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Question

(A) दी गई असमिका: $5^{\frac{1}{4}(\log_5 x)^2} \geq 5 \cdot x^{\frac{1}{5}(\log_5 x)}$दोनों पक्षों में $\log_5$ लेने पर:$\frac{1}{4}(\log_5 x)^2 \geq

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$(0, 5^{-2\sqrt{5}}] \cup [5^{2\sqrt{5}}, \infty)$

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(A) दी गई असमिका: $5^{\frac{1}{4}(\log_5 x)^2} \geq 5 \cdot x^{\frac{1}{5}(\log_5 x)}$दोनों पक्षों में $\log_5$ लेने पर:$\frac{1}{4}(\log_5 x)^2 \geq \log_5(5 \cdot x^{\frac{1}{5}\log_5 x})$$\frac{1}{4}(\log_5 x)^2 \geq 1 + \frac{1}{5}(\log_5 x)^2$माना $u = \log_5 x$. तब $\frac{1}{4}u^2 \geq 1 + \frac{1}{5}u^2$$(\frac{1}{4} - \frac{1}{5})u^2 \geq 1$$\frac{1}{20}u^2 \geq 1 \implies u^2 \geq 20$$u \geq 2\sqrt{5}$ या $u \leq -2\sqrt{5}$$\log_5 x \geq 2\sqrt{5} \implies x \geq 5^{2\sqrt{5}}$$\log_5 x \leq -2\sqrt{5} \implies x \leq 5^{-2\sqrt{5}}$चूँकि $x > 0$,अतः हल $x \in (0, 5^{-2\sqrt{5}}] \cup [5^{2\sqrt{5}}, \infty)$ है।

$x$ का वह अंतराल ज्ञात कीजिए जिसमें असमिका $5^{\frac{1}{4}(\log_5 x)^2} \geq 5x^{\frac{1}{5}(\log_5 x)}$ सत्य है:

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$x$ के किन मानों के लिए निम्नलिखित सर्वसमिका मान्य है और सत्य है? $\tanh^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$.

यदि $\log_2 x + \log_x 2 = \frac{10}{3} = \log_2 y + \log_y 2$ और $x \neq y$ है,तो $x + y = $

$\operatorname{coth}^{-1} 3 + \tanh^{-1} \frac{1}{3} - \operatorname{cosech}^{-1}(-\sqrt{3}) = $

यदि $n = 1983!$ है,तो व्यंजक $\frac{1}{\log_2 n} + \frac{1}{\log_3 n} + \frac{1}{\log_4 n} + \dots + \frac{1}{\log_{1983} n}$ का मान किसके बराबर है?

समीकरण $2^{x + 2} \cdot 27^{x/(x - 1)} = 9$ के मूल ज्ञात कीजिए।

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