Logarithms Questions in Hindi

(D) दिया गया समीकरण: $2^{x + 2} \cdot (3^3)^{x/(x - 1)} = 3^2$
$2^{x + 2} \cdot 3^{3x/(x - 1)} = 3^2$
दोनों पक्षों में $\log$ लेने पर:
$(x + 2) \log 2 + \frac{3x}{x - 1} \log 3 = 2 \log 3$
$(x + 2) \log 2 = 2 \log 3 - \frac{3x}{x - 1} \log 3$
$(x + 2) \log 2 = \log 3 \left( 2 - \frac{3x}{x - 1} \right)$
$(x + 2) \log 2 = \log 3 \left( \frac{2x - 2 - 3x}{x - 1} \right)$
$(x + 2) \log 2 = \log 3 \left( \frac{-x - 2}{x - 1} \right)$
$(x + 2) \log 2 = - \log 3 \left( \frac{x + 2}{x - 1} \right)$
$(x + 2) \left( \log 2 + \frac{\log 3}{x - 1} \right) = 0$
स्थिति $1$: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
स्थिति $2$: $\log 2 + \frac{\log 3}{x - 1} = 0$
$\frac{\log 3}{x - 1} = - \log 2$
$x - 1 = - \frac{\log 3}{\log 2}$
$x = 1 - \frac{\log 3}{\log 2}$

(C) माना $y = 3^{40}$ है।
दोनों पक्षों में $\log_{10}$ लेने पर,$\log_{10} y = \log_{10} (3^{40})$ प्राप्त होता है।
$\log(a^b) = b \log a$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\log_{10} y = 40 \times \log_{10} 3$ है।
दिया गया है कि $\log_{10} 3 = 0.477$,इसलिए $\log_{10} y = 40 \times 0.477 = 19.08$ है।
$3^{40}$ में अंकों की संख्या $\lfloor \log_{10} y \rfloor + 1$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\lfloor 19.08 \rfloor + 1 = 19 + 1 = 20$ है।
अतः,अंकों की संख्या $20$ है।

(C) लघुगणक के आधार परिवर्तन गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$ होता है।
दिया गया व्यंजक $\frac{1}{\log_2 n} + \frac{1}{\log_3 n} + \frac{1}{\log_4 n} + \dots + \frac{1}{\log_{1983} n}$ है।
गुणधर्म लागू करने पर,यह $\log_n 2 + \log_n 3 + \log_n 4 + \dots + \log_n 1983$ हो जाता है।
लघुगणक के गुणन नियम का उपयोग करते हुए,$\log_b x + \log_b y = \log_b (xy)$,हमें $\log_n (2 \times 3 \times 4 \times \dots \times 1983)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n = 1983!$,व्यंजक सरल होकर $\log_n (1983!) = \log_n n$ बन जाता है।
चूंकि $\log_n n = 1$,अंतिम मान $1$ है।

(B) माना व्यंजक $E = \log_{x_1} \log_{x_2} \log_{x_3} \dots \log_{x_n} (x_n^{x_{n-1}^{\dots^{x_1}}})$ है।
गुणधर्म $\log_a (a^b) = b$ का उपयोग करते हुए,हम सबसे अंदर के लघुगणक से मूल्यांकन शुरू करते हैं:
$\log_{x_n} (x_n^{x_{n-1}^{\dots^{x_1}}}) = x_{n-1}^{x_{n-2}^{\dots^{x_1}}}$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \log_{x_1} \log_{x_2} \dots \log_{x_{n-1}} (x_{n-1}^{x_{n-2}^{\dots^{x_1}}}) = \log_{x_1} \log_{x_2} \dots \log_{x_{n-2}} (x_{n-2}^{x_{n-3}^{\dots^{x_1}}})$.
इस प्रक्रिया को दोहराने पर:
$E = \log_{x_1} \log_{x_2} (x_2^{x_1}) = \log_{x_1} (x_1) = 1$.

(C) दी गई असमिका: $\log_{0.3}(x - 1) < \log_{0.09}(x - 1)$.
सबसे पहले,लघुगणक के परिभाषित होने के लिए $x - 1 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x > 1$.
हम $0.09$ को $(0.3)^2$ के रूप में लिख सकते हैं। अतः,$\log_{0.09}(x - 1) = \frac{\log_{0.3}(x - 1)}{\log_{0.3}(0.09)} = \frac{\log_{0.3}(x - 1)}{2}$.
असमिका इस प्रकार हो जाती है: $\log_{0.3}(x - 1) < \frac{1}{2} \log_{0.3}(x - 1)$.
माना $y = \log_{0.3}(x - 1)$. तब $y < \frac{1}{2} y$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{2} y < 0$,इसलिए $y < 0$.
मान वापस रखने पर: $\log_{0.3}(x - 1) < 0$.
चूंकि आधार $0.3$ का मान $0$ और $1$ के बीच है,इसलिए घातांक लेते समय असमिका का चिह्न बदल जाएगा: $x - 1 > (0.3)^0$.
$x - 1 > 1$,जिससे $x > 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$x \in (2, \infty)$.

(D) लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,आधार $a$ एक ऐसी धनात्मक वास्तविक संख्या होनी चाहिए कि $a > 0$ और $a \neq 1$ हो।
अतः,आधार $a$ के लिए सही शर्त $1$ को छोड़कर कोई भी धनात्मक वास्तविक संख्या है।

(A) माना अभीष्ट लघुगणक $x$ है। परिभाषा के अनुसार,$(2\sqrt{2})^x = 32\sqrt[5]{4}$ है।
आधार को $(2 \cdot 2^{1/2})^x = (2^{3/2})^x = 2^{3x/2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
संख्या को $32 \cdot 4^{1/5} = 2^5 \cdot (2^2)^{1/5} = 2^5 \cdot 2^{2/5} = 2^{5 + 2/5} = 2^{27/5}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
घातांकों की तुलना करने पर,$\frac{3x}{2} = \frac{27}{5}$ प्राप्त होता है।
$x$ के लिए हल करने पर,$x = \frac{27}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{9}{5} \times 2 = \frac{18}{5} = 3.6$।

(B) हमें ${\log _7}2 = m$ दिया गया है।
हमें ${\log _{49}}28$ का मान ज्ञात करना है।
आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए,${\log _{49}}28 = \frac{{\log _7}28}{{\log _7}49}$।
चूंकि $28 = 7 \times 4$,इसलिए ${\log _7}28 = {\log _7}(7 \times 4) = {\log _7}7 + {\log _7}4 = 1 + {\log _7}(2^2) = 1 + 2{\log _7}2$।
चूंकि $49 = 7^2$,इसलिए ${\log _7}49 = 2$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,${\log _{49}}28 = \frac{1 + 2{\log _7}2}{2}$।
$m = {\log _7}2$ रखने पर,हमें ${\log _{49}}28 = \frac{1 + 2m}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $\log_e \left( \frac{a + b}{2} \right) = \frac{1}{2}(\log_e a + \log_e b)$.
$\log$ के गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\frac{1}{2}(\log_e a + \log_e b) = \log_e \sqrt{ab}$.
अतः,$\frac{a + b}{2} = \sqrt{ab}$.
$a + b = 2\sqrt{ab} \implies a + b - 2\sqrt{ab} = 0$.
$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = 0$.
इसलिए,$\sqrt{a} = \sqrt{b}$,जिसका अर्थ है $a = b$.

(C) माना $y = 3^{40}$ है।
दोनों पक्षों का $\log_{10}$ लेने पर:
$\log_{10} y = \log_{10} (3^{40})$
$\log_{10} y = 40 \times \log_{10} 3$
दिया गया है कि $\log_{10} 3 = 0.477$,अतः:
$\log_{10} y = 40 \times 0.477 = 19.08$
$y$ में अंकों की संख्या $\lfloor \log_{10} y \rfloor + 1$ द्वारा ज्ञात की जाती है।
अंकों की संख्या $= 19 + 1 = 20$.

(B) हम जानते हैं कि $\alpha > 1$ के लिए,$\log_{b}\alpha = \frac{\ln \alpha}{\ln b}$ होता है।
चूंकि $\ln \alpha$ धनात्मक है,इसलिए जैसे-जैसे आधार $b$ बढ़ता है,$\log_{b}\alpha$ का मान घटता जाता है।
आधार $2, e \approx 2.718, 3, 10$ हैं।
चूंकि $2 < e < 3 < 10$,इसलिए मानों का क्रम $\log_{10}\alpha < \log_{3}\alpha < \log_{e}\alpha < \log_{2}\alpha$ होगा।

(C) दिया गया है $x = \log_3 5$ और $y = \log_{17} 25 = 2 \log_{17} 5$.
व्युत्क्रम लेने पर:
$\frac{1}{x} = \log_5 3 = \log_5 (9^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_5 9$.
$\frac{1}{y} = \frac{1}{2} \log_5 17$.
चूंकि $17 > 9$,इसलिए $\log_5 17 > \log_5 9$.
अतः,$\frac{1}{2} \log_5 17 > \frac{1}{2} \log_5 9$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{y} > \frac{1}{x}$.
चूंकि $x$ और $y$ दोनों धनात्मक हैं,$\frac{1}{y} > \frac{1}{x}$ का अर्थ है $x > y$.

(A) दी गई असमिका: ${\log _{0.3}}(x - 1) < {\log _{0.09}}(x - 1)$.
सबसे पहले,डोमेन के लिए $x - 1 > 0$ होना चाहिए,अर्थात $x > 1$.
आधार $0.09$ को $(0.3)^2$ के रूप में लिखने पर: ${\log _{0.09}}(x - 1) = \frac{1}{2}{\log _{0.3}}(x - 1)$.
असमिका इस प्रकार होगी: ${\log _{0.3}}(x - 1) < \frac{1}{2}{\log _{0.3}}(x - 1)$.
दोनों पक्षों से $\frac{1}{2}{\log _{0.3}}(x - 1)$ घटाने पर: $\frac{1}{2}{\log _{0.3}}(x - 1) < 0$.
इसका अर्थ है ${\log _{0.3}}(x - 1) < 0$.
चूँकि आधार $0.3 < 1$ है,इसलिए लघुगणक हटाते समय असमिका का चिन्ह बदल जाएगा: $x - 1 > (0.3)^0$,जिसका अर्थ है $x - 1 > 1$.
अतः,$x > 2$.
इसलिए,$x$ अन्तराल $(2, \infty)$ में स्थित है।

(B) लघुगणक के गुणधर्म $\log x - \log y = \log \left( \frac{x}{y} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\log ab - \log |b| = \log \left( \frac{ab}{|b|} \right)$.
चूँकि $\frac{b}{|b|} = \text{sgn}(b)$,इसलिए $\frac{ab}{|b|} = a \cdot \text{sgn}(b)$.
अतः,$\log \left( \frac{ab}{|b|} \right) = \log |a|$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया व्यंजक $\sqrt{(\log_{0.5} 4)^2}$ है।
हम जानते हैं कि $\sqrt{x^2} = |x|$ होता है।
अतः,$\sqrt{(\log_{0.5} 4)^2} = |\log_{0.5} 4|$।
हम $0.5$ को $2^{-1}$ और $4$ को $2^2$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस प्रकार,$\log_{0.5} 4 = \log_{2^{-1}} (2^2)$।
गुणधर्म $\log_{a^n} (b^m) = \frac{m}{n} \log_a b$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{2}{-1} \log_2 2 = -2 \times 1 = -2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$|-2| = 2$।

(C) माना $x = \sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7}}}$.
हम इसे $x = 7^{1/2} \cdot 7^{1/4} \cdot 7^{1/8} = 7^{(1/2 + 1/4 + 1/8)} = 7^{7/8}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अब,व्यंजक $\log_7(\log_7(7^{7/8}))$ है।
$\log_b(b^a) = a$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,हमें $\log_7(7/8)$ प्राप्त होता है।
यह $\log_7(7) - \log_7(8) = 1 - \log_7(2^3)$ के बराबर है।
घात के नियम $\log(a^n) = n\log(a)$ का उपयोग करने पर,हमें $1 - 3\log_7(2)$ प्राप्त होता है।

(C) $n\log a = \log a^n$ गुणधर्म का उपयोग करके,हम व्यंजक को फिर से लिखते हैं:
$\log \left( \frac{16}{15} \right)^7 + \log \left( \frac{25}{24} \right)^5 + \log \left( \frac{81}{80} \right)^3$
$= \log \left[ \left( \frac{2^4}{3 \times 5} \right)^7 \times \left( \frac{5^2}{2^3 \times 3} \right)^5 \times \left( \frac{3^4}{2^4 \times 5} \right)^3 \right]$
$= \log \left[ \frac{2^{28}}{3^7 \times 5^7} \times \frac{5^{10}}{2^{15} \times 3^5} \times \frac{3^{12}}{2^{12} \times 5^3} \right]$
$= \log \left[ \frac{2^{28} \times 5^{10} \times 3^{12}}{2^{15+12} \times 3^{7+5} \times 5^{7+3}} \right]$
$= \log \left[ \frac{2^{28} \times 5^{10} \times 3^{12}}{2^{27} \times 3^{12} \times 5^{10}} \right]$
$= \log \left( 2^{28-27} \right) = \log 2$

(C) दिया गया है: ${\log _4}5 = a$ और ${\log _5}6 = b$।
आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करने पर,${\log _4}5 = \frac{{\log 5}}{{\log 4}} = \frac{{\log 5}}{{2\log 2}} = a \implies \frac{{\log 5}}{{\log 2}} = 2a$।
साथ ही,${\log _5}6 = \frac{{\log 6}}{{\log 5}} = b \implies \frac{{\log 2 + \log 3}}{{\log 5}} = b$।
पहले समीकरण से,$\frac{{\log 2}}{{\log 5}} = \frac{1}{{2a}}$।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{{\log 2}}{{\log 5}} + \frac{{\log 3}}{{\log 5}} = b \implies \frac{1}{{2a}} + \frac{{\log 3}}{{\log 5}} = b$।
$\frac{{\log 3}}{{\log 5}} = b - \frac{1}{{2a}} = \frac{{2ab - 1}}{{2a}}$।
अतः,$\frac{{\log 5}}{{\log 3}} = \frac{{2a}}{{2ab - 1}}$।
हमें ${\log _3}2 = \frac{{\log 2}}{{\log 3}} = \frac{{\log 2}}{{\log 5}} \times \frac{{\log 5}}{{\log 3}} = \frac{1}{{2a}} \times \frac{{2a}}{{2ab - 1}} = \frac{1}{{2ab - 1}}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $\log _k x \cdot \log _5 k = \log _x 5$ है।
आधार परिवर्तन सूत्र $\log _b a = \frac{\ln a}{\ln b}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\ln x}{\ln k} \cdot \frac{\ln k}{\ln 5} = \frac{\ln 5}{\ln x}$ प्राप्त होता है।
बाईं ओर $\ln k$ को काटने पर:
$\frac{\ln x}{\ln 5} = \frac{\ln 5}{\ln x}$ प्राप्त होता है।
वज्र-गुणन करने पर:
$(\ln x)^2 = (\ln 5)^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\ln x = \ln 5$ या $\ln x = -\ln 5$ प्राप्त होता है।
अतः $x = 5$ या $x = 5^{-1} = \frac{1}{5}$ होगा।

(C) दिया गया समीकरण $a^2 + 4b^2 = 12ab$ है।
दोनों पक्षों में $4ab$ जोड़ने पर,हमें $a^2 + 4b^2 + 4ab = 12ab + 4ab$ प्राप्त होता है।
$(a + 2b)^2 = 16ab$.
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $\log(a + 2b)^2 = \log(16ab)$.
$2\log(a + 2b) = \log 16 + \log a + \log b$.
$2\log(a + 2b) = \log(2^4) + \log a + \log b$.
$2\log(a + 2b) = 4\log 2 + \log a + \log b$.
$2$ से भाग देने पर,हमें $\log(a + 2b) = \frac{1}{2}[\log a + \log b + 4\log 2]$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $A = \log_2 \log_2 \log_4 256 + 2 \log_{\sqrt{2}} 2$।
सबसे पहले,$\log_4 256$ का मान निकालें:
चूंकि $256 = 4^4$,इसलिए $\log_4 256 = 4$।
अगला,$\log_2 \log_2 4$ का मान निकालें:
चूंकि $\log_2 4 = 2$,इसलिए $\log_2 2 = 1$।
अब,$2 \log_{\sqrt{2}} 2$ का मान निकालें:
चूंकि $\sqrt{2} = 2^{1/2}$,इसलिए $\log_{2^{1/2}} 2 = \frac{1}{1/2} \log_2 2 = 2 \times 1 = 2$।
अतः,$2 \log_{\sqrt{2}} 2 = 2 \times 2 = 4$।
अंत में,$A = 1 + 4 = 5$।

(D) दिया गया है कि ${\log _{10}}x = y$ है।
हमें ${\log _{1000}}{x^2}$ का मान ज्ञात करना है।
लघुगणक के गुणधर्म ${\log _{{a^n}}}{b^m} = \frac{m}{n}{\log _a}b$ का उपयोग करने पर:
${\log _{1000}}{x^2} = {\log _{{10^3}}}{x^2} = \frac{2}{3}{\log _{10}}x$।
दिए गए मान ${\log _{10}}x = y$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2}{3}y$।

(B) दिया गया है $x = \log_a(bc)$,दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर $1 + x = 1 + \log_a(bc) = \log_a(a) + \log_a(bc) = \log_a(abc)$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर,$(1 + x)^{-1} = \frac{1}{\log_a(abc)} = \log_{abc}(a)$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$(1 + y)^{-1} = \log_{abc}(b)$ और $(1 + z)^{-1} = \log_{abc}(c)$ प्राप्त होता है।
इन पदों को जोड़ने पर,$(1 + x)^{-1} + (1 + y)^{-1} + (1 + z)^{-1} = \log_{abc}(a) + \log_{abc}(b) + \log_{abc}(c)$।
गुणधर्म $\log_n(m) + \log_n(p) = \log_n(mp)$ का उपयोग करने पर,$\log_{abc}(a \times b \times c) = \log_{abc}(abc) = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$a^x = b$ $(1)$
$b^y = c$ $(2)$
$c^z = a$ $(3)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(a^x)^y = c \implies a^{xy} = c$
अब इसे $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(a^{xy})^z = a$
$a^{xyz} = a^1$
चूंकि आधार समान हैं,इसलिए घातांक समान होंगे:
$xyz = 1$

(B) दिया गया है कि $\frac{\log x}{y - z} = \frac{\log y}{z - x} = \frac{\log z}{x - y} = k$ (माना).
तब $\log x = k(y - z)$,$\log y = k(z - x)$,और $\log z = k(x - y)$.
अब,$x^x \cdot y^y \cdot z^z$ व्यंजक पर विचार करें:
$\log(x^x \cdot y^y \cdot z^z) = x \log x + y \log y + z \log z$
$= x(k(y - z)) + y(k(z - x)) + z(k(x - y))$
$= k(xy - xz + yz - yx + zx - zy) = k(0) = 0$.
चूँकि $\log(x^x \cdot y^y \cdot z^z) = 0$,इसलिए $x^x \cdot y^y \cdot z^z = 10^0 = 1$.

(C) माना $x = 3^{12} \times 2^8$ है।
दोनों पक्षों का $\log_{10}$ लेने पर:
$\log_{10} x = \log_{10} (3^{12} \times 2^8)$
$= 12 \log_{10} 3 + 8 \log_{10} 2$
$= 12(0.47712) + 8(0.30103)$
$= 5.72544 + 2.40824$
$= 8.13368$
$x$ में अंकों की संख्या $\lfloor \log_{10} x \rfloor + 1$ द्वारा दी जाती है।
$= \lfloor 8.13368 \rfloor + 1$
$= 8 + 1 = 9$.

(C) दिया गया समीकरण: ${\log _7}{\log _5}(\sqrt {{x^2} + 5 + x} ) = 0$
लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करने पर,${\log _b}(a) = c \implies a = b^c$:
${\log _5}(\sqrt {{x^2} + 5 + x} ) = 7^0 = 1$
पुनः परिभाषा का उपयोग करने पर:
$\sqrt {{x^2} + 5 + x} = 5^1 = 5$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
${x^2} + x + 5 = 25$
${x^2} + x - 20 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x + 5)(x - 4) = 0$
अतः,$x = -5$ या $x = 4$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$x = 4$ सही उत्तर है।

(B) हमारे पास $\log _4 18 = \log _{2^2} (2 \times 3^2) = \frac{1}{2} \log _2 (2 \times 3^2) = \frac{1}{2} (\log _2 2 + \log _2 3^2) = \frac{1}{2} (1 + 2 \log _2 3) = \frac{1}{2} + \log _2 3$ है।
चूंकि $\log _2 3$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए $\frac{1}{2} + \log _2 3$ भी एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,$\log _4 18$ एक अपरिमेय संख्या है।

(A) दिया गया व्यंजक: $[(\log_b a)(\log_c a) - 1] + [(\log_a b)(\log_c b) - 1] + [(\log_a c)(\log_b c) - 1] = 0$
चूँकि $\log_a a = \log_b b = \log_c c = 1$,समीकरण इस प्रकार है:
$(\log_b a)(\log_c a) + (\log_a b)(\log_c b) + (\log_a c)(\log_b c) = 3$
माना $x = \ln a, y = \ln b, z = \ln c$.
$\frac{x^2}{yz} + \frac{y^2}{xz} + \frac{z^2}{xy} = 3$
$xyz$ से गुणा करने पर:
$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$
यह सर्वसमिका तब सत्य है यदि $x + y + z = 0$ या $x = y = z$ हो।
चूँकि $a, b, c$ भिन्न हैं,अतः $x + y + z = 0$
$\ln(abc) = 0$
$abc = e^0 = 1$.

(C) दिया गया है कि ${\log _{12}}27 = a$ है।
आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{{\log _3}27}{{\log _3}12} = a$।
चूंकि $27 = 3^3$ और $12 = 3 \times 2^2$,इसलिए $\frac{3}{{\log _3}3 + {\log _3}2^2} = a$।
इसे सरल करने पर $\frac{3}{1 + 2{\log _3}2} = a$ प्राप्त होता है।
अतः $3 = a + 2a{\log _3}2$,जिसका अर्थ है ${\log _3}2 = \frac{3-a}{2a}$।
अब,${\log _6}16 = \frac{{\log _3}16}{{\log _3}6} = \frac{4{\log _3}2}{{\log _3}2 + 1}$।
${\log _3}2 = \frac{3-a}{2a}$ प्रतिस्थापित करने पर:
${\log _6}16 = \frac{4(\frac{3-a}{2a})}{\frac{3-a}{2a} + 1} = \frac{4(3-a)}{3+a}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{\log_a n} = \log_n a$ होता है।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\log_n 2 + \log_n 3 + \log_n 4 + \dots + \log_n 1983$.
$\log_b x + \log_b y = \log_b (xy)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,व्यंजक होगा:
$\log_n (2 \times 3 \times 4 \times \dots \times 1983)$.
चूंकि $n = 1983! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 1983$,इसलिए व्यंजक का मान:
$\log_n (1983!) = \log_n n = 1$ होगा।

(A) माना $\frac{\log x}{b - c} = \frac{\log y}{c - a} = \frac{\log z}{a - b} = k$.
तब $\log x = k(b - c)$,$\log y = k(c - a)$,और $\log z = k(a - b)$.
व्यंजक $xyz$ पर विचार करें।
लघुगणक लेने पर,$\log(xyz) = \log x + \log y + \log z$.
मान प्रतिस्थापित करने पर,$\log(xyz) = k(b - c) + k(c - a) + k(a - b) = k(b - c + c - a + a - b) = k(0) = 0$.
चूंकि $\log(xyz) = 0$,इसलिए $xyz = 10^0 = 1$।

(C) माना $f(x) = \log _2(x + 5)$ और $g(x) = 6 - x$ है।
$f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है क्योंकि आधार $2 > 1$ है।
$g(x)$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है।
चूंकि एक फलन वर्धमान है और दूसरा ह्रासमान,वे अधिकतम एक बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकते हैं।
पूर्णांक मानों की जाँच करने पर:
यदि $x = 3$ है,तो $\log _2(3 + 5) = \log _2(8) = 3$ और $6 - 3 = 3$ है।
चूंकि $f(3) = g(3)$ है,इसलिए $x = 3$ एक हल है।
अतः,केवल $1$ हल है।

(B) माना $y = \log_{16}x$ है। समीकरण $y^2 - y + \log_{16}k = 0$ बन जाता है।
$x$ के लिए केवल एक हल प्राप्त करने हेतु,इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D = 0$ होना चाहिए।
$D = (-1)^2 - 4(1)(\log_{16}k) = 0$.
$1 - 4\log_{16}k = 0$.
$4\log_{16}k = 1$.
$\log_{16}k = \frac{1}{4}$.
$k = 16^{1/4} = 2$.
अतः,$k$ का केवल एक ही मान संभव है,इसलिए वास्तविक मानों की संख्या $1$ है।

(A) दिया गया समीकरण: ${x^{\frac{3}{4}(\log_3 x)^2 + \log_3 x - \frac{5}{4}} = 3^{1/2}}$.
दोनों पक्षों में $\log_3$ लेने पर:
$(\frac{3}{4}(\log_3 x)^2 + \log_3 x - \frac{5}{4}) \cdot \log_3 x = \log_3(3^{1/2})$.
माना $y = \log_3 x$. तब:
$(\frac{3}{4}y^2 + y - \frac{5}{4})y = \frac{1}{2}$.
$4$ से गुणा करने पर:
$(3y^2 + 4y - 5)y = 2$.
$3y^3 + 4y^2 - 5y - 2 = 0$.
मानों की जाँच करने पर,$y = 1$ एक मूल है: $3(1)^3 + 4(1)^2 - 5(1) - 2 = 0$.
$(y-1)$ से विभाजित करने पर,$(y-1)(3y^2 + 7y + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
$(y-1)(3y+1)(y+2) = 0$.
अतः,$y = 1, y = -1/3, y = -2$.
चूँकि $y = \log_3 x$,इसलिए $x = 3^1 = 3$,$x = 3^{-1/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$,और $x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.
तीनों मान धनात्मक हैं,लेकिन केवल $x = 3$ एक पूर्णांक है। अतः,केवल एक धनात्मक पूर्णांक मान है।

(A) दिया गया है $x = \log_{5}(1000)$। चूंकि $5^4 = 625$ और $5^5 = 3125$,इसलिए $4 < x < 5$ है।
विशेष रूप से,$x = \log_{5}(5^3 \times 8) = 3 + \log_{5}(8)$। चूंकि $5^1 < 8 < 5^2$,$1 < \log_{5}(8) < 2$,इसलिए $4 < x < 5$ है।
दिया गया है $y = \log_{7}(2058)$। हम जानते हैं कि $7^3 = 343$ और $7^4 = 2401$ है।
चूंकि $343 < 2058 < 2401$,इसलिए $3 < y < 4$ है।
दोनों की तुलना करने पर,चूंकि $x > 4$ और $y < 4$ है,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $x > y$।

(A) माना $x = \log_{20} 3$.
इसका अर्थ है $20^x = 3$.
हम दिए गए अंतरालों की जाँच करते हैं:
यदि $x = \frac{1}{3}$ है,तो $20^{1/3} = \sqrt[3]{20}$. चूँकि $2^3 = 8$ और $3^3 = 27$,$\sqrt[3]{20}$ का मान $2$ और $3$ के बीच है,इसलिए $20^{1/3} > 3$. अतः,$x < \frac{1}{3}$.
यदि $x = \frac{1}{4}$ है,तो $20^{1/4} = \sqrt[4]{20}$. चूँकि $2^4 = 16$ और $3^4 = 81$,$\sqrt[4]{20}$ का मान $2$ से थोड़ा अधिक है,इसलिए $20^{1/4} < 3$. अतः,$x > \frac{1}{4}$.
इसलिए,$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{3}$.

(D) दी गई असमिका $\log _{1/\sqrt{2}} \sin x > 0$ है।
चूंकि आधार $b = \frac{1}{\sqrt{2}}$ के लिए $0 < b < 1$ है,इसलिए लघुगणक हटाने पर असमिका का चिह्न बदल जाएगा:
$\sin x < (\frac{1}{\sqrt{2}})^0$
$\sin x < 1$
साथ ही,लघुगणक परिभाषित होने के लिए $\sin x > 0$ होना चाहिए।
अतः,हमें $0 < \sin x < 1$ की आवश्यकता है।
यह शर्त $x \in [0, 4\pi]$ में उन बिंदुओं को छोड़कर सभी के लिए सत्य है जहाँ $\sin x = 0$ या $\sin x = 1$ है।
अंतराल $[0, 4\pi]$ में,$\sin x = 0$ मान $x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi$ पर होते हैं।
अंतराल $[0, 4\pi]$ में,$\sin x = 1$ मान $x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$ पर होते हैं।
हमें $x$ के वे मान चाहिए जो $\frac{\pi}{4}$ के पूर्णांक गुणक हों,अर्थात $x = k \cdot \frac{\pi}{4}$ जहाँ $k \in \{0, 1, 2, ..., 16\}$।
वर्जित मानों को हटाने के बाद,शेष मान हैं: $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}, \frac{13\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}$।
कुल $8$ मान प्राप्त होते हैं।

(B) दी गई असमिका: ${\log _{1/2}}({x^2} - 6x + 12) \ge - 2$ है।
चूंकि लघुगणक का आधार $1/2$ है (जो $0$ और $1$ के बीच है),इसलिए जब हम लघुगणक को हटाते हैं तो असमिका का चिह्न बदल जाता है:
${x^2} - 6x + 12 \le {(1/2)^{-2}}$।
${x^2} - 6x + 12 \le 4$।
${x^2} - 6x + 8 \le 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 2)(x - 4) \le 0$।
इस असमिका का हल $x \in [2, 4]$ है।
हमें यह भी सुनिश्चित करना होगा कि लघुगणक का तर्क धनात्मक हो: ${x^2} - 6x + 12 > 0$।
विविक्तकर $D = {(-6)^2} - 4(1)(12) = 36 - 48 = -12 < 0$ है।
चूंकि अग्रणी गुणांक धनात्मक है और $D < 0$ है,इसलिए ${x^2} - 6x + 12$ सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक है।
अतः,हल समुच्चय $[2, 4]$ है।

(C) दी गई असमिका: ${\log _{10}}({x^2} - 2x - 2) \le 0$ है।
चूंकि आधार $10 > 1$ है,इसलिए लॉग हटाने पर असमिका का चिह्न वही रहता है:
${x^2} - 2x - 2 \le {10^0} \implies {x^2} - 2x - 2 \le 1 \implies {x^2} - 2x - 3 \le 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 3)(x + 1) \le 0$,जिससे $x \in [-1, 3]$ प्राप्त होता है।
साथ ही,लॉग का तर्क धनात्मक होना चाहिए: ${x^2} - 2x - 2 > 0$।
${x^2} - 2x - 2 = 0$ के मूल $x = 1 \pm \sqrt{3}$ हैं।
अतः,${x^2} - 2x - 2 > 0$ के लिए $x \in (-\infty, 1 - \sqrt{3}) \cup (1 + \sqrt{3}, \infty)$ होगा।
$x \in [-1, 3]$ और $x \in (-\infty, 1 - \sqrt{3}) \cup (1 + \sqrt{3}, \infty)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x \in [-1, 1 - \sqrt{3}) \cup (1 + \sqrt{3}, 3]$।

(B) दी गई असमिका: $\frac{1}{2} \le \log_{0.1} x \le 2$.
चूंकि आधार $0.1$,$0$ और $1$ के बीच है,इसलिए लघुगणक को हटाते समय असमिका का चिह्न बदल जाएगा:
$(0.1)^2 \le x \le (0.1)^{1/2}$.
मानों की गणना करने पर:
$(0.1)^2 = (\frac{1}{10})^2 = \frac{1}{100}$.
$(0.1)^{1/2} = \sqrt{0.1} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
अतः,$x$ का परिसर $\frac{1}{100} \le x \le \frac{1}{\sqrt{10}}$ है।
इसका अर्थ है कि $x$,$\frac{1}{100}$ और $\frac{1}{\sqrt{10}}$ के बीच स्थित है।

(C) दी गई असमिका: ${\log _{0.04}}(x - 1) \ge {\log _{0.2}}(x - 1)$.
सबसे पहले,लघुगणक को परिभाषित करने के लिए,हमारे पास $x - 1 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x > 1$.
हम आधार $0.04$ को $(0.2)^2$ के रूप में लिख सकते हैं। अतः,${\log _{(0.2)^2}}(x - 1) \ge {\log _{0.2}}(x - 1)$.
गुणधर्म ${\log _{a^n}}b = \frac{1}{n}{\log _a}b$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{1}{2}{\log _{0.2}}(x - 1) \ge {\log _{0.2}}(x - 1)$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $0 \ge {\log _{0.2}}(x - 1) - \frac{1}{2}{\log _{0.2}}(x - 1)$,जो सरल होकर $0 \ge \frac{1}{2}{\log _{0.2}}(x - 1)$ हो जाता है।
इसका अर्थ है कि ${\log _{0.2}}(x - 1) \le 0$.
चूंकि आधार $0.2 < 1$ है,इसलिए जब हम लघुगणक को हटाते हैं तो असमिका का चिह्न बदल जाता है: $x - 1 \ge (0.2)^0$.
$x - 1 \ge 1$,जिससे $x \ge 2$ प्राप्त होता है।
डोमेन की शर्त $x > 1$ के साथ संयोजित करने पर,हमें $x \in [2, +\infty)$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई असमिका $\log_{0.2} \frac{x + 2}{x} \le 1$ है।
चूंकि आधार $0.2 < 1$ है,इसलिए लघुगणक को हटाते समय असमिका का चिह्न बदल जाएगा:
$\frac{x + 2}{x} \ge (0.2)^1$
$\frac{x + 2}{x} \ge \frac{1}{5}$
$\frac{x + 2}{x} - \frac{1}{5} \ge 0$
$\frac{5(x + 2) - x}{5x} \ge 0$
$\frac{4x + 10}{5x} \ge 0$
$\frac{2x + 5}{x} \ge 0$
साथ ही,लघुगणक के प्रांत के लिए $\frac{x + 2}{x} > 0$ होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है $x \in ( - \infty, - 2 ) \cup (0, + \infty )$.
$\frac{2x + 5}{x} \ge 0$ को हल करने पर हमें $x \in ( - \infty, - \frac{5}{2} ] \cup (0, + \infty )$ प्राप्त होता है।
प्रांत के साथ प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $x \in ( - \infty, - \frac{5}{2} ] \cup (0, + \infty )$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया व्यंजक $a^{m \log_a n}$ है।
लघुगणक के घात नियम का उपयोग करते हुए,$m \log_a n = \log_a (n^m)$ होता है।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a^{\log_a (n^m)}$ प्राप्त होता है।
मूलभूत लघुगणकीय सर्वसमिका $a^{\log_a x} = x$ का उपयोग करने पर,हमें $a^{\log_a (n^m)} = n^m$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया समीकरण $m^n = n^m$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln(m^n) = \ln(n^m)$
$n \ln(m) = m \ln(n)$
दोनों पक्षों को $mn$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\ln(m)}{m} = \frac{\ln(n)}{n}$
माना $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$।
जब $m \neq n$ हो,तब इस समीकरण का हल $m = n^{1/(n-1)}$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$a^x = bc$ --- $(1)$
$b^y = ca$ --- $(2)$
$c^z = ab$ --- $(3)$
दोनों पक्षों का लघुगणक (logarithm) लेने पर:
$x \log a = \log b + \log c$
$y \log b = \log c + \log a$
$z \log c = \log a + \log b$
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $xyz = x + y + z + 2$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$a^{x-1} = bc \implies a^x = abc$
$b^{y-1} = ca \implies b^y = abc$
$c^{z-1} = ab \implies c^z = abc$
दोनों पक्षों में $abc$ आधार के साथ लघुगणक लेने पर:
$\log_{abc}(a^x) = \log_{abc}(abc) \implies x \log_{abc} a = 1 \implies \frac{1}{x} = \log_{abc} a$
इसी प्रकार,$\frac{1}{y} = \log_{abc} b$ और $\frac{1}{z} = \log_{abc} c$
अब,$\sum \frac{1}{x} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \log_{abc} a + \log_{abc} b + \log_{abc} c$
गुणधर्म $\log m + \log n = \log(mn)$ का उपयोग करने पर:
$\sum \frac{1}{x} = \log_{abc} (abc) = 1$