mathop sum limits_{0 le i

Question

(D) ધારો કે $S = \sum_{0 \le i < j \le n} i \binom{n}{j}$.આ સરવાળાને $\sum_{j=1}^n \binom{n}{j} \sum_{i=0}^{j-1} i$ તરીકે લખી શકાય.અંદરનો સરવાળો $\sum

Vedclass · Accepted Answer

$n(n-1) 2^{n-3}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $S = \sum_{0 \le i આ સરવાળાને $\sum_{j=1}^n \binom{n}{j} \sum_{i=0}^{j-1} i$ તરીકે લખી શકાય.અંદરનો સરવાળો $\sum_{i=0}^{j-1} i = \frac{(j-1)j}{2}$ છે.તેથી,$S = \sum_{j=1}^n \binom{n}{j} \frac{j(j-1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{j=2}^n j(j-1) \binom{n}{j}$.નિત્યસમ $j(j-1) \binom{n}{j} = n(n-1) \binom{n-2}{j-2}$ નો ઉપયોગ કરતા:$S = \frac{1}{2} \sum_{j=2}^n n(n-1) \binom{n-2}{j-2} = \frac{n(n-1)}{2} \sum_{j=2}^n \binom{n-2}{j-2}$.ધારો કે $k = j-2$,તો $S = \frac{n(n-1)}{2} \sum_{k=0}^{n-2} \binom{n-2}{k}$.કારણ કે $\sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} = 2^m$,તેથી $S = \frac{n(n-1)}{2} 2^{n-2} = n(n-1) 2^{n-3}$.

$\mathop \sum \limits_{0 \le i < j \le n} i \binom{n}{j}$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $n$ એ $1$ કરતા મોટો ધન પૂર્ણાંક હોય,તો $3({ }^n C_0) - 8({ }^n C_1) + 13({ }^n C_2) - 18({ }^n C_3) + \ldots$ $(n+1)$ પદો સુધી $=$

જો $a$ અને $d$ બે સંકર સંખ્યાઓ હોય,તો નીચેની શ્રેણીના $(n + 1)$ પદોનો સરવાળો $a{C_0} - (a + d){C_1} + (a + 2d){C_2} - \dots$ શું થાય?

સરવાળા $\left({ }^{n} C_{1}\right)^{2}+\left({ }^{n} C_{2}\right)^{2}+\left({ }^{n} C_{3}\right)^{2}+\ldots+\left({ }^{n} C_{n}\right)^{2}$ નું મૂલ્ય છે

જો $\sum\limits_{K = 1}^{12} {12K \cdot {^{12}C_K} \cdot {^{11}C_{K - 1}}} $ એ $\frac{{12 \times 21 \times 19 \times 17 \times \dots \times 3}}{{11!}} \times {2^{12}} \times p$ બરાબર હોય,તો $p$ ની કિંમત શોધો.

બાઈનરી સિક્વન્સ એ $0$ અને $1$ ની શ્રેણી છે. $n$-અંકની બાઈનરી સિક્વન્સ કે જેમાં $0$ ની સંખ્યા બેકી હોય તેની સંખ્યા કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module