मान लीजिए कि m,log _3(3^{y_1}+3^{y_2}+3^{y_3} | vedclass

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Question

(B) $AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$\frac{3^{y_1}+3^{y_2}+3^{y_3}}{3} \geq \sqrt[3]{3^{y_1} \cdot 3^{y_2} \cdot 3^{y_3}} = \sqrt[3]{3^{y_1+y_2+y_3}}$.चूंक

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$8$

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(B) $AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$\frac{3^{y_1}+3^{y_2}+3^{y_3}}{3} \geq \sqrt[3]{3^{y_1} \cdot 3^{y_2} \cdot 3^{y_3}} = \sqrt[3]{3^{y_1+y_2+y_3}}$.चूंकि $y_1+y_2+y_3=9$ दिया गया है,हमारे पास $\frac{3^{y_1}+3^{y_2}+3^{y_3}}{3} \geq \sqrt[3]{3^9} = 3^3 = 27$ है।अतः,$3^{y_1}+3^{y_2}+3^{y_3} \geq 81 = 3^4$ है।दोनों पक्षों का $\log_3$ लेने पर,$\log_3(3^{y_1}+3^{y_2}+3^{y_3}) \geq 4$,इसलिए $m=4$ है।$M$ के लिए,$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$\frac{x_1+x_2+x_3}{3} \geq \sqrt[3]{x_1 x_2 x_3}$ है।चूंकि $x_1+x_2+x_3=9$ दिया गया है,हमारे पास $3 \geq \sqrt[3]{x_1 x_2 x_3}$ है,इसलिए $x_1 x_2 x_3 \leq 27$ है।तब $\log_3(x_1 x_2 x_3) = \log_3 x_1 + \log_3 x_2 + \log_3 x_3 \leq \log_3(27) = 3$,इसलिए $M=3$ है।अंत में,$\log_2(m^3) + \log_3(M^2) = \log_2(4^3) + \log_3(3^2) = \log_2(64) + 2 = 6 + 2 = 8$ है।

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