Logarithms Questions in Hindi

(B) दिया गया समीकरण ${x^y} = {y^x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $y \ln x = x \ln y$.
यह दर्शाता है कि $\frac{\ln x}{x} = \frac{\ln y}{y}$.
माना $x/y = r$,इसलिए $x = ry$.
मूल समीकरण में $x = ry$ प्रतिस्थापित करने पर: ${(ry)^y} = {y^{ry}}$.
$y$-वां मूल लेने पर: $ry = y^r$,जो सरल होकर $r = y^{r-1}$ हो जाता है।
अतः,$y = r^{1/(r-1)}$.
तब $x = ry = r \cdot r^{1/(r-1)} = r^{r/(r-1)}$.
अब व्यंजक ${(x/y)^{(x/y)}} = r^r$ पर विचार करें।
हम इसे $x^{(x/y) - k} = (r^{r/(r-1)})^{(r - k)}$ के रूप में व्यक्त करना चाहते हैं।
घातांकों की तुलना करने पर: $r = \frac{r}{r-1} (r - k)$.
$r$ से विभाजित करने पर ($r \neq 0$ मानते हुए): $1 = \frac{r-k}{r-1}$.
$r - 1 = r - k$,जिससे $k = 1$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $4.9^{x - 1} = 3\sqrt{2^{2x + 1}}$
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,हल करने पर $x = 3$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: ${9^x} - {2^{x + 1/2}} = {2^{x + 3/2}} - {3^{2x - 1}}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: ${(3^2)^x} - {2^x} \cdot {2^{1/2}} = {2^x} \cdot {2^{3/2}} - \frac{{3^{2x}}}{3}$
माना ${3^{2x}} = {9^x} = y$ और ${2^x} = z$.
$y - z\sqrt 2 = z(2\sqrt 2) - \frac{y}{3}$
$y + \frac{y}{3} = z(2\sqrt 2 + \sqrt 2)$
$\frac{4y}{3} = 3z\sqrt 2$
$\frac{y}{z} = \frac{9\sqrt 2}{4} = \frac{9}{2\sqrt 2} = \frac{9}{\sqrt 8}$
चूंकि $y = {9^x}$ और $z = {2^x}$,हमारे पास $\frac{{9^x}}{{2^x}} = {(\frac{9}{2})^x} = \frac{9}{\sqrt 8}$
दोनों पक्षों में $\log_{9/2}$ लेने पर:
$x = {\log _{9/2}}(\frac{9}{\sqrt 8})$

(A) माना $x = \log_{a}b$,$y = \log_{b}c$,और $z = \log_{c}a$ है।
दिया गया है कि $x + y + z = 0$ है।
हम जानते हैं कि यदि $x + y + z = 0$,तो $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ होता है।
यहाँ,$xyz = (\log_{a}b) \times (\log_{b}c) \times (\log_{c}a) = \frac{\ln b}{\ln a} \times \frac{\ln c}{\ln b} \times \frac{\ln a}{\ln c} = 1$ है।
अतः,$x^3 + y^3 + z^3 = 3(1) = 3$ है।
चूँकि $3$ एक विषम अभाज्य संख्या है,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\log_{\sqrt{3}}(x^{3} - 1) = \log_{\sqrt{3}}(x - 1) + 2$
लघुगणक के परिभाषित होने के लिए,$x^{3} - 1 > 0$ और $x - 1 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x > 1$।
$\log_{\sqrt{3}}(\frac{x^{3} - 1}{x - 1}) = 2$
चूंकि $x^{3} - 1 = (x - 1)(x^{2} + x + 1)$,इसलिए:
$\log_{\sqrt{3}}(x^{2} + x + 1) = 2$
घातांकीय रूप में बदलने पर:
$x^{2} + x + 1 = (\sqrt{3})^{2} = 3$
$x^{2} + x - 2 = 0$
गुणनखंड करने पर:
$(x + 2)(x - 1) = 0$
$x = -2$ या $x = 1$
चूंकि शर्त $x > 1$ है,इसलिए दोनों मान अमान्य हैं।
अतः,हलों की संख्या $0$ है।

(A) दिया गया समीकरण $\ln(1 + \sin^2 x) = 1 - \ln(5 + x^2)$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\ln(1 + \sin^2 x) + \ln(5 + x^2) = 1$ प्राप्त होता है।
$\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\ln((1 + \sin^2 x)(5 + x^2)) = 1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर,$(1 + \sin^2 x)(5 + x^2) = e^1 = e \approx 2.718$ प्राप्त होता है।
चूंकि $0 \le \sin^2 x \le 1$,पद $(1 + \sin^2 x)$ का मान $1$ से $2$ के बीच है।
चूंकि $x^2 \ge 0$,पद $(5 + x^2)$ कम से कम $5$ है।
इसलिए,गुणनफल $(1 + \sin^2 x)(5 + x^2) \ge 1 \times 5 = 5$ होता है।
चूंकि $5 > e$,$x$ का कोई ऐसा मान नहीं है जो समीकरण को संतुष्ट करे।
अतः,हलों की संख्या $0$ है।

(A) दी गई असमिका: $5^{\frac{1}{4}(\log_5 x)^2} \geq 5 \cdot x^{\frac{1}{5}(\log_5 x)}$
दोनों पक्षों में $\log_5$ लेने पर:
$\frac{1}{4}(\log_5 x)^2 \geq \log_5(5 \cdot x^{\frac{1}{5}\log_5 x})$
$\frac{1}{4}(\log_5 x)^2 \geq 1 + \frac{1}{5}(\log_5 x)^2$
माना $u = \log_5 x$. तब $\frac{1}{4}u^2 \geq 1 + \frac{1}{5}u^2$
$(\frac{1}{4} - \frac{1}{5})u^2 \geq 1$
$\frac{1}{20}u^2 \geq 1 \implies u^2 \geq 20$
$u \geq 2\sqrt{5}$ या $u \leq -2\sqrt{5}$
$\log_5 x \geq 2\sqrt{5} \implies x \geq 5^{2\sqrt{5}}$
$\log_5 x \leq -2\sqrt{5} \implies x \leq 5^{-2\sqrt{5}}$
चूँकि $x > 0$,अतः हल $x \in (0, 5^{-2\sqrt{5}}] \cup [5^{2\sqrt{5}}, \infty)$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\ln(\ln x) = \log_x e$
$\log_x e = \frac{1}{\ln x}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,समीकरण $\ln(\ln x) = \frac{1}{\ln x}$ हो जाता है।
माना $t = \ln x$। तब समीकरण $\ln t = \frac{1}{t}$ या $t \ln t = 1$ है।
माना $f(t) = t \ln t$। हमें $f(t) = 1$ के लिए हलों की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ $t > 0$ और $\ln x$ परिभाषित है (अर्थात $x > 0$ और $\ln x > 0$,इसलिए $t > 0$)।
$t \in (0, 1]$ के लिए,$f(t) = t \ln t \le 0$,इसलिए कोई हल नहीं है।
$t > 1$ के लिए,$f(t)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है जो $0$ से $\infty$ तक जाता है।
चूँकि $f(1) = 0$ और $\lim_{t \to \infty} f(t) = \infty$,इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,एक ऐसा अद्वितीय मान $t_0 > 1$ मौजूद है जिसके लिए $f(t_0) = 1$ है।
चूँकि $t = \ln x$,$x = e^{t_0}$ अद्वितीय हल है।
अतः,हलों की संख्या $1$ है।

(C) दिया गया है $\log _{10} x + \log _{10} y = 2$.
$\log a + \log b = \log (ab)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\log _{10} (xy) = 2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $xy = 10^2 = 100$.
धनात्मक वास्तविक संख्याओं $x$ और $y$ के लिए,समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM-GM)$ असमिका के अनुसार,$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$ होता है।
$xy = 100$ रखने पर,$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{100}$ प्राप्त होता है।
$\frac{x+y}{2} \geq 10$.
अतः,$x+y \geq 20$.
इस प्रकार,$(x+y)$ का न्यूनतम संभव मान $20$ है।

(A) माना $u = \log_6 x$ है। तब $\log_{1/6} x = -u$,$\log_2 x = \log_2 6 \cdot u$,और $\log_{1/2} x = -\log_2 6 \cdot u$ है।
दिया गया समीकरण: $|1 + u| + |u \log_2 6| + 2 = |3 + u - u \log_2 6|$ है।
$|A| + |B| + |C| = |A+B+C|$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,जहाँ $A, B, C$ समान चिह्न रखते हैं।
यहाँ $A = 1+u$,$B = u \log_2 6$,$C = 2$ है,जिससे $u \ge 0$ प्राप्त होता है।
अतः $1 \le x \le 4$ प्राप्त होता है,जहाँ $a=4, b=1$ है।
इसलिए $a+b = 5$ है।

(B) माना $t = \sqrt{\log_3(x) - 1}$। वर्गमूल को परिभाषित करने के लिए,$\log_3(x) - 1 \ge 0$,अतः $\log_3(x) \ge 1$,जिसका अर्थ है $x \ge 3$। साथ ही,$t \ge 0$।
तब $\log_3(x) = t^2 + 1$।
असमिका $t + \frac{\frac{1}{2} \cdot 3 \log_3(x)}{-1} + 2 > 0$ बन जाती है।
$\log_3(x) = t^2 + 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $t - \frac{3}{2}(t^2 + 1) + 2 > 0$ प्राप्त होता है।
$t - \frac{3}{2}t^2 - \frac{3}{2} + 2 > 0 \Rightarrow -\frac{3}{2}t^2 + t + \frac{1}{2} > 0$।
$-2$ से गुणा करने पर,हमें $3t^2 - 2t - 1 < 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(3t + 1)(t - 1) < 0$।
यह $-\frac{1}{3} < t < 1$ के लिए सत्य है। चूंकि $t \ge 0$,हमारे पास $0 \le t < 1$ है।
$t = \sqrt{\log_3(x) - 1}$ वापस रखने पर,हमें $0 \le \sqrt{\log_3(x) - 1} < 1$ प्राप्त होता है।
वर्ग करने पर $0 \le \log_3(x) - 1 < 1$,अतः $1 \le \log_3(x) < 2$।
इसका अर्थ है $3^1 \le x < 3^2$,या $3 \le x < 9$।
इसे संतुष्ट करने वाले पूर्णांक $3, 4, 5, 6, 7, 8$ हैं।
ऐसे $6$ पूर्णांक हैं।

(C) माना व्यंजक $E = \log_{\frac{1}{8}\csc^2\frac{\pi}{8}} \sin^2\frac{3\pi}{8}$ है।
सबसे पहले,आधार की गणना करें: $\csc^2\frac{\pi}{8} = \frac{1}{\sin^2\frac{\pi}{8}} = \frac{1}{\frac{1-\cos(\pi/4)}{2}} = \frac{2}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}} = 4+2\sqrt{2}$.
अतः,आधार $\frac{1}{8}(4+2\sqrt{2}) = \frac{2+\sqrt{2}}{4}$ है।
इसके बाद,तर्क की गणना करें: $\sin^2\frac{3\pi}{8} = \frac{1-\cos(3\pi/4)}{2} = \frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{2} = \frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}} = \frac{2+\sqrt{2}}{4}$.
इस प्रकार,$E = \log_{\frac{2+\sqrt{2}}{4}} \left(\frac{2+\sqrt{2}}{4}\right) = 1$।

(C) माना $u = \log_{x}y$. तब $\log_{y}x = \frac{1}{u}$.
दिया है $\frac{1}{u} + u = \frac{5}{2}$,जिसका अर्थ है $2u^2 - 5u + 2 = 0$.
$u$ के लिए हल करने पर,हमें $(2u - 1)(u - 2) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $u = 2$ या $u = \frac{1}{2}$.
चूंकि $y > x > 1$,इसलिए $\log_{x}y > 1$,अतः $u = 2$,जिसका अर्थ है $y = x^2$.
माना $v = \log_{y}z$. तब $\log_{z}y = \frac{1}{v}$.
दिया है $\frac{1}{v} + v = \frac{10}{3}$,जिसका अर्थ है $3v^2 - 10v + 3 = 0$.
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $(3v - 1)(v - 3) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $v = 3$ या $v = \frac{1}{3}$.
चूंकि $z > y > 1$,इसलिए $\log_{y}z > 1$,अतः $v = 3$,जिसका अर्थ है $z = y^3$.
$y = x^2$ को $z = y^3$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $z = (x^2)^3 = x^6$ प्राप्त होता है।
अतः,$\log_{x}z = \log_{x}(x^6) = 6$.

(C) लघुगणक $\log_{b}(a)$ को परिभाषित होने के लिए,$a > 0$,$b > 0$ और $b \neq 1$ होना चाहिए।
$1$. तर्क के लिए: $x^2 - 14x + 45 > 0$
$(x - 5)(x - 9) > 0$
$x \in (-\infty, 5) \cup (9, \infty) \dots (1)$
$2$. आधार के लिए: $4 - x > 0$ और $4 - x \neq 1$
$x < 4$ और $x \neq 3 \dots (2)$
$3$. $(1)$ और $(2)$ का प्रतिच्छेदन:
$x \in (-\infty, 3) \cup (3, 4)$
चूंकि हम प्राकृतिक संख्याओं $(x \in \{1, 2, 3, \dots\})$ की तलाश कर रहे हैं,$x$ के वे मान जो शर्त को पूरा करते हैं,$x = 1$ और $x = 2$ हैं।
इन प्राकृतिक संख्याओं का योग $1 + 2 = 3$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\log_{7}(2^{x} - 1) + \log_{7}(2^{x} - 7) = 1$
लघुगणक को परिभाषित होने के लिए,$2^{x} - 1 > 0$ और $2^{x} - 7 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $2^{x} > 7$.
गुणधर्म $\log_{b}(m) + \log_{b}(n) = \log_{b}(mn)$ का उपयोग करने पर:
$\log_{7}((2^{x} - 1)(2^{x} - 7)) = 1$
प्रति-लघुगणक (antilog) लेने पर:
$(2^{x} - 1)(2^{x} - 7) = 7$
माना $t = 2^{x}$. तब:
$(t - 1)(t - 7) = 7$
$t^{2} - 8t + 7 = 7$
$t^{2} - 8t = 0$
$t(t - 8) = 0$
अतः,$t = 0$ या $t = 8$.
चूंकि $t = 2^{x}$,हमारे पास $2^{x} = 0$ (जिसका कोई हल नहीं है) या $2^{x} = 8$ है।
$2^{x} = 2^{3} \implies x = 3$.
शर्त $2^{x} > 7$ की जाँच करने पर: $x = 3$ के लिए,$2^{3} = 8 > 7$,जो मान्य है।
अतः,केवल $1$ हल है।

(C) माना $t = \sqrt{56 + \sqrt{56 + \sqrt{56 + \dots \infty}}}$.
तब $t = \sqrt{56 + t}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $t^2 = 56 + t$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t^2 - t - 56 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(t - 8)(t + 7) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $t$ एक वर्गमूल को दर्शाता है,$t$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $t = 8$.
अब,$x$ के व्यंजक में $t$ का मान रखने पर: $x = \log _2(8)$.
चूंकि $8 = 2^3$,हमें $x = \log _2(2^3) = 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x = 3$,यह $2 < x < 4$ की शर्त को पूरा करता है।

(D) दिया गया समीकरण: $x^{1 + \log_{10} x} = 100000x$
दोनों पक्षों में $\log_{10}$ लेने पर:
$(1 + \log_{10} x) \cdot \log_{10} x = \log_{10} (100000x)$
मान लीजिए $y = \log_{10} x$ है। तब समीकरण इस प्रकार होगा:
$(1 + y)y = \log_{10} (10^5) + \log_{10} x$
$y + y^2 = 5 + y$
$y^2 = 5$
$y = \pm \sqrt{5}$
चूंकि $y = \log_{10} x$,इसलिए $\log_{10} x = \sqrt{5}$ या $\log_{10} x = -\sqrt{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x_1 = 10^{\sqrt{5}}$ और $x_2 = 10^{-\sqrt{5}}$ है।
हलों का गुणनफल $x_1 \cdot x_2 = 10^{\sqrt{5}} \cdot 10^{-\sqrt{5}} = 10^{\sqrt{5} - \sqrt{5}} = 10^0 = 1$ है।

(A) दिया गया फलन $\phi (x) = x + 2^{\log_x 3} - 3^{\log_x 2}$ है।
लघुगणक के गुणधर्म $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$ का उपयोग करते हुए,हम पदों को सरल बना सकते हैं।
पद $2^{\log_x 3}$ पर विचार करें। गुणधर्म के अनुसार,$2^{\log_x 3} = 3^{\log_x 2}$ होता है।
इस मान को फलन में रखने पर: $\phi (x) = x + 3^{\log_x 2} - 3^{\log_x 2} = x$ प्राप्त होता है।
अब,विकल्पों की जाँच करें:
विकल्प $A$ के लिए: $\phi (2) = 2$. यह सत्य है।
विकल्प $B$ के लिए: $\phi (1)$ अपरिभाषित है क्योंकि लघुगणक का आधार $x > 0$ और $x \neq 1$ होना चाहिए।
विकल्प $C$ के लिए: $\phi (-1.5)$ अपरिभाषित है क्योंकि लघुगणक का आधार धनात्मक होना चाहिए।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) माना $S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \ldots \infty$। यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{1}{3}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{3}$ है।
सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करने पर,$S = \frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $(0.16)^{\log_{2.5}(1/2)}$ है।
ध्यान दें कि $0.16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25} = (2.5)^{-2}$।
अतः,व्यंजक $((2.5)^{-2})^{\log_{2.5}(1/2)}$ हो जाता है।
गुणधर्म $(a^b)^c = a^{bc}$ का उपयोग करने पर,$(2.5)^{-2 \log_{2.5}(1/2)} = (2.5)^{\log_{2.5}((1/2)^{-2})}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a^{\log_a(x)} = x$,व्यंजक का मान $(1/2)^{-2} = 2^2 = 4$ होगा।

(D) दी गई श्रेणी $\sum_{n=2}^{21} \log_{7^{1/n}} x = 460$ है।
गुणधर्म $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ का उपयोग करने पर,$\log_{7^{1/n}} x = n \log_7 x$ प्राप्त होता है।
अतः,योग $\sum_{n=2}^{21} n \log_7 x = 460$ है।
$\log_7 x \cdot (2 + 3 + 4 + \dots + 21) = 460$.
समांतर श्रेणी $2 + 3 + \dots + 21$ का योग $\frac{20}{2} (2 + 21) = 10 \times 23 = 230$ है।
इसलिए,$230 \cdot \log_7 x = 460$.
$\log_7 x = 2$.
अतः,$x = 7^2 = 49$.

(A) दिया गया समीकरण: $\log _{4}(x-1)=\log _{2}(x-3)$
गुणधर्म $\log _{a^n}(b) = \frac{1}{n} \log _{a}(b)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} \log _{2}(x-1)=\log _{2}(x-3)$
$\log _{2}(x-1)^{1/2}=\log _{2}(x-3)$
तर्कों की तुलना करने पर:
$(x-1)^{1/2} = x-3$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x-1 = (x-3)^2$
$x-1 = x^2 - 6x + 9$
$x^2 - 7x + 10 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x-2)(x-5) = 0$
$x = 2$ या $x = 5$
मूल समीकरण के प्रांत (domain) की जाँच करने पर:
$\log _{2}(x-3)$ के परिभाषित होने के लिए $x-3 > 0$,अर्थात $x > 3$ होना चाहिए।
$\log _{4}(x-1)$ के परिभाषित होने के लिए $x-1 > 0$,अर्थात $x > 1$ होना चाहिए।
अतः,प्रांत $x > 3$ है।
चूँकि $x=2$ प्रांत में नहीं है $(2 < 3)$,यह एक बाह्य हल है।
अतः केवल $x=5$ ही मान्य हल है।
इसलिए,हलों की संख्या $1$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $x+1-2 \log _{2}\left(3+2^{x}\right)+2 \log _{4}\left(10-2^{-x}\right)=0$
$\log _{4} a = \frac{1}{2} \log _{2} a$ का उपयोग करने पर:
$x+1-2 \log _{2}\left(3+2^{x}\right)+\log _{2}\left(10-2^{-x}\right)=0$
$\log _{2}\left(2^{x+1}\right)-\log _{2}\left(3+2^{x}\right)^{2}+\log _{2}\left(10-2^{-x}\right)=0$
$\log _{2}\left(\frac{2^{x+1} \cdot (10-2^{-x})}{(3+2^{x})^{2}}\right)=0$
$\frac{2 \cdot 2^{x} \cdot (10-2^{-x})}{(3+2^{x})^{2}}=1$
$\frac{2(10 \cdot 2^{x}-1)}{(3+2^{x})^{2}}=1$
$20 \cdot 2^{x}-2 = 9 + 2^{2x} + 6 \cdot 2^{x}$
$(2^{x})^{2} - 14(2^{x}) + 11 = 0$
माना $2^{x} = t$. तब $t^{2} - 14t + 11 = 0$. मूल $t_{1} = 2^{x_{1}}$ और $t_{2} = 2^{x_{2}}$ हैं।
द्विघात समीकरण के मूलों का गुणनफल $t_{1} \cdot t_{2} = 11$ है।
$2^{x_{1}} \cdot 2^{x_{2}} = 11 \Rightarrow 2^{x_{1}+x_{2}} = 11$
$x_{1}+x_{2} = \log _{2}(11)$

(D) दिया गया समीकरण: $\log _{(x+1)}(2 x^{2}+7 x+5)+\log _{(2 x+5)}(x+1)^{2}-4=0$.
गुणनखंड करने पर: $2x^2+7x+5 = (2x+5)(x+1)$.
लॉग के गुणों का उपयोग करने पर: $\log _{(x+1)}(2x+5)(x+1) + 2\log _{(2x+5)}(x+1) - 4 = 0$.
$\log _{(x+1)}(2x+5) + 1 + 2\log _{(2x+5)}(x+1) - 4 = 0$.
माना $t = \log _{(x+1)}(2x+5)$. तो $\log _{(2x+5)}(x+1) = \frac{1}{t}$.
समीकरण $t + 1 + \frac{2}{t} - 4 = 0$ बन जाता है,जो $t + \frac{2}{t} - 3 = 0$ में सरल होता है।
$t$ से गुणा करने पर: $t^2 - 3t + 2 = 0$,अतः $(t-1)(t-2) = 0$.
स्थिति $1$: $t=1$ $\Rightarrow \log _{(x+1)}(2x+5) = 1$ $\Rightarrow 2x+5 = x+1$ $\Rightarrow x = -4$. चूँकि $x > 0$,यह हल अमान्य है।
स्थिति $2$: $t=2$ $\Rightarrow \log _{(x+1)}(2x+5) = 2$ $\Rightarrow 2x+5 = (x+1)^2$ $\Rightarrow 2x+5 = x^2+2x+1$ $\Rightarrow x^2 = 4$.
चूँकि $x > 0$,$x = 2$.
अतः,केवल $1$ हल प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $2 \log (x - 2y) = \log x + \log y$.
गुणधर्म $n \log a = \log a^n$ का उपयोग करने पर: $\log (x - 2y)^2 = \log (xy)$.
लघुगणक हटाने पर: $(x - 2y)^2 = xy$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $x^2 - 4xy + 4y^2 = xy$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 5xy + 4y^2 = 0$.
$y^2$ से भाग देने पर ($y > 0$ होने के कारण): $\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 5\left(\frac{x}{y}\right) + 4 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $\left(\frac{x}{y} - 1\right)\left(\frac{x}{y} - 4\right) = 0$.
इससे दो संभावित मान मिलते हैं: $\frac{x}{y} = 1$ या $\frac{x}{y} = 4$.
हालाँकि,शर्त $x > 2y$ का अर्थ है कि $\frac{x}{y} > 2$.
इसलिए,$\frac{x}{y} = 1$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।
अतः,केवल $\frac{x}{y} = 4$ ही सही उत्तर है।

(B) दिया गया समीकरण: $\log _{(3x-1)}(x-2) = \log _{(9x^2-6x+1)}(2x^2-10x-2)$ है।
यहाँ $9x^2-6x+1 = (3x-1)^2$ है।
गुणधर्म $\log_{a^n}(b) = \frac{1}{n} \log_a(b)$ का उपयोग करने पर:
$\log _{(3x-1)}(x-2) = \frac{1}{2} \log _{(3x-1)}(2x^2-10x-2)$।
अतः,$\log _{(3x-1)}(x-2)^2 = \log _{(3x-1)}(2x^2-10x-2)$।
घातों की तुलना करने पर: $(x-2)^2 = 2x^2-10x-2$।
$x^2-4x+4 = 2x^2-10x-2$।
$x^2-6x-6 = 0$।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$x = 3 \pm \sqrt{15}$ प्राप्त होता है।
लघुगणक को परिभाषित होने के लिए,$x-2 > 0$ होना चाहिए।
यदि $x = 3-\sqrt{15}$ लेते हैं,तो $x-2 < 0$ होता है,जो अमान्य है।
यदि $x = 3+\sqrt{15}$ लेते हैं,तो यह शर्तों को पूरा करता है।
अतः,$x = 3+\sqrt{15}$।

(A) दी गई असमिका: $\log _2 \log _2 \log _2 \log _2 \log _2(n) < 0 < \log _2 \log _2 \log _2 \log _2(n)$।
सबसे पहले,$\log _2 \log _2 \log _2 \log _2(n) > 0$ पर विचार करें:
$\log _2 \log _2 \log _2 \log _2(n) > 0 \implies \log _2 \log _2 \log _2(n) > 1 \implies \log _2 \log _2(n) > 2 \implies \log _2(n) > 4 \implies n > 2^4 = 16$.
इसके बाद,$\log _2 \log _2 \log _2 \log _2 \log _2(n) < 0$ पर विचार करें:
$\log _2 \log _2 \log _2 \log _2 \log _2(n) < 0 \implies \log _2 \log _2 \log _2 \log _2(n) < 1 \implies \log _2 \log _2 \log _2(n) < 2 \implies \log _2 \log _2(n) < 4 \implies \log _2(n) < 16 \implies n < 2^{16} = 65536$.
अतः,$16 < n < 65536$ है।
$n$ के बाइनरी विस्तार में अंकों की संख्या $l = \lfloor \log_2(n) \rfloor + 1$ द्वारा दी जाती है।
$n > 16$ के लिए,न्यूनतम मान $\lfloor \log_2(16 + 1) \rfloor + 1 = 4 + 1 = 5$ है।
$n < 65536$ के लिए,अधिकतम मान $\lfloor \log_2(65535) \rfloor + 1 = 15 + 1 = 16$ है।
इसलिए,$l$ के न्यूनतम और अधिकतम मान $5$ और $16$ हैं।

(C) दिया गया है कि $\log _a b + \log _b a = c$.
चूंकि $a, b > 1$,इसलिए $\log _a b$ और $\log _b a$ दोनों धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं।
अंकगणितीय माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM-GM)$ असमिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक वास्तविक संख्याओं $x$ और $y$ के लिए,$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$.
मान लीजिए $x = \log _a b$ और $y = \log _b a$.
तब $\frac{\log _a b + \log _b a}{2} \geq \sqrt{\log _a b \cdot \log _b a}$.
चूंकि $\log _a b = \frac{1}{\log _b a}$,इसलिए $\log _a b \cdot \log _b a = 1$ है।
अतः,$\frac{c}{2} \geq \sqrt{1} = 1$.
इससे $c \geq 2$ प्राप्त होता है।
$c$ का न्यूनतम संभव पूर्णांक मान $2$ है।

(B) मान लीजिए संख्याओं का समुच्चय $S = \{2, 4, 6, 8, 20, 22, 24, 26, 28, 40, \dots \}$ है।
ये संख्याएँ $5$ अंकों $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ का उपयोग करके बनाई गई हैं।
चूंकि $0$ प्रथम अंक नहीं हो सकता,$n$-वीं संख्या $a_n$ को $5$ के आधार (base-$5$) के साथ संबंधित किया जा सकता है।
मान लीजिए $n$ को $5$ के आधार में $(d_k d_{k-1} \dots d_0)_5$ के रूप में दर्शाया गया है। $n$-वीं संख्या $a_n$ अंकों $0, 1, 2, 3, 4$ को क्रमशः $0, 2, 4, 6, 8$ से बदलकर प्राप्त की जाती है।
बड़े $n$ के लिए,$a_n \approx 2 \cdot 10^{\log_5 n}$।
लघुगणक (logarithm) लेने पर,$\log a_n \approx \log 2 + \log_5 n \cdot \log 10 = \log 2 + \frac{\log n}{\log 5} \cdot \log 10$।
$\log n$ से विभाजित करने और $n \rightarrow \infty$ सीमा लेने पर:
$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\log a_n}{\log n} = \frac{\log 10}{\log 5} = \log_5 10$।

(B) दी गई संख्या $n = 15^2 \times 5^{18}$ है।
$n = (3 \times 5)^2 \times 5^{18} = 3^2 \times 5^2 \times 5^{18} = 9 \times 5^{20}$.
अंकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $\log_{10} n = \log_{10} (9 \times 5^{20}) = \log_{10} 9 + 20 \log_{10} 5$ की गणना करते हैं।
$\log_{10} 3 \approx 0.4771$ और $\log_{10} 5 \approx 0.6990$ का उपयोग करते हुए:
$\log_{10} n = 2 \times 0.4771 + 20 \times 0.6990 = 0.9542 + 13.98 = 14.9342$.
चूंकि विशेषता $14$ है,संख्या $n$ में $14 + 1 = 15$ अंक हैं।
$15$ अंकों की संख्या के लिए अंकों का अधिकतम योग $9 \times 15 = 135$ है। हालाँकि,$n = 9 \times 5^{20}$ का अंतिम अंक $5$ है।
इसलिए अंकों का योग $S$ शर्त $S \leq 9 \times 14 + 5 = 126 + 5 = 131$ को पूरा करता है।
अतः,$6 \leq S < 140$।

(B) दिए गए समीकरण $a^x = \frac{9}{5}$ के रूप में हैं,जहाँ $a$ आधार है।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$x \ln(a) = \ln(1.8)$,जिसका अर्थ है $x = \frac{\ln(1.8)}{\ln(a)}$।
चूंकि $\ln(1.8) > 0$ है,इसलिए $x$ तब सबसे बड़ा होगा जब $\ln(a)$ सबसे छोटा और धनात्मक हो,जो तब होता है जब आधार $a$,$1$ के सबसे करीब हो (लेकिन $1$ से बड़ा)।
मान लीजिए आधार $a_1 = 1 + \frac{r}{\pi}$,$a_2 = 1 + \frac{r}{17}$,$a_3 = 1 + 2r$,और $a_4 = 1 + \frac{1}{r}$ हैं।
$0 < r < 4$ दिया गया है,हम मानों की तुलना करते हैं:
$a_2 = 1 + \frac{r}{17}$ सबसे छोटा मान है क्योंकि $r \in (0, 4)$ के लिए $\frac{r}{17}$ सबसे छोटी वृद्धि है।
चूंकि $a_2$ सबसे छोटा आधार है जो $1$ से बड़ा है,इसलिए $\frac{9}{5}$ का मान प्राप्त करने के लिए आवश्यक घातांक $x$ सबसे बड़ा होना चाहिए।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) दिया गया है $\log _a b=4$ और $\log _c d=2$,जहाँ $a, b, c, d \in \mathbb{N}$.
लघुगणक की परिभाषा से,$b=a^4$ और $d=c^2$ है।
$b-d=7$ दिया गया है,अतः $b$ और $d$ के मान रखने पर:
$a^4-c^2=7$
इसे $(a^2)^2 - c^2 = 7$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका गुणनखंड $(a^2-c)(a^2+c)=7$ है।
चूँकि $a, c \in \mathbb{N}$,$a^2+c$ और $a^2-c$ संख्या $7$ के गुणनखंड हैं। चूँकि $a^2+c > a^2-c$ और $7$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए:
$a^2+c=7$ और $a^2-c=1$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2a^2 = 8$ $\Rightarrow a^2 = 4$ $\Rightarrow a = 2$ (चूँकि $a \in \mathbb{N}$)।
$a=2$ को $a^2+c=7$ में रखने पर: $4+c=7 \Rightarrow c=3$.
अतः,$c-a = 3-2 = 1$.

(C) दिया गया है $\log_{a} b = 10$,जिसका अर्थ है $\log b = 10 \log a$.
व्यंजक $\frac{\log_{a} x \cdot \log_{x}(\frac{b}{a})}{\log_{x} b \cdot \log_{ab} x}$ है।
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_{m} n = \frac{\log n}{\log m}$ का उपयोग करते हुए:
$\log_{a} x = \frac{\log x}{\log a}$,$\log_{x}(\frac{b}{a}) = \frac{\log b - \log a}{\log x}$,$\log_{x} b = \frac{\log b}{\log x}$,और $\log_{ab} x = \frac{\log x}{\log a + \log b}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{p}{q} = \frac{(\frac{\log x}{\log a}) \cdot (\frac{\log b - \log a}{\log x})}{(\frac{\log b}{\log x}) \cdot (\frac{\log x}{\log a + \log b})} = \frac{\frac{\log b - \log a}{\log a}}{\frac{\log b}{\log a + \log b}} = \frac{(\log b - \log a)(\log a + \log b)}{\log a \cdot \log b} = \frac{(\log b)^2 - (\log a)^2}{\log a \cdot \log b}$.
चूंकि $\log b = 10 \log a$,इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{p}{q} = \frac{(10 \log a)^2 - (\log a)^2}{\log a \cdot (10 \log a)} = \frac{100(\log a)^2 - (\log a)^2}{10(\log a)^2} = \frac{99(\log a)^2}{10(\log a)^2} = \frac{99}{10}$.
चूंकि $p=99$ और $q=10$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए $p+q = 99+10 = 109$.

(A) दिए गए समीकरण $(2a)^{\ln a} = (bc)^{\ln b}$ और $b^{\ln 2} = a^{\ln c}$ हैं।
पहले समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln a (\ln 2 + \ln a) = \ln b (\ln b + \ln c)$.
दूसरे समीकरण से: $\ln 2 \cdot \ln b = \ln c \cdot \ln a \implies \ln c = \frac{\ln 2 \cdot \ln b}{\ln a}$.
पहले समीकरण में $\ln c$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $(\ln a)^2 + \ln a \ln 2 = (\ln b)^2 + \ln b \left( \frac{\ln 2 \cdot \ln b}{\ln a} \right)$.
$(\ln a)^2 + \ln a \ln 2 = (\ln b)^2 \left( \frac{\ln a + \ln 2}{\ln a} \right)$.
$(\ln a)^2 (\ln a + \ln 2) = (\ln b)^2 (\ln a + \ln 2)$.
चूँकि $a, b, c$ भिन्न हैं,$\ln a + \ln 2 \neq 0$,इसलिए $(\ln a)^2 = (\ln b)^2$,जिसका अर्थ है $\ln a = -\ln b$ (क्योंकि $a \neq b$ है)।
अतः $b = 1/a$. दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(1/a)^{\ln 2} = a^{\ln c} \implies a^{-\ln 2} = a^{\ln c} \implies \ln c = -\ln 2 \implies c = 1/2$.
पहले समीकरण में $b = 1/a$ और $c = 1/2$ प्रतिस्थापित करने पर: $(2a)^{\ln a} = (a/2)^{\ln(1/a)} = (a/2)^{-\ln a} = (2/a)^{\ln a}$.
चूँकि $(2a)^{\ln a} = (2/a)^{\ln a}$,हमारे पास $2a = 2/a \implies a^2 = 1$ है। चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 1$ है। यदि $a=1$ है,तो $b=1$ होगा,जो इस तथ्य का खंडन करता है कि $a, b, c$ भिन्न हैं। प्रश्न का कथन गणितीय रूप से असंगत है।

(A) दी गई असमिका $\log _{x+\frac{7}{2}}\left(\frac{x-7}{2 x-3}\right)^2 \geq 0$ है।
संभव क्षेत्र:
$1) \ x+\frac{7}{2} > 0 \Rightarrow x > -\frac{7}{2}$
$2) \ x+\frac{7}{2} \neq 1 \Rightarrow x \neq -\frac{5}{2}$
$3) \ \frac{x-7}{2x-3} \neq 0 \Rightarrow x \neq 7$
$4) \ 2x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{3}{2}$
प्रतिच्छेदन: $x \in \left(-\frac{7}{2}, \infty\right) \setminus \left\{-\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, 7\right\}$।
स्थिति $I$: $x+\frac{7}{2} > 1$ और $\left(\frac{x-7}{2x-3}\right)^2 \geq 1$
$x > -\frac{5}{2}$ और $(2x-3)^2 - (x-7)^2 \leq 0$
$(x+4)(3x-10) \leq 0 \Rightarrow x \in [-4, \frac{10}{3}]$
$x > -\frac{5}{2}$ के साथ प्रतिच्छेदन $x \in \left(-\frac{5}{2}, \frac{10}{3}\right]$ देता है।
स्थिति $II$: $0 < x+\frac{7}{2} < 1$ और $0 < \left(\frac{x-7}{2x-3}\right)^2 < 1$
इस स्थिति में कोई सामान्य हल नहीं है।
अतः,$x \in \left(-\frac{5}{2}, \frac{10}{3}\right] \setminus \left\{\frac{3}{2}\right\}$।
पूर्णांक मान $\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ हैं।
कुल पूर्णांक हलों की संख्या $6$ है।

(C) दिए गए समीकरण $(2x)^{\ln 2} = (3y)^{\ln 3}$ और $3^{\ln x} = 2^{\ln y}$ हैं।
पहले समीकरण के दोनों पक्षों में $\ln$ लेने पर:
$(\ln 2)(\ln 2 + \ln x) = (\ln 3)(\ln 3 + \ln y) \quad (1)$
दूसरे समीकरण के दोनों पक्षों में $\ln$ लेने पर:
$(\ln x)(\ln 3) = (\ln y)(\ln 2) \Rightarrow \ln y = \frac{(\ln x)(\ln 3)}{\ln 2}$.
$\ln y$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$(\ln 2)^2 + (\ln 2)(\ln x) = (\ln 3)^2 + (\ln 3)\left(\frac{(\ln x)(\ln 3)}{\ln 2}\right)$
$(\ln x) \left(\ln 2 - \frac{(\ln 3)^2}{\ln 2}\right) = (\ln 3)^2 - (\ln 2)^2$
$(\ln x) \left(\frac{(\ln 2)^2 - (\ln 3)^2}{\ln 2}\right) = (\ln 3)^2 - (\ln 2)^2$
दोनों पक्षों को $((\ln 2)^2 - (\ln 3)^2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\ln x}{\ln 2} = -1$
$\ln x = -\ln 2 = \ln(2^{-1})$
$x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
अतः,$x_0 = \frac{1}{2}$.

(A) माना $t = \sqrt{4-\frac{1}{3\sqrt{2}}\sqrt{4-\frac{1}{3\sqrt{2}}\sqrt{4-\dots}}}$.
तब $t = \sqrt{4-\frac{1}{3\sqrt{2}}t}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4-\frac{1}{3\sqrt{2}}t = t^2$,जिसका अर्थ है $t^2 + \frac{1}{3\sqrt{2}}t - 4 = 0$.
$3\sqrt{2}$ से गुणा करने पर,$3\sqrt{2}t^2 + t - 12\sqrt{2} = 0$.
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(3\sqrt{2})(-12\sqrt{2})}}{2(3\sqrt{2})} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 288}}{6\sqrt{2}} = \frac{-1 \pm 17}{6\sqrt{2}}$.
चूंकि $t > 0$,इसलिए $t = \frac{16}{6\sqrt{2}} = \frac{8}{3\sqrt{2}}$.
व्यंजक $6 + \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{8}{3\sqrt{2}}\right) = 6 + \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{8}{18}\right) = 6 + \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{4}{9}\right)$.
चूंकि $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2 = (\frac{3}{2})^{-2}$,इसलिए व्यंजक $6 + \log_{\frac{3}{2}}\left((\frac{3}{2})^{-2}\right) = 6 - 2 = 4$ है।

(B) माना व्यंजक $E = \left(\left(\log _2 9\right)^2\right)^{\frac{1}{\log _2\left(\log _2 9\right)}} \times(\sqrt{7})^{\frac{1}{\log _4 7}}$ है।
गुणधर्म $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$ का उपयोग करने पर,पहला पद $\left(\left(\log _2 9\right)^2\right)^{\log_{\log_2 9} 2} = (\log_2 9)^{2 \log_{\log_2 9} 2} = (\log_2 9)^{\log_{\log_2 9} 2^2} = 2^2 = 4$ हो जाता है।
दूसरे पद के लिए,$\frac{1}{\log_4 7} = \log_7 4$ है। अतः,$(\sqrt{7})^{\log_7 4} = (7^{1/2})^{\log_7 4} = 7^{\frac{1}{2} \log_7 4} = 7^{\log_7 4^{1/2}} = 4^{1/2} = 2$ है।
अतः,$E = 4 \times 2 = 8$।

(B) $AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$\frac{3^{y_1}+3^{y_2}+3^{y_3}}{3} \geq \sqrt[3]{3^{y_1} \cdot 3^{y_2} \cdot 3^{y_3}} = \sqrt[3]{3^{y_1+y_2+y_3}}$.
चूंकि $y_1+y_2+y_3=9$ दिया गया है,हमारे पास $\frac{3^{y_1}+3^{y_2}+3^{y_3}}{3} \geq \sqrt[3]{3^9} = 3^3 = 27$ है।
अतः,$3^{y_1}+3^{y_2}+3^{y_3} \geq 81 = 3^4$ है।
दोनों पक्षों का $\log_3$ लेने पर,$\log_3(3^{y_1}+3^{y_2}+3^{y_3}) \geq 4$,इसलिए $m=4$ है।
$M$ के लिए,$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$\frac{x_1+x_2+x_3}{3} \geq \sqrt[3]{x_1 x_2 x_3}$ है।
चूंकि $x_1+x_2+x_3=9$ दिया गया है,हमारे पास $3 \geq \sqrt[3]{x_1 x_2 x_3}$ है,इसलिए $x_1 x_2 x_3 \leq 27$ है।
तब $\log_3(x_1 x_2 x_3) = \log_3 x_1 + \log_3 x_2 + \log_3 x_3 \leq \log_3(27) = 3$,इसलिए $M=3$ है।
अंत में,$\log_2(m^3) + \log_3(M^2) = \log_2(4^3) + \log_3(3^2) = \log_2(64) + 2 = 6 + 2 = 8$ है।

(A,B,C) दिया गया है $3^x = 4^{x-1}$।
दोनों पक्षों में $\log_3$ लेने पर:
$x = (x-1) \log_3 4$
$x = (x-1) \cdot 2 \log_3 2$
$x = 2x \log_3 2 - 2 \log_3 2$
$2 \log_3 2 = x(2 \log_3 2 - 1)$
$x = \frac{2 \log_3 2}{2 \log_3 2 - 1}$ (विकल्प $A$ सही है)।
दोनों पक्षों में $\log_2$ लेने पर:
$x \log_2 3 = (x-1) \log_2 4$
$x \log_2 3 = 2(x-1)$
$x \log_2 3 = 2x - 2$
$2 = x(2 - \log_2 3)$
$x = \frac{2}{2 - \log_2 3}$ (विकल्प $B$ सही है)।
चूंकि $\log_2 3 = \log_4 3^2 = 2 \log_4 3$,इसलिए:
$x = \frac{2}{2 - 2 \log_4 3} = \frac{1}{1 - \log_4 3}$ (विकल्प $C$ सही है)।

(B) दिया गया समीकरण: $x^{16(\log_5 x)^3 - 68 \log_5 x} = 5^{-16}$.
दोनों पक्षों में $\log_5$ लेने पर:
$(16(\log_5 x)^3 - 68 \log_5 x) \cdot \log_5 x = \log_5(5^{-16})$.
माना $t = \log_5 x$. तब समीकरण इस प्रकार होगा:
$(16t^3 - 68t) \cdot t = -16$.
$16t^4 - 68t^2 + 16 = 0$.
$4$ से भाग देने पर:
$4t^4 - 17t^2 + 4 = 0$.
माना $u = t^2$. तब $4u^2 - 17u + 4 = 0$.
$(4u - 1)(u - 4) = 0$.
अतः,$u = 1/4$ या $u = 4$.
चूंकि $u = t^2 = (\log_5 x)^2$,इसलिए $(\log_5 x)^2 = 1/4$ या $(\log_5 x)^2 = 4$.
इससे $\log_5 x = \pm 1/2$ या $\log_5 x = \pm 2$ प्राप्त होता है।
$x$ के मान $5^{1/2}, 5^{-1/2}, 5^2, 5^{-2}$ हैं।
इन मानों का गुणनफल $5^{1/2 - 1/2 + 2 - 2} = 5^0 = 1$ है।

(C) दिया है $a = 3\sqrt{2} = \sqrt{18}$। अतः,$3x + 2y = \log_{\sqrt{18}}(18)^{\frac{5}{4}} = \frac{5}{2}$।
$2$ से गुणा करने पर,$6x + 4y = 5$ ... $(1)$।
$b = (5^{\frac{1}{6}} \cdot 6^{\frac{1}{2}})^{-1}$ और $\sqrt{1080} = 5^{\frac{1}{2}} \cdot 6^{\frac{3}{2}} = b^{-3}$।
अतः,$2x - y = \log_b(b^{-3}) = -3$ ... $(2)$।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर,$x = -0.5$ और $y = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$4x + 5y = 4(-0.5) + 5(2) = 8$।

(A) दिया गया समीकरण:
$x+\log_{15}(5+3^x)=x\log_{15}5+\log_{15}24$
$x$ को $\log_{15}(15^x)$ के रूप में लिखने पर:
$\log_{15}(15^x)+\log_{15}(5+3^x)=\log_{15}(5^x)+\log_{15}24$
$\log(a)+\log(b)=\log(ab)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log_{15}(15^x(5+3^x))=\log_{15}(24 \cdot 5^x)$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
$15^x(5+3^x)=24 \cdot 5^x$
चूंकि $15^x = (3 \cdot 5)^x = 3^x \cdot 5^x$,इसलिए:
$3^x \cdot 5^x(5+3^x)=24 \cdot 5^x$
दोनों पक्षों को $5^x$ से विभाजित करने पर $(5^x \neq 0)$:
$3^x(5+3^x)=24$
माना $t=3^x$. तब:
$t(5+t)=24$
$t^2+5t-24=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(t+8)(t-3)=0$
चूंकि $t=3^x > 0$,इसलिए $t=3$ होगा:
$3^x=3^1$
$x=1$

(A) दिया गया समीकरण: $\sqrt{\log_3 x^{16}} + 9\log_{27}\sqrt[3]{\frac{3}{x}} = 5$ है।
प्रथम पद का सरलीकरण:
$\sqrt{\log_3 x^{16}} = \sqrt{16\log_3 x} = 4\sqrt{\log_3 x}$।
द्वितीय पद का सरलीकरण:
$9\log_{27}\sqrt[3]{\frac{3}{x}} = 9 \cdot \log_{3^3} (\frac{3}{x})^{1/3} = 9 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \log_3(\frac{3}{x}) = 1 \cdot (\log_3 3 - \log_3 x) = 1 - \log_3 x$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$4\sqrt{\log_3 x} + 1 - \log_3 x = 5$।
समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$4\sqrt{\log_3 x} - \log_3 x = 4$।
मान लीजिए $t = \sqrt{\log_3 x}$,तो $t^2 = \log_3 x$:
$4t - t^2 = 4 \Rightarrow t^2 - 4t + 4 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(t - 2)^2 = 0 \Rightarrow t = 2$।
चूंकि $t = \sqrt{\log_3 x} = 2$,इसलिए $\log_3 x = 4$।
अतः,$x = 3^4 = 81$।

(D) दिया गया है:
$p^3 = q^4 = r^6 = t^7 = s^2 = k$
प्रत्येक चर को $k$ के पदों में व्यक्त करें:
$p = k^{1/3}, q = k^{1/4}, r = k^{1/6}, s = k^{1/2}, t = k^{1/7}$
गुणनफल $pqrs$ ज्ञात करें:
$pqrs = k^{1/3} \times k^{1/4} \times k^{1/6} \times k^{1/2} = k^{(1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/2)}$
घातांकों का योग ज्ञात करें:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{4 + 3 + 2 + 6}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$
अतः,$pqrs = k^{5/4}$
अब लघुगणक का मान ज्ञात करें:
$\log_t(pqrs) = \log_{k^{1/7}}(k^{5/4})$
गुणधर्म $\log_{a^n}(b^m) = \frac{m}{n} \log_a(b)$ का उपयोग करते हुए:
$\log_{k^{1/7}}(k^{5/4}) = \frac{5/4}{1/7} = \frac{5}{4} \times 7 = \frac{35}{4}$

(C) दिया गया समीकरण: $\log _2 x + \log _4 x + \log _8 x + \log _{16} x = \frac{25}{36}$
आधार परिवर्तन सूत्र $\log _a b = \frac{\log b}{\log a}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\log x}{\log 2} + \frac{\log x}{\log 4} + \frac{\log x}{\log 8} + \frac{\log x}{\log 16} = \frac{25}{36}$
चूंकि $\log 4 = 2 \log 2$,$\log 8 = 3 \log 2$,और $\log 16 = 4 \log 2$:
$\frac{\log x}{\log 2} + \frac{\log x}{2 \log 2} + \frac{\log x}{3 \log 2} + \frac{\log x}{4 \log 2} = \frac{25}{36}$
$\frac{\log x}{\log 2}$ को कॉमन लेने पर:
$\log _2 x \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) = \frac{25}{36}$
कोष्ठक का योग: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{25}{12}$
अतः,$\log _2 x \left( \frac{25}{12} \right) = \frac{25}{36}$
$\log _2 x = \frac{1}{3}$
चूंकि $x = 2^k$,इसलिए $\log _2 x = k$ होगा।
अतः,$k = \frac{1}{3}$.

(C) आधार $b > 1$ वाले लघुगणक फलन $f(x) = \log_{b}(x)$ के लिए:
$1$. प्रांत $(0, \infty)$ है,जो सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं $R^{+}$ का समुच्चय है।
$2$. परिसर $(-\infty, \infty)$ है,जो सभी वास्तविक संख्याओं $R$ का समुच्चय है।
$3$. चूंकि किसी भी आधार $b > 0, b \neq 1$ के लिए $\log_{b}(1) = 0$ होता है,इसलिए बिंदु $(1, 0)$ हमेशा ग्राफ पर स्थित होता है।
$4$. चूंकि $b > 1$ है,फलन निरंतर वर्धमान (increasing) है,न कि ह्रासमान (decreasing)।
अतः,सही अवलोकन यह है कि बिंदु $(1, 0)$ हमेशा लघुगणक फलन के ग्राफ पर स्थित होता है।

(D) दिया गया है: $\log _{2}\left(9^{x-1}+7\right)-\log _{2}\left(3^{x-1}+1\right)=2$
गुणधर्म $\log_{a} m - \log_{a} n = \log_{a} (\frac{m}{n})$ का उपयोग करने पर:
$\log _{2}\left(\frac{9^{x-1}+7}{3^{x-1}+1}\right)=2$
घातांकीय रूप में बदलने पर:
$\frac{9^{x-1}+7}{3^{x-1}+1}=2^{2}=4$
माना $y = 3^{x-1}$. तब $9^{x-1} = (3^{2})^{x-1} = (3^{x-1})^{2} = y^{2}$.
समीकरण में $y$ का मान रखने पर:
$\frac{y^{2}+7}{y+1}=4$
$y^{2}+7=4(y+1)$
$y^{2}-4y+3=0$
$(y-3)(y-1)=0$
अतः,$y=3$ या $y=1$.
स्थिति $1$: $3^{x-1}=3^{1}$ $\Rightarrow x-1=1$ $\Rightarrow x=2$.
स्थिति $2$: $3^{x-1}=3^{0}$ $\Rightarrow x-1=0$ $\Rightarrow x=1$.
इस प्रकार,$x$ के मान $1, 2$ हैं।

(A) दिया गया है,$\frac{\log x}{b-c}=\frac{\log y}{c-a}=\frac{\log z}{a-b}=k$.
इससे हमें $\log x = k(b-c)$,$\log y = k(c-a)$,और $\log z = k(a-b)$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $x = e^{k(b-c)}$,$y = e^{k(c-a)}$,और $z = e^{k(a-b)}$।
अब,व्यंजक $E = x^{b+c} \cdot y^{c+a} \cdot z^{a+b}$ पर विचार करें।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$E = (e^{k(b-c)})^{b+c} \cdot (e^{k(c-a)})^{c+a} \cdot (e^{k(a-b)})^{a+b}$।
घातांक के नियम $(e^m)^n = e^{mn}$ का उपयोग करते हुए,$E = e^{k(b^2-c^2)} \cdot e^{k(c^2-a^2)} \cdot e^{k(a^2-b^2)}$।
घातांकों को जोड़ने पर,$E = e^{k(b^2-c^2+c^2-a^2+a^2-b^2)}$।
चूंकि घातांक में योग $0$ है,इसलिए $E = e^{k \cdot 0} = e^0 = 1$।

(B) माना $x = 7^{-20}$ है।
दोनों पक्षों में $\log_{10}$ लेने पर:
$\log_{10} x = \log_{10} (7^{-20})$
$\log_{10} x = -20 \times \log_{10} 7$
$\log_{10} x = -20 \times 0.8451 = -16.902$.
इसे मानक रूप में लिखने पर:
$\log_{10} x = -16.902 = -17 + 0.098 = \overline{17}.098$.
चूंकि पूर्णांश (characteristic) $-17$ है,इसलिए $7^{-20}$ का प्रथम सार्थक अंक $17$ वें दशमलव स्थान पर होगा।

(C) दिया गया व्यंजक $7^{2 \log _{7} 5}$ है।
लघुगणक के गुणधर्म $n \log _{a} x = \log _{a} x^{n}$ का उपयोग करने पर:
$7^{\log _{7} 5^{2}}$
सर्वसमिका $a^{\log _{a} x} = x$ (जहाँ $x > 0$) का उपयोग करने पर:
$5^{2} = 25$
अतः,सही मान $25$ है।