Logarithms Questions in Hindi

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$1$) $\log _3 x + \log _3 y = 2 + \log _3 2$
$2$) $\log _3(x+y) = 2$
समीकरण $(1)$ से,$\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log _3(xy) = \log _3(3^2) + \log _3 2$
$\log _3(xy) = \log _3 9 + \log _3 2 = \log _3 18$
अतः,$xy = 18$.
समीकरण $(2)$ से:
$x + y = 3^2 = 9$.
इस प्रकार,$x+y=9$ और $xy=18$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण $t^2 - 9t + 18 = 0$ को हल करने पर,$t=3$ या $t=6$ प्राप्त होता है।
अतः,हल $(x=3, y=6)$ या $(x=6, y=3)$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $x=3, y=6$ है।

(A) दिया गया है कि $\log _{7} 2 = \lambda$ है।
हमें $\log _{49} (28)$ का मान ज्ञात करना है।
आधार परिवर्तन सूत्र $\log _{a^n} b = \frac{1}{n} \log _{a} b$ का उपयोग करने पर:
$\log _{49} (28) = \log _{7^2} (28) = \frac{1}{2} \log _{7} (28)$।
चूंकि $28 = 4 \times 7 = 2^2 \times 7$,हम लिख सकते हैं:
$\frac{1}{2} \log _{7} (2^2 \times 7) = \frac{1}{2} [\log _{7} (2^2) + \log _{7} 7]$।
गुणधर्म $\log _{a} (x^n) = n \log _{a} x$ और $\log _{a} a = 1$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} [2 \log _{7} 2 + 1] = \frac{1}{2} (2 \lambda + 1)$।

(D) आधार परिवर्तन सूत्र $\log_{a} b = \frac{\log b}{\log a}$ का उपयोग करते हुए:
अंश = $\log_{3} 5 \times \log_{25} 27 \times \log_{49} 7$
$= \frac{\log 5}{\log 3} \times \frac{\log 27}{\log 25} \times \frac{\log 7}{\log 49}$
$= \frac{\log 5}{\log 3} \times \frac{3 \log 3}{2 \log 5} \times \frac{\log 7}{2 \log 7}$
$= \frac{1}{1} \times \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$
हर = $\log_{81} 3 = \log_{3^4} 3 = \frac{1}{4} \log_{3} 3 = \frac{1}{4}$
मान = $\frac{3/4}{1/4} = 3$

(C) गुणधर्म $\frac{1}{\log _{a} b} = \log _{b} a$ का उपयोग करके,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\log _{12} 3 + \log _{12} 4$
लघुगणक के गुणधर्म $\log _{b} x + \log _{b} y = \log _{b} (xy)$ को लागू करने पर:
$\log _{12} (3 \times 4) = \log _{12} 12$
चूँकि $\log _{b} b = 1$,इसलिए मान $1$ है.

(B) दिया गया है $x = \log_a (bc)$,$y = \log_b (ca)$,और $z = \log_c (ab)$.
प्रत्येक पद में $1$ जोड़ने पर:
$1+x = 1 + \log_a (bc) = \log_a a + \log_a (bc) = \log_a (abc)$.
इसी प्रकार,$1+y = \log_b (abc)$ और $1+z = \log_c (abc)$.
अब,व्युत्क्रम लेने पर:
$\frac{1}{1+x} = \frac{1}{\log_a (abc)} = \log_{abc} a$.
$\frac{1}{1+y} = \frac{1}{\log_b (abc)} = \log_{abc} b$.
$\frac{1}{1+z} = \frac{1}{\log_c (abc)} = \log_{abc} c$.
इन पदों को जोड़ने पर:
$\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1+y} + \frac{1}{1+z} = \log_{abc} a + \log_{abc} b + \log_{abc} c = \log_{abc} (abc) = 1$.

(B) व्यंजक का प्रांत $x > 0$ है।
दी गई असमिका: $\log _{25} x^2 + (\log _5 x)^2 < 2$।
गुणधर्म $\log _{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log _a b$ का उपयोग करने पर,$\log _{25} x^2 = \log _{5^2} x^2 = \frac{2}{2} \log _5 x = \log _5 x$।
इसे असमिका में प्रतिस्थापित करने पर: $\log _5 x + (\log _5 x)^2 < 2$।
माना $y = \log _5 x$ है। तब $y^2 + y - 2 < 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(y + 2)(y - 1) < 0$।
इसका अर्थ है $-2 < y < 1$।
$y = \log _5 x$ वापस रखने पर: $-2 < \log _5 x < 1$।
घातांकीय रूप में बदलने पर: $5^{-2} < x < 5^1$।
अतः,$\frac{1}{25} < x < 5$।

(A) लघुगणकीय असमिका $\log _{e}\left(x^{2}-16\right) \leq \log _{e}(4 x-11)$ को परिभाषित होने के लिए,तर्क धनात्मक होने चाहिए:
$1) \ x^{2}-16 > 0$ $\Rightarrow (x-4)(x+4) > 0$ $\Rightarrow x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$
$2) \ 4x-11 > 0 \Rightarrow x > \frac{11}{4} = 2.75$
इन दोनों को मिलाने पर,प्रांत $x > 4$ प्राप्त होता है।
अब,असमिका को हल करने पर:
$x^{2}-16 \leq 4x-11$
$x^{2}-4x-5 \leq 0$
$(x-5)(x+1) \leq 0$
यह $x \in [-1, 5]$ के लिए सत्य है।
प्रांत $(x > 4)$ और हल $(x \in [-1, 5])$ का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $4 < x \leq 5$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $\log _{a} x, \log _{b} x, \log _{c} x$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
अतः,$2 \log _{b} x = \log _{a} x + \log _{c} x$.
आधार परिवर्तन सूत्र $\log _{m} n = \frac{1}{\log _{n} m}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{\log _{x} b} = \frac{1}{\log _{x} a} + \frac{1}{\log _{x} c}$.
$\frac{2}{\log _{x} b} = \frac{\log _{x} c + \log _{x} a}{\log _{x} a \cdot \log _{x} c} = \frac{\log _{x} (ac)}{\log _{x} a \cdot \log _{x} c}$.
सरल करने पर,$c^2 = (ac)^{\log _{a} b}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{2}{3} \log _{b} a+\frac{3}{5} \log _{c} b+\frac{5}{2} \log _{a} c=3$.
माना $x = \frac{2}{3} \log _{b} a$,$y = \frac{3}{5} \log _{c} b$,और $z = \frac{5}{2} \log _{a} c$.
यहाँ $x \cdot y \cdot z = (\frac{2}{3} \log _{b} a) \cdot (\frac{3}{5} \log _{c} b) \cdot (\frac{5}{2} \log _{a} c) = 1$ है।
अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य असमिका $(AM \ge GM)$ के अनुसार,यदि $x+y+z=3$ और $xyz=1$ है,तो $x=y=z=1$ होगा।
अतः,$\frac{2}{3} \log _{b} a = 1 \Rightarrow \log _{b} a = \frac{3}{2}$.
$b=9$ रखने पर,$\log _{9} a = \frac{3}{2}$.
इसलिए,$a = 9^{3/2} = 27$.

(A) दिया गया है,$\log _{0.3}(x-1) < \log _{0.09}(x-1)$.
लघुगणक को परिभाषित होने के लिए,हमारे पास $x-1 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x > 1$.
हम असमिका को $\log _{0.3}(x-1) < \log _{0.3^{2}}(x-1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
गुणधर्म $\log _{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\log _{0.3}(x-1) < \frac{1}{2} \log _{0.3}(x-1)$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है $2 \log _{0.3}(x-1) < \log _{0.3}(x-1)$.
दोनों पक्षों से $\log _{0.3}(x-1)$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है $\log _{0.3}(x-1) < 0$.
चूंकि आधार $0.3 < 1$ है,इसलिए जब हम लघुगणक को हटाते हैं तो असमिका उलट जाती है: $x-1 > (0.3)^0$.
$x-1 > 1$.
$x > 2$.
अतः,$x$ अंतराल $(2, \infty)$ में स्थित है।

(C) दिया गया समीकरण: $ \log_{(x+3)}(6x^{2}+28x+30)=5-2\log_{(6x+10)}(x+3)^{2} $
गुणनखंड करने पर: $ 6x^{2}+28x+30 = (6x+10)(x+3) $.
अतः,$ \log_{(x+3)}[(6x+10)(x+3)] = 5 - 4\log_{(6x+10)}(x+3) $
$ 1 + \log_{(x+3)}(6x+10) = 5 - 4\log_{(6x+10)}(x+3) $
माना $ A = \log_{(x+3)}(6x+10) $. तब $ \log_{(6x+10)}(x+3) = \frac{1}{A} $.
समीकरण $ 1 + A = 5 - \frac{4}{A} $ बन जाता है.
$ A - 4 + \frac{4}{A} = 0 \Rightarrow A^{2} - 4A + 4 = 0 $.
$ (A-2)^{2} = 0 \Rightarrow A = 2 $.
$ \log_{(x+3)}(6x+10) = 2 \Rightarrow 6x+10 = (x+3)^{2} $.
$ 6x+10 = x^{2}+6x+9 \Rightarrow x^{2} = 1 $.
$ x = 1 $ या $ x = -1 $.
हलों का योग $= 1 + (-1) = 0$.