -1 \times 8 \pmod{33} = -8 \pmod{33}$.
$-8 + 33 = 25$.
આમ,શેષ $25$ છે.
$n = 2017$ માટે,સરવાળો $\sum_{r=0}^{2017} {^{2017}C_r} = 2^{2017}$ છે.
કારણ કે $^{2017}C_r = ^{2017}C_{2017-r}$,તેથી $\sum_{r=0}^{1008} {^{2017}C_r} = \frac{1}{2} \times 2^{2017} = 2^{2016}$ મળે.
આપેલ છે કે $2^{2016} = \lambda^2$,તેથી $\lambda = \sqrt{2^{2016}} = 2^{1008}$ મળે.
$\lambda = 2^{1008}$ ને $33$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવા માટે,મોડ્યુલર અંકગણિતનો ઉપયોગ કરીએ:
$2^5 = 32 \equiv -1 \pmod{33}$.
તેથી $\lambda = 2^{1008} = (2^5)^{201} \times 2^3$.
$\lambda \equiv (-1)^{201} \times 8 \pmod{33}$.
$\lambda \equiv -1 \times 8 \pmod{33} = -8 \pmod{33}$.
$-8 + 33 = 25$.
આમ,શેષ $25$ છે.
0 likes
View Solution54
AdvancedMCQ
જો $(1 + x + x^2)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{2n}x^{2n}$ હોય,તો $a_0 + a_3 + a_6 + \dots =$
A
$3^n$
B
$3^{n-1}$
C
$3^{n-2}$
D
$3$
Solution
(B) આપેલ વિસ્તરણ: $(1 + x + x^2)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{2n}x^{2n}$.
ધારો કે $f(x) = (1 + x + x^2)^n = \sum_{r=0}^{2n} a_r x^r$.
$a_0 + a_3 + a_6 + \dots$ નો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે એકમના ઘનમૂળના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,જેથી $1 + \omega + \omega^2 = 0$ અને $\omega^3 = 1$.
$x = 1, \omega, \omega^2$ માટે $f(x)$ ની કિંમત શોધતા:
$f(1) = (1 + 1 + 1)^n = 3^n = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{2n}$
$f(\omega) = (1 + \omega + \omega^2)^n = 0^n = 0 = a_0 + a_1\omega + a_2\omega^2 + a_3 + a_4\omega + a_5\omega^2 + \dots$
$f(\omega^2) = (1 + \omega^2 + \omega^4)^n = (1 + \omega^2 + \omega)^n = 0^n = 0 = a_0 + a_1\omega^2 + a_2\omega + a_3 + a_4\omega^2 + a_5\omega + \dots$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$f(1) + f(\omega) + f(\omega^2) = 3^n + 0 + 0 = 3(a_0 + a_3 + a_6 + \dots)$
તેથી,$a_0 + a_3 + a_6 + \dots = \frac{3^n}{3} = 3^{n-1}$.
ધારો કે $f(x) = (1 + x + x^2)^n = \sum_{r=0}^{2n} a_r x^r$.
$a_0 + a_3 + a_6 + \dots$ નો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે એકમના ઘનમૂળના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,જેથી $1 + \omega + \omega^2 = 0$ અને $\omega^3 = 1$.
$x = 1, \omega, \omega^2$ માટે $f(x)$ ની કિંમત શોધતા:
$f(1) = (1 + 1 + 1)^n = 3^n = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{2n}$
$f(\omega) = (1 + \omega + \omega^2)^n = 0^n = 0 = a_0 + a_1\omega + a_2\omega^2 + a_3 + a_4\omega + a_5\omega^2 + \dots$
$f(\omega^2) = (1 + \omega^2 + \omega^4)^n = (1 + \omega^2 + \omega)^n = 0^n = 0 = a_0 + a_1\omega^2 + a_2\omega + a_3 + a_4\omega^2 + a_5\omega + \dots$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$f(1) + f(\omega) + f(\omega^2) = 3^n + 0 + 0 = 3(a_0 + a_3 + a_6 + \dots)$
તેથી,$a_0 + a_3 + a_6 + \dots = \frac{3^n}{3} = 3^{n-1}$.
0 likes
View Solution55
AdvancedMCQ
જો $(1 - x + x^2)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{2n}x^{2n}$ હોય,તો $a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{2n}$ ની કિંમત શોધો.
A
$\frac{1}{2} (3^n + 1)$
B
$\frac{1}{2} (3^n - 1)$
C
$\frac{1}{2} (1 - 3^n)$
D
$\frac{1}{2} + 3^n$
Solution
(A) આપેલ છે $(1 - x + x^2)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{2n}x^{2n}$ --- $(1)$
બેકી અનુક્રમણિકાવાળા સહગુણકોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે સમીકરણ $(1)$ માં $x = 1$ અને $x = -1$ મૂકીશું:
$x = 1$ માટે: $1 = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_{2n}$ --- $(2)$
$x = -1$ માટે: $3^n = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots + a_{2n}$ --- $(3)$
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$1 + 3^n = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{2n})$
તેથી,$a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{2n} = \frac{3^n + 1}{2}$
બેકી અનુક્રમણિકાવાળા સહગુણકોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે સમીકરણ $(1)$ માં $x = 1$ અને $x = -1$ મૂકીશું:
$x = 1$ માટે: $1 = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_{2n}$ --- $(2)$
$x = -1$ માટે: $3^n = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots + a_{2n}$ --- $(3)$
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$1 + 3^n = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{2n})$
તેથી,$a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{2n} = \frac{3^n + 1}{2}$
0 likes
View Solution56
AdvancedMCQ
જો $\sum\limits_{i = 0}^4 {^{4 + i}} {C_i} + \sum\limits_{j = 6}^9 {^{3 + j}} {C_j} = {\,^x}{C_y}$ ($x$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે),તો નીચેનામાંથી કયું ખોટું છે?
A
$(x - y)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $4$ છે
B
$(x + y)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $17$ છે
C
$(x - y)$ અને $(x + y)$ હંમેશા પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હશે.
D
$(x - y)$ હંમેશા $(x + y)$ કરતા નાનું હોય છે
Solution
(C) આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{i=0}^4 {^{4+i}C_i} + \sum_{j=6}^9 {^{3+j}C_j}$ છે.
પ્રથમ સરવાળાનું વિસ્તરણ: ${^4C_0} + {^5C_1} + {^6C_2} + {^7C_3} + {^8C_4}$.
નિત્યસમ ${^nC_r} + {^nC_{r-1}} = {^{n+1}C_r}$ નો ઉપયોગ કરતા,${^4C_0} = {^5C_0} = 1$.
તેથી,${^5C_0} + {^5C_1} = {^6C_1}$,પછી ${^6C_1} + {^6C_2} = {^7C_2}$,પછી ${^7C_2} + {^7C_3} = {^8C_3}$,પછી ${^8C_3} + {^8C_4} = {^9C_4}$.
હવે,પદાવલિ ${^9C_4} + {^9C_6} + {^{10}C_7} + {^{11}C_8} + {^{12}C_9}$ બને છે.
${^9C_4} = {^9C_5}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને ${^9C_5} + {^9C_6} = {^{10}C_6}$ મળે છે.
પછી ${^{10}C_6} + {^{10}C_7} = {^{11}C_7}$.
પછી ${^{11}C_7} + {^{11}C_8} = {^{12}C_8}$.
પછી ${^{12}C_8} + {^{12}C_9} = {^{13}C_9}$.
આમ,${^xC_y} = {^{13}C_9} = {^{13}C_4}$.
અહીં $x = 13$ (જે અવિભાજ્ય છે),તેથી $y = 9$ અથવા $y = 4$.
જો $y = 9$,$x-y = 4$ અને $x+y = 22$. જો $y = 4$,$x-y = 9$ અને $x+y = 17$.
વિકલ્પ $C$ ખોટો છે કારણ કે $4$ અને $22$ પરસ્પર અવિભાજ્ય નથી.
પ્રથમ સરવાળાનું વિસ્તરણ: ${^4C_0} + {^5C_1} + {^6C_2} + {^7C_3} + {^8C_4}$.
નિત્યસમ ${^nC_r} + {^nC_{r-1}} = {^{n+1}C_r}$ નો ઉપયોગ કરતા,${^4C_0} = {^5C_0} = 1$.
તેથી,${^5C_0} + {^5C_1} = {^6C_1}$,પછી ${^6C_1} + {^6C_2} = {^7C_2}$,પછી ${^7C_2} + {^7C_3} = {^8C_3}$,પછી ${^8C_3} + {^8C_4} = {^9C_4}$.
હવે,પદાવલિ ${^9C_4} + {^9C_6} + {^{10}C_7} + {^{11}C_8} + {^{12}C_9}$ બને છે.
${^9C_4} = {^9C_5}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને ${^9C_5} + {^9C_6} = {^{10}C_6}$ મળે છે.
પછી ${^{10}C_6} + {^{10}C_7} = {^{11}C_7}$.
પછી ${^{11}C_7} + {^{11}C_8} = {^{12}C_8}$.
પછી ${^{12}C_8} + {^{12}C_9} = {^{13}C_9}$.
આમ,${^xC_y} = {^{13}C_9} = {^{13}C_4}$.
અહીં $x = 13$ (જે અવિભાજ્ય છે),તેથી $y = 9$ અથવા $y = 4$.
જો $y = 9$,$x-y = 4$ અને $x+y = 22$. જો $y = 4$,$x-y = 9$ અને $x+y = 17$.
વિકલ્પ $C$ ખોટો છે કારણ કે $4$ અને $22$ પરસ્પર અવિભાજ્ય નથી.
0 likes
View Solution57
AdvancedMCQ
જો $C_r = ^{100}C_r$ હોય,તો $1 \cdot C_0^2 - 2 \cdot C_1^2 + 3 \cdot C_2^2 - 4 \cdot C_3^2 + \dots + 101 \cdot C_{100}^2$ ની કિંમત શોધો.
A
$100 \cdot ^{100}C_{50}$
B
$51 \cdot ^{100}C_{50}$
C
$100 \cdot ^{200}C_{100}$
D
$51 \cdot ^{200}C_{100}$
Solution
(B) ધારો કે $S = 1 \cdot C_0^2 - 2 \cdot C_1^2 + 3 \cdot C_2^2 - 4 \cdot C_3^2 + \dots + 101 \cdot C_{100}^2$.
ગુણધર્મ $C_r = C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,શ્રેણીને ઉલટા ક્રમમાં લખતા:
$S = 101 \cdot C_{100}^2 - 100 \cdot C_{99}^2 + 99 \cdot C_{98}^2 - \dots + 1 \cdot C_0^2$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2S = 102(C_0^2 - C_1^2 + C_2^2 - C_3^2 + \dots + C_{100}^2)$.
સરવાળો $C_0^2 - C_1^2 + C_2^2 - \dots + C_{100}^2$ એ $(1-x^2)^{100}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{100}$ નો સહગુણક છે,જે $(-1)^{50} \cdot ^{100}C_{50} = ^{100}C_{50}$ થાય.
તેથી,$2S = 102 \cdot ^{100}C_{50}$,જેનું સાદું રૂપ $S = 51 \cdot ^{100}C_{50}$ મળે છે.
ગુણધર્મ $C_r = C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,શ્રેણીને ઉલટા ક્રમમાં લખતા:
$S = 101 \cdot C_{100}^2 - 100 \cdot C_{99}^2 + 99 \cdot C_{98}^2 - \dots + 1 \cdot C_0^2$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2S = 102(C_0^2 - C_1^2 + C_2^2 - C_3^2 + \dots + C_{100}^2)$.
સરવાળો $C_0^2 - C_1^2 + C_2^2 - \dots + C_{100}^2$ એ $(1-x^2)^{100}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{100}$ નો સહગુણક છે,જે $(-1)^{50} \cdot ^{100}C_{50} = ^{100}C_{50}$ થાય.
તેથી,$2S = 102 \cdot ^{100}C_{50}$,જેનું સાદું રૂપ $S = 51 \cdot ^{100}C_{50}$ મળે છે.
0 likes
View Solution58
AdvancedMCQ
$(1+x)^{15}$ ના વિસ્તરણમાં છેલ્લા આઠ ક્રમિક સહગુણકોનો સરવાળો કેટલો થાય?
A
$2^{15}$
B
$2^{14}$
C
$2^{16}$
D
$2^8$
Solution
(B) ધારો કે $S$ એ $(1+x)^{15}$ ના વિસ્તરણમાં છેલ્લા આઠ સહગુણકોનો સરવાળો છે.
$S = \binom{15}{8} + \binom{15}{9} + \binom{15}{10} + \binom{15}{11} + \binom{15}{12} + \binom{15}{13} + \binom{15}{14} + \binom{15}{15}$ .......$(i)$
ગુણધર્મ $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\binom{15}{8} = \binom{15}{7}$,$\binom{15}{9} = \binom{15}{6}$,...,$\binom{15}{15} = \binom{15}{0}$.
આમ,$S = \binom{15}{7} + \binom{15}{6} + \binom{15}{5} + \binom{15}{4} + \binom{15}{3} + \binom{15}{2} + \binom{15}{1} + \binom{15}{0}$ .......$(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2S = \sum_{k=0}^{15} \binom{15}{k} = 2^{15}$
$S = \frac{2^{15}}{2} = 2^{14}$
$S = \binom{15}{8} + \binom{15}{9} + \binom{15}{10} + \binom{15}{11} + \binom{15}{12} + \binom{15}{13} + \binom{15}{14} + \binom{15}{15}$ .......$(i)$
ગુણધર્મ $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\binom{15}{8} = \binom{15}{7}$,$\binom{15}{9} = \binom{15}{6}$,...,$\binom{15}{15} = \binom{15}{0}$.
આમ,$S = \binom{15}{7} + \binom{15}{6} + \binom{15}{5} + \binom{15}{4} + \binom{15}{3} + \binom{15}{2} + \binom{15}{1} + \binom{15}{0}$ .......$(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2S = \sum_{k=0}^{15} \binom{15}{k} = 2^{15}$
$S = \frac{2^{15}}{2} = 2^{14}$
0 likes
View Solution59
AdvancedMCQ
જો ${}^{21}C_1 + 3 \cdot {}^{21}C_3 + 5 \cdot {}^{21}C_5 + \dots + 19 \cdot {}^{21}C_{19} + 21 \cdot {}^{21}C_{21} = k$ હોય,તો $k$ ના અવિભાજ્ય અવયવોની સંખ્યા કેટલી થાય?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(C) આપેલ સરવાળો $S = \sum_{r=0}^{10} (2r+1) \cdot {}^{21}C_{2r+1}$ છે.
નિત્યસમ $n \cdot {}^{n-1}C_{r-1} = r \cdot {}^{n}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $r \cdot {}^{n}C_r = n \cdot {}^{n-1}C_{r-1}$.
તેથી,સરવાળો $\sum_{r=0}^{10} (2r+1) \cdot {}^{21}C_{2r+1} = \sum_{r=0}^{10} 21 \cdot {}^{20}C_{2r} = 21 \cdot ( {}^{20}C_0 + {}^{20}C_2 + \dots + {}^{20}C_{20} ) = 21 \cdot 2^{19} = 3 \cdot 7 \cdot 2^{19}$ થાય.
$k$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2, 3$ અને $7$ છે.
તેથી,અવિભાજ્ય અવયવોની સંખ્યા $3$ છે.
નિત્યસમ $n \cdot {}^{n-1}C_{r-1} = r \cdot {}^{n}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $r \cdot {}^{n}C_r = n \cdot {}^{n-1}C_{r-1}$.
તેથી,સરવાળો $\sum_{r=0}^{10} (2r+1) \cdot {}^{21}C_{2r+1} = \sum_{r=0}^{10} 21 \cdot {}^{20}C_{2r} = 21 \cdot ( {}^{20}C_0 + {}^{20}C_2 + \dots + {}^{20}C_{20} ) = 21 \cdot 2^{19} = 3 \cdot 7 \cdot 2^{19}$ થાય.
$k$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2, 3$ અને $7$ છે.
તેથી,અવિભાજ્ય અવયવોની સંખ્યા $3$ છે.
0 likes
View Solution60
AdvancedMCQ
ધારો કે $(1 + x)^{10} = \sum_{r=0}^{10} C_r x^r$ અને $(1 + x)^7 = \sum_{r=0}^7 d_r x^r$ છે. જો $P = \sum_{r=0}^5 C_{2r}$ અને $Q = \sum_{r=0}^3 d_{2r+1}$ હોય,તો $\frac{P}{2Q}$ ની કિંમત શોધો.
A
$2$
B
$4$
C
$8$
D
$16$
Solution
(B) $(1 + x)^{10} = \sum_{r=0}^{10} C_r x^r$ માટે,બેકી સહગુણકોનો સરવાળો $P = C_0 + C_2 + C_4 + C_6 + C_8 + C_{10} = 2^{10-1} = 2^9$ થાય.
$(1 + x)^7 = \sum_{r=0}^7 d_r x^r$ માટે,એકી સહગુણકોનો સરવાળો $Q = d_1 + d_3 + d_5 + d_7 = 2^{7-1} = 2^6$ થાય.
તેથી,$\frac{P}{2Q} = \frac{2^9}{2 \times 2^6} = \frac{2^9}{2^7} = 2^{9-7} = 2^2 = 4$.
$(1 + x)^7 = \sum_{r=0}^7 d_r x^r$ માટે,એકી સહગુણકોનો સરવાળો $Q = d_1 + d_3 + d_5 + d_7 = 2^{7-1} = 2^6$ થાય.
તેથી,$\frac{P}{2Q} = \frac{2^9}{2 \times 2^6} = \frac{2^9}{2^7} = 2^{9-7} = 2^2 = 4$.
0 likes
View Solution61
AdvancedMCQ
ધારો કે $(1 + x)^m = C_0 + C_1x + C_2x^2 + C_3x^3 + . . . + C_mx^m$,જ્યાં $C_r = {}^mC_r$ અને $A = C_1C_3 + C_2C_4 + C_3C_5 + . . . + C_{m-2}C_m$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન અસત્ય છે?
A
$A \ge {}^{2m}C_{m-2}$
B
$A < {}^{2m}C_{m-2}$
C
$A = {}^{2m}C_{m-2} - {}^mC_2$
D
$A < C_0^2 + C_1^2 + . . . + C_m^2$
Solution
(A) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણકોના ગુણાકારનો સરવાળો $\sum_{r=0}^{m-k} C_r C_{r+k} = {}^{2m}C_{m-k}$ દ્વારા મળે છે.
$k=2$ માટે,$\sum_{r=0}^{m-2} C_r C_{r+2} = C_0C_2 + C_1C_3 + . . . + C_{m-2}C_m = {}^{2m}C_{m-2}$ થાય.
આપેલ $A = C_1C_3 + C_2C_4 + . . . + C_{m-2}C_m$ માટે,આપણે લખી શકીએ:
$A = (C_0C_2 + C_1C_3 + . . . + C_{m-2}C_m) - C_0C_2$.
$C_0 = 1$ અને $C_2 = {}^mC_2$ હોવાથી,$A = {}^{2m}C_{m-2} - {}^mC_2$ મળે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સત્ય છે.
${}^mC_2 > 0$ હોવાથી,$A < {}^{2m}C_{m-2}$ થાય,તેથી વિકલ્પ $B$ સત્ય છે.
વળી,$\sum_{r=0}^m C_r^2 = {}^{2m}C_m$ થાય. $A < {}^{2m}C_{m-2} < {}^{2m}C_m$ હોવાથી,વિકલ્પ $D$ સત્ય છે.
તેથી,અસત્ય વિધાન $A \ge {}^{2m}C_{m-2}$ છે.
$k=2$ માટે,$\sum_{r=0}^{m-2} C_r C_{r+2} = C_0C_2 + C_1C_3 + . . . + C_{m-2}C_m = {}^{2m}C_{m-2}$ થાય.
આપેલ $A = C_1C_3 + C_2C_4 + . . . + C_{m-2}C_m$ માટે,આપણે લખી શકીએ:
$A = (C_0C_2 + C_1C_3 + . . . + C_{m-2}C_m) - C_0C_2$.
$C_0 = 1$ અને $C_2 = {}^mC_2$ હોવાથી,$A = {}^{2m}C_{m-2} - {}^mC_2$ મળે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સત્ય છે.
${}^mC_2 > 0$ હોવાથી,$A < {}^{2m}C_{m-2}$ થાય,તેથી વિકલ્પ $B$ સત્ય છે.
વળી,$\sum_{r=0}^m C_r^2 = {}^{2m}C_m$ થાય. $A < {}^{2m}C_{m-2} < {}^{2m}C_m$ હોવાથી,વિકલ્પ $D$ સત્ય છે.
તેથી,અસત્ય વિધાન $A \ge {}^{2m}C_{m-2}$ છે.
0 likes
View Solution62
DifficultMCQ
$\frac{C_1}{C_0} + 2 \cdot \frac{C_2}{C_1} + 3 \cdot \frac{C_3}{C_2} + \dots + n \cdot \frac{C_n}{C_{n-1}}$ નું મૂલ્ય શું થાય?
A
$\frac{n(n - 1)}{2}$
B
$\frac{(n - 1)(n + 1)}{2}$
C
$\frac{n(n + 1)}{2}$
D
$\frac{n^2 + n}{4}$
Solution
(C) સામાન્ય પદ $T_r = r \cdot \frac{^nC_r}{^nC_{r-1}}$ છે.
ગુણધર્મ $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n - r + 1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_r = r \cdot \left( \frac{n - r + 1}{r} \right) = n + 1 - r$.
હવે,સરવાળો $S_n = \sum_{r=1}^n T_r = \sum_{r=1}^n (n + 1 - r)$.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા:
$S_n = (n + 1 - 1) + (n + 1 - 2) + \dots + (n + 1 - n) = n + (n - 1) + \dots + 1$.
આ પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો છે:
$S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$.
ગુણધર્મ $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n - r + 1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_r = r \cdot \left( \frac{n - r + 1}{r} \right) = n + 1 - r$.
હવે,સરવાળો $S_n = \sum_{r=1}^n T_r = \sum_{r=1}^n (n + 1 - r)$.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા:
$S_n = (n + 1 - 1) + (n + 1 - 2) + \dots + (n + 1 - n) = n + (n - 1) + \dots + 1$.
આ પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો છે:
$S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$.
0 likes
View Solution63
AdvancedMCQ
જો $\sum\limits_{K = 1}^{12} {12K \cdot {^{12}C_K} \cdot {^{11}C_{K - 1}}} $ એ $\frac{{12 \times 21 \times 19 \times 17 \times \dots \times 3}}{{11!}} \times {2^{12}} \times p$ બરાબર હોય,તો $p$ ની કિંમત શોધો.
A
$2$
B
$4$
C
$8$
D
$6$
Solution
(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $K \cdot {^{12}C_K} = 12 \cdot {^{11}C_{K - 1}}$.
આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા:
$\sum\limits_{K = 1}^{12} {12(12 \cdot {^{11}C_{K - 1}}) \cdot {^{11}C_{K - 1}}} = 144 \sum\limits_{K = 1}^{12} {({^{11}C_{K - 1}})^2}$.
નિત્યસમ $\sum\limits_{r=0}^{n} ({^nC_r})^2 = {^{2n}C_n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$144 \cdot {^{22}C_{11}} = 144 \cdot \frac{22!}{11!11!}$.
આને સાદું રૂપ આપતા $p = 6$ મળે છે.
આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા:
$\sum\limits_{K = 1}^{12} {12(12 \cdot {^{11}C_{K - 1}}) \cdot {^{11}C_{K - 1}}} = 144 \sum\limits_{K = 1}^{12} {({^{11}C_{K - 1}})^2}$.
નિત્યસમ $\sum\limits_{r=0}^{n} ({^nC_r})^2 = {^{2n}C_n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$144 \cdot {^{22}C_{11}} = 144 \cdot \frac{22!}{11!11!}$.
આને સાદું રૂપ આપતા $p = 6$ મળે છે.
0 likes
View Solution64
AdvancedMCQ
જો $(1 + x)^n = c_0 + c_1x + c_2x^2 + c_3x^3 + \dots + c_nx^n$ હોય,તો $c_0 - 3c_1 + 5c_2 - \dots + (-1)^n(2n + 1)c_n$ ની કિંમત શું થાય?
A
$(n - 1)2^n$
B
$0$
C
$(1 - 2n)2^{n - 1}$
D
$(1 - n)2^n$
0 likes
View Solution65
DifficultMCQ
શ્રેણી $\frac{C_0}{2} - \frac{C_1}{3} + \frac{C_2}{4} - \frac{C_3}{5} + \dots$ ના $(n + 1)$ પદોનો સરવાળો શું થાય?
A
$\frac{1}{n + 1}$
B
$\frac{1}{n + 2}$
C
$\frac{1}{(n + 1)(n + 2)}$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $(1 - x)^n = C_0 - C_1x + C_2x^2 - C_3x^3 + \dots + (-1)^n C_n x^n$.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા,$x(1 - x)^n = C_0x - C_1x^2 + C_2x^3 - C_3x^4 + \dots + (-1)^n C_n x^{n+1}$.
બંને બાજુ $0$ થી $1$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_0^1 x(1 - x)^n dx = \int_0^1 (C_0x - C_1x^2 + C_2x^3 - C_3x^4 + \dots) dx$.
જમણી બાજુ ($R$.$H$.$S$.) પર,આપણને $\left[ \frac{C_0x^2}{2} - \frac{C_1x^3}{3} + \frac{C_2x^4}{4} - \dots \right]_0^1 = \frac{C_0}{2} - \frac{C_1}{3} + \frac{C_2}{4} - \dots$ મળે છે.
ડાબી બાજુ ($L$.$H$.$S$.) માટે,$1 - x = t$ લેતા,$dx = -dt$. જ્યારે $x=0, t=1$ અને જ્યારે $x=1, t=0$.
$\int_1^0 (1 - t)t^n (-dt) = \int_0^1 (t^n - t^{n+1}) dt = \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} - \frac{t^{n+2}}{n+2} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$.
આમ,સરવાળો $\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ છે.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા,$x(1 - x)^n = C_0x - C_1x^2 + C_2x^3 - C_3x^4 + \dots + (-1)^n C_n x^{n+1}$.
બંને બાજુ $0$ થી $1$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_0^1 x(1 - x)^n dx = \int_0^1 (C_0x - C_1x^2 + C_2x^3 - C_3x^4 + \dots) dx$.
જમણી બાજુ ($R$.$H$.$S$.) પર,આપણને $\left[ \frac{C_0x^2}{2} - \frac{C_1x^3}{3} + \frac{C_2x^4}{4} - \dots \right]_0^1 = \frac{C_0}{2} - \frac{C_1}{3} + \frac{C_2}{4} - \dots$ મળે છે.
ડાબી બાજુ ($L$.$H$.$S$.) માટે,$1 - x = t$ લેતા,$dx = -dt$. જ્યારે $x=0, t=1$ અને જ્યારે $x=1, t=0$.
$\int_1^0 (1 - t)t^n (-dt) = \int_0^1 (t^n - t^{n+1}) dt = \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} - \frac{t^{n+2}}{n+2} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$.
આમ,સરવાળો $\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ છે.
0 likes
View Solution66
AdvancedMCQ
$\mathop \sum \limits_{0 \le i < j \le n} i \binom{n}{j}$ ની કિંમત શોધો.
A
$n^2 2^{n-1}$
B
$(n^2 - 1) 2^{n-1}$
C
$(n-1)^2 2^n$
D
$n(n-1) 2^{n-3}$
Solution
(D) ધારો કે $S = \sum_{0 \le i < j \le n} i \binom{n}{j}$.
આ સરવાળાને $\sum_{j=1}^n \binom{n}{j} \sum_{i=0}^{j-1} i$ તરીકે લખી શકાય.
અંદરનો સરવાળો $\sum_{i=0}^{j-1} i = \frac{(j-1)j}{2}$ છે.
તેથી,$S = \sum_{j=1}^n \binom{n}{j} \frac{j(j-1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{j=2}^n j(j-1) \binom{n}{j}$.
નિત્યસમ $j(j-1) \binom{n}{j} = n(n-1) \binom{n-2}{j-2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{2} \sum_{j=2}^n n(n-1) \binom{n-2}{j-2} = \frac{n(n-1)}{2} \sum_{j=2}^n \binom{n-2}{j-2}$.
ધારો કે $k = j-2$,તો $S = \frac{n(n-1)}{2} \sum_{k=0}^{n-2} \binom{n-2}{k}$.
કારણ કે $\sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} = 2^m$,તેથી $S = \frac{n(n-1)}{2} 2^{n-2} = n(n-1) 2^{n-3}$.
આ સરવાળાને $\sum_{j=1}^n \binom{n}{j} \sum_{i=0}^{j-1} i$ તરીકે લખી શકાય.
અંદરનો સરવાળો $\sum_{i=0}^{j-1} i = \frac{(j-1)j}{2}$ છે.
તેથી,$S = \sum_{j=1}^n \binom{n}{j} \frac{j(j-1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{j=2}^n j(j-1) \binom{n}{j}$.
નિત્યસમ $j(j-1) \binom{n}{j} = n(n-1) \binom{n-2}{j-2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{2} \sum_{j=2}^n n(n-1) \binom{n-2}{j-2} = \frac{n(n-1)}{2} \sum_{j=2}^n \binom{n-2}{j-2}$.
ધારો કે $k = j-2$,તો $S = \frac{n(n-1)}{2} \sum_{k=0}^{n-2} \binom{n-2}{k}$.
કારણ કે $\sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} = 2^m$,તેથી $S = \frac{n(n-1)}{2} 2^{n-2} = n(n-1) 2^{n-3}$.
0 likes
View Solution67
DifficultMCQ
જો $\sum\limits_{i = 1}^{20} {\left( {\frac{{{}^{20}{C_{i - 1}}}}{{{}^{20}{C_i} + {}^{20}{C_{i - 1}}}}} \right)} ^3 = \frac{k}{21}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.
A
$400$
B
$50$
C
$200$
D
$100$
Solution
(D) આપણે દ્વિપદી સહગુણકોનો ગુણધર્મ જાણીએ છીએ: ${}^{n}{C_r} + {}^{n}{C_{r-1}} = {}^{n+1}{C_r}$.
છેદમાં આ ગુણધર્મ લાગુ પાડતા: ${}^{20}{C_i} + {}^{20}{C_{i-1}} = {}^{21}{C_i}$.
તેથી,સરવાળાની અંદરનું પદ $\frac{{}^{20}{C_{i-1}}}{{}^{21}{C_i}}$ થાય.
સૂત્ર ${}^{n}{C_r} = \frac{n}{r} \cdot {}^{n-1}{C_{r-1}}$ નો ઉપયોગ કરતા,${}^{21}{C_i} = \frac{21}{i} \cdot {}^{20}{C_{i-1}}$ મળે.
આ કિંમત પદમાં મૂકતા: $\frac{{}^{20}{C_{i-1}}}{\frac{21}{i} \cdot {}^{20}{C_{i-1}}} = \frac{i}{21}$.
સરવાળો $\sum\limits_{i = 1}^{20} {\left( \frac{i}{21} \right)}^3 = \frac{1}{21^3} \sum\limits_{i = 1}^{20} i^3$ બને.
ઘનનો સરવાળો $\sum\limits_{i=1}^{n} i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$n=20$ માટે:
$\sum\limits_{i=1}^{20} i^3 = \left( \frac{20 \times 21}{2} \right)^2 = (10 \times 21)^2 = 100 \times 21^2$.
કિંમત મૂકતા: $S = \frac{100 \times 21^2}{21^3} = \frac{100}{21}$.
આપેલ $S = \frac{k}{21}$ હોવાથી,$k = 100$ મળે.
છેદમાં આ ગુણધર્મ લાગુ પાડતા: ${}^{20}{C_i} + {}^{20}{C_{i-1}} = {}^{21}{C_i}$.
તેથી,સરવાળાની અંદરનું પદ $\frac{{}^{20}{C_{i-1}}}{{}^{21}{C_i}}$ થાય.
સૂત્ર ${}^{n}{C_r} = \frac{n}{r} \cdot {}^{n-1}{C_{r-1}}$ નો ઉપયોગ કરતા,${}^{21}{C_i} = \frac{21}{i} \cdot {}^{20}{C_{i-1}}$ મળે.
આ કિંમત પદમાં મૂકતા: $\frac{{}^{20}{C_{i-1}}}{\frac{21}{i} \cdot {}^{20}{C_{i-1}}} = \frac{i}{21}$.
સરવાળો $\sum\limits_{i = 1}^{20} {\left( \frac{i}{21} \right)}^3 = \frac{1}{21^3} \sum\limits_{i = 1}^{20} i^3$ બને.
ઘનનો સરવાળો $\sum\limits_{i=1}^{n} i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$n=20$ માટે:
$\sum\limits_{i=1}^{20} i^3 = \left( \frac{20 \times 21}{2} \right)^2 = (10 \times 21)^2 = 100 \times 21^2$.
કિંમત મૂકતા: $S = \frac{100 \times 21^2}{21^3} = \frac{100}{21}$.
આપેલ $S = \frac{k}{21}$ હોવાથી,$k = 100$ મળે.
0 likes
View Solution68
DifficultMCQ
$2 \cdot {}^{20}C_0 + 5 \cdot {}^{20}C_1 + 8 \cdot {}^{20}C_2 + 11 \cdot {}^{20}C_3 + \dots + 62 \cdot {}^{20}C_{20}$ ની કિંમત શોધો.
A
$2^{23}$
B
$2^{26}$
C
$2^{24}$
D
$2^{25}$
Solution
(D) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{r=0}^{20} (3r + 2) \cdot {}^{20}C_r$ છે.
$S = 3 \sum_{r=0}^{20} r \cdot {}^{20}C_r + 2 \sum_{r=0}^{20} {}^{20}C_r$.
નિત્યસમ $r \cdot {}^{n}C_r = n \cdot {}^{n-1}C_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 3 \sum_{r=1}^{20} 20 \cdot {}^{19}C_{r-1} + 2 \cdot 2^{20}$.
$S = 3 \cdot 20 \cdot \sum_{r=1}^{20} {}^{19}C_{r-1} + 2^{21}$.
કારણ કે $\sum_{r=1}^{20} {}^{19}C_{r-1} = 2^{19}$,તેથી:
$S = 60 \cdot 2^{19} + 2 \cdot 2^{20} = 30 \cdot 2^{20} + 2 \cdot 2^{20} = 32 \cdot 2^{20} = 2^5 \cdot 2^{20} = 2^{25}$.
$S = 3 \sum_{r=0}^{20} r \cdot {}^{20}C_r + 2 \sum_{r=0}^{20} {}^{20}C_r$.
નિત્યસમ $r \cdot {}^{n}C_r = n \cdot {}^{n-1}C_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 3 \sum_{r=1}^{20} 20 \cdot {}^{19}C_{r-1} + 2 \cdot 2^{20}$.
$S = 3 \cdot 20 \cdot \sum_{r=1}^{20} {}^{19}C_{r-1} + 2^{21}$.
કારણ કે $\sum_{r=1}^{20} {}^{19}C_{r-1} = 2^{19}$,તેથી:
$S = 60 \cdot 2^{19} + 2 \cdot 2^{20} = 30 \cdot 2^{20} + 2 \cdot 2^{20} = 32 \cdot 2^{20} = 2^5 \cdot 2^{20} = 2^{25}$.
0 likes
View Solution69
DifficultMCQ
જો $1^2 \cdot ^{20}C_1 + 2^2 \cdot ^{20}C_2 + 3^2 \cdot ^{20}C_3 + \dots + 20^2 \cdot ^{20}C_{20} = A(2^\beta)$ હોય,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(A, \beta)$ ની કિંમત શોધો.
A
$(420, 18)$
B
$(380, 18)$
C
$(420, 19)$
D
$(380, 19)$
Solution
(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $(1+x)^{20} = \sum_{r=0}^{20} {^{20}C_r} x^r = {^{20}C_0} + {^{20}C_1} x + {^{20}C_2} x^2 + \dots + {^{20}C_{20}} x^{20} \dots (i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$20(1+x)^{19} = ^{20}C_1 + 2 \cdot ^{20}C_2 x + 3 \cdot ^{20}C_3 x^2 + \dots + 20 \cdot ^{20}C_{20} x^{19} \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $x$ વડે ગુણતા:
$20x(1+x)^{19} = ^{20}C_1 x + 2 \cdot ^{20}C_2 x^2 + 3 \cdot ^{20}C_3 x^3 + \dots + 20 \cdot ^{20}C_{20} x^{20} \dots (iii)$
સમીકરણ $(iii)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$20[(1+x)^{19} + 19x(1+x)^{18}] = ^{20}C_1 + 2^2 \cdot ^{20}C_2 x + 3^2 \cdot ^{20}C_3 x^2 + \dots + 20^2 \cdot ^{20}C_{20} x^{19} \dots (iv)$
સમીકરણ $(iv)$ માં $x=1$ મૂકતા:
$20[2^{19} + 19(2^{18})] = 1^2 \cdot ^{20}C_1 + 2^2 \cdot ^{20}C_2 + \dots + 20^2 \cdot ^{20}C_{20}$
$= 20 \cdot 2^{18} [2 + 19] = 20 \cdot 21 \cdot 2^{18} = 420 \cdot 2^{18}$
$A(2^\beta)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 420$ અને $\beta = 18$ મળે છે.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(420, 18)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$20(1+x)^{19} = ^{20}C_1 + 2 \cdot ^{20}C_2 x + 3 \cdot ^{20}C_3 x^2 + \dots + 20 \cdot ^{20}C_{20} x^{19} \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $x$ વડે ગુણતા:
$20x(1+x)^{19} = ^{20}C_1 x + 2 \cdot ^{20}C_2 x^2 + 3 \cdot ^{20}C_3 x^3 + \dots + 20 \cdot ^{20}C_{20} x^{20} \dots (iii)$
સમીકરણ $(iii)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$20[(1+x)^{19} + 19x(1+x)^{18}] = ^{20}C_1 + 2^2 \cdot ^{20}C_2 x + 3^2 \cdot ^{20}C_3 x^2 + \dots + 20^2 \cdot ^{20}C_{20} x^{19} \dots (iv)$
સમીકરણ $(iv)$ માં $x=1$ મૂકતા:
$20[2^{19} + 19(2^{18})] = 1^2 \cdot ^{20}C_1 + 2^2 \cdot ^{20}C_2 + \dots + 20^2 \cdot ^{20}C_{20}$
$= 20 \cdot 2^{18} [2 + 19] = 20 \cdot 21 \cdot 2^{18} = 420 \cdot 2^{18}$
$A(2^\beta)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 420$ અને $\beta = 18$ મળે છે.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(420, 18)$ છે.
0 likes
View Solution70
DifficultMCQ
જો $C_{0} + 5 \cdot C_{1} + 9 \cdot C_{2} + \ldots + (101) \cdot C_{25} = 2^{25} \cdot k$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો:
A
$42$
B
$45$
C
$51$
D
$48$
Solution
(C) ધારો કે $S = \sum_{r=0}^{25} (4r + 1) \cdot ^{25}C_{r}$.
ગુણધર્મ $^{n}C_{r} = ^{n}C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 1 \cdot ^{25}C_{0} + 5 \cdot ^{25}C_{1} + 9 \cdot ^{25}C_{2} + \ldots + 101 \cdot ^{25}C_{25}$.
ક્રમ ઉલટાવતા:
$S = 101 \cdot ^{25}C_{25} + 97 \cdot ^{25}C_{24} + \ldots + 1 \cdot ^{25}C_{0}$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2S = \sum_{r=0}^{25} (4r + 1 + 101 - 4r) \cdot ^{25}C_{r} = \sum_{r=0}^{25} (102) \cdot ^{25}C_{r}$.
$2S = 102 \sum_{r=0}^{25} {^{25}C_{r}} = 102 \cdot 2^{25}$.
$S = 51 \cdot 2^{25}$.
$2^{25} \cdot k$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 51$ મળે છે.
ગુણધર્મ $^{n}C_{r} = ^{n}C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 1 \cdot ^{25}C_{0} + 5 \cdot ^{25}C_{1} + 9 \cdot ^{25}C_{2} + \ldots + 101 \cdot ^{25}C_{25}$.
ક્રમ ઉલટાવતા:
$S = 101 \cdot ^{25}C_{25} + 97 \cdot ^{25}C_{24} + \ldots + 1 \cdot ^{25}C_{0}$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2S = \sum_{r=0}^{25} (4r + 1 + 101 - 4r) \cdot ^{25}C_{r} = \sum_{r=0}^{25} (102) \cdot ^{25}C_{r}$.
$2S = 102 \sum_{r=0}^{25} {^{25}C_{r}} = 102 \cdot 2^{25}$.
$S = 51 \cdot 2^{25}$.
$2^{25} \cdot k$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 51$ મળે છે.
0 likes
View Solution71
Medium
$(1+a)^{m+n}$ ના વિસ્તરણમાં સાબિત કરો કે $a^{m}$ અને $a^{n}$ ના સહગુણકો સમાન છે.
Solution
(N/A) $(1+a)^{N}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $(T_{r+1})$ એ $T_{r+1} = {}^{N}C_{r} a^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1+a)^{m+n}$ ના વિસ્તરણ માટે,$a^{m}$ નો સહગુણક $r=m$ મૂકીને મેળવવામાં આવે છે:
$a^{m}$ નો સહગુણક $= {}^{m+n}C_{m} = \frac{(m+n)!}{m!(m+n-m)!} = \frac{(m+n)!}{m!n!}$ ........... $(1)$
તે જ રીતે,$a^{n}$ નો સહગુણક $r=n$ મૂકીને મેળવવામાં આવે છે:
$a^{n}$ નો સહગુણક $= {}^{m+n}C_{n} = \frac{(m+n)!}{n!(m+n-n)!} = \frac{(m+n)!}{n!m!}$ ........... $(2)$
કારણ કે $m!n! = n!m!$,તેથી ${}^{m+n}C_{m} = {}^{m+n}C_{n}$ થાય છે.
આમ,$a^{m}$ અને $a^{n}$ ના સહગુણકો સમાન છે.
$(1+a)^{m+n}$ ના વિસ્તરણ માટે,$a^{m}$ નો સહગુણક $r=m$ મૂકીને મેળવવામાં આવે છે:
$a^{m}$ નો સહગુણક $= {}^{m+n}C_{m} = \frac{(m+n)!}{m!(m+n-m)!} = \frac{(m+n)!}{m!n!}$ ........... $(1)$
તે જ રીતે,$a^{n}$ નો સહગુણક $r=n$ મૂકીને મેળવવામાં આવે છે:
$a^{n}$ નો સહગુણક $= {}^{m+n}C_{n} = \frac{(m+n)!}{n!(m+n-n)!} = \frac{(m+n)!}{n!m!}$ ........... $(2)$
કારણ કે $m!n! = n!m!$,તેથી ${}^{m+n}C_{m} = {}^{m+n}C_{n}$ થાય છે.
આમ,$a^{m}$ અને $a^{n}$ ના સહગુણકો સમાન છે.
0 likes
View Solution72
Difficult
જો $(1+a)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં $a^{r-1}$,$a^{r}$ અને $a^{r+1}$ ના સહગુણકો સમાંતર શ્રેણીમાં હોય,તો સાબિત કરો કે $n^{2}-n(4r+1)+4r^{2}-2=0$.
Solution
(N/A) $(1+a)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં $(r+1)$-મું પદ $\binom{n}{r}a^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આમ,$a^{r-1}$,$a^{r}$ અને $a^{r+1}$ ના સહગુણકો અનુક્રમે $\binom{n}{r-1}$,$\binom{n}{r}$ અને $\binom{n}{r+1}$ છે.
આ સહગુણકો સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r+1} = 2\binom{n}{r}$ થાય.
દ્વિપદી સહગુણકોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!} + \frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!} = 2 \times \frac{n!}{r!(n-r)!}$
બંને બાજુ $n!$ વડે ભાગતા અને $(r+1)!(n-r+1)!$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$r^{2}+r + n^{2}-2nr+r^{2}+n = 2(nr-r^{2}+r+n-r+1)$
$n^{2} - 4nr - n + 4r^{2} - 2 = 0$
$n^{2} - n(4r+1) + 4r^{2} - 2 = 0$.
આ સહગુણકો સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r+1} = 2\binom{n}{r}$ થાય.
દ્વિપદી સહગુણકોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!} + \frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!} = 2 \times \frac{n!}{r!(n-r)!}$
બંને બાજુ $n!$ વડે ભાગતા અને $(r+1)!(n-r+1)!$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$r^{2}+r + n^{2}-2nr+r^{2}+n = 2(nr-r^{2}+r+n-r+1)$
$n^{2} - 4nr - n + 4r^{2} - 2 = 0$
$n^{2} - n(4r+1) + 4r^{2} - 2 = 0$.
0 likes
View Solution73
DifficultMCQ
$\sum_{r=0}^{6} \left({}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{6-r}\right)$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?
A
$1124$
B
$1134$
C
$1024$
D
$924$
Solution
(D) આપેલ પદાવલિ $\sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{6-r}$ છે.
દ્વિપદી સહગુણકોના ગુણધર્મ ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,${}^{6}C_{6-r} = {}^{6}C_{r}$ થાય.
તેથી,સરવાળો $\sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{r} = \sum_{r=0}^{6} ({}^{6}C_{r})^2$ બને છે.
વૈકલ્પિક રીતે,વેન્ડરમોન્ડની ઓળખ (Vandermonde's Identity) મુજબ,$\sum_{k=0}^{r} {}^{m}C_{k} \cdot {}^{n}C_{r-k} = {}^{m+n}C_{r}$.
અહીં,$m=6, n=6$,અને $r=6$ છે.
તેથી,$\sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{6-r} = {}^{6+6}C_{6} = {}^{12}C_{6}$.
મૂલ્યની ગણતરી કરતા: ${}^{12}C_{6} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924$.
દ્વિપદી સહગુણકોના ગુણધર્મ ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,${}^{6}C_{6-r} = {}^{6}C_{r}$ થાય.
તેથી,સરવાળો $\sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{r} = \sum_{r=0}^{6} ({}^{6}C_{r})^2$ બને છે.
વૈકલ્પિક રીતે,વેન્ડરમોન્ડની ઓળખ (Vandermonde's Identity) મુજબ,$\sum_{k=0}^{r} {}^{m}C_{k} \cdot {}^{n}C_{r-k} = {}^{m+n}C_{r}$.
અહીં,$m=6, n=6$,અને $r=6$ છે.
તેથી,$\sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{6-r} = {}^{6+6}C_{6} = {}^{12}C_{6}$.
મૂલ્યની ગણતરી કરતા: ${}^{12}C_{6} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924$.
0 likes
View Solution74
DifficultMCQ
ધારો કે ${ }^{n} C_{r}$ એ $(1+ x )^{ n }$ ના વિસ્તરણમાં $x^{r}$ નો દ્વિપદી સહગુણક દર્શાવે છે. જો $\sum_{ k =0}^{10}\left(2^{2}+3 k \right){ }^{10} C _{ k }=\alpha \cdot 3^{10}+\beta \cdot 2^{10},$ જ્યાં $\alpha, \beta \in R,$ હોય,તો $\alpha+\beta$ ની કિંમત ....... થાય.
A
$19$
B
$21$
C
$17$
D
$13$
Solution
(A) આપેલ સરવાળો $\sum_{k=0}^{10}(4+3k){ }^{10} C _{ k } = \alpha \cdot 3^{10} + \beta \cdot 2^{10}.$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_k = 2^n$ અને $\sum_{k=0}^{n} k \cdot {}^{n}C_k = n \cdot 2^{n-1}.$
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum_{k=0}^{10} 4 \cdot {}^{10}C_k + 3 \sum_{k=0}^{10} k \cdot {}^{10}C_k.$
$= 4 \cdot 2^{10} + 3 \cdot (10 \cdot 2^{9}).$
$= 4 \cdot 2^{10} + 30 \cdot 2^{9} = 4 \cdot 2^{10} + 15 \cdot 2^{10} = 19 \cdot 2^{10}.$
$\alpha \cdot 3^{10} + \beta \cdot 2^{10}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 0$ અને $\beta = 19$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 0 + 19 = 19.$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_k = 2^n$ અને $\sum_{k=0}^{n} k \cdot {}^{n}C_k = n \cdot 2^{n-1}.$
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum_{k=0}^{10} 4 \cdot {}^{10}C_k + 3 \sum_{k=0}^{10} k \cdot {}^{10}C_k.$
$= 4 \cdot 2^{10} + 3 \cdot (10 \cdot 2^{9}).$
$= 4 \cdot 2^{10} + 30 \cdot 2^{9} = 4 \cdot 2^{10} + 15 \cdot 2^{10} = 19 \cdot 2^{10}.$
$\alpha \cdot 3^{10} + \beta \cdot 2^{10}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 0$ અને $\beta = 19$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 0 + 19 = 19.$
0 likes
View Solution75
DifficultMCQ
$-{ }^{15}C_{1} 2 \cdot { }^{15}C_{2} - 3 \cdot { }^{15}C_{3} \ldots - 15 \cdot { }^{15}C_{15} { }^{14}C_{1} { }^{14}C_{3} { }^{14}C_{5} \ldots { }^{14}C_{11}$ ની કિંમત શોધો.
A
$2^{16}-1$
B
$2^{13}-14$
C
$2^{14}$
D
$2^{13}-13$
Solution
(B) ધારો કે $S = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} r \cdot { }^{15}C_{r} \sum_{k=1, k \text{ is odd}}^{11} { }^{14}C_{k}$.
પ્રથમ,સરવાળો $A = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} r \cdot { }^{15}C_{r}$ ની ગણતરી કરો.
$r \cdot { }^{n}C_{r} = n \cdot { }^{n-1}C_{r-1}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$A = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} 15 \cdot { }^{14}C_{r-1} = 15 \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} { }^{14}C_{r-1}$.
$j = r-1$ લેતા,$A = 15 \sum_{j=0}^{14} (-1)^{j 1} { }^{14}C_{j} = -15 \sum_{j=0}^{14} (-1)^{j} { }^{14}C_{j}$.
કારણ કે $n \ge 1$ માટે $\sum_{j=0}^{n} (-1)^{j} { }^{n}C_{j} = 0$,તેથી $A = -15(0) = 0$.
આગળ,$B = { }^{14}C_{1} { }^{14}C_{3} \ldots { }^{14}C_{11}$ ની ગણતરી કરો.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k \text{ is odd}} { }^{n}C_{k} = 2^{n-1}$.
$n=14$ માટે,$\sum_{k \text{ is odd}} { }^{14}C_{k} = { }^{14}C_{1} { }^{14}C_{3} \ldots { }^{14}C_{13} = 2^{14-1} = 2^{13}$.
તેથી,$B = 2^{13} - { }^{14}C_{13} = 2^{13} - 14$.
તેથી,કુલ સરવાળો $A B = 0 2^{13} - 14 = 2^{13} - 14$ થાય.
પ્રથમ,સરવાળો $A = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} r \cdot { }^{15}C_{r}$ ની ગણતરી કરો.
$r \cdot { }^{n}C_{r} = n \cdot { }^{n-1}C_{r-1}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$A = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} 15 \cdot { }^{14}C_{r-1} = 15 \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} { }^{14}C_{r-1}$.
$j = r-1$ લેતા,$A = 15 \sum_{j=0}^{14} (-1)^{j 1} { }^{14}C_{j} = -15 \sum_{j=0}^{14} (-1)^{j} { }^{14}C_{j}$.
કારણ કે $n \ge 1$ માટે $\sum_{j=0}^{n} (-1)^{j} { }^{n}C_{j} = 0$,તેથી $A = -15(0) = 0$.
આગળ,$B = { }^{14}C_{1} { }^{14}C_{3} \ldots { }^{14}C_{11}$ ની ગણતરી કરો.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k \text{ is odd}} { }^{n}C_{k} = 2^{n-1}$.
$n=14$ માટે,$\sum_{k \text{ is odd}} { }^{14}C_{k} = { }^{14}C_{1} { }^{14}C_{3} \ldots { }^{14}C_{13} = 2^{14-1} = 2^{13}$.
તેથી,$B = 2^{13} - { }^{14}C_{13} = 2^{13} - 14$.
તેથી,કુલ સરવાળો $A B = 0 2^{13} - 14 = 2^{13} - 14$ થાય.
0 likes
View Solution76
DifficultMCQ
ધારો કે $m, n \in \mathbb{N}$ અને $\operatorname{gcd}(2, n)=1$. જો $30\binom{30}{0} + 29\binom{30}{1} + \ldots + 2\binom{30}{28} + 1\binom{30}{29} = n \cdot 2^m$ હોય,તો $n + m$ ની કિંમત શોધો. (અહીં $\binom{n}{k} = {^nC_k}$)
A
$45$
B
$56$
C
$42$
D
$36$
Solution
(A) આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{k=0}^{29} (30-k) \binom{30}{k}$ છે.
ગુણધર્મ $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \sum_{k=0}^{29} (30-k) \binom{30}{30-k}$.
ધારો કે $r = 30-k$. જ્યારે $k$ એ $0$ થી $29$ સુધી જાય,ત્યારે $r$ એ $30$ થી $1$ સુધી જાય છે.
$S = \sum_{r=1}^{30} r \binom{30}{r}$.
નિત્યસમ $\sum_{r=1}^{n} r \binom{n}{r} = n 2^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 30 \cdot 2^{30-1} = 30 \cdot 2^{29}$.
$S = 15 \cdot 2 \cdot 2^{29} = 15 \cdot 2^{30}$.
આપેલ છે કે $S = n \cdot 2^m$ જ્યાં $\operatorname{gcd}(2, n) = 1$,તેથી $n = 15$ અને $m = 30$.
તેથી,$n + m = 15 + 30 = 45$.
ગુણધર્મ $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \sum_{k=0}^{29} (30-k) \binom{30}{30-k}$.
ધારો કે $r = 30-k$. જ્યારે $k$ એ $0$ થી $29$ સુધી જાય,ત્યારે $r$ એ $30$ થી $1$ સુધી જાય છે.
$S = \sum_{r=1}^{30} r \binom{30}{r}$.
નિત્યસમ $\sum_{r=1}^{n} r \binom{n}{r} = n 2^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 30 \cdot 2^{30-1} = 30 \cdot 2^{29}$.
$S = 15 \cdot 2 \cdot 2^{29} = 15 \cdot 2^{30}$.
આપેલ છે કે $S = n \cdot 2^m$ જ્યાં $\operatorname{gcd}(2, n) = 1$,તેથી $n = 15$ અને $m = 30$.
તેથી,$n + m = 15 + 30 = 45$.
0 likes
View Solution77
DifficultMCQ
જો $n \geq 2$ એ ધન પૂર્ણાંક હોય,તો શ્રેણી ${}^{n+1} C_{2}+2\left({}^{2} C_{2}+{}^{3} C_{2}+{}^{4} C_{2}+\ldots+{}^{n} C_{2}\right)$ નો સરવાળો ...... થાય.
A
$\frac{n(n-1)(2n+1)}{6}$
B
$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
C
$\frac{n(2n+1)(3n+1)}{6}$
D
$\frac{n(n+1)^{2}(n+2)}{12}$
Solution
(B) આપણે નિત્યસમ ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
નોંધો કે ${}^{2}C_{2} = {}^{3}C_{3} = 1$.
શ્રેણી $S = {}^{n+1}C_{2} + 2 \sum_{k=2}^{n} {}^{k}C_{2}$ છે.
હોકી-સ્ટિક નિત્યસમ $\sum_{i=r}^{n} {}^{i}C_{r} = {}^{n+1}C_{r+1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sum_{k=2}^{n} {}^{k}C_{2} = {}^{n+1}C_{3}$ મળે છે.
તેથી,$S = {}^{n+1}C_{2} + 2({}^{n+1}C_{3})$.
$S = \frac{(n+1)n}{2} + 2 \cdot \frac{(n+1)n(n-1)}{6}$.
$S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
નોંધો કે ${}^{2}C_{2} = {}^{3}C_{3} = 1$.
શ્રેણી $S = {}^{n+1}C_{2} + 2 \sum_{k=2}^{n} {}^{k}C_{2}$ છે.
હોકી-સ્ટિક નિત્યસમ $\sum_{i=r}^{n} {}^{i}C_{r} = {}^{n+1}C_{r+1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sum_{k=2}^{n} {}^{k}C_{2} = {}^{n+1}C_{3}$ મળે છે.
તેથી,$S = {}^{n+1}C_{2} + 2({}^{n+1}C_{3})$.
$S = \frac{(n+1)n}{2} + 2 \cdot \frac{(n+1)n(n-1)}{6}$.
$S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
0 likes
View Solution78
DifficultMCQ
જો ${}^{20}C_{r}$ એ $(1+x)^{20}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{r}$ નો સહગુણક હોય,તો $\sum_{r=0}^{20} r^{2} \cdot {}^{20}C_{r}$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?
A
$420 \times 2^{19}$
B
$380 \times 2^{19}$
C
$380 \times 2^{18}$
D
$420 \times 2^{18}$
Solution
(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^{n} r \cdot {}^{n}C_{r} = n \cdot 2^{n-1}$ અને $\sum_{r=0}^{n} r(r-1) \cdot {}^{n}C_{r} = n(n-1) \cdot 2^{n-2}$.
આપણે $r^{2} = r(r-1) + r$ લખી શકીએ.
તેથી,$\sum_{r=0}^{20} r^{2} \cdot {}^{20}C_{r} = \sum_{r=0}^{20} [r(r-1) + r] \cdot {}^{20}C_{r}$.
$= \sum_{r=0}^{20} r(r-1) \cdot {}^{20}C_{r} + \sum_{r=0}^{20} r \cdot {}^{20}C_{r}$.
$n=20$ સાથેના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= 20 \times 19 \times 2^{20-2} + 20 \times 2^{20-1}$.
$= 380 \times 2^{18} + 20 \times 2^{19}$.
$= 380 \times 2^{18} + 40 \times 2^{18}$.
$= (380 + 40) \times 2^{18} = 420 \times 2^{18}$.
આપણે $r^{2} = r(r-1) + r$ લખી શકીએ.
તેથી,$\sum_{r=0}^{20} r^{2} \cdot {}^{20}C_{r} = \sum_{r=0}^{20} [r(r-1) + r] \cdot {}^{20}C_{r}$.
$= \sum_{r=0}^{20} r(r-1) \cdot {}^{20}C_{r} + \sum_{r=0}^{20} r \cdot {}^{20}C_{r}$.
$n=20$ સાથેના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= 20 \times 19 \times 2^{20-2} + 20 \times 2^{20-1}$.
$= 380 \times 2^{18} + 20 \times 2^{19}$.
$= 380 \times 2^{18} + 40 \times 2^{18}$.
$= (380 + 40) \times 2^{18} = 420 \times 2^{18}$.
0 likes
View Solution79
DifficultMCQ
ધારો કે $\binom{n}{k}$ એ ${}^{n}C_{k}$ દર્શાવે છે અને $\left[\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right]=\begin{cases} \binom{n}{k}, & \text{જો } 0 \leq k \leq n \\ 0, & \text{અન્યથા} \end{cases}$. જો $A_{k}=\sum_{i=0}^{9}\binom{9}{i}\left[\begin{array}{c} 12 \\ 12-k+i \end{array}\right]+\sum_{i=0}^{8}\binom{8}{i}\left[\begin{array}{c} 13 \\ 13-k+i \end{array}\right]$ અને $A_{4}-A_{3}=190p$ હોય,તો $p$ ની કિંમત શોધો:
A
$50$
B
$51$
C
$48$
D
$49$
Solution
(D) ઓળખ $\sum_{i=0}^{r} \binom{n}{i} \binom{m}{k-i} = \binom{n+m}{k}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $A_{k}$ ને સરળ બનાવીએ છીએ.
$A_{k} = \sum_{i=0}^{9} \binom{9}{i} \binom{12}{k-i} + \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} \binom{13}{k-i}$.
વેન્ડરમોન્ડની ઓળખ લાગુ કરતા:
$A_{k} = \binom{9+12}{k} + \binom{8+13}{k} = \binom{21}{k} + \binom{21}{k} = 2 \binom{21}{k}$.
હવે,$A_{4} - A_{3} = 2 \left( \binom{21}{4} - \binom{21}{3} \right)$ ની ગણતરી કરો.
$\binom{21}{4} = 5985$.
$\binom{21}{3} = 1330$.
$A_{4} - A_{3} = 2(5985 - 1330) = 2(4655) = 9310$.
આપેલ છે કે $190p = 9310$,તેથી $p = \frac{9310}{190} = 49$.
$A_{k} = \sum_{i=0}^{9} \binom{9}{i} \binom{12}{k-i} + \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} \binom{13}{k-i}$.
વેન્ડરમોન્ડની ઓળખ લાગુ કરતા:
$A_{k} = \binom{9+12}{k} + \binom{8+13}{k} = \binom{21}{k} + \binom{21}{k} = 2 \binom{21}{k}$.
હવે,$A_{4} - A_{3} = 2 \left( \binom{21}{4} - \binom{21}{3} \right)$ ની ગણતરી કરો.
$\binom{21}{4} = 5985$.
$\binom{21}{3} = 1330$.
$A_{4} - A_{3} = 2(5985 - 1330) = 2(4655) = 9310$.
આપેલ છે કે $190p = 9310$,તેથી $p = \frac{9310}{190} = 49$.
0 likes
View Solution80
DifficultMCQ
$\sum_{k=0}^{20} \left({}^{20}C_{k}\right)^{2}$ ની કિંમત શું થાય?
A
${}^{40}C_{21}$
B
${}^{40}C_{19}$
C
${}^{40}C_{20}$
D
${}^{41}C_{20}$
Solution
(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ${}^{n}C_{k} = {}^{n}C_{n-k}$.
તેથી,આપેલ સરવાળાને $\sum_{k=0}^{20} {}^{20}C_{k} \cdot {}^{20}C_{k} = \sum_{k=0}^{20} {}^{20}C_{k} \cdot {}^{20}C_{20-k}$ તરીકે લખી શકાય.
Vandermonde ના નિત્યસમ મુજબ,$\sum_{k=0}^{r} {}^{m}C_{k} \cdot {}^{n}C_{r-k} = {}^{m+n}C_{r}$.
અહીં,$m = 20$,$n = 20$,અને $r = 20$.
તેથી,સરવાળો ${}^{20+20}C_{20} = {}^{40}C_{20}$ થાય.
તેથી,આપેલ સરવાળાને $\sum_{k=0}^{20} {}^{20}C_{k} \cdot {}^{20}C_{k} = \sum_{k=0}^{20} {}^{20}C_{k} \cdot {}^{20}C_{20-k}$ તરીકે લખી શકાય.
Vandermonde ના નિત્યસમ મુજબ,$\sum_{k=0}^{r} {}^{m}C_{k} \cdot {}^{n}C_{r-k} = {}^{m+n}C_{r}$.
અહીં,$m = 20$,$n = 20$,અને $r = 20$.
તેથી,સરવાળો ${}^{20+20}C_{20} = {}^{40}C_{20}$ થાય.
0 likes
View Solution81
DifficultMCQ
ધારો કે $n \in N$ અને $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. જો $(n+1)$ પદો ${}^{n}C_{0}, 3 \cdot {}^{n}C_{1}, 5 \cdot {}^{n}C_{2}, 7 \cdot {}^{n}C_{3}, \ldots$ નો સરવાળો $2^{100} \cdot 101$ હોય,તો $2\left[\frac{n-1}{2}\right]$ ની કિંમત $....$ થાય.
A
$40$
B
$11$
C
$45$
D
$98$
Solution
(D) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = (2r+1) \cdot {}^{n}C_{r}$ છે,જ્યાં $r = 0, 1, 2, \ldots, n$.
સરવાળો $S = \sum_{r=0}^{n} (2r+1) \cdot {}^{n}C_{r}$ દ્વારા મળે છે.
$S = 2 \sum_{r=0}^{n} r \cdot {}^{n}C_{r} + \sum_{r=0}^{n} {}^{n}C_{r}$.
નિત્યસમ $\sum r \cdot {}^{n}C_{r} = n \cdot 2^{n-1}$ અને $\sum {}^{n}C_{r} = 2^{n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 2(n \cdot 2^{n-1}) + 2^{n} = n \cdot 2^{n} + 2^{n} = 2^{n}(n+1)$.
આપેલ છે કે $S = 2^{100} \cdot 101$,તેથી $2^{n}(n+1) = 2^{100} \cdot 101$,જેનો અર્થ છે કે $n = 100$.
હવે,$2\left[\frac{n-1}{2}\right] = 2\left[\frac{100-1}{2}\right] = 2\left[\frac{99}{2}\right] = 2[49.5] = 2 \cdot 49 = 98$.
સરવાળો $S = \sum_{r=0}^{n} (2r+1) \cdot {}^{n}C_{r}$ દ્વારા મળે છે.
$S = 2 \sum_{r=0}^{n} r \cdot {}^{n}C_{r} + \sum_{r=0}^{n} {}^{n}C_{r}$.
નિત્યસમ $\sum r \cdot {}^{n}C_{r} = n \cdot 2^{n-1}$ અને $\sum {}^{n}C_{r} = 2^{n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 2(n \cdot 2^{n-1}) + 2^{n} = n \cdot 2^{n} + 2^{n} = 2^{n}(n+1)$.
આપેલ છે કે $S = 2^{100} \cdot 101$,તેથી $2^{n}(n+1) = 2^{100} \cdot 101$,જેનો અર્થ છે કે $n = 100$.
હવે,$2\left[\frac{n-1}{2}\right] = 2\left[\frac{100-1}{2}\right] = 2\left[\frac{99}{2}\right] = 2[49.5] = 2 \cdot 49 = 98$.
0 likes
View Solution82
DifficultMCQ
જો $\binom{40}{0} + \binom{41}{1} + \binom{42}{2} + \dots + \binom{60}{20} = \frac{m}{n} \binom{60}{20}$,જ્યાં $m$ અને $n$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોય,તો $m+n$ ની કિંમત શોધો.
A
$102$
B
$103$
C
$104$
D
$105$
Solution
(A) આપણે નિત્યસમ $\sum_{k=0}^{r} \binom{n+k}{k} = \binom{n+r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં $n=40$ અને $r=20$ છે.
તેથી,સરવાળો $S = \binom{40+20+1}{20} = \binom{61}{20}$ થાય.
આપેલ છે કે $S = \frac{m}{n} \binom{60}{20}$.
$\binom{61}{20} = \frac{61}{41} \binom{60}{20}$ હોવાથી,$m = 61$ અને $n = 41$ મળે.
તેથી,$m+n = 61 + 41 = 102$.
અહીં $n=40$ અને $r=20$ છે.
તેથી,સરવાળો $S = \binom{40+20+1}{20} = \binom{61}{20}$ થાય.
આપેલ છે કે $S = \frac{m}{n} \binom{60}{20}$.
$\binom{61}{20} = \frac{61}{41} \binom{60}{20}$ હોવાથી,$m = 61$ અને $n = 41$ મળે.
તેથી,$m+n = 61 + 41 = 102$.
0 likes
View Solution83
DifficultMCQ
જો $\sum\limits_{k=1}^{31} \binom{31}{k} \binom{31}{k-1} - \sum\limits_{k=1}^{30} \binom{30}{k} \binom{30}{k-1} = \frac{\alpha(60!)}{(30!)(31!)}$,જ્યાં $\alpha \in R$,તો $16\alpha$ ની કિંમત કેટલી થાય?
A
$1411$
B
$1320$
C
$1615$
D
$1855$
Solution
(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum\limits_{k=1}^{n} \binom{n}{k} \binom{n}{k-1} = \binom{2n}{n-1}$.
$n=31$ માટે પ્રથમ પદ $\binom{62}{30}$ થાય.
$n=30$ માટે બીજું પદ $\binom{60}{29}$ થાય.
તેથી,$\binom{62}{30} - \binom{60}{29} = \frac{62!}{30!32!} - \frac{60!}{29!31!}$.
$\frac{60!}{29!31!}$ સામાન્ય લેતા: $\frac{60!}{29!31!} \left( \frac{62 \times 61}{30 \times 32} - 1 \right) = \frac{60!}{30!31!} \left( \frac{1891}{16} \right)$.
$\alpha = \frac{1891}{16}$ મળે.
તેથી,$16\alpha = 1891$.
$n=31$ માટે પ્રથમ પદ $\binom{62}{30}$ થાય.
$n=30$ માટે બીજું પદ $\binom{60}{29}$ થાય.
તેથી,$\binom{62}{30} - \binom{60}{29} = \frac{62!}{30!32!} - \frac{60!}{29!31!}$.
$\frac{60!}{29!31!}$ સામાન્ય લેતા: $\frac{60!}{29!31!} \left( \frac{62 \times 61}{30 \times 32} - 1 \right) = \frac{60!}{30!31!} \left( \frac{1891}{16} \right)$.
$\alpha = \frac{1891}{16}$ મળે.
તેથી,$16\alpha = 1891$.
0 likes
View Solution84
DifficultMCQ
જો $\sum_{k=1}^{10} k^{2} \binom{10}{k}^{2} = 22000 L$ હોય,તો $L$ ની કિંમત $.....$ છે.
A
$222$
B
$221$
C
$223$
D
$224$
Solution
(B) આપણને સરવાળો $S = \sum_{k=1}^{10} k^{2} \binom{10}{k}^{2}$ આપેલ છે.
નિત્યસમ $k \binom{n}{k} = n \binom{n-1}{k-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $k \binom{10}{k} = 10 \binom{9}{k-1}$ મળે છે.
આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા:
$S = \sum_{k=1}^{10} (10 \binom{9}{k-1})^{2} = 100 \sum_{k=1}^{10} \binom{9}{k-1}^{2}$.
ધારો કે $j = k-1$,તો જ્યારે $k$,$1$ થી $10$ સુધી જાય,ત્યારે $j$,$0$ થી $9$ સુધી જાય છે:
$S = 100 \sum_{j=0}^{9} \binom{9}{j}^{2}$.
નિત્યસમ $\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j}^{2} = \binom{2n}{n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 100 \binom{18}{9} = 100 \times 48620 = 4862000$.
આપેલ છે કે $S = 22000 L$,તેથી $22000 L = 4862000$.
$L = \frac{4862000}{22000} = \frac{4862}{22} = 221$.
નિત્યસમ $k \binom{n}{k} = n \binom{n-1}{k-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $k \binom{10}{k} = 10 \binom{9}{k-1}$ મળે છે.
આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા:
$S = \sum_{k=1}^{10} (10 \binom{9}{k-1})^{2} = 100 \sum_{k=1}^{10} \binom{9}{k-1}^{2}$.
ધારો કે $j = k-1$,તો જ્યારે $k$,$1$ થી $10$ સુધી જાય,ત્યારે $j$,$0$ થી $9$ સુધી જાય છે:
$S = 100 \sum_{j=0}^{9} \binom{9}{j}^{2}$.
નિત્યસમ $\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j}^{2} = \binom{2n}{n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 100 \binom{18}{9} = 100 \times 48620 = 4862000$.
આપેલ છે કે $S = 22000 L$,તેથી $22000 L = 4862000$.
$L = \frac{4862000}{22000} = \frac{4862}{22} = 221$.
0 likes
View Solution85
AdvancedMCQ
ધારો કે $(1+2x)^{20} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{20}x^{20}$. તો $3a_0 + 2a_1 + 3a_2 + 2a_3 + 3a_4 + 2a_5 + \dots + 2a_{19} + 3a_{20}$ ની કિંમત શોધો.
A
$\frac{5 \cdot 3^{20}-3}{2}$
B
$\frac{5 \cdot 3^{20}+3}{2}$
C
$\frac{5 \cdot 3^{20}+1}{2}$
D
$\frac{5 \cdot 3^{20}-1}{2}$
Solution
(C) આપેલ છે કે $(1+2x)^{20} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{20}x^{20}$.
$x=1$ મૂકતા,$3^{20} = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_{20} \dots (i)$.
$x=-1$ મૂકતા,$1 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots + a_{20} \dots (ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{20} = \frac{3^{20}+1}{2}$.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા,$a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{19} = \frac{3^{20}-1}{2}$.
આપણે $S = 3a_0 + 2a_1 + 3a_2 + 2a_3 + \dots + 2a_{19} + 3a_{20}$ ની કિંમત શોધવી છે.
આને $S = 3(a_0 + a_2 + \dots + a_{20}) + 2(a_1 + a_3 + \dots + a_{19})$ તરીકે લખી શકાય.
કિંમતો મૂકતા,$S = 3 \left( \frac{3^{20}+1}{2} \right) + 2 \left( \frac{3^{20}-1}{2} \right)$.
$S = \frac{3 \cdot 3^{20} + 3 + 2 \cdot 3^{20} - 2}{2} = \frac{5 \cdot 3^{20} + 1}{2}$.
$x=1$ મૂકતા,$3^{20} = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_{20} \dots (i)$.
$x=-1$ મૂકતા,$1 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots + a_{20} \dots (ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{20} = \frac{3^{20}+1}{2}$.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા,$a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{19} = \frac{3^{20}-1}{2}$.
આપણે $S = 3a_0 + 2a_1 + 3a_2 + 2a_3 + \dots + 2a_{19} + 3a_{20}$ ની કિંમત શોધવી છે.
આને $S = 3(a_0 + a_2 + \dots + a_{20}) + 2(a_1 + a_3 + \dots + a_{19})$ તરીકે લખી શકાય.
કિંમતો મૂકતા,$S = 3 \left( \frac{3^{20}+1}{2} \right) + 2 \left( \frac{3^{20}-1}{2} \right)$.
$S = \frac{3 \cdot 3^{20} + 3 + 2 \cdot 3^{20} - 2}{2} = \frac{5 \cdot 3^{20} + 1}{2}$.
0 likes
View Solution86
AdvancedMCQ
ધારો કે $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. તો સરવાળો $\frac{1}{2^{10}} \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} k^2$ એ કયા અંતરાલમાં આવે છે?
A
$(2, 3)$
B
$(27, 28)$
C
$(28, 29)$
D
$(29, 30)$
Solution
(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} k^2 = n(n+1) 2^{n-2}$.
$n=10$ માટે,સરવાળો $\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} k^2 = 10(11) 2^{10-2} = 110 \times 2^8$ થાય.
હવે,આપેલ પદાવલિની ગણતરી કરીએ:
$\frac{1}{2^{10}} \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} k^2 = \frac{110 \times 2^8}{2^{10}} = \frac{110}{4} = 27.5$.
આમ,$27.5$ એ $(27, 28)$ અંતરાલમાં આવે છે.
$n=10$ માટે,સરવાળો $\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} k^2 = 10(11) 2^{10-2} = 110 \times 2^8$ થાય.
હવે,આપેલ પદાવલિની ગણતરી કરીએ:
$\frac{1}{2^{10}} \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} k^2 = \frac{110 \times 2^8}{2^{10}} = \frac{110}{4} = 27.5$.
આમ,$27.5$ એ $(27, 28)$ અંતરાલમાં આવે છે.
0 likes
View Solution87
MediumMCQ
ધારો કે $\sum_{r=0}^{2023} r \cdot ^{2023}C_r = 2023 \times \alpha \times 2^{2022}$ છે. તો $\alpha$ ની કિંમત $............$ છે.
A
$1$
B
$2023$
C
$2022$
D
$0$
Solution
(A) આપણે દ્વિપદી સહગુણકો માટેનું પ્રમાણિત નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\sum_{r=0}^{n} r \cdot ^{n}C_r = n \cdot 2^{n-1}$.
આપેલ પદાવલિ $\sum_{r=0}^{2023} r \cdot ^{2023}C_r$ માટે,આપણે નિત્યસમમાં $n = 2023$ મૂકીએ છીએ:
$\sum_{r=0}^{2023} r \cdot ^{2023}C_r = 2023 \cdot 2^{2023-1} = 2023 \cdot 2^{2022}$.
આ પરિણામની સરખામણી આપેલ પદાવલિ $2023 \times \alpha \times 2^{2022}$ સાથે કરતા,આપણને મળે છે:
$2023 \cdot 2^{2022} = 2023 \cdot \alpha \cdot 2^{2022}$.
બંને બાજુને $2023 \cdot 2^{2022}$ વડે ભાગતા,આપણને $\alpha = 1$ મળે છે.
આપેલ પદાવલિ $\sum_{r=0}^{2023} r \cdot ^{2023}C_r$ માટે,આપણે નિત્યસમમાં $n = 2023$ મૂકીએ છીએ:
$\sum_{r=0}^{2023} r \cdot ^{2023}C_r = 2023 \cdot 2^{2023-1} = 2023 \cdot 2^{2022}$.
આ પરિણામની સરખામણી આપેલ પદાવલિ $2023 \times \alpha \times 2^{2022}$ સાથે કરતા,આપણને મળે છે:
$2023 \cdot 2^{2022} = 2023 \cdot \alpha \cdot 2^{2022}$.
બંને બાજુને $2023 \cdot 2^{2022}$ વડે ભાગતા,આપણને $\alpha = 1$ મળે છે.
0 likes
View Solution88
DifficultMCQ
જો $\sum_{k=1}^{30} k \left({ }^{30} C _k\right)^2 = \frac{\alpha 60 !}{(30 !)^2}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.
A
$30$
B
$60$
C
$15$
D
$10$
Solution
(C) ધારો કે $S = \sum_{k=1}^{30} k \left({ }^{30} C _k\right)^2$.
ગુણધર્મ ${ }^{n} C _k = { }^{n} C _{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા,$S = \sum_{k=1}^{30} k \left({ }^{30} C _{30-k}\right)^2$.
$j = 30-k$ લેતા,$S = \sum_{j=0}^{29} (30-j) \left({ }^{30} C _j\right)^2$.
આમ,$2S = 30 \sum_{k=0}^{30} \left({ }^{30} C _k\right)^2 = 30 \times { }^{60} C _{30}$.
$S = 15 \times { }^{60} C _{30} = 15 \times \frac{60!}{(30!)^2}$.
તેથી,$\alpha = 15$.
ગુણધર્મ ${ }^{n} C _k = { }^{n} C _{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા,$S = \sum_{k=1}^{30} k \left({ }^{30} C _{30-k}\right)^2$.
$j = 30-k$ લેતા,$S = \sum_{j=0}^{29} (30-j) \left({ }^{30} C _j\right)^2$.
આમ,$2S = 30 \sum_{k=0}^{30} \left({ }^{30} C _k\right)^2 = 30 \times { }^{60} C _{30}$.
$S = 15 \times { }^{60} C _{30} = 15 \times \frac{60!}{(30!)^2}$.
તેથી,$\alpha = 15$.
0 likes
View Solution89
MediumMCQ
$\sum \limits_{k=0}^{6} {}^{51-k}C_{3}$ ની કિંમત શોધો.
A
${}^{51}C_{4}-{}^{45}C_{4}$
B
${}^{51}C_{3}-{}^{45}C_{3}$
C
${}^{52}C_{4}-{}^{45}C_{4}$
D
${}^{52}C_{3}-{}^{45}C_{3}$
Solution
(C) આપેલ સરવાળો $S = \sum \limits_{k=0}^{6} {}^{51-k}C_{3}$ છે.
તેને વિસ્તૃત કરતા,$S = {}^{51}C_{3} + {}^{50}C_{3} + {}^{49}C_{3} + {}^{48}C_{3} + {}^{47}C_{3} + {}^{46}C_{3} + {}^{45}C_{3}$ મળે.
આને ચડતા ક્રમમાં લખતા,$S = {}^{45}C_{3} + {}^{46}C_{3} + {}^{47}C_{3} + {}^{48}C_{3} + {}^{49}C_{3} + {}^{50}C_{3} + {}^{51}C_{3}$ મળે.
પાસ્કલના નિત્યસમ ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,${}^{45}C_{4} + {}^{45}C_{3} = {}^{46}C_{4}$ થાય.
આથી,$S = ({}^{45}C_{4} + {}^{45}C_{3}) + {}^{46}C_{3} + {}^{47}C_{3} + {}^{48}C_{3} + {}^{49}C_{3} + {}^{50}C_{3} + {}^{51}C_{3} - {}^{45}C_{4}$.
આ પ્રક્રિયાનું પુનરાવર્તન કરતા,અંતે ${}^{52}C_{4} - {}^{45}C_{4}$ મળે છે.
તેને વિસ્તૃત કરતા,$S = {}^{51}C_{3} + {}^{50}C_{3} + {}^{49}C_{3} + {}^{48}C_{3} + {}^{47}C_{3} + {}^{46}C_{3} + {}^{45}C_{3}$ મળે.
આને ચડતા ક્રમમાં લખતા,$S = {}^{45}C_{3} + {}^{46}C_{3} + {}^{47}C_{3} + {}^{48}C_{3} + {}^{49}C_{3} + {}^{50}C_{3} + {}^{51}C_{3}$ મળે.
પાસ્કલના નિત્યસમ ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,${}^{45}C_{4} + {}^{45}C_{3} = {}^{46}C_{4}$ થાય.
આથી,$S = ({}^{45}C_{4} + {}^{45}C_{3}) + {}^{46}C_{3} + {}^{47}C_{3} + {}^{48}C_{3} + {}^{49}C_{3} + {}^{50}C_{3} + {}^{51}C_{3} - {}^{45}C_{4}$.
આ પ્રક્રિયાનું પુનરાવર્તન કરતા,અંતે ${}^{52}C_{4} - {}^{45}C_{4}$ મળે છે.
0 likes
View Solution90
DifficultMCQ
$\frac{1}{1! 50!} + \frac{1}{3! 48!} + \frac{1}{5! 46!} + \dots + \frac{1}{49! 2!} + \frac{1}{51! 1!}$ ની કિંમત $.............$ છે.
A
$\frac{2^{50}}{50!}$
B
$\frac{2^{50}}{51!}$
C
$\frac{2^{51}}{51!}$
D
$\frac{2^{51}}{50!}$
Solution
(B) આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{r=1}^{26} \frac{1}{(2r-1)! (51-(2r-1))!}$ છે.
$51!$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$S = \frac{1}{51!} \sum_{r=1}^{26} \frac{51!}{(2r-1)! (52-2r)!} = \frac{1}{51!} \sum_{r=1}^{26} {}^{51}C_{2r-1}$.
આ સરવાળો $(1+x)^{51}$ ના એકી ક્રમના દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો દર્શાવે છે:
$S = \frac{1}{51!} ({}^{51}C_1 + {}^{51}C_3 + \dots + {}^{51}C_{51})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે એકી ક્રમના દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $2^{n-1}$ થાય છે. અહીં $n=51$ છે,તેથી સરવાળો $2^{51-1} = 2^{50}$ થશે.
તેથી,$S = \frac{2^{50}}{51!}$.
$51!$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$S = \frac{1}{51!} \sum_{r=1}^{26} \frac{51!}{(2r-1)! (52-2r)!} = \frac{1}{51!} \sum_{r=1}^{26} {}^{51}C_{2r-1}$.
આ સરવાળો $(1+x)^{51}$ ના એકી ક્રમના દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો દર્શાવે છે:
$S = \frac{1}{51!} ({}^{51}C_1 + {}^{51}C_3 + \dots + {}^{51}C_{51})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે એકી ક્રમના દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $2^{n-1}$ થાય છે. અહીં $n=51$ છે,તેથી સરવાળો $2^{51-1} = 2^{50}$ થશે.
તેથી,$S = \frac{2^{50}}{51!}$.
0 likes
View Solution91
DifficultMCQ
જો $\frac{1}{n+1} {}^{n}C_{n} + \frac{1}{n} {}^{n}C_{n-1} + \dots + \frac{1}{2} {}^{n}C_{1} + {}^{n}C_{0} = \frac{1023}{10}$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.
A
$6$
B
$9$
C
$8$
D
$7$
Solution
(B) આપેલ પદાવલિ $\sum_{r=0}^{n} \frac{{}^{n}C_{r}}{r+1} = \frac{1023}{10}$ છે.
નિત્યસમ $\frac{1}{r+1} {}^{n}C_{r} = \frac{1}{n+1} {}^{n+1}C_{r+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{r=0}^{n} \frac{1}{n+1} {}^{n+1}C_{r+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{r=0}^{n} {}^{n+1}C_{r+1}$.
ધારો કે $k = r+1$,તો સરવાળો $\frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n+1} {}^{n+1}C_{k}$ થાય.
કારણ કે $\sum_{k=0}^{n+1} {}^{n+1}C_{k} = 2^{n+1}$,તેથી $\sum_{k=1}^{n+1} {}^{n+1}C_{k} = 2^{n+1} - {}^{n+1}C_{0} = 2^{n+1} - 1$.
આમ,$\frac{2^{n+1}-1}{n+1} = \frac{1023}{10}$.
છેદની સરખામણી કરતા,$n+1 = 10$,તેથી $n = 9$ મળે છે.
અંશ ચકાસતા: $2^{9+1} - 1 = 2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$. જે આપેલ કિંમત સાથે મેળ ખાય છે.
નિત્યસમ $\frac{1}{r+1} {}^{n}C_{r} = \frac{1}{n+1} {}^{n+1}C_{r+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{r=0}^{n} \frac{1}{n+1} {}^{n+1}C_{r+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{r=0}^{n} {}^{n+1}C_{r+1}$.
ધારો કે $k = r+1$,તો સરવાળો $\frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n+1} {}^{n+1}C_{k}$ થાય.
કારણ કે $\sum_{k=0}^{n+1} {}^{n+1}C_{k} = 2^{n+1}$,તેથી $\sum_{k=1}^{n+1} {}^{n+1}C_{k} = 2^{n+1} - {}^{n+1}C_{0} = 2^{n+1} - 1$.
આમ,$\frac{2^{n+1}-1}{n+1} = \frac{1023}{10}$.
છેદની સરખામણી કરતા,$n+1 = 10$,તેથી $n = 9$ મળે છે.
અંશ ચકાસતા: $2^{9+1} - 1 = 2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$. જે આપેલ કિંમત સાથે મેળ ખાય છે.
0 likes
View Solution92
DifficultMCQ
જો $\frac{{}^{11}C_1}{2} + \frac{{}^{11}C_2}{3} + \dots + \frac{{}^{11}C_9}{10} = \frac{n}{m}$ અને $\gcd(n, m) = 1$ હોય,તો $n + m$ ની કિંમત શોધો.
A
$2041$
B
$2024$
C
$2014$
D
$2043$
Solution
(A) આપણે નિત્યસમ $\frac{{}^nC_r}{r+1} = \frac{{}^{n+1}C_{r+1}}{n+1}$ નો ઉપયોગ કરીએ.
આપેલ સરવાળો $S = \sum_{r=1}^9 \frac{{}^{11}C_r}{r+1}$ છે.
નિત્યસમ લાગુ પાડતા,$S = \sum_{r=1}^9 \frac{{}^{12}C_{r+1}}{12} = \frac{1}{12} \sum_{k=2}^{10} {}^{12}C_k$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{12} {}^{12}C_k = 2^{12} = 4096$.
તેથી,$\sum_{k=2}^{10} {}^{12}C_k = 2^{12} - ({}^{12}C_0 + {}^{12}C_1 + {}^{12}C_{11} + {}^{12}C_{12})$.
$= 4096 - (1 + 12 + 12 + 1) = 4096 - 26 = 4070$.
આમ,$S = \frac{4070}{12} = \frac{2035}{6}$.
અહીં $\gcd(2035, 6) = 1$ હોવાથી,$n = 2035$ અને $m = 6$ મળે.
તેથી,$n + m = 2035 + 6 = 2041$.
આપેલ સરવાળો $S = \sum_{r=1}^9 \frac{{}^{11}C_r}{r+1}$ છે.
નિત્યસમ લાગુ પાડતા,$S = \sum_{r=1}^9 \frac{{}^{12}C_{r+1}}{12} = \frac{1}{12} \sum_{k=2}^{10} {}^{12}C_k$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{12} {}^{12}C_k = 2^{12} = 4096$.
તેથી,$\sum_{k=2}^{10} {}^{12}C_k = 2^{12} - ({}^{12}C_0 + {}^{12}C_1 + {}^{12}C_{11} + {}^{12}C_{12})$.
$= 4096 - (1 + 12 + 12 + 1) = 4096 - 26 = 4070$.
આમ,$S = \frac{4070}{12} = \frac{2035}{6}$.
અહીં $\gcd(2035, 6) = 1$ હોવાથી,$n = 2035$ અને $m = 6$ મળે.
તેથી,$n + m = 2035 + 6 = 2041$.
0 likes
View Solution93
AdvancedMCQ
ધારો કે $\alpha = \sum_{k=0}^n \left( \frac{({ }^n C_k)^2}{k+1} \right)$ અને $\beta = \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{{ }^n C_k \cdot { }^n C_{k+1}}{k+2} \right)$. જો $5 \alpha = 6 \beta$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો:
A
$6$
B
$7$
C
$9$
D
$10$
Solution
(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{{ }^n C_k}{k+1} = \frac{{ }^{n+1} C_{k+1}}{n+1}$.
તેથી,$\alpha = \sum_{k=0}^n \frac{{ }^n C_k \cdot { }^{n+1} C_{k+1}}{n+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n { }^n C_{n-k} \cdot { }^{n+1} C_{k+1} = \frac{1}{n+1} { }^{2n+1} C_{n+1}$.
તે જ રીતે,$\beta = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{{ }^n C_k \cdot { }^{n+1} C_{k+2}}{n+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n-1} { }^n C_{n-k} \cdot { }^{n+1} C_{k+2} = \frac{1}{n+1} { }^{2n+1} C_{n+2}$.
આપેલ છે કે $5 \alpha = 6 \beta$,તેથી $\frac{\beta}{\alpha} = \frac{5}{6}$.
પદ મૂકતા,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{{ }^{2n+1} C_{n+2}}{{ }^{2n+1} C_{n+1}} = \frac{2n+1 - (n+2) + 1}{n+2} = \frac{n}{n+2}$.
$\frac{n}{n+2} = \frac{5}{6}$ લેતા,$6n = 5n + 10$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $n = 10$.
તેથી,$\alpha = \sum_{k=0}^n \frac{{ }^n C_k \cdot { }^{n+1} C_{k+1}}{n+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n { }^n C_{n-k} \cdot { }^{n+1} C_{k+1} = \frac{1}{n+1} { }^{2n+1} C_{n+1}$.
તે જ રીતે,$\beta = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{{ }^n C_k \cdot { }^{n+1} C_{k+2}}{n+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n-1} { }^n C_{n-k} \cdot { }^{n+1} C_{k+2} = \frac{1}{n+1} { }^{2n+1} C_{n+2}$.
આપેલ છે કે $5 \alpha = 6 \beta$,તેથી $\frac{\beta}{\alpha} = \frac{5}{6}$.
પદ મૂકતા,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{{ }^{2n+1} C_{n+2}}{{ }^{2n+1} C_{n+1}} = \frac{2n+1 - (n+2) + 1}{n+2} = \frac{n}{n+2}$.
$\frac{n}{n+2} = \frac{5}{6}$ લેતા,$6n = 5n + 10$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $n = 10$.
0 likes
View Solution94
DifficultMCQ
જો $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં $x^4, x^5$ અને $x^6$ ના સહગુણકો સમાંતર શ્રેણીમાં હોય,તો $n$ ની મહત્તમ કિંમત કેટલી થાય?
A
$14$
B
$21$
C
$28$
D
$7$
Solution
(A) $(1+x)^n$ માં $x^4, x^5, x^6$ ના સહગુણકો અનુક્રમે $^nC_4, ^nC_5, ^nC_6$ છે.
તેઓ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$2(^nC_5) = ^nC_4 + ^nC_6$ થાય.
$^nC_5$ વડે ભાગતા,$2 = \frac{^nC_4}{^nC_5} + \frac{^nC_6}{^nC_5}$ મળે.
ગુણધર્મ $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{^nC_4}{^nC_5} = \frac{5}{n-4}$ અને $\frac{^nC_6}{^nC_5} = \frac{n-5}{6}$ મળે.
તેથી,$2 = \frac{5}{n-4} + \frac{n-5}{6}$.
$6(n-4)$ વડે ગુણતા,$12(n-4) = 30 + (n-5)(n-4)$ મળે.
$12n - 48 = 30 + n^2 - 9n + 20$.
$n^2 - 21n + 98 = 0$.
$(n-14)(n-7) = 0$.
આમ,$n = 14$ અથવા $n = 7$.
$n$ ની મહત્તમ કિંમત $14$ છે.
તેઓ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$2(^nC_5) = ^nC_4 + ^nC_6$ થાય.
$^nC_5$ વડે ભાગતા,$2 = \frac{^nC_4}{^nC_5} + \frac{^nC_6}{^nC_5}$ મળે.
ગુણધર્મ $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{^nC_4}{^nC_5} = \frac{5}{n-4}$ અને $\frac{^nC_6}{^nC_5} = \frac{n-5}{6}$ મળે.
તેથી,$2 = \frac{5}{n-4} + \frac{n-5}{6}$.
$6(n-4)$ વડે ગુણતા,$12(n-4) = 30 + (n-5)(n-4)$ મળે.
$12n - 48 = 30 + n^2 - 9n + 20$.
$n^2 - 21n + 98 = 0$.
$(n-14)(n-7) = 0$.
આમ,$n = 14$ અથવા $n = 7$.
$n$ ની મહત્તમ કિંમત $14$ છે.
0 likes
View Solution95
DifficultMCQ
$r=0, 1, \ldots, 10$ માટે,ધારો કે $A_{r}, B_{r}$ અને $C_{r}$ અનુક્રમે $(1+x)^{10}$,$(1+x)^{20}$ અને $(1+x)^{30}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{r}$ ના સહગુણકો દર્શાવે છે. તો $\sum_{r=1}^{10} A_r(B_{10} B_r - C_{10} A_r)$ ની કિંમત શોધો.
A
$B_{10}-C_{10}$
B
$A_{10}(B_{10}^2 - C_{10} A_{10})$
C
$0$
D
$C_{10}-B_{10}$
Solution
(D) આપેલ છે કે $A_r = \binom{10}{r}$,$B_r = \binom{20}{r}$,$C_r = \binom{30}{r}$.
આપણે $S = \sum_{r=1}^{10} A_r(B_{10} B_r - C_{10} A_r) = B_{10} \sum_{r=1}^{10} A_r B_r - C_{10} \sum_{r=1}^{10} A_r^2$ ની ગણતરી કરવાની છે.
ગુણધર્મ $\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} \binom{m}{k-r} = \binom{n+m}{k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{r=0}^{10} A_r B_r = \sum_{r=0}^{10} \binom{10}{r} \binom{20}{r} = \binom{30}{10} = C_{10}$.
$A_0 = 1$ અને $B_0 = 1$ હોવાથી,$\sum_{r=1}^{10} A_r B_r = C_{10} - 1$.
તે જ રીતે,$\sum_{r=0}^{10} A_r^2 = \sum_{r=0}^{10} \binom{10}{r} \binom{10}{10-r} = \binom{20}{10} = B_{10}$.
$A_0 = 1$ હોવાથી,$\sum_{r=1}^{10} A_r^2 = B_{10} - 1$.
આ કિંમતો $S$ માં મૂકતા:
$S = B_{10}(C_{10} - 1) - C_{10}(B_{10} - 1) = C_{10} - B_{10}$.
આપણે $S = \sum_{r=1}^{10} A_r(B_{10} B_r - C_{10} A_r) = B_{10} \sum_{r=1}^{10} A_r B_r - C_{10} \sum_{r=1}^{10} A_r^2$ ની ગણતરી કરવાની છે.
ગુણધર્મ $\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} \binom{m}{k-r} = \binom{n+m}{k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{r=0}^{10} A_r B_r = \sum_{r=0}^{10} \binom{10}{r} \binom{20}{r} = \binom{30}{10} = C_{10}$.
$A_0 = 1$ અને $B_0 = 1$ હોવાથી,$\sum_{r=1}^{10} A_r B_r = C_{10} - 1$.
તે જ રીતે,$\sum_{r=0}^{10} A_r^2 = \sum_{r=0}^{10} \binom{10}{r} \binom{10}{10-r} = \binom{20}{10} = B_{10}$.
$A_0 = 1$ હોવાથી,$\sum_{r=1}^{10} A_r^2 = B_{10} - 1$.
આ કિંમતો $S$ માં મૂકતા:
$S = B_{10}(C_{10} - 1) - C_{10}(B_{10} - 1) = C_{10} - B_{10}$.
0 likes
View Solution96
DifficultMCQ
ધારો કે $X = 1({ }^{10} C _1)^2 + 2({ }^{10} C _2)^2 + 3({ }^{10} C _3)^2 + \ldots + 10({ }^{10} C _{10})^2$,જ્યાં ${ }^{10} C _{ r }$ એ $r \in \{1, 2, \ldots, 10\}$ માટે દ્વિપદી સહગુણકો દર્શાવે છે. તો,$\frac{1}{1430} X$ ની કિંમત શોધો.
A
$430$
B
$435$
C
$540$
D
$646$
Solution
(D) આપેલ પદાવલિ $X = \sum_{r=1}^{10} r \left({ }^{10} C_r\right)^2$ છે.
ગુણધર્મ ${ }^{n} C_r = { }^{n} C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$X = \sum_{r=1}^{10} (10-r) \left({ }^{10} C_{10-r}\right)^2 = \sum_{r=0}^{9} (10-r) \left({ }^{10} C_r\right)^2$.
$X$ ના બંને સ્વરૂપોનો સરવાળો કરતા:
$2X = \sum_{r=1}^{10} r \left({ }^{10} C_r\right)^2 + \sum_{r=0}^{9} (10-r) \left({ }^{10} C_r\right)^2 = 10 \sum_{r=0}^{10} \left({ }^{10} C_r\right)^2$.
નિત્યસમ $\sum_{r=0}^{n} ({ }^{n} C_r)^2 = { }^{2n} C_n$ નો ઉપયોગ કરતા,$2X = 10 \cdot { }^{20} C_{10}$ મળે.
આમ,$X = 5 \cdot { }^{20} C_{10}$.
અહીં ${ }^{20} C_{10} = 184756$ હોવાથી,$X = 5 \times 184756 = 923780$.
છેલ્લે,$\frac{X}{1430} = \frac{923780}{1430} = 646$.
ગુણધર્મ ${ }^{n} C_r = { }^{n} C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$X = \sum_{r=1}^{10} (10-r) \left({ }^{10} C_{10-r}\right)^2 = \sum_{r=0}^{9} (10-r) \left({ }^{10} C_r\right)^2$.
$X$ ના બંને સ્વરૂપોનો સરવાળો કરતા:
$2X = \sum_{r=1}^{10} r \left({ }^{10} C_r\right)^2 + \sum_{r=0}^{9} (10-r) \left({ }^{10} C_r\right)^2 = 10 \sum_{r=0}^{10} \left({ }^{10} C_r\right)^2$.
નિત્યસમ $\sum_{r=0}^{n} ({ }^{n} C_r)^2 = { }^{2n} C_n$ નો ઉપયોગ કરતા,$2X = 10 \cdot { }^{20} C_{10}$ મળે.
આમ,$X = 5 \cdot { }^{20} C_{10}$.
અહીં ${ }^{20} C_{10} = 184756$ હોવાથી,$X = 5 \times 184756 = 923780$.
છેલ્લે,$\frac{X}{1430} = \frac{923780}{1430} = 646$.
0 likes
View Solution97
DifficultMCQ
જો $\sum_{r=0}^5 \frac{{}^{11}C_{2r+1}}{2r+2} = \frac{m}{n}$,$\text{gcd}(m, n) = 1$ હોય,તો $m - n$ ની કિંમત . . . . . . થાય.
A
$2785$
B
$2035$
C
$5039$
D
$2235$
Solution
(B) $(1+x)^{11} = \sum_{k=0}^{11} {}^{11}C_k x^k$ નું $0$ થી $1$ સુધી સંકલન કરતા,$\int_0^1 (1+x)^{11} dx = \sum_{k=0}^{11} \frac{{}^{11}C_k}{k+1} = \frac{2^{12}-1}{12}$ મળે.
$-1$ થી $0$ સુધી સંકલન કરતા,$\int_{-1}^0 (1+x)^{11} dx = \sum_{k=0}^{11} \frac{{}^{11}C_k (-1)^k}{k+1} = \frac{1}{12}$ મળે.
બંને પરિણામોની બાદબાકી કરતા: $\sum_{k=0}^{11} \frac{{}^{11}C_k (1 - (-1)^k)}{k+1} = \frac{2^{12}-2}{12} = \frac{2^{11}-1}{6}$.
આ સરવાળામાં માત્ર એકી $k$ વાળા પદો જ બાકી રહેશે,એટલે કે $k = 2r+1$.
તેથી,$2 \sum_{r=0}^5 \frac{{}^{11}C_{2r+1}}{2r+2} = \frac{2^{11}-1}{6}$,જેનો અર્થ છે કે $\sum_{r=0}^5 \frac{{}^{11}C_{2r+1}}{2r+2} = \frac{2047}{12}$.
અહીં $m = 2047$ અને $n = 12$ છે. તેથી $m - n = 2047 - 12 = 2035$.
$-1$ થી $0$ સુધી સંકલન કરતા,$\int_{-1}^0 (1+x)^{11} dx = \sum_{k=0}^{11} \frac{{}^{11}C_k (-1)^k}{k+1} = \frac{1}{12}$ મળે.
બંને પરિણામોની બાદબાકી કરતા: $\sum_{k=0}^{11} \frac{{}^{11}C_k (1 - (-1)^k)}{k+1} = \frac{2^{12}-2}{12} = \frac{2^{11}-1}{6}$.
આ સરવાળામાં માત્ર એકી $k$ વાળા પદો જ બાકી રહેશે,એટલે કે $k = 2r+1$.
તેથી,$2 \sum_{r=0}^5 \frac{{}^{11}C_{2r+1}}{2r+2} = \frac{2^{11}-1}{6}$,જેનો અર્થ છે કે $\sum_{r=0}^5 \frac{{}^{11}C_{2r+1}}{2r+2} = \frac{2047}{12}$.
અહીં $m = 2047$ અને $n = 12$ છે. તેથી $m - n = 2047 - 12 = 2035$.
0 likes
View Solution98
DifficultMCQ
જો $\sum_{r=1}^{30} \frac{r^2({}^{30}C_r)^2}{{}^{30}C_{r-1}} = \alpha \times 2^{29}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.
A
$126$
B
$626$
C
$357$
D
$465$
Solution
(D) આપણી પાસે પદ $S = \sum_{r=1}^{30} \frac{r^2({}^{30}C_r)^2}{{}^{30}C_{r-1}}$ છે.
ગુણધર્મ $\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{{}^{30}C_r}{{}^{30}C_{r-1}} = \frac{31-r}{r}$ મળે.
તેથી,પદ $r(31-r) {}^{30}C_r$ બને છે.
$r \cdot {}^{30}C_r = 30 \cdot {}^{29}C_{r-1}$ હોવાથી,સરવાળો $\sum_{r=1}^{30} 30 \cdot {}^{29}C_{r-1} (31-r)$ થાય.
$k = r-1$ લેતા,$r = k+1$. જ્યારે $r$,$1$ થી $30$ જાય,ત્યારે $k$,$0$ થી $29$ જાય.
$S = 30 \sum_{k=0}^{29} {}^{29}C_k (30-k) = 30 \left( 30 \sum_{k=0}^{29} {}^{29}C_k - \sum_{k=0}^{29} k \cdot {}^{29}C_k \right)$.
$\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_k = 2^n$ અને $\sum_{k=0}^{n} k \cdot {}^{n}C_k = n \cdot 2^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 30 \left( 30 \cdot 2^{29} - 29 \cdot 2^{28} \right) = 30 \cdot 2^{28} (60 - 29) = 30 \cdot 31 \cdot 2^{28} = 15 \cdot 31 \cdot 2^{29} = 465 \cdot 2^{29}$.
તેથી,$\alpha = 465$.
ગુણધર્મ $\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{{}^{30}C_r}{{}^{30}C_{r-1}} = \frac{31-r}{r}$ મળે.
તેથી,પદ $r(31-r) {}^{30}C_r$ બને છે.
$r \cdot {}^{30}C_r = 30 \cdot {}^{29}C_{r-1}$ હોવાથી,સરવાળો $\sum_{r=1}^{30} 30 \cdot {}^{29}C_{r-1} (31-r)$ થાય.
$k = r-1$ લેતા,$r = k+1$. જ્યારે $r$,$1$ થી $30$ જાય,ત્યારે $k$,$0$ થી $29$ જાય.
$S = 30 \sum_{k=0}^{29} {}^{29}C_k (30-k) = 30 \left( 30 \sum_{k=0}^{29} {}^{29}C_k - \sum_{k=0}^{29} k \cdot {}^{29}C_k \right)$.
$\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_k = 2^n$ અને $\sum_{k=0}^{n} k \cdot {}^{n}C_k = n \cdot 2^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 30 \left( 30 \cdot 2^{29} - 29 \cdot 2^{28} \right) = 30 \cdot 2^{28} (60 - 29) = 30 \cdot 31 \cdot 2^{28} = 15 \cdot 31 \cdot 2^{29} = 465 \cdot 2^{29}$.
તેથી,$\alpha = 465$.
0 likes
View Solution99
DifficultMCQ
જો $1^2 \cdot \binom{15}{1} + 2^2 \cdot \binom{15}{2} + 3^2 \cdot \binom{15}{3} + \ldots + 15^2 \cdot \binom{15}{15} = 2^m \cdot 3^n \cdot 5^k$,જ્યાં $m, n, k \in N$,તો $m + n + k$ ની કિંમત :-
A
$19$
B
$21$
C
$18$
D
$20$
Solution
(A) આપેલ સરવાળો $S = \sum_{r=1}^{15} r^2 \binom{15}{r}$ છે.
નિત્યસમ $r \binom{n}{r} = n \binom{n-1}{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$S = \sum_{r=1}^{15} r \cdot 15 \binom{14}{r-1} = 15 \sum_{r=1}^{15} (r-1+1) \binom{14}{r-1}$.
$S = 15 \left[ \sum_{r=1}^{15} (r-1) \binom{14}{r-1} + \sum_{r=1}^{15} \binom{14}{r-1} \right]$.
$S = 15 \left[ 14 \sum_{r=2}^{15} \binom{13}{r-2} + 2^{14} \right]$.
$S = 15 \left[ 14 \cdot 2^{13} + 2^{14} \right] = 15 \cdot 2^{13} (14 + 2) = 15 \cdot 2^{13} \cdot 16$.
$S = (3 \cdot 5) \cdot 2^{13} \cdot 2^4 = 2^{17} \cdot 3^1 \cdot 5^1$.
$2^m \cdot 3^n \cdot 5^k$ સાથે સરખાવતા,$m=17, n=1, k=1$ મળે.
આમ,$m+n+k = 17+1+1 = 19$.
નિત્યસમ $r \binom{n}{r} = n \binom{n-1}{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$S = \sum_{r=1}^{15} r \cdot 15 \binom{14}{r-1} = 15 \sum_{r=1}^{15} (r-1+1) \binom{14}{r-1}$.
$S = 15 \left[ \sum_{r=1}^{15} (r-1) \binom{14}{r-1} + \sum_{r=1}^{15} \binom{14}{r-1} \right]$.
$S = 15 \left[ 14 \sum_{r=2}^{15} \binom{13}{r-2} + 2^{14} \right]$.
$S = 15 \left[ 14 \cdot 2^{13} + 2^{14} \right] = 15 \cdot 2^{13} (14 + 2) = 15 \cdot 2^{13} \cdot 16$.
$S = (3 \cdot 5) \cdot 2^{13} \cdot 2^4 = 2^{17} \cdot 3^1 \cdot 5^1$.
$2^m \cdot 3^n \cdot 5^k$ સાથે સરખાવતા,$m=17, n=1, k=1$ મળે.
આમ,$m+n+k = 17+1+1 = 19$.
0 likes
View Solution100
MediumMCQ
જો ${ }^{n} C_0+\frac{1}{2}{ }^{n} C_1+\frac{1}{3}{ }^{n} C_2+\ldots+\frac{1}{n+1}{ }^{n} C_{n}=\frac{1023}{10}$ હોય,તો $n=$
A
$7$
B
$8$
C
$9$
D
$10$
Solution
(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{k+1}{ }^{n} C_k = \frac{1}{n+1}{ }^{n+1} C_{k+1}$.
આપેલ સરવાળામાં આ કિંમત મૂકતા:
$\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1}{ }^{n} C_k = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n+1}{ }^{n+1} C_{k+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} { }^{n+1} C_{k+1}$.
ધારો કે $j = k+1$,તો સરવાળો $\frac{1}{n+1} \sum_{j=1}^{n+1} { }^{n+1} C_j$ થાય.
કારણ કે $\sum_{j=0}^{n+1} { }^{n+1} C_j = 2^{n+1}$,તેથી $\sum_{j=1}^{n+1} { }^{n+1} C_j = 2^{n+1} - { }^{n+1} C_0 = 2^{n+1} - 1$.
આમ,$\frac{2^{n+1}-1}{n+1} = \frac{1023}{10}$.
છેદની સરખામણી કરતા,$n+1 = 10 \implies n = 9$.
અંશ તપાસતા: $2^{9+1} - 1 = 2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$.
તેથી,$n = 9$.
આપેલ સરવાળામાં આ કિંમત મૂકતા:
$\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1}{ }^{n} C_k = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n+1}{ }^{n+1} C_{k+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} { }^{n+1} C_{k+1}$.
ધારો કે $j = k+1$,તો સરવાળો $\frac{1}{n+1} \sum_{j=1}^{n+1} { }^{n+1} C_j$ થાય.
કારણ કે $\sum_{j=0}^{n+1} { }^{n+1} C_j = 2^{n+1}$,તેથી $\sum_{j=1}^{n+1} { }^{n+1} C_j = 2^{n+1} - { }^{n+1} C_0 = 2^{n+1} - 1$.
આમ,$\frac{2^{n+1}-1}{n+1} = \frac{1023}{10}$.
છેદની સરખામણી કરતા,$n+1 = 10 \implies n = 9$.
અંશ તપાસતા: $2^{9+1} - 1 = 2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$.
તેથી,$n = 9$.
0 likes
View SolutionBinomial Theorem — Properties of binomial coefficients · Frequently Asked Questions
1Are these Binomial Theorem questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Binomial Theorem Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.