$(1+a)^{m+n}$ ના વિસ્તરણમાં સાબિત કરો કે $a^{m}$ અને $a^{n}$ ના સહગુણકો સમાન છે.

(N/A) $(1+a)^{N}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $(T_{r+1})$ એ $T_{r+1} = {}^{N}C_{r} a^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1+a)^{m+n}$ ના વિસ્તરણ માટે,$a^{m}$ નો સહગુણક $r=m$ મૂકીને મેળવવામાં આવે છે:
$a^{m}$ નો સહગુણક $= {}^{m+n}C_{m} = \frac{(m+n)!}{m!(m+n-m)!} = \frac{(m+n)!}{m!n!}$ ........... $(1)$
તે જ રીતે,$a^{n}$ નો સહગુણક $r=n$ મૂકીને મેળવવામાં આવે છે:
$a^{n}$ નો સહગુણક $= {}^{m+n}C_{n} = \frac{(m+n)!}{n!(m+n-n)!} = \frac{(m+n)!}{n!m!}$ ........... $(2)$
કારણ કે $m!n! = n!m!$,તેથી ${}^{m+n}C_{m} = {}^{m+n}C_{n}$ થાય છે.
આમ,$a^{m}$ અને $a^{n}$ ના સહગુણકો સમાન છે.