Logarithms Questions in Hindi

(D) लघुगणक फलन $y = \log_a x$ निम्नलिखित शर्तों के तहत परिभाषित होता है:
$1$. आधार $a$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या होनी चाहिए,अर्थात $a > 0$।
$2$. आधार $a$ का मान $1$ के बराबर नहीं हो सकता,अर्थात $a \neq 1$।
$3$. चर $x$ धनात्मक होना चाहिए,अर्थात $x > 0$।
अतः,व्यंजक को परिभाषित होने के लिए $a$ को $1$ के अतिरिक्त कोई भी धनात्मक वास्तविक संख्या होनी चाहिए।

(C) मान लीजिए,यदि संभव हो,तो $\log_{2} 7$ एक परिमेय संख्या है,मान लीजिए $p/q$ जहाँ $p$ और $q$ परस्पर अभाज्य पूर्णांक हैं।
तब,$\frac{p}{q} = \log_{2} 7 \implies 7 = 2^{p/q} \implies 2^{p} = 7^{q}$.
यह एक विरोधाभास है क्योंकि $L.H.S$ एक सम संख्या है ($2$ की घात) और $R.H.S$ एक विषम संख्या है ($7$ की घात)।
चूंकि इसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,इसलिए $\log_{2} 7$ एक अपरिमेय संख्या है।
स्पष्ट रूप से,$\log_{2} 7$ एक पूर्णांक नहीं है और इसलिए अभाज्य संख्या भी नहीं है।

(B) हम जानते हैं कि एक निश्चित संख्या $\alpha > 1$ के लिए,$\log_{b}\alpha = \frac{\ln \alpha}{\ln b}$ होता है।
चूंकि $\ln \alpha$ एक धनात्मक स्थिरांक है,इसलिए $\log_{b}\alpha$ का मान $\ln b$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
आधारों की तुलना करने पर: $10 > 3 > e \approx 2.718 > 2$ है।
इसलिए,$\ln 10 > \ln 3 > \ln e > \ln 2$ है।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{1}{\ln 10} < \frac{1}{\ln 3} < \frac{1}{\ln e} < \frac{1}{\ln 2}$ प्राप्त होता है।
$\ln \alpha$ से गुणा करने पर,$\log_{10}\alpha < \log_{3}\alpha < \log_{e}\alpha < \log_{2}\alpha$ प्राप्त होता है।
अतः,सही बढ़ता क्रम $\log_{10}\alpha, \log_{3}\alpha, \log_{e}\alpha, \log_{2}\alpha$ है।

(B) आधार परिवर्तन सूत्र $\log _{a}b = \frac{\log b}{\log a}$ का उपयोग करते हुए:
$\log _{3}4 \cdot \log _{4}5 \cdot \log _{5}6 \cdot \log _{6}7 \cdot \log _{7}8 \cdot \log _{8}9$
$= \frac{\log 4}{\log 3} \cdot \frac{\log 5}{\log 4} \cdot \frac{\log 6}{\log 5} \cdot \frac{\log 7}{\log 6} \cdot \frac{\log 8}{\log 7} \cdot \frac{\log 9}{\log 8}$
$= \frac{\log 9}{\log 3}$
$= \log _{3}9 = \log _{3}(3^{2}) = 2 \cdot \log _{3}3 = 2 \cdot 1 = 2$.

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $\log_{7} \log_{7} \sqrt{7 \sqrt{7 \sqrt{7}}}$
सबसे पहले,आंतरिक रेडिकल को सरल करें: $\sqrt{7 \sqrt{7 \sqrt{7}}} = (7 \cdot (7 \cdot 7^{1/2})^{1/2})^{1/2} = (7 \cdot (7^{3/2})^{1/2})^{1/2} = (7 \cdot 7^{3/4})^{1/2} = (7^{7/4})^{1/2} = 7^{7/8}$.
अब,इस मान को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें: $\log_{7} \log_{7} (7^{7/8})$.
$\log_{b} (b^x) = x$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हमें $\log_{7} (7/8)$ प्राप्त होता है।
$\log_{b} (m/n) = \log_{b} m - \log_{b} n$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हमें $\log_{7} 7 - \log_{7} 8$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\log_{7} 7 = 1$ और $8 = 2^3$,अभिव्यक्ति $1 - \log_{7} (2^3)$ बन जाती है।
घात के नियम $\log_{b} (a^n) = n \log_{b} a$ का उपयोग करते हुए,हमें $1 - 3 \log_{7} 2$ प्राप्त होता है।

(C) माना व्यंजक $E = 7 \log \left( \frac{16}{15} \right) + 5 \log \left( \frac{25}{24} \right) + 3 \log \left( \frac{81}{80} \right)$ है।
$n \log a = \log a^n$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$E = \log \left( \left( \frac{16}{15} \right)^7 \times \left( \frac{25}{24} \right)^5 \times \left( \frac{81}{80} \right)^3 \right)$.
अभाज्य गुणनखंडों में बदलने पर:
$16 = 2^4, 15 = 3 \times 5, 25 = 5^2, 24 = 2^3 \times 3, 81 = 3^4, 80 = 2^4 \times 5$.
मान रखने पर:
$E = \log \left( \frac{2^{28}}{3^7 \times 5^7} \times \frac{5^{10}}{2^{15} \times 3^5} \times \frac{3^{12}}{2^{12} \times 5^3} \right) = \log (2^1) = \log 2$.

(D) दिया गया है: $\log_{4}5 = a$ और $\log_{5}6 = b$.
आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए,$ab = \log_{4}5 \times \log_{5}6 = \log_{4}6$.
चूंकि $\log_{4}6 = \frac{\log_{2}6}{\log_{2}4} = \frac{\log_{2}(2 \times 3)}{2} = \frac{1 + \log_{2}3}{2}$.
अतः,$ab = \frac{1 + \log_{2}3}{2}$.
$2$ से गुणा करने पर,$2ab = 1 + \log_{2}3$,जिसका अर्थ है कि $\log_{2}3 = 2ab - 1$.
इसलिए,$\log_{3}2 = \frac{1}{\log_{2}3} = \frac{1}{2ab - 1}$.

(D) दिया गया समीकरण: $\log _k x \cdot \log _5 k = \log _x 5$
आधार परिवर्तन सूत्र $\log _a b \cdot \log _b c = \log _a c$ का उपयोग करने पर:
$\log _5 x = \log _x 5$
माना $y = \log _x 5$ है। तब $\log _5 x = 1/y$ होगा।
अतः,$1/y = y$,जिसका अर्थ है $y^2 = 1$ है।
इसलिए,$y = 1$ या $y = -1$ है।
यदि $\log _x 5 = 1$,तो $x^1 = 5$,अर्थात $x = 5$ है।
यदि $\log _x 5 = -1$,तो $x^{-1} = 5$,अर्थात $x = 1/5$ है।
अतः,$x$ का मान $5$ या $1/5$ हो सकता है।

(C) दिया गया समीकरण: $\log_{5} a \cdot \log_{a} x = 2$
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_{b} a = \frac{\log_{k} a}{\log_{k} b}$ का उपयोग करने पर:
$\left( \frac{\log x}{\log a} \right) \cdot \left( \frac{\log a}{\log 5} \right) = 2$
$\frac{\log x}{\log 5} = 2$
अतः,$\log_{5} x = 2$
घातांकीय रूप में बदलने पर:
$x = 5^{2} = 25$

(C) दिया गया है $A = \log _2 \log _2 \log _4 256 + 2 \log _{\sqrt{2}} 2$
सबसे पहले,$\log _4 256 = \log _4 (4^4) = 4 \log _4 4 = 4 \times 1 = 4$ को सरल करें।
इसके बाद,$2 \log _{\sqrt{2}} 2 = 2 \log _{2^{1/2}} 2 = 2 \times \frac{1}{1/2} \log _2 2 = 2 \times 2 \times 1 = 4$ को सरल करें।
इन मानों को $A$ के समीकरण में रखने पर:
$A = \log _2 \log _2 (4) + 4$
चूंकि $\log _2 4 = \log _2 (2^2) = 2$,इसलिए:
$A = \log _2 (2) + 4$
चूंकि $\log _2 2 = 1$,इसलिए:
$A = 1 + 4 = 5$.

(D) दिया गया है कि ${\log _{10}}x = y$ है।
हमें ${\log _{1000}}{x^2}$ का मान ज्ञात करना है।
लघुगणक (logarithm) के गुणों का उपयोग करते हुए:
${\log _{1000}}{x^2} = \frac{{\log _{10}}{x^2}}{{\log _{10}}{1000}}$
$= \frac{2{\log _{10}}x}{{\log _{10}}{{10}^3}}$
$= \frac{2{\log _{10}}x}{3{\log _{10}}10}$
चूंकि ${\log _{10}}10 = 1$,इसलिए:
$= \frac{2}{3}{\log _{10}}x = \frac{2}{3}y$.

(C) दिया गया है $a = \log_{24} 12 = \frac{\log 12}{\log 24} = \frac{2\log 2 + \log 3}{3\log 2 + \log 3}$.
$b = \log_{36} 24 = \frac{\log 24}{\log 36} = \frac{3\log 2 + \log 3}{2\log 2 + 2\log 3}$.
$c = \log_{48} 36 = \frac{\log 36}{\log 48} = \frac{2\log 2 + 2\log 3}{4\log 2 + \log 3}$.
गुणा करने पर,$abc = \left(\frac{2\log 2 + \log 3}{3\log 2 + \log 3}\right) \times \left(\frac{3\log 2 + \log 3}{2\log 2 + 2\log 3}\right) \times \left(\frac{2\log 2 + 2\log 3}{4\log 2 + \log 3}\right)$.
समान पदों को काटने पर,$abc = \frac{2\log 2 + \log 3}{4\log 2 + \log 3}$.
अतः $1 + abc = 1 + \frac{2\log 2 + \log 3}{4\log 2 + \log 3} = \frac{4\log 2 + \log 3 + 2\log 2 + \log 3}{4\log 2 + \log 3} = \frac{6\log 2 + 2\log 3}{4\log 2 + \log 3} = 2 \times \frac{3\log 2 + \log 3}{4\log 2 + \log 3}$.
चूंकि $b = \frac{3\log 2 + \log 3}{2\log 2 + 2\log 3}$ और $c = \frac{2\log 2 + 2\log 3}{4\log 2 + \log 3}$ है,इसलिए $bc = \frac{3\log 2 + \log 3}{4\log 2 + \log 3}$.
अतः,$1 + abc = 2bc$.

(C) माना $y = 3^{12} \times 2^8$ है।
दोनों पक्षों में $\log_{10}$ लेने पर:
$\log_{10} y = \log_{10} (3^{12} \times 2^8) = 12 \log_{10} 3 + 8 \log_{10} 2$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\log_{10} y = 12(0.47712) + 8(0.30103)$।
$\log_{10} y = 5.72544 + 2.40824 = 8.13368$।
किसी संख्या $y$ में अंकों की संख्या $\lfloor \log_{10} y \rfloor + 1$ द्वारा दी जाती है।
अंकों की संख्या $= \lfloor 8.13368 \rfloor + 1 = 8 + 1 = 9$।

(A) हमें योगफल $S = \sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{\log_{2^k}(a)}$ दिया गया है।
आधार परिवर्तन गुणधर्म $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{\log_{2^k}(a)} = \log_a(2^k)$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = \sum\limits_{k = 1}^n \log_a(2^k)$।
$\log_a(x^y) = y \log_a x$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$S = \sum\limits_{k = 1}^n k \log_a 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\log_a 2$ एक स्थिरांक है,$S = (\log_a 2) \sum\limits_{k = 1}^n k$।
योगफल सूत्र $\sum\limits_{k = 1}^n k = \frac{n(n + 1)}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $S = \frac{n(n + 1)}{2} \log_a 2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $\log_{7}(\log_{5}(\sqrt{x^2 + x + 5})) = 0$ है।
चूंकि $\log_{7}(1) = 0$,इसलिए $\log_{5}(\sqrt{x^2 + x + 5}) = 1$ होगा।
इसका अर्थ है $\sqrt{x^2 + x + 5} = 5^1 = 5$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 + x + 5 = 25$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x^2 + x - 20 = 0$।
गुणनखंड करने पर,$(x + 5)(x - 4) = 0$।
अतः,$x = 4$ या $x = -5$।
विकल्पों के अनुसार,$x = 4$ सही उत्तर है।

(B) हमारे पास ${\log _4}18 = {\log _{{2^2}}}({3^2} \times 2)$ है।
गुणधर्म ${\log _{{a^n}}}{b^m} = {m \over n}{\log _a}b$ का उपयोग करने पर:
${\log _4}18 = {1 \over 2}{\log _2}(2 \times 3^2) = {1 \over 2}({\log _2}2 + {\log _2}{3^2}) = {1 \over 2}(1 + 2{\log _2}3) = {1 \over 2} + {\log _2}3$ प्राप्त होता है।
चूँकि ${\log _2}3$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए ${1 \over 2} + {\log _2}3$ भी एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना $x = \ln a, y = \ln b, z = \ln c$. चूँकि $a, b, c \neq 1$,इसलिए $x, y, z \neq 0$.
दिया गया समीकरण: $[(\frac{x}{y})(\frac{x}{z}) - 1] + [(\frac{y}{x})(\frac{y}{z}) - 1] + [(\frac{z}{x})(\frac{z}{y}) - 1] = 0$
$\Rightarrow \frac{x^2}{yz} + \frac{y^2}{xz} + \frac{z^2}{xy} - 3 = 0$
$\Rightarrow \frac{x^3 + y^3 + z^3}{xyz} = 3$
$\Rightarrow x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0$
सर्वसमिका $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) = 0$ का उपयोग करने पर,या तो $x + y + z = 0$ या $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0$ प्राप्त होता है।
यदि $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0$ है,तो $\frac{1}{2}[(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2] = 0$,जिसका अर्थ है $x = y = z$,लेकिन $a, b, c$ भिन्न हैं।
इसलिए,$x + y + z = 0$,जिसका अर्थ है $\ln a + \ln b + \ln c = 0$.
$\Rightarrow \ln(abc) = 0 = \ln 1$.
अतः,$abc = 1$.

(C) दिया गया है $a = \log_{12} 27 = \frac{\log 27}{\log 12} = \frac{3 \log 3}{\log 3 + 2 \log 2}$.
$\log 3$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a(\log 3 + 2 \log 2) = 3 \log 3$ $\Rightarrow a \log 3 + 2a \log 2 = 3 \log 3$ $\Rightarrow 2a \log 2 = (3 - a) \log 3$ $\Rightarrow \log 3 = \frac{2a \log 2}{3 - a}$.
अब,$\log_6 16 = \frac{\log 16}{\log 6} = \frac{4 \log 2}{\log 2 + \log 3}$ का मान ज्ञात करें.
$\log 3$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{4 \log 2}{\log 2 + \frac{2a \log 2}{3 - a}} = \frac{4 \log 2}{\frac{(3 - a) \log 2 + 2a \log 2}{3 - a}} = \frac{4(3 - a) \log 2}{(3 - a + 2a) \log 2} = \frac{4(3 - a)}{3 + a}$.

(B) माना $\log_{16} x = y$ है। समीकरण $y^2 - y + \log_{16} k = 0$ बन जाता है।
इस द्विघात समीकरण का $x$ के लिए ठीक एक हल होगा यदि इसका विविक्तकर $D = 0$ हो।
$D = (-1)^2 - 4(1)(\log_{16} k) = 0$.
$1 - 4\log_{16} k = 0 \Rightarrow \log_{16} k = \frac{1}{4}$.
$k = 16^{1/4} = (2^4)^{1/4} = 2$.
$\log_{16} k$ को परिभाषित होने के लिए $k > 0$ होना आवश्यक है। अतः,$k = 2$ ही एकमात्र मान्य वास्तविक मान है।
इसलिए,$k$ के वास्तविक मानों की संख्या $1$ है।

(A) दी गई असमिका: $\frac{1}{\log_3 \pi} + \frac{1}{\log_4 \pi} > x$
$\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log_{\pi} 3 + \log_{\pi} 4 > x$
$\log_b m + \log_b n = \log_b (mn)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log_{\pi} (3 \times 4) > x$
$\log_{\pi} 12 > x$
हम जानते हैं कि $\pi \approx 3.14$,इसलिए $\pi^2 \approx 9.86$ और $\pi^3 \approx 31.00$ है।
चूंकि $9.86 < 12 < 31.00$,इसलिए $\pi^2 < 12 < \pi^3$ होगा।
सभी पक्षों में $\log_{\pi}$ लेने पर:
$\log_{\pi} (\pi^2) < \log_{\pi} 12 < \log_{\pi} (\pi^3)$
$2 < \log_{\pi} 12 < 3$
चूंकि $\log_{\pi} 12 > x$ और $\log_{\pi} 12 > 2$ है,इसलिए $x$ का मान $2$ हो सकता है।

(A) दी गई असमिका $\log _{1/\sqrt{2}} \sin x > 0$ है।
चूँकि आधार $1/\sqrt{2}$,$0$ और $1$ के बीच है,इसलिए लघुगणक को हटाने पर असमिका बदल जाएगी:
$0 < \sin x < (1/\sqrt{2})^0$
$0 < \sin x < 1$
हमें अंतराल $[0, 4\pi]$ में $x = k \cdot \frac{\pi}{4}$ $(k \in \mathbb{Z})$ के वे मान ज्ञात करने हैं जिनके लिए $0 < \sin x < 1$ हो।
$[0, 4\pi]$ में $\frac{\pi}{4}$ के गुणज $0, \frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{4}, \dots, \frac{16\pi}{4}$ हैं।
जहाँ $\sin x = 0$ या $\sin x = 1$ है,उन मानों को हटाना होगा।
सही मान $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$ हैं।
अतः,कुल $4$ मान प्राप्त होते हैं।

(B) दी गई असमिका: $\log _{1/2}(x^2 - 6x + 12) \ge -2$ $(i)$
लघुगणक को परिभाषित होने के लिए,तर्क धनात्मक होना चाहिए: $x^2 - 6x + 12 > 0$.
यहाँ विविक्तकर $D = (-6)^2 - 4(1)(12) = 36 - 48 = -12 < 0$ है और अग्रणी गुणांक धनात्मक है,इसलिए $x^2 - 6x + 12 > 0$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य है।
चूंकि लघुगणक का आधार $1/2$ है (जो $0$ और $1$ के बीच है),इसलिए जब हम लघुगणक को हटाते हैं तो असमिका का चिह्न बदल जाता है:
$x^2 - 6x + 12 \le (1/2)^{-2}$
$x^2 - 6x + 12 \le 4$
$x^2 - 6x + 8 \le 0$
$(x - 2)(x - 4) \le 0$
द्विघात असमिका को हल करने पर,हमें $2 \le x \le 4$ प्राप्त होता है।
अतः,हल समुच्चय $x \in [2, 4]$ है।

(B) दी गई असमिका: $2^{\log_{\sqrt{2}}(x - 1)} > x + 5$
सबसे पहले,लघुगणक के लिए शर्त: $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$.
गुणधर्म $\log_{a^n}(b) = \frac{1}{n} \log_a(b)$ का उपयोग करने पर,$\log_{\sqrt{2}}(x - 1) = \log_{2^{1/2}}(x - 1) = 2 \log_2(x - 1) = \log_2((x - 1)^2)$.
इस मान को असमिका में रखने पर: $2^{\log_2((x - 1)^2)} > x + 5$.
सर्वसमिका $a^{\log_a(y)} = y$ का उपयोग करने पर: $(x - 1)^2 > x + 5$.
सरल करने पर: $x^2 - 2x + 1 > x + 5 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 > 0$.
गुणनखंड करने पर: $(x - 4)(x + 1) > 0$.
इस असमिका का हल $x < -1$ या $x > 4$ है।
शर्त $x > 1$ को ध्यान में रखते हुए,$x > 1$ और $(x < -1 \cup x > 4)$ का सर्वनिष्ठ $x > 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ के मानों का समुच्चय $(4, \infty )$ है।

(C) दी गई असमिका: $\log _{0.04}(x - 1) \ge \log _{0.2}(x - 1)$ $(i)$
लघुगणक को परिभाषित होने के लिए,$x - 1 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x > 1$.
आधार $0.04$ को $(0.2)^2$ के रूप में लिखने पर:
$\log _{(0.2)^2}(x - 1) \ge \log _{0.2}(x - 1)$
गुणधर्म $\log _{a^n}(b) = \frac{1}{n} \log _a(b)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} \log _{0.2}(x - 1) \ge \log _{0.2}(x - 1)$
दोनों पक्षों से $\frac{1}{2} \log _{0.2}(x - 1)$ घटाने पर:
$0 \ge \frac{1}{2} \log _{0.2}(x - 1)$
चूंकि आधार $0.2 < 1$ है,इसलिए जब हम लघुगणक को हटाते हैं तो असमिका का चिह्न बदल जाता है:
$x - 1 \ge (0.2)^0$
$x - 1 \ge 1$
$x \ge 2$
डोमेन $x > 1$ के साथ संयोजित करने पर,हमें $x \in [2, \infty)$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई असमिका: $\log_{0.2} \left( \frac{x + 2}{x} \right) \le 1$ ... $(i)$
लघुगणक को परिभाषित होने के लिए,तर्क धनात्मक होना चाहिए:
$\frac{x + 2}{x} > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$
चूंकि आधार $0.2 < 1$ है,इसलिए लघुगणक को हटाते समय असमिका का चिह्न बदल जाएगा:
$\frac{x + 2}{x} \ge 0.2$
$\frac{x + 2 - 0.2x}{x} \ge 0$
$\frac{0.8x + 2}{x} \ge 0$
$\frac{4x + 10}{5x} \ge 0 \Rightarrow \frac{2x + 5}{x} \ge 0$
वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,हल $x \in (-\infty, -2.5] \cup (0, \infty)$ प्राप्त होता है।
डोमेन की शर्त के साथ मिलाने पर,अंतिम हल $x \in (-\infty, -2.5] \cup (0, \infty)$ है।

(B) दिया गया है कि $x = \log_{b}a$,$y = \log_{c}b$,और $z = \log_{a}c$ है।
हमें $xyz$ का गुणनफल ज्ञात करना है।
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_{n}m = \frac{\log_{k}m}{\log_{k}n}$ का उपयोग करते हुए:
$x = \frac{\log a}{\log b}$,$y = \frac{\log b}{\log c}$,और $z = \frac{\log c}{\log a}$ है।
अब,इन मानों का गुणा करने पर:
$xyz = \left(\frac{\log a}{\log b}\right) \times \left(\frac{\log b}{\log c}\right) \times \left(\frac{\log c}{\log a}\right)$.
अंश और हर में समान पदों को काटने पर,हमें प्राप्त होता है:
$xyz = 1$.

(B) माना कि दिया गया व्यंजक $E = \log_2(\log_3(\dots(\log_{100}(100^{99^{98^{\dots^{2^1}}})))\dots))}$ है।
$\log_a(a^x) = x$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम सबसे अंदर वाले लघुगणक से सरल करते हैं:
$\log_{100}(100^{99^{98^{\dots^{2^1}}}}) = 99^{98^{\dots^{2^1}}}$.
इसे वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = \log_2(\log_3(\dots(\log_{99}(99^{98^{\dots^{2^1}}})))\dots))$.
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर,व्यंजक का सरलीकरण इस प्रकार होता है:
$\log_{99}(99^{98^{\dots^{2^1}}}) = 98^{\dots^{2^1}}$.
यह क्रम तब तक चलता है जब तक हमें $\log_3(3^{2^1}) = 2^1 = 2$ प्राप्त न हो जाए।
अंत में,हमें $E = \log_2(2) = 1$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$a^x = bc$,$b^y = ca$,$c^z = ab$
यदि हम $a=b=c=2$ लें,तो $2^x = 4 \Rightarrow x=2$,$2^y = 4 \Rightarrow y=2$,$2^z = 4 \Rightarrow z=2$ प्राप्त होता है।
अतः $xyz = 2 \times 2 \times 2 = 8$।
विकल्पों की जाँच करने पर: $x+y+z+2 = 2+2+2+2 = 8$।
अतः,$xyz = x+y+z+2$।

(C) दिया गया है $x = \log_{3} 5$ और $y = \log_{17} 25 = 2 \log_{17} 5$.
$y$ का व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{1}{y} = \frac{1}{2 \log_{17} 5} = \frac{1}{2} \log_{5} 17 = \log_{5} (17^{1/2}) = \log_{5} \sqrt{17}$.
$x$ का व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{1}{x} = \log_{5} 3 = \log_{5} \sqrt{9}$.
चूंकि $\sqrt{17} > \sqrt{9}$,इसलिए $\log_{5} \sqrt{17} > \log_{5} \sqrt{9}$.
अतः,$\frac{1}{y} > \frac{1}{x}$,जिसका अर्थ है $x > y$.

(D) दिया गया समीकरण $\log_{2}(x + 5) = 6 - x$ है।
माना $f(x) = \log_{2}(x + 5)$ और $g(x) = 6 - x$ है।
$f(x)$,$x > -5$ के लिए एक निरंतर वर्धमान फलन है।
$g(x)$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है।
$x = 3$ पर,$f(3) = \log_{2}(3 + 5) = \log_{2}(8) = 3$ और $g(3) = 6 - 3 = 3$ है।
चूंकि $f(x)$ निरंतर वर्धमान है और $g(x)$ निरंतर ह्रासमान है,वे केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः,हलों की संख्या $1$ है।

(B) हमें $\log_{20} 3$ की तुलना दिए गए अंतरालों से करनी है।
चूंकि $20^{1/3} = \sqrt[3]{20}$ और $2^3 = 8$,$3^3 = 27$,हम जानते हैं कि $2 < \sqrt[3]{20} < 3$,इसलिए $20^{1/3} < 3$ है।
साथ ही,$20^{1/2} = \sqrt{20} \approx 4.47$,इसलिए $3 < 20^{1/2}$ है।
अतः,$20^{1/3} < 3 < 20^{1/2}$।
सभी पक्षों का $\log_{20}$ लेने पर,हमें $\frac{1}{3} < \log_{20} 3 < \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\log_{20} 3 \in (1/3, 1/2)$।

(D) दिया गया समीकरण: $\log_{\sqrt{3}} x + \log_{\sqrt[4]{3}} x + \log_{\sqrt[6]{3}} x + \dots + \log_{\sqrt[16]{3}} x = 36$
गुणधर्म $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ का उपयोग करने पर,$\log_{3^{1/k}} x = k \log_3 x$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर:
$2 \log_3 x + 4 \log_3 x + 6 \log_3 x + \dots + 16 \log_3 x = 36$
$\log_3 x$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$(\log_3 x) (2 + 4 + 6 + \dots + 16) = 36$
समांतर श्रेणी $2 + 4 + \dots + 16$ का योग ($n = 8$ पदों के लिए) $\frac{8}{2}(2 + 16) = 4 \times 18 = 72$ है।
अतः,$(\log_3 x) \times 72 = 36$
$\log_3 x = \frac{36}{72} = \frac{1}{2}$
$x = 3^{1/2} = \sqrt{3}$.

(A) दिया गया समीकरण $\log _a x + \log _{a^{1/2}} x + \log _{a^{1/3}} x + \dots + \log _{a^{1/n}} x = \frac{n(n+1)}{2}$ है।
गुणधर्म $\log _{a^k} x = \frac{1}{k} \log_a x$ का उपयोग करने पर:
$\log_a x + 2 \log_a x + 3 \log_a x + \dots + n \log_a x = \frac{n(n+1)}{2}$.
$\log_a x (1 + 2 + 3 + \dots + n) = \frac{n(n+1)}{2}$.
चूंकि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{n(n+1)}{2}$ होता है,इसलिए:
$\log_a x \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$.
$\log_a x = 1$.
अतः,$x = a^1 = a$.

(D) दिया गया समीकरण: $2^{x + 2} \cdot (3^3)^{x/(x - 1)} = 3^2$
दोनों पक्षों में $\log$ लेने पर:
$(x + 2)\log 2 + \frac{3x}{x - 1}\log 3 = 2\log 3$
$(x + 2)\log 2 = 2\log 3 - \frac{3x}{x - 1}\log 3$
$(x + 2)\log 2 = \log 3 \left( 2 - \frac{3x}{x - 1} \right)$
$(x + 2)\log 2 = \log 3 \left( \frac{2x - 2 - 3x}{x - 1} \right)$
$(x + 2)\log 2 = \log 3 \left( \frac{-x - 2}{x - 1} \right)$
$(x + 2)\log 2 = -\log 3 \left( \frac{x + 2}{x - 1} \right)$
$(x + 2) \left( \log 2 + \frac{\log 3}{x - 1} \right) = 0$
स्थिति $1$: $x + 2 = 0 \implies x = -2$
स्थिति $2$: $\log 2 + \frac{\log 3}{x - 1} = 0 \implies \frac{\log 3}{x - 1} = -\log 2$
$x - 1 = -\frac{\log 3}{\log 2} \implies x = 1 - \frac{\log 3}{\log 2}$

(D) माना $t = \log_2 x$. दिया गया समीकरण $t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}$ है।
$3t$ से गुणा करने पर,हमें $3t^2 - 10t + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(3t - 1)(t - 3) = 0$ मिलता है।
अतः,$t = 3$ या $t = \frac{1}{3}$ है।
चूंकि $x \neq y$,हम $\log_2 x = 3$ और $\log_2 y = \frac{1}{3}$ लेते हैं।
इससे $x = 2^3 = 8$ और $y = 2^{1/3} = \sqrt[3]{2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$x + y = 8 + \sqrt[3]{2}$.

(B) दिया गया समीकरण: $\log_e x + \log_e(1 + x) = 0$
लघुगणक के गुणधर्म $\log_e a + \log_e b = \log_e(ab)$ का उपयोग करने पर:
$\log_e(x(1 + x)) = 0$
लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,$\log_e y = 0$ का अर्थ है $y = e^0 = 1$:
$x(1 + x) = 1$
$x^2 + x = 1$
$x^2 + x - 1 = 0$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\log_{4}\{\log_{2}(\sqrt{x + 8} - \sqrt{x})\} = 0$
लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,$\log_{b}(a) = c \implies a = b^c$. अतः:
$\log_{2}(\sqrt{x + 8} - \sqrt{x}) = 4^0 = 1$
पुनः,लघुगणक की परिभाषा लागू करने पर:
$\sqrt{x + 8} - \sqrt{x} = 2^1 = 2$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\sqrt{x + 8} = 2 + \sqrt{x}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x + 8 = (2 + \sqrt{x})^2$
$x + 8 = 4 + x + 4\sqrt{x}$
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर:
$8 = 4 + 4\sqrt{x}$
$4 = 4\sqrt{x}$
$1 = \sqrt{x}$
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x = 1$

(B) दिया गया समीकरण: $\log_{4}(x - 1) = \log_{2}(x - 3)$
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_{a^n}(b) = \frac{1}{n} \log_{a}(b)$ का उपयोग करने पर,$\log_{4}(x - 1) = \frac{1}{2} \log_{2}(x - 1)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{2} \log_{2}(x - 1) = \log_{2}(x - 3)$
$\log_{2}(x - 1) = 2 \log_{2}(x - 3)$
$\log_{2}(x - 1) = \log_{2}((x - 3)^2)$
$x - 1 = (x - 3)^2$
$x - 1 = x^2 - 6x + 9$
$x^2 - 7x + 10 = 0$
$(x - 5)(x - 2) = 0$
इस प्रकार,$x = 5$ या $x = 2$ प्राप्त होता है।
डोमेन की जाँच करने पर: $\log_{2}(x - 3)$ को परिभाषित होने के लिए $x - 3 > 0$ होना चाहिए,अर्थात $x > 3$।
$x = 2$ के लिए,$x - 3 = -1$,जो संभव नहीं है।
$x = 5$ के लिए,$x - 3 = 2 > 0$,जो मान्य है।
अतः,केवल $1$ हल प्राप्त होता है।

(D) दिए गए समीकरण के अर्थपूर्ण होने के लिए,$x > 0$ होना चाहिए। दोनों पक्षों का आधार $2$ पर लघुगणक लेने पर:
$(\frac{3}{4}(\log_2 x)^2 + \log_2 x - \frac{5}{4}) \log_2 x = \log_2 \sqrt{2} = \frac{1}{2}$.
माना $t = \log_2 x$. तब समीकरण इस प्रकार होगा:
$(\frac{3}{4}t^2 + t - \frac{5}{4}) t = \frac{1}{2}$.
$4$ से गुणा करने पर:
$(3t^2 + 4t - 5) t = 2 \Rightarrow 3t^3 + 4t^2 - 5t - 2 = 0$.
गुणनखंड करने पर:
$(t - 1)(3t^2 + 7t + 2) = 0 \Rightarrow (t - 1)(3t + 1)(t + 2) = 0$.
अतः,$t = 1, -2, -1/3$.
चूंकि $t = \log_2 x$,इसलिए $x = 2^1 = 2$,$x = 2^{-2} = 1/4$,और $x = 2^{-1/3} = 1/\sqrt[3]{2}$.
तीनों हल वास्तविक हैं और $1/\sqrt[3]{2}$ अपरिमेय है। इसलिए,सभी कथन $(A)$,$(B)$,और $(C)$ सही हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $\log(-2x) = 2\log(x+1)$.
समीकरण को परिभाषित होने के लिए,लघुगणक के तर्क धनात्मक होने चाहिए:
$-2x > 0 \Rightarrow x < 0$ और $x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$.
अतः,डोमेन $x \in (-1, 0)$ है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर: $\log(-2x) = \log((x+1)^2)$.
तर्कों की तुलना करने पर: $-2x = (x+1)^2$.
$-2x = x^2 + 2x + 1 \Rightarrow x^2 + 4x + 1 = 0$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.
मानों की डोमेन $x \in (-1, 0)$ के साथ जाँच करने पर:
$x_1 = -2 + \sqrt{3} \approx -0.268$ (यह डोमेन में है)।
$x_2 = -2 - \sqrt{3} \approx -3.732$ (यह डोमेन में नहीं है)।
अतः,केवल $1$ मान्य मूल है।

(C) लघुगणकीय फलन $\log_{a} x$ केवल तभी परिभाषित होता है जब आधार $a > 0, a \neq 1$ हो और तर्क $x > 0$ हो।
अतः,$\log_{a} x$ सभी धनात्मक वास्तविक $x$ के लिए परिभाषित है।

(A) दिया गया व्यंजक $\sum\limits_{x = 1}^{1999} {{\log }_n x}$ है,जहाँ $n = (1999)!$ है।
लघुगणक के गुणधर्म $\log_b a + \log_b c = \log_b (ac)$ का उपयोग करने पर:
$\sum\limits_{x = 1}^{1999} {{\log }_n x} = \log_n 1 + \log_n 2 + \dots + \log_n 1999$
$= \log_n (1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 1999)$
$= \log_n (1999)!$
चूँकि $n = (1999)!$ है,इसलिए व्यंजक $\log_{(1999)!} (1999)!$ हो जाता है।
गुणधर्म $\log_a a = 1$ का उपयोग करने पर,उत्तर $1$ प्राप्त होता है।

(B) फलन $f(x) = \log(x^2)$ सभी $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ के लिए परिभाषित है।
लघुगणक के गुणधर्म $\log(a^n) = n \log a$ का उपयोग करने पर,हमें $\log(x^2) = 2 \log |x|$ प्राप्त होता है।
ध्यान दें कि $\log x$ केवल $x > 0$ के लिए परिभाषित है,जबकि $\log(x^2)$ $x$ के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मानों (शून्य को छोड़कर) के लिए परिभाषित है।
अतः,समतुल्य फलन $2 \log |x|$ है।

(C) दिया गया है $y = 2^{1/\log_x 4}$।
दोनों पक्षों का आधार $e$ पर लघुगणक लेने पर,$\ln y = \frac{1}{\log_x 4} \ln 2$ प्राप्त होता है।
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_x 4 = \frac{\ln 4}{\ln x}$ का उपयोग करने पर,$\ln y = \frac{\ln 2}{\frac{\ln 4}{\ln x}} = \frac{\ln 2 \cdot \ln x}{\ln 4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\ln 4 = \ln(2^2) = 2 \ln 2$,इसलिए समीकरण $\ln y = \frac{\ln 2 \cdot \ln x}{2 \ln 2}$ बन जाता है।
सरल करने पर,$\ln y = \frac{\ln x}{2}$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,$2 \ln y = \ln x$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $n \ln a = \ln(a^n)$ का उपयोग करने पर,$\ln(y^2) = \ln x$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = y^2$ है।

(B) आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{\log_a n} = \log_n a$।
दी गई अभिव्यक्ति: $\log_n 2 + \log_n 3 + ... + \log_n 1000$।
यह $\log_n (2 \times 3 \times ... \times 1000)$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $n = 1000!$,अभिव्यक्ति $\log_{1000!} (1000!)$ बन जाती है।
अतः,परिणाम $1$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x^{\log_x(1-x)^2} = 9$ है।
गुणधर्म $x^{\log_x(A)} = A$ का उपयोग करने पर,$(1-x)^2 = 9$ प्राप्त होता है।
समीकरण का विस्तार करने पर: $1 - 2x + x^2 = 9$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 2x - 8 = 0$।
द्विघात समीकरण के गुणनखंड करने पर: $(x - 4)(x + 2) = 0$।
इससे $x = 4$ या $x = -2$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,$\log_x(1-x)^2$ को परिभाषित होने के लिए,आधार $x > 0$ और $x \neq 1$ होना चाहिए।
$x = 4$ के लिए: आधार $4 > 0$ और $4 \neq 1$ है। साथ ही $(1-4)^2 = 9 > 0$ है। यह एक मान्य हल है।
$x = -2$ के लिए: आधार $-2$ है,जो मान्य नहीं है ($x > 0$ होना चाहिए)।
अतः,केवल $x = 4$ ही सही हल है।

(A) दिया गया समीकरण: ${\log _4}\{ {\log _2}(\sqrt {x + 8} - \sqrt x )\} = 0$
लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करने पर: ${\log _2}(\sqrt {x + 8} - \sqrt x ) = {4^0} = 1$
पुनः लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करने पर: $\sqrt {x + 8} - \sqrt x = {2^1} = 2$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\sqrt {x + 8} - \sqrt x)^2 = {2^2}$
$x + 8 + x - 2\sqrt {x(x + 8)} = 4$
$2x + 8 - 2\sqrt {x^2 + 8x} = 4$
$2x + 4 = 2\sqrt {x^2 + 8x}$
$2$ से भाग देने पर: $x + 2 = \sqrt {x^2 + 8x}$
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x + 2)^2 = x^2 + 8x$
$x^2 + 4x + 4 = x^2 + 8x$
$4 = 4x$
$x = 1$

(B) दिया गया समीकरण: $\log_4(x - 1) = \log_2(x - 3)$.
सबसे पहले,डोमेन की शर्तें देखें: $x - 1 > 0 \implies x > 1$ और $x - 3 > 0 \implies x > 3$. अतः,$x > 3$.
आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\log_4(x - 1) = \frac{\log_2(x - 1)}{\log_2(4)} = \frac{\log_2(x - 1)}{2}$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\log_2(x - 1)}{2} = \log_2(x - 3)$.
$\log_2(x - 1) = 2 \log_2(x - 3) = \log_2((x - 3)^2)$.
तर्कों की तुलना करने पर: $x - 1 = (x - 3)^2$.
$x - 1 = x^2 - 6x + 9$.
$x^2 - 7x + 10 = 0$.
$(x - 2)(x - 5) = 0$.
अतः,$x = 2$ या $x = 5$.
$x > 3$ की शर्त के अनुसार,$x = 2$ अमान्य है और $x = 5$ मान्य है.
इसलिए,केवल $1$ हल है।