Properties of binomial coefficients Questions in Gujarati

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $C_r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.
તેથી,$\frac{C_r}{C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$.
આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{r=1}^{n} r \frac{C_r}{C_{r-1}}$ છે.
કિંમત મૂકતા: $S = \sum_{r=1}^{n} r \left( \frac{n-r+1}{r} \right) = \sum_{r=1}^{n} (n-r+1)$.
સરવાળો કરતા: $S = n + (n-1) + (n-2) + \ldots + 1$.
આ પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો છે,જે $\frac{n(n+1)}{2}$ થાય છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^{n} = { }^{n} C_{0} + { }^{n} C_{1} x + { }^{n} C_{2} x^{2} + \ldots + { }^{n} C_{n} x^{n}$ છે.
$x=1$ અને $n=10$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$2^{10} = { }^{10} C_{0} + { }^{10} C_{1} + { }^{10} C_{2} + \ldots + { }^{10} C_{9} + { }^{10} C_{10}$.
કારણ કે ${ }^{10} C_{0} = 1$ અને ${ }^{10} C_{10} = 1$,સમીકરણ આ મુજબ થાય છે:
$2^{10} = 1 + ({ }^{10} C_{1} + { }^{10} C_{2} + \ldots + { }^{10} C_{9}) + 1$.
$2^{10} = 2 + ({ }^{10} C_{1} + { }^{10} C_{2} + \ldots + { }^{10} C_{9})$.
તેથી,${ }^{10} C_{1} + { }^{10} C_{2} + \ldots + { }^{10} C_{9} = 2^{10} - 2$.

(C) $Q(x)$ એ $n$ ઘાતવાળી બહુપદી છે.
આપેલ છે $Q(1)=1$ અને $\frac{Q(2x)}{Q(x+1)}+\frac{56}{x+7}-8=0 \dots (i)$.
સમીકરણ $(i)$ માં $x=0$ મૂકતા,$\frac{Q(0)}{Q(1)}+\frac{56}{7}-8=0$.
$Q(1)=1$ હોવાથી,$Q(0)+8-8=0$,તેથી $Q(0)=0$.
સમીકરણ $(i)$ ને ફરીથી ગોઠવતા,$\frac{Q(2x)}{Q(x+1)} = 8 - \frac{56}{x+7} = \frac{8x+56-56}{x+7} = \frac{8x}{x+7} \dots (ii)$.
$Q(0)=0$ હોવાથી,$x$ એ $Q(x)$ નો અવયવ છે. ધારો કે $Q(x) = x P(x)$.
$(ii)$ માં મૂકતા,$\frac{2x P(2x)}{(x+1) P(x+1)} = \frac{8x}{x+7} \implies \frac{P(2x)}{P(x+1)} = \frac{4(x+1)}{x+7}$.
$x=-1$ માટે,$P(-2)=0$,તેથી $(x+2)$ એ $P(x)$ નો અવયવ છે. ધારો કે $P(x) = (x+2) R(x)$.
તેથી $\frac{(2x+2) R(2x)}{(x+3) R(x+1)} = \frac{4(x+1)}{x+7} \implies \frac{R(2x)}{R(x+1)} = \frac{2(x+3)}{x+7}$.
$x=-3$ માટે,$R(-6)=0$,તેથી $(x+6)$ એ $R(x)$ નો અવયવ છે. ધારો કે $R(x) = (x+6) S(x)$.
તેથી $\frac{(2x+6) S(2x)}{(x+7) S(x+1)} = \frac{2(x+3)}{x+7} \implies \frac{S(2x)}{S(x+1)} = 1$.
આમ $S(x)$ અચળ છે.
તેથી $Q(x) = c \cdot x(x+2)(x+6)$.
$Q(1)=1$ હોવાથી,$c(1)(3)(7)=1 \implies c = \frac{1}{21}$.
ઘાત $n=3$.
${}^nC_0+{}^nC_1+\ldots+{}^nC_n$ ની કિંમત $2^n = 2^3 = 8$ થાય.

(A) ધારો કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,જેથી $1 + \omega + \omega^2 = 0$ અને $\omega^3 = 1$ થાય.
$(1+x)^n = \sum_{k=0}^n p_k x^k$ વિસ્તરણમાં $x = 1, \omega, \omega^2$ મૂકતા:
$S_0 = (1+1)^n = 2^n = p_0 + p_1 + p_2 + p_3 + \ldots$
$S_1 = (1+\omega)^n = p_0 + p_1 \omega + p_2 \omega^2 + p_3 + \ldots$
$S_2 = (1+\omega^2)^n = p_0 + p_1 \omega^2 + p_2 \omega + p_3 + \ldots$
$p_0 + p_3 + p_6 + \ldots = \frac{1}{3} [S_0 + S_1 + S_2] = \frac{1}{3} [2^n + (1+\omega)^n + (1+\omega^2)^n]$.
$(1+\omega)^n + (1+\omega^2)^n = 2 \cos \frac{n \pi}{3}$ હોવાથી,જવાબ $\frac{1}{3} [2^n + 2 \cos \frac{n \pi}{3}]$ મળે છે.

(A) ધારો કે $S$ એ તમામ $n$-અંકની બાઈનરી સિક્વન્સનો સમૂહ છે. આવી કુલ સિક્વન્સની સંખ્યા $2^n$ છે.
ધારો કે $E$ એ $0$ ની બેકી સંખ્યા ધરાવતી સિક્વન્સની સંખ્યા છે અને $O$ એ $0$ ની એકી સંખ્યા ધરાવતી સિક્વન્સની સંખ્યા છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + . . . + \binom{n}{n} = 2^n$ થાય છે.
$0$ ની બેકી સંખ્યા ધરાવતી સિક્વન્સની સંખ્યા બેકી અનુક્રમણિકા ધરાવતા દ્વિપદી સહગુણકોના સરવાળા દ્વારા મળે છે: $E = \binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \binom{n}{4} + . . .$.
દ્વિપદી સહગુણકોના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \binom{n}{4} + . . . = 2^{n-1}$.
આમ,$0$ ની બેકી સંખ્યા ધરાવતી $n$-અંકની બાઈનરી સિક્વન્સની સંખ્યા $2^{n-1}$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$n(1+x)^{n-1} = \sum_{r=1}^n r \cdot C_r x^{r-1}$.
$x=1$ મુકતા,આપણને મળે છે:
$n(1+1)^{n-1} = \sum_{r=1}^n r \cdot C_r$.
તેથી,$\sum_{r=1}^n r \cdot C_r = n 2^{n-1}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી વિસ્તરણ નીચે મુજબ છે:
$(1+x)^n = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + C_3 x^3 + \ldots + C_n x^n$
$x=1$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$2^n = C_0 + C_1 + C_2 + C_3 + \ldots + C_n$ $(i)$
$x=-1$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$0 = C_0 - C_1 + C_2 - C_3 + \ldots + (-1)^n C_n$ (ii)
જો $n$ બેકી સંખ્યા હોય,તો $(-1)^n = 1$,તેથી સમીકરણ (ii) આ મુજબ બને છે:
$0 = C_0 - C_1 + C_2 - C_3 + \ldots + C_n$ (iii)
$(i)$ અને (iii) નો સરવાળો કરતા:
$2^n + 0 = 2(C_0 + C_2 + C_4 + \ldots + C_n)$
$\Rightarrow C_0 + C_2 + C_4 + \ldots + C_n = 2^{n-1}$
$(i)$ માંથી (iii) બાદ કરતા:
$2^n - 0 = 2(C_1 + C_3 + C_5 + \ldots + C_{n-1})$
$\Rightarrow C_1 + C_3 + C_5 + \ldots + C_{n-1} = 2^{n-1}$
આમ,બંને વિધાનો સાચા છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $(1+x)^{2n} = (1+x)^n (1+x)^n$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$(1+x)^{2n} = (C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n) (C_0 x^n + C_1 x^{n-1} + C_2 x^{n-2} + \ldots + C_n)$.
$(1+x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{n-r}$ નો સહગુણક $^{2n}C_{n-r}$ છે,જે $^{2n}C_{n+r}$ ની બરાબર છે.
શ્રેણીનો ગુણાકાર કરતા,$x^{n-r}$ નો સહગુણક $C_0 C_r + C_1 C_{r+1} + C_2 C_{r+2} + \ldots + C_{n-r} C_n$ મળે છે.
આમ,$C_0 C_r + C_1 C_{r+1} + C_2 C_{r+2} + \ldots + C_{n-r} C_n = {}^{2n}C_{n+r}$.

(B) $(1+x)^{11}$ ના વિસ્તરણમાં દ્વિપદી સહગુણકો $^{11}C_r$ છે,જ્યાં $r = 0, 1, 2, \dots, 11$.
આ સહગુણકો: $^{11}C_0, ^{11}C_1, ^{11}C_2, ^{11}C_3, ^{11}C_4, ^{11}C_5, ^{11}C_6, ^{11}C_7, ^{11}C_8, ^{11}C_9, ^{11}C_{10}, ^{11}C_{11}$ છે.
ગુણધર્મ $^{n}C_r = ^{n}C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$^{11}C_0 = ^{11}C_{11}, ^{11}C_1 = ^{11}C_{10}, ^{11}C_2 = ^{11}C_9, ^{11}C_3 = ^{11}C_8, ^{11}C_4 = ^{11}C_7, ^{11}C_5 = ^{11}C_6$.
આમ,દ્વિપદી સહગુણકો માટે $6$ ભિન્ન કિંમતો મળે છે.
$3 \times 3$ શ્રેણિકમાં કુલ $9$ ઘટકો $(a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2, a_3, b_3, c_3)$ છે અને દરેક માટે $6$ વિકલ્પો છે.
તેથી,ગણ $A$ માં રહેલા ઘટકોની કુલ સંખ્યા $6^9$ થાય.

(D) આપેલ છે $(1+x)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots + a_n x^n$.
વિસ્તરણમાં $x = i$ મૂકતા:
$(1+i)^n = (a_0 - a_2 + a_4 - a_6 + \ldots) + i(a_1 - a_3 + a_5 - a_7 + \ldots)$.
$1+i$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં દર્શાવતા: $1+i = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$.
ડી-મોઈવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$(1+i)^n = [\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})]^n = 2^{\frac{n}{2}}(\cos \frac{n \pi}{4} + i \sin \frac{n \pi}{4})$.
વાસ્તવિક ભાગોને સરખાવતા:
$a_0 - a_2 + a_4 - a_6 + \ldots = 2^{\frac{n}{2}} \cos \frac{n \pi}{4}$.
આને આપેલ પદ $k \cos \frac{n \pi}{4}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 2^{\frac{n}{2}}$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે કે $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં $x^9, x^{10}$ અને $x^{11}$ ના સહગુણકો સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) માં છે.
તેથી,${}^nC_9, {}^nC_{10}$ અને ${}^nC_{11}$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
માટે,$2({}^nC_{10}) = {}^nC_9 + {}^nC_{11}$.
${}^nC_{10}$ વડે ભાગતા,$2 = \frac{{}^nC_9}{{}^nC_{10}} + \frac{{}^nC_{11}}{{}^nC_{10}}$.
સૂત્ર $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 = \frac{10}{n-9} + \frac{n-10}{11}$.
$2 = \frac{110 + (n-10)(n-9)}{11(n-9)}$.
$22(n-9) = 110 + n^2 - 19n + 90$.
$22n - 198 = n^2 - 19n + 200$.
$n^2 - 41n = -198 - 200 = -398$.

(D) ધારો કે $f(x) = (1 + x + x^2)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{2n} x^{2n}$.
$x = 1$ મૂકતા,આપણને $f(1) = (1 + 1 + 1)^n = 3^n = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n}$ મળે છે.
$x = -1$ મૂકતા,આપણને $f(-1) = (1 - 1 + 1)^n = 1^n = 1 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{2n}$ મળે છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$f(1) + f(-1) = 3^n + 1 = (a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n}) + (a_0 - a_1 + a_2 - \ldots + a_{2n})$.
$3^n + 1 = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_{2n})$.
તેથી,$a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_{2n} = \frac{3^n + 1}{2}$.

(D) $(1+x)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં દ્વિપદી સહગુણકો $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}$ છે.
તેથી,$P_{n} = \prod_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$ થાય.
ગુણોત્તર $\frac{P_{n+1}}{P_n}$ ની ગણતરી કરતા,આપણને $\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) નિત્યસમ ${ }^{n}C_{r} + { }^{n}C_{r-1} = { }^{n+1}C_{r}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
${ }^{34}C_{10} + { }^{34}C_{9} + 2 \cdot { }^{34}C_{9} + 2 \cdot { }^{34}C_{8} + { }^{34}C_{8} + { }^{34}C_{7} = $
$({ }^{34}C_{10} + { }^{34}C_{9}) + 2({ }^{34}C_{9} + { }^{34}C_{8}) + ({ }^{34}C_{8} + { }^{34}C_{7}) = $
${ }^{35}C_{10} + 2 \cdot { }^{35}C_{9} + { }^{35}C_{8} = $
${ }^{35}C_{10} + { }^{35}C_{9} + { }^{35}C_{9} + { }^{35}C_{8} = $
${ }^{36}C_{10} + { }^{36}C_{9} = { }^{37}C_{10}$

(A) ધારો કે $S = C_0 + C_4 + C_8 + C_{12} + \ldots$
$(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r$ વિસ્તરણ ધ્યાનમાં લો.
એકમના ચતુર્થ મૂળ $\omega = i$ લો. મૂળ $1, i, -1, -i$ છે.
એકમના મૂળના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=0}^3 (1 + \omega^k x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r \sum_{k=0}^3 (\omega^r)^k$.
જો $r$ એ $4$ નો ગુણક હોય તો આંતરિક સરવાળો $\sum_{k=0}^3 (\omega^r)^k = 4$ થાય,અન્યથા $0$ થાય.
તેથી,$4S = (1+1)^n + (1+i)^n + (1-1)^n + (1-i)^n = 2^n + (1+i)^n + 0^n + (1-i)^n$.
$(1+i) = \sqrt{2} e^{i \pi/4}$ અને $(1-i) = \sqrt{2} e^{-i \pi/4}$ હોવાથી,
$(1+i)^n + (1-i)^n = 2^{n/2} (e^{i n \pi/4} + e^{-i n \pi/4}) = 2^{n/2} \cdot 2 \cos \frac{n \pi}{4} = 2^{n/2+1} \cos \frac{n \pi}{4}$.
તેથી,$4S = 2^n + 2^{n/2+1} \cos \frac{n \pi}{4}$.
$S = \frac{2^n}{4} + \frac{2^{n/2+1}}{4} \cos \frac{n \pi}{4} = 2^{n-2} + 2^{n/2-1} \cos \frac{n \pi}{4}$.
આને $\frac{2^{n/2} [\cos \frac{n \pi}{4} + 2^{n/2-1}]}{2}$ તરીકે લખી શકાય.

(A) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{r=0}^{n} (3 + 4r) C_r$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_r = \binom{n}{r}$.
તેથી,$S = 3 \sum_{r=0}^{n} C_r + 4 \sum_{r=0}^{n} r C_r$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^{n} C_r = 2^n$ અને $\sum_{r=0}^{n} r C_r = n 2^{n-1}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $S = 3(2^n) + 4(n 2^{n-1})$ મળે છે.
$S = 3 \cdot 2^n + 2n \cdot 2^n = (2n + 3) 2^n$.

(D) આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{k=0}^n \sum_{r=0}^k C_r$ છે.
સરવાળાનો ક્રમ બદલતા,$S = \sum_{r=0}^n \sum_{k=r}^n C_r$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $S = \sum_{r=0}^n C_r (n - r + 1)$ થાય છે.
વિસ્તરણ કરતા,$S = (n+1) \sum_{r=0}^n C_r - \sum_{r=0}^n r C_r$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^n C_r = 2^n$ અને $\sum_{r=0}^n r C_r = n 2^{n-1}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$S = (n+1) 2^n - n 2^{n-1}$.
$S = 2n 2^{n-1} + 2^n - n 2^{n-1} = n 2^{n-1} + 2^n = (n+2) 2^{n-1}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} x^j = (1+x)^n$.
$n=10$ માટે,$\sum_{j=0}^{10} \binom{10}{j} x^j = (1+x)^{10}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\sum_{j=1}^{10} j \binom{10}{j} x^{j-1} = 10(1+x)^9$.
$x=1$ લેતા,$S_2 = \sum_{j=1}^{10} j \binom{10}{j} = 10(2^9) = 5 \times 2^{10} = 20 \times 2^8$.
આમ,કારણ $(R)$ માં $S_2$ ની કિંમત ખોટી છે.
$S_1$ માટે,$\sum_{j=2}^{10} j(j-1) \binom{10}{j} x^{j-2} = 10 \times 9(1+x)^8$.
$x=1$ લેતા,$S_1 = 90 \times 2^8$.
$S_3 = \sum j^2 \binom{10}{j} = \sum (j(j-1) + j) \binom{10}{j} = S_1 + S_2 = 90 \times 2^8 + 10 \times 2^9 = 90 \times 2^8 + 20 \times 2^8 = 110 \times 2^8 = 55 \times 2^9$.
વિધાન $(A)$ સાચું છે,પરંતુ કારણ $(R)$ ખોટું છે કારણ કે $S_2 = 20 \times 2^8$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણકોનો ગુણધર્મ $\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ છે.
$n=15$ મૂકતા,આપણને $\frac{{}^{15}C_r}{{}^{15}C_{r-1}} = \frac{16-r}{r}$ મળે છે.
હવે,આપેલ સરવાળો $S = \sum_{r=1}^{15} r^2 \left( \frac{16-r}{r} \right)$ છે.
$S = \sum_{r=1}^{15} r(16-r) = \sum_{r=1}^{15} (16r - r^2)$.
$S = 16 \sum_{r=1}^{15} r - \sum_{r=1}^{15} r^2$.
$n=15$ માટે સૂત્રો $\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$ અને $\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{r=1}^{15} r = 120$.
$\sum_{r=1}^{15} r^2 = 1240$.
$S = 16(120) - 1240 = 1920 - 1240 = 680$.

(C) આપેલ પદાવલિ $\sum_{r=0}^{5} (5r + 3) \times { }^5 C_r$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^{n} { }^n C_r = 2^n$ અને $\sum_{r=0}^{n} r \times { }^n C_r = n \times 2^{n-1}$.
અહીં,$n = 5$.
તેથી,$\sum_{r=0}^{5} (5r + 3) \times { }^5 C_r = 5 \sum_{r=0}^{5} r \times { }^5 C_r + 3 \sum_{r=0}^{5} { }^5 C_r$.
કિંમતો મૂકતા:
$= 5 \times (5 \times 2^{5-1}) + 3 \times 2^5$
$= 5 \times (5 \times 2^4) + 3 \times (2 \times 2^4)$
$= 25 \times 2^4 + 6 \times 2^4$
$= (25 + 6) \times 2^4 = 31 \times 2^4$.
આપેલ છે કે $k \times 2^4 = 31 \times 2^4$,તેથી $k = 31$.

(A) ધારો કે $(1-x+x^2)^{2n} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_{4n} x^{4n}$.
$x = 1$ મૂકતા,આપણને $1^{2n} = 1 = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_{4n} \dots (i)$ મળે છે.
$x = -1$ મૂકતા,આપણને $(1 - (-1) + (-1)^2)^{2n} = 3^{2n} = a_0 - a_1 + a_2 - \dots + a_{4n} \dots (ii)$ મળે છે.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$1 + 3^{2n} = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{4n})$ મળે છે.
$x$ ની બેકી ઘાતોના સહગુણકોનો સરવાળો $a_0 + a_2 + \dots + a_{4n} = 3281$ આપેલ છે.
તેથી,$1 + 3^{2n} = 2 \times 3281 = 6562$.
$3^{2n} = 6561$.
કારણ કે $3^8 = 6561$,તેથી $2n = 8$,જેનો અર્થ છે કે $n = 4$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$n(1+x)^{n-1} = C_1 + 2C_2 x + 3C_3 x^2 + \ldots + nC_n x^{n-1}$.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા:
$nx(1+x)^{n-1} = C_1 x + 2C_2 x^2 + 3C_3 x^3 + \ldots + nC_n x^n$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$n[(1+x)^{n-1} + x(n-1)(1+x)^{n-2}] = C_1 + 2^2 C_2 x + 3^2 C_3 x^2 + \ldots + n^2 C_n x^{n-1}$.
$x=1$ મુકતા:
$\sum_{r=1}^n r^2 C_r = n[2^{n-1} + (n-1)2^{n-2}] = n[2 \cdot 2^{n-2} + (n-1)2^{n-2}] = n(n+1)2^{n-2}$.
આમ,ખૂટતું પદ $n(n+1)$ છે.

(B) ધારો કે સરવાળો $S = \sum_{k=0}^n a_k C_k$ છે. કારણ કે $a_k$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,$a_k = a_0 + kd$,જ્યાં $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
તેથી,$S = \sum_{k=0}^n (a_0 + kd) C_k = a_0 \sum_{k=0}^n C_k + d \sum_{k=0}^n k C_k$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^n C_k = 2^n$ અને $\sum_{k=0}^n k C_k = n 2^{n-1}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$S = a_0 2^n + d n 2^{n-1} = 2^{n-1} (2a_0 + nd)$.
કારણ કે $a_n = a_0 + nd$,આપણી પાસે $2a_0 + nd = a_0 + (a_0 + nd) = a_0 + a_n$ છે.
તેથી,$S = (a_0 + a_n) 2^{n-1}$.

(A) $(1+x)^{37}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં કુલ $37+1 = 38$ પદો છે. \\ સહગુણકો $\binom{37}{r}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = 0, 1, 2, \dots, 37$. \\ છેલ્લા $19$ પદો $r = 19, 20, \dots, 37$ ને અનુરૂપ છે. \\ બધા સહગુણકોનો સરવાળો $\sum_{r=0}^{37} \binom{37}{r} = 2^{37}$ થાય. \\ સંમિતતા મુજબ,$\binom{37}{r} = \binom{37}{37-r}$. \\ ધારો કે $S$ એ છેલ્લા $19$ પદોના સહગુણકોનો સરવાળો છે: $S = \binom{37}{19} + \binom{37}{20} + \dots + \binom{37}{37}$. \\ પ્રથમ $19$ પદોનો સરવાળો $\binom{37}{0} + \binom{37}{1} + \dots + \binom{37}{18}$ છે. \\ $\binom{37}{0} = \binom{37}{37}, \binom{37}{1} = \binom{37}{36}, \dots, \binom{37}{18} = \binom{37}{19}$ હોવાથી,પ્રથમ $19$ પદોનો સરવાળો છેલ્લા $19$ પદોના સરવાળા જેટલો જ થાય. \\ તેથી,$2S = \sum_{r=0}^{37} \binom{37}{r} = 2^{37}$. \\ આમ,$S = \frac{2^{37}}{2} = 2^{36}$.

(A) આપેલ વિસ્તરણ $(1+x)^n = \sum_{r=0}^{n} C_r x^r$ છે.
આપણે $S = \sum_{r=0}^{n} (r+1) C_r$ શોધવા માંગીએ છીએ.
$S = \sum_{r=0}^{n} r C_r + \sum_{r=0}^{n} C_r$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^{n} C_r = 2^n$.
તેમજ,$\sum_{r=0}^{n} r C_r = n 2^{n-1}$.
તેથી,$S = n 2^{n-1} + 2^n$.
$S = n 2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1} = (n+2) 2^{n-1}$.

(C) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^n = \sum_{r=0}^{n} { }^n C_r z^r$ આપેલ છે.
ધારો કે $z = \cos x + i \sin x = e^{ix}$.
તેથી $(1 + e^{ix})^n = \sum_{r=0}^{n} { }^n C_r e^{irx}$.
$1 + e^{ix} = 2 \cos \frac{x}{2} e^{i \frac{x}{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,
$(1 + e^{ix})^n = (2 \cos \frac{x}{2})^n e^{i \frac{nx}{2}} = (2 \cos \frac{x}{2})^n (\cos \frac{nx}{2} + i \sin \frac{nx}{2})$.
કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા,$\sum_{r=0}^{n} { }^n C_r \sin(rx) = (2 \cos \frac{x}{2})^n \sin(\frac{nx}{2})$.
$n = 100$ માટે,$\sum_{r=0}^{100} { }^{100} C_r \sin(rx) = (2 \cos \frac{x}{2})^{100} \sin(50x)$.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,$k = 50$ મળે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણકો $C_r = C_{n-r}$ ગુણધર્મનું પાલન કરે છે.
તેથી,$C_6 = C_4, C_7 = C_3, C_8 = C_2, C_9 = C_1$ અને $C_{10} = C_0$.
આપેલ પદાવલિ $S = C_0 C_4 + C_1 C_3 + C_2 C_2 + C_3 C_1 + C_4 C_0$ છે.
આ પદાવલિ $(1+x)^{20}$ ના વિસ્તરણમાં $x^4$ નો સહગુણક છે.
તેથી,$S = ^{20}C_4 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845$.

(B) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_r = 2r \frac{C_r}{C_{r-1}}$ છે.
ગુણધર્મ $\frac{C_r}{C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_r = 2r \left( \frac{n-r+1}{r} \right) = 2(n-r+1)$.
સરવાળો $\sum_{r=1}^n T_r = \sum_{r=1}^n 2(n-r+1) = n(n+1)$ થાય છે.
આપેલ છે કે $n(n+1) = 650$,તેથી $n = 25$.
તેથી,$^nC_2 = ^{25}C_2 = \frac{25 \times 24}{2} = 300$.

(C) આપેલ સરવાળો $S_{n+1} = \sum_{k=0}^{n} (3k+5) C_k$ છે,જ્યાં $C_k = \binom{n}{k}$.
$n=10$ માટે,$S_{11} = \sum_{k=0}^{10} (3k+5) C_k$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{n} C_k = 2^n$ અને $\sum_{k=0}^{n} k C_k = n 2^{n-1}$.
તેથી,$S_{11} = 3 \sum_{k=0}^{10} k C_k + 5 \sum_{k=0}^{10} C_k$.
$n=10$ મૂકતા: $S_{11} = 3(10 \cdot 2^9) + 5(2^{10})$.
$S_{11} = 30 \cdot 512 + 5 \cdot 1024 = 15360 + 5120 = 20480$.

(C) આપેલ દ્વિપદી વિસ્તરણ: $(1+x)^n = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે $0$ થી $1$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{1} (1+x)^n dx = \int_{0}^{1} (C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n) dx$.
ડાબી બાજુનું સંકલન કરતા:
$\left[ \frac{(1+x)^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{1} = \frac{(1+1)^{n+1}}{n+1} - \frac{(1+0)^{n+1}}{n+1} = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}$.
જમણી બાજુનું સંકલન કરતા:
$\left[ C_0 x + \frac{C_1 x^2}{2} + \frac{C_2 x^3}{3} + \ldots + \frac{C_n x^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{1} = C_0 + \frac{C_1}{2} + \frac{C_2}{3} + \ldots + \frac{C_n}{n+1}$.
બંને બાજુ સરખાવતા:
$C_0 + \frac{C_1}{2} + \frac{C_2}{3} + \ldots + \frac{C_n}{n+1} = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}$.

(B) કોઈપણ વિસ્તરણમાં $x$ ની તમામ ઘાતોના સહગુણકોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે $x=1$ મૂકીએ છીએ.
$(3x-1)^{15}$ માટે,સહગુણકોનો સરવાળો $(3(1)-1)^{15} = 2^{15}$ છે.
હવે,આપેલા વિકલ્પો માટે સહગુણકોનો સરવાળો ચકાસીએ:
$(a)\ (1+x)^{15}$: $x=1$ મૂકતા,$(1+1)^{15} = 2^{15}$ મળે છે. જે સમાન છે.
$(b)\ (1+x)^{16}+(1-x)^{16}$: $x=1$ મૂકતા,$(1+1)^{16} + (1-1)^{16} = 2^{16} + 0 = 2^{16}$ મળે છે.
$(c)\ (1+x)^{16}-(1-x)^{16}$: $x=1$ મૂકતા,$(1+1)^{16} - (1-1)^{16} = 2^{16} - 0 = 2^{16}$ મળે છે. આમ,$(a)$ અને $(c)$ સાચા છે.

(D) આપેલ વિસ્તરણ: $(1+x+x^2)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{2n} x^{2n}$.
પગલું $1$: $x=1$ મૂકતા:
$(1+1+1)^n = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n} \implies 3^n = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n} \quad (i)$
પગલું $2$: $x=-1$ મૂકતા:
$(1-1+1)^n = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{2n} \implies 1 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{2n} \quad (ii)$
પગલું $3$: $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$3^n + 1 = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \ldots) \implies a_0 + a_2 + \ldots = \frac{1}{2}(3^n + 1)$. તેથી,$A \rightarrow III$.
પગલું $4$: $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$3^n - 1 = 2(a_1 + a_3 + a_5 + \ldots) \implies a_1 + a_3 + \ldots = \frac{1}{2}(3^n - 1)$. તેથી,$B \rightarrow IV$.
પગલું $5$: વિસ્તરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$n(1+x+x^2)^{n-1}(1+2x) = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + \ldots + 2n a_{2n} x^{2n-1}$.
$x=1$ મૂકતા:
$n(3)^{n-1}(3) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2n a_{2n} \implies n \cdot 3^n = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2n a_{2n}$. તેથી,$C \rightarrow II$.
આમ,સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-II$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_r = (-1)^r (3 + 5r) { }^n C_r$ છે,જ્યાં $r = 0, 1, 2, \ldots, n$.
સરવાળો $S_n = \sum_{r=0}^n (-1)^r (3 + 5r) { }^n C_r$ દ્વારા મળે છે.
$S_n = 3 \sum_{r=0}^n (-1)^r { }^n C_r + 5 \sum_{r=0}^n (-1)^r r { }^n C_r$.
$n > 1$ માટે,પ્રથમ ભાગ $3 \sum_{r=0}^n (-1)^r { }^n C_r = 3(1 - 1)^n = 0$.
બીજા ભાગ માટે,$r { }^n C_r = n { }^{n-1} C_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $5n \sum_{r=1}^n (-1)^r { }^{n-1} C_{r-1} = 5n \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{k+1} { }^{n-1} C_k = -5n (1 - 1)^{n-1} = 0$ મળે છે.
આમ,$S_n = 0 + 0 = 0$.

(B) આપેલ સરવાળો $\sum_{r=0}^{10} {}^{40-r} C_5 = {}^{40} C_5 + {}^{39} C_5 + {}^{38} C_5 + \dots + {}^{30} C_5$ છે.
આને $\sum_{k=30}^{40} {}^{k} C_5$ તરીકે લખી શકાય.
નિત્યસમ ${}^{n} C_r + {}^{n} C_{r-1} = {}^{n+1} C_r$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ${}^{k} C_5$ ને ${}^{k+1} C_6 - {}^{k} C_6$ તરીકે લખી શકીએ.
આમ,સરવાળો આ મુજબ થશે:
$\sum_{k=30}^{40} ({}^{k+1} C_6 - {}^{k} C_6) = ({}^{31} C_6 - {}^{30} C_6) + ({}^{32} C_6 - {}^{31} C_6) + \dots + ({}^{41} C_6 - {}^{40} C_6)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,જેનું સાદું રૂપ ${}^{41} C_6 - {}^{30} C_6$ થાય છે.

(A) આપેલ વિસ્તરણ $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r$ છે.
આપણે સરવાળો $S = \sum_{r=0}^n (r+1) C_r$ શોધવો છે.
$S = \sum_{r=0}^n r C_r + \sum_{r=0}^n C_r$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^n C_r = 2^n$.
તેમજ,$\sum_{r=0}^n r C_r = n 2^{n-1}$.
તેથી,$S = n 2^{n-1} + 2^n$.
$2^{n-1}$ સામાન્ય લેતા,આપણને $S = 2^{n-1} (n + 2)$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ${}^{n}C_r + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$.
આપેલ સરવાળો $S = \sum_{r=0}^{20} {}^{20+r}C_r = {}^{20}C_0 + {}^{21}C_1 + {}^{22}C_2 + \dots + {}^{40}C_{20}$.
કારણ કે ${}^{20}C_0 = 1 = {}^{21}C_0$,આપણે લખી શકીએ $S = {}^{21}C_0 + {}^{21}C_1 + {}^{22}C_2 + \dots + {}^{40}C_{20}$.
નિત્યસમ ${}^{n}C_r + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$ નો વારંવાર ઉપયોગ કરતા:
${}^{21}C_0 + {}^{21}C_1 = {}^{22}C_1$.
ત્યારબાદ ${}^{22}C_1 + {}^{22}C_2 = {}^{23}C_2$.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,સરવાળો ${}^{40}C_{20} + {}^{40}C_{21} = {}^{41}C_{21}$ થાય છે.
હવે,${}^{41}C_{21} = \frac{41}{21} \times {}^{40}C_{20}$.
આમ,$\frac{p}{q} = \frac{41}{21}$,જે $p = 41$ અને $q = 21$ આપે છે.
$GCD(41, 21) = 1$ હોવાથી,$p^2 - q^2 = 41^2 - 21^2 = (41 - 21)(41 + 21) = 20 \times 62 = 1240$.

(B) આપેલ $n=10$ માટે,આપણે $S = \sum_{r=1}^{10} {}^n C_r r(r-4)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $r(r-4) = r(r-1) - 3r$.
તેથી,$S = \sum_{r=1}^{10} {}^n C_r r(r-1) - 3 \sum_{r=1}^{10} r {}^n C_r$.
નિત્યસમ $r(r-1) {}^n C_r = n(n-1) {}^{n-2} C_{r-2}$ અને $r {}^n C_r = n {}^{n-1} C_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = n(n-1) \sum_{r=2}^{10} {}^{n-2} C_{r-2} - 3n \sum_{r=1}^{10} {}^{n-1} C_{r-1}$.
કારણ કે $\sum_{k=0}^{m} {}^m C_k = 2^m$,તેથી:
$S = n(n-1) 2^{n-2} - 3n 2^{n-1}$.
$n=10$ મૂકતા:
$S = 10(9) 2^8 - 3(10) 2^9 = 90 \cdot 2^8 - 60 \cdot 2^8 = 30 \cdot 2^8$.
$S = 30 \times 256 = 7680$.

(D) $\sum_{r=0}^{n} r^3 \cdot C_r$ માટેનું સામાન્ય સૂત્ર $n(n^2 + 3n)2^{n-3}$ છે.
$n=5$ માટે,આપણે સૂત્રમાં કિંમત મૂકીએ:
$= 5(5^2 + 3(5))2^{5-3}$
$= 5(25 + 15)2^2$
$= 5(40)(4)$
$= 200 \times 4 = 800$.

(B) આપેલ વિસ્તરણ: $(1+x-2x^2)^6 = 1+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{12}x^{12}$
ધારો કે $f(x) = (1+x-2x^2)^6 = 1+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots+a_{12}x^{12}$.
$x=1$ મૂકતા:
$f(1) = (1+1-2)^6 = 0^6 = 0$.
તેથી,$0 = 1+a_1+a_2+a_3+a_4+\ldots+a_{12}$ $(i)$
$x=-1$ મૂકતા:
$f(-1) = (1-1-2(-1)^2)^6 = (-2)^6 = 64$.
તેથી,$64 = 1-a_1+a_2-a_3+a_4-\ldots+a_{12}$ $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$0+64 = (1+a_1+a_2+a_3+a_4+\ldots+a_{12}) + (1-a_1+a_2-a_3+a_4-\ldots+a_{12})$
$64 = 2 + 2(a_2+a_4+a_6+\ldots+a_{12})$
$62 = 2(a_2+a_4+a_6+\ldots+a_{12})$
$a_2+a_4+a_6+\ldots+a_{12} = 31$.

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{r=0}^n (2n+1-2r) ^nC_r$ છે.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા:
$S = (2n+1) \sum_{r=0}^n {^nC_r} - 2 \sum_{r=0}^n r \cdot {^nC_r}$..
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^n {^nC_r} = 2^n$ અને $\sum_{r=0}^n r \cdot ^nC_r = n \cdot 2^{n-1}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$S = (2n+1) \cdot 2^n - 2 \cdot (n \cdot 2^{n-1}) = (2n+1) \cdot 2^n - n \cdot 2^n = (2n+1-n) \cdot 2^n = (n+1) \cdot 2^n$.
વળી,જો $f(x) = x^{n+1}$ હોય,તો $f'(x) = (n+1)x^n$,તેથી $f'(2) = (n+1)2^n$.
આમ,વિકલ્પ $A$ અને $C$ બંને સાચા છે.

(A) ધારો કે સરવાળો $S = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {}^{n}C_{k}$ છે.
નિત્યસમ $\frac{1}{k+1} {}^{n}C_{k} = \frac{1}{n+1} {}^{n+1}C_{k+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n+1} {}^{n+1}C_{k+1}$
$S = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} {}^{n+1}C_{k+1}$
$S = \frac{1}{n+1} [{}^{n+1}C_{1} + {}^{n+1}C_{2} + \dots + {}^{n+1}C_{n+1}]$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^{m} {}^{m}C_{r} = 2^{m}$,તેથી $\sum_{r=1}^{m} {}^{m}C_{r} = 2^{m} - 1$.
અહીં $m = n+1$ છે,તેથી સરવાળો $2^{n+1} - 1$ થાય.
તેથી,$S = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}$.

(B) આપેલ છે કે $P = \sum_{r=0}^{5} c_{2r} = c_{0} + c_{2} + c_{4} + c_{6} + c_{8} + c_{10}$.
$c_{r} = {}^{10}C_{r}$ હોવાથી,$P = {}^{10}C_{0} + {}^{10}C_{2} + {}^{10}C_{4} + {}^{10}C_{6} + {}^{10}C_{8} + {}^{10}C_{10} = 2^{10-1} = 2^{9}$.
આપેલ છે કે $Q = \sum_{r=0}^{3} d_{2r+1} = d_{1} + d_{3} + d_{5} + d_{7}$.
$d_{r} = {}^{7}C_{r}$ હોવાથી,$Q = {}^{7}C_{1} + {}^{7}C_{3} + {}^{7}C_{5} + {}^{7}C_{7} = 2^{7-1} = 2^{6}$.
તેથી,$\frac{P}{Q} = \frac{2^{9}}{2^{6}} = 2^{9-6} = 2^{3} = 8$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે એકી અનુક્રમણિકા (odd indices) ધરાવતા દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો આ મુજબ છે:
$^{n}C_1 + ^{n}C_3 + ^{n}C_5 + \ldots = 2^{n-1}$.
$n = 15$ માટે,આપણી પાસે છે:
$^{15}C_1 + ^{15}C_3 + ^{15}C_5 + \ldots + ^{15}C_{15} = 2^{15-1} = 2^{14}$.
આપણે $^{15}C_3 + ^{15}C_5 + \ldots + ^{15}C_{15}$ નો સરવાળો શોધવો છે.
આ $2^{14} - ^{15}C_1$ જેટલું થાય છે.
કારણ કે $^{15}C_1 = 15$,તેથી સરવાળો $2^{14} - 15$ છે.

(B) $(1+x)^{59}$ ના વિસ્તરણમાં $59+1 = 60$ પદો છે.
ધારો કે સહગુણકો $C_0, C_1, C_2, \dots, C_{59}$ છે.
બધા સહગુણકોનો સરવાળો $\sum_{r=0}^{59} C_r = (1+1)^{59} = 2^{59}$ છે.
કારણ કે $C_r = C_{59-r}$,પ્રથમ $30$ સહગુણકોનો સરવાળો એ છેલ્લા $30$ સહગુણકોના સરવાળા જેટલો જ થાય.
ધારો કે $S$ એ છેલ્લા $30$ સહગુણકોનો સરવાળો છે.
તેથી $2S = \sum_{r=0}^{59} C_r = 2^{59}$.
આમ,$S = \frac{2^{59}}{2} = 2^{58}$.

(D) આપેલ વિસ્તરણ: $(1-x+x^2)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{2n} x^{2n}$.
પગલું $1$: $x = 1$ મૂકતા:
$(1 - 1 + 1)^n = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n}$
$1 = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n} \quad (i)$
પગલું $2$: $x = -1$ મૂકતા:
$(1 - (-1) + (-1)^2)^n = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{2n}$
$3^n = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{2n} \quad (ii)$
પગલું $3$: સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$1 + 3^n = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_{2n})$
તેથી,$a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_{2n} = \frac{3^n + 1}{2}$.

(A) દ્વિપદી વિસ્તરણ આ મુજબ છે: $(1+x)^n = c_0 + c_1x + c_2x^2 + \ldots + c_nx^n$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $n(1+x)^{n-1} = c_1 + 2c_2x + 3c_3x^2 + \ldots + nc_nx^{n-1}$.
સરવાળો $c_1 + 2c_2 + 3c_3 + \ldots + nc_n$ શોધવા માટે,વિકલિત સમીકરણમાં $x = 1$ મૂકતા:
$n(1+1)^{n-1} = c_1 + 2c_2(1) + 3c_3(1)^2 + \ldots + nc_n(1)^{n-1}$.
આથી,$n(2)^{n-1} = c_1 + 2c_2 + 3c_3 + \ldots + nc_n$.
તેથી,સાચો જવાબ $n \cdot 2^{n-1}$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી વિસ્તરણ આ મુજબ છે:
$(1+x)^{n} = { }^{n} C_{0}+{ }^{n} C_{1} x+{ }^{n} C_{2} x^{2}+\ldots+{ }^{n} C_{n} x^{n}$
અને $(x+1)^{n} = { }^{n} C_{0} x^{n}+{ }^{n} C_{1} x^{n-1}+{ }^{n} C_{2} x^{n-2}+\ldots+{ }^{n} C_{n}$.
આ બે પદાવલિઓનો ગુણાકાર કરતા,આપણને $(1+x)^{2n} = (1+x)^{n}(x+1)^{n}$ મળે છે.
$(1+x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{n}$ નો સહગુણક ${ }^{2n} C_{n}$ છે.
બે શ્રેણીઓનો ગુણાકાર કરતા,$x^{n}$ નો સહગુણક એ અનુરૂપ સહગુણકોના ગુણાકારનો સરવાળો છે:
$({ }^{n} C_{0})^{2} + ({ }^{n} C_{1})^{2} + ({ }^{n} C_{2})^{2} + \ldots + ({ }^{n} C_{n})^{2} = { }^{2n} C_{n}$.
આપેલ સરવાળો $({ }^{n} C_{1})^{2}$ થી શરૂ થાય છે,તેથી આપણે પ્રથમ પદ $({ }^{n} C_{0})^{2} = 1$ બાદ કરીશું:
$({ }^{n} C_{1})^{2} + ({ }^{n} C_{2})^{2} + \ldots + ({ }^{n} C_{n})^{2} = { }^{2n} C_{n} - ({ }^{n} C_{0})^{2} = { }^{2n} C_{n} - 1$.